艾雪的幾何探究

吳敏而、陳素志

艾雪的父親是工程師，四個哥哥是科學家和數學家，老么艾雪的數學只到國中程度，但

是空間思維能力強，跟家人相同的特點是愛規律、愛探究。

創作早期，艾雪注意到，繪製連續圖案時，可

以用幾何圖案來反覆複製，作為設計的基礎。例如

作品〈白天與黑夜〉裡的雁鴨是利用四邊形變出來

的圖案。設計版畫時他想要達到兩個目標：

1. 做出連續無限多的動物圖樣。

2. 想辦法有系統地擺滿整個畫面。

他發現平行四邊形有他需要的特徵：複製每一小塊，

只要旋轉 180 度就可以擺滿，而且不用切割就可

以緊密拼貼。因此，他用平行四邊形當作原形（基

礎圖形）來設計小印章的圖案，再複製對稱和陰陽

對比的小印章來作拼貼。最重要的是找到每個圖形

的中心點(旋轉中心)和旋轉、移動的方法。

除了幾何圖形，艾雪也注意到，把文字、符號

複製和旋轉時，也會產生規律性的美感，例如：

「1961」旋轉 180 度後，是完全一樣的，只要在

圖形上找到中心點(對稱點)就可以得到對稱。

很多漢字也都有對稱的特徵，請試試看用

王金平刻幾個印章，可以做出什麼圖案？

〈白天與黑夜〉的雁鴨圖案，是以四邊形

反覆不斷拼貼出來的設計。

艾雪發現，平行四邊形最易於複製、旋轉、

拼貼成滿鋪的版畫。

艾雪 2-1

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艾雪正式與數學結緣是在 1937 年的家庭聚會，當時艾雪帶了一些版畫新作回荷蘭老家

跟家人分享，地質學家的二哥馬上注意到這些圖案跟結晶學裡的圖案有很多共同點，回到大

學後，他寄了一些論文給艾雪參考。這些論文非常專業，艾雪從文字上只能了解到自己的藝

術實驗有科學和數學的名稱和定義。不過，他完全看懂插圖的意義。數學家 Polya 的論述特

別吸引他，Polya 證明：能夠在平面空間旋轉組合的對稱圖形有 17 種組合，這些組合完全

符合艾雪在尋找的特質：平面、旋轉、拼貼、對稱。

艾雪把 Polya 的圖形抄進筆記本裡，有系統

的在自己的創作上試用，正如之前他利用阿罕布

拉宮的圖案一樣。這篇論文為他開啟了一扇門，

裡面的原理，就像一把種子，讓他種出一個蓬勃

奇幻的花園！艾雪為 Polya 枯燥的幾何圖形注入

生命、色彩和新的意義，從另一個角度看，艾雪

是個「應用數學專家」，因為他在幾何圖形當中

尋找圖案和規律性，而「規律」是科學探究者所

嚮往的。

艾雪令數學家驚豔的一類作品是連續漸變，

如〈變形〉系列裡的透視空間、轉變時空，出現

變形與錯亂視覺的構圖，形成心理幻覺式的作品，

讓他贏得錯覺藝術大師的美譽。

Polya 的 17 種平面幾何對稱圖形組合

艾雪 2-2

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版畫中的數學

1939 年，艾雪花了一整年的時間製作〈變形二 Metamorphosis II〉，作品由二十塊木

刻版所印成，長度達三公尺，是艾雪創作中最長的作品。無論是順向由左至右或逆向由右至

左觀賞，都同樣令人驚豔。

此作品內容共分三階段：第一階段由文字與圖形組成，以英文單字「Metamorphosis」

為開端，而後轉為由 Metamorphosis 組成的文字方框。第二階段以幾何圖形與動物圖騰為

創作元素，六角形轉化為蜥蜴後，再回到六角形，而後變為蜂巢，蜂巢中的幼蟲又再變為蜜

蜂，接著一連串迅速的造型變化，從蝴蝶、魚、飛鳥、帆船、魚、馬，馬又忽然幻化為空中

翱翔的黑鳥，最後回歸單純的三角形。第三階段則由圖形、動物與建築物組成，三角形變為

黑鳥、鴿子再回到正方體，正方體開始轉變成建築物、演化成方格棋盤，然後變成黑白方格，

最後又回到文字方框，簡化成最初的 Metamorphosis。

現今的電腦動畫師將這種技術稱為「morphing」，也有軟體技術可以代勞繪製出艾雪花

很多時間才能營造出的細節和漸變。

哲學家和數學家喜歡思索「無窮」(infinity)的概念，試著測量和分析「無窮」，尤其是

微積分，整個學門建基在無窮大和無窮小的概念上，艾雪也讓我們在一個封閉的作品中看到

「無窮」的永遠循環。

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艾雪一直在追求個人創作的美感及意義，無視自己在探究過程中的科學貢獻。他的發現

其實位於研究的前鋒，很多科學家都想要跟他學習，例如結晶學家會問：「物質裡原子和分

子的排列和無窮的複製，如何填滿任何的空間？」數學家則會問不同的問題：「哪些幾何圖

案在移動之後，仍保持原來的對稱關係？」結晶學家和數學家做的是幾何圖形的邏輯分析，

艾雪做的卻是「創造邏輯」，即創造圖案的可能性。科學家在尋找已知圖形的定律，而艾雪

總是在找新例子。結晶學家和數學家著迷於艾雪的版畫，因為他們從艾雪的版畫中，找到更

多以前沒有遇過的例子來做分析，他們像瘋子一樣參觀艾雪的展覽，購買他的作品回實驗室

做詳細分析，又請他去演講。艾雪覺得這些現象很有趣，他說：「對我來說，這些作品到底

是數學還是藝術，始終是個疑問。」

Circle Limit IV by M. C. Escher (1960)

這幅由黑蝙蝠和白天使交錯環繞而

成的極限圓盤，呈現「天圓地方」、

「陰陽交替」的宇宙意象。

作品中的錯覺謎題，引領觀看者穿

梭於真實與虛幻空間中，超越藝術

與數學的界線，融合了人文哲學的

概念。

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