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慣性重力波にも適用可能な 3次元波動活動度フラックス
宮原 三郎 (九大・理) 2010年11月30日
神戸大学
研究の動機 1980年代初頭 大気大循環における重力波の重要性の認識 Lindzen, 1981: Turbulence and stress owing to gravity wave and tidal breakdown, JGR, 86. Matsuno, 1982: A quasi one-dimensional model of the middle atmosphere circulation interacting with internal gravity waves, JMSJ, 60.
中間圏界面付近の弱風層および夏冬の温度逆転の成因
Andrews et al. 1987: Middle atmosphere Dynamics
Mechanistic models: 2次元モデル+重力波パラメタリゼーション
たとえば
Holton, 1982: The role of gravity wave induced drag and diffusion in the momentum budget of the mesosphere, JAS, 39. Miyahara, 1984: A numerical simulation of the zonal mean circulation of the middle atmosphere including effects of solar diurnal tidal waves and internal gravity waves; Solstice condition, Dynamics of the middle atmosphere.
重力波の重要性の確認(重大循環モデルによる力波パラメタルゼーション無し)
Miyahara et al., 1986: Interactions between gravity waves and planetary scale flow simulated by the GFDL “SKYHI” general circulation model, JAS, 43.
帯状平均場のみではなく,プラネタリースケールでの重力波の分布と役割を考察
時間平均場の中の重力波に伴う鉛直運動量fluxと東西風加速 Miyahara et al.(1986)
非地衡風擾乱に対する3次元的flux の理論が確立していないので
の分布を調べた。
この時点で,Plumb (1985), Plumb (1986)のQG-waveに関するflux理論は完成していた.
当時から,慣性重力波に対して適用可能なfluxを研究していたが,未完に終わった. €
u t , ′ u ′ w t , ∂ ′ u ′ w t
∂z
平均場が帯状平均東西風の場合 帯状平均 wave flux --> E-P Flux
エリアッセン・パームflux(E-P flux)は非発散となる エリアッセン・パームの定理
Eliassen and Palm (1960), Charney and Drazin (1961), Uryu (1973), Andrews and McIntyre (1976) etc.
€
∂∂y ′ u ′ v +
1N 2
∂u ∂z ′ v ′ r
+
∂∂z ′ u ′ w + ( f −
∂u ∂y
) ′ v ′ r N 2
= 0
€
Fy = − ′ u ′ v −1
N 2∂u ∂z ′ v ′ r , Fz = − ′ u ′ w − ( f −
∂u ∂y
) ′ v ′ r N 2
Transformed Eulerian-Mean (TEM)方程式
x方向の 運動量のy方向,z方向への輸送量(flux)を表現 大気中では,東向き帯状平均運動量の子午面内でのfluxを表現 波動の子午面内での伝播方向を示す 残差循環 物質輸送を近似的に表現
Andrews and McIntyre (1976)
€
∂u ∂t
+ v * ∂u ∂y
+ w * ∂u ∂z
− fv * =∂∂y
− ′ u ′ v − 1N 2
∂u ∂z
′ v ′ r
+∂∂z
− ′ u ′ w − f − ∂u ∂y
1N 2 ′ v ′ r
+ X ,
∂r ∂t
+ v * ∂r ∂y
− N 2w * = −∂∂z
′ r ′ w − ∂r ∂y
′ r ′ v N 2
+ J ,
€
Fy = − ′ u ′ v − 1N 2
∂u ∂z
′ v ′ r , Fz =− ′ u ′ w − ( f − ∂u ∂y
) ′ v ′ r N 2
Eliassen − Palm (E − P) Flux
€
Ec − u
のFlux を与える E-P Flux は
€
Eω − ku
Wave action
保存量形式
€
∂∂t
Eu − c
+
∂∂y
− ′ u ′ v −1
N 2∂u ∂z ′ v ′ r
+
∂∂z
− ′ u ′ w − ( f −∂u ∂y) ′ v ′ r
N 2
= D
準地衡風擾乱・波動の場合
準地衡風渦位擾乱
準地衡風渦位擾乱の南北方向輸送(flux)
€
F = − ′ u ′ v , − f0
N02 ′ v ′ r
€
′ q =∂ 2 ′ ψ ∂x 2 +
∂ 2 ′ ψ ∂y 2 +
∂∂z
f02
N02∂ ′ ψ ∂z
€
′ v ′ q =∂∂y
− ′ u ′ v ( ) +∂∂z
−f0
N02 ′ v ′ r
=∇⋅ F
波動の3次元的伝播 3次元的wave flux
準地衡風的波動の場合
Hoskins et al. (1983), Plumb(1985, 1986), Trenberth (1986), Takaya and Nakamura (2001) etc.
Planetary wave についての3次元的 wave flux wave activity flux の大きさと方向を与える 波動の3次元的伝播の解明
Plumb (1986)
€
u , v 時間平均場 下での波動
€
D ′ q Dt
+ ′ u ⋅ ∇Hq = 0
€
DDt
=∂∂t
+ u ∂∂x
+ v ∂∂y
準地衡風渦度保存則
€
dqdt
= 0
€
q = f +∂2ψ∂x 2
+∂2ψ∂y 2
+f 2
N 2∂2ψ∂z2
,
,
€
DeDt
+ ′ u ′ q ⋅ ∇Hq = 0
€
e =12′ q 2 is the eddy potential
enstrophy.
Slowly varying background field --> WKB Approximation
€
DMDt
+∇ ⋅MR = 0
€
MR = n ⋅ B, n =∇Hq ∇Hq
€
′ u ′ q = div
′ u ′ v ε − ′ u 2 f ′ u ′ θ dθ
dz
′ v 2 −ε − ′ u ′ v f ′ v ′ θ dθ
dz0 0 0
, ε =12
′ u 2 + ′ v 2 +α′ θ 2
dθ dz
€
B ≡
′ u ′ v ε − ′ u 2 f ′ u ′ θ dθ
dz
′ v 2 −ε − ′ u ′ v f ′ v ′ θ dθ
dz0 0 0
€
M = e∇Hq
€
α =RHexp −κz /H( )
€
DMDt
+∇ ⋅MR = 0
More useful form
€
∂M∂t
+∇ ⋅MT = 0, MT = MR + u M
€
MT = cgM
€
MTは wave activity
€
M = e∇Hq の fluxを与える.
これらの物理量は全て場が与えられていれば計算可能
Trenberth (1986): Time mean equation system under the lnp coordinate 簡単のために静力学平衡ブシネスク系で表現
€
u , v 時間平均場 下での波動の wave flux
€
DDt
=∂∂t
+ u ∂∂x
+ v ∂∂y
€
K = 12
′ u 2 + ′ v 2( )€
u * = u + 1f∂K ∂y
+∂∂z
′ u ′ r N 2
v * = v − 1f∂K ∂x
+∂∂z
′ v ′ r N 2
w * = w − ∂∂x
′ u ′ r N 2
−
∂∂y
′ v ′ r N 2
€
Du Dt
− fv * = −∂Φ ∂x
−∇ ⋅ Ex
Dv Dt
+ fu * = −∂Φ ∂y
−∇ ⋅ Ey
Dr Dt
− N 2w * ≅ 0
ここでテンソルE は
Plumb (1986) との関連などを準地衡風系について議論
Plumb (1985), Takaya and Nakamura (2001) 準地衡風系に適用可能な平均を必要としない3次元 wave flux を提案
€
E =
12
′ u 2 − ′ v 2( ) ′ u ′ v fN 2 ′ v ′ r
′ u ′ v 12
′ v 2 − ′ u 2( ) −f
N 2 ′ u ′ r
0 0 0
3次元ブシネスク系非地衡風的 • 内部重力波・潮汐波・赤道波などにも適用可能な wave activity flux について考える
€
u , v 時間平均場
下での波動の wave activity flux
右辺はレイノズルストレス項を変形
€
S ≡ 12
′ u 2 + ′ v 2 + ′ w 2 − ′ r 2
N 2
€
Du Dt
− fv = − ∂Φ ∂x
−∂ ′ u ′ u ∂x
−∂ ′ u ′ v ∂y
−∂ ′ u ′ w ∂z
= −∂Φ ∂x
−∂∂x12
′ u 2 + ′ v 2 + ′ w 2 − ′ r 2
N 2
−∂∂x12
′ u 2 − ′ v 2 − ′ w 2 +′ r 2
N 2
−
∂ ′ u ′ v ∂y
−∂ ′ u ′ w ∂z
Dv Dt
+ fu = − ∂Φ ∂y
−∂ ′ u ′ v ∂x
−∂ ′ v ′ v ∂y
−∂ ′ v ′ w ∂z
= −∂Φ ∂y
−∂∂y12
′ u 2 + ′ v 2 + ′ w 2 − ′ r 2
N 2
−∂ ′ u ′ v ∂x
−∂∂y12
′ v 2 − ′ u 2 − ′ w 2 +′ r 2
N 2
−
∂ ′ v ′ w ∂z
∂Φ ∂z
= −r
Dr Dt
− N 2w = − ∂ ′ r ′ u ∂x
−∂ ′ r ′ v ∂y
−∂ ′ r ′ w ∂z
€
DDt
=∂∂t
+ u ∂∂x
+ v ∂∂y
+ w ∂∂z
Plumb(1986) and Trenberth(1986) を参照して変形 €
Du Dt
− fv = − ∂Φ ∂x
−∂S ∂x
−∂∂x12
′ u 2 − ′ v 2 − ′ w 2 +′ r 2
N 2
−
∂ ′ u ′ v ∂y
−∂ ′ u ′ w ∂z
Dv Dt
+ fu = − ∂Φ ∂y
−∂S ∂y
−∂ ′ u ′ v ∂x
−∂∂y12
′ v 2 − ′ u 2 − ′ w 2 +′ r 2
N 2
−
∂ ′ v ′ w ∂z
∂Φ ∂z
= −r
Dr Dt
− N 2w = − ∂ ′ r ′ u ∂x
−∂ ′ r ′ v ∂y
−∂ ′ r ′ w ∂z
€
S ≡ 12
′ u 2 + ′ v 2 + ′ w 2 − ′ r 2
N 2
残差循環を参照して変形
Plumb(1986),Trenberth(1986) では
€
S に対応する項も残差循環に 繰り込んでいたが,ここでは とりあえず残している
€
u * = u + ∂∂z
′ u ′ r N 2
v * = v + ∂∂z
′ v ′ r N 2
w * = w − ∂∂x
′ u ′ r N 2
−
∂∂y
′ v ′ r N 2
€
Du Dt
− fv * = −∂Φ ∂x
−∂S ∂x
−∇ ⋅ Fx
Dv Dt
+ fu * = −∂Φ ∂y
−∂S ∂y
−∇ ⋅ Fy
Dr Dt
− N 2w * = −∂ ′ r ′ w ∂z
€
F ≡
12
′ u 2 − ′ v 2 − ′ w 2 +′ r 2
N 2
′ u ′ v ′ u ′ w +
fN 2 ′ v ′ r
′ u ′ v 12
′ v 2 − ′ u 2 − ′ w 2 +′ r 2
N 2
′ v ′ w − f
N 2 ′ u ′ r
0 0 0
€
F , S は何か意味ある物理量と関係しているのか?
Weak shear limit: 慣性重力波のWKB 的平面波解
€
ˆ ω =ω − ku − lv Intrinsic Frequency
WKB 的:ドップラーシフトのみ考慮した local plane wave 解
€
′ a x,y,z,t( ) = A X,Y,Z,T( )exp i kx + ly + mz −ωt( ){ }
€
X,Y,Z,T , slow variables
€
DDt
=∂∂t
+ u ∂∂x
+ v ∂∂y
+ w ∂∂z
= −iω + iku + ilv + imw ≡ −i ˆ ω
WKB的な摂動方程式 WKB的平面波解
分散公式
€
ˆ ω 2 =k 2 + l2( )N 2 + f 2m2
k 2 + l2 + m2
€
D ′ u Dt
− f ′ v = −∂ ′ φ ∂x
D ′ v Dt
+ f ′ u = −∂ ′ φ ∂y
D ′ w Dt
= −∂ ′ φ ∂z
− ′ r
D ′ r Dt
− N 2 ′ w = 0
∂ ′ u ∂x
+∂ ′ v ∂y
+∂ ′ w ∂z
= 0
€
−i ˆ ω U − fV = −ikΦ−i ˆ ω V + fU = −ilΦ−i ˆ ω W = −imΦ− R−i ˆ ω R − N 2W = 0ikU + ilV + imW = 0
€
U =k ˆ ω + ilfˆ ω 2 − f 2 Φ , V =
l ˆ ω − ikfˆ ω 2 − f 2 Φ
W =m ˆ ω
ˆ ω 2 − N 2 Φ , R =imN 2
ˆ ω 2 − N 2 Φ
Intrinsic Group velocity
Wave energy
Intrinsic phase velocity
€
ˆ c x =ˆ ω k
ˆ c y =ˆ ω l
ˆ c z =ˆ ω m
€
ˆ c gx =∂ ˆ ω ∂k
=kˆ ω
N 2 − ˆ ω 2
k 2 + l2 + m2
ˆ c gy =∂ ˆ ω ∂l
=lˆ ω
N 2 − ˆ ω 2
k 2 + l2 + m2
ˆ c gz =∂ ˆ ω ∂m
=mˆ ω
f 2 − ˆ ω 2
k 2 + l2 + m2
€
E =12
′ u 2 + ′ v 2 + ′ w 2 +′ r 2
N 2
=
12
k 2 + l2( ) f 2 − N 2( ) ˆ ω 2
ˆ ω 2 − f 2( )2 ˆ ω 2 − N 2( )Φ
2
Zonal および meridional 擬運動量の平均流に相対的な輸送 flux を与える.
€
F ≡
12
′ u 2 − ′ v 2 − ′ w 2 +′ r 2
N 2
′ u ′ v ′ u ′ w +
fN 2 ′ v ′ r
′ u ′ v 12
′ v 2 − ′ u 2 − ′ w 2 +′ r 2
N 2
′ v ′ w − f
N 2 ′ u ′ r
0 0 0
€
=
ˆ c gxEˆ c x
ˆ c gyEˆ c x
ˆ c gzEˆ c x
ˆ c gxEˆ c y
ˆ c gyEˆ c y
ˆ c gzEˆ c y
0 0 0
=
cgx − u ( )k cgy − v ( )k cgzkcgx − u ( )l cgy − v ( )l cgzl
0 0 0
⋅
Eˆ ω
€
β − effect
連続の式を満たさない
€
Du Dt
− fv * = −∂Φ ∂x
−∂S ∂x
−∇ ⋅ Fx
Dv Dt
+ fu * = −∂Φ ∂y
−∂S ∂y
−∇ ⋅ Fy
Dr Dt
− N 2w * = −∂ ′ r ′ w ∂z
€
u * = u + ∂∂z
′ u ′ r N 2
v * = v + ∂∂z
′ v ′ r N 2
w * = w − ∂∂x
′ u ′ r N 2
−
∂∂y
′ v ′ r N 2
€
∂S ∂x
, ∂S ∂y
S = 12
′ u 2 + ′ v 2 + ′ w 2 −′ r 2
N 2
の物理的意味
€
u * = u + ∂∂z
′ u ′ r N 2
+
1f∂S ∂y
v * = v + ∂∂z
′ v ′ r N 2
−1f∂S ∂x
w * = w − ∂∂x
′ u ′ r N 2
−
∂∂y
′ v ′ r N 2
€
S = 12
k 2 + l2( ) f 2
ˆ ω 2 − f 2( )2 Φ2
流体粒子の変位と速度の関係 変位ベクトル:
€
′ ξ , ′ η , ′ ς ( )
連続の式より
€
∂ ′ ξ ∂x
+∂ ′ η ∂y
+∂ ′ ς ∂z
= 0
ストークスドリフト
€
uS = ′ ξ ∂ ′ u ∂x
+ ′ η ∂ ′ u ∂y
+ ′ ς ∂ ′ u ∂z
=∂ ′ ξ ′ u ∂x
+∂ ′ η ′ u ∂y
+∂ ′ ς ′ u ∂z
vS =∂ ′ ξ ′ v ∂x
+∂ ′ η ′ v ∂y
+∂ ′ ς ′ v ∂z
wS =∂ ′ ξ ′ w ∂x
+∂ ′ η ′ w ∂y
+∂ ′ ς ′ w ∂z
€
′ ξ ≅iˆ ω ′ u
′ η ≅iˆ ω ′ v
′ ς =iˆ ω
′ w
€
D ′ ξ Dt
=∂ ′ ξ ∂t
+ u ∂ ′ ξ ∂x
+ v ∂ ′ ξ ∂y
= uL = ′ u + ′ ξ ∂u ∂x
+ ′ η ∂u ∂y
+ ′ ς ∂u ∂z
≈ ′ u
D ′ η Dt
= vL = ′ v + ′ ξ ∂v ∂x
+ ′ η ∂v ∂y
+ ′ ς ∂v ∂z
≈ ′ v
D ′ ς Dt
= wL = ′ w
残差循環: ストークスドリフト補正 物質輸送を近似的に表現
€
uS ≈∂ ′ ξ ′ u ∂x
+∂ ′ η ′ u ∂y
+∂ ′ ς ′ u ∂z
=12
f k 2 + l2( )ˆ ω 2 − f 2( )2
∂Φ2
∂y+
12
mlfˆ ω 2 − N 2( ) ˆ ω 2 − f 2( )
∂Φ2
∂z
€
u * = u + 1f∂S ∂y
+∂∂z
′ u ′ r N 2
€
1f∂S ∂y
+∂∂z
′ u ′ r N 2
≈
12
f k 2 + l2( )ˆ ω 2 − f 2( )2
∂Φ2
∂y+
12
mlfˆ ω 2 − N 2( ) ˆ ω 2 − f 2( )
∂Φ2
∂z
€
u * = u + 1f∂S ∂y
+∂∂z
′ u ′ r N 2
≈ u + uS
v * = v − 1f∂S ∂x
+∂∂z
′ v ′ r N 2
≈ v + vS
w * = w − ∂∂x
′ u ′ r N 2
−
∂∂y
′ v ′ r N 2
≈ w + wS
Hydrostaticの場合
€
F ≡
12
′ u 2 − ′ v 2 +′ r 2
N 2
′ u ′ v ′ u ′ w +
fN 2 ′ v ′ r
′ u ′ v 12
′ v 2 − ′ u 2 +′ r 2
N 2
′ v ′ w − f
N 2 ′ u ′ r
0 0 0
€
=
ˆ c gxEˆ c x
ˆ c gyEˆ c x
ˆ c gzEˆ c x
ˆ c gxEˆ c y
ˆ c gyEˆ c y
ˆ c gzEˆ c y
0 0 0
=
cgx − u ( )k cgy − v ( )k cgzkcgx − u ( )l cgy − v ( )l cgzl
0 0 0
⋅
Eˆ ω
球面座標系の場合
€
ln p
€
α =RHexp −κz /H( )
€
F ≡
12
′ u 2 − ′ v 2 +α′ θ 2
∂θ ∂z
′ u ′ v ′ u ′ w − 2Ωsinϕ∂θ
∂z′ v ′ θ
′ u ′ v 12
′ v 2 − ′ u 2 +α′ θ 2
∂θ ∂z
′ v ′ w +2Ωsinϕ∂θ
∂z′ u ′ θ
0 0 0
pacosϕ
€
=
ˆ c gλEˆ c λ
ˆ c gϕEˆ c λ
ˆ c gzEˆ c λ
ˆ c gλEˆ c ϕ
ˆ c gϕEˆ c ϕ
ˆ c gzEˆ c ϕ
0 0 0
pacosϕ
€
∇ ⋅ ( ) =1
acosϕ∂( )∂λ
+1
acosϕ∂∂ϕ
cosϕ( ) +1p∂ p( )∂z
€
∂u ∂t
+u
acosϕ∂u ∂λ
+v
acosϕ∂∂ϕ
u cosϕ( ) + w ∂u ∂z
− 2Ωsinϕv* = −1
acosϕ∂φ ∂λ
− pacosϕ( )−1∇ ⋅ Fλ
∂v ∂t
+u
acosϕ∂v ∂λ
+v a∂v ∂ϕ
+ w ∂u ∂z
+u 2
atanϕ + 2Ωsinϕu* = −
1a∂φ ∂ϕ
− pacosϕ( )−1∇ ⋅ Fϕ
∂θ ∂t
+u
acosϕ∂θ ∂λ
+v a∂θ ∂ϕ
+ w* ∂θ ∂z
= G
€
u* = u + 12Ωsinϕ
∂∂ϕ12
′ u 2 + ′ v 2( ) − 1cos2ϕ
∂∂ϕ12α
′ θ 2 cosϕ∂θ
∂z
−1p∂∂z
p ′ u ′ θ ∂θ
∂z
v* = v − 12Ωsinϕ
1acos2ϕ
∂∂λ
12
′ u 2 + ′ v 2 −α ′ θ 2
∂θ ∂z
cosϕ
−1p∂∂z
p ′ v ′ θ ∂θ
∂z
w* = w + 1acosϕ
∂∂λ
′ u ′ θ ∂θ
∂z
+1
acosϕ∂∂ϕ
p ′ v ′ θ ∂θ
∂zcosϕ
WKB近似
€
∇ ⋅ ( ) ≅ 1acosϕ
∂( )∂λ
+1a∂∂ϕ
( ) +1p∂ p( )∂z
コリオリ力の緯度変化無視 Local inertio-gravity wave
Zonal および meridional 擬運動量 の平均流に相対的な輸送 flux を与える.
残差循環 ストークスの補正を含む 物質輸送を近似的に表現
この定式化の問題点は? TEM 方程式系:移流項まで含めて残差流にする.
€
∂u∂t
+ v* ∂u∂y
+ w* ∂u∂z
− f v* = −∂∂y
′ u ′ v +1
N 2∂u∂z
′ v ′ q
−
∂∂z
′ u ′ w + f − ∂u∂y
1
N 2 ′ v ′ q
+ X
時間平均の場合でも可能である.
残差流が連続の式を満足しない.
Kinoshita et al., 2010: On the three-dimensional residual mean circulation and wave-activity flux of the primitive equations. JMSJ, 88.
時間平均流ではなく地球に固定した座標系に対して相対的な fluxを求める方法?
€
F =
ˆ c gxEˆ c x
ˆ c gyEˆ c x
ˆ c gzEˆ c x
ˆ c gxEˆ c y
ˆ c gyEˆ c y
ˆ c gzEˆ c y
0 0 0
=
cgx − u ( )k cgy − v ( )k cgzk
cgx − u ( )l cgy − v ( )l cgzl0 0 0
⋅Eˆ ω
€
DMDt
+∇ ⋅MR = 0
More useful form
€
∂M∂t
+∇ ⋅MT = 0, MT = MR + u M
€
MT = cgM
€
MTは wave activity
€
M = e∇Hq の fluxを与える.
これらの物理量は全て場が与えられていれば計算可能
3次元TEM方程式の右辺の加速項に対応するのは,MR
Plumb (1986) の場合
€
M =12
′ q 2
∇Hq
€
MR ≅1u
u ′ v 2 − E ( ) − v ′ u ′ v
v ′ u 2 − E ( ) − u ′ u ′ v f0
2
N02 v ′ u ′ r − u ′ v ′ r ( )
€
MR = MT − u M = cg − u ( )M = ˆ c gM
Takaya and Nakamura (2001)
3次元TEM方程式の右辺の加速項に対応するのは,WR
€
∂ ˜ A ∂t
+∇⋅W = D ,
˜ A ≡ 12
M + ˜ E ( ) =12
12
′ q 2
∇HQ + eU −CP
, CU = CP
UU
, CPVU
W ≡WR +CU˜ A ,
W =Cg˜ A .
€
WR =12U
U ′ ψ x2 − ′ ψ ′ ψ xx( ) +V ′ ψ x ′ ψ y − ′ ψ ′ ψ xy( )
U ′ ψ x ′ ψ y − ′ ψ ′ ψ xy( ) +V ′ ψ y2 − ′ ψ ′ ψ yy( )
f02
N02 U ′ ψ x ′ ψ z − ′ ψ ′ ψ xz( ) +V ′ ψ y ′ ψ − ′ ψ ′ ψ yz( )[ ]
€
WR =W −CU˜ A = Cg −CU( ) ˜ A
3D fluxの適用例
Gravity waves
Kawatani et al., 2010, JAS, 67, 981-997.
Kelvin waves
Kawatani et al., 2010, JAS, 67, 981-997.