분석방법 정리 - wess.hannam.ac.krwess.hannam.ac.kr/Lecturenotes/ETS/ARMA.pdfTrend와 w PROC FOR METHOD= 모형 인식 PROC ARIM 시계열 자료 후 적절한 But 계절성 PROC

ProfessoCopyrigh

시계열

(1)설명

분석의

(3)독립

분석보

ARMA

분석방

목적

예측

계절

조정

or Kwon, Seht @ http://wo

열 데이터는

명변수 설정

의 주요 목적

립성 가정을

보다는 과거

A 모형 방법

방법 정리

기법

지수평활

Smooth

ARIMA

분해법

Decomp

ion

ehyug | Depolfpack.hnu.a

(Trend +

이 용이하지

적) 설명변수

을 만족하지

치의 평균을

법이 선호된

법 특

활법

hing 과거

이용

모형

posit

계절

동

조정

t. of Statistiac.kr 2011

Cycle + S

지 못하거나

수에 대한 예

못해 이 문

을 이용하는

다.

특징

거치

용

Sim

Exp

Dou

Exp

Trip

WIN

형화 ARI

절변

정

Mo

Ave

ics, HANNA

easonality

나 (2) }{ tY 에

예측치( tX )

문제를 해결

는 지수 평활

방법

mple

p.

uble

p.

ple Exp.

NSTERS

IMA

ving

erage

AM Universit

y + Irregula

에 대한 예측

가 있어야

결하는 어려

활법이나 과

TREND: 1=

3=이차

WEIGHT: 0

PROC FOR

계절성을 갖

Trend 와 w

PROC FOR

METHOD=

모형 인식

PROC ARIM

시계열 자료

후 적절한

But 계절성

PROC X11

QUARTERL

계절성 문제

Time Ser

y

ar) 성분이

측을 위하여

하는 문제

려움이 있어

과거치를 설

Comme

=변동 없음

0.05~0.3

RECAST ME

갖는 자료

w 옵션은 위

RECAST

=WINSTERS

예측

MA P= Q=

료에서 계절

예측 방법

성을 고려한

; MONTHL

LY)

제

ries Analysis

있으므로

여(시계열 데

가 있고

회귀모형에

설명변수로

ent

음 2=직선

ETHOD=EX

위와 동일

S

=

절성을 제거

법을 사용.

한 예측방법

LY (or

| ARMA

| 1

데이터

에 의한

한

XPO

거한

있음

ProfessoCopyrigh

ARMA

ARIMA

Averag

변수인

ARIMA

있다.

AR Au

ARIM

용어와

AR 모

○과거

,1t YY −


A 개요

A 모형에 대

ge) 모형은

인 AR 과 과

A 모형에 대

utoRegre

MA 모형에 대

기호

형은 아래

거의 패턴이

,...,2 ptt YY −− 에


대해 살펴보

시계열 데

거의 오차항

대한 분석 방

essive 모형

대한 개념 파

가설에 의

이 지속된다

에 의해 예


보려고 한다

데이터 }{ tY 의

항( ,, 21 −− tt ee

방법은 SAS

형

파악을 위하여

해 제안되었

다면 시계열

측할 수 있

ics, HANNA

다. ARIMA(A

의 과거치(p

,... )들이 설

S/ETS(Econ

여 가장 간단

었다.

열 데이터 관

있을 것이다

AM Universit

Auto-Regres

previous o

명변수인 M

nometrics a

단한 AR(1)

관측치 tY 는

다.

Time Ser

y

ssive Integ

bservation)

MA 모형의

and Time se

모형을 먼저

는 과거 관측

ries Analysis

rated Mov

)들이 설명

합성어이다

eries)에 포

저 살펴 보자

측치

| ARMA

| 2

ving-

다.

포함되어

자.

ProfessoCopyrigh

○어느

영향

않을까

AR(1)

만약 시

따르면

정규분

이유는

해당된

만약 {

가장 많

AR( p )

AR(1)

즉 AR

모형으

MA(∞)

}{ tY 분산

공분산

분산, 공

PACF,

MA(∞)

데이터

공분산


느 정도의

력을 줄어들

까?

모형: tY − μ

시계열 데이

면(iid) 이 데

분포를 따른

는 평균을 0

된다. }{ tY 를 0μ 가

많이 사용된

모형: tY =

모형을 이를

tY

(1) 모형이

으로 쓸 수

) 모형: =tY

산과 공분산

산 co)( j =γ

공분산 개념

IACF 에 이

)로 쓸 수

터 }{ tY 의 분

산 cov()( jγ =


멀리 있는

들 것이다.

tY −= −( 1 μρμ

이터가 서로

데이는 white

다면 이를

으로 하기

가 되게 shi

된다. 이를

t YY += − αα 211

를 다시 쓰

μ ++= tt eeY ρ

더라도 과거

있다.

++= te βμ

산 ),ov( jtt YY − ,

념은 시계열

이용된다. (다

있음을 알았

분산과 공분

),( jtt YY ρ=−


과거 관측

이런 상황을

te+)μ , ~et

로 독립이고

e noise(백색

Guassian w

위함이다.

ift 하면 AR

일반화 하면

pt YY ++− α...2

쓰면 다음과

22

1 + −− tt ee ρ

거의 흔적을

−− + 22

1 tt ee ββ

분산 (0) =γ

열 데이터에

다음 절에서

았다, 이 사

산을 구하면

)( tj YVar , 분

ics, HANNA

측치까지 이

을 고려할

),0( 2σNiid

유한인 평

색 잡음)이라

white noise

. μ 는 시계

R(1) 모형은

면 AR( p ) 모

tpt eY +− , et

같다.

...33 ++ −teρ

을 모두 모함

− ++ 33

2 teβ

)(YtVar=

에 적절한 A

서 상세히 논

사실을 이용

면 다음과

분산 V(0)γ =

AM Universit

용할 것인가

수 있는 가

평균과 분산

라 한다. 만

e 라 한다.

계열 데이터

은 tt YY += −1ρ

모형은 다음

,0( ~ σNiidt

. t1

1-t ++ e ρρ

함하고 있다

∑∞

=

+=0

...j

μ

AR, MA 모형

논한다.) 앞에

용하면 AR(1

같다. 2

1Var

ρ

σ

−=)(Yt

Time Ser

y

가? 그리고

가중치를 사

을 갖는 동

만약 평균이

}{ tY 대신

의 총 평균

te+ 이고 개

음과 같다.

)2

μ)(t −oY ---(

다. AR( p )도

− jtjeβ ---(

형을 찾는

에서 우리는

) 모형을 따

2

2

ρ --- (3

ries Analysis

멀어질수록

사용해야 하

동일 분포를

0, 분산이

}{ μ−tY 를

균(grand me

개념 설명을

(1)

도 MA(∞)

(2)

함수인 AC

는 AR(1)을

따르는 시계

3)

| ARMA

| 3

록

하지

를

2σ 인

사용한

ean)에

위하여

CF,

계열

ProfessoCopyrigh

그러므

예측(Fo

AR(1)의

(μ

예

- (n+

- (n+

- (n+

- (n+

- (n+

Backsh

)( =tYB

tY =− μ

①AR(1

②( −tYV

③AR(1

④AR(1

AR(1)

아이스

29 주

PLOT 을


므로 2σ 의 추

orecasting

의 경우 ρ 을

n+1) 시점 100=μ 이고

예측 오차(f

+2) 시점 예

+2) 시점 예

+L) 시점 예

+L) 시점 예

+L) 시점 예

hift Notatio

1−= tY , 2 ( tYB

tYB −= μρ )((

1) 모형이 식

2

2

11

)ρ

σ

−=−

일

1) 모형은 M

1) 모형이 M

맛보기

스크림 데이

자료)의 아

을 살펴보자


추정치는 σ

)

을 추정하면

예측치: ˆnY

3/2=ρ 로

forecasting

예측치 2+nY)

예측 오차 Y

예측치 =+LnY)

예측 오차 e

예측 오차 분

on

2) −= tt Y , …,

t Be −⇒+ 1()

식(1)과 같이

일 때 )( tYV

MA(∞)( β =

MA(∞)임을

터( ICECR

아이스크림 소

자. 경향(tre


1)(0(ˆ 2 γσ −=

면 ,{ 21 −− tt YY

(ˆˆ1 ρμ +=+n YY

추정되었다

error) +nY

(ˆˆ 2ρμ += nY

22 ++ =− nn YY)

(ˆˆ ρμ −+= nL Y

++ −= LnLn Ye

분산: 1(2 +σ

ttp YYB −=)(

tYB += ρμμ)

이 됨을 보

2

2

1)

ρ

σ

−= 임

ρ , 식(2))임

이용하여

REAM.txt, 아

소비량에 대

end)는 없어

ics, HANNA

)ˆ 2ρ 이다.

,...}2 예측치)μ−nY ( 1+teQ

다면 1 =+nY)

11 +++ =− nn eY)

)μ−

12 ˆ ++ + nn ee ρ

)μ−

++ += LnLn eY)

...42 +++ ρρ

p−

te+μ 만약

보이시오.

을 보이시오

임을 보이시

공분산, 분

아이스크림

대해 AR(1)모

어 보이나 계

AM Universit

치를 다음과

1의 평균은(3/2100 + nY

1+

1 ...ˆ − +++ Leρ

). )1(2 −+ Lρ

0=μ 이면

오.

오.

분산 식을 증

소비량, 가

모형을 적합

계절성이 존

Time Ser

y

과 같이 구할

은 0 이기 때)100−

11ˆ +−

nL eρ

AR −⇒ 1()1(

증명하시오.

가격, 소득,

합시켜 보자

존재한다.

ries Analysis

할 수 있다

때문이다) 즉

tt eYB =− )

.

, 기온에 대

자. 우선 TIM

| ARMA

| 4

즉,

대한

ME

ProfessoCopyrigh

지수 평

모형 Y

INENT

데이터

ESTIMA

상수 없

옵션은

다른 출

시계열

noise 가

의미는

존재하

불가능

AR(1)의


평활법(계절

tt YY =− −(ρμ

TIFY 문은 모

터 값을 평균

ATE 옵션은

없이 추정하

은 예측치를

출력 결과들

열 데이터가

가 아니다.

는 데이터가

하지 않는다

능하게 된다

의 1−tY 의 회


절성 존재)에

te+−− )1 μ 을

모형 판단을

균 이동시키

은 모형 추정

하라는 것이

추정하라는

들은 다음에

white noi

그러므로

랜덤 하다

는 것이다.

.

회귀계수 추


에 의해 향후

을 이용하여

을 위한 AC

키라는 것이

정을 하라는

이다. tY =− μ

는 것이며

에 설명하기

se 인가를

ARMA 모형

다는 의미이

그러므로

추정치 0ˆ =ρ

ics, HANNA

후 6 주간 아

6 주간 아

F, PACF, IA

다. AR 모형

는 것이고 P

tYB −= )(( μρ

LEAD=5 는

로 하고 주

검정하는 것

형을 적합시

므로, 즉 데

원 데이터

925.0 이고 매

AM Universit

아이스크림

이스크림 소

ACF 를 출력

형에서는 가

P=1 은 AR(

te+)μ 이고 ρ

는 향후 5 개

주요한 몇 가

것이다. 아이

시킬 수 있을

데이터에 일

가 white n

매우 유의하

Time Ser

y

소비량을

소비량을 예

력하게 한다

가능하면 해

(1)으로 NO

ρ 를 추정한

개를 예측하

가지만 언급

이스크림 데

을 것이다.

일정한 형태

noise 이면

하다(유의확

ries Analysis

예측해 보

예측해 보자

다. CENTER

해 주는 것이

OCONSTAN

한다. FOREC

하라는 것이다

급하겠다. 원

데이터는 w

White nois

(패턴)가

모형 설정이

확률=<0.000

| ARMA

| 5

자.

자.

옵션은

이 좋다.

NT 는

CAST

다.

원

white

se 의

이

01).

ProfessoCopyrigh

다음은

대한 w

13 번마

35.0ˆ =μ

0ˆ1 −+nY

0ˆ2 −+nY

Proce

①white

평균이

}{ tY 을

하면 이

만약 Y

}{ tY 는


은 원 데이터

white noise

마다 계절성

59 이다. 그

(925.0359.0 =

925.0359.0 =

ss 정의

e noise pr

이 0 이고 분

백색 잡음

이 시계열

μ=0Y 라 하

동일한 분


터를 AR(1)

e 검정이다.

성이 있었다

러므로 −tY

)359.0( −nY ,

35.0( 12 −+nY

rocess

분산이 2σ 인

음(white noi

데이터의 모

하면 t YY += 0

분포를 가지


모형에 의해

. 완전한 w

다. 이 문제

92.0359.0 =−

예측오차

)59 , 예측오

인 동일분포

se) process

모형은 tY =

ee ++++ ...21

며 서로 독

ics, HANNA

해 추정하고

white noise

때문에 18

35.0(25 1 −−tY

표준편차는

차 표준편차

포로부터 독

s 라 한다.

te+= μ 라 쓸

te+ 가 되며

독립이라는

AM Universit

고 남은 오

는 아니다.

, 24 번째 독

)9 .

는 0.0409(

차는 ( 00.0

립적으로(ii

백색 잡음

쓸 수 있다.

}{ tY 을 ra

가정이다.

Time Ser

y

차(잔차는

. TIME PLO

독립성이 무

001.0ˆ 2 =σ

92.01(01676 +

d) 얻어진

데이터의

ndom walk

ries Analysis

오차의 추정

OT 아이스크

무너진다.

1676 )이다.

0558.0)252 =

시계열 데

평균 수준

k process 라

| ARMA

| 6

정치)에

크림이

8 )이다.

이터

을 μ 라

라 한다.

ProfessoCopyrigh

②statio

,( 1t yyF

proces

분포를

station

(1)평

(2)분

(3)두

YCOV t(

정상적

모형이

ARMA

①AR(p

시계열

설명될

②MA(q

시계열

설명될

③ARM

시계열

오차 e

and M


onary proc

),...,2 tt nyy =

ss(강한 정상

를 가진다는

nary proces

균이 일정하

산이 존재하

시점 사이

COYY jtt =− ),

적 확률 모형

이다.

A 모형

p) 모형

열 데이터 {Y

될 때 AR(p)

q) 모형

열 데이터 {Y

될 때 MA(q)

MA(p, q) 모

열 데이터 {Y

tt eee −− ,...,, 21

Moving Ave

tY =


cess

,( 21 tkt yyF ++

상성)이라 한

것을 의미

ss(약한 정상

하다. )( tYE

하며 일정하

이의 자기 공

YYV jss =− ),(

형(시계열 데

}tY 에서 시

(차수가 p~ ARYt

}tY 에서 시

) (차수가 q~ MYt

모형

}tY 에서 시

qte − 들에 의

rage) 모형

tY −+ −11 ααμ


),..., ktk ny ++ 이

한다. 일정한

미한다. 다음

상성)라 정의μ=

하다. =)( tYV

공분산(auto

sforjj ≠= ),(γ

데이터 }{ tY

점 t 의 관측

인 Auto-R)( pR ▶ t uY =

점 t 의 관측

q 인 Movin)(qMA ▶ tY =

점 t 의 관측

해 설명될

을 따른다고

tY −−−22 α...α

ics, HANNA

이면 시계열

한 기간의

음 조건을 만

의한다.

∞<= )0(γ

o-correlatio

s

는 확률 변

측치 tY 가

Regressive,

tYu ++ − 211 αα

측치 tY 가

ng-Average

tt ee − −−= 11β

측치 tY 가

때 ARMA

고 한다.

tpt eY −+−pα

AM Universit

열 데이터{Y

종속변수 결

만족하는 시

on)은 시간의

변수)의 대표

과거 관측

자기회귀)

tY ++− p22 α...

과거 오차

e 이동평균)

te − −−− 22 ...β

과거 관측

(p, p) (차수

tt ee − −− 211 ββ

Time Ser

y

}tY 를 stron

결합밀도함

시계열 데이

의 차이에

표적인 것이

치 tt YY −− , 21

모형을 따

tpt eY +−p

tt ee −− ,..., 21

) 모형을 따

qte −qβ

치 tt YY −− , 21

수가 p, q 인

te−+ −− q2 β...

ries Analysis

ngly station

함수는 동일한

터 }{ tY 는

의존한다.

이 AR, MA,

ptY −,...,2 들에

따른다고 한

qte −., 들에 의

따른다고 한

ptY −,...,2 들과

Auto-Reg

tq e+−

| ARMA

| 7

nary

한

weakly

ARMA

에 의해

다.

의해

한다.

과 과거

gressive

ProfessoCopyrigh

Statio

MA(∞)

AR 모

만족하

모형은

▪ }{ tY 는

▪ }{ tY 에

▪그러므

AR(1)

8.01− M

MA(∞)

AR(2)

Inverti

tt eY −=

방정식

Inverti

▪ }{ tY

▪ }{ tY

MA(1)

8.01− M

같이 A

tY = 8.0

9 로 하


onarity an

) 모형은 언

형 t uY += 1α

하는 근들의

은 MA(∞) 모

는 ,, 1 −− ttt eee

에 대한 ,t ee

므로 1+tY 에

tt YY += −18.0

0=M =⇒ M

)로 쓸 수

tt YY = −17.0

bility

t ee − −− 211 ββ

식을 만족하

bility 하다.

를 AR(∞)로

에 대한 tY

8.0+= tt eY

0=M ⇒ M

AR(∞)로 쓸

tt eY +−18 시

하시오.


nd Invert

언제나 정상

tt YY + −− 2211 α

절대값이

모형으로 변

,...2− 으로 표

,..., 21 −− tt ee 들

대한 예측

te+ 이 정상

25.1 이므로

있다. =t eY

tt eY +− −21.0

t ee − −− q2 β...

는 근들의

이 말은 A

로 표현할 수,..., 21 −− tt Y 들

18 −te 이 Inve

25.1= 이므로

쓸 수 있다.

계열 자료


ibility

상적(station

ptY++ −p2 α...

모두 1 보다

변환할 수 있

표현할 수 있

들의 영향은

측치를 구할

상적인가?

로 정상적이08.0 1 ++ −tt ee

t 모형이 정

qte − MA(q)

절대값이

AR(∞)모형으

수 있으며,

들의 영향은

ertibility 인

로 Invertib

8.0−= tt eY

100 개를

ics, HANNA

ary)이다. w

tp e+ 은 1−

다 클 경우

있음을 의미

있으며,

은 시점이 멀

할 경우 0 =e

다. 그러므로8.08.0 2

2 +−te

정상적인가?

모형에서

모두 1 보다

으로 변환할

즉 ,1 −− tt YY

시점이 멀

가?

bility 이다.

8.08 21 + −− tt YY

생성하자.

AM Universit

why?

αα 221 − MM

우 stationary

미한다. 정상

멀어질수록

0= 으로 사용

로 t YY = 8.0

...8 33 +−te

ββ1 21 −− M

다 클 경우

할 수 있다는,...2− 들로 표

멀어질수록

그러므로 Y

8.0 33

2 − −− tY

00 =Y 으로

Time Ser

y

α... p2 −− pM

y 하다. 정상

상적인 proc

줄어든다.

용해도 무방

tt eY +−1 은 다

β... q2 −− MM

MA 모형은

는 것이다.

표현되며

줄어든다.

8.0+= ttt eeY

...+

하고 오차

ries Analysis

0=p 의 방정

상적인 AR(

cess 인 경우

방하다.

다음과 같이

0=qM 의

은

1−t 은 다음과

차의 분산은

| ARMA

| 8

정식을

p)

우

이

과

ProfessoCopyrigh

상관함

시계열

사용된

Auto C

자기상

)( j =ρ

MA(1)

)0( =γ

그러므


함수

열 자료 }{ tY

된다.

Correlation

상관함수(A

)0()(

VA

Covj==

γγ

경우: =tY

1()( +== tYV

므로 이를


의 상관 함

n Function

ACF)는 다음

)(

),(

t

jtt

YVAR

YYv − 그

11β −−= tt ee 22

1 σ)β , )1(γ

요약하면


▶

함수는 acf,

(ACF)

음과 같이 정

그러므로 ρ

,(= tt YYCOV

MA(q) 모형

ics, HANNA

pacf, iacf 가

정의한다.

1)0( =ρ , )( jρ

211 σβ) −=−tY ,

형의 경우

AM Universit

가 있는데

)() j−= ρ

, 그러나 γ

qj > 이면 A

Time Ser

y

이는 ARMA

)3()2( == γγγ

ACF )( =jρ

ries Analysis

A 모형 진

0...)4( ==γ

0 (drop off

| ARMA

| 9

단에

f)이다.

ProfessoCopyrigh

AR(1)

정상적

μ=tY

)0( =γ

)( =jγ

이를 정

이를 일

ARMA

AR(p)

있으므

Partial

LAG 1

회귀모

종속변

LAG 3

다중회

▪AR(p

▪MA(

▪ARM

Inverse

역상관

ARM

그러므

같다.

인식


경우: tY =

적인(statio

αμ 11++ −tt ee

/σ)( 2== tYV

,(= −tt YYCOV

정리하면 ρ

일반화 하면

A(p, q) 경우

모형처럼

므로 꼬리 부

Auto Corr

인 부분상

모형에서 −tY

변수, ,1 −− tt YY

인 부분상

회귀모형에서

p) 모형의

(q) 모형의

MA(p, q) 모

e Auto Cor

관함수(IAC

A(p, q) 모형

므로 AR(p)

. IACF 는 D

방법을 살


tt eY +−11α

nary) AR 모

αα 22

1 ++ −te

)α1/( 21− 가정

1/(σα) 2ji=− j

j1α(j) =ρ 이므

면 AR(p) 모

우 tt YY −− 11α

지수적으로

부분이 갑자

relation Fu

관함수(PAC

1− 의 회귀계,2− 을 설명

관함수(PAC

서 3−tY 의 회

경우 PACF

PACF 는 I

모형의 PAC

rrelation F

F) 다음과

형의 IACF

)의 IACF 는

Drop off 와

살펴 보면 이


모형은 MA

...α 33

1 ++−te

정: 1|| 1 <α ,

)α1 21−

므로 ACF 는

모형의 경우

tY − −− 22 ...α

로 감소한다

자기 줄어들

unction (PA

CF)는 tY 를

계수를 의미

변수로 한

CF)는 tY 를

회귀계수를

F 는 LAG p

nvertibility

F 도 지수적

Function (IA

같이 정의한

는 ARMA(q

는 MA(p)의

Tail off 판

이해가 편하

ics, HANNA

(∞)로 바꾸

(αα t11

1-t1 +e

즉 정상성

지수적으로

ACF 는 지

pt eY − =− pα

. 그러나 M

게 된다. 이

ACF)

종속변수,

미한다. LAG

다중회귀모

종속변수,

의미한다.

이후에는

y 조건 하에

적으로 감소

ACF)

한다.

q, p)의 AC

ACF 와 같

판단이 어려

하다.

AM Universit

꾸어 쓸 수

μ)( −oY 이다

성(stationary

로 감소한다

지수적으로

tt ee − −− 11 ββ

MA(q) 모형

이를 expon

1−tY 을 설

2 인 부분상

모형에서 tY

21 ,, −− tt YYY

0 이다.

에서 지수적

소한다.

CF 이다.

같고 MA(q)의

운 경우 사

Time Ser

y

있다. AR(1

.

y) 가정이 필

다.(exponen

감소한다.

te − −+ q22 β...

의 drop of

entially tai

명변수로 한

상관함수(PA

2−t 의 회귀계

3−tY 설명변

으로 감소한

의 IACF 는

사용한다. 3.

ries Analysis

)인 경우

필요

ntially deca

qte −q

ff 효과가

l off 라 한

한 단순

ACF)는 tY

계수를 의미

변수로 한

한다.

AR(q)의 A

.3.4 절의 모

| ARMA

| 10

ay)

다.

를

미한다.

ACF 와

모형

ProfessoCopyrigh

ARMA

SAS 이

① tY =

② tY =

③ tY =

④ tY =

⑤ =tY

⑥ =tY

⑦ tY =

⑧ =tY

모형③

얻으시

0 으로


A 모형 인

ACF

PACF

IACF*) T: Tail off

이용하여

모형

tt eY +−18.0

tt eY +− −18.0

t YY +−1 4.03.0

tY −−1 49.07.0

18.0 −+ tt ee

13.0 − −− tt ee

te

16.0 − ++ tt eY

③ tt YY = −13.0

시오. 다음

로 하시오.


식 방법

F

F f exponentiall

모형 진단

tt eY +−2

tt eY +−29

24.0 −− te

14.0 −+ te

t eY ++ −21 4.0

모형의 잔


AR(p)

T

D(p)

D(p) ly *) D(p): D

단 실습

ACF(시뮬

jj 8.0)( =ρjj −= 8.0)(ρ

5.0)1( =ρ

(3.0)( =j ρρ

469.0)1( =ρ(7.0)( =j ρρ

487.0)1( =ρ

14.0)1( −=ρ,0)( >= jjρ

,0)( >= jjρ

756.0)1( =ρ

(6.0)( =j ρρ

te 따르는

차는 ~ Net

ics, HANNA

MA(

D(q

T

TDrop off to 0 a

뮬레이션 결

j

(4.0)1( +−j ρ

8

49.0)1( −−j ρ

9 , ,0)( =jρ

44 , 0)1( −=ρ2>

0>

1

1),1( >− jj

데이터 100

)1,0(N 으로 가

▶

AM Universit

q) A

q)

after lag p

과)

0

-

)2( −j 0

)2( −jρ0.4

1>j 0.4

32.0 -.

0.7

0 개를 추출

가정하고 초

Time Ser

y

ARMA(p, q)

T

T

T

PACF(시뮬

0.8 0

0.8 0

0.3 0.4

4698 -.49

4878 -.31

144 -.35

0 0

7561 -.28

출하고 ACF,

초기치가 필

ries Analysis

)

뮬레이션 결과

0

0

0

9 0

0.22

5 -.13

0

0.1087

F, PACF, IAC

필요하다면

| ARMA

| 11

과)

0

0

0

0

-.17

-.16

0

-.04

CF

모두

ProfessoCopyrigh

우선 T

Expone

없다. 그

*) T: Ta

IDENT

10 시점

계절성

IDENT

0 인지

간주할

상관계

시차가

시차가


TIME plot 을

ential Smo

그러므로 상

ACF

PACF

IACF

ail off expo

IFY 문장은

점 전까지만

성이 있을 것

IFY 문장에

검정하기

할 수 있음을

계수 ACF 는

가 0 (lag=0)

가 j 인 경우


을 그려보자

oothing 방법

상관함수 A

F

F

onentially

은 상관함수

만 상관함수

것 같으면 분

의해 상관

위한 신뢰

을 의미한다

지수적(ex

)인 공분산(

우 공분산(γ


자.

법과는 달리

ACF, PACF,

AR(p)

T

D(p)

D(p)

*) D(p): D

3 개 그래

수를 계산하라

분석자가 N

관함수 그래

구간을 표시

다.

xponentially

(Covariance

()( tYCovj =

ics, HANNA

리 Time plo

IACF 등을

MA(

D(q

T

T

rop off to

프를 출력하

라는 명령이

NLAG 를 계

래프 3 개가

시한다. “.”

y)으로 감소

e)은 )( tYV

), jtt Y − )은 L

AM Universit

ot 만으로는

이용하게

q) A

q)

0 after lag

하는 문장이

이다(defaul

계절성 주기

출력된다.

안에 있는

소(Tail off)하

,( tt YYCov=

LAG=j 의 값

Time Ser

y

는 ARMA 모

된다.

ARMA(p, q)

T

T

T

p

이다. NLAG

t=11) 시계

이상으로

“.” 표시는

상관계수

하고 있음을

) 을 의미한

값을 보면

ries Analysis

모형을 설정

)

옵션은 시

계열 데이터

지정하면

상관계수가

값들은 “0”

을 알 수 있

한다. 그러므

된다.

| ARMA

| 12

정할 수

시차

가

된다.

가

”이라

다.

므로

ProfessoCopyrigh

상관계

값이다

함수 IA

Lag=3

감소하

함수 P

이것을

이상 징

아래 결

귀무가

설정이


계수(Correla

다.

ACF 값이

부터는 0 이

하고 있다고

PACF 도 시

을 0 이 아니

징후가 없다

결과는 원

가설이 기각

이 가능한 데


tion)는 공분

“.”에 가깝지

이라 할 수

는 할 수 없

차 2 이후에

니라고 한다

다.

시계열 데이

되므로 원

데이터 이다


분산 값을

지만 Lag=2

수 있다. Dro

없다. 시차

에 drop off

면… 계절성

이터{ tY }가

데이터는

다. 백색 잡음

ics, HANNA

시차=0 인

2 까지는 0

op off 인가?

2 이후에

f 한다고 할

성이 존재함

백색 잡음

백색 잡음이

음이면 모형

AM Universit

공분산(이

이라 할 수

? 아니면 T

Drop off 한

할 수 있다.

함을 의미한

인가에 대한

이 아니다.

형이 다음과

Time Ser

y

것이 분산이

수 없다. 그

Tail off 인가

한다.

문제는 LA

다. 그러나

한 검정 결

그러므로

과 같다. tY =

ries Analysis

이다)으로

러나

가? 지수적으

AG=5? 만약

나 Lag=10 에

과이다.

ARMA 모형

te+= μ 이다

| ARMA

| 13

나눈

으로

약

에는

형

다.

ProfessoCopyrigh

참고 C

시계열

근사한

시계열

아니어

설정이

참고 U

AR(1)

의미한

이에 대

방법 등

“UNIT


Chi-Squa

열 데이터기

한다. Ljung m

열 데이터의

어야 모형 설

이 올바로 된

Unit-Roo

모형을 갖는

한다. Unit-ro

대한 test 방

등이 있다.

root”라는


are Check

백색 잡음

modified B

백색 잡음

설정이 가능

된 경우이다

ot 검정

는 시계열

oot 갖는 데

방법으로 a

여기서는

귀무가설이


k of Resid

음(white noi

Box-Pierce Q

음 여부를 판

능하다. 또한

다.

데이터의

데이터는 안

ugmented

Phillips-Per

이 기각되므

ics, HANNA

duals

se)인 경우

Q 통계량

판단하는 것

한 모형 설정

경우 UNIT

안정적이지

Dickey-Fu

rron 방법

므로 이 시계

AM Universit

우 자기상관계

()2(

k

1j nnn γ

∑+=

것으로 원 시

정 후 잔차는

root 문제

못하므로 모

ller 검정 방

사용해 보자

계열 자료는

Time Ser

y

계수는 Chi

)(~)

)( 2 kj

jχ

−

시계열 자료

는 백색 잡

는 ( += μtY

모형 설정의

방법, Phillip

자.

는 안정적이

ries Analysis

i-square 분

) . Q-통계량

료는 백색 잡

잡음이면 모형

,1 =+ − αα tY

의 의미가

ps-Perron 검

이다.

| ARMA

| 14

분포에

량은

잡음이

형

1)임을

없다.

검정

ProfessoCopyrigh

ARMA

ARMA

SASHE

데이터

먼저 T

여부, 그


A 모형 추

A 모형 진

ELP 라이브

터가 있다. 이

Time plot 을

그리고 데이


추정 흐름도

진단 및 추

러리에는 1

이 시계열

을 그려보자

이터의 stat


도

추정 (예제

1937-1980

데이터에 적

자. 이를 통해

tionary 여부

ics, HANNA

중심)

년까지 미국

적합한 ARM

해 알 수 있

부이다.

AM Universit

국 철강 수

MA 모형을

있는 것은 T

Time Ser

y

수출량에 대

을 적용해 보

Trend 나 se

ries Analysis

한 예제

보자.

easonality

| ARMA

| 15

존재

ProfessoCopyrigh

모형 진

이제 모

사용하

원 데이

하에서

없다. 그

ACF 는

11 부터

IACF 는

PACF 는


진단

모형을 진단

하지 않았으

이터의 백색

서는 “백색잡

그러므로 유

는 LAG=1 이

터 다시 증가

는 LAG=1 이

는 LAG=1


단하기 위하

므로 defau

색 잡음 검정

잡음” 가설을

유의수준을

이후(LAG=0

가하고 있다

이후 drop

이후 drop


하여 ACF, PA

ult 인 lag=

정 결과 유

을 기각할 수

0.1 로 높여

0 은 항상 1

다. 혹시 계

off 한다.

p off 한다.

ics, HANNA

ACF, IACF

11 까지 상

의확률이 0

수 없다. De

여 모형 설

1 이다) Dro

절성? 일단

AM Universit

함수를 얻

상관함수 값

0.05 이상이

ead end? A

정 가능한

op off 한다고

단은 의심하

Time Ser

y

어보자. NL

이 출력된다

이므로 유의

ARMA 모형

데이터라고

고 할 수 있

하자.

ries Analysis

LAG 옵션은

다.

의수준 0.05

형 설정의 의

고 하자.

있다. 그런데

| ARMA

| 16

은

의미가

데

ProfessoCopyrigh

ACF, P

모형은

등이다

보자.

모형 추

ARMA

imimin

AR(1)

회귀계

원 시계

결과 잔

적합하


PACF, IACF

은 AR(1)(AC

다. 그럼 어떤

추정

A 모형 추정

∑+=

n

ptteize

1

2

tYB− )(1( 1α

계수 1α (AR1

계열 데이터

잔차는 백색

하다.


함수 모두

F 를 tail of

떤 모형이

정 방법: Con

tt eY ⇒=− )μ

1,1)의 유의

터를 AR(1)

색잡음(whit


두 LAG 1 이

ff 한다고 보

가장 적합한

nditional L

tY +=⇒ 1αμ

확률이 0.0

모형에 적

e noise)임을

ics, HANNA

후에 drop

보면), MA(1

한가? 각 모

east Squar

tY +−− )( 11 μ

0012 이므로

합시킨 후

을 알 수 있

AM Universit

p off 하는

1)(ACF 만 d

모형에 대해

re 방법

te+

로 유의하다

얻은 잔차

있다. 그러므

Time Ser

y

형태이다. 그

drop off 한

해 적합성 검

다.

에 대한 백

므로 적합된

ries Analysis

그래서 가능

한다고 보면)

검정을 실시

백색 잡음 검

된 AR(1) 모

| ARMA

| 17

능한

)

시해

검정

모형은

ProfessoCopyrigh

철강 수

tY = 4.4

이 모형

개 시점

예측치

tY = μ

다음 1

다음 2

추정 오

CENTE

의미이

평균과

사용하


수출량 데이

Y+ 474.0412

형을 이용하

점을 예측할

치와 예측 오

tY −+ −( 11 μα

차 예측치

차 예측치

오차: ˆ 2 +σ

ER 옵션은

이다. 그러면

과 계수에 대

하지 않는다


이터를 이용

tt eY +−1

하여 향후 5

할 것인가를

오차는 다음

te+)μ , 마지

: ˆˆ 451 ==+ YYt

: ˆˆ 462 =+ YYt

ˆ*ˆ 221 =+ σα

시계열 데이

면 반드시 E

대한 추정치

.


용하여 추정

5 개년 자료

를 결정)를 추

음 절차에 의

지막 관측치

4.0412.4 +=

0412.46 +=

01(44.2 +=

이터의 평균

STIMATE 에

치에 약간의

ics, HANNA

된 AR(1) 모

료(FORECAS

추정해 보자

의해 구해진

치, 1.544 =Y

.411.5(474 −

ˆ(474.0 1 −+Yt

7.1)474.0 2 =

균으로 gran

에 “noconst

차이가 있

AM Universit

모형 − 4.01(

ST 문장을

자.

진다.

11

)412 추정오

412.4) +=μ

73

nd mean μ

tant” 옵션을

있다. 일반적

Time Ser

y

tYB = 4.4)474

이용, LEAD

오차: ˆ 2σ

(474.0 442+ Y

μ의 추정치

을 사용해

적으로 CENT

ries Analysis

te+12

D 옵션은 향

144.2 ==

)412.4−

치로 사용하

주어야 한

TER 옵션을

| ARMA

| 18

향후 몇

56.

하라는

다.

을

ProfessoCopyrigh

MA(1)

계수의

추정된

모형의

다음 1

추정오

2 차년

불가능


tY += 1(μ

의 유의성 잔

된 모형은 Y

의 경우 향후

1 차년도: Y

오차: ˆ 2 =σ

도부터는 Y

능하다. 그러


teB ⇒− 1 )β

잔차의 백색

tY += 0421.4

후 q 차까지

421.4421.4

4.0ˆ 1

+=+=

+=+tY μ

5532.1= , 2 차

2ˆ+tY 을 구하

러므로 총 평


t eY −=⇒ 1βμ

색 잡음 검정

t ee +−1498.0

만 예측 가

(498.0(498.0

42.4ˆ498

−+−+

=

t

t

t

YY

e

차년도 추정

하려면 1ˆ +te

평균으로 예

ics, HANNA

tt ee +−1

정 모두 통과

te 이다. 이제

가능하고 그

49.0412.4ˆ498.0ˆ(498.01

−−+

−t

tee

μ

정 오차: (

을 추정해야

예측한다.

AM Universit

과했다. 적합

제 향후 5 개

그 이후에는

...)ˆ98)

)

1

1=−

−

te

ˆ)ˆ1( 22 =+ σβ

야 하는데

Time Ser

y

합한 모형이

개년 예측치

평균으로

735.1=

관측치 +tY

ries Analysis

이다.

치를 구해보

예측한다.

1+ 가 없어

| ARMA

| 19

보자. MA

ProfessoCopyrigh

ARMA

ARMA

계수가

맞는다

ARMA

원 시계

ARMA

관측치

초기 오

가능하

관측치

예측치

잔차

①아이

구하시

②APP

짝수번


A(1,1) 1( α−

A(1,1)은 적절

가 유의하지

다면 추정 모

A 모형의 예

계열 데이터

A(1,1) 모형을

치로부터 총

오차 01 =e

하므로 ARM

10

-

0

이스크림 생

시오.

LIANCE 데

번호)출하액에


tYB ))(1 μα −

절한 모형은

않음을 알

모형은 이것

예측치 구하

터 관측치 (

을 추정하였

평균으로

이라 하자.

MA(1,1)도 장

5

6

-1

산량 데이터

이터에서

에 적절한


eB)1( 1β−=

은 아니지만

알 수 있다.

것이다)

하는 방법은

(10, 5, -3, -

였더니 =tY

뺀 값을 이

MA(1)은 향

장기간 추정

-3

2.6

-5.6

터 적절한

냉장고(FRIG

ARMA 모형

ics, HANNA

te

만 한 번 시

B)(23.01( −

AR 과 MA

-8, 1), ( =n

16.0 − += tt eY

이용했다고

향후 1 차

정이 가능하

-8 1

-4.04 -

-3.96 7

ARMA 모형

G. 홀수 번

형을 추정하

AM Universit

도해 보자.

tY 4.426) ( −

A 을 합쳐 놓

)5 이라 하자

14.0 −+ te (계

하자. 즉 μ

밖에 안되나

하다. 76 = ee

1 (t

-6.384 3.

7.384 -

형을 추정하

호)/ 식기

하고 향후 5

Time Ser

y

3258.01( +=

놓은 것과

자. 이것을

계산 간편을

0=μ 이다.

나 AR(1)은

0...== 을

+1) (t+

.554 2.1

-

하고 향후 5

세척기(DIS

5 차 예측치

ries Analysis

teB)8 (만약

같다.

이용하여

을 위하여 각

계속 추정

사용한다.

+2) (t+

132 1.27

-

5 차 예측치

SH,

치 구하시오

| ARMA

| 20

약

각

정이

3)

79

치

오.

ProfessoCopyrigh

모형 적

Infor

적합

SBC(

적합

TREND

이제 시

형태를

데이터

조사한

예측하

Time p

계절성


적합 정도

rmation Cri

Sometimes

D in ARM

시계열 자료

를 띠고 계수

터 OLYMPIC

한 자료이다

하시오.

plot 은 어떤

성의 존재 여


도 비교

teria: (Akai

s Schwarz's

MA 모형

료 }{ tY 가 경

수 추정에는

C.txt 는 190

. 이 시계열

떤 ARMA 모

여부를 판단


ike 1974; H

s Bayesian

경향(trend)을

는 어떤 문제

00 년부터

열 자료에 적

모형을 적합

단할 수 있도

ics, HANNA

Harvey 198

criterion):

을 띠고 있

제가 발생하

20 개 대회

적합 모형을

합시킬지 제

도록 한다.

AM Universit

1) -2 ln(L) +

-2ln(L) + ln(

있을 때 ACF

하며 해결책

회 멀리 뛰기

을 설정하고

제시하지는

Time Ser

y

+ 2 k 값이

(n) k 값이

F, PACF, IAC

은 무엇인지

기 기록(long

고 향후 5 개

못하지만 경

ries Analysis

적은 모형

적은 모형이

CF 는 어떤

지 살펴보자

g jump)을

개 대회 기록

경향이나

| ARMA

| 21

이 더

이 더

자.

록을

ProfessoCopyrigh

우선 모

하는 것

사용하

AR(1)

off)하기

경향이


모형 진단을

것이 일반적

하였다.

모형처럼 보

기 보다는

이 존재하는


을 위하며 A

적이나 Long

보인다. 그

직선(linear

시계열 자


ACF. IACF,

g jump 시계

러나 ACF

rly) 형태로

자료에서 나

ics, HANNA

PACF 를 그

계열 자료는

함수는 지수

감소하는

나타나는 현상

AM Universit

그려보자. la

는 20 개 밖

수적으로(ex

경향이 있

상이다.

Time Ser

y

g(시차)의

밖에 없으므

xponentiall

다. 이런 A

ries Analysis

수를 24 개

므로 NLAG=

ly) decay(ta

ACF 함수 형

| ARMA

| 22

개로

=12 을

ail

형태는

ProfessoCopyrigh

ACF 가

AR1,1(

UNIT r

된다. 그

잔차의

이처럼

AR(1)

AR(2)의

경향(시

이용된

기울기

대신 D

우선 일

실제 데

함수는

오른쪽


가 지수적으

(이는 1−tY 의

root(단일근

그러므로 A

의 분석 결과

럼 경향이 존

모형 적합

의 경우도 안

시계열 자료

된다.

기 문제는 F

tD 에 모형을

일차 차분이

데이터 분석

는 이전 값을

쪽 Time plot


로 tail off

의 계수)이

근) 문제라 한

ARMA 모형

과도 백색 잡

존재하는 시

시 계수는

안정성(stat

료의 전체적

irst Differe

을 적합시킨

이 경향 문제

석에서는 D

을 지정하는

t 에서 보는


한다고 판단

1 이므로 이

한다. 단일근

형의 적합은

잡음이 아님

시계열 자료

는 1 을 넘거

tionarity)을

인 기울기)

nce(1 차 차

킨다. 가장

제를 제거하

1−−= ttt YYD 에

는 것이다. 일

는 것처럼 더

ics, HANNA

단하였다면

이 자료는

근일 때 AR

은 불가능하

님을 알 수

의 ACF 함

거나(stationa

을 만족하지

)을 제거할

차분) =t YD

흔히 사용되

하는지 살펴

에 대한 tim

일차 차분을

더 이상 경향

AM Universit

AR(1)으로

stationary

R(1) 모형의

다. 또한 A

있다. 모형

함수는 직선적

ary 한 시계

못한다. 이

수 있는 1

1−− tt YY 하면

되는 적합

펴보기 위하

me plot 을

을 하면 관측

향(trend) 문

Time Ser

y

로 모형을 적

하지 못하

의 추정치는

R(1) 모형

형 적합에 실

적 감소 경

계열 데이터

이에 대한 해

1 차 차분 방

해결된다.

모형은 MA

하여 다음 작

그릴 필요는

측치 수는

문제는 존재

ries Analysis

적합을 시켜

다. 이런 문

는 이전 관측

적합 후 얻

실패하였다.

경향이 있다

가 아니다)

해결책으로

방법이 주로

원 데이터

A 모형이다

작업을 실행

는 없다. LA

하나 줄어든

재하지 않는

| ARMA

| 23

켜보자.

문제를

측치가

얻은

. T.T.

면

)

로

터 tY

다.

행해보자.

AG

든다.

는다.

ProfessoCopyrigh

일차 차

먼저 적

알았다

의미는

계수도

그러므

tt YY −(

향후 5


차분 데이터

적합 시켜보

다. 최종적으

는 LONG_JU

유의하고 잔

므로 최종 A

tY +=−1 16.4)

5 개년 멀리


터에 MA 모

보자. 그러나

으로 MA(1)을

UMP 데이터

잔차도 백색

ARMA 모형

−+ 48544.01(

리 뛰기 기록


모형을 적합

나 MA(2) 적

을 적합 시

터의 일차 차

잡음임을 알

은 다음과

teB = 16.4)4

록을 예측해

ics, HANNA

합 시켜보자.

적합 결과 M

킨 결과는

차분 데이터

알 수 있다.

같다.

te− 48544.06

해 보자.

AM Universit

. MA 모형을

MA1,2( 2−te )

다음과 같

터를 사용하

tt e+−1

Time Ser

y

을 적당하므

)의 계수는

다. LONG_

하라는 의미

ries Analysis

므로 MA(2)

는 유의하지

_JUMP(1)의

이다.

| ARMA

| 24

) 정도

않음을

ProfessoCopyrigh

데이터

ARMA

경향이

이차 차

적합시

IACF 를

판단하

DROP

추정해


터 APPLIANC

A 모형 설정

이 이차 형식

차분 ( − tt YY

시킨다. 우선

를 이용하여

하기 쉽지 않

off 하는 경

해 보았으나


CE.txt 에서

을 해 보자

식을 띄고 있

() 11 −− −− tt YYY

선 이차 형식

여 모형을 진

않으나 ACF

경향이 있다

모두 계수


냉장고(Re

자.

있다. 이처럼

)2−tY 을 이용

식의 경향이

진단해 보자

, IACF 는 감

다. 그래서 우

수의 유의성

ics, HANNA

efrigerator,

럼 원 데이

용하여 문제

이 있는 원

자.

감소 경향(지

우선 AR(5),

, 잔차의 백

AM Universit

변수명 FR

터에 이차

제를 해결한

시계열 데이

지수적?), PA

, AR(4), AR

백색 잡음 만

Time Ser

y

RIG)의 출하

함수 형태

한 후 ARMA

이터 }{ tY 의

ACF 는 5 차

R(3), AR(2),

만족을 하지

ries Analysis

하액에 대한

의 경향이

A 모형을

의 ACF, PAC

차 이후에서

AR(1) 등을

지 못했다.

| ARMA

| 25

한

있다면

CF,

서

을

ProfessoCopyrigh

원 시계

이차 함

차분 (

그러나

그리고

못했다

때문으

대신 일


계열 데이터

함수 형태의

()( 1− −− tt YYY

나 ACF, PAC

고 MA(1), M

다. 이런 결과

으로 판단된

일차 차분이


터 경향이 이

의 경향은 이

)21 −− − tt YY

CF, IACF 함

MA(2), …의

과가 나온

다. 그리고

이나(과) 계절


이차 형식을

이차 차분을

함수 형태로부

모형을 추정

것이 이 자

일반적으로

절성을 고려

ics, HANNA

을 띄고 있음

을 이용하여

부터 모형

정해 보았으

자료가 분기

로 이차 차

려하는 모형

AM Universit

음을 Time

여 문제를 해

진단은 쉽

으나 잔차가

별 자료로

분 방법은

형 설정이 자

Time Ser

y

plot 을 통해

해결해 보기

지 않음을

가 백색 잡음

계절성이

자주 사용

자주 사용된

ries Analysis

해 알 수 있

기로 하자.

알 수 있다

음을 만족하

존재하기

용하지 않는

된다.

| ARMA

| 26

있었다.

이차

다.

하지

다.

ProfessoCopyrigh

Seaso

시계열

계절성

Trend

differe

차분 구

것이다

Season

월 매출

후 차분

= tt YD

다음은

조사한


onality in

열 자료에는

성이 존재하

(경향): 자료

ence) 구한

구한다는 것

다.

nality(계절

출액 등 일

분 값( tD )에

6−− tY

은 미국 197

한 시계열 데


ARMA 모

TRCYCLE +

는 경우 A

료 값이 지

후( −= tt YD

것은 trend 를

절성): 주기가

정한 주기를

에 모형을 인

77 년 1 월-1

데이터의 벽


모형

SEASREND +

RMA 모형

속적으로 증

1−− tY ), tD 에

를 없애고

가 일정한 기

를 가지고

인식한다. (A

6 개

1982 년 6

벽돌공 인력

ics, HANNA

IYSONALIT +

설정 방법

증가하거나

ARMA 모

다음과 같

기간마다 반

반복된다. A

ACF, PACF,

개월

월 사이 월

에 대한 tim

▶

AM Universit

IRREGULAR

법을 다루기로

감소하는

모형을 인식

은 형태로

반복된다. 강

ARMA 모형

IACF) (예)

월별 전기 기

me plot 이

Time Ser

y

가 존재한

로 한다.

경우, 1 차

한다. (ACF,

Time plot

강수량, 온도

형: 주기에

주기가 6

기사와 벽돌

다. [SASHE

ries Analysis

다. 이 곳에

차분(first

, PACF, IAC

을 만든다는

도, 냉장고

의해 차분을

개월이면

돌공 인력을

ELP.WORKE

| ARMA

| 27

에서는

CF) 1 차

는

회사

을 구한

을

ERS]

ProfessoCopyrigh

모형 인

첫번째

인식하

것은 T

IDENT


인식

째 것은 TRE

하였고 두번

TREND, SEA

IFY VAR=M


END, SEASO

째 것은 TR

ASONALITY

MASONRY


ONALITY 고

REND 만 고

Y 모두 고려

NLAG=24;

주기

ics, HANNA

고려하지 않

고려한 자료

려한 자료를

tY

기가 일년 단

AM Universit

않고 자료를

료를 ARMA

를 ARMA 모

위로 일정하

Time Ser

y

를 ARMA 모

모형으로

모형으로 인

하다.

ries Analysis

모형으로

인식, 세번

인식해 보자

| ARMA

| 28

째

.

ProfessoCopyrigh




ics, HANNA

AM Universit

Time Ser

y

ries Analysis | ARMA

| 29

ProfessoCopyrigh

IDENT


IFY VAR=


MASONRY


(1) NLAG=

ics, HANNA

=24; =t YD

AM Universit

1−− tt YY

Time Ser

y


| 30

ProfessoCopyrigh

IDENT

다음은

아님에

잡음이

추정하


IFY VAR=

은 ( −= tt YYD

에 유의하기

이면 ACF, PA

하게 된다.


MASONRY

() 121 −− − tt YY

바란다. 이

ACF, IACF


(1,12) NLA

)13−− tY 에 대

이 말은 { tD

모두 점 선

ics, HANNA

AG=24; tD

대한 백색

}t 는 더 이

선 안에 들어

AM Universit

)( 1−−= tt YY

잡음 검정이

상 모형 할

어간다. 그러

Time Ser

y

( 12 −− −− tt YY

이다. 모형

할 수 없다.

러므로 MA

ries Analysis

)13−

설정 후 잔

자료가 백

A 모형으로

| ARMA

| 31

잔차가

색

ProfessoCopyrigh

예측치

IDENT

출력하

(=t YD

방법으

APPLIA

모형 설

이제 계

(=t YD

이 시계


구하기

IFY 문에서

하지 않는다

()1− −− ttt YYY

으로 가장 많

ANCE 데이

설정은 실패

계절성을 고

()1 −− −− ttt YYY

계열 자료는


NOPRINT

. 이미 모형

)1312 −− − tY 가

많이 사용되

터에서 FR

패하였다. 이

고려한 모형

)54 −− − tY 의

는 백색 잡음


T 옵션은 모

형을 진단했

가 백색잡음

되는 것은 M

IG 시계열

이유는 분기

형을 설정해

모형을 진

음이므로 다

ics, HANNA

모형 진단을

했으므로…

음이므로 절

ML(Maximu

데이터 모

기별 자료라

보자.

진단해 보자

다음 프로그

AM Universit

을 위한 ACF

절편 없이 추

um Likeliho

형을 설정해

계절성이

.

그램에 의해

Time Ser

y

F, PACF, IA

추정하면 된

od)방법이다

해 보자. 차

존재하는

향후 값을

ries Analysis

ACF 함수를

된다. 추정

다.

차분에 의한

것을 간과했

을 예측하면

| ARMA

| 32

한

했다.

면 된다.

ProfessoCopyrigh

①아이

구하시

②교통

Mexico

구하시

지수평

Mcken

모형이

모형에

단순지

Mcken

Mcken

가중치


이스크림 생

시오.

통사고 사망

o(짝수), US

시오.

평활법과 A

nzie(1984)는

이라고도 함)

에 적합을 시

지수의 가중

nzie 가 주장

nzie 가 제안

치는 (1-0.19


산량 데이터

자 수(차량

S(홀수) 시계

ARMA 모

는 단순 지수

)과 같다는

시켜 구한 예

치 w 는 M

장했던 것과

안한 β−=1w

9291)을 사용


터 적절한

백만대당)

계열 데이터

모형 관계

수평활법을

것을 보여

예측치와

A(1)의 추정

과는 달리 예

β 를 사용하

용하면 된다

ics, HANNA

ARMA 모형

) 데이터(

터 모형을 추

을 다음과 같

여 주었다. 1

단순지수평

정 계수 −1

예측치의 차

하면 같은 결

다.

AM Universit

형을 추정하

DEATH.txt

추정하고 향

같이 ARMA

1 차 차분 ∇

평활법의 예

β− 와 동일하

차이가 많았

결과를 얻을

Time Ser

y

하고 향후 5

t)에서 NW

향후 5 차 예

모형(이를

( −=∇ ttt YYY

측치와 동일

하다.

다. 만약 가

을 것이다.

ries Analysis

5 차 예측치

W: New

예측치를

를 Box-Jenk

)1−tY 을 MA(

일함을 보였

가중치를

| ARMA

| 33

치

ins

(1)

였다.

ProfessoCopyrigh

Mcken

후 MA

모형에

( B 2)1( −

B)1( 2−

적절한

가중치

있다.

의해 구

우선 가

그러므

이중지

증가하

RENAM


nzie 에 의하

A(2)를 적용

에 의해 예측

t BY2 )1( β−=

t BY 1( 12 β−=

한 가중치 0

치 0.2 를 사

이제 멀리뛰

구하고 가중

가중치 0.2

므로 _TYPE_

지수평활법에

하여 t 를 만

ME 문을 사


하면 이중지

용하여 얻은

측치를 구해

te2) )와 같다

teB )22β− 이

.05~0.3 을

사용했을 때

뛰기 올림픽

중치 0.2 의

를 사용한

은 “FOREC

에 의해 얻은

만드는 문장이

사용하여 예


지수 평활법

예측치와

해보자. 그의

다고 한다.

이다. 그러므

벗어난다.

향후 5 개

픽 기록 시계

이중지수

이중지수평

CAST”이고

은 예측치

이다. x-축으

측치 변수를

ics, HANNA

의 예측치는

동일하다.

의 주장에 의

2 차 차분

므로 2 ββ ≈

대회 기록

계열 데이터

평활법에 의

평활법 예측

_LEAD_가

데이터이다

으로 사용될

를 forecast

AM Universit

는 원 시계

이제 Mcke

의하면 가중

후 MA(2)를2 이므로 가

록 예측치(이

터에 대한 예

의해 구한

측치 데이터

5 보다 작은

다. t+1;은 관

될 t 가 저장

t_exp 로 바

Time Ser

y

열 데이터를

enzie 가 주

중치 β−= 1w

를 적용하면

가중치는 0.

이전 페이지

예측치를 A

예측치를 함

(A)를 출력

은 관측치를

관측치 순서

장되어 있지

바꾸었다.

ries Analysis

를 이차 차

주장한대로

β

면

55 이다. 그

)과 다소 차

ARMA 모형

함께 나타내

력해 보자.

를 고르면

서에 따라 1

않다.

| ARMA

| 34

차분한

ARMA

그러나

차이가

형에

내 보자.

1 씩

ProfessoCopyrigh

올림픽

모형이

저장되

이제 관

ARMA


픽 데이터에

이었다. OUT

되었다. RENA

관측치와 두

A 모형에 의


적절한 모

T 옵션에 의

AME 문을

두 예측치를

한 예측치는


모형은 1 차

의해 예측치

사용하여 f

를 합쳐 그래

는 약간의

ics, HANNA

차분한 데

와 예측치

forecast 변

래프를 그리

차이가 있

AM Universit

이터에 MA

신뢰구간

변수명을 for

리자. 이론과

다.

Time Ser

y

A(1)을 적용

데이터가 A

recast_arim

과는 달리 지

ries Analysis

용한 것이 적

ARIMA_OU

ma 로 바꾸었

지수평활법과

| ARMA

| 35

적절한

UT 에

었다.

과

ProfessoCopyrigh

In Min

Icec

30 주간

아이스

판매량

Time

그러

계절

ACF PA


nitab

ream.xls

간 주별 아

스크림 판매

량을 예측하

e PLOT 활용

나 추세, 계

성(주기=1

ACF 그리기


아이스크림

매량에 대한

하시오.

용 in ARM

계절성 판단

13)

기


판매량 데

한 적절한 A

MA 모형, A

단 가능, A

ics, HANNA

데이터 (주,

ARMA 모형

ARMA 모형

ACF, PACF 에

AM Universit

판매량, 가

형을 얻고

형의 p, q 는

에서 재확인

Time Ser

y

가격, 소득,

향후 4 주

는 판단할

인 증가 추

ries Analysis

온도)

주간 아이스

수 없음

추세,

| ARMA

| 36

스크림

ProfessoCopyrigh

진단 모

AR(1)


모형: AR(1

적합 tY =


)? ACF 가

tY+= −11αμ


선형적 감

te+

ics, HANNA

감소

AM Universit

Time Ser

y


| 37

ProfessoCopyrigh

(1)계

(2)잔

(*)SS

AR(1,1

예측치


계수 유의성

잔차의 whit

SE, MSE 는

1) 적합 tY

, 적합치


성: 유의해야

te noise 검

모형 비교

tY+= −11αμ


야 적합

검정: white

교에 사용

tt ee +− −111 β

ics, HANNA

noise 여야

t

(계절과

AM Universit

야 적합

과 추세가 존

Time Ser

y

존재하여 완

ries Analysis

전한 모형

| ARMA

| 38

아님)

ProfessoCopyrigh

In Mi

데이터

(높이뛰

선형중

ACF, PA

ACF 함

그럼에


nitab 2

터 OLYM

뛰기), 원반

중가 추세 진

ACF 활용

함수가 선형

에도 불구하


PIC.XLS

반던지기, 멀

진단 in tim

모형 추정

형(linearly)적

고 ARMA(1


멀리뛰기 올

me plot

적으로 감소

1,1)이나 A

ics, HANNA

올림픽 기록

소한다.

R(1)으로 추

AM Universit

록

추정한다면…

Time Ser

y

… Unit root

ries Analysis

t 문제

| ARMA

| 39

ProfessoCopyrigh

차분하기

선

이차

차분한

ARMA

차분 데

ARMA


기 (문제 해

형 추세: 1

차 추세: 2

한 데이터 ti

A(p,q) 모형

데이터 ACF

A(1, 1) 혹은


해결)

차 차분

차 차분

me plot 을

진단 가능

F, PACF

은 AR(1)


을 보면 추세

능

ics, HANNA

세가 제거되

AM Universit

되었다. 이제

Time Ser

y

제 ACF, PAC

ries Analysis

CF 사용하여

| ARMA

| 40

여

ProfessoCopyrigh

AR(1)으

In Min

데이터

선형

PACF


으로 추정

nitab 3

터 Sales2

추세가 있

F 함수는 계


2.xls

있으므로 A

계절성 주기


ACF 함수가

기 12 이므

ics, HANNA

가 linearly

므로 peak(유

AM Universit

감소

유의한 계수

Time Ser

y

수)가 12 번

ries Analysis

번 마다 반

| ARMA

| 41

복

ProfessoCopyrigh

차분(d

계절

차분

이를

추정하


ifference)

성 주기가

한 데이터

다시 주기

하기 : (1 차


하기

k 인 경우

time plot

기 12 로 차

차분, 계절


우 tt YY −=∇

t 을 보면 추

차분하면 계

절 주기 =1

ics, HANNA

ktY −−

추세가 제

계절성도 제

12, MA(1)

AM Universit

거되었다.

제거된다. (오

)

Time Ser

y

(왼쪽 그림

오른쪽 그림

ries Analysis

림)

림)

| ARMA

| 42

Documents

분석방법 정리 - wess.hannam.ac.krwess.hannam.ac.kr/Lecturenotes/ETS/ARMA.pdfTrend와 w PROC FOR METHOD= 모형 인식 PROC ARIM 시계열 자료 후 적절한 But 계절성 PROC