TechnologyofInstituteMuroran

高輝度電子銃シミュレーション研究会２００６年１２月７ー８日，京都大学（宇治）

時間領域境界要素法（ＴＤＢＥＭ）による時間領域境界要素法（ＴＤＢＥＭ）による粒子加速器航跡場の数値解析法の概要と課題粒子加速器航跡場の数値解析法の概要と課題

CONTENTS

－航跡場解析の背景

－時間領域境界要素法（ＴＤＢＥＭ）

－時間領域境界要素法による航跡場解析

－数値解析コード

－数値解析例

－今後の課題

川口秀樹室蘭工業大学　電気電子工学科

藤田和広北海道大学　大学院工学研究科

LaboratoryamicsElectrodyn

１．航跡場解析の背景１．航跡場解析の背景

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１．１　航跡場解析の概要

加速空洞

2

3

1ウェーク場の影響

　　・エネルギーロス

　　・質の劣化

　　・強度の制限

ウェーク場

荷電粒子バンチ

ウェーク場の数値解析法

　・解析的（近似形状）

　・FDTD/FIT法（差分法）

　・時間領域境界要素法

１．２　従来の航跡場の数値解析法

FDTD/FIT 法（差分法）格子状に離散化

して数値解析

計算速度　速

任意形状

直線軌道のみ

航跡場＋自己場

グリッド分散

解析的（近似形状） パイプの影響

を無視し解析

計算速度　速

対称性のある形状（円柱、球）のみ

１．３　時間領域境界要素法の利点

時間領域境界要素法 境界のみを離散化し

積分方程式解析

∫ ′′−

−′×⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

∂∂

′−

′−+

′−

′−−=

S text Sdc

ttc

tt ),(41),(),( 23

xxxB

xxxx

xxxxxBxB

π

計算速度　遅

安定性

曲線軌道も可

航跡場＋自己場の分離が可能

任意形状

グリッド分散なし

3D2D軸対称2.5次元

TDBEM

Lienard-Wiechert fields Wade fields

２．時間領域境界要素法（ＴＤＢＥＭ）２．時間領域境界要素法（ＴＤＢＥＭ）

２．１　電磁場のタイプと電磁界数値解析

FDM FEM BEM

Static

Quasi-Static

High-Freq.

FrequencyDomain

TimeDomain

FrequencyDomain

TimeDomain

em fieldsmethod

3D

2D2D Systems

Full 3D Systems

Axis-symm. Sys.FDTD/FIT

For open boundary problemsFor coupled problems with charged particles

Unstable in long time range calculationHeavy calculation costLarge required memory

TechnologyofInstituteMuroran

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２．２　時間領域境界積分方程式

0=×nE 0=⋅nB

ερφ −=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∇ 22

22

tcJA µ−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∇ 22

22

tc

'

''

41)',';,(

xx

xx

xx−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+−

=c

ttctctG

δ

π0=A0=φ

tGdS

nc

tdV

ct

ctS ∂

∂+

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−∂

−+

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−

= ∫∫Ω '',

'

'1

41'

'

','

41),(

xxx

xxxx

xxx

xφ

π

ρ

πεφ

GdSn

ct

dVc

tct

S

t

∇−

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−∂

−+

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−

= ∫∫Ω '',

'

'1

41'

'

','

4),(

xxx

A

xxxx

xxx

JxA

ππµ

∫∫∞−∞ ++Ω

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂Ψ∂

Φ−Ψ∂Φ∂

=Ω⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂Ψ∂

Φ−Ψ∂∂Φ∂

VVSdV

xxd

xxxxν

ννλλ

λλ

22

Green’s theorem in time domain

←Φ

←ΨBoundary conditions

scalar & vector potentials

fundamental solutions

∞+V

∞−V

t+∞=t

−∞=t

Ω

VS

Boundary integral equations

Elimination of gauge term

２．２　時間領域境界積分方程式

Magnetic Field Integral Equation (MFIE)

∫ ′′−

−′×⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

∂∂

′−

′−+

′−

′−−=

S text Sdc

ttc

tt ),(41),(),( 23

xxxB

xxxx

xxxxxBxB

π

Electric Field Integral Equation (EFIE)

∫

∫

′′−

−′⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

∂∂

′−

′−+

′−

′−−

′′−

−′′−

−=

S n

S text

Sdc

tEtc

Sdc

ttt

),(41

),(141),(),(

23

xxx

xxxx

xxxx

xxxB

xxxExE

π

π

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εσφ

−=∂∂

−==⋅n

EnnE

KA

BnB µ−=∂∂

==×n

tt

0=+∂∂ Kdiv

tσ

Conservation law

３．時間領域境界要素法による航跡場解析３．時間領域境界要素法による航跡場解析

３．１　粒子加速器と航跡場解析

∫ ′′−

−′×⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

∂∂

′−

′−+

′−

′−−=

S text Sdc

ttc

tt ),(41),(),( 23

xxxB

xxxx

xxxxxBxB

π

=+ + + LLL +

)(tB )(tBext)( ttB ∆− )2( ttB ∆− )( tLtB ∆−

ext

L

ktktkt BBGBG =+∑

=∆−

10 Matrix equation of TDBEM

),(c

tt

xxxB

′−−′

),( tt xB

xx ′−

=

0=t

tt ∆=

tt ∆= 2

tt ∆= 3

tt ∆= 4

tt ∆= 5

tKt ∆=

Lfuture

past

Time Domain MFIE

３．時間領域境界要素法による航跡場解析３．時間領域境界要素法による航跡場解析

),(c

tt

xxxB

′−−′

),( tt xB

xx ′−

３．１　粒子加速器と航跡場解析

Time Domain MFIE

∫ ′′−

−′×⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

∂∂

′−

′−+

′−

′−−=

S text Sdc

ttc

tt ),(41),(),( 23

xxxB

xxxx

xxxxxBxB

π

ext

L

ktktkt BBGBG =+∑

=∆−

10 Matrix equation of TDBEM

( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ] l

mSext

B

BSd

lmRnnmRl

mmRnnmRmBmBm

′⋅⋅′+′⋅⋅′−+

′⋅⋅′+′⋅⋅′−′−⋅=⋅ ∫ ′

)()(

)()(41π

( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ] l

mSext

B

BSd

llRnnlRl

mlRnnlRmBlBl

′⋅⋅′+′⋅⋅′−+

′⋅⋅′+′⋅⋅′−′−⋅=⋅ ∫ ′

)()(

)()(41π

( ) ( )[ ] mSext BSd mmRnnmRmBmBm ′⋅⋅′+′⋅⋅′−′−⋅=⋅ ∫ ′)()(

41π

3D

2D軸対称 lN

)(22 ml NNN +=

N2

N2

lN

lN

200,200,200 === LNN ml

( )ByteT10

20020020028 2

=××××

ByteM642002008 2

=××

数値不安定性

計算コスト（メモリ，計算時間）

４．数値解析コード４．数値解析コード

４．１　数値不安定性

未知変数の配置 因果律の評価

tnt ∆−− )1(tnt ∆− )(

tnt ∆+− )1(xx ′−

x

x′tc∆

0=∂∂

+t

div tσK

tK σ tK

tK

tK

陰的スキーム

tK

i

j

２メッシュ補間積分

c∆t

∆L

４．２　計算コスト

メモリ削減 数値モデルの軸対称性

曲線軌道

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４．２　計算コスト

メモリ削減 数値モデルの軸対称性

N2

N2

[ ]

( )[ ] SdtB

tB

tt

l

S m

LW

′′⋅′+′⋅′−+

′⋅′+′⋅′−−

=

∫ ′

)','()(

)','()()(41

),(),(

xlRnnRl

xmRnnRm

xBxB

π

=

tc∂∂

′−

′−+

′−

′−= 23

)()(xxxx

xxxxR

４．２　計算コスト

メモリ削減 数値モデルの軸対称性

N2

=N

[ ]

( )[ ] SdtB

tB

tt

l

S m

LW

′′⋅′+′⋅′−+

′⋅′+′⋅′−−

=

∫ ′

)','()(

)','()()(41

),(),(

xlRnnRl

xmRnnRm

xBxB

π

tc∂∂

′−

′−+

′−

′−= 23

)()(xxxx

xxxxR

４．２　計算コスト

メモリ削減 行列のスパース性

∫ ′′−

−′×⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

∂∂

′−

′−+

′−

′−

−=

S t

ext

Sdc

ttc

tt

),(41

),(),(

23

xxxB

xxxx

xxxx

xBxB

π

４．２　計算コスト

メモリ削減 数値モデルの軸対称性＋行列のスパース性

=

10 T Byte 64 M Byte51.2 G Byte３D 軸対称２D2.5D

N

N2

[ ]

( )[ ] SdtB

tB

tt

l

S m

LW

′′⋅′+′⋅′−+

′⋅′+′⋅′−−

=

∫ ′

)','()(

)','()()(41

),(),(

xlRnnRl

xmRnnRm

xBxB

π

tc∂∂

′−

′−+

′−

′−= 23

)()(xxxx

xxxxR

４．２　計算コスト

計算時間 並列計算化

+ + =+LL0M 1M nM

tB ttB ∆− tntB ∆− extB

),(),(41),( 23 tSd

ct

tct extS t xB

xxxB

xxxx

xxxxxB =′

′−−′×

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

∂∂

′−

′−+

′−

′−+ ∫π

Hotspot (over 95%)

LL

Master

Slave Slave

vector data

tionInitializa

nstructionMatrix co

valuesBoundary

d valueInner fiel

Start

End

98 %

４．２　計算コスト

計算時間 並列計算化

Bound. value calc.

start

t = 1, K

i=1, L

Mi x Bt

Calc. of Bt

Start

Initialization

Mi matrix making

Inhomogeneous termcalculation

Boundary value calculation

Internal region

End

Start

Initialization

Mn matrix making

Inhomogeneous termcalculation

Boundary value calculation

Internal region

End

Bound. value calc.

start

t=1, K

i=1, L

Mi x Bt

Calc. of Bt

Server Slaves

Message passing

Message passing (broadcast)

PCserver PCslave PCslave

PCslave

４．３　散乱場表示定式化

その他のＴＤＢＥＭの問題

バンチ入射（体積積分＋特異性，非物理的擾乱），無駄なメッシュ，内部共振解＋コホモロジー解

H

Conventional TDBEM

wakeHHHH =+ wakeself

Scattered field TDBEM(S-TDBEM)

- スムースなバンチ入射- メッシュ数削減-内部共振解の除去（安定化）-陽的スキームが可能-計算時間増

z z

(c) d=4 mm (c∆t = 0.38 h)

(b) d=2 mm (c∆t = 0.38h)

(a) d=2 mm (c∆t = 1.08h)

(c) d=4 mm (c∆t = 0.38 h)

(b) d=2 mm (c∆t = 0.38h)

(a) d=2 mm (c∆t = 1.08h)

４．３　散乱場表示定式化

内部共振による不安定性（？）

Bunch

xisAxis

Bunch

xisAxis

４．３　散乱場表示定式化

wakeH

sM

( ) ( )( )

( ) ( )

1 1, ,4

1 1, ,

wake wakeS

wake wake

t t gradR

t grad R t dSR c t R t

π

ε

⎧ ′ ′ ′ ′= − × ×⎨⎩

∂ ∂ ⎫⎛ ⎞ ⎛ ⎞′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′− × × + × ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎭

∫H r n H r

H En r n r

Integral representation in axis-symmetric 2D

=

)(tH wake

0G+ + +

)( ttH wake ∆− )2( ttH wake ∆− )( tLtH wake ∆−

1G 2G LG・・・

+ + +1M 2M LM・・・

)( ttEwake ∆− )2( ttEwake ∆− )( tLtEwake ∆−

)(tHext)(tH wake

0G+ + +

)( ttH wake ∆− )2( ttH wake ∆− )( tLtH wake ∆−

1G 2G LG・・・=+

Required memeory: same

Calculation time: double

zn

K.Bane and T.Weiland,“Wake force computation in the time domain for long structures”,Proc. 12th Int. Conf. High Energy Accelerators, pp.314-316, 1983４．４　ウィンドウオプション

ビームダイナミクスのみに興味がある場合

Moving window

tSpace-time volume for the window

z

Speed of light

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４．４　ウィンドウオプション

T=N∆t

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T=∆tMoving window

T=2∆t

４．４　ウィンドウオプション

T=1∆t T=i∆t T=N∆t••• ••• •••

+= + +•••

MOST system matrices

For N = 10000, Lmatrix=15000,

4 TB(full matrix) → 5 GB(moving window) with Nwindow=200

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４．４　ウィンドウオプション

システム行列

+= + +•••

+=

M

+ +

+= + +•••

+= + +•••

+

+

+

•••+ T=N∆t

T=3∆t

T=2∆t

T=1∆t

陽的スキームが必要！

５．数値解析例５．数値解析例

５．１　ピルボックスキャビティ

Wake potential (σ=3mm)数値モデル

∫∞

∞−

+=−= dz

vsztzE

qsW zz ),,(1),( rr

-3 -2 -1 1 2 3s/s

- 7500

- 5000

- 2500

2500

5000

7500

Wz V/nC

bunch shape

TDBEMFDTD解析解

回転方向　４００分割

断面方向　６６０分割

全メッシュ数　２４００００

所要メモリ　３２０MB　

K. Fujita, H. Kawaguchi: Computational engineering I, JASCOME, 2004, pp.101-108

５．１　ピルボックスキャビティ

場の値（ＦＤＴＤ／ＦＩＴとの比較）

５．１　ピルボックスキャビティ

-3 -2 -1 1 2 3sêσ

-7500

-5000

-2500

2500

5000

7500

W»»@VênCD

-3 -2 -1 1 2 3sêσ

-7500

-5000

-2500

2500

5000

7500

W»»@VênCD

ABCDEF

time

―β=0.999994―β=0.994

―β=0.97―β=0.94

ED C

BA

F

加速管あり（粒子速度依存性）

β=0.9994

FDTD

TDBEM

数値モデル

Wake potential

FDTD

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５．２　TESLA ９セルキャビティ

z

~1 m

軸対象２次元＋ウィンドウオプション

Bunch(σ=2.0 mm)

z~1 m数値モデル

For the number of unknows N=5300, time step L = 8000, Nwindow=200,

-Full matrix: 1.8 TB

-Moving window (with Nt=20) : 2.5 GB, 5.2 hours with HITACHI SR-11000/K1

-Moving window (no matrix): less than 500 MB, about 4 days

zBunch(σ=2.0 mm)

~1 m５．２　TESLA ９セルキャビティ

Bunch(σ=2.0 mm)

s/σ

W||(

s)[V

/pC

] FDTD (staircase, σ/h=10): 10 min.

S-TDBEM(σ/h=5): 5.2 hours

FDTD (staircase, σ/h=5): 2 min.

５．２　TESLA ９セルキャビティ

z軸対象２．５次元＋ウィンドウオプション（ダイポールウェーク）

Bunch(σ=5.0 mm, offset=1mm)

z~1 m数値モデル

For the number of unknows N=3720, time step L = 7600, Nwindow=290,

-Full matrix: 3.4 TB

-Moving window (with Nt=40) : 20.4 GB, 15.3 hours with HITACHI SR-11000/K1

-Moving window (no matrix): less than 500 MB, about 25 days

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５．２　TESLA ９セルキャビティ

zBunch(σ=5.0 mm, offset=1mm)

軸対象２．５次元＋ウィンドウオプション（ダイポールウェーク）

Accumulation of grid dispersion error in wake potential integraion

５．３　Tapered Collimeter

ρ=tan(α)b/σ =0.1653

Calculation parameters: a=19 mm, b=1.9 mm, L=51 mm, α=335 mrad

~10 cm

La

bα

z

z

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５．３　Tapered CollimeterL

ab

αz

ECHO(conformal, σ/h=10)S-TDBEM(σ/h=10)

s/σ

Bunch(σ=4.0 mm)

Yokoya's formula for ρ<<1(estimation)

ρ=tan(α)b/σ =0.1653

Calculation parameters: a=19 mm, b=1.9 mm, L=51 mm, α=335 mrad

ECHO(staircase)σ/h=20 σ/h=10 σ/h=5

W||(

s)[V

/pC

]

５．３　Tapered CollimeterL

ab

αz

ECHO(staircase) σ/h=40 σ/h=10

ECHO(conformal,σ/h=10)S-TDBEM(σ/h=10)

Bunch(σ=1.2 mm) Calculation parameters: a=19 mm, b=1.9 mm, L=51 mm, α=335 mrad

ρ=tan(α)b/σ =0.5511

Yokoya's formula for ρ<<1(estimation)

W||(

s)[V

/pC

]

s/σ

６．今後の課題６．今後の課題

フル３Ｄ化

ウィンドウオプション化のコード作成済，実際の問題への適用

自己無撞着解析

M. Dohlus のイメージ電荷法との比較

加速器科学への応用

３次元構造コリメーター バンチコンプレッサー

Moving window

v=c

ハイパフォーマンスコンピューティング

専用計算機の開発

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Ａ．１　時間領域境界要素法専用計算機

Matrix Inversion (MI) Module Boundary Integral (BI) Module

Matrix-by-vector Multiplier (MM) Module

Master Scheduler (MS) Module

DMAC

RAM

GeneratorSignal Control

RAM

RAM

DMAC termousInhomogene

RAM INVERSIONMATRIX

Matrix G 0

DMAC

RAM

DMAC

RAM)(BResult 0

RAM

RAMMatrix Gi

MULTIPLIERMATRIX

RAM

INTEGRALBOUNDARY

termforce External

N1 BB L

iB

lines Datalines Address

lines signal Controllines signal Command

Indicator Status

Result

Result

1 toN

1 toN

buffer statetri

buffer statetri

buffer statetri

buffer statetri

buffer statetri

buffer statetri

buffer statetri

buffer statetri

システム構成