ŘEŠENÍ JEDNODUCHÝCH GONIOMETRICKÝCH ROVNIC

V tomto krátkém pojednání si ukážeme, jak řešit goniometrické rovnice, které lze převést na tvar f (x) = c, kde Rc a f je některá goniometrická funkce. To se však neobejde bez určitých znalostí z dřívějších kapitol. Zejména je třeba: umět řešit lineární a kvadratické rovnice znát princip užití substituce umět počítat ve stupňové i obloukové míře znát průběh základních goniometrických funkcí znát (či umět vyhledat) některé goniometrické vzorce umět pracovat s programem MATMAT (ke stažení v bonusech) a kalkulačkou

Shrnutí:

Pro každé

2;0 x platí:

I. II. III. IV. sin x = sin (π – x) = – sin (π + x) = – sin (2π – x) cos x = – cos (π – x) = – cos (π + x) = cos (2π – x) tg x = – tg (π – x) = tg (π + x) = – tg (2π – x) cotg x = – cotg (π – x) = cotg (π + x) = – cotg (2π – x)

Toto shrnutí bude pro naše další bádání zcela zásadní. Jak? To si povíme u konkrétních příkladů. OK, jdeme na to!

Zadání: Na množině R řešte rovnice. Zkoušku proveďte použitím programu MATMAT. a) 5,0cos x Řešení: Tato rovnice je zadána ve tvaru f (x) = c, kde Rc . Konkrétně f je funkce kosinus, c = – 0,5. Není tedy třeba žádných dalších úprav a můžeme rovnou přistoupit k samotnému řešení. Než k tomu přikročíme, je třeba si uvědomit, co vlastně počítáme. Co je to vlastně x? Je to úhel? Nebo je to číslo? Je to číslo, které ovšem můžeme chápat i jako velikost úhlu v obloukové míře. Zpátky k příkladu. Kosinus je záporný ve II. a III. kvadrantu (viz shrnutí nahoře). Nachystáme si tedy oba kvadranty někam nahoru a na znaménko mínus můžeme v tu ránu zapomenout. Hodnotu x určíme na kalkulačce. POZOR! Zadávat bez mínusu! Každá kalkulačka je naprogramovaná tak, že zadáš-li do ní kladnou hodnotu goniometrické funkce, dá ti úhel z prvního kvadrantu, neboť v tomto kvadrantu jsou hodnoty všech čtyř základních goniometrických funkcí kladné (viz shrnutí). Nezapomeň použít tlačítko „shift“ či „2ndf“, zjišťuješ úhel, nikoli hodnotu funkce. Taktéž si zkontroluj, že máš kalkulačku nastavenou na radiány (RAD či R).

„Hloupější“ kalkulačka „vyplivne“ 1,047197551, chytřejší kalkulačka 3 . Buď jak buď,

v obou případech se jedná o číslo z intervalu

2;0 resp. úhel z prvního kvadrantu. Jelikož

hledaný úhel x je z II. resp. III. kvadrantu, označíme si výsledek z kalkulačky třeba x* a budeme ho nazývat „pomocným úhlem“. Ten nyní využijeme při výpočtu kořenů rovnice přesně podle shrnutí v úvodu. Nesmíme zapomenout přidat periodu, jelikož funkce kosinus je periodická s periodou 2π.

x*

2;0

3

II. III. x = π – x* + 2πk ; Zk x = π + x* + 2πk ; Zk

x = k 23 ; Zk x = k 2

3 ; Zk

x = k 232

; Zk x = k 234

; Zk

Kolik máme výsledků? Dva? Nikoli, je jich nekonečně mnoho, ale shrnuli jsme je dvěma zápisy. Takže jim přihodíme indexy, pro pořádek.

Zkkx ;232

1

Zkkx ;234

2

Zbývá ověření v MATMATu. Zápis 5,0cos x můžeme chápat i jako rovnost dvou funkcí. Vlevo goniometrická funkce

xy cos , vpravo konstantní funkce 5,0y . Když jejich grafy vykreslíme do jednoho obrázku, tak tam, kde se protnou, leží hledané kořeny x rovnice 5,0cos x .

Jak je vidět na obrázku, rozestupy modrých i zelených průsečíků jsou 2π, což odpovídá periodě funkce xy cos .

b) 2203 xtg Řešení: Nejprve je třeba vydělit rovnici třemi. Dostaneme:

3220 xtg Nyní zavedeme substituci (x – 20°) = y. Dostaneme:

32

ytg

Fajn. Toto je rovnice ve tvaru f (y) = c, kde Rc . Konkrétně f je funkce tangens, c = 32 .

Můžeme tedy začít se samotným řešením. První krok je určení kvadrantů. Tangens je kladný v I. a III. kvadrantu. Tak si to hezky nachystáme. I. III. y = y = Dále bychom měli vědět, že funkce tangens je periodická s periodou . Protože však v zadání figurují stupně (což vidím nerad), použijeme zápis periody ve stupních. I. III. y = + 180°k ; Zk y = + 180°k ; Zk Teď vezmeme kalkulačku a zjistíme pomocný úhel y* s přesností na celé minuty. Kalkulačku je před tím třeba přepnout na stupně (DEG či D). y* = 33°41´ Jelikož hledaná hodnota y je z I. a III. kvadrantu, je pomocný úhel y* přímo jedním z řešení. To druhé dopočítáme podle shrnutí v úvodu (číslo π nahradíme hodnotou 180°). I. III. y = 33°41´ + 180°k ; Zk y = (180° + 33°41´) + 180°k ; Zk y = 33°41´ + 180°k ; Zk y = 213°41´+ 180°k ; Zk Teď je třeba přejít k původní proměnné. I. III. x – 20° = 33°41´ + 180°k ; Zk x – 20° = 213°41´+ 180°k ; Zk x = 53°41´ + 180°k ; Zk x = 233°41´+ 180°k ; Zk Kolik máme výsledků? Dva? Nikoli, je jich nekonečně mnoho, ale můžeme je shrnout jen jedním zápisem. Přičteme-li totiž k úhlu 53°41´ jednu periodu (tj. 180°), dostaneme číslo 233°41´. Oba výsledky tedy vyjadřují to samé. Tak si vybereme jen jeden z nich. x = 53°41´ + 180°k ; Zk Zbývá ověření v MATMATu. Úhlu 53°41´ odpovídá úhel 0,937 rad, tj. číslo 0,937.

Úhlu 20° odpovídá úhel 9 rad, tj. číslo

9 .

(MATMAT to se stupni neumí)

Jak je vidět na obrázku, rozestupy všech průsečíků jsou π, což odpovídá periodě funkce

xtgy . c) 6102sin x Řešení: Hodnota funkce sinus (stejně tak kosinus) je vždy číslo z intervalu 1;1 , takže smůla. Rovnice nemá řešení. d) 6,0102sin x Řešení: Nejdříve zavedeme substituci 2x + 10° = y. Dostaneme rovnici: 6,0sin y . To už je rovnice ve tvaru f (y) = c, kde Rc . Konkrétně f je funkce sinus, c = – 0,6. Můžeme tedy začít se samotným řešením. První krok je určení kvadrantů. Sinus je záporný ve III. a IV. kvadrantu. Tak si to hezky nachystáme. III. IV. y = y = Dále bychom měli vědět, že funkce sinus je periodická s periodou 2π. Protože však v zadání figurují stupně, použijeme zápis periody ve stupních. III. IV. y = + 360°k ; Zk y = + 360°k ; Zk Teď vezmeme kalkulačku a zjistíme pomocný úhel y* s přesností na celé minuty. y* = 36°52´ Nyní dopočítáme hodnoty y podle shrnutí v úvodu.

Číslo 2π nahradíme hodnotou 360°. III. IV. y = (180° + 36°52´) + 360°k ; Zk y = (360° – 36°52´) + 360°k ; Zk y = 216°52´ + 360°k ; Zk y = 323°8´+ 360°k ; Zk

Teď přejdeme k původní proměnné. III. IV. 2x + 10° = 216°52´ + 360°k ; Zk 2x + 10° = 323°8´+ 360°k ; Zk 2x = 206°52´ + 360°k ; Zk 2x = 313°8´+ 360°k ; Zk Zbývá vydělit rovnice dvěma. POZOR, dělíme i periodu!! III. IV. x1 = 103°26´ + 180°k ; Zk x2 = 156°34´+ 180°k ; Zk Dovolil jsem si výsledky rovnou indexovat. Je zřejmé, že přičteme-li k úhlu 103°26´ jednu periodu (tj. 180°), nedostaneme úhel 156°34´. Rovnice má nekonečně mnoho řešení, které lze shrnout dvěma zápisy. Zbývá ověření v MATMATu. Úhlu 103°26´ odpovídá číslo 1,805.

Úhlu 156°34´odpovídá číslo 2,733.

Úhlu 10° (pro potřeby MATMATu) odpovídá číslo 18 .

Jak je vidět na obrázku, rozestupy modrých i zelených průsečíků jsou π, což odpovídá periodě funkce xy 2sin . e) 01sin x Řešení: Nejdříve zavedeme substituci (1 – x) = y. Dostaneme rovnici sin y = 0. To je rovnice ve tvaru f (y) = c, kde Rc . Konkrétně f je funkce sinus, c = 0. Jelikož nula není ani kladná, ani záporná, nebudeme tentokrát postupovat „přes kvadranty“. Stačí si uvědomit, že sinus je roven nule pro všechny celočíselné násobky čísla π.

Zkky ; Zpátky k původní proměnné. Zkkx ;1 Zkxk ;1

Tento výsledek můžeme s klidem zapsat i ve tvaru Zkkx ;1 , neboť na znaménku před periodou pramálo záleží. Zbývá kontrola v MATMATu.

Jak je vidět na obrázku, rozestupy průsečíků funkce xy 1sin s osou x (graf funkce y = 0) jsou skutečně rovny π, i když funkce xy 1sin je periodická s periodou 2π.

SUBSTITUCE Druhým typem goniometrických rovnic běžně probíraných na střední škole jsou rovnice na užití substituce, ovšem trošku jiné než v předchozích příkladech, takže ji směle označím jako substituce 2. typu. S tímto označením se pravděpodobně jinde nesetkáte. Celkem si dovoluju, co?

f) 01coscos2 2 xx Řešení: Nejdříve je třeba zavést onu substituci 2. typu. Ta spočívá v tom, že tentokrát nahradíme celou funkci, nikoli jen argument (úhel). SUBST. : xy cos

012 2 yy Toto je jednoduchá kvadratická rovnice. D = 9 → 3D .

431

2,1

y → 11 y , 21

2 y . Teď zpátky k původní proměnné.

1) xcos1 Toto je rovnice ve tvaru f (x) = c, kde Rc . Při jejím řešení nebudeme postupovat „přes kvadranty“, jelikož jednička (stejně tak mínus jednička a nula) je u funkcí sinus a kosinus význačná hodnota a obě funkce tuto hodnotu nabývají někde „mezi kvadranty“ Specielně funkce kosinus ji nabývá ve všech Zkkx ;2 (tj. mezi I. a IV. kvadrantem, dá-li se to tak říct).

2) xcos21

Funkce kosinus je záporná ve II. a III. kvadrantu, její perioda je rovna 2π. II. III. x = Zkkx ;2* x = Zkkx ;2*

Pomocný úhel x* = 3 .

II. III.

x = Zkk ;23

x = Zkk ;23

x = Zkk ;232 x = Zkk ;2

34

Tyto dva zápisy nelze sloučit do jednoho. Přidáme-li však řešení z 1), už se nám to podaří.

Zkkx ;230

1 + Zkkx ;232

2 + Zkkx ;234

3 → Zkkx ;32

Jak je vidět na obrázku, rozestupy průsečíků funkce 1coscos2 xxy s osou x jsou

skutečně pravidelné a rovny 32 .

g) xxx 23 cos4cos43cos3 SUBST. : xy cos

23 4433 yyy Kubická rovnice?!!? Ano, ale snadno řešitelná! Stačí umět vytýkat. 1413 2 yyy

První řešení je evidentní: 11 y . Abychom se dopracovali k těm ostatním, celou rovnici vydělíme výrazem y + 1. Dostaneme rovnici:

243 y → 23

3,2 y . Nyní se vrátíme k původní proměnné.

1) xcos1 Funkce kosinus nabývá hodnotu – 1 ve všech Zkkx ;2 (mrkni na graf funkce kosinus, jestliže jsi sešel z cesty)

2) xcos23

Pomocný úhel x* = 6 a je to přímo jedno z řešení.

I. IV.

x = Zkk ;26

x = Zkk ;26

2

x = Zkk ;26

11

3) xcos23

Pomocný úhel zůstává stejný → x* = 6 .

II. III.

x = Zkk ;26

x = Zkk ;26

x = Zkk ;265 x = Zkk ;2

67

Shrneme-li všechny dosažené výsledky a trochu je seřadíme, dostáváme:

Zkkx ;21 Zkkx ;262 Zkkx ;2

65

3

Zkkx ;267

4 Zkkx ;26

115

Všechny do jednoho zápisu sloučit nelze, lze však sloučit x2 s x4 a x3 s x5.

Zkkx ;21 Zkkx ;62 Zkkx ;

65

3

Jak je vidět na obrázku, rozestupy červených průsečíků jsou pravidelné a rovny 2π. Rozestupy černých resp. modrých průsečíků jsou taktéž pravidelné, ovšem rovny π.

ROZKLAD NA SOUČIN h) xxx sin25cossin2 Řešení: Substituce není možná. Nahradíme-li např. sin x = y, co pak bude cos 5x? Ví bůh. Takže jinak. Upravíme rovnici tak, aby vpravo zůstala nula.

0sin25cossin2 xxx Nyní pomocí vytýkání upravíme rovnici do součinového tvaru. 025cos2sin xx

Levá strana rovnice obsahuje součin dvou výrazů a ten se rovná nule. To znamená, že buď sin x = 0 nebo závorka = 0. Tímto získáme dvě rovnice, které jsou snadno řešitelné s využitím předchozích zkušeností. 1) sin x = 0

Tohle nemá cenu nijak komentovat, řešení je Zkkx ;1 . Rovnou jsem tam šoupnul index, jelikož věřím, že řešení bude víc. No, uvidíme. 2) 2cos 5x – 2 = 0

225cos x Zavedeme substituci y = 5x.

22cos y

Dostali jsme rovnici ve tvaru f (y) = c, kde Rc . Kosinus je kladný v I. a IV. kvadrantu,

pomocný úhel y* = 4 bude součástí řešení. Perioda je rovna 2π.

I. IV.

Zkky ;24

Zkky ;24

2

Zkky ;247

Zpátky k původní proměnné. I. IV.

Zkkx ;24

5 /:5 Zkkx ;2475 /:5

Zkkx ;52

202 Zkkx ;52

207

3

Opětovně jsem rovnou indexoval a barvil na žluto, výsledky totiž nelze sloučit do jediného zápisu. O tom se koneckonců přesvědčíme i na následujícím obrázku.

Koukám, že obrázky jsou čím dál větší „brutus“. Každopádně modré průsečíky odpovídají kořenům x1, zelené kořenům x2 a červené kořenům x3. Rozestupy modrých průsečíků jsou π,

rozestupy zelených resp. červených průsečíků jsou 52 .

i) 0cos32cos3 xxxtg Proč mi to ten tangens píše pořád kurzívou? Řešení: Nejprve „zatkneme“ cos x před závorku.

0323cos xtgx Opět tu máme součin dvou výrazů roven nule. 1) cos x = 0

No comment, buddy! Zkkx ;21

2) 0323 xtg

332 xtg Zavedeme substituci y = 2x a dostaneme rovnici:

33

tgy .

Pomocný úhel6

* y , perioda je rovna π.

II. IV.

Zkky ;6

Zkky ;6

2

Zkky ;65 Zkky ;

611

Zpět k původní proměnné.

II. IV.

Zkkx ;652 /:2 Zkkx ;

6112 /:2

Zkkx ;212

52

Zkkx ;212

11

Opět jsem si dovolil rovnou indexovat a žlutit, pozorný čtenář jistě tuší proč. Zbývá obrázek. Žluté průsečíky funkce s osou x reprezentují kořeny x1 a „skáčou po pí“, červené průsečíky reprezentují kořeny x2 a „skáčou po pí půl“.

UŽITÍ ZÁKLADNÍCH GONIOMETRICKÝCH VZORCŮ Tato kapitola bude pro mé současné žactvo ve většině případů trochu nad rámec, ale kdo ví, třeba se to bude jednou hodit. Tož tak. Existuje celá řada goniometrických vzorců a my si ukážeme jen užití několika z nich. Taktéž není třeba si je všechny pamatovat, stačí je umět rozpoznat a dohledat. Začneme dvěma nejjednoduššími, které se rozhodně vyplatí znát. i) sin2 x + cos2 x = 1, Rx (plyne z Pythagorovy věty) ii) tg x cotg x = 1, Rx (plyne přímo z definicí obou funkcí) j) xx sin33cos2 2 Řešení: Ze vzorce i) plyne: cos2 x = 1 – sin2 x. Výraz 1 – sin2 x tedy můžeme dosadit do rovnice za cos2 x. Dostaneme: xx sin33sin12 2 Tohle už je typická rovnice na užití substituce (2. typu).

SUBST. : xy sin

yy 3312 2

0132 2 yy → D = 1 → 1D → 4

132,1

y →

21;1y

Můžeme přejít k původní proměnné.

1) sin x = –1 → Zkkx ;223

1

2) sin x = –21 → Zkkx ;2

67

2 , Zkkx ;26

113

Obrázek vytvořte sami, mně už se nechce. Beztak to mám dobře. k) 04cot3 22 xgxtg Zas ta kurzíva! A ten kotangens je doslova k nekoukání! Řešení:

Ze vzorce ii) plyne: tgx

gx 1cot . Tento fakt aplikujeme na naši rovnici. Dostaneme:

0432

2 xtg

xtg SUBST. : xtgy 2

043

yy → y2 – 4y + 3 = 0 → 3;1y

Přejdeme zpět k proměnné x.

1) tg2 x = 1 → tg x = 1

Nachystáme všechny kvadranty. Pomocný úhel x* = 4 a je to součást řešení. Perioda funkce

tangens je rovna π. I. II. III. IV.

kx

4 kx

43 kx

45 kx

47

Toto všechno lze shrnout do jednoho zápisu: Zkkx ;241

2) tg2 x = 3 → tg x = 3

Nachystáme znovu všechny kvadranty. Pomocný úhel x* = 3 a je to součást řešení. Perioda

zůstává stejná. I. II. III. IV.

kx

3 kx

32 kx

34 kx

35

Toto lze pro změnu shrnout do dvou zápisů: Zkkx ;32 , Zkkx ;

32

3 .

Černé kuličky odpovídají kořenům x1 a skáčou po pí půl, modré kuličky odpovídají kořenům x2 a skáčou po pí a zelené kuličky odpovídají kořenům x3 a skáčou také po pí. Sakra, úplně jsem teď dostal chuť zahrát si kuličky. A s duhovkama! l) 1cos3sin xx Řešení: Ze vzorce i) plyne: cos2 x = 1 – sin2 x. To ovšem znamená, že rovnici budeme muset umocnit. Nejdříve však odečteme ten sinus na druhou stranu, jinak by to bylo „vo hubu“.

xx sin1cos3

Nyní rovnici umocníme (vpravo podle vzorce (a – b)2). Nesmíme při tom zapomenout, že provádíme neekvivalentní úpravu rovnice, a proto bude nutné na závěr provést ZKOUŠKU!!

22 sin1cos3 xx xxx 22 sinsin21cos3 Použijeme větu i).

xxx 22 sinsin21sin13 A teď pryč s těmi siny, takže SUBST. : xy sin . 22 2113 yyy Dostali jsme jednoduchou kvadratickou rovnici.

D = 9 → 3D →

1;

21y

1) sin x = 1 → Zkkx ;221

2) sin x = –21 → Zkkx ;2

67

2 , Zkkx ;26

113

ZK: Kořeny postupně dosadíme do původní rovnice.

Zkkx ;221 L = 10312

2cos32

2sin

kk

P = 1 L = P A kořen jsem mohl zažlutit.

Zkkx ;267

2

L = 223

21

233

212

67cos32

67sin

kk

P = 1 L ≠ P Tento kořen neprošel.

Zkkx ;26

112

L = 123

21

233

212

611cos32

611sin

kk

P = 1 L = P Tento kořen prošel (upravil jsem mu rovnou index z 3 na 2).

Jak je vidět na obrázku, rozestupy žlutých i červených průsečíků jsou rovny 2π. Jedničku na pravé straně rovnice reprezentuje konstantní funkce y = 1.

iii) součtové vzorce RyRxxyyxyx ,,cossincossinsin RyRxyxyxyx ,,sinsincoscoscos

m) 23

3sinsin

xx

Řešení:

Použijeme první ze součtových vzorců, x zůstává, y = 3 .

23cos

3sin

3cossinsin xxx

23

3sin;

21

3cos

23

2cos3

2sinsin

xxx Sečteme siny.

23

2cos3

2sin3

xx Násobíme dvěma.

3cos3sin3 xx Vydělíme číslem 3 , uznáme-li za vhodné. 1cossin3 xx xx cos1sin3 Nyní rovnici umocníme a pak použijeme vzorec i).

xxx 22 coscos21sin3 xx 22 cos1sin xxx 22 coscos21cos13 SUBST. : xy cos

22 2113 yyy Kvadratická rovnice.

D = 9 → 3D →

1;

21y

1) cos x = –1 → Zkkx ;21

2) cos x = 21 → Zkkx ;2

32 , Zkkx ;235

3

ZKOUŠKA OPĚT NUTNÁ!

Zkkx ;21 L =

kk

2

3sin2sin =

23

230

P = 23

L = P A kořen jsem zažlutil.

Zkkx ;232 L =

kk

233

sin23

sin = 323

23

P = 23

L ≠ P Tento kořen neprošel.

Zkkx ;235

2 L =

kk

2

335sin2

35sin =

230

23

P = 23

L = P Kořen OK, upravil jsem mu index z 3 na 2.

iv) dvojnásobný úhel Rxxxx ;cossin22sin Rxxxx ,sincos2cos 22 (oba vzorce přímo vyplývají ze součtových vzorců)

n) x

xxgxtg 22

sin12coscot

2

Pěkný příklad. Vybral jsem ho nejen kvůli výrazu cos 2x na pravé straně rovnice, ale i kvůli

výrazu

xtg

2 na straně levé. Jak už jsem uvedl v úvodu tohoto pojednání, při řešení

goniometrických rovnic je znalost průběhu základních goniometrických funkcí naprosto

nezbytná. Jak jinak bych totiž mohl vědět, že

xtg

2 = – cotg x? Ověřte sami.

Řešení: Rovnici nejprve přepíšeme. Zbavíme se tak jedné nepohodlné goniometrické funkce.

xxxggx 2

2

sin12coscotcot

Nyní napravo použijeme druhý ze vzorců iv).

xxxxggx 2

222

sin1sincoscotcot

Provedeme pár drobných úprav pravé strany.

x

xxxxxggx 2

22222

sincossinsincoscotcot

Využili jsme vzorce i).

xxxggx 2

22

sinsin2cotcot

Krátíme.

2cotcot 2 xggx SUBST. : gxy cot

22 yy Opětovně kvadratická rovnice. D = 9 → 3D → 2;1 y

1) cotg x = 1 → Zkkx ;41

2) cotg x = 2 Tento kořen raději rozeberu.

Je-li cotg x = 2 , pak z věty ii) plyne tg x 21

. Tangens je záporný ve II. a IV. kvadrantu,

perioda je rovna π, pomocný úhel x* = 0,464 rad. II. IV.

Zkkx ;464,0 Zkkx ;464,02 Zkkx ;678,2 Zkkx ;819,5

Oba zápisy lze sloučit do jednoho, takže Zkkx ;678,22 .

Pozn. Funkce f2 není definovaná pro všechna Zkkx ; . S tím má můj digitální oblíbenec jak tak koukám trochu problémy.

v) součet a rozdíl funkcí Rxyxyxyx

;2

cos2

sin2sinsin

Rxyxyxyx

;2

sin2

cos2sinsin

Rxyxyxyx

;2

cos2

cos2coscos

Rxyxyxyx

;2

sin2

sin2coscos

o) 03sin2sinsin xxx Řešení: Na krajní členy levé strany rovnice použijeme první z vět v), takže x zůstává, y = 3x.

02sin23cos

23sin2

xxxxx Hm, ten mínus se mi tam nelíbí. Tak jinak,

x = 3x, y = x.

02sin2

3cos2

3sin2 xxxxx Gut.

02sin2

2cos2

4sin2 xxx

02sincos2sin2 xxx Vytkneme sin 2x před závorku. 01cos22sin xx

Dostali jsme rovnici v součinovém tvaru. To už tu bylo, takže pohoda jahoda.

1) 02sin x → Zkkx ;2 → Zkkx ;21

2) 01cos2 x → 21cos x → Zkkx ;2

32

2 , Zkkx ;234

3

Jak je vidět na obrázku, rozestupy zelených i červených průsečíků jsou rovny 2π, kdežto černé průsečíky „skáčou po pí půl“.

vi) poloviční úhel Rxxx

;

2cos1

2sin

Rxxx

;

2cos1

2cos

p) 0sin2

sin3 xx

Řešení: Tato rovnice se dá vyřešit i elegantněji a bez použití vzorců vi), ale to je fuk. Nejprve odečteme sin x na druhou stranu a pak rovnici umocníme.

xx sin2

sin3

xx 22

sin2

sin3

Z první věty vi) plyne:

2cos1

2sin

2 xx

xx 2sin2cos13

Z věty i) plyne xx 22 cos1sin

xx 2cos12cos13

SUBST. : xy cos

212

13 yy

Kvadratická rovnice. Po úpravách vypadá takto:

0132 2 yy D = 1 → 1D →

21;1y

1) cos x = 1 → Zkkx ;21

2) cos x = 21 → Zkkx ;2

32 , Zkkx ;235

3

ZKOUŠKA NUTNÁ!!

Zkkx ;21 L = 00032sin2

2sin3

kk

P = 0 L = P A kořen jsem zažlutil.

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Zkkx ;232

L =

k

k

23

sin2

23sin3 =

23

6sin3

k

Tady je třeba to trochu rozvést.

Je-li k = 0, dostaneme L = 323

23

23

6sin3

≠ P

Je-li k = 1, dostaneme L = 023

23

23

67sin3

23

6sin3

= P

Je-li k = 2, pak L ≠ P. Je-li k = 3, pak L = P. ... I naprostý matematický diletant jistě pochopil, že číslo k musí být liché, jinak zkouška nevyjde. Lichá čísla lze zapsat mnoha způsoby, např. výrazem Zkk ,12 . Platí tedy:

Zkkx ;12232 → Zkkx ;24

32 → Zkkx ;437

2

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Zkkx ;235

3

L =

k

k

2

35sin

2

235

sin3 =23

65sin3

k

Opět to celé rozvedeme.

Je-li k = 0, dostaneme L = 023

23

23

65sin3

= P

Je-li k = 1, dostaneme L = 323

611sin3

23

65sin3

≠ P

Je-li k = 2, pak L = P. Je-li k = 3, pak L ≠ P. ... Aby zkouška vyšla, číslo k musí být sudé. Sudá čísla lze zapsat mnoha způsoby, např. výrazem Zkk ,2 . Platí tedy:

Zkkx ;2235

3 → Zkkx ;435

3

Obrázek tentokrát nebude a není to díky mé vrozené lenosti. Perioda 4π je příliš dlouhá, obrázek bych musel hodně zmenšit a stal by se nečitelným.

ŘEŠENÍ GONIOMETRICKÝCH ROVNIC NA INTERVALU q) Najdi všechna řešení ;3x rovnice 01cos12cos2 2 xx . Řešení: Rovnici vyřešíme jako obvykle a poté dohledám řešení z požadovaného intervalu.

01cos12cos2 2 xx SUBST. : xy cos

01122 2 yy

124122

D = 24212 = 242221 = 2221 =

= 221

21D

22

21122,1

y → 1

2222

222112

1

y

22

222

222112

2

y

Pozn. Při výpočtu diskriminantu jsem použil vzorec (a – b)2 = a2 – 2ab + b2, abych se vyhnul odmocnině z odmocniny. A teď zpátky k původní proměnné. 1) xcos1 → Zkkx ;2 Z těchto nekonečně mnoha řešení je třeba nalézt ta, která spadají do intervalu ;3 . Evidentně jsou to ta, která přísluší celým číslům k = 0 (x1 = 0) a k = –1 (x2 = –2π).

2) xcos22 → II. a III. kvadrant, Zkkx ;2

43 , Zkkx ;2

45

Opět je třeba nalézt řešení z intervalu ;3 . Začneme prvním zápisem.

Zkkx ;243

k = 0 → 3x 43

k = 1 → 4

11x a to už je moc. Tak pojedeme na druhou stranu.

k = –1 → 243

4x 45

k = –2 → 4

13443

x a to už je zase málo. Přibyla tedy dvě řešení.

Zkkx ;245

k = 0 → 45

x a to je moc.

k = –1 → 245

5x 43

k = –2 → 445

6x 4

11

k = –3 → 4

19645

x a to je málo. Přibyla tedy další dvě řešení.

Závěr: Na intervalu ;3 má rovnice šest řešení:

;

43;0;

43;;

45;2;

411

x

r) Najdi všechna řešení 0;5x rovnice 21

4sin 2

x .

Řešení: Rovnici nejprve odmocníme. Nesmíme zapomenout na absolutní hodnotu!

21

4sin

x = 22 Pomocný argument je

4 a jelikož mám hodnoty kladné i záporné,

nachystáme si rovnou všechny čtyři kvadranty. I. II. III. IV.

kx 244 kx 2

43

4 kx 2

45

4 kx 2

47

4 / 4

kx 8 kx 83 kx 85 kx 87

Jak tak na to řešení koukám, skáče to po 2π, takže všechny čtyři zápisy sloučíme do jednoho: např. kx 2 Na závěr najdeme všechna řešení z požadovaného intervalu. Jsou dvě (pro k = –1 a k = –2).

;3x Obrázek je na další straně.

Pozn. Po dopsání tohoto textu jsem si s hrůzou uvědomil, že na všech obrázcích chybí popisky souřadnicových os. Takže pro všechny detailisty, šťouraly a kosmické bytosti dodávám: Vodorovná osa je x, svislá osa je y. Platí pro všechny obrázky v tomto textu. Pozn. Ve svých zápisech, které si vedu již hezkou řádku let, jsem objevil i tento, jenž pochází z období, kdy jsem se připravoval na maturitní zkoušku z matematiky: 20. 4. 1996 ... Absolutně nechápu, co mám dělat s touhle rovnicí: 04sin3sin2sinsin xxxx . ... Trumfni mě !!!