逆問題スプリングスクール R言語による演習tcu-yoshida-lab.org/Inverse_HP/pdf_ss/2_1_otake.pdf · 逆問題スプリングスクール r言語による演習 2016年3月5日

逆問題スプリングスクール

R言語による演習

2016年3月5日 9：○○～12：○○

逆問題小委員会

：山本真哉（清水建設）：西村伸一（岡山大学）

土木学会応用力学委員会

講師：大竹雄（新潟大学）

内容

◆第一部：プログラミングの基本的理解(70min)

•R言語とは？

•R言語のインストール

•プログラミングのための基礎

•簡単な例題演習と理解

◆第二部：逆問題の基礎的な例題(80min)

•基礎例題に即したプログラムミング基礎演習

•粒子フィルタープログラミング基礎演習1

内容

◆第一部：プログラミングの基本的理解

•R言語とは？




◆第二部：逆問題の基礎的な例題

•例題に即したプログラムミング演習

•粒子フィルタープログラミング基礎演習

2

R言語とは？

• R言語(アールげんご)は、オープンソースでフリーソフトウェアの統計解析向けプログラミング言語、及びその開発実行環境である。

• R言語は、ニュージーランドのオークランド大学のRoss IhakaとRobert Gentlemanにより作られた。現在では、R Development Core Team（S言語開発者であるJohn M. Chambersも参画。 R Project Contributors）によって、メンテナンスと拡張がなされている。

• なお、R言語仕様を実装した処理系の呼称名はプロジェクトを支援するフリーソフトウェア財団によればGNU R（GNU R - Free Software Directory）だが、他の実装形態が存在しないため当記事では日本での慣用的呼称にならい仕様・実装をまとめて適宜 “R言語” や “R” 等と呼ぶ。([Wikipedia] accessed 2014/04/18)

3

R言語のインストール

•筑波大学ダウンロードサイト：http://cran.md.tsukuba.ac.jp/

•おすすめHP：“R-tips”

http://cse.naro.affrc.go.jp/takezawa/r-tips/r.html

•より高度な問題でわからないなら，“R言語 ○○○”と検索

4

プログラミングのための基礎：データ生成

とにかく打ち込んでみましょう！！

#四則演算

1+3

x <- 1+3

x

18-6

2*5

2/8

# ベクトル・データの生成

x <- 1:5

x

x <- c(1:5)

x

x <- seq(from=-3,to=3,by=0.5) # このようにもできる

x <- -3.5 + 0.5*c(1:13) # 上の代替的方法（いろいろあります）5



# 繰り返し(rep)

rep(1:4,4)

rep(1:4,c(2,2,2,2)) # rep = repeate

rep(1:4,rep(2,4))

rep(1:4,1:4)

x <- 1:8

dim(x) <- c(2,4) # dimは，行列を生成する関数である

x

dim(x) <- c(4,2)

x

# 行列指定によるデータの生成

x <- matrix(1:8,2,4,byrow=F) # matrixも列を生成する関数である

x <- matrix(1:8,2,4,byrow=T)

x <- matrix(1:16,ncol=4) 6



# ベクトルの連結による行列の生成

x <- cbind(c(1,2,3),c(4,5,6))

#cbindは，二つ以上のベクトルを列として行列生成

x

y <- rbind(c(1,4),c(2,5),c(3,6))

#rbindは，二つ以上のベクトルを行として行列生成

y

# cbind = colum bind， rbind = row bind

# ベクトルと行列の演算

z <- x + y # 演算子(+ - * / ^2)は，要素に適用される．

z

x - y

x * y

x / y

x^2 7



# 行列積は「%*%」

x <- matrix(1:4,2,2,byrow=T)

z <- c(5,5)

x ; z

x <- x %*% t(x)

x

v <- x %*% z

v

t(x) # 行列の転置

xinv <- solve(x) # 逆行列の計算も簡単

xinv

x %*% xinv

8



# 便利な機能

diag(x) # 対角要素の取り出し

ncol(x) # 列の数 number of columbes

nrow(x) # 行の数 number of rows

solve(x) # 逆行列の計算

solve(x,z) # 係数行列x，定数ベクトルzとする連立方程式の解

col(x) # 列番号を要素とする行列の生成

row(x) # 行番号を要素とする行列の生成

svd(x) # 特異値分解

9



# データの追加:データの後ろに，データを追加する

score <- c(45, 46, 28, 64, 45, 64, 88, 32, 54, 65, 59, 76, 83)

score

newscore1 <- c(score,c(57, 69, 56, 72, 95))

newscore1

newscore1<- append(score,c(57, 69, 56, 72, 95))

newscore1

#データの挿入：11番目と12番目のデータの間に，新しいデータを挿入する

newscore2 <- c(score[1:10],c(57, 69, 56, 72, 95),score[11: length(score)])

newscore2

newscore2 <- append(score,c(57,69,56,72,95),after=10)

newscore210



# データの削除：11番目から15番目のデータを削除する

newscore3 <- newscore2[-11:-15]

newscore3

score

# データの置換：1番目のデータを置換する．

11番目から13番目のデータを置換する．

newscore3[1] <- 88

newscore3

newscore3[10:13] <- c(88,95,75,100)

newscore3

11

プログラミングのための基礎：グラフィック関係

まずは，一気に打ち込んで，コマンドの意味を考えてみてください

# 例題：グラフプロット

n <- 20 #？？

r1 <- 0.9 # ？？

r2 <- -0.7 # ？？

x1 <- rnorm(n) # ?？

y1 <- r1*x1 + sqrt(1-r1^2)*rnorm(n) # ？？

x2 <- rnorm(n) # ？？

y2 <- r2*x2 + sqrt(1-r2^2)*rnorm(n) # ？？

plot(x1,y1,xlim=c(-4,4),ylim=c(-4,4),xlab="x",ylab="y")

points(x2,y2,pch=19) #pchはプロットの種類番号

segments(-5,0,5,0)

segments(0,-5,0,5)

# ？？12

-4 -2 0 2 4

-4-2

02

4

x

y


13

x1-y1

x2-y2

plot

points

segments

segments


それぞれのコマンドの説明

# 例題：グラフプロット

n <- 20 #乱数を生成する数

r1 <- 0.9 #相関係数①

r2 <- -0.7 #相関係数②

x1 <- rnorm(n) #正規乱数の生成

y1 <- r1*x1 + sqrt(1-r1^2)*rnorm(n) #x1に相関した正規乱数の生成

x2 <- rnorm(n) #正規乱数の生成

y2 <- r2*x2 + sqrt(1-r2^2)*rnorm(n) #x2に相関した正規乱数の生成

plot(x1,y1,xlim=c(-4,4),ylim=c(-4,4),xlab="x",ylab="y")

points(x2,y2,pch=19) #pchはプロットの種類番号

segments(-5,0,5,0)

segments(0,-5,0,5)

# plot：散布図，points：散布図の追加，segments：基準線の追加14



# 例題：グラフプロットの種々の例題

lines(c(0.0,-4.0),c(0.0,4.0),lty=2)

lines(c(0.0,4.0),c(0.0,4.0),lty=2)

#自分でいろいろためしてみてください

text(3.5,3.5,"I",cex=2.0)

text(-3.5,3.5,"II",cex=2.0)

text(-3.5,-3.5,"III",cex=2.0)

text(3.5,-3.5,"VI",cex=2.0)

legend(-1,-2,c("rho=0.9","rho=-0.7"),pch=c(1,19))

# 困ったときの対応，for help?

help("plot")

help("hist")15

-4 -2 0 2 4

-4-2

02

4

x

y

III

III VI

rho=0.9rho=-0.7


16

簡単な例題演習と課題：台形公式による数値積分

#

#****** 問題数値積分：台形公式 ***************************

# 任意関数の数値積分を考える．ここでは，次の2つの積分を考える．

# (1) f(x)= -(x-1)^2 + 1 放物線の(0,2)区間の積分

# (2) f(x)= sqrt(4 - (x-2)^2 ) 半径2，中心(2,0)の半円の(0,4)区間の積分

#

#

# ※ポイント

# FortranのようなDo ループはいりません

# この問題を解くことにより，

# R言語の特性が理解できます

#

17xs xe

Dx Dx

F(xs)

F(x)


18

x

f(x)

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

-3

-2

-1

0

1

x

f(x)

0 1 2 3 4 5

0

1

2

3

4

5

(1)f(x)= -(x-1)^2 + 1 放物線の(0,2)区間の積分

(2)f(x)= sqrt(4 - (x-2)^2 ) 半径2，中心(2,0)の半円の(0,4)区間の積分


19

これまでの演習の復習しながら

各自プログラミングしてみてください

まずは(1)の例題，時間があれば(2)へ

必要なコマンド：ベクトルXの足算

sum(X)

20

# (1)の解答例

xs <- 0

xe <- 2

n <- 100

Dx <- (xe-xs)/n

x <- c(1:n)

x1 <- xs + (x-1) * Dx

x2 <- xs + x * Dx

F1 <- -(x1-1)^2 + 1

F2 <- -(x2-1)^2 + 1

x <- (F1+F2)/2*Dx

Int <- sum(x)

Int


？？？？3行

※すでにベクトルです


21

# (2)の解答例

xs <- 0

xe <- 4

n <- 100

Dx <- (xe-xs)/n

x <- c(1:n)

x1 <- xs + (x-1) * Dx

x2 <- xs + x * Dx

F1 <- sqrt(4 - (x1-2)^2 )

F2 <- sqrt(4 - (x2-2)^2 )

x <- (F1+F2)/2*Dx

Int <- sum(x)

Int


？？？？3行



22

# Function化によりすっきりさせる

simpson <- function(xs,xe)

{

# fun(x)で定義された一変数関数を，(xs,xe)の間で数値積分する．

n <- 100

Dx <- (xe-xs)/n

x <- c(1:n)

x1 <- xs + (x-1) * Dx

x2 <- xs + x * Dx

x <- (fun(x1)+fun(x2))/2*Dx

Int <- sum(x)

Int

}


？？？？

23

# Function化によりすっきりさせる

fun <- function(x)

{ -(x-1)^2 + 1 }

curve(fun,0,2)

simpson(0,2)

fun <- function(x)

{ sqrt(4 - (x-2)^2 ) }

curve(fun,0,4)

simpson(0,4)



# Rでは，確率分布を表す関数はある規則により統一されている

# 例えば正規分布を例に取ると，

dnorm(x,xmean,xsd)

＃平均 xmean，標準偏差xsdの確率密度関数（PDF）

# xに応じた確率密度を出力．dnorm(x)でディフォルトはN(0,1)

pnorm(x,xmean,xsd)

#平均 xmean，標準偏差xsdの確率分布関数（CDF）xに応じた累積確率を出力．

qnorm(p,xmean,xsd)

#平均 xmean，標準偏差xsdのquantile関数（CDFの逆関数）pに応じたxを出力．

rnorm(n,xmean,xsd)

#平均 xmean，標準偏差xsdのn個の乱数を生成する．

#すべての関数で，頭文字がd,p,q,rにより，機能が統一されている．

24

内容

◆第一部：プログラミングの基本的理解

•R言語とは？




◆第二部：逆問題の基礎的な例題

•基礎例題に即したプログラムミング基礎演習

•粒子フィルタープログラミング基礎演習

25

26

例題1：優決定問題（m>n）

Hxz zHx 1

変位z1, z3, z5を計測し，外力x1とx4を推定する問題を考える．

4

1

5

3

1

1016111

795210

xx

zzz

795210

1016111 1

4

1

xx

1h 2h 3h 4h 5h1 2 3 4 5

11, zx 3z 4x 5z

27

優決定問題の解

0 2 4 6 8 10

02

46

810

X1

X4

1041 xx

526 41 xx

正解

(7.7,3.4)

(8,2)

7910 41 xx

13717173THH

zHHHx T1Tˆ

795210

1061111

13717173 1

4

1

4.37.7

ˆxx

x

zHHHx T1Tˆ

28


【参考：R言語プログラム】

#Hマトリックスの生成H <- c(1,1,1,1,6,10)H <- matrix(H,3,2)

#Zベクトルの生成Z <- c(10,52,79)

#求解X <- solve( t(H) %*% H ) %*% t(H) %*% Z

#解の表示・確認X

0 2 4 6 8 10

02

46

810

X1

X4

1041 xx

526 41 xx

正解

(7.7,3.4)

(8,2)

7910 41 xx

zHHHx T1Tˆ

29



>> 前頁の続き

F1 <- function(xx){ - xx + 10 }F2 <- function(xx){ - 6*xx + 52 }F3 <- function(xx){ - 10*xx + 79 }

xx <- c(0:100)/10yy <- F1(xx)

plot(xx,yy,type="l",xlab="X1",ylab="X4",col=2)yy <- F2(xx)

points(xx,yy,type="l",lty=2,col=2)yy <- F3(xx)

points(xx,yy,type="l",lty=3,col=2)points(X[2],X[1],cex=2)points(8,2,cex=2,pch=19)0 2 4 6 8 10

02

46

810

X1

X4

1041 xx

526 41 xx

正解

(7.7,3.4)

(8,2)

7910 41 xx

zHHHx T1Tˆ

0 2 4 6 8 10

02

46

810

X1

X4

30


zHHHx T1Tˆ

################################コンター図

>> 前頁の続き

N1 <- 100N2 <- 100

J <- matrix(1:N1*N2,N1,N2)X1 <- 0

for( i in 1:N1){X1 <- X1 + 0.1X2 <- 0

for( j in 1:N2){X2 <- X2 + 0.1XX <- c(X2, X1)J[i,j] <- t(Z - H %*% XX ) %*% ( Z - H %*% XX )}

}

x <- seq(from=0.1,to=10,by=0.1)y <- seq(from=0.1,to=10,by=0.1)

contour(x,y,J,add=T,levels=seq(0, 10000, by=50),drawlabels = F,col=grey(0.5))

1041 xx

526 41 xx

正解

(7.7,3.4)

(8,2)

7910 41 xx

0 2 4 6 8 10

02

46

810

X1

X4

31

計測データの信頼度を考慮：重み付き小二乗法

WzHWHHx T1Tˆ

変位z3の信頼度が低いとし，その重みを0.2とする．

正解

(7.7,3.4)

(8,2)

(7.6,2.7)

2.1082.122.122.2TWHH

11002.00001

W

WzHWHHx T1Tˆ

795210

1061111

2.1082.122.122.2 1

4

1

7.26.7

ˆxx

x

0 2 4 6 8 10

02

46

810

X1

X4

32


WzHWHHx T1Tˆ


正解

(7.7,3.4)

(8,2)

(7.6,2.7)


>> 前頁から続き

#データ数のカウントn <- length(Z)

#観測の信頼度（重み）ベクトルW <- matrix(0,n,n)diag(W) <- c(1,0.2,1)

#求解X <- solve( t(H) %*% W %*% H ) %*% t(H) %*% W %*% Z

0 2 4 6 8 10

02

46

810

X1

X4

33


WzHWHHx T1Tˆ


正解

(7.7,3.4)

(8,2)

(7.6,2.7)


>> 前頁から続き

xx <- c(0:100)/10yy <- F1(xx)

plot(xx,yy,type="l",xlab="X1",ylab="X4",col=2)yy <- F2(xx)

points(xx,yy,type="l",lty=2,col=2,lwd=2)yy <- F3(xx)

points(xx,yy,type="l",lty=3,col=2)points(X[2],X[1],cex=2)points(8,2,cex=2,pch=19)points(X1.0,X2.0,cex=2,pch=19,col=grey(0.6))

0 2 4 6 8 10

02

46

810

X1

X4

34


WzHWHHx T1Tˆ

正解

(7.7,3.4)

(8,2)

(7.6,2.7)

################################コンター図

>> 前頁の続き

N1 <- 100N2 <- 100

J <- matrix(1:N1*N2,N1,N2)X1 <- 0

for( i in 1:N1){X1 <- X1 + 0.1X2 <- 0

for( j in 1:N2){X2 <- X2 + 0.1XX <- c(X2, X1)J[i,j] <- t(Z - H %*% XX ) %*% W %*% ( Z - H %*% XX )}

}

x <- seq(from=0.1,to=10,by=0.1)y <- seq(from=0.1,to=10,by=0.1)

contour(x,y,J,add=T,levels=seq(0, 10000, by=50),drawlabels = F,col=grey(0.5))

35

例題2：粒子フィルターのプログラミング基礎劣決定問題（m<n）

変位z1, z5を計測し，外力x1, x3, x5を推定する問題を考える．

Hxz zHx 1

1 2 3 4 5

11, zx 3x 55 , zx

1h 2h 3h 4h 5h

5

3

1

5

1

1561111

25014

xxx

zz

11014

1561111 1

5

3

1

xxx

36

劣決定問題の解：ノルム小解

zHHHx 1TTˆ

14531 xxx

110156 531 xxx

(2,6,10)正解

(4.2,4.6,5.2)

26222223THH

zHHHx 1TTˆ

25014

26222223

1516111 1

5

3

1

2.56.42.4

ˆxxx

x

37

例題2：粒子フィルターのプログラミング基礎

N

i

itt

itt

i

xyp

xyp

1)(

)(

))(())((

21exp

)2(1)( 1 i

ttTi

ttl

itt xHyRxHy

Rxyp

土木学会応用力学委員会逆問題小委員会ホームページ逆問題副読本山本真哉より引用

尤度

38


##################################################################Hマトリックスの生成

H <- c(1,1,1,6,1,15)H <- matrix(H,2,3)

#Zベクトルの生成Z <- c(14,110)#################################################################

#ここからスタート

#粒子の数N <- 10000

#事前分布（一様乱数，1～10）x1 <- runif(N,1,10)x2 <- runif(N,1,10)x3 <- runif(N,1,10)XX <- cbind(x1,x2,x3) #変数を束ねる

#尤度の計算W <- matrix(1:N,N)R <- matrix(rep(0:0),2,2) #観測誤差diag(R) <- 1for(i in 1:N) W[i] <- exp( -1/2 * t( Z - H %*% XX[i,] ) %*% solve(R) %*% ( Z - H %*% XX[i,] ) ) W <- W/sum(W)

39


#################################################################

>> 前頁の続き

#リサンプリング・サブルーチンresampling <- function(W){W.cum <- cumsum(W) #累積和sapply(runif(length(W)), function(x) which(x < W.cum)[1])

}

No.samp <- resampling(W)No <- c(1:N)TEST <- data.frame(No,XX,W) TEST.d2 <- TEST[No.samp, ]

#################################################################

40


##################################################################描画

windows(height=10,width=10)frame()plot.new()par(mfrow=c(2,2))# グラフの外の余白par(oma = c(5, 5, 2, 2))# 上段と下段のグラフ間の余白(ピッタリくっつけるときは"0")par(mar = c(5, 5, 0, 0))

br <- c(0:20)/2hist(TEST.d2$x1,xlim=c(0,10),breaks=br,main="",xlab="x1",probability=T)lines(c(4.2,4.2),c(0,1),col=2)hist(TEST.d2$x2,xlim=c(0,10),breaks=br,main="",xlab="x3",probability=T)lines(c(4.6,4.6),c(0,1),col=2)hist(TEST.d2$x3,xlim=c(0,10),breaks=br,main="",xlab="x5",probability=T)lines(c(5.2,5.2),c(0,1),col=2)

XX <- cbind("x1"=TEST.d2$x1, "x2"=TEST.d2$x2, "x3"=TEST.d2$x3)

41


x1

Den

sity

0 2 4 6 8 10 12

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

x2

Den

sity

0 2 4 6 8 10 12

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

x3

Den

sity

0 2 4 6 8 10 12

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

42


0 2 4 6 8 10

02

46

810

X1

X3

0 2 4 6 8 10

02

46

810

X1

X5

0 2 4 6 8 10

02

46

810

X3

X5

これまでの演習の復習しながら

各自プログラミングしてみてください

43

例題3：粒子フィルターのプログラミング基礎非線形問題

21

21

21

22

12

11

752

xx

xx

xx

0.71420.5555

ˆ2

1

xx

x

44


#Zベクトルの生成Z <- c(2,5,7)

#粒子の数N <- 10000

#事前分布（一様乱数，0～5）x1 <- runif(N,0,5)x2 <- runif(N,0,5)XX <- cbind(x1,x2) #変数を束ねる

#尤度の計算W <- matrix(1:N,N)R <- matrix(rep(0:0),3,3) #観測誤差diag(R) <- 1

RES <- Z[1] - (1/x1+1/x2)RES <- cbind(RES,Z[2] - (2/x1+1/x2))RES <- cbind(RES,Z[3] - (2/x1+2/x2))

for(i in 1:N) W[i] <- exp( -1/2 * t( RES[i,] ) %*% solve(R) %*% ( RES[i,] ) ) W <- W/sum(W)

#################################################################No.samp <- resampling(W)No <- c(1:N)TEST <- data.frame(No,XX,W) TEST.d2 <- TEST[No.samp,]#################################################################

45


ans.x1 <- 0.5555ans.x2 <- 0.7142

windows(height=10,width=10)frame()plot.new()par(mfrow=c(2,2))# グラフの外の余白par(oma = c(5, 5, 2, 2))# 上段と下段のグラフ間の余白(ピッタリくっつけるときは"0")par(mar = c(5, 5, 0, 0))

br <- c(0:20)/4hist(x1,breaks=br,col=grey(0.5),border=F,probability=T,xlim=c(0,6),ylim=c(0,2),main="")hist(TEST.d2$x1,breaks=br,xlab="x1",probability=T,add=T)lines(c(ans.x1,ans.x1),c(0,2),col=2)

hist(x2,breaks=br,col=grey(0.5),border=F,probability=T,xlim=c(0,6),ylim=c(0,2),main="")hist(TEST.d2$x2,xlim=c(0,10),breaks=br,xlab="x3",probability=T,add=T)lines(c(ans.x2,ans.x2),c(0,2),col=2)

plot(TEST.d2$x1, TEST.d2$x2,xlim=c(0,2),ylim=c(0,2),xlab="X1",ylab="X2",col=grey(0.6),pch=19)points(ans.x1,ans.x2,col=2,pch=19)

46


21

21

21

22

12

11

752

xx

xx

xx

x1

Den

sity

0 1 2 3 4 5 6

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

x2

Den

sity

0 1 2 3 4 5 6

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

X1

X2

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

X1

X2

0.71420.5555

2ˆ 1

xx

x

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逆問題スプリングスクール R言語による演習tcu-yoshida-lab.org/Inverse_HP/pdf_ss/2_1_otake.pdf · 逆問題スプリングスクール r言語による演習 2016年3月5日