eeva Rinne - InnostuTKO...Polynomien yhteen- ja vähennyslasku..... 37 3. Polynomien kertolasku ... Lukujen 9 ja 7 summa jaetaan niiden erotuksella. 2. Merkitse ja laske a) lukujen

1

matematiikkaamaahanmuuttajille

eeva Rinne

2

Turun kristillisen opiston oppimateriaaleja -sarja Tekijä: Eeva Rinne Julkaisija: Turun kristillisen opiston säätiö, Lustokatu 7, 20380 Turku. www.tk-opisto.fi Rahoitettu Opetushallituksen tuella. ISBN 978-952-5803-20-4 Taitto: Ulriikka Lipasti Paino: Kopio Niini Finland Oy, Turku 2010.

3

esipuhe

”Olisin osannut laskea, jos olisin tiennyt, mitä kysytään.” Tämä on usein kuultu lause maahanmuuttajien matematiikan opetustilanteissa.

Matematiikkaa maahanmuuttajille -oppimateriaali on tarkoitettu matemaattisen sanaston oppimi-sen tueksi tai kertaamiseen. Materiaalin kohderyhmänä ovat maahanmuuttajaopiskelijat, jotka ovat opiskelleet matematiikkaa omassa maassaan tai suomalaisessa oppilaitoksessa. Lähtökohtana on, että opiskelijat osaavat matematiikkaa, mutta heillä on vaikeuksia suomenkielisten termien kanssa.

Materiaalin aihealueita ovat luvut, peruslaskutoimitukset, yksiköt, potenssioppi, neliöjuuri, pro-senttilasku sekä polynomilaskenta ja yhtälöt. Sanaston laajuus on perusopetustasoa.

Aiheiden käsittelyssä esitetään lyhyesti teorian kertauksena laskuperiaate, keskeiset kaavat ja esi-merkkejä. Näiden yhteydessä otetaan perussanasto esille. Esimerkeissä pyritään tuomaan esille suomalainen tapa kysyä ja ilmaista asioita. Harjoitustehtävissä on huomio kiinnitetty siihen, että opiskelija harjaantuu ymmärtämään, mitä kysytään varsinaisen aritmeettisen ratkaisemisen lisäksi. Opetustilanteen haasteellisempina lisätehtävinä voi käyttää opiskelijasta riippuen esimerkiksi pe-rusopetuksen tai lukion oppikirjoja.

Kirjan jokaisesta luvusta on laadittu luettelo, joka pitää sisällään luvussa esiin tulleet sanat ja sanon-tatavat. Luettelot ovat kirjan loppuosassa. Niiden avulla opiskelija voi testata omaa sanastotunte-mustaan. Myös harjoitustehtävien vastaukset ovat kirjan loppuosassa.

Turussa 29.11.2009

Eeva Rinne

esipuhe...........

4

5

sisällys

esipuhe.............................................................................................. 3

sisällys................................................................................................. 5

i lukuja ja lukujoukkoja......................................................... 7

1. Perussanastoa.................................................................................. 72. Kymmenjärjestelmä........................................................................ 93. Erilaisia lukuja................................................................................ 104. Lukujoukkoja................................................................................. 145. Laskutoimituksia............................................................................ 17

ii yksiköitä....................................................................................... 19

1. Yksiköiden etuliitteitä.................................................................... 192. Pituuden yksiköt............................................................................ 193. Massan yksiköt............................................................................... 204. Vetomitat......................................................................................... 205. Ajan yksiköt.................................................................................... 20

iii lauseke ja lause..................................................................... 22

iV potenssit..................................................................................... 23

1. Potenssimerkintä............................................................................. 232. Samankantaisten potenssien tulo ja osamäärä............................... 233. Tulon ja osamäärän potenssi........................................................... 244. Potenssin potenssi........................................................................... 255. Eksponenttina nolla........................................................................ 256. Negatiivinen eksponentti................................................................ 25

V neliöjuuri.................................................................................... 27

1. Neliöjuuri........................................................................................ 272. Muita juuria..................................................................................... 27

Vi prosenttilasku......................................................................... 29

1. Prosentin käsite............................................................................... 29

sisällys

sisällys...........

6

2. Prosenttiarvon laskeminen............................................................. 293. Prosenttiluvun laskeminen............................................................. 304. Muutos- ja vertailuprosentti........................................................... 315. Perusarvon laskeminen................................................................... 326. Promille........................................................................................... 33

Vii polynomit................................................................................. 34

1. Peruskäsitteitä................................................................................. 342. Polynomien yhteen- ja vähennyslasku.......................................... 373. Polynomien kertolasku................................................................... 38

Viii yhtälö, epäyhtälö ja verranto................................... 39

1. Yhtälö.............................................................................................. 392. Yhtälön ratkaiseminen.................................................................... 403. Toisen asteen yhtälöt....................................................................... 424. Epäyhtälö........................................................................................ 445. Verranto........................................................................................... 45

sanastoa............................................................................................. 47

Vastauksia......................................................................................... 53

...........sisällys

7

laskutoimitus verbi substantiivi merkkiyhteenlasku laskea yhteen, lisätä summa + plusmerkkivähennyslasku vähentää erotus – miinusmerkkikertolasku kertoa tulo · kertomerkkijakolasku jakaa osamäärä : jakomerkki

45 12

jakoviiva

Esimerkki 1. Merkitse ja laske lukujen 18 ja 12 summa.

18 + 12 = 30 summa laskettuna = yhtäsuuruusmerkki

↑ luetaan: on yhtä suuri kuin

summa merkittynä 18 ja 12 ovat yhteenlaskettavat luetaan: 18 plus 12 on 30

Esimerkki 2. Merkitse ja laske lukujen 45 ja 17 erotus.

45 – 17 = 28 erotus laskettuna 45 on vähenevä

↑ 17 on vähentäjä

erotus merkittynä

luetaan: 45 miinus 17 on 28

Esimerkki 3. Merkitse ja laske lukujen 12 ja 25 tulo.

12 · 25 = 300 tulo laskettuna 12 ja 25 ovat tulon tekijät

↑ 12 on kertojatulo merkittynä 25 on kerrottava

luetaan: 12 kertaa 25 on 300

Ilukuja ja lukujOukkOja

i lukuja ja lukujOukkOja

1. perussanastoa

lukuja ja lukujOukkOja 1............

((

(

8

Esimerkki 4. Merkitse ja laske lukujen 56 ja 7 osamäärä.

56 : 7 = 8 tai 56 = 8 osamäärä laskettuna 56 on jaettava

7 7 on jakaja

↑

osamäärä merkittynä

luetaan: 56 jaettuna seitsemällä on 8

Esimerkki 5. Seuraavat ilmaukset tarkoittavat samaa yhteenlaskua: Lisää lukuun 126 luku 34.Laske yhteen luvut 126 ja 34.Laske lukujen 126 ja 34 summa.

126 + 34 = 160

Esimerkki 6. Seuraavat ilmaukset tarkoittavat samaa vähennyslaskua:

Vähennä luvusta 137 luku 8.Laske lukujen 137 ja 8 erotus.

137 – 8 = 129

Esimerkki 7. Seuraavat ilmaukset tarkoittavat samaa kertolaskua: Kerro luvulla 12 luku 10.Laske lukujen 12 ja 10 tulo.

12 · 10 = 120

Esimerkki 8. Seuraavat ilmaukset tarkoittavat samaa jakolaskua: Jaa luku 125 luvulla 25.Laske lukujen 125 ja 25 osamäärä.

125 : 25 = 5 tai 125 = 5 25

Sulkumerkkejä

( ) kaarisulut[ ] hakasulut{ } aaltosulut

............lukuja ja lukujOukkOja 1

9

Laskujärjestys

1. Kerto- ja jakolaskut vasemmalta oikealle2. Yhteen- ja vähennyslaskut vasemmalta oikealle3. Laskujärjestystä voidaan muuttaa sulkumerkeillä. Sisimmät sulut poistetaan ensin. (kaarisulut hakasulut aaltosulut)

Esimerkki 9. Laske.

31 – {7 · 6 : 2 + [13 – 2 · (15 – 12) + 6] – 4} = 31 – {7 · 6 : 2 + [13 – 2 · 3 + 6] – 4} = 31 – {7 · 6 : 2 + [13 – 6 + 6] – 4}= 31 – {7 · 6 : 2 + 13 – 4} = 31 – {21 + 13 – 4}= 31 – 30 = 1

Harjoituksia:

1. Merkitse ja laske.

a) Lukujen 8 ja 3 tuloon lisätään luku 9.b) Luvusta 25 vähennetään lukujen 36 ja 9 osamäärä.c) Lukujen 9 ja 11 summa kerrotaan luvulla 2.d) Lukujen 9 ja 7 summa jaetaan niiden erotuksella.

2. Merkitse ja laske

a) lukujen 20 ja 5 osamäärän ja tulon summab) lukujen 25 ja 5 erotuksen ja summan tuloc) lukujen 9 ja 5 summan ja erotuksen erotusd) lukujen 22 ja 8 summan ja lukujen 14 ja 7 osamäärän tulo.

2. kymmenjärjestelmä

Lukujen nimien perusmuotoja (lukuyksikköjä)


10 kymmenen100 sata1000 tuhat10 000 kymmenentuhatta100 000 satatuhatta

10

Esimerkki 1. Desimaaliluku

kokonaisosa desimaaliosa 8 6 3 4 , 1 2 7tuhannet tuhannesosat

sadat sadasosat

kymmenet kymmenesosat

ykköset desimaalipilkku

8634,127 = 8 · 1000 + 6 · 100 + 3 · 10 + 4 · 1 + 1 · 1 + 2 · 1 + 7 · 1

10 100 1000

Luku luetaan:kahdeksantuhatta kuusisataakolmekymmentäneljä kokonaista satakaksikymmentäseitsemän tuhannesosaa(kahdeksantuhatta kuusisataakolmekymmentäneljä pilkku satakaksikymmentäseitsemän)

Suuria lukuyksiköitä

miljoona 1 000 000 106 (kymmenen potenssiin kuusi)miljardi 1 000 000 000 109

biljoona 1 000 000 000 000 1012

triljoona 1 000 000 000 000 000 000 1018

3. erilaisia lukuja

Kokonaisluku

Esimerkki 1. 5 viisi 23 kaksikymmentäkolme 345 kolmesataaneljäkymmentäviisi 67 542 kuusikymmentäseitsemäntuhatta viisisataaneljäkymmentäkaksi

Desimaaliluku

Suomessa desimaaliluvussa käytetään desimaalipilkkua.Laskimessa desimaaliluvussa on desimaalipiste.


11lukuja ja lukujOukkOja 1............

Esimerkki 2. 13,4 kolmetoista kokonaista neljä kymmenesosaa (kolmetoista pilkku neljä) 2 536,75 kaksituhatta viisisataakolmekymmentäkuusi kokonaista seitsemänkymmentäviisi sadasosaa (kaksituhatta viisisataakolmekymmentäkuusi pilkku seitsemänkymmentäviisi) Desimaaliluku voi olla myös päättymätön desimaaliluku. Luku on katkaistava eli pyöristettävä. (pyöristää) Jos ensimmäinen poisjäävä numero on 5 tai sitä suurempi, on viimeinen mukaan tuleva numero korotettava yhdellä. Kun luku pyöristetään, saadaan luvun likiarvo.

Päättymätön desimaaliluku voi olla jaksollinen desimaaliluku tai jaksoton desimaaliluku. (jakso)

Esimerkki 3.

Luku 12,4545… on päättymätön jaksollinen desimaaliluku. Jakso on 45. Jakso kirjoitetaan kaksi kertaa. Luku 1,4142… on päättymätön jaksoton desimaaliluku. Esimerkki 4.

Ilmoita luvut kolmen desimaalin (tuhannesosien) tarkkuudella.(tarkkuus)

123,4343… ≈ 123,434123,4545… ≈ 123,455567,12789… ≈ 567,128

Muutkin luvut kuin päättymättömät desimaaliluvut voidaan pyöristää jonkin yksikön tarkkuudelle.

Esimerkki 5.

Ilmoita luku 12 763,58

a) kymmenesosien (yhden desimaalin) tarkkuudella Vastaus: 12 763,6b) kymmenien tarkkuudella Vastaus: 12 760c) tuhansien tarkkuudella. Vastaus: 13 000

Murtoluku

5 osoittaja luetaan viisi seitsemäsosaa

7

nimittäjä

Murtoluvun muuntaminen sekaluvuksi (muuntaa)

Jos murtoluvun osoittaja on suurempi kuin nimittäjä, murtoluku voidaan muuntaa sekaluvuksi jakamalla.

12

Kun 18 jaetaan luvulla 7, saadaan 2 kokonaista ja jakojäännös on 4.

18 = 2 4 2 4 7 7 7

murtoluku sekaluku kokonaisosa murto-osa luetaan: kaksi kokonaista neljä seitsemäsosaa

Sekaluvun muuntaminen murtoluvuksi

Kokonaisosalla 3 kerrotaan nimittäjä 7 ja tuloon lisätään osoittaja 2. (3 · 7 + 2 = 23) 3 2 = 23

7 7

Murtoluvun muuntaminen desimaaliluvuksi

Murtolukumerkintä voidaan käsittää jakolaskuna. Suoritetaan jakolasku.

5 = 0,625 8

Desimaaliluvun muuntaminen murtoluvuksi tai sekaluvuksi 0,7 = 7 seitsemän kymmenesosaa 10

0,37 = 37

kolmekymmentäseitsemän sadasosaa

100

2,061 = 2

61 kaksi kokonaista kuusikymmentäyksi tuhannesosaa

1000

Samannimisillä murtoluvuilla on sama nimittäjä. (samannimiset murtoluvut)Erinimisillä murtoluvuilla on eri nimittäjä. (erinimiset murtoluvut)

Esimerkki 6.

Murtoluvut 1 , 5 ja 11 ovat keskenään samannimisiä murtolukuja. 13 13 13

Niiden nimittäjänä on sama luku 13.

Laventaminen (laventaa) Osoittaja ja nimittäjä kerrotaan samalla luvulla.


13

Esimerkki 7. Lavenna murtoluvut samannimisiksi. 6)1 4) 2 3) 1 laventaja merkitään vasempaan yläkulmaan 2 3 4 6 8 3 12 12 12

Supistaminen (supistaa)

Osoittaja ja nimittäjä jaetaan samalla luvulla.

Esimerkki 8. Supista yksinkertaisimpaan muotoon.

a) 7 (7

= 1 supistaja merkitään oikeaan yläkulmaan 21 3

b) 27 (9

= 3 63 7

Harjoituksia

3. Kirjoita kokonais- tai desimaalilukuna

a) neljäkymmentätuhatta neljäsataakahdeksanb) miljoona kolmesataakaksitoistatuhatta kuusisataac) seitsemänkymmentäkahdeksan kokonaista kaksisataaneljä kymmenestuhannesosaa.

4. Mitä lukuyksikköä numero 8 edustaa seuraavissa luvuissa?

a) 800 000b) 3,41805c) 1780d) 118

5. Kirjoita luku 17 357,0763

a) tuhansien tarkkuudellab) kymmenesosien tarkkuudellac) tuhannesosien tarkkuudellad) kymmenien tarkkuudella.

6. Kirjoita, miten luetaan seuraavat luvut. a) 8 b) 3 4 c) 7 21

9 5 56


14

7. Muunna sekaluvuksi tai kokonaisluvuksi.

a) 11 b) 121 c) 122

9 11 11

8. Muunna murtoluvuksi.

a) 3 3 b) 0,37 c) 2,0671 5

9. Muunna desimaaliluvuksi.

a) 3 b) 11 c) 21

5 9 4

10. Lavenna samannimisiksi.

1 , 2 , 7 5 15 30

11. Supista luvut yksinkertaisimpaan muotoonsa. a) 3 b) 12 c) 11 27 54 242

4. lukujoukkoja Luonnolliset luvut N = {0, 1, 2, 3, 4, …}

Kokonaisluvut Z = {…, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, …}Positiiviset kokonaisluvut Z+ = {1, 2, 3, …}Negatiiviset kokonaisluvut Z– = {–1, –2, –3, …}

Rationaaliluvut Q = luvut, jotka voidaan esittää murtolukumuodossaReaaliluvut R = rationaaliluvut ja irrationaaliluvut

Irrationaaliluku on luku, jonka likiarvo on useimmiten päättymätön jaksoton desimaaliluku, esi-merkiksi √2, √7, π, …

R

Q

Z

N

√5

-4√2

37

–2 1 3

–5

–56

02

15

π = 3,141592654...

2,5454...

27,15



Erisuuruusmerkit

merkki luetaan esimerkki > on suurempi kuin 8 > 6< on pienempi kuin 5 < 6≥ on suurempi tai yhtä suuri kuin 3 ≥ 1≤ on pienempi tai yhtä suuri kuin 7 ≤ 7≠ on erisuuri kuin 8 ≠ 9

Luvut, joilla on sama etumerkki, ovat keskenään samanmerkkisiä lukuja. (samanmerkkiset luvut)

Esimerkki 1. Kaikki positiiviset luvut ovat keskenään samanmerkkisiä lukuja.

Esimerkki 2. Kaikki negatiiviset luvut ovat keskenään samanmerkkisiä lukuja.

Luvut, joilla on eri etumerkki, ovat keskenään erimerkkisiä lukuja. (erimerkkiset luvut)

Esimerkki 3. Luvut +12 ja –5 ovat erimerkkisiä lukuja.

Esimerkki 4. Luvut –3,24 ja 17,5 ovat erimerkkisiä lukuja.

Vastaluku

Luvun vastaluku saadaan vaihtamalla sen etumerkki. Luvun vastaluku merkitään lisäämällä lu-vun eteen miinusmerkki. Luvun ja sen vastaluvun summa on nolla.

Esimerkki 5. luku vastaluku merkittynä vastaluku laskettuna8 –8 –8+0,7 –(+0,7) –0,7 –3,5 –(–3,5) 3,5

Käänteisluku

Käänteisluku saadaan vaihtamalla osoittaja ja nimittäjä keskenään. Luvun ja sen käänteisluvun tulo on yksi.

Esimerkki 6.

luku käänteisluku

2 7 = 3 1 7 2 2

–2 2 = – 8 – 3 3 3 8

5 1

5

16

Itseisarvo

Luvun itseisarvo on luvun etäisyys nollasta. Luvun itseisarvo on aina ei-negatiivinen.

Esimerkki 7.

| +8 | = 8 | –11,2 | = 11,2

Harjoituksia

12. Miten luetaan seuraavat merkinnät?

a) 2 < 4 b) 5 ≠ 7 c) 12 ≥ –50 d) 5 > 3,5

13. Merkitse ja laske lukujen vastaluvut.

a) –12 b) +12,5

14. Merkitse ja laske luvun –15 vastaluvun vastaluku.

15. Mitkä ovat lukujen käänteisluvut?

a) 3 b) 11 c) –12 7 9

16. Merkitse ja laske lukujen itseisarvot.

a) –25,1 b) +11


Lukujen –18 ja +12 summan itseisarvosta vähennetään samojen lukujen erotus.


Luvun – 2 käänteisluvun vastaluvusta vähennetään luvun –2 itseisarvo. 5



5. laskutoimituksia

Erimerkkisten lukujen laskutoimitukset

Yhteen- ja vähennyslasku

Sievennetään aluksi ylimääräiset sulkumerkit pois. Jos yhteenlaskettavat ovat samanmerkkiset, lasketaan niiden itseisarvojen summa. Etumerkiksi tu-lee yhteinen etumerkki. Jos yhteenlaskettavat ovat erimerkkiset, lasketaan niiden itseisarvojen erotus. Etumerkiksi tulee it-seisarvoltaan suuremman etumerkki. (sieventää: suorittaa laskutoimitukset, saattaa yksinkertaisimpaan muotoon, laskea; substantiivi: sieventäminen)

Kertolasku

Ennen kertomista päätellään tulon etumerkki.Kahden samanmerkkisen luvun tulo on positiivinen. Kahden erimerkkisen luvun tulo on negatiivinen.

Jakolasku

Ennen jakamista päätellään osamäärän etumerkki.Jos jaettava ja jakaja ovat samanmerkkisiä, osamäärä on positiivinen. Jos jaettava ja jakaja ovat erimerkkisiä, osamäärä on negatiivinen.

Esimerkki 1.

a) (–11) – (+21) = –11 – 21 = –32b) (–17) – (–8) = –17 + 8 = –9

Esimerkki 2.

a) (–5) · (+8) = –40 b) (–13) · (– 9) = 117c) 15 : (–5) = –3 d) (– 18) : (–3) = 6 Murtoluvut

Yhteen- ja vähennyslasku

Erinimiset murtoluvut lavennetaan ensin samannimisiksi. Osoittajat lasketaan yhteen tai vähenne-tään. Nimittäjäksi tulee yhteinen nimittäjä.

Kertolasku

Osoittajat kerrotaan keskenään ja nimittäjät kerrotaan keskenään. Ennen kertomista supistetaan, jos se on mahdollista.

18

Jakolasku

Jaettava kerrotaan jakajan käänteisluvulla. Ennen kertomista supistetaan, jos se on mahdollista.

Esimerkki 3.

a) –2 1 + 2 = –3)9 +

4)2 = – 27 + 8 = –19 = –1 7

4 3 4 3 12 12 12 12

b) –2 1 . (–2 2) = 9 . 8 = 3 . 2 = 6 4 3 4 3 1 1

c) 9 : 8 = 9 . 3 = 27

4 3 4 8 32

Harjoituksia

19. a) –(–8) – (+11) b) –(+0,8) + (–1,27) c) –11,2 + 9,3 – (–13 +15,2)

20. a) – 2 + 3 1 – 4 3 b) –1 2 · 2 1 c) 7 : 14

: (– 2 ) 5 3 5 3 4 9 3 49


Lukujen –21 ja +13 summasta vähennetään luku –18.


Lukujen –15 ja –12 erotuksesta vähennetään lukujen –1 ja –4 tulo.


Lukujen 2 ja – 6 osamäärään lisätään luku –5. 5 10


19

ii yksikÖitä

1. yksiköiden etuliitteitä

2. pituuden yksiköt

Kahden vierekkäisen yksikön välinen suhdeluku on 10.

IIyksikÖitä

yksikÖitä 11............

luku kymmenen potenssi

etuliite lyhenne

biljoona 1012 tera Tmiljardi 109 giga Gmiljoona 106 mega Mtuhat 103 kilo ksata 102 hehto hkymmenen 101 deka daykkönen 100

kymmenesosa 10–1 desi dsadasosa 10–2 sentti ctuhannesosa 10–3 milli mmiljoonasosa 10–6 mikro µmiljardisosa 10–9 nano nbiljoonasosa 10–12 piko p

yksikkö tunnus yksikkö metreinäkilometri km 1 km = 103 m = 1000 m hehtometri hm 1 hm = 102 m = 100 mdekametri dam 1 dam = 101 m = 10 mmetri mdesimetri dm 1 dm = 10–1 m = 0,1 msenttimetri cm 1 cm = 10–2 m = 0,01 mmillimetri mm 1 mm = 10–3 m = 0,001 m

20

3. massan yksiköt

Kahden vierekkäisen yksikön välinen suhdeluku on 10.Käytössä on myös yksikkö tonni. Yksi tonni (1 t) on 1000 kg =106 g = 1 Mg (megagramma).

Huom. Arkikielessä usein käytetään massasta nimitystä paino. Täsmällisessä kielessä Maan kappa-leeseen kohdistamaa vetovoimaa sanotaan kappaleen painoksi (gravitaatio).

4. Vetomitat

Kahden vierekkäisen yksikön välinen suhdeluku on 10.

5. ajan yksiköt

Vuodessa 1 a on 365 vuorokautta (d) ja karkausvuodessa on 366 vuorokautta. Joskus matematiikassa käytetään myös lukuarvoa 1 a = 360 d.Kuukaudessa oletetaan olevan 30 vuorokautta, jos ei tiedetä, mikä kuukausi on kyseessä.

yksikkö tunnus yksikkö grammoinakilogramma kg 1 kg = 1000 ghehtogramma hg 1 hg = 100 gdekagramma dag 1 dag = 10 ggramma gdesigramma dg 1 dg = 0,1 gsenttigramma cg 1 cg = 0,01 gmilligramma mg 1 mg = 0,001 g

yksikkö tunnus yksikkö litroinakilolitra kl 1 kl = 1000 lhehtolitra hl 1 hl = 100 ldekalitra dal 1 dal = 10 llitra ldesilitra dl 1 dl = 0,1 lsenttilitra cl 1 cl = 0,01 lmillilitra ml 1 ml = 0,001 l

yksikkö tunnusvuosi a = 12 kk kuukausi kkvuorokausi d = 24 htunti h = 60 minminuutti min = 60 ssekunti s

............yksikÖitä 11

21

Harjoituksia

1. Muunna suluissa olevaan yksikköön.

a) 3,5 km (m) b) 12,14 m (cm) c) 5,3 dm (mm)


a) 27 mm (dm) b) 148 cm (m) c) 1245 m (km)


a) 14,9 kg (dag) b) 1045 g (kg) c) 0,045 g (mg)


a) 14,9 l (hl) b) 1045 ml (l) c) 0,45 l (dl)

5. Muunna

a) 3 min 8 s sekunneiksi b) 2 h 30 min tunneiksi c) 7200 s tunneiksi.

6. Puolitoista kilogrammaa juustoa maksaa 16,20 €.

a) Kuinka paljon maksaa 450 g samaa juustoa?

b) Kuinka paljon saa tätä juustoa 27 eurolla?

7. Kalle matkusti bussilla. Bussi lähti klo 14.20 ja saapui perille klo 15.13. Kuinka kauan bussimatka kesti?

8. Kesämökille on matkaa 84 km. Matkasta 5/6 on asfalttitietä ja 1/7 on hiekkatietä. Loppuosa matkasta kuljetaan meritse. Kuinka pitkä on meritien osuus?

yksikÖitä 11............

22

iii lauseke ja lause Lauseke

Kirjaimin tai numeroin merkittyä laskutoimitusta sanotaan matematiikassa lausekkeeksi.

Esimerkki 1.

a + b 3x – 5y a · b 5a : b

Lauseke on merkitty laskutoimitus.Muuttuja on lausekkeessa esiintyvä kirjain.Vakio on lausekkeessa esiintyvä luku. Lausekkeen arvo saadaan, kun muuttujan paikalle sijoitetaan luku ja suoritetaan laskutoimitukset.

Esimerkki 2. Olkoon lauseke 2a + 3b.

a) Lausekkeessa a ja b ovat muuttujia ja 2 ja 3 ovat vakioita. b) Laske lausekkeen 2a + 3b arvo, kun a = –1,3 ja b = 4,1. 2a + 3b = 2 · (–1,3) + 3 · 4,1 = –2,6 + 12,3 = 9,7

Lausekkeen arvo on 9,7.

Lause

Matematiikassa (logiikassa) lause on ilmaisu, jolla on jokin totuusarvo.

Esimerkki 3.

2 = 5 Lause on epätosi.8 > 3 + 2 Lause on tosi.

Lause voi olla myös avoin lause, jossa muuttujan arvo vaikuttaa lauseen totuusarvoon.

Esimerkki 4. x + 3 = 11 Lause on muuttujan x arvolla 8 tosi, muuten se on epätosi.

Harjoituksia

1. Laske lausekkeen (s + 2t)(s – 3t) arvo, kun s = –0,2 ja t = 0,5.

2. Mitkä seuraavista ovat lausekkeita, mitkä lauseita?

2x – 11 = 14 2x – 11 3 = 4 a + 5b

III lauseke ja lause

............lauseke ja lause 111

23pOtenssit 1V...........

iV pOtenssit

1. potenssimerkintä

am = a · a · a · … · a tekijöitä a on m kappaletta m on positiivinen kokonaisluku a1 = a am a on kantaluku m on eksponentti luetaan: a potenssiin m Kantaluku a korotetaan potenssiin m. verbi: korottaa potenssiin substantiivi: potenssiin korottaminen

Esimerkki 1. a) 34 = 81 luetaan: kolme potenssiin neljä on 81, kolme neljänteen on 81

b) 56 = 15 625 luetaan: viisi potenssiin kuusi on 15 625, viisi kuudenteen on 15 625

Luvun toista potenssia sanotaan myös luvun neliöksi.Luvun kolmatta potenssia sanotaan myös luvun kuutioksi.

Esimerkki 2. a) 52 = 25 luetaan: viisi potenssiin kaksi on 25, viisi toiseen on 25, luvun viisi neliö on 25, viiden neliö on 25

b) 43 = 64 luetaan: neljä potenssiin kolme on 64, neljä kolmanteen on 64, luvun neljä kuutio on 64, neljän kuutio on 64

2. samankantaisten potenssien tulo ja osamäärä

Jos potensseilla on sama kantaluku, ne ovat samankantaisia potensseja.(samankantaiset potenssit) Esimerkki 1. Potenssit 23 ja 215 ovat samankantaisia potensseja, koska niillä on sama kantaluku.

Samankantaisten potenssien tulo:

am · an = am+n

Kantaluku pysyy samana. Eksponentit lasketaan yhteen.

IVpOtenssit

24

( )

Esimerkki 2. a) a6 · a · a11 = a6+1+11 = a18

b) a4b7 · ab2 = a5b9

Samankantaisten potenssien osamäärä:

am

= am–n (a ≠ 0) an

Kantaluku pysyy samana. Eksponentit vähennetään.

Esimerkki 3. a) a1 = a1¯6 = a–5 (a ≠ 0)

a6

b) a11 . a7

= a11+7¯6 = a12 (a ≠ 0)

a6

3. tulon ja osamäärän potenssi

Tulon potenssi:

(ab)n = anbn

Jokainen tulon tekijä korotetaan erikseen potenssiin.

Esimerkki 1. (2ab)3 = 23a3b3 = 8a3b3

Osamäärän potenssi:

a n

= an

(b ≠ 0) b bn

Jaettava ja jakaja korotetaan erikseen potenssiin.Potenssit an ja bn ovat samankorkuisia potensseja, koska niiden eksponentit ovat yhtä suuret.(samankorkuiset potenssit)

Esimerkki 2. a) 8 2

= 82

= 64 (a ≠ 0) a a2 a2

b) 5b

= 53b3

= 125b3

(a ≠ 0) a a3 a3

c) 26 · 56 = (2 · 5)6 = 106 = 1 000 000 Tulon kaavaa on käytetty oikealta vasemmalle.

...........pOtenssit 1V

( )

( )

3

25

( )

4. potenssin potenssi

Potenssin potenssi:

(am)n = amn

Eksponentit kerrotaan keskenään, kantaluku pysyy samana.

Esimerkki 1. a) (23)2 = 23·2 =26 = 64

b) 232= 29 = 512 (ei ole potenssin potenssi)

Esimerkki 2. 3b4 3

= 33 b12

= 27b12

(a ≠ 0) 22 a5 26 a15 64a15

5. eksponenttina nolla

Lasketaan lauseke am

kahdella eri tavalla. a

m

am = am–m = a0

(a ≠ 0) eksponentit vähennetään am

am

= 1 (a ≠ 0) jaetaan am

joten on oltava a0 = 1 (a ≠ 0)

Esimerkki 1. a) 8a2 · 1250 · a4 = 8a2 · 1 · a4 = 8a6 b) (2005ab9)0 – 5000 · 2 = 1 – 1 · 2 = –1

6. negatiivinen eksponentti

Esimerkki 1. Lasketaan esimerkki 37

kahdella eri tavalla. 3

9

37

= 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 1 = 1 = 1

supistamalla 3

9 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 3 · 3 32 3

37

= 37–9 = 3–2 potenssikaavan mukaan 3

9

joten on oltava 3–2 = 1 2

= 1 3 9( )

pOtenssit 1V...........

( )

26

Luvun negatiivinen eksponentti muutetaan positiiviseksi ja samalla luku itse vaihdetaan käänteisluvukseen.

a–n = ( 1 )n

= 1 (a ≠ 0)

a an

vastaavasti ( a )-n

= (b)n

= bn

(b ≠ 0, a ≠ 0)

b a an

Esimerkki 2. a) 5–2 = 1 = 1 52 25

b) (2)–2

= (3)2

= 32

= 9 = 2 1 3 2 22 4 4

Harjoituksia

1. Kirjoita potenssimerkintänä.

a) 5 · 5 · 5 · 5 b) a · a · a c) kantaluku on 3 ja eksponentti on 7

d) kantaluku on –3 ja eksponentti on 2

2. Laske potenssin arvo.

a) 0,23 b) 152 c) 106 d) (–3)2 e) (–3)3 f ) –32


a) luvun –5 neliö b) luvun –5 kuutio

4. Sievennä. (sieventää: suorittaa laskutoimitukset, saattaa yksinkertaisimpaan muotoon, laskea)

a) 2x3 · 3x · (−8x) b) 3x5y4

c) (2a3)4 · (–3a) d) 10x5y4

9x3y 5xy3

5. Laske.

a) 712345 : 712344 · 7

b)(–1 )4

· 42 · (–5)2 c) 232 d) (– 1)– 2

+ 2 · (1)–1

– 1 2 3 3 2

...........pOtenssit 1V

27

V neliÖjuuRi

1. neliöjuuri

Määritelmä

Luvun a ≥ 0 neliöjuuri a on luku, joka toteuttaa ehdot 1. a ≥ 0

2. ( a)2

= a

Luvun a neliöjuuri on ei-negatiivinen luku, jonka neliö on a.

Esimerkki 1.

juurimerkki 25 = 5 juuren arvo

↑ juurrettava

luetaan: neliöjuuri kaksikymmentäviisi on viisi (neliöjuuri kahdestakymmenestäviidestä on viisi) Esimerkki 2. Laske seuraavien juurilausekkeiden arvot.

a) 2 25 – 81 = 2 · 5 – 9 = 1 b) 25 – 9 = 16 = 4

Esimerkki 3. Sievennä.

a) a2b6 = ab3 b) 9a6b8

= 3 a3b4

4 2

2. muita juuria

3 27 = 3 luetaan: kuutiojuuri kaksikymmentäseitsemän on kolme

4 16 = 2 luetaan: neljäs juuri kuusitoista on kaksi

5 1024 = 4 luetaan: viides juuri tuhatkaksikymmentäneljä on neljä

neliÖjuuRi V...........

VneliÖjuuRi

√

√ √

√

√

√

√

√ √

√

√

√

√

28

Harjoituksia

1. Miten luetaan seuraavat merkinnät?

a) 16 = 4 b) 225 = 15 c) 3 125 = 5 d)

4 81 = 3

2. Sievennä.

a) 25a10b4 b) 3 16 – 2 9 c) 12 – 3 d) 3 8 · 121

50 : 2

√ √ √ √

√ √ √ √ √√

...........neliÖjuuRi V

29

VIpROsenttilaskuVi pROsenttilasku

1. prosentin käsite

1% = 1 = 0,01 % on prosenttimerkki 100 prosentti on sadasosa

2. prosenttiarvon laskeminen, p % luvusta

Peruskysymys:

Kuinka paljon on p % luvusta a?

p = prosenttiluku b =

p · a a = perusarvo 100 b = prosenttiarvo

p on prosenttikerroin

100

Esimerkki 1. a) Kuinka paljon on 30 prosenttia 2,7 kilogrammasta?

30 · 2,7 kg = 0,81 kg 100 tai 0,30 · 2,7 kg = 0,81 kg

Vastaus: Se on 0,81 kg.

b) Linnean kuukausipalkka on 2450 €. Hän saa 2,3 % palkankorotusta. Kuinka suuri on korotus? Mikä on uusi, korotettu palkka?

korotus: 2,3 · 2450 € = 56,35 € tai 0,023 · 2450 € = 56,35 € 100

korotettu palkka: 2450 € + 56,35 € = 2506,35 €

Vastaus: Korotus on 56,35 € ja uusi, korotettu palkka on 2506,35 €.

Sanontoja: korottaa hintaa, nostaa hintaa, korottaa palkkaa, nostaa palkkaa, hinta nousee, palkka nousee

pROsenttilasku Vi...........

luetaan: Kuinka paljon on p prosenttia luvusta a?

30

Esimerkki 2.

Kuinka monta grammaa kaulakorussa on kultaa, kun korun kultapitoisuus on 85 %? Koru painaa 15,40 grammaa. (pitoisuus) 0,85 · 15,40 g = 13,09 g

Vastaus: Kultaa on 13,09 g.

Esimerkki 3. 78 euron hintaisista kengistä annettiin alennusta 15 %. Kuinka suuri on alennus? Mikä on alennettu hinta?

alennus: 0,15 · 78 € = 11,70 €

alennettu hinta: 78 € – 11,70 € = 66,30 €

Vastaus: Alennus on 11,70 € ja alennettu hinta on 66,30 €.

Sanontoja: antaa alennusta, alentaa hintaa, laskea hintaa, hinta laskee

3. prosenttiluvun laskeminen – kuinka monta prosenttia?

Kuinka monta prosenttia luku b on luvusta a?

b · 100 % b = prosenttiarvo a a = perusarvo

Esimerkki 1. Kuinka monta prosenttia 20 euroa on 50 eurosta?

20 € · 100 % = 40 % tai 20 € = 0,40 = 40 % 50 € 50 €

Vastaus: 40 %.

Esimerkki 2. 150 euron takista annettiin alennusta 35 euroa. Kuinka suuri on alennusprosentti?

alennus euroina: 35 €

alkuperäinen eli alentamaton hinta: 150 €

alennus prosentteina 35 € · 100 % ≈ 23 % 150 €

Vastaus: Se on 23 %.

...........pROsenttilasku Vi

31pROsenttilasku Vi...........

4. muutos- ja vertailuprosentti

Muutosprosentti

Esimerkki 1. Kengät maksoivat ennen alennusmyyntiä 75,50 €. Kenkien alennettu hinta on 60,00 €. Kuinka monta prosenttia kenkien hintaa on alennettu?

alennus euroina: 75,50 € – 60,00 € = 15,50 €

alkuperäinen eli alentamaton hinta: 75,50 €

Lasketaan, montako prosenttia alennus on alkuperäisestä hinnasta.

alennus prosentteina 15,50 € · 100 % ≈ 21 % 75,50 €

Vastaus: Hintaa on alennettu 21 %.

Muutosprosentti: muutos · 100 % alkuperäinen arvo (alkuperäinen arvo tai aikaisempi arvo)

Vertailuprosentti

Esimerkki 2. Kallen kuukausipalkka oli 2100 € ja Villen kuukausipalkka oli 3200 €.

a) Kuinka monta prosenttia Kallen palkka oli pienempi kuin Villen palkka?b) Kuinka monta prosenttia Villen palkka oli suurempi kuin Kallen palkka?

Lasketaan ensin erotus: 3200 € – 2100 € = 1100 €

vertailu: erotus · 100 % kuin...

a) 1100 · 100 % ≈ 34 % 3200

Vastaus: Kallen palkka oli 34 % pienempi kuin Villen palkka.

b) 1100 · 100 % ≈ 52 % 2100

Vastaus: Villen palkka oli 52 % suurempi kuin Kallen palkka.

Vertailuprosentti: erotus · 100 % vertailuarvo

Prosenttiyksikkö

Kun prosenttilukuja verrataan toisiinsa, muutos ilmoitetaan usein niiden välisenä erotuksena eli

32

5. perusarvon laskeminen

Mistä luvusta b on p %?

a = b · 100 a = perusarvo p b = prosenttiarvo p = prosenttiluku

Esimerkki 1. Mistä määrästä 50 kg on 25 %?

Perusarvo prosentteina on 100 %.

50 kg · 100 = 200 kg tai 50 kg = 200 kg 25 0,25

Vastaus: Määrä on 200 kg.

Esimerkki 2.

Asiakas saa ostamistaan vaelluskengistä alennusta 43,68 €, joka on 28 % alkuperäisestä hinnasta. Mikä oli kenkien alkuperäinen hinta? alennus euroina: 43,68 €

alennus prosentteina: 28 %

alkuperäinen hinta: 43,68 € · 100 = 156 € 28

Vastaus: Kenkien alkuperäinen hinta oli 156 €.

...........pROsenttilasku Vi

prosenttiyksikköinä.Esimerkki 3. Pankkitilin korko laski 2,6 prosentista 1,2 prosenttiin.

a) Kuinka monta prosenttiyksikköä korko laski?b) Kuinka monta prosenttia korko laski?

a) erotus: 2,6 % – 1,2 % = 1,4 %

Vastaus: Tilin korko laski 1,4 prosenttiyksikköä.

b) muutos · 100 % = 1,4 · 100 % ≈ 54 % alkuperäinen arvo 2,6

Vastaus: Korko aleni 54 %.

33

6. promille

Promille on tuhannesosa 1 ‰ = 1 = 0,001 1000

Esimerkki 1.

Emilian sormuksen massa on 10 grammaa. Kuinka paljon sormuksessa on kultaa, kun sen kultapi-toisuus on 750 ‰?

750 · 10 g = 7,5 g1000

Vastaus: Sormuksessa on 7,5 g kultaa.

Harjoituksia

1. Puseron hinta oli kaupassa 80 €. Siitä annettiin alennusta 20 %.

a) Kuinka suuri on alennus? b) Mikä on alennettu hinta?

2. Syystakin alkuperäinen hinta oli 210 €. Hinta laski 40 %.

a) Kuinka suuri oli alennus? b) Kuinka paljon takista joutui maksamaan?

3. Bensiinin 1,20 euron litrahintaan tulee 10 %:n korotus. Kuinka suuri on korotus? Mikä on korotettu hinta?

4. Sähkön kilowattituntihinta on 5 senttiä. Hintaa nostetaan 20 %.

a) Kuinka suuri on korotus? b) Mikä on uusi hinta?

5. Kauppias antaa 83,60 €:n hintaisista kengistä alennusta 20,90 €. Kuinka monta prosenttia on alennus?

6. Luokassa on 28 opiskelijaa. Opiskelijoista on tyttöjä 7.

a) Kuinka monta prosenttia on tyttöjä? b) Kuinka monta prosenttia on poikia?

7. Liikkeessä A kännykkä maksoi 128 €. Samanmerkkinen kännykkä maksoi liikkeessä B 134 €. Kuinka monta prosenttia liikkeen B hinta oli suurempi kuin liikkeen A hinta?

8. Asiakas saa kamerasta alennusta 345,10 €, joka on 35 % kameran hinnasta. Mikä on kameran alkuperäinen hinta?

pROsenttilasku Vi...........

34

Vii pOlynOmit

1. peruskäsitteitä

Lauseke on merkitty laskutoimitus.

Polynomi on summan muodossa oleva lauseke, jossa nimittäjässä ei ole muuttujaa.Muuttuja/muuttujakirjain on lausekkeessa esiintyvä kirjain.Vakio on lausekkeessa esiintyvä luku.

Esimerkki 1.

5x2 – 3x + 4 ja 8x3 + 2x – 4 ja 8x – 7 ovat polynomeja.

3 – 7 ei ole polynomi, koska nimittäjässä on kirjain. x

Termi

Polynomin yhteenlaskettavia sanotaan termeiksi.

–5x3 –3x2 +4x +7 yhteenlaskettavat eli termit

Esimerkki 2.

a) Polynomin 7x3 – 2x + 4 termit ovat 7x3, –2x ja 4. b) Termeistä –3x2, –11x ja 9 voidaan muodostaa polynomi –3x2 – 11x + 9.

Kerroin ja kirjainosa

Termi muodostuu useimmiten kahdesta osasta: kertoimesta ja kirjainosasta.Termi, jolta puuttuu kirjainosa, on vakiotermi.

Esimerkki 3. Olkoon polynomi –3x4 – x3 + 4x2 + 5.

Esimerkissä termi 5 on vakiotermi.

VII pOlynOmit

...........pOlynOmit Vii

termi kerroin kirjainosa–3x4 –3 x4

–x3 –1 x3

4x2 4 x2

5 5 ei ole

35pOlynOmit Vii...........

Nimityksiä

Termien lukumäärän mukaan polynomille on annettu seuraavat nimet:

esimerkki monomi yksi termi –4xbinomi kaksi termiä 3x – 4trinomi kolme termiä –2x4 + x3 + 4x2

Jos polynomissa on enemmän kuin kolme termiä, käytetään nimeä polynomi.

Samanmuotoiset termit

Termit, joilla on sama kirjainosa, ovat samanmuotoisia termejä.

Esimerkki 4.

Polynomissa 5x – 3x2 + 8x – 7 + x2 samanmuotoisia termejä keskenään ovat 5x ja 8x sekä –3x2 ja x2.

Polynomin asteluku

Jos polynomissa on yksi muuttujakirjain, polynomin asteluku on sama kuin suurin eksponentti.

Polynomin järjestäminen

Polynomi esitetään useimmiten termit järjestettynä.Jos polynomissa on vain yhtä muuttujakirjainta, järjestetään termit alenevien potenssien mukaan.Jos polynomissa on useampia muuttujakirjaimia, järjestetään termit aakkosjärjestykseen.

Esimerkki 5. Mikä on seuraavien polynomien asteluku? Järjestä polynomit.

polynomi asteluku polynomi järjestettynäx3 + 4x2 + 8 – 2x4 4 –2x4 + x3 + 4x2 + 8 2x2 – x3 + 9x – 2x5 5 –2x5 – x3 + 2x2 + 9x –x + 9x2 – 2 2 9x2 – x – 2

Esimerkki 6. Järjestä seuraavat polynomit.

polynomi polynomi järjestettynä2b + 4a – 5 4a + 2b – 55a + 4c – 8 – 12b 5a – 12b + 4c – 8

Polynomin nimeäminen kirjaimella (nimetä = antaa nimi)

Polynomit nimetään usein isolla kirjaimella. Yleisimmin käytettyjä kirjaimia ovat P, Q ja R. Kir-jaimen jälkeen merkitään polynomissa käytetyt muuttujakirjaimet sulkumerkkien sisään pilkulla erotettuna.

36

Esimerkki 7.

a) P(x) = x3 – 3x2 + 12b) Q(a,b) = 7a – 15b – 8c) R(a,b,c) = 5a + 13b – 2c – 8

Polynomin arvon laskeminen

Polynomin arvo saadaan siten, että sijoitetaan kirjaimen paikalle luku ja lasketaan näin saadun lausekkeen arvo.

Esimerkki 8. Laske polynomin 2ab – 3c arvo, kun a = –3, b = 7 ja c = –5.

2 · (–3) · 7 – 3 · (–5) = – 42 + 15 = –27 Polynomin arvo on –27.

Esimerkki 9. P(x, y) = x2 + 2xy – 5. Laske P(–1, 2). P(–1, 2) = (–1)2 + 2 · (–1) · 2 – 5 = –8.

Harjoituksia

1. Mitkä lausekkeet ovat polynomeja?

a) 2x + 5 b) x – 4 c) 6 – 2 d) 4x3 + 2x – 7 5 x

2. Mikä on polynomin –x3 + 4x2 + 2x – 7

a) kolmas termi b) ensimmäisen termin kerroin c) toisen termin kirjainosa

d) vakiotermi?

3. Nimeä polynomi termien lukumäärän mukaan.

a) –6x b) 4x3 + 2x – 7 c) 2x + 5 d) –5a3 + 8a2 + 2a – 9

4. Määritä polynomin asteluku.

a) –5a + 8a2 + 2a5 – 9 b) 7x + 5 c) –x + 4x2 – 1

5. Olkoon P(x,y) = –x – 3y. Laske seuraavat tehtävät.

a) P(1, 4) b) P(–2, –4)

...........pOlynOmit Vii

37

2. polynomien yhteen- ja vähennyslasku

Polynomien yhteenlasku

Poistetaan sulkumerkit ja yhdistetään samanmuotoiset termit.

Polynomien vähennyslasku

Polynomista voidaan vähentää toinen polynomi siten, että edelliseen lisätään jälkimmäisen vasta-polynomi.

Vastapolynomi saadaan vaihtamalla jokaisen termin etumerkki.

Esimerkki 1. polynomi vastapolynomi 8x2 – 5x + 6 –8x2 + 5x – 6 –7x2 + 5x 7x2 – 5x

Esimerkki 2. Laske (2x – 3) – (3x2 + 2x – 1).

(2x – 3) – (3x2 + 2x – 1) = (2x – 3) + (–3x2 – 2x + 1) = 2x – 3 – 3x2 – 2x + 1 = –3x2 – 2

Polynomien yhteen- ja vähennyslasku

1. Poistetaan sulkumerkit2. Yhdistetään samanmuotoiset termit

Jos polynomin ympärillä olevien sulkumerkkien edessä on• plusmerkki tai ei ollenkaan merkkiä, sulut voidaan poistaa ilman muuta• miinusmerkki, sulkumerkkejä poistettaessa vaihdetaan jokaisen sulkumerkkien sisällä olevan

termin etumerkki (eli lisätään vastapolynomi).

Esimerkki 3. Laske polynomien 3x – 5y – 2 ja 3x – 4y – 2 a) summa ja b) erotus.

a) (3x – 5y – 2) + (3x – 4y – 2) = 3x – 5y – 2 + 3x – 4y – 2 = 6x – 9y – 4

b) (3x – 5y – 2) – (3x – 4y – 2) = 3x – 5y – 2 – 3x + 4y + 2 = –y

pOlynOmit Vii...........

38 ...........pOlynOmit Vii

3. polynomien kertolasku

Monomien tulo

Kertoimet kerrotaan keskenään ja samankantaiset potenssit keskenään.

Esimerkki 1.

a) 3x2y · 5xy3 = 3 · 5 · x2 · x · y · y3 = 15x3y4

b) –5a · (–6a4b) = 30a5b

Polynomin kertominen monomilla

Jokainen polynomin termi kerrotaan erikseen monomilla.

Esimerkki 2. –5x (3x2 + 4x – 2) = –15x3 – 20x2 + 10x

Polynomin kertominen polynomilla

Ensimmäisen polynomin jokaisella termillä kerrotaan toisen polynomin jokainen termi.

Esimerkki 3. Sievennä (3a + 4)(5a2 – 3a + 2).

(3a + 4)(5a2 – 3a + 2) = 15a3 – 9a2 + 6a + 20a2 – 12a + 8 = 15a3 + 11a2 – 6a + 8 yhdistetään viimeksi samanmuotoiset termit

Harjoituksia

6. Kirjoita annetun polynomin vastapolynomi.

a) 6a – 5 b) –5a2 – 7a + 9

7. Merkitse ja laske polynomien 2a – 3 ja –a + 4

a) summa b) erotus c) summan ja erotuksen erotus.

8. Sievennä a3 – [–a – (a3 + a)].

9. Laske R(–1,9), kun R(x,y) = 3x2 – (xy + y2).

10. Sievennä.

a) 2x(3x – 7) b) (a – b)(2a + 3b) c) 3a · (–4a) – 8(a2 + 4)

39

Viii yhtälÖ, epäyhtälÖ ja VeRRantO

1. yhtälö

Kun kaksi lauseketta merkitään yhtä suuriksi, saadaan yhtälö.

Esimerkki 1. 2 + 3 = 5 tosi yhtälö 5 – 3 = 8 epätosi yhtälö x – 3 = 7 Yhtälö on tosi, kun x = 10. Muilla muuttujan x arvoilla se on epätosi. x2 + 1 = 5 Yhtälö on tosi, kun x = 2 tai x = –2. Muilla muuttujan x arvoilla se on epätosi.

Määrittelyjoukko

Määrittelyjoukon muodostavat muuttujan kaikki mahdolliset arvot. Yleensä määrittelyjoukko on reaalilukujoukko R.

Ratkaisujoukko

Kun yhtälön ratkaisu eli juuri sijoitetaan muuttujan paikalle, tulee yhtälöstä tosi. Yhtälön ratkaisu toteuttaa yhtälön. Ratkaisujen muodostama joukko on ratkaisujoukko.

Ehdollinen yhtälö

Ehdollinen yhtälö on tosi muuttujan x jollakin arvolla tai joillakin arvoilla. Muilla muuttujan x arvoilla se on epätosi.

Esimerkki 2.

a) Yhtälö x – 2 = 9 on ehdollinen yhtälö. Se on tosi vain silloin, kun x = 11. Luku 11 on yhtälön ratkaisu. b) Yhtälö x2 = 16 on ehdollinen yhtälö. Se on tosi, kun x = 4 tai kun x = –4. Muilla muuttujan x arvoilla se on epätosi.

Ehdoton eli identtinen yhtälö

Ehdoton eli identtinen yhtälö on joko •aina tosi tai •aina epätosi.

VIIyhtälÖ,epäyhtälÖ

ja VeRRantO

yhtälÖ, epäyhtälÖ ja VeRRantO Viii...........

40

Esimerkki 3.

a) Yhtälö x + 2 = x + 2 on tosi kaikilla x:n arvoilla. Yhtälö on identtinen (identtisesti tosi). b) Yhtälö x + 1 = x on epätosi kaikilla x:n arvoilla. Yhtälö on identtinen (identtisesti epätosi).

Yhtälö, jossa muuttujan korkein eksponentti on yksi, on ensimmäisen asteen yhtälö.Yhtälö, jossa muuttujan korkein eksponentti on kaksi, on toisen asteen yhtälö.Yhtälö, jossa muuttujan korkein eksponentti on kolme, on kolmannen asteen yhtälö jne.

2. yhtälön ratkaiseminen

1. Poistetaan sulkumerkit suorittamalla merkityt laskutoimitukset.2. Siirretään muuttujatermit yhtälön vasemmalle puolelle ja muut termit oikealle puolelle (huomaa etumerkkien muutokset).3. Yhdistetään samanmuotoiset termit.4. Jaetaan yhtälön molemmat puolet muuttujan kertoimella (≠ 0) tai kerrotaan muuttujan jakajalla (≠ 0). Yhtälössä voi esiintyä nimittäjiä. Tällöin ne poistetaan yleensä kertomalla.

Esimerkki 1. Ratkaise yhtälö 2(4 – 3x) – 5x = 11 – (2x – 9).

2(4 – 3x) – 5x = 11 – (2x – 9) poistetaan sulut 8 – 6x – 5x = 11 – 2x + 9 siirretään termit –6x – 5x + 2x = 11 + 9 – 8 yhdistetään samanmuotoiset termit

–9x = 12 | : (–9) jaetaan muuttujan kertoimella x = 12 = – 4 = –1 1 supistetaan, muunnetaan sekaluvuksi –9 3 3

Esimerkki 2. Ratkaise yhtälö x + 3 = 2 – x . 6 4 3

x + 3 = 2 – x | · 12 kerrotaan yhtälö pienimmällä luvulla, 6 4 3 johon nimittäjät sisältyvät

12 · x + 12 · 3 = 12 · 2 – 12 · x 6 4 3 2x + 9 = 24 – 4x 2x + 4x = 24 – 9

6x =15 |: 6

x = 15 = 5 = 2 1

6 2 2

...........yhtälÖ, epäyhtälÖ ja VeRRantO Viii

41

Vakiokirjaimia

Yhtälössä voi olla myös muita kirjaimia kuin muuttuja eli vakiokirjaimia. Vakiokirjaimet voidaan rinnastaa lukuihin. Näitä vakiokirjaimia sanotaan parametreiksi. Tehtävässä ilmoitetaan, minkä muuttujan suhteen yhtälö ratkaistaan.

Esimerkki 3. Ratkaise yhtälö 5x – a = 3x – b

a) muuttujan x suhteen b) muuttujan a suhteen.

a) 5x – a = 3x – 3b 5x – 3x = a – 3b 2x = a – 3b x = a – 3b

2 b) 5x – a = 3x – 3b –a = 3x – 3b –5x –a = –3b – 2x a = 3b + 2x

Identtiset yhtälöt

Identtisessä yhtälössä muuttujat häviävät kokonaan. Jäljelle jää joko tosi lause tai epätosi lause.

Esimerkki 4.

a) Ratkaise yhtälö 7x + 5 = 7x + 3.

7x + 5 = 7x + 3 7x – 7x = 3 – 5 0 = –2 identtisesti epätosi

Vastaus : Yhtälöllä ei ole ratkaisua. b) Ratkaise yhtälö 4x + 1 = 4x – 7 + 2 · 4. 4x + 1 = 4x – 7 + 8 4x – 4x = –7 + 8 – 1 0 = 0 identtisesti tosi

Vastaus: Yhtälö toteutuu kaikilla muuttujan x arvoilla.

Jos yhtälöä ratkaistaessa muuttuja häviää kokonaan ja jäljelle jää tosi lause, yhtälö toteutuu kaikilla muuttujan arvoilla. Jos yhtälöä ratkaistaessa muuttuja häviää kokonaan ja jäljelle jää epätosi lause, yhtälöllä ei ole rat-kaisua.


42

Harjoituksia

1. Ilmoita yhtälön asteluku.

a) 1 – x3 = 0 b) 2x + 6 = 9 c) 3x2 + 1 = 8x

2. Ratkaise yhtälöt.

a) 15 – 3(3x + 2) + 7x = 4x – 2(5x + 7) – 1

b) Ratkaise x:n suhteen a + 4x = 5a – b + 3x.

c) 3x – 2x – x = 1 2 3 4


a) 2(x – 7) = 2x – 3

b) 2(x – 5) + 5 · 2 = 2x

c) 5(x – 3) = 4x – 15

4. Millä vakion a arvolla yhtälöllä 4x + 6a = 4(x + 3)

a) on ratkaisuna kaikki luvut b) ei ole yhtään ratkaisua?

3. toisen asteen yhtälöt

esimerkkitäydellinen toisen asteen yhtälö ax2 + bx + c = 0 2x2 + 3x – 2 = 0vaillinainen toisen asteen yhtälö ax2 + bx = 0 3x2 – 6x = 0vaillinainen toisen asteen yhtälö ax2 + c = 0 5x2 – 20 = 0

Edellä olevissa yhtälöissä a, b ja c ovat vakiokirjaimia eli parametreja.

Muoto ax2 + c = 0 Esimerkki 1. Ratkaise yhtälöt.

a) 5x2 – 20 = 0 b) x2 – 5 = 0 c) x2 + 5 = 0

a) 5x2 – 20 = 0 5x2 = 20 x2 = 4 x = ± 4 x = ±2

Vastaus: x = 2 tai x = – 2

√


43

b) x2 – 5 = 0 x2 = 5 x = ± 5

Vastaus: x = 5 tai x = – 5 Vastataan tarkka arvo, ei likiarvoa. c) x2 + 5 = 0 Minkään luvun neliö ei ole negatiivinen. x2 = –5 Negatiivisesta luvusta ei voi ottaa neliöjuurta. Vastaus: Ei ratkaisua.

Muoto ax2 + bx = 0

Merkitään yhtälö tulon muotoon. (jaetaan yhtälö tekijöihin) Esimerkki 2. Ratkaise yhtälöt.

a) x2 – 5x = 0 b) 3x2 – 6x = 0 c) 2x2 = –5x

a) x2 – 5x = 0 Tulon nollasääntö: x(x – 5) = 0 Tulo on nolla, jos jokin sen tekijöistä on nolla. x = 0 tai x – 5 = 0 x = 0 tai x = 5

Vastaus: x = 0 tai x = 5 b) 3x2 – 6x = 0 3x(x – 2) = 0

3x = 0 tai x – 2 = 0 x = 0 tai x = 2

Vastaus: x = 0 tai x = 2

c) 2x2 = –5x 2x2 + 5x = 0 x(2x + 5) = 0 x = 0 tai 2x + 5 = 0

x = 0 tai x = – 5 = –2 1 2 2

Vastaus: x = 0 tai x = –2 1 2

√

√ √


44

Esimerkki 3. Ratkaise yhtälö 2x2 + 3x – 2 = 0.

Täydellisen toisen asteen yhtälön ax2 + bx + c = 0 ratkaisukaava on x = –b ± b2 – 4ac .

2a 2x2 + 3x – 2 = 0

x = –3 ± 32 – 4 · 2 · (–2) = – 3 ± 25 = –3 ± 5 2 · 2 4 4 x

1 = –3 + 5 = 1 ja x

2 = –3 – 5 = –2

4 2 4

Vastaus: x = 1 tai x = –2 2

4. epäyhtälö

Epäyhtälö

Epäyhtälö saadaan, kun kaksi lauseketta merkitään erisuuriksi.

Erisuuruusmerkit

merkki luetaan esimerkki > on suurempi kuin 8 > 6< on pienempi kuin 5 < 6≥ on suurempi tai yhtä suuri kuin 3 ≥ 1≤ on pienempi tai yhtä suuri kuin 7 ≤ 9

Esimerkkejä ratkaistavista ensimmäisen asteen epäyhtälöistä:

Esimerkki 1.

a) 3x – 1 > 5 luetaan: kolme x miinus yksi on suurempi kuin viisi

3x – 1 > 5 3x > 5 + 1 3x > 6 x > 2

b) 2x + 7 ≤ 3 luetaan: kaksi x plus 7 on pienempi tai yhtä suuri kuin kolme

2x + 7 ≤ 3 2x ≤ 3 – 7 2x ≤ –4 x ≤ –2 Erisuuruusmerkin suunta on muutettava, kun epäyhtälön molemmat puolet kerrotaan tai jaetaan negatii-visella luvulla.

√

√ √


45

Esimerkki 2. –7x + 11 > –4 – 2x

–7x + 11 > –4 – 2x –7x + 2x > –4 – 11 –5x > –15 |: (–5) x < 3

Harjoituksia

5. Mitkä seuraavista ovat epäyhtälöitä?

a) x + 3 = 6 b) 4x < –3 c) 12 > x – 5

6. Ratkaise epäyhtälöt.

a) 5x – 7 > 2x – 5 b) 4 – 2x < 8 + 3x c) 3(–3x + 6) ≥ –11x + 20


a) x2 – 81 = 0 b) 3x2 – 5 = 22 c) x2 – 9 = 0 25

d) x2 – 9 = –2 e) x2 + 28 = –3

8. Ratkaise.

a) 2x2 – 8x = 4x b) 4x2 + 8 = 5x + 4 · 2

9. Ratkaise päättelemällä.

a) x2 > 9 b) x – 2 > 0 c) 2 – x > 0

5. Verranto

Suhde

Esimerkki 1. Sadan metrin juoksijan nopeus on noin 10 m/s. Etana etenee noin 0,01 m/s. Mikä on nopeuksien suhde?

10 m/s : 0,01 m/s = 1000 : 1

Vastaus: Suhde on 1000 : 1.

Kahden suureen tai luvun suhde saadaan, kun edellinen suure jaetaan jälkimmäisellä. Suureitten yksiköiden on oltava samat.

Suhde on paljas luku. Paljaassa luvussa ei ole yksikköä.

√ √


46

Esimerkki 2. Esitä mahdollisimman pienten kokonaislukujen suhteena.

a) 30 : 45 b) 6 m : 120 cm

a) 30 : 45 = 30(15

= 2 45 3


b) 6 m : 120 cm = 6 m = 600 cm(120

= 5 120 cm 120 cm 1


Verranto

Verranto saadaan, kun kaksi suhdetta merkitään yhtä suuriksi.

a : b = c : d tai a = c

4. jäsen

b d

3. jäsen 2. jäsen

1. jäsen

Edellä olevassa verrantoyhtälössä a ja d ovat verrannon äärimmäiset jäsenet ja b ja c ovat verrannon keskimmäiset jäsenet.

Jos verranto on tosi, verrannon äärimmäisten jäsenten tulo on yhtä suuri kuin keskimmäisten jä-senten tulo.

Esimerkki 3. Ratkaise x.

x = 3 | kerrotaan ristiin (kertoa ristiin) 7 14

14x = 3 · 7

14x = 21 | :14 x = 21 = 3 = 1 1

14 2 2

Harjoituksia

10. Ratkaise x.

a) 3 = x b) 2 = 4 (x ≠ 0) c) 3x = x 5 20 7x 14 5 7

11. a) x + 3 = 2 b) 2x – 3 = 6 c) 7x – 11 = 4x +1 4 6 5 4 3 2


47sanastOa...........

sanastOa

Alla olevaan sanastoon on otettu jokaisesta luvusta sanoja ja sanontatapoja. Voit kerrata ja testata sen avulla käsitteitä ja yksittäisiä sanoja.

i lukuja ja lukujOukkOja

1. perussanastoa

laskutoimitus yhteenlasku vähennyslasku kertolasku jakolasku laskea yhteenlisätävähentää kertoa jakaa summaerotus tuloosamäärä plusmerkki miinusmerkki kertomerkki jakomerkkijakoviivalaskeamerkitäyhtäsuuruusmerkkiyhteenlaskettavavähenevävähentäjätulon tekijäkertojakerrottavajaettavajakajasulkumerkkikaarisuluthakasulutaaltosulutlaskujärjestys

sanastOa ABC

48

2. kymmenjärjestelmä

lukuyksikkökymmenensatatuhatkymmenentuhattasatatuhattadesimaalilukudesimaaliosakokonaisosadesimaalipilkkupotenssimiljoonamiljardibiljoonatriljoona

3. erilaisia lukuja

kokonaislukudesimaalipilkkudesimaalipistepäättymätön desimaalilukupyöristäälikiarvojaksojaksollinenjaksotontarkkuusmurtolukuosoittajanimittäjämuuntaasekalukukokonaisosamurto-osajakojäännössamannimineneriniminenlaventaalaventajasupistaasupistaja

...........sanastOa

49

4. lukujoukkoja

luonnollinen lukukokonaislukurationaalilukuirrationaalilukureaaliluku etumerkki positiivinen negatiivinen samanmerkkiset luvuterimerkkiset luvuton suurempi kuin on pienempi kuin on suurempi tai yhtä suuri kuin on pienempi tai yhtä suuri kuin on erisuuri kuin vastalukukäänteislukuitseisarvo

ii yksikÖitä

teragigamegakilohehtodekadesisenttimillimikronanopikopituusmetrimassagrammatonnipainovetomitatlitrasuhdelukuaikavuosikuukausivuorokausi

sanastOa...........

50

tuntiminuuttisekunti

iii lauseke ja lause

lausekelausemuuttujavakiosijoittaalausekkeen arvotosiepätosi

iV pOtenssit

potenssipotenssimerkintäkantalukueksponenttikorottaa potenssiinneliökuutiosamankantaisten potenssien tulosamankantaisten potenssien osamäärätulon potenssiosamäärän potenssi potenssin potenssisamankantaiset potenssitsamankorkuiset potenssitsieventää

V neliÖjuuRi

neliöjuurijuurimerkkijuurrettavajuurijuuren arvojuurilausekekuutiojuuri

...........sanastOa

51

Vi pROsenttilasku

prosenttiprosenttimerkkiprosenttilukuperusarvoprosenttiarvoprosenttikerroinkorotus korottaanostaapalkankorotuskorotettu hintaalennusalennusprosenttialennettu hintapitoisuusmuutosprosenttivertailuprosenttialkuperäinen arvovertailuarvoprosenttiyksikköpromille

Vii pOlynOmit

polynomimuuttujamuuttujakirjainvakiotermikerroinkirjainosavakiotermimonomibinomitrinomipolynomin arvosamanmuotoiset termitpolynomin astelukualenevat potenssitvastapolynomisieventää

sanastOa...........

52

Viii yhtälÖ, epäyhtälÖ ja VeRRantO

yhtälömäärittelyjoukkoratkaisujoukkoyhtälön ratkaisuratkaista yhtälö juuri toteuttaaehdollinen yhtälöehdoton yhtälöidenttinen yhtälöidenttisesti tosiidenttisesti epätosiensimmäisen asteen yhtälötoisen asteen yhtälövakiokirjainparametriidenttinen yhtälötäydellinen toisen asteen yhtälövaillinainen toisen asteen yhtälötarkka arvolikiarvomerkitä tulon muotoonjakaa tekijöihintekijöihin jakotulon nollasääntöratkaisukaavaepäyhtälöpäätelläverrantolukujen suhdepaljas lukuverrannon äärimmäiset jäsenetverrannon keskimmäiset jäsenetkertoa ristiin

...........sanastOa

53

Vastauksia

1 lukuja ja lukujOukkOja

1. a) 8 · 3 + 9 = 33 b) 25 – 36 : 9 = 21 c) (9 + 11) · 2 = 40 d) (9 + 7) : (9 – 7) = 8

2. a) 20 : 5 + 20 · 5 = 104 b) (25 – 5) · (25 + 5) = 600

c) (9 + 5) – (9 – 5) = 10 d) (22 + 8) · (14 : 7) = 60

3. a) 40 408 b) 1 312 600 c) 78,0204

4. a) satojatuhansia b) tuhannesosia c) kymmeniä d) ykkösiä

5. a) 17 000 b) 17 357,1 c) 17 357,076 d) 17 360

6. a) kahdeksan yhdeksäsosaa b) kolme kokonaista neljä viidesosaa c) seitsemän kokonaista kaksikymmentäyksi viideskymmeneskuudesosaa

7. a) 1 2 b) 11 c) 11 1 9 11

8. a) 18 b) 37 c) 20671 5 100 10000

9. a) 0,6 b) 1,22… c) 5,25 10. 6 , 4 , 7 30 30 30

11. a) 1 b) 2 c) 1 9 9 22

12. a) Kaksi on pienempi kuin neljä. b) Viisi on erisuuri kuin seitsemän. c) Kaksitoista on suurempi tai yhtä suuri kuin miinus viisikymmentä. d) Viisi on suurempi kuin kolme pilkku viisi.

13. a) –(–12) = 12 b) –(+12,5) = –12,5

14. –[–(–15)] = –15

15. a) 7 = 2

1 b) 9 c) – 1 3 3 11 12

16. a) | –25,1 | = 25,1 b) | +11 | = 11

17. | –18 + (+12) | – [–18 – (+12)] = 36

Vastauksia ?!

Vastauksia...........

54 ...........Vastauksia

18. – – 5 – | –2 | = 1 2 2

19. a) –3 b) –2,07 c) –4,1 20. a) –1 2 b) –3 3 c) –4 1

3 4 12

21. [(–21) + (+13)] – (–18) = 10

22. [(–15) – (–12)] – (–1) · (–4) = –7

23. 2 : – 6 + (–5) = –5 2 5 10 3

ii yksikÖitä

1. a) 3500 m b) 1214 cm c) 530 mm

2. a) 0,27 dm b) 1,48 m c) 1,245 km

3. a) 1490 dag b) 1,045 kg c) 45 mg

4. a) 0,149 hl b) 1,045 l c) 4,5 dl

5. a) 188 s b) 2,5 h c) 2 h

6. a) 4,86 € b) 2,5 kg

7. 53 min

8. 2 km

iii lauseke ja lause

1. (–0,2 + 2 · 0,5)(–0,2 – 3 · 0,5) = –1,36

2. lauseita 2x – 11 = 14 ja 3 = 4 lausekkeita 2x – 11 ja a + 5b

iV pOtenssiOppia

1. a) 54 b) a3 c) 37 d) (–3)2

2. a) 0,008 b) 225 c) 1 000 000 d) 9 e) –27 f ) –9

3. a) (–5)2 = 25 b) (–5)3 = –125

( )

( )

55

4. a) –48x5 b)

c) –48a13 d) 2x4y (x ≠ 0, y ≠ 0)

5. a) 49 b) 25 c) 512 d) 14 1 2

V neliÖjuuRi

1. a) Neliöjuuri kuusitoista on neljä. b) Neliöjuuri kaksisataakaksikymmentäviisi on viisitoista. c) Kuutiojuuri satakaksikymmentäviisi on viisi. d) Neljäs juuri kahdeksankymmentäyksi on kolme.

2. a) 5a5b2 b) 6 c) 3 d) 22 5

Vi pROsenttilasku

1. a) 16 € b) 64 €

2. a) 84 € b) 126 €

3. Korotus on 0,12 €, ja korotettu hinta on 1,32 €.

4. a) 1 snt b) 6 snt

5. 25 %

6. a) 25 % b) 75 %

7. 4,7 %

8. 986 €

Vii pOlynOmit

1. a) b) ja d)

2. a) 2x b) –1 c) x2 d) –7

3. a) monomi b) trinomi c) binomi d) polynomi

4. a) 5 b) 1 c) 2

5. a) –13 b) 14

Vastauksia...........

x2y3

3 (x ≠ 0, y ≠ 0)

56

6. a) –6a + 5 b) 5a2 + 7a – 9

7. a) (2a – 3) + (–a + 4) = a + 1 b) (2a – 3) – (–a + 4) = 3a – 7

c) [(2a – 3) + (–a + 4)] – [(2a – 3) – (–a + 4)] = –2a + 8

8. 2a3 + 2a

9. –69

10. a) 6x2 – 14x b) 2a2 + ab – 3b2 c) –20a2 – 32

Vii yhtälÖ, epäyhtälÖ, VeRRantO

1. a) 3 b) 1 c) 2

2. a) x = –6 b) x = 4a – b c) 1 5 7

3. a) ei ratkaisua b) kaikki reaaliluvut c) x = 0

4. a) a = 2 b) a ≠ 2

5. b) ja c)

6. a) x > 2 b) x > – 4 c) x ≥ 1 3 5

7. a) x = ± 9 b) x = ± 3 c) x = ± 3 5 d) x = ± 7 e) ei ratkaisua

8. a) x = 0 tai x = 6 b) x = 0 tai x = 1 1 4

9. a) x > 3 tai x < –3 b) x > 2 c) x < 2

10. a) x = 12 b) x = 1 c) x = 0

11. a) x = –1 2 b) x = 5 1 c) x = 12 1 3 4 2

...........Vastauksia

√

57

58

Documents

eeva Rinne - InnostuTKO...Polynomien yhteen- ja vähennyslasku..... 37 3. Polynomien kertolasku ... Lukujen 9 ja 7 summa jaetaan niiden erotuksella. 2. Merkitse ja laske a) lukujen