EFECTO FOTOELÉCTRICO El efecto fotoeléctrico fue observado por primera vez por Heinrich Hertz, en 1887. La luz de cierta frecuencia puede lograr que un metal emita electrones, fenómeno conocido como ‘efecto fotoeléctrico’. En 1902, Lenard estudió el efecto e hizo el descubrimiento de que la energía cinética del fotoelectrón depende crucialmente de la frecuencia de la radiación dirigida al metal. En 1905, en un alarde teórico extraordinario, Albert Einstein da una explicación plausible para el efecto fotoeléctrico: 1) La radiación electromagnética se comporta termodinámicamente

como si consistiera de cuantos de energía de magnitud hν. (HIPÓTESIS DEL CUANTO DE LUZ)

2) Un cuanto de luz incide sobre cada uno de los electrones del metal, produce su salida de la atracción del sólido y le da una energía cinética adicional

2

2mv

f += ωε

donde

νε hf = y

0νω h= pues sólo se logra la emisión a partir de cierta frecuencia, ν0, conocida como ‘frecuencia umbral’. 3) Einstein propone por lo tanto, en 1905, que la energía cinética de

los fotoelectrones es igual a

0

2

2νν hh

mv−=

EFECTO FOTOELÉCTRICO ¿Qué sabemos hoy sobre el efecto fotoeléctrico? La emisión de electrones de un metal puede lograrse: 1) Calentando lo suficiente al metal para que la energía térmica

logre que los electrones salgan de la superficie. (Emisión termiónica).

2) Colocando un campo eléctrico lo suficientemente alto como para extraer a los electrones de la superficie de metal. (Emisión por campo).

3) Lanzando una partícula sobre el metal, que golpee a un electrón y lo saque de la atracción del sólido. (Emisión secundaria)

4) Haciendo incidir luz sobre la superficie del metal. Según Einstein, el fotón golpea a un electrón y lo saca de la atracción del sólido. (Emisión fotoeléctrica).

Como vemos, siempre es necesario proporcionar al electrón el trabajo suficiente como para vencer la atracción del metal: función conocida como ‘función trabajo’, ω.

EFECTO FOTOELÉCTRICO ¿Qué sabemos hoy sobre el efecto fotoeléctrico? En el caso del efecto fotoeléctrico, puede estudiarse en un dispositivo como el mostrado en la figura.

Se elige el ánodo como la superficie metálica de la cual se van a desprender los electrones, los cuales tienen que vencer el campo eléctrico opuesto a su trayectoria para alcanzar el cátodo. Cuando llegan al cátodo se mide la corriente eléctrica en el galvanómetro. Puede, desde luego, incrementarse la diferencia de potencial con la fuente de poder y registrar en el voltímetro la diferencia de potencial que logra que no haya carga atravesando por el galvanómetro. A esa diferencia de potencial se le conoce como ‘diferencia de potencial de frenado’.

EFECTO FOTOELÉCTRICO ¿Qué sabemos hoy sobre el efecto fotoeléctrico? En ese punto la energía cinética máxima de los fotoelectrones se convierte en energía potencial eléctrica, siendo ∆ϕ0 la diferencia de potencial que provocó la anulación de la corriente a través del galvanómetro, y éstos regresan al ánodo.

2

02

1mve =∆ϑ

Las variables susceptibles de modificar en el experimento son: 1) La diferencia de potencial ∆ϕ, por debajo de ∆ϕ0, que provoca la

corriente i por el galvanómetro. 2) La intensidad de iluminación del ánodo, I 3) La frecuencia de la luz incidente, ν. 4) La naturaleza del metal del ánodo.

EFECTO FOTOELÉCTRICO ¿Qué sabemos hoy sobre el efecto fotoeléctrico? Lo sorprendente del efecto fotoeléctrico es que: 1) La fotoemisión es instantánea, inmediatamente después de la

llegada de la luz al metal. 2) ∆ϕ0 resulta invariante, aunque cambie la intensidad de la luz.

3) La fotoemisión sólo es posible a partir de cierta frecuencia límite,

conocida como frecuencia umbral, ν0. 4) Para cualquier intensidad, I, o fotocorriente, i, la energía cinética

máxima depende linealmente de la frecuencia, para ν > ν0.

0

2

2νν hh

mvmax −=

EFECTO FOTOELÉCTRICO Después de 1905, en que Einstein empleó la constante de Planck para cuantizar la luz, con la fórmula

)...(1νε hf = en 1917 propone que los fotones tienen cantidad de movimiento

Esta ecuación puede obtenerse fácilmente a partir de la ecuación (1) y de la ecuación relativista (2)

Al igualarlas las dos, obtenemos

Dividiendo entre c ambos lados

¿Por qué Einstein tardó 12 años en conectar sus dos trabajos de 1905, uno sobre efecto fotoeléctrico y el otro sobre relatividad especial? Pues porque resulta una cuestión muy atrevida proponer que la luz está cuantizada y compuesta por fotones y además decir que éstos tienen masa, ¡¡¡como si fueran partículas!!! Problema. Calcula la masa de un fotón de rayos X con λ =1 × 10-10m.

Este fotón es 41 veces más ligero que un electrón.

λ

hpf =

)...(22mc=ε

2mch =ν

fpmch

c

h===

λ

ν

kgc

hm 32

810-

34

10212m/s)103m10(1

Js106266 −−

×=××

×== .

)(

.

λ

LA VIEJA TEORÍA CUÁNTICA (Resumen) Planck (1900) El proceso de la interacción de la radiación con la materia está cuantizado. La energía que intercambian los osciladores del cuerpo negro, en equilibrio térmico con la radiación, sólo puede valer un número entero de veces el cuanto (o cantidad) fundamental hν. Einstein (1905-1917). El efecto fotoeléctrico se explica por la naturaleza corpuscular de la radiación electromagnética, que está compuesta de pequeños paquetes o cuantos de energía radiante, llamados fotones. La energía de un fotón es hν. En el efecto fotoeléctrico, cada fotón incide sobre un electrón y le da la energía suficiente para vencer la atracción del metal y para salir con cierta energía cinética. Los fotones tienen cantidad de movimiento pf = mf c = h/λ.

EL DESCUBRIMIENTO DEL NÚCLEO ATÓMICO Radiactividad En 1896, un año antes del descubrimiento del electrón, Henri Becquerel observó que algunas sales de uranio emitían radiaciones que hacían ennegrecer las placas fotográficas vírgenes que guardaba en un cajón. Por ese descubrimiento le dieron el premio Nobel de física del año 1903, compartido con Pierre y María Curie, quienes descubrieron dos elementos radiactivos de poder más intenso: el polonio y el radio. Se tardaron varios años en determinar la naturaleza de las radiaciones emitidas por los elementos radiactivos. Ernest Rutherford, en Inglaterra, descubrió tres tipos diferentes de radiación mediante un experimento en el que hizo atravesar un campo magnético a la radiación.

El experimento revela la existencia de partículas positivas (rayos α), con masa mucho más alta que las partículas negativas (rayos β), así como una radiación sin carga, que sigue un camino rectilíneo (rayos γ).

EL DESCUBRIMIENTO DEL NÚCLEO ATÓMICO Radiactividad αααα Las partículas alfa fueron identificadas después de un tiempo como núcleos de helio-4, con dos protones y dos neutrones. Un ejemplo de emisión alfa lo tenemos en el elemento polonio, descubierto por los Curie:

21084Po � 206

82Pb + 42He Nota cómo los números de masa de la derecha suman lo mismo que el número de masa de la izquierda. Lo mismo sucede con el número de protones. Radiactividad ββββ Las partículas beta fueron identificadas después de un tiempo como electrones provenientes del núcleo atómico, en particular de la transformación de un neutrón en un protón y un electròn:

10n � 11p + 0-1e + energía

El electrón emitido abandona el núcleo a enorme velocidad. Un ejemplo de este tipo de transformación lo tenemos en el plomo-210, en el que un neutrón se transforma en un protón, con lo que crece el número atómico en una unidad:

21082Pb � 210

83Bi + 0-1e Radiactividad γγγγ Los rayos gamma son radiación electromagnética de una frecuencia enorme, que se emite debido a cambios de energía dentro del núcleo. Su emisión no provoca variación en el número de masa ni en el número de protones:

12552Te � 125

52Te + γ

Radiactividad Problemas 1. Escribe los procesos de decaimiento alfa de los siguientes

núcleos: 23892U, 230

90Th, 21483Bi.

2. Escribe los procesos de decaimiento beta de los siguientes núcleos: 210

81Tl, 21082Pb, 210

83Bi. 3. Aprovecha el hecho de que en una reacción nuclear se

conservan tanto el número de masa como el número de protones para completar las siguientes reacciones:

a) 11H + 35

17Cl � 42He + ¿?

b) 10n + 60

28Ni � 11H + ¿?

c) 23892U + 12

6C � ¿? + 4 10n

EL DESCUBRIMIENTO DEL NÚCLEO ATÓMICO El modelo atómico de Kelvin-Thomson El primer modelo atómico que tomó en cuenta la existencia de los electrones y la inestabilidad atómica mostrada en las emisiones radiactivas en el de lord Kelvin y J.J. Thomson. En 1902 propusieron que el átomo estaba compuesto por una “sustancia” con carga positiva uniforme dentro de la cual se encontraban inmersos los electrones.

En 1904, J.J. Thomson lo extiende y hace arreglos electrónicos que indiquen la valencia de los átomos. Pone a girar los electrones en círculos porque ello le da estabilidad al átomo. Luego, como los anillos con electrones eran algo inestables, podrían deshacerse de un electrón, con lo que se explicaba la emisión beta radiactiva.

EL DESCUBRIMIENTO DEL NÚCLEO ATÓMICO El modelo atómico de Rutherford En 1909, Geiger y Marsden, colaboradores de Ernest Rutherford, informan de los resultados de bombardear con partículas alfa de alta velocidad una delgada lámina de oro de 0.00004 cm de espesor. De acuerdo con el modelo atómico de Kelvin-Thomson, se esperaban pequeñas deflexiones:

El resultado de los experimentos fue inesperado, ya que en ocasiones la partícula alfa rebotó de la lámina de oro.

“Fue el más increíble evento que ha ocurrido en mi vida. Es tan increíble como si, al disparar una granada de 15 pulgadas sobre un papel higiénico, ésta rebotara y le golpeara a uno mismo”.

El modelo de Kelvin-Thomson no podía explicar este fenómeno. En 1911, Rutherford propone un nuevo modelo atómico en el cual la carga positiva del átomo (Ze) se coloca en un punto, en el centro del átomo. Allí se encontraría también la mayor parte de la masa del átomo. Así nace el concepto de NÚCLEO ATÓMICO.

EL DESCUBRIMIENTO DEL NÚCLEO ATÓMICO Ejemplo. Una partícula alfa (q = 2e, m = 6.646 × 10-27 kg) con una energía cinética de 1.2304 × 10-12 J es repelida a 180º después de una colisión frontal con el núcleo de oro (q’ = 79 e). ¿Cuál es la máxima aproximación entre ambas partículas? La partícula α alcanza el reposo a una distancia D del núcleo. En este punto toda su energía cinética

J102304.12

1 122 −×== mvEc

se convierte en energía potencial eléctrica

D

Ze

D

Zee

D

qqV

22))(2('κκκ ===

Igualando Ec con V, podemos obtener D

m10963.2J101.2304

C)106021.1)(79)(2)(Jm/C1099.8()2( 14

12-

219292−

−

×=×

××==

cE

ZeD

κ

¿Y los electrones? Al situar al núcleo en el centro del átomo, era lógico suponer que los electrones se situarían girando alrededor del núcleo, pero Rutherford nunca lo propuso. Rutherford sabía perfectamente que una carga eléctrica sujeta a una aceleración emitiría radiación electromagnética, con lo cual iría perdiendo su energía poco a poco, hasta caer atrapada en el núcleo.

EL DESCUBRIMIENTO DEL NÚCLEO ATÓMICO El modelo atómico planetario Este modelo de átomo sería inestable, por que los electrones emitirían radiación al estar sujetos a una aceleración. No obstante esto, haremos algunos cálculos sobre este modelo. En este modelo, un electrón de masa m, con carga –e y con velocidad v giraría alrededor del núcleo, con carga Ze.

La energía total sería la energía cinética del electrón

)1(2

1 2mvEc =

más la energía potencial eléctrica

r

qqV

'κ=

reemplazando q = Ze y q’ = -e

)2(2

r

ZeV κ−=

Sumando (1) y (2) obtenemos la energía total

)3(2

1 22

r

ZemvVEE c κ−=+=

EL DESCUBRIMIENTO DEL NÚCLEO ATÓMICO El modelo atómico planetario

El electrón está sujeto a un movimiento acelerado, pues se ejerce sobre él una fuerza eléctrica perpendicular a su movimiento alrededor del núcleo.

)4(maFe = donde a es la aceleración centrípeta

)5(2

r

va =

y Fe la fuerza coulombiana de atracción entre el núcleo y el electrón

)6(2

2

r

ZeFe κ=

Sustituyendo (5) y (6) en (4)

r

mv

r

Ze 2

2

2

=κ

Simplificando una r

)7(22

mvr

Ze=κ

Esta es la ecuación fundamental del modelo planetario, que expresa la relación entre las velocidades y los radios de las órbitas electrónicas. Mientras menor es el radio mayor es la velocidad del electrón.

EL DESCUBRIMIENTO DEL NÚCLEO ATÓMICO El modelo atómico planetario Comparando con las ecuaciones (1) y (2), es claro que la ecuación fundamental del modelo planetario puede expresarse como una relación entre la energía cinética y la potencial

)8(2 cEV =− Expresión conocida como “teorema virial” El teorema virial nos permite escribir la energía total en función sólo de la cinética o sólo de la potencial.

)9(2

12 2mvEEEVEE cccc −=−=−=+=

o bien

)10(2

2/2/2

r

ZeVVVVEE c κ−==+−=+=

EL DESCUBRIMIENTO DEL NÚCLEO ATÓMICO El modelo atómico planetario Cálculos con el modelo planetario a) Calcule la energía total, en aJ, para el átomo de hidrógeno en el

modelo planetario si r = 1 Å b) ¿Cuál sería la velocidad del electrón? c) Calcule el radio al que giraría el electrón del átomo de hidrógeno

si fuera a una velocidad de 1 × 106 m/s. a) Emplearemos la ecuación (10) con Z=1

m)102(1

C)106021.1)(1)(C/Nm1099.8(

2 10-

2192292

×

××−=−=

−

r

ZeE κ

aJ -1.154J10154.1 18 =×−= −E

b) De la ecuación (9)

m/s10592.1kg109.1

J)10154.1(2)

2( 6

31-

182/1 ×=

×

×−−=

−=

−

m

Ev

c) Despejando r de la ecuación (7)

2631-

19229

2

2

m/s)10kg)(110(9.1

C)106021.1)(1)(C/Nm1099.8(

××

××==

−

mv

Zer

κ

A2.53m1053.2 10 &=×= −r

EL DESCUBRIMIENTO DEL NÚCLEO ATÓMICO El modelo atómico planetario ¿Cuál es la frecuencia a la que gira el electrón en el modelo planetario? La frecuencia se define como el número de ciclos que da el electrón en la unidad de tiempo y puede calcularse como la velocidad angular (en radianes/s) entre 2π (número de radianes por ciclo):

)11(2rad/ciclo

rad/s

π

ω==f

La velocidad angular está relacionada con la velocidad lineal por la ecuación:

r

v=ω

Dividiendo entre r2 la ecuación (7), obtenemos

2

2

3

2

r

vm

r

Ze=

κ

De donde

2/1

3

2

==

mr

Ze

r

v κω

Sustituyendo esta ecuación en (11), alcanzamos finalmente

)12(2

12/1

3

2

=

mr

Zef

κ

π

EL DESCUBRIMIENTO DEL NÚCLEO ATÓMICO Más cálculos sobre el modelo planetario a) Calcule la frecuencia orbital de un electrón en el átomo de hidrógeno para r = 1 Å b) Repita el cálculo para r = 2 Å d) Indique qué sucede con r, v y f si E decrece o si E crece. a) Respuesta

-115 s10533.2 ×=f b) Respuesta

-114s10956.8 ×=f c) Con las ecuaciones desarrolladas, podríamos arribar a la

siguiente tabla de valores E (aJ) r (Å) v × 10-6 (m/s) f × 10-14 (s-1) -0.5769 2 1.126 8.956 -1.1537 1 1.592 25.33 Por lo tanto que si E decrece (y el átomo pierde energía) r también decrece (se acerca al núcleo), pero v y f crecen. Por el contrario si el átomo gana energía, el electrón se aleja del núcleo y orbita más lentamente. El problema de este modelo es que el electrón emite radiación electromagnética de una frecuencia ν igual a la frecuencia a la que oscila el electrón, f. Por ejemplo, si orbita a 2 Å emite radiación de frecuencia 8.956×1014 s–1(cercana al violeta). Pero debido a ello pierde energía, con lo cual orbita ahora a menor radio. A ese nuevo radio vuelve a emitir radiación, ahora de mayor frecuencia (ultravioleta), con lo cual orbita a menor radio, hasta que se precipite sobre el núcleo.

PROBLEMA Calcular la frecuencia orbital del electrón de un átomo de hidrógeno, en una órbita cuya energía total es -1 aJ. Sustituyendo r, despejado de la ecuación (10):

)(2

2

E

Zer

−=

κ

En la ecuación (12), llegamos a

)13()(2

2/12

2/32/1

mZe

Ef

πκ

−=

Sustituyendo los valores del enunciado:

1/231219229

1.518

kg)101.9(C)106021.1)(1)(C/Nm1093.1416(8.9

J)101(4142.1−−

−

×××

×=f

-115 s10045.2 ×=f

EL MODELO DE BOHR Antecedentes Durante la segunda mitad del siglo XIX pudieron registrarse los espectros de emisión de muchos átomos. Pero ¿qué es un espectro de emisión? Cuando los gases elementales son excitados, emiten luz, la cual puede refractarse con un prisma para conocer exactamente las longitudes de onda emitidas:

Cada gas puede identificarse a partir de su espectro de emisión, con tanta precisión como la identificación de huellas digitales en las personas.

EL MODELO DE BOHR Antecedentes Para el gas atómico de hidrógeno, hacia 1880 el espectroscopista Ångström había medido las siguientes longitudes de onda de luz visible emitidas: Nombre de la línea

Hα Hβ Hγ Hδ

Long. de onda (Å)

6562.10 4860.74 4340.1 4102.2

Color Rojo Verde Azul Violeta LA SERIE DE BALMER. En 1885 J.J. Balmer, un profesor de escuela, había encontrado la siguiente relación que permitía obtener estos datos de manera casi exacta:

22

2

2−=

n

nbλ

con b = 3645.6 Å y n = 3, 4, 5 y 6 se obtienen los siguientes valores: Hα 6562.08 Å Hβ 4860.8 Å Hγ 4340 Å Hδ 4101.3 Å

EL MODELO DE BOHR Antecedentes OTRAS SERIES DEL HIDRÓGENO Rydberg, en 1890, escribió la ecuación de Balmer en función de los números de onda de las radiaciones emitidas por el hidrógeno:

λν

1=

Llegando a la ecuación:

−=

22

1

2

14

nbν

Llamó a 4/b como la ‘constante de Rydberg’, RH, y dijo que sería factible encontrar otras series para el hidrógeno con valores enteros diferentes al 2.

)1...(nncon 11

212

1

2

2

>

−=

nnRHν

El valor actual para RH = 10967758.1 m-1. Poco a poco fueron hallándose todas estas series de líneas, que llevan el nombre de sus descubridores: Nombre de la serie

Fecha de des-cubrimiento

Valores de n1 y n2 Región del espectro

Lyman 1906-1014 n2=1, n1=2, 3, 4 Ultravioleta Balmer 1885 n2=2, n1= 3, 4, 5 Ultravioleta-

visible Paschen 1908 n2=3, n1= 4, 5, 6 Infrarrojo

cercano Brackett 1922 n2=4, n1=5, 6, 7 Infrarrojo

intermedio Pfund 1924 n2=5, n1=6, 7, 8 Infrarrojo lejano

EL MODELO DE BOHR Antecedentes OTRAS SERIES DEL HIDRÓGENO Calcula la longitud de onda, en Å, de las primeras líneas de las series de Lyman, Balmer, Paschen, Brackett y Pfund. a) Lyman: n2 = 1, n1 = 2

1-

22m6.8225818)75.0)(1.10967758(

2

1

1

1)1.10967758( ==

−=ν

A1215.7m102157.1m6.8225818

11 7

1-&=×=== −

νλ

b) Balmer: n2 = 2, n1 = 3

1-

22m.7.1523299)13889.0)(1.10967758(

3

1

2

1)1.10967758( ==

−=ν

A.76564m105647.6m7.1523299

11 7

1-&=×=== −

νλ

c) Paschen: n2 = 3, n1 = 4

-1m9.533154=ν

A3.18756m1087563.1m9.533154

11 6

1-&=×=== −

νλ

d) Brackett: n2 = 4, n1 = 5

-1m6.246774=ν

A8.40522m1005228.4m6.246774

11 6

1-&=×=== −

νλ

e) Pfund: n2 = 5, n1 = 6

-1m4.134050=ν

A8.74598m1045988.7m4.134050

11 6

1-&=×=== −

νλ

EL MODELO DE BOHR El modelo original de 1913 Niels Bohr no desechó el modelo planetario del átomo, sino que incluyó en él restricciones adicionales. Para empezar, negó el resultado clásico de que una partícula cargada emitiría radiación al acelerarse. Bohr extendió al átomo el resultado de la cuantización del cuerpo negro de Planck: “El proceso de absorber o emitir radiación por un átomo sólo puede realizarse discontinuamente. La cantidad de energía radiada, Er (de frecuencia ν) debe ser igual a nhν.

...3,2,1con == nnhE r ν “Cuando el átomo no absorbiera ni emitiera radiación, se encontraría en un estado estacionario con una energía, E, constante.” Bohr consideró un proceso en el que inicialmente núcleo y electrón estuvieran infinitamente separados y en reposo, hasta alcanzar un estado estacionario de energía E.

EEEE ir −=−−= )( La siguiente suposición de Bohr fue que dicha energía radiante consistiría de una sola frecuencia ν, que sería exactamente la mitad de la frecuencia a la que orbitaría el electrón en su estado estacionario final.

2

nhfnhEE

r==−= ν

Colocando ahora la frecuencia en función de la energía de la ecuación (13)

−

−=

2/12

2/32/1 )(2

2 mZe

EnhE

πκ

De donde podemos despejar E como

)14(,...3,2,1con 2

22

4222

=−

= nhn

meZE

κπ

La cual es la expresión del modelo de Bohr para la energía de los estados estacionarios del átomo de hidrógeno. Para calcular los radios de las órbitas del modelo de Bohr, hacemos uso de la ecuación (10) del modelo planetario

)10(2

2

r

ZeE κ−=

De donde

)15(4 22

22

mZe

hnr

κπ=

Y, de la ecuación (9) del modelo planetario obtenemos el valor de v:

)9(2

1 2mvE −=

como 2/1

2

−=

m

Ev

)16(2 2

nh

Zev

πκ=

Nota que ha aparecido el número cuántico n en las expresiones de E, r y v. Por lo tanto, sólo hay ciertas órbitas estacionarias en el modelo planetario.

EL MODELO DE BOHR El modelo original de 1913 Dando valores a las variables en las ecuaciones (14), (15) y (16), alcanzamos las expresiones:

)14(aJ18.2

2

−=

n

ZEn

)15(pm92.522

=

Z

nrn

)16(m/s10188.2 6

×=

n

Zvn

De donde obtenemos los siguientes valores para la energía, el radio y la velocidad del electrón en las primeras órbitas del modelo de Bohr para el átomo de hidrógeno:

n En (aJ) rn (pm) vn (Mm/s) 1 -2.18 52.9 2.18 2 -0.55 211.6 1.09 3 -0.2422 476.2 0.72 4 -0.1362 846.7 0.54 5 -0.0872 1332.9 0.43

EL MODELO DE BOHR El modelo original de 1913 La variable de movimiento que adquiere la expresión cuantizada más simple es la cantidad de movimiento angular:

prLrrr

×= Que para un movimiento circular es un vector perpendicular a la trayectoria, de magnitud

L = mvr

Para el modelo de Bohr, sustituyendo r y v de las ecuaciones (15) y (16), obtenemos:

)17(24

222

222

ππ

πκ hn

mkZe

hn

nh

ZemmvrL =

==

Vemos que la cantidad de movimiento angular es, simplemente, un múltiplo entero de la constante de Planck entre 2π.

EL MODELO DE BOHR El modelo vía la cuantización de la cantidad de movimiento angular A partir de 1913, al darse cuenta de la simpleza de la expresión de la cuantización del momentum angular, Bohr propuso un modelo atómico con postulados. PRIMER POSTULADO. Los átomos monoelectrónicos (H, He+, Li2+, Be3+,…) están constituidos por un núcleo, de carga Ze, con masa M, y por un electrón que gira alrededor de él en una órbita circular de radio r, con carga –e y masa m. SEGUNDO POSTULADO. La cantidad de movimiento angular, L, del átomo está cuantizada. De los infinitos movimientos orbitales posibles, de acuerdo con el primer postulado, sólo son posibles aquellos para los cuales el momentum angular sea un múltiplo entero de h/2π. El primer postulado introduce en el modelo la masa reducida del sistema electrón–núcleo

mM

Mm

+=µ

Para el átomo de hidrógeno, para el cual el núcleo (protón) pesa 1836.1 veces los que el electrón:

mm

mH 9994557.0

1.1837

1.1836 2

==µ

La ecuación de fuerza=masa x aceleración queda ahora como:

)1(22

vr

Zeµ

κ=

Pero en esta ocasión no es como en el modelo planetario, donde v y r toman infinitos valores, pues debe cumplirse el segundo postulado, que representa una segunda ecuación con r y v como variables

)2(2π

µh

nvr =

La resolución simultánea de las ecuaciones (1) y (2) nos lleva a las ecuaciones del modelo de Bohr

EL MODELO DE BOHR El modelo vía la cuantización de la cantidad de movimiento angular Se obtienen cambios menores respecto a las ecuaciones del modelo original, ya presentadas, tomando µ el lugar de la masa del electrón, m:

)3(2

22

Ze

hnrn

µκ=

)4(2

22

4222

hn

eZEn

µκπ−=

)5(2 2

nh

Zevn

πκ=

)2(2π

hnL =

EL MODELO DE BOHR El éxito del modelo de Bohr se da al reproducir la ecuación de Rydberg para el espectro del átomo de hidrógeno. TERCER POSTULADO. Las órbitas determinadas por el segundo postulado son estacionarias, es decir, el átomo no radía cuando se encuentra en una de ellas. Sólo cuando el átomo cambia de un estado (1) con mayor energía a otro (2) con menor, se emite radiación monocromática cuya frecuencia vale

h

EE nn 21 −=ν

Empleando la ecuación (4) para En y la ecuación

νν c= Llegamos a la siguiente expresión para los números de onda de la radiación emitida en el espectro de emisión del hidrógeno:

−=

2

1

2

2

3

4222112

nnch

eZ µκπν

De donde la constante de Rydgerg se identifica como

1-

3

4222

m109677482

==ch

eZRH

µκπ

La cual es prácticamente igual al valor de la constante experimental: RH = 10967758.1 m-1