Effet Peau

PSI - Lycée BellevuePhysique

Électromagnétisme - chap.IXEffet de peau dans les conducteurs ohmiques


I Champ électromagnétique et milieu de propagation

I.1. Champ électromagnétique dans le vide

Dans le vide, c’est-à-dire dans une région vide de charge et de courant (ρ = 0 et −→ =−→0 ), les équations

de Maxwell s’écrivent

div(−→E ) = 0 div(

−→B ) = 0

−→rot(

−→E ) = −

∂−→B

∂t

−→rot(

−→B ) = µ0ε0

∂−→E

∂t

On remarque la structure "relativement" symétrique des équations de Maxwell dans le vide. Les

champs−→E et

−→B sont à flux conservatif et il existe un couplage entre leur rotationnel et leur

dérivée temporelle.

Remarque

Afin d’établir une équation ne faisant intervenir que le champ électrique, prenons le rotationnel del’équation de Maxwell-Faraday :

−→rot[−→rot(

−→E )]

=−→rot

(

−∂−→B

∂t

)

(équation de Maxwell-Faraday)

= −∂

∂t

−→rot(

−→B ) (permutation des dérivées)

= −∂

∂t

(

µ0ε0∂−→E

∂t

)

(équation de Maxwell-Ampère avec −→ =−→0 )

= −µ0ε0∂2−→E∂t2

Mais le double rotationnel peut s’exprimer sous une autre forme, en utilisant une relation d’analysevectorielle −→

rot[−→rot(

−→C )]

=−−→grad

[

div(−→C )]

−∆−→C ∀ −→

C

En appliquant cette relation au champ électrique, on obtient

−−→grad

[

div(−→E )]

︸︷︷︸

=ρ/ε0=0

−∆−→E = −µ0ε0

∂2−→E∂t2

−∆−→E = −µ0ε0

∂2−→E∂t2

(équation de Maxwell-Gauss avec ρ = 0)

d’où

∆−→E − µ0ε0

∂2−→E∂t2

=−→0

Tristan Brunier Page 1/12 Année 2011-2012



On constate que µ0ε0 est homogène à l’inverse du carré d’une vitesse. On pourra donc poser

∆−→E −

1

c2∂2−→E∂t2

=−→0 avec c =

1√µ0ε0

L’application numérique avec µ0 = 4π.10−7 H.m−1 et ε0 ≈1

36π.109F.m−1 conduit à

c =1

√µ0ε0

≈ 3.108 m.s−1

cette vitesse s’identifie à la célérité de la lumière.

Remarque

Établissons de même une équation ne faisant intervenir que le champ magnétique, en prenant le rota-tionnel de l’équation de Maxwell-Ampère :

−→rot[−→rot(

−→B )]

= µ0ε0−→rot

(

∂−→E

∂t

)

(équation de Maxwell-Ampère avec −→ =−→0 )

= µ0ε0∂

∂t

−→rot(

−→E ) (permutation des dérivées)

= µ0ε0∂

∂t

(

−∂−→B

∂t

)

(équation de Maxwell-Faraday)

= −µ0ε0∂2−→B∂t2

Par ailleurs,−→rot[−→rot(

−→B )]

=−−→grad

[

div(−→B )]

︸︷︷︸

=0

−∆−→B = −∆

−→B

On en déduit

∆−→B − µ0ε0

∂2−→B∂t2

=−→0 soit ∆

−→B −

1

c2∂2−→B∂t2

=−→0

où µ0ε0c2 = 1.

Dans le vide, les champs électrique−→E et magnétique

−→B vérifient la même équa-

tion :

∆−→E −

1

c2∂2−→E∂t2

=−→0 avec c =

1√µ0 ε0

Cette équation, appelée équation de d’Alembert, est caractéristique des phénomènesde propagation à la vitesse c.

Propriété

On en déduit que c est la célérité des ondes électromagnétiques dans le vide.

Remarque




I.2. Conducteur ohmique et A.R.Q.S.

Dans un conducteur ohmique de conductivité γ, les équations de Maxwell prennent la forme

div(−→E ) =

ρ

ε0div(

−→B ) = 0

−→rot(

−→E ) = −

∂−→B

∂t

−→rot(

−→B ) = µ0

−→ + µ0ε0∂−→E

∂t

où −→ = γ−→E .

a):::::::::

Densité:::::::::::::

volumique:::

de::::::::::

charges

Recherchons l’équation différentielle vérifiée par la densité volumique de charges ρ dans un conducteurohmique.

L’équation de conservation de la charge fournit

∂ρ

∂t+ div(−→ ) = 0 soit

∂ρ

∂t+ γ div(

−→E ) = 0

où l’on a utilisé le fait que le conducteur était homogène (γ indépendant de l’espace). En utilisant l’équationde Maxwell-Gauss, on trouve

∂ρ

∂t+

γ

ε0ρ = 0 soit

∂ρ

∂t+

γ

ε0

ρ

τ= 0

où τ =ε0

γ.

En tout point M , la solution de cette équation s’écrit

ρ(M, t) = ρ(M, t0)e−

t− t0

τ avec τ =γ

ε0

On voit apparaître un temps caractéristique τ dont la valeur pour un conducteur métalliquecomme le cuivre (γ = 6.107 S.m−1 ) est de l’ordre de

τ =ε0

γ=

1

36π.109 × 6.107= 5.10−19 s

Remarque

Compte-tenu de la valeur très faible de τ dans les conducteurs métalliques, cette expression montre quela densité volumique de charges dans un conducteur tend quasiment instantanément vers zéro (à l’échelledes variations temporelles de

−→E ). Pour un champ électrique variant sinusoïdalement avec le temps et de

fréquence f , le régime transitoire est négligeable si T = 1/f ≫ τ . On pourra donc écrire

ρ ≃ 0 pour T =1

f≫ τ soit f ≪

1

tau

Cette contraire correspond à l’approximation des régimes quasi-stationnaires pour le conducteur oh-mique.

Pour un conducteur métallique, l’A.R.Q.S. est vérifiée pour f ≪ 1018 Hz. Ce domaine defréquences exclut donc les rayons X et les rayons γ.

Remarque




b):::::::::::

Courants:::

de::::::::::::::::

déplacement

Évaluons le rapport de l’amplitude des courants de déplacements sur celle des courants de conductiondans le cas d’un champ électrique variant sinusoïdalement avec le temps :

‖ε0∂−→E

∂t‖

‖−→ ‖ ≃ε0ω‖

−→E ‖

γ‖−→E ‖≃

ε0ω

γ

Les courants de déplacement seront négligeables pour

ε0ω

γ≪ 1 soit ω ≪

γ

ε0=

1

τ

On retrouve la même constante de temps que dans l’étude de la densité volumique de charges.Pour un conducteur en cuivre (γ = 6.107 S.m−1 ) on trouve

ω ≪ 2.1018 rad.s−1 soit f =ω

2π≪ 3.1018 Hz

Ainsi, pour des champs variant lentement à l’échelle de 1018 Hz, les courants de déplacement serontnégligeables.

Dans un conducteur ohmique et dans l’A.R.Q.S. :⋆ le conducteur reste localement neutre ρ(M, t) = 0 ;⋆ les courants de déplacement sont négligeables devant les courants de conduction :

‖ε0∂−→E

∂t‖ ≪ ‖−→ ‖

Propriété

I.3. Champ électromagnétique dans un conducteur ohmique (A.R.Q.S.)

Compte-tenu des résultats précédents, les équations de Maxwell dans un conducteur ohmique s’écrivent,dans l’A.R.Q.S. :

div(−→E ) = 0 équation de Mawxell-Gauss

−→rot(

−→E ) = −

∂−→B

∂téquation de Mawxell-Faraday

div(−→B ) = 0 équation de Mawxell-Thomson

−→rot(

−→B ) = µ0

−→ + µ0 ε0∂−→E

∂t= µ0

−→ = µ0 γ−→E équation de Mawxell-Ampère

Les équations pour les champs−→E et

−→B sont couplées.

Remarque

Cherchons des équations découplées en−→E et

−→B .




a)::::::::

Champ:::::::::::::

électrique

Prenons le rotationnel de l’équation de Maxwell-Faraday

−→rot(−→rot

−→E)

= −−→rot

(

∂−→B

∂t

)

= −∂

∂t

−→rot(

−→B )

L’équation de Maxwell-Ampère permet d’exprimer le rotationnel de−→B

−→rot(−→rot

−→E)

= −∂

∂t

(

µ0 γ−→E)

Or−→rot(−→rot

−→E)

=−−→grad

(

div−→E

︸︷︷︸

=0

)

−∆−→E = −∆

−→E

On en déduit une équation découplée pour−→E

∆−→E − µ0 γ

∂−→E

∂t=

−→0

On peut aussi écrire

∂−→E

∂t=

1

µ0 γ∆−→E

La constante1

µ0γest homogène au carré d’une distance divisée par un temps, c’est-à-dire à un

coefficient de diffusion.

Remarque

b):::::::::

Champ::::::::::::::

magnétique

Prenons le rotationnel de l’équation de Maxwell-Ampère

−→rot(−→rot

−→B)

= µ0 γ−→rot(−→E)

L’équation de Maxwell-Faraday permet d’exprimer le rotationnel de−→E

−→rot(−→rot

−→E)

= µ0 γ

(

−∂−→B

∂t

)

= −µ0 γ∂−→B

∂t

Or−→rot(−→rot

−→B)

=−−→grad

(

div−→B

︸︷︷︸

=0

)

−∆−→B = −∆

−→B

On en déduit une équation découplée pour−→B

∆−→B − µ0 γ

∂−→B

∂t=

−→0




Dans un conducteur ohmique dans l’A.R.Q.S., les champs électrique−→E et magné-

tique−→B vérifient la même équation

∆−→E − µ0 γ

∂−→E

∂t=

−→0 soit

∂−→E

∂t= D ∆

−→E

Cette équation est une équation de diffusion, caractérisée par un coefficient de dif-

fusion D =1

µ0γ.

Propriété

Contrairement à une équation de d’Alembert, une équation de diffusion fait intervenir unedérivée première par rapport au temps. On en déduit que le changement t → −t laisse invariantel’équation de d’Alembert mais pas l’équation de diffusion. Une équation de diffusion traduit unphénomène irréversible.

Remarque

II Effet de peau dans un conducteur ohmique

II.1. Position du problème

Recherchons la solution de l’équation différentielle précédente dans un cas particulier. On étudie unconducteur occupant le demi-espace z > 0, comme le montre la figure ci-dessous.

Appliquons, à la surface du conducteur, un champ électrique uniforme (c’est-à-dire indépendant de xet y), tangent à la surface et variant sinusoïdalement avec le temps. Un tel champ peut être généré, parexemple, par une onde électromagnétique atteignant le conducteur. Le champ en z = 0 sera pris de laforme −→

E (z = 0, t) = E0 cos(ωt) ~ux

Conducteur

z

x

0

j (0,t)

δ

Le champ électrique à l’intérieur du conducteur vérifie l’équation

∆−→E − µ0 γ

∂−→E

∂t=

−→0

Le problème est invariant par translation suivant ~ux et ~uy. D’autre part, le champ variant de façonsinusoïdale avec le temps en z = 0, il est légitime de chercher une solution, en tout point intérieur auconducteur, sous la forme :

−→E (z, t) = E(z, t) ~ux = E0(z) cos [ωt− ϕ(z)] ~ux




avec les conditions aux limites suivantes

E0(z = 0) = E0 et ϕ(z = 0) = 0

L’équation pour le champ électrique devient en projection sur ~ux

∂2E(z, t)

∂z2− µ0 γ

∂E(z, t)

∂t= 0

II.2. Champ électrique dans le conducteur

L’équation différentielle étant linéaire, on peut utiliser la notation complexe en posant :

E(z, t) = E0(z) ei[ωt−ϕ(z)] = E0(z) e

iωt avec E0(z) = E0(z) e−iϕ(z)

L’équation différentielle précédente devient, en notations complexes :

∂2E0(z)

∂z2− i ω µ0 γ

∂E0(z)

∂t= 0

E0(z) vérifie donc une équation différentielle du second ordre à coefficients constants, d’équation ca-ractéristique :

r2 − i µ0 γ ω = 0 soit r2 − eiπ/2 ω γ µ0 = 0

Les solutions de l’équation caractéristique sont de la forme

r± = ±ei π/4√µ0 γ ω =

1 + i√2

√µ0 γ ω = ±

1 + i

δoù δ =

√

2

µ0 γ ω

Les solutions de l’équation sont donc de la forme

E0(z) = A er+ z +B er− z = A e(1+i) z/δ +B e−(1+i) z/δ

où A et B sont des constantes d’intégration complexes.

Or, pour z → +∞, la densité volumique de courant j(z, t) = Re[j(z, t)

]reste bornée donc

E(z, t) =j(z, t)

γborné pour z → ∞

On en déduit nécessairement A = 0. En z = 0, E0(z) = E0 de sorte que E0(z = 0) = E0 = B.

On en déduit la solution complexe

E0(z) = E0 e−(1+i) z/δ = E0(z) e

iϕ(z) avec

E0(z) = E0 e−z/δ

ϕ(z) = −z

δ

La solution compète pour le champ électrique s’écrit donc

−→E (z, t) = E0(z) e

iωt ~ux = E0 e−z/δ ei[ωt−z/δ] ~ux

soit, en notations réelles

−→E (z, t) = E0 e

−z/δ cos

(

ωt−z

δ

)

~ux




Les variations temporelles de−→E (z, t) sont ressenties à la cote z avec le retard

z

ωδet leur amplitude est

atténuée du facteur exponentiel e−

z

δ .

Ainsi, le champ électrique pénètre dans le conducteur sur une distance caractéristique δ =

√

2

µ0 γ ω.

On parle d’épaisseur de peau δ et d’effet de peau.

II.3. Champ magnétique dans le conducteur

De l’expression du champ électrique, on déduit le champ magnétique à l’aide de l’équation de Maxwell-Faraday :

−→rot(

−→E ) = −

∂−→B

∂t

Or

−→rot(

−→E ) =

−→∇ ∧ [E(z, t) ~ux]

=∂E(z, t)

∂z~uy

= E0 e−z/δ

[

−1

δcos

(

ωt−z

δ

)

+1

δsin

(

ωt−z

δ

)]

~uy

On en déduit∂−→B

∂t=

E0

δe−z/δ

[

cos

(

ωt−z

δ

)

− sin

(

ωt−z

δ

)]

~uy

En intégrant par rapport au temps, on obtient l’expression du champ magnétique

−→B (z, t) =

E0

δ ωe−z/δ

[

sin

(

ωt−z

δ

)

+ cos

(

ωt−z

δ

)]

~uy

soit

−→B (z, t) =

E0

√2

δ ωe−z/δ cos

(

ωt−z

δ−

π

4

)

~uy

Ainsi, tout comme le champ électrique, le champ magnétique pénètre dans le conducteur sur une dis-

tance caractéristique δ. Toutefois, le champ magnétique est déphasé deπ

4par rapport au champ électrique.

II.4. Densité volumique de courant

La loi d’Ohm locale permet de déterminer la densité volumique de courant à l’intérieur du conducteur

−→ (z, t) = γ−→E (z, t) = γ E0 e

−z/δ cos

(

ωt−z

δ

)

~ux




II.5. Effet de peau

L’amplitude des champs et des courants dans le conducteur décroît en e−

z

δ . La longueur caractéristiquede cet amortissement est :

δ =

√

2

µ0 γ ω

On l’appelle l’épaisseur de peau. Elle représente le profondeur de pénétration du champ électroma-gnétique et des courants à l’intérieur d’un conducteur : à une distance supérieure à quelques fois δ del’interface entre le conducteur et le milieu extérieur, les champs et les courants peuvent être considéréscomme nuls.

Ce phénomène est appelé effet de peau parce que δ prend des valeurs très faibles pour un bon conducteuraux fréquences moyennes et élevées. Pour le cuivre, dont la conductivité vaut γ = 6× 107S.m−1 :

– à f = 50 Hz, δ = 9 mm;– à f = 1 MHz, δ = 65 µm ;– à f = 5 GHz, δ = 0, 9 µm.

Les résultats établis ici pour une géométrie particulière se généralisent à un conducteur de formequelconque, lorsque l’épaisseur de peau reste faible devant le rayon de courbure du conducteur.

Remarque

Dans l’A.R.Q.S., les champs électromagnétiques et la densité volumique de courantà l’intérieur d’un conducteur ohmique s’atténuent sur une distance caractéristique δappelée épaisseur de peau. On parle d’effet de peau.

Pour des champs oscillants à la pulsation ω, l’épaisseur de peau est donnée par

δ =

√

2

µ0 γ ω

où µ0 est la perméabilité du vide et γ la conductivité électrique du matériau.

Propriété

Plus la fréquence du champ est élevée (à condition de respecter l’A.R.Q.S), plus l’épaisseur depeau diminue.

Remarque

Le champ électromagnétique à l’intérieur d’un conducteur parfait (γ → ∞) estnul

γ → ∞ =⇒ δ → 0

Les courants sont alors uniquement surfaciques.

Conséquence




δ

δ

a)

b)

c)

Figure 1 – a) Epaisseur de peau δ dans un fil cylindrique. b) Epaisseur de peau dans un fil tubulaire. c)Conducteur multi-brin.

Citons quelques conséquences liées à l’effet de peau.

⋆ Dans un conducteur ohmique, le courant à haute fréquence ne se propage qu’en surface. L’utilisationd’un fil plein est alors inutile, et des fils tubulaires sont donc souvent utilisés afin d’économiser lematériau conducteur.

Cependant, la diminution de la section efficace du conducteur entraîne une augmentation de sarésistance car la résistance d’une portion de conducteur de longueur ℓ et de section S vaut

R =ℓ

γS

Afin d’éviter ces pertes, on utilise un conducteur multi-brins.

⋆ La profondeur de peau permet également de prévoir la gravité des accidents électriques. En effet,en assimilant le corps à un conducteur ohmique, le courant pénètre dans le corps sur une distancecaractéristique δ.

– On parle de brûlures lorsque la peau est en contact avec des courants de l’ordre de 100 MHz. Enprenant une conductivité de l’ordre de γ = 3, 5 Ω−1.m−1 pour la peau, on trouve

δ ≈ 1 cm

– on parle d’électrocution pour des accidents avec le secteur (f = 50 Hz). L’épaisseur de peu estalors de l’ordre de

δ ≈ 10 m

Le courant pénètre dans le corps et peut entraîner une fibrillation des muscles, notamment ducœur.

III Aspects énergétiques de l’effet de peauFaisons un bilan énergétique dans le conducteur soumis à l’effet de peau.

III.1. Densité volumique d’énergie électromagnétique

La densité volumique d’énergie électromagnétique uem peut être décomposée en deux termes uem =ue + um, où :

ue =ε0E

2

2et um =

B2

2µ0




En remplaçant les champs par leurs expressions

ue =ε0E

20

2e−2z/δ cos2

(

ωt−z

δ

)

um =E2

0

2µ0, δ2 ω2e−2z/δ cos2

(

ωt−z

δ−

π

4

)

En prenant les moyennes temporelles de ces expressions, on obtient

〈ue〉 =ε0E

20

4e−2z/δ et 〈um〉 =

E20

4

γ

ωe−2z/δ

Le rapport de ces deux contributions vaut

〈ue〉〈um〉

=ε0 ω

γ

Dans l’A.R.Q.S., ε0ω ≪ γ d’où

〈ue〉〈um〉

≪ 1 pour un conducteur ohmique dans l’A.R.Q.S.

Dans l’A.R.Q.S., l’énergie électromagnétique contenue dans un conducteur ohmique est principalementsous forme magnétique.

III.2. Puissance dissipée par effet Joule

Considérons une portion du conducteur ohmique de section constante S normale à ~uz.

La puissance volumique moyenne cédée par le champ aux porteurs de charge vaut

〈dPJ

dτ〉 = 〈−→ · −→E 〉 = γ E2

0 e−2z/δ 〈cos2

(

ωt−z

δ

)

〉︸︷︷︸

=1/2

= γE2

0

2e−2z/δ

La puissance électromagnétique totale cédée à la portion de conducteur étudiée vaut donc

〈PJ〉 = γE2

0

2

∫ +∞

0

e−2z/δ S dz =γ δ

2

E20

2S

III.3. Puissance électromagnétique reçue par le conducteur

Calculons la puissance électromagnétique moyenne entrant une portion du conducteur ohmique desection constante S normale à ~uz.

Cette puissance est égale au flux du vecteur de Poynting à travers la surface S située en z = 0

Pray =−→Π(z = 0, t) · (S ~uz) soit, en valeur moyenne 〈Pray〉 = 〈−→Π(z = 0, t)〉 · (S ~uz)

Le vecteur de Poynting est donnée par :

−→Π =

−→E ∧ −→

B

µ0=

E20

µ0 δ ωe−2z/δ

[

cos2

(

ωt−z

δ

)

+ cos

(

ωt−z

δ

)

sin

(

ωt−z

δ

)]

~uz




d’où la valeur moyenne du vecteur de Poynting

〈−→Π 〉 =1

µ0 δ ω

E20

2e−2z/δ

La puissance moyenne entrant dans le volume étudié vaut :

〈Pray〉 = 〈−→Π(z = 0, t) · S~uz〉 =1

µ0 δ ω

E20

2S

Mais

δ =

√

2

µ0 γ ω=⇒

1

µ0 δ ω=

γ δ

2

On en déduit〈Pray〉 = 〈PJ〉

Ce résultat était prévisible. En effet, en moyenne, l’énergie électromagnétique dans le conducteur nevarie pas :

〈∂uem

∂t〉 =

1

T

∫ T

0

uemdt = 0 car uem est T-périodique

Il n’y a donc pas d’accumulation d’énergie au sein du conducteur : toute la puissance moyenne entrantdans le conducteur est fournie aux porteurs de charge conformément au bilan de puissance électromagné-tique

∂uem

∂t+ div(

−→Π) = −−→ · −→E


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