DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA

CORSO DI LAUREA MAGISTRALE IN INGEGNERIA CIVILE PER LA PROTEZIONE DAI

RISCHI NATURALI

RELAZIONE DI FINE TIROCINIO

Effetti dell’incertezza idrologica nella valutazione

delle inondazioni

Studentessa: Tutor:

Federica Piccione Prof. Aldo Fiori

Matricola: 462351

A.A. 2016/2017

1

Sommario

PREMESSA ........................................................................................................................................................ 2

1. INTRODUZIONE ........................................................................................................................................ 3

2. INCERTEZZA NELLE OSSERVAZIONI DI PORTATA ..................................................................................... 5

2.1 UN MODELLO SEMPLICE PER LA STRUTTURA DI ERRORE DEL METODO DELLA SCALA DI

DEFLUSSO ..................................................................................................................................................... 7

2.2 INCERTEZZA NELLE MISURE DI PORTATA ........................................................................................ 8

2.3 INCERTEZZA DELLA SCALA DI DEFLUSSO ......................................................................................... 9

2.4 CALCOLO DELL'INCERTEZZA GLOBALE ........................................................................................... 10

2.5 EFFETTI INTRODOTTI DALL'ERRORE DI ESTRAPOLAZIONE DELLA SCALA DI DEFLUSSO ................ 10

2.6 UN APPROCCIO ANALITICO PER LA STIMA DELL’INCERTEZZA INDOTTA DA ERRORI NEI DATI ..... 13

3. CONCLUSIONI ......................................................................................................................................... 16

2

PREMESSA

La seguente relazione descrive le attività effettuate ai fini dello svolgimento del tirocinio formativo, nel

periodo di settembre-ottobre 2017 presso il Dipartimento di Ingegneria Civile dell’Università degli Studi

Roma Tre. Tali attività sono previste dall’art. 10, co. 5 let. d/e del D.M 270/2004, e considerate equivalenti al

tirocinio per un numero di ore non inferiore a 150 come previsto dal piano di studi. La seguente relazione

descrive gli studi propedeutici allo svolgimento della tesi di laurea, con particolare riferimento agli aspetti

riguardanti l’incertezza nella valutazione delle aree inondabili.

In particolare, questo studio propone un quadro per l'analisi e la quantificazione dell'incertezza dei dati

relativi ai flussi fluviali. Tale incertezza è spesso considerata trascurabile rispetto ad altre approssimazioni

che interessano gli studi idrologici. In realtà, dato che i dati di portata vengono di solito ottenuti dal

cosiddetto metodo della scala di deflusso, diverse fonti differenti di errore influenzano le osservazioni

risultanti. Queste includono: errori nelle misure del livello del fiume e della portata utilizzate per

parametrizzare la scala di deflusso, l’errore di interpolazione e di estrapolazione della scala di deflusso, la

presenza di condizioni di flusso non stazionarie e le variazioni stagionali dello stato della vegetazione (vale a

dire la rugosità). I risultati dello studio mostrano che gli errori nei dati di flusso sono ben poco trascurabili.

3

1. INTRODUZIONE

Le strategie di mitigazione delle inondazioni dovrebbero essere basate su una valutazione completa del

rischio di inondazione combinata con un'indagine approfondita delle incertezze associate alla procedura di

valutazione del rischio. L'idrologia è intrinsecamente affetta da incertezza, in ragione della nostra ancora

limitata conoscenza dei processi idrologici. Per progettare le opere idrauliche è necessario considerare

l'incertezza adeguatamente ed è quindi necessario conoscere come le osservazioni vengono raccolte.

TAB.1 Fonti di incertezza divise in incertezza aleatoria e epistemica.

Moduli Variabilità (incertezza aleatoria) Conoscenza incompleta (incertezza

epistemica)

Statistiche dei valori

estremi

- Portata massima annuale - Errori nelle misure

- Formule di plotting position

- Selezione dei dati e serie parziali

- Selezione della funzione di

distribuzione della portata max

annuale

- Incertezza di campionamento della

portata max annuale

- Stima del parametro per funzioni di

distribuzione

Routing - Cambiamenti nel corso

d’acqua nel tempo

- Stime del parametro

- Errore nella selezione del modello

Relazione altezza-portata - Isteresi durante

l’inondazione

- Cambiamenti nel corso

d’acqua nel tempo

- Errore nelle misure

- Stima dei parametri

- Errore nella selezione del modello

Rottura dell’argine - Variazione spaziale della

geometria dell’argine

- Variazione del substrato

- Errori nella misura della geometria

dell’argine

- Stime della variabilità dei parametri

dell’argine

- Dimensione della rottura dell’argine

- Qualità del tappeto erboso della

copertura dell’argine

Tributari - Correlazione tra fiume

principale e tributari

- Entità della correlazione, errore della

misura

Stima dei danni - Uso e valore dell’edificio

- Andamento

spaziotemporale

dell’inondazione nel polder

- Metodo per stimare valori degli

edifici e contenuti

- Errore nella selezione del modello di

danno

- Stima del parametro (curve altezza-

danno)

4

La tabella 1 elenca le fonti di incertezza divise in incertezza aleatoria e incertezza epistemica. L'incertezza

aleatoria si riferisce a quantità che sono intrinsecamente variabili nel tempo, nello spazio o nelle popolazioni

di individui o oggetti. Può essere operativamente definita come una caratteristica delle popolazioni di misure

che si conformano bene a un modello probabilistico. L’incertezza epistemica risulta da una conoscenza

incompleta dell'oggetto di indagine e si riferisce alla nostra capacità di comprendere, misurare e descrivere

il sistema in esame. L’ incertezza aleatoria è stata definita anche variabilità, incertezza oggettiva, incertezza

stocastica, variabilità stocastica, casualità e incertezza di tipo A. I termini per l'incertezza epistemica sono

incertezza soggettiva, mancanza di conoscenza o conoscenza limitata e incertezza di tipo B.

Identificare le fonti di incertezza e assegnarle alle due classi può essere difficile come in alcuni casi una chiara

distinzione tra variabilità naturale e mancanza di conoscenza non è chiara a causa della nostra incompleta

comprensione del sistema. Come altri studi indicano, la principale fonte di incertezza nella valutazione del

rischio di alluvione deve essere prevista nelle statistiche dei valori estremi.

Negli ultimi anni, c'è stato un crescente interesse per la valutazione dell'incertezza nell'idrologia e nell'analisi

dei suoi possibili effetti sulla modellazione idrologica. L'incertezza è stata riconosciuta essere importante

nella comunicazione con gli utenti finali e nell’essere un ruolo chiave nel contesto di previsione nei bacini

non strumentati. Infatti, gli idrologi sono ben consapevoli che un’approssimazione significativa colpisce

l'output dei modelli idrologici. L’incertezza è causata da molte fonti di errore che si propagano attraverso il

modello e che quindi influenza il suo output. Tre principali fonti di incertezza sono state identificate: (a)

incertezza nelle osservazioni, che è l'approssimazione nelle variabili idrologiche osservate utilizzate come

input o calibrazione / validazione dei dati (ad esempio precipitazioni, temperatura); (b) incertezza dei

parametri, che è indotta da una calibrazione imprecisa dei modelli idrologici; c) incertezza strutturale del

modello, che nasce dall'incapacità dei modelli idrologici di schematizzare perfettamente i processi fisici

coinvolti nella trasformazione afflussi-deflussi. Tra queste, l'incertezza nelle osservazioni si ritiene svolga un

ruolo marginale, dato che è spesso considerata secondaria rispetto ai punti (b) e (c). Tuttavia, la letteratura

scientifica ha dimostrato che errori che interessano le osservazioni della portata sono ben poco trascurabili.

Infatti, la portata del fiume è raramente misurata in modo diretto durante le inondazioni, ma è

indirettamente stimata misurando il livello fluviale e convertendolo in portata fluviale per mezzo di una

relazione di altezza-portata, vale a dire, la cosiddetta scala di deflusso. Questa procedura, meglio descritta

nella prossima sezione, implica che l'incertezza nei dati di portata del fiume è particolarmente significativa

durante eventi alluvionali, quando la scala di deflusso viene estrapolata ben oltre il range di misure. Sono

stati fatti pochi tentativi per quantificare gli effetti dell'incertezza nell’osservazione nella modellazione

idrologica ed idraulica. Nella pratica tecnica la portata fluviale di grandi fiumi si misura facendo ricorso a

tecniche di stima che esprimono la portata in funzione di altre grandezze caratteristiche della corrente, quali

ad esempio la velocità ed il livello del pelo libero.

Il metodo in cui la portata è misurata utilizzando il metodo velocità-area si basa sul rapporto:

5

Q’(x, t) = A(x, t) × v(x, t) (1)

dove x è la progressiva del fiume, t è il tempo di campionamento, Q’ (x, t) è la portata del fiume misurata, A

(x, t) è la sezione trasversale e v (x, t) è la velocità media di flusso. Quindi, errori in Q’(x, t) sono originati da

incertezze sia in A (x, t) che in v (x, t), dovuti all’imprecisione del misuratore corrente, alla variabilità della

velocità di flusso del fiume sulla sezione trasversale e all'incertezza nella stima della geometria della sezione

trasversale. L'incertezza generale in una sola determinazione della portata, al livello di confidenza del 95%,

può variare nell'intervallo 8% -20%, principalmente a seconda del tempo di esposizione del misuratore

corrente, del numero dei punti di campionamento dove la velocità viene misurata e del valore di v (x, t). Altri

contributi hanno riportato errori intorno al 5-6%. Inoltre, la norma europea ISO EN 748 (1997) descrive una

metodologia per quantificare gli errori previsti del metodo velocità-area.

È importante notare che, nella pratica operativa, le osservazioni di portata sono solitamente ottenute per

mezzo del cosiddetto metodo della scala di deflusso. Secondo questa tecnica, misure di livello del pelo libero

del fiume sono convertite in portata attraverso una funzione (scala di deflusso), che è preliminarmente

stimata utilizzando un insieme di misure di altezza-portata.

Di conseguenza, un errore aggiuntivo è indotto dalla stima imprecisa della scala di deflusso. La portata del

fiume stimata attraverso il metodo della scala di deflusso è indicata dal simbolo Q (x, t).

Questo studio mira a proporre un quadro per la valutazione dell'incertezza globale che colpisce Q (x, t), che

ovviamente dipende dallo specifico sito di test considerato.

2. INCERTEZZA NELLE OSSERVAZIONI DI PORTATA

Una comprensione completa dell'incertezza che influenza il metodo della scala di deflusso per la misura della

portata richiede una descrizione della procedura stessa. La metodologia standard per derivare la scala di

deflusso si basa sull'ipotesi che esiste una corrispondenza biunivoca tra la portata del fiume e il livello

dell’acqua (di seguito denominata " scala di deflusso vera" vedi Fig. 1); questa ipotesi è plausibile per i fiumi

non soggetti a marea in condizioni di flusso stazionario. La vera scala di deflusso è ovviamente sconosciuta e

la procedura standard per stimarla consiste nell'eseguire indagini sul campo per registrare misurazioni

contemporanee del livello fluviale h(x, t) e della portata fluviale Q’(x, t), valutata utilizzando il metodo

velocità-area. Queste misure permettono di identificare un certo numero di punti (Q’(x, t); h(x, t)) che

vengono poi interpolati utilizzando una relazione analitica come scala di deflusso. Una volta che questa è

stimata, la portata osservata del fiume Q (x, t) in un tempo arbitrario t può essere ottenuta in modo operativo

misurando l’altezza h(x, t). Una funzione ampiamente utilizzata come scala di deflusso (caratterizzata da

alcune giustificazioni fisiche) è la funzione di potenza:

6

Q (x, t) = c1 × (h (x, t) - c2) c3 (2)

dove c1, c2 e c3 sono parametri di calibrazione, di solito stimati mediante il metodo dei minimi quadrati. Le

funzioni polinomiali possono anche essere utilizzate come scala di deflusso:

Q (X, t) = c1 x h (x, t) + c2 × h (x, t) 2 + c3 × h (x, t) 3 (3)

Ovviamente, per stimare una scala di deflusso affidabile, è necessaria una riduzione dell'incertezza delle

misure Q’(x, t). La norma europea ISO EN n. 748 (1997) prevede orientamenti a tal fine istituendo uno

standard internazionale per l'Europa. Di conseguenza, la misura di Q’(x, t) deve essere eseguita come segue.

Prima di tutto si dovrebbe misurare la velocità del flusso lungo un certo numero di segmenti verticali che si

trovano sulla sezione trasversale. Quando la larghezza della sezione trasversale supera 10 m, v (x, t) deve

essere misurata lungo almeno 20 verticali che dovrebbero essere collocate in modo che la portata in ogni

sottosezione sia inferiore al 5% del totale; il numero e la spaziatura delle misure di velocità lungo ogni

verticale dovrebbe essere selezionata in modo che la differenza nelle letture tra due punti adiacenti non è

più del 20% del valore più alto. Una volta che le velocità vengono rilevate lungo ciascuna verticale sono

integrate sulla profondità, l'area della curva di velocità ottenuta dà la portata per unità di larghezza lungo

quella verticale. La media di due valori di area successivi dà il valore di portata per unità di larghezza nella

sottosezione inclusa da due verticali. Infine, si ottiene la portata del fiume Q’(x, t) integrando le portate in

ogni sottosezione.

L'incertezza che interessa le osservazioni di portata può essere causata da: errori nelle misure di altezza e

portata utilizzate per parametrizzare la scala di deflusso; incertezza inerente la stima dei minimi quadrati dei

parametri nell’ eq. (2); presenza di condizioni di flusso non stazionario; estrapolazione della scala di deflusso

oltre il range di misure utilizzate per la sua derivazione; presenza di effetti rilevanti di ristagno (causati dalla

confluenza a valle degli affluenti, laghi e serbatoi regolamentati) e cambiamenti temporali nelle proprietà

idrauliche che regolano la relazione di altezza-portata (ad esempio scorrimento e riempimento, crescita

vegetativa, accumulo di ghiaccio durante i periodi di freddo).

L'errore indotto dall’estrapolazione della scala di deflusso oltre l'intervallo di misura (qui di seguito

denominato "errore di estrapolazione") è solitamente la principale fonte di incertezza nei dati di inondazione.

Questo è ben noto in letteratura, come alcuni autori segnalano di non estrapolare la scala di deflusso oltre

un certo range. Tuttavia, molte applicazioni idrologiche, come l’analisi di frequenza dell’inondazione,

necessitano di dati relativi ai flussi fluviali riferiti ad una condizione di flusso elevato quindi l'estrapolazione

della scala di deflusso oltre l'intervallo di misura è spesso necessaria.

7

Ad esempio, la figura 1 mostra l'effetto dell’estrapolazione della scala di deflusso oltre la gamma di misura e

sottolinea il fatto che gli errori di estrapolazione aumentano per i valori più elevati di portata. Inoltre, la figura

1 mostra un ulteriore aspetto interessante: l'estrapolazione della scala di deflusso spesso comporta una

sistematica sottostima o sovrastima. Ciò implica che gli errori nell'osservazione della portata sono in qualche

modo correlati.

Fig.1 Esempio di come errori indotti dall’estrapolazione della scala di deflusso spesso conducono sia a una sistematica sottostima

(sinistra) che sistematica sovrastima (destra).

2.1 UN MODELLO SEMPLICE PER LA STRUTTURA DI ERRORE DEL METODO DELLA SCALA DI DEFLUSSO

Al fine di dedurre l'errore che influenza le osservazioni sul flusso derivate dal metodo della scala di deflusso,

deve essere introdotto un modello per la struttura di errore. Dato che le informazioni disponibili sono spesso

limitate nei casi pratici, si fa riferimento a un modello che prende in considerazione le principali fonti di

incertezza con un approccio semplificato. L'incertezza indotta da un'osservazione imprecisa dell’altezza del

fiume viene trascurata. Questo è coerente con il fatto che questi errori sono solitamente molto piccoli (circa

1-2 cm) e quindi dello stesso ordine di grandezza rispetto agli errori topografici standard. Inoltre, si assume

che la geometria del fiume sia stazionaria, il che significa che la scala di deflusso cambia nel tempo solo a

causa della variazione stagionale della rugosità. Questa assunzione è stata fatta perché l'incertezza indotta

da possibili variazioni della geometria del fiume è fortemente dipendente dal caso di studio considerato. Vale

tuttavia la pena notare che, usando questa ipotesi, viene trascurata una delle fonti di incertezza più rilevanti

che possono influenzare le osservazioni di portata dove sono presenti il trasporto di sedimenti e processi di

erosione.

8

In considerazione delle ipotesi fatte, si possono individuare le seguenti principali fonti di errore che

interessano Q (x, t):

1) errore e1 (Q (x, t)) nella misurazione Q’ (x, t) ottenuta con il metodo velocità-area;

2) errore e2 (Q (x, t)) dovuto all’incertezza della scala di deflusso che a sua volta è indotta da 2.1) errore di

interpolazione e di estrapolazione e2.1(Q (x, t)), 2.2) la presenza di condizioni di flusso non stazionarie e2.2

(Q(x, t)), 2.3) variazioni stagionali di rugosità e2.3 (Q (x, t)).

Secondo l'esperienza operativa, e1 (Q (x, t)) e e2 (Q (x, t)) sono indipendenti. L'incertezza globale, e(Q (x, t)),

che influenza Q (x, t) può essere ottenuta da:

e (Q (x, t)) = e1 (Q (x, t)) + e2 (Q (x, t)) (4)

e1 (Q (x, t)) si presume essere una variabile casuale gaussiana mentre e2 (Q (x, t)) è precauzionalmente

presupposta essere una variabile casuale binaria dedotta per mezzo di simulazioni numeriche.

Si utilizzano gli approcci tradizionali per dedurre e1 (Q (x, t)), mentre sono state sviluppate tecniche originali

per valutare l'incertezza della scala di deflusso e2 (Q (x, t)). Queste ultime sono un compito difficile in quanto

la metodologia dipende dalla disponibilità di informazione. Per stimare e2 (Q (x, t)) si può far riferimento a

un modello di propagazione, sotto un insieme di ipotesi semplificative. Alcune di queste ipotesi possono

essere facilmente rimosse nelle applicazioni pratiche, a seconda del campo di applicazione dell'analisi e delle

informazioni disponibili.

2.2 INCERTEZZA NELLE MISURE DI PORTATA

L'incertezza che influenza le misure Q’(x, t) derivate dal metodo velocità-area è dovuta principalmente a: il

flusso del fiume durante la misura può essere non stazionario; la presenza di vento può influenzare

l'affidabilità della misura della velocità; la misura della velocità da parte del contatore corrente può essere

imprecisa anche in condizioni ideali; la misura della larghezza, B, della sezione trasversale e della profondità

dell'acqua, hi, lungo ciascuna i-esima verticale può essere influenzata da errori; la variabilità spaziale della

velocità di flusso può causare errori di stima per l'area della curva di velocità lungo i segmenti verticali e la

velocità media per unità di larghezza. Quest'ultimo errore è rigorosamente relativo al numero di segmenti

verticali. Per quantificare l'incertezza che riguarda Q’(x, t) bisogna quantificare le singole fonti di errore. La

norma ISO EN 748 (1997) fornisce indicazioni circa la grandezza di questi errori, al livello di confidenza del

95%: l'incertezza Xe che influenza la misura della velocità locale del flusso è di circa ± 6%, quando la velocità

stessa è di circa 0.5 m/s e il tempo di esposizione è di 2 min; l'incertezza Xc che influenzano la valutazione

9

dell'elemento rotante del contatore corrente è circa ± 1%, quando la velocità di flusso è di circa 0,5 m/s;

l'incertezza XB che influenza la misura di B è circa ± 1%; l'incertezza Xd che influenza la misura di hi è circa ±

1%; l'incertezza Xp nella stima della velocità media lungo ciascun segmento verticale è di circa ± 5% quando

vengono raccolte misure in almeno 5 punti; l'incertezza XA nella stima della velocità media sulla sezione

trasversale è di circa ± 5% quando il numero di segmenti verticali, m, è circa 20.

L'incertezza che colpisce Q’(x, t) può essere ottenuta integrando le singole fonti di incertezza. In particolare

in base alle ipotesi che: i) viene utilizzato il contatore corrente in condizioni ideali, senza alcuna incertezza

sistematica e in assenza di vento significativo e flusso non stazionario; ii) gli errori sono indipendenti e

normalmente distribuiti e iii) il numero di segmenti verticali, è almeno 20, con una distribuzione uniforme di

portata lungo le sottosezioni del fiume, l'incertezza che influenza Q’(x, t), al livello di confidenza del 95% può

essere calcolata come:

(5)

Pertanto, si può concludere che ogni misura di portata del fiume che viene utilizzata per calibrare una scala

di deflusso è influenzata da un'incertezza di circa il 5% di Q’(x, t) con un livello di confidenza del 95%. Ne

consegue che e1 (Q (x, t)) è una variabile casuale gaussiana con media zero e deviazione standard pari a

0.027Q (x, t).

2.3 INCERTEZZA DELLA SCALA DI DEFLUSSO

Nella pratica operativa non sono disponibili informazioni per dedurre il segno degli errori e2.1 (Q (x, t)), e2.2

(Q (x, t)) e e2.3 (Q (x, t)). Anche se si potrebbe dedurre il segno dell'errore indotto da condizioni non

stazionarie e dai cambiamenti di rugosità, le informazioni necessarie spesso non sono disponibili. Inoltre, è

improbabile che sia introdotta qualsiasi assunzione affidabile sul segno degli errori indotti mediante

interpolazione / estrapolazione. La situazione peggiore si ottiene quando i segni sono d'accordo; infatti, se

gli errori hanno segni contrari c’è la compensazione degli errori. Perciò, per seguire un approccio

conservativo, questi errori si suppone abbiano una struttura additiva assoluta, in modo che l’errore assoluto

che colpisce Q (x, t), indotto dall’incertezza della scala di deflusso, |e2 (Q (x, t))|, può essere ottenuto

mediante:

10

| e2 (Q (x, t)) | = e2.1 (Q (x, t)) | + | e2.2 (Q (x, t)) | + | e2.3 (Q (x, t)) | (6)

Ciò consente di ottenere deterministicamente una stima sicura dell'errore assoluto indotto dall’incertezza

della scala di deflusso per via di una simulazione numerica. Tuttavia, dato che non sono disponibili

informazioni nella pratica operativa per dedurre l’errore del segno, e2 (Q(x, t)) si presume essere una variabile

binaria che può assumere i valori + | e2 (Q (x, t)) | e - | e2 (Q (x, t)) | con uguale probabilità.

2.4 CALCOLO DELL'INCERTEZZA GLOBALE

Sotto il summenzionato assunto di indipendenza di e1 (Q (x, t)) e e2 (Q (x, t)), l'errore globale che influenza

Q (x, t), e (Q (x, t)), al livello di confidenza del 95%, può essere calcolato secondo l’eq. (4). Deve essere preso

in considerazione che e1 (Q (x, t)) è una variabile casuale gaussiana con media zero e deviazione standard

pari a 0.027Q (x, t) (vedi Sezione 2.2) mentre e2 (Q (x, t)) è una variabile casuale binaria che prende i valori

+| e2 (Q (x, t)) | e -| e2 (Q (x, t)) | con uguale probabilità.

2.5 EFFETTI INTRODOTTI DALL'ERRORE DI ESTRAPOLAZIONE DELLA SCALA DI DEFLUSSO

Questa sezione mira a mostrare, con un approccio semplificato, gli effetti pratici introdotti dall'errore di

estrapolazione della scala di deflusso. Questo approccio semplificato è utile per ottenere una prima

valutazione qualitativa.

La struttura dell’errore viene ricavata dai risultati di Kuczera (1996), in cui l'estrapolazione della scala di

deflusso comporta una sottostima o una sovrastima sistematica. Kuczera (1996) ha sottolineato che questo

errore sistematico può essere affidabilmente caratterizzato assumendo che: (a) le stime di portata nel

dominio di estrapolazione vengono danneggiate da un errore relativo; (b) questo errore dipende dalla

distanza dal punto di ancoraggio (che divide le zone di interpolazione dalle zone di estrapolazione, ad es. Fig.

1) e non dall'origine; c) l’errore di interpolazione dall'origine al punto di ancoraggio si presume essere

trascurabile.

Così l'errore sistematico introdotto con l'estrapolazione della scala di deflusso può essere descritto come:

Q = Q’ se Q’<Qa zona di interpolazione (7a)

Q = Qa + a(Q’ - Qa ) se Q’> Qa zona di estrapolazione (7b)

11

dove Q’ indica il valore effettivo di portata, Q il valore osservato, Qa è il valore di portata corrispondente al

punto di ancoraggio e a è un coefficiente positivo. Quando a <1 l’estrapolazione della scala di deflusso

produce la sovrastima della portata, quando a >1 provoca sottostima.

Dato che l’eq. (7b) è una funzione lineare, monotona crescente, è facile derivare la relazione tra la funzione

di distribuzione cumulativa (CDF) del valore osservato di portata, Q, e la CDF del valore reale, Q’: per grandi

valori di portata (che sono di interesse per l’analisi di frequenza) una cade nel ramo di estrapolazione della

scala di deflusso, il che implica

FQ(q) = Pr(Q≤ q) =Pr (Qa + a (Q’-Qa) ≤ q). (8)

Ne consegue che:

QT= Qa+ a (Q’T-Qa) (9)

dove QT e Q’T indicano il quantile, con periodo di ritorno T derivato rispettivamente dai valori osservati e

reali, dei dati di portata.

La struttura dell'errore proposta da Kuczera (1996) permette un’analisi approfondita dell'effetto degli errori

dei dati sulla stima dell’inondazione.

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Fig.2 Esempio del paradosso della scala di deflusso.

Test numerico con a=0.75 (sopra) e a=1.25 (sotto).

I diagrammi mostrano che i livelli sarebbero

significativamente sottostimati o sovrastimati

utilizzando l’inondazione stimata come input di un

modello perfettamente capace di riprodurre la vera

scala di deflusso.

La Figura 2 consente un'interpretazione iniziale degli effetti pratici indotti dall'errore di estrapolazione. Si può

vedere che l'estrapolazione porta ad una notevole incertezza nella stima dell’inondazione con tempi di

ritorno di 1-200 anni. Quindi, la Figura 2 mostra la vera scala di deflusso (linea tratteggiata) e quella stimata

(linea continua) e può essere usata per descrivere quello che noi chiamiamo il paradosso della "scala di

deflusso". A tal fine, si può assumere l'esistenza (irrealistica) di un modello idraulico perfetto, cioè un modello

perfettamente in grado di riprodurre la vera scala di deflusso (Fig. 2). Quindi, si utilizza l’inondazione stimata

come input di questo modello per prevedere i livelli di acqua (o entità dell’inondazione) corrispondenti a un

certo periodo di ritorno; facendo ciò, si replica una procedura tipica nell'ingegneria idraulica e nella gestione

del rischio di alluvione. Ad esempio, considerando il pannello in alto della Figura 2, si può osservare che

l'utilizzo dell’alluvione stimata come input di un perfetto modello idraulico (frecce nere) risulterebbe in una

sottostima del livello dell'acqua di progetto. Infatti, il vero livello dell’acqua corrispondente alla vera alluvione

è di circa 26,4 m (triangolo bianco), mentre quello stimato è di circa 23,9 m. È chiaro che una sottostima del

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livello dell'acqua di circa 2,5 m può portare, ad esempio, a progetti inadeguati delle strutture di difesa (ad

esempio, gli argini). Conclusioni simili possono essere raggiunte analizzando il pannello in basso di Fig. 2. Il

"paradosso della scala di deflusso" è che l’utilizzo di un modello idraulico perfetto amplifica l'incertezza

indotta dall'uso di una scala di deflusso imprecisa. Infatti, (i) uno osserva i livelli del fiume con un’incertezza

trascurabile, (ii) trasforma l’altezza in portata con una relazione non corretta ('' scala di deflusso stimata '',

Fig. 2) e (iii) trasforma l'alluvione di progetto in livelli di inondazione utilizzando un approccio più accurato

(che, in teoria, dovrebbe tendere ad essere il perfetto modello idraulico) nel tentativo di ridurre l'incertezza.

Il paradosso è che si finisce effettivamente con una stima errata dei livelli di inondazione anche a causa

dell'utilizzo di un modello accurato. In particolare, si è preso in considerazione un modello idraulico perfetto

come esempio estremo per mostrare non solo che non compensa gli errori della scala di deflusso stimata,

ma che potenzialmente amplifica questi errori. Così, quando l'alluvione di progetto viene riconvertita in

livello dell'acqua, l'uso della stessa scala di deflusso (sebbene errata) è più appropriato dell'applicazione di

un modello idraulico (anche se perfetto). Nonostante la plausibilità del modello di cui sopra per l’errore della

scala di deflusso, costruito dopo Kuczera (1996), il problema a portata di mano può essere molto più

complesso. Infatti, mentre l'errore di estrapolazione è spesso la principale fonte di incertezza, ci sono molte

altre fonti che influenzano le osservazioni di portata del fiume che non sono considerate qui.

2.6 UN APPROCCIO ANALITICO PER LA STIMA DELL’INCERTEZZA INDOTTA DA ERRORI NEI DATI

Questa sezione descrive un modo raffinato per provare ad analizzare l’incertezza nella stima dell'inondazione

indotta da errori nei dati di portata. Si considera Q’ il valore effettivo di portata, Q il valore osservato ed e

l'errore di osservazione. Segue che

Q= Q’ + e (10)

In una prima applicazione l'errore di osservazione, e, si suppone essere una variabile casuale gaussiana con

media zero e deviazione standard proporzionale alla portata effettiva del fiume e uguale a βQ’ dove β è un

coefficiente positivo. Segue che:

Q= Q’ + βQ’e’ (11)

dove e’ è una variabile casuale gaussiana con media e deviazione standard pari rispettivamente a 0 e 1.

14

Questo implica che:

μQ=μQ’; (12)

σ2Q=σ2

Q’ + β2(μ2Q’σ2

e’+μ2e’σ2

Q’ + σ2Q’σ2

ei) (13)

Ne consegue che i due parametri della distribuzione di Gumbel utilizzati nell'analisi della frequenza, q1 e

q2, possono essere stimati usando il metodo di momenti:

(14)

(15)

Utilizzando ad esempio i valori massimi annuali di portata come veri dati di flusso del fiume, Q’, le eq. (14) e

(15) consentono una prima stima degli effetti degli errori nei dati di portata, Q, per diverse grandezze

dell'errore nel fiume nelle osservazioni di portata, β.

Fig. 3 Quantili per valori differenti della grandezza dell’errore, β, sotto l’assunto di errore gaussiano con media zero e deviazione

standard proporzionale al vero valore di portata.

15

La Figura 3 riporta i quantili di alluvione per diversi periodi di ritorno, stimati per mezzo della distribuzione di

Gumbel, rispetto ai valori del coefficiente β. Si può osservare che più grande è β, più elevata è l’inondazione.

Ciò è dovuto alla struttura dell’errore data da (11), che implica che gli errori nelle osservazioni di portata,

mentre non influenzano il valore medio (equazione (12)), aumentano la varianza dei dati (cfr. eq. (13)). Di

conseguenza, i quantili aumentano (Fig. 3). Questo risultato è già stato descritto nella letteratura scientifica.

In particolare, la figura 3 mostra che per β <0,05, gli effetti degli errori di osservazione sono trascurabili,

indipendentemente dal periodo di ritorno considerato. Tuttavia si può vedere che per aumentare i valori

della grandezza dell’errore gli effetti sulla stima del quantile sono, sebbene conservativi per scopi di

progettazione, non più trascurabili. In particolare, per β> 0,15 (che non sono improbabili quando la scala di

deflusso viene estrapolata oltre l'intervallo di misura) l'effetto degli errori di osservazione diventa molto

rilevante.

Se invece si trascura l'incertezza indotta dalla presenza di flusso non stazionario, l'errore globale di portata

del fiume è scritto come

e=e1+e2 (16)

dove e1 indica l'errore di misurazione dei dati di flusso del fiume che vengono utilizzati per costruire la scala

di deflusso, mentre e2 rappresenta l'errore indotto da una scala di deflusso errata. e2 assume valori positivi

o negativi con uguale probabilità. In particolare, sotto ipotesi deboli corrispondenti all'utilizzo di tecniche di

misurazione appropriate proposte dalla norma ISO europea (1997), si applica la seguente relazione:

(17)

dove e’1 è gaussiano con media zero e deviazione standard uguale a 1, mentre e’2 è una variabile binaria che

prende i valori +1 o 1 con uguale probabilità (γ1 e γ2 sono coefficienti positivi. Dato che e’1 e e’2 sono

entrambi caratterizzati da media zero e deviazione standard pari a 1, se i primi due momenti (media e

varianza) sono sufficienti per definire la distribuzione di probabilità (che è il caso della distribuzione di

Gumbel), la struttura dell’errore può essere approssimata come:

(18)

16

dove e* è un termine generico di rumore con media zero e deviazione standard pari a 1. Questa struttura di

errore è simile a quella data da Eq. (11), con γ1 + γ2 = β. Ne consegue che i parametri della distribuzione di

Gumbel corrispondenti alla portata osservata possono essere stimati seguendo una procedura simile.

3. CONCLUSIONI

I modelli di errore usati per calcolare e(Q (x, t)) possono essere derivati introducendo una serie di ipotesi. Le

più importanti sono riepilogate qui di seguito:

1. l 'incertezza indotta dalla misura imprecisa dell’altezza del fiume è trascurabile;

2. la geometria delle sezioni trasversali del fiume è stazionaria nel tempo;

3. e (Q (x, t)) può essere ottenuto sommando e1 (Q (x, t)) e e2 (Q (x, t)), che sono indipendenti;

4. le incertezze che interessano Q’(x, t) sono indipendenti e sono esclusi gli errori sistematici;

5. e1 (Q (x, t)) è una variabile casuale gaussiana;

6. e2 (Q (x, t)) è una variabile casuale binaria che può assumere i valori + | e2 (Q (x, t)) | e - | e2 (Q (x, t)) con

pari probabilità. Può essere calcolato in base a una modello di errore additivo assoluto (equazione 4).

Le ipotesi 3) e 6) sono conservative e possono portare ad una sovrastima dell'incertezza. Dato che e1 (Q (x,

t)) è trascurabile rispetto a e2 (Q (x, t)) e quindi l'assunto semplificatore 3) ha una scarsa efficacia sui risultati.

L’incertezza indotta dall'estrapolazione della scala di deflusso domina gli altri errori nelle condizioni di flusso

elevato, quindi l'ipotesi 6) anche si può trascurare. In effetti, i contributi precedenti in idrologia non

consigliano di estrapolare le scale di deflusso oltre un certo intervallo. Tuttavia diverse applicazioni

idrologiche sono inevitabilmente basate su osservazioni di flusso e pertanto bisogna estrapolare la scala di

deflusso al di là del range di misurazione. Gli effetti di questo tipo di errore sono rilevanti e possono portare

a ciò che viene chiamato il paradosso della scala di deflusso, dove l'imprecisione dei dati è amplificata

mediante l'utilizzo di un modello perfetto per prevedere i livelli di acqua o l’entità delle alluvioni. Va notato

che il paradosso della scala di deflusso può anche essere visto come un esempio di trasferimento di incertezza

17

dalla scala di deflusso, che ha bassa incertezza di input e alta incertezza strutturale e il modello idraulico

perfetto (non realistico) che non ha incertezza strutturale e ha elevata incertezza di input.

Tuttavia, è importante notare che la fonte di errore dovuta alla presenza di condizioni non stazionarie può

essere ridotta applicando le formule proposte dalla letteratura per approssimare le scale di deflusso non

stazionarie. Infine, errori nelle misure di flusso utilizzate per costruire la scala di deflusso e gli errori dovuti ai

cambiamenti stagionali della rugosità non sono così significativi.

Alla luce di quanto sopra esposto, i modelli idrologici spesso ignorano che i dati di flusso sono influenzati da

una notevole incertezza. Uno dei principali motivi è che i modellatori spesso non sono in grado di valutare

quantitativamente l'affidabilità delle osservazioni delle piogge o delle portate del fiume.

Gli errori nelle osservazioni di portata del fiume sono significativi e possono influenzare fortemente l'output

di studi idrologici e idraulici. I risultati sono associati inevitabilmente al sito considerato. La riduzione

dell'incertezza delle osservazioni di portata è un requisito convincente per migliorare l'affidabilità delle

variabili idrologiche di progettazione. Un modo per ridurre questa incertezza è l'aggiornamento continuo

della scala di deflusso. È ben noto che questa è una buona pratica in idrometria. È pertanto raccomandato

non solo di tenere conto di cambiamenti che possono verificarsi nella geometria del fiume e nella rugosità,

ma anche di evitare sistematicità, che può aumentare notevolmente l'incertezza. Tuttavia, si dovrebbe tenere

presente che l'aggiornamento della scala di deflusso non è sufficiente per evitare gli errori di estrapolazione

e gli errori di grandi dimensioni corrispondenti nella previsione dei livelli di inondazione. Un altro contributo

rilevante per ridurre l'incertezza è quello di raccogliere osservazioni di flusso durante eventi estremi, quindi

alzando il livello del punto di ancoraggio nella scala di deflusso. Questo problema non è facile da risolvere,

perché raccogliere l'osservazione di portata del fiume durante le inondazioni è un compito difficile. Tuttavia,

l'utilizzo integrato di tecniche di telerilevamento innovativo e modellizzazione idraulica può offrire

prospettive interessanti per il futuro.