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EFICIENCIA DE DESPLAZAMIENTODR. ENRIQUE SERRANO, FI, UNAM, SEMESTRE 2012-2

1. De�niciones

La e�ciencia de desplazamiento se de�ne de la siguiente manera, para un aceite dedensidad constante:

ED =Volumen de aceite inicial-Volumen de aceite remanente

Volumen de aceite inicial=

SoiBoi� �So

BoSoiBoi

(1)

Cuando Boi es constante : ED =Soi� �So

Soi(2)

�So = saturación promedio de aceite en un punto dado (3)

Soi = 1� Swi (4)�So = 1� �Sw (5)

ED puede expresarse más convenientemente en terminos de saturación de agua:

ED =�Sw � Swi1� Swi (6)

Observaciones:

ED crece conforme se desarrolla la inyección de agua, con un incremento en la �Sw:

ED alcanza un máximo cuando �So se reduce a la Sor,

Si el desplazamiento es tal que el agente desplazante contacta todo el aceite presenteen el medio, la e�ciencia volumétrica de barrido! 1 y la e�ciencia de desplazamientose transforma en e�ciencia de recuperación ER:

ED : �Sw = f (V wi : t) (7)

Teoria de avance frontal:- Ecuación de �ujo fraccional- Ecuación de avance frontal

2

2. Ecuación de �ujo fraccional

Considere el estado estacionario de dos �uidos inmiscibles en un medio poroso que seencuentra bajo los efectos de una inclinación positiva.

q = �k�A@�

@x� = P + �gh@�

@x=

@P

@x+ �g

@h

@x@h

@x= sen�

@�

@x=

@P

@x+ �gsen�

q = �k�A

�@P

@x+ �gsen�

�(8)

qw = �kwA

�w

�@Pw@x

+ �wgsen�

�(9)

qo = �koA

�o

�@Po@x

+ �ogsen�

�(10)

Pc = Pnw � PwPc = Po � Pw@Pc@x

=@Po@x

� @Pw@x

(11)

�qw�wkwA

� �wgsen� =@Pw@x

�qo�okoA

� �ogsen� =@Po@x

(12)

@Pc@x

= �qo�okoA

� �wgsen� +qw�wkwA

+ �ogsen� (13)

qt = qo + qw (14)

qo = qt � qw (15)

@Pc@x

= �qt�o � qw�okoA

� �wgsen� +qw�wkwA

+ �wgsen�

3

qw =

qt�okoA

+ @Pc@x� (�w � �o) gsen�

1A

��oko+ �w

kw

�

qw =

qt�okoA

+ @Pc@x� (�w � �o) gsen�

1A

��oko+ �w

kw

� �koA�okoA�o

qw =qt +

koA�oqt

�@Pc@x� (�w � �o) gsen�

�1 + �w

kwko�o

Flujo fraccional del agua (corte de agua)

fw =qwqt=1 + koA

�oqt

�@Pc@x���gsen�

�1 + �w

kwko�o

Si la roca es preferentemente mojable por aceite:

Pc = Pw � Po

fw =1 + koA

�oqt

�@Pc@x+��gsen�

�1 + �w

kwko�o

Fuerzas capilares:

koA

�oqt

@Pc@x

1 + �wkw

ko�o

!

Fuerzas gravitacionales:

koA�oqt��gsen�

1 + �wkw

ko�o

Fuerzas viscosas:

1

1 + �wkw

ko�o

@Pc@x

=@Pc@Sw

@Sw@x

Cuando @Pc@x! 0 :

fw =1

1 + �wkw

ko�o

4

fw = fw (�o; �w; �w; �o; Pc)

fw = fw (ko; kw; So; Sw)

fw = fw

�qt;@Pc@x

�fw = fw (�; dirección de �ujo)

"Entre menor sea el valor del �ujo fraccional de agua, mayor será la e�ciencia de de-splazamiento del aceite".En unidades ingenieriles:

fw =1 + 0;001127 A

qT

hK�

io

�@P@x� 0;4334�sen�

�1 +

hK�

io

h�Kr

iw

(16)

Unidades:

k [mD] ; � [cP ] ; qT [STB=d] ; A�ft2�; P [psi] ; x [cm] ; �

�gr=cm3

�(17)

Debe hacerse notar que:

ko = Kkro (18)krokrw

=kokw; qt = iw (19)

Entónces:

fw =1� KkroA

�oiw

�@Pc@x+ 0;433��sen�

�1 + kro

krw

�w�o

(20)

En una generalización de la ecuación de �ujo fracciona:

fD =1� KkroA

�oiD

�@Pc@x+ 0;433��(�� = �D � �o)sen�

�1 + kro

krD

�D

�o

(21)

Observaciones:

fw (0� 100%) :

En Swir, fw = 0

En Sor fw = 100; qo = 0

Una grá�ca fw vs Sw es una S característica.

5

Los límites de la curva (0 y 1) estan de�nidos por los puntos �nales de las curvasde permeabilidad relativa

fw + fo = 1; fo = 1� fw

Un incremento en fw lleva a un decremento en la movilidad del aceite.

f1 =u1u=

�r1�r1 + �r2

�1� k�r24�gsen�

u

�(22)

�r1 =kr1�1;

�r2 =kr2�2

1 = agua; 2 = aceite

3. Ecuación de avance frontal

Suposiciones básicas:- No existe transferencia de masa entre las fases- Fluidos incompresibles.- Desplazamiento tipo pistón con fugas- Sw + So = 1.- Inyección de agua a una tasa constante qi:

6

Sea la cantidad de agua V w a un tiempo t en x + �X y la tasa de acumulación deagua:

Vm = A��XSw (23)@Vm@t

=@

@t(A��XSw) (24)

@Vm@t

= A��X@Sw

@t(25)

Esta tasa de acumulación tambien puede obtenerse por medio de balance de volumende agua:

cambio en el volumen = Volumen que entra - volumen que sale (26)

volumen de agua entrante: qtfwdt (27)

volumen de agua que sale : qt (fw � dfw) dt (28)

Volumen de agua en el elemento dx :

A�dxdSw

5;165= qtfwdt � qt (fw � dfw) dt (29)

A�dxdSw

5;165= qtdfwdt (30)

A�dxdSw = 5;165qtdfwdt (31)

Velocidad de acumulación de agua en el elemento dx:�dx

dt

�Sw

= (u)Sw =5;165qtA�

�dfw

dSw

�Sw

(32)

7

(u)Sw = velocidad a cualquier valor especí�co de Sw [ft=d] (33)

A = area transversal�ft2�

(34)

qt = �ujo total (agua+aceite) [bbl=d] (35)�dfw

dSw

�Sw

= pendiente de la curva fw vs Sw evaluada en Sw. (36)

Para �ujo de dos fases, escencialmente qt = iw(velocidad de inyección de agua fbbl=dg):�dx

dt

�Sw

= (u)Sw =5;165iwA�

�dfw

dSw

�Sw

(37)

Integrando esta ecuación:

Z x

0

dxSw =5;165iwA�

�dfw

dSw

�Sw

Z t

0

dt (38)

Se obtienen la ecuación de avance frontal. Distancia X recorrida por un frente de satu-ración constante a un tiempo dado.

xjsw =5;165iwt

A�

dfw

dSw

����Sw

(39)

xjsw = distancia en ft (40)

t = tiempo en dias (41)

La ec. 39, tambien puede expresarse en terminos del volumen total de agua inyectada,haciendo que el volumen acumulativo sea:

Winy = t � iw (42)

xjsw =5;165Winy

A�

dfw

dSw

����Sw

(43)

Esta ecuación permite saber en que tiempo se invade un pozo

La distancia que recorre el agua en determinado tiempo

Tiempo de duración de la explotación.

De acuardo a la experiencia de los operadores:

qt

�A xjS1=

1

df1dS1

���S1

8

puesto de esta manera �A xjS1 es el volumen total de poros y qt es el volumen totala inyectar.

Si qt�AxjS1

< 2 : el proyecto es bueno y muy rentable.

WOR: Water oil ratio: relación agua/aceite. se mide a condiciones de laboratorio:

fw =qw

qw + qo@cy

WOR =qwqo@cs

qo =qw

WOR@cs

Bi =Vi@cy

Vi@cs; i = water; aceite

fw =qwBw

qwBw + qoBosi : t 1fw =

qwqw+

qwqoBo

fw =1

1 + BoWOR

fw =WOR

WOR +Bo(44)

3.0.1. Clasi�cación de ondasUna grá�ca de saturación o concentración con respecto al tiempo en una posicióndada se denomina historia de saturación.

Si esa posición es a la salida del medio permeable, entónces es la hostoria de satu-ración del e�uente.

Grá�cas de saturación con respecto a la posición se llaman per�les de saturación.

Los cambios en saturación con el tiempo y posición se les denominan ondas deconcentración.

Estas ondas se clasi�can en términos de sus caracteristicas de esparcimiento

Distribución de la saturación:

9

Flujo fraccional y derivada del �ujo fraccional vs saturación:

Problema: Existen más de dos saturaciones de agua para una misma posición, lo cuales físicamente imposible. Existen tres soluciones para esta problemática: Buckley-Leverett, Calhoun y Welge.

3.1. Solución de Buckley-LeverettEl problema se debe a la exclusión de la presión capilar en la ecuación de �ujo fraccional:

Termino Capilar =�0;001127koA

�oiw

��dPcdx

�(45)

10

Considerando éste término en la construcción de la curva de �ujo fraccional se obtiene:

Se distinguen dos lineas:

Un segmento de pendiente constante entre Swc (Saturación de agua conata) y Swf(saturación de agua en el frente).

Una curva concava con pendientes decrecientes de Swf a 1� Sor. Zona no estabi-lizada.

Terwilliger (1951) encontro que en un intervalo de saturaciones entre Swc y Swf, todas las saturaciones se mueven a la misma velocidad en función del tiempoy la distancia. A esta zona de saturaciones en el yacimiento la denominó Zonaestabilizada.

(u)Sw<Swf =5;165iwA�

�dfw

dSw

�Swf

(46)

Todas las saturaciones en este intervalo pueden viajar la misma distancia en untiempo particular:

(x)Sw<Swf =5;165iwt

A�

�dfw

dSw

�Swf

(47)

11

3.2. Solución de WelgeWelge demostro que trazando una linea recta desde Swc (o desde la Swi si es difer-

ente a Swc), tangente a la curva de �ujo fraccional, el valor de la saturación en elpunto de tangencia es equivalente a a la saturación en el frente., Swf . La coordena-da del punto de tangencia representa el valor del corte de agua a esa saturación(fwf)

12

3.3. Calculo de dfwdSw

��Sw

La ecuación de avance frontal se debe alimentar con la ecuación de �ujo fraccional. Paraobtener la derivada se pueden usar métodos grá�cos y analíticos.Si se disponde de las funciones:

3.3.1. Método pseudo analíticoSi no se disponde de las funciones, se procede como sigue:

13

La razón de permeabilidades relativas krokrw, se puede expresar como:

krokrw

= a exp�bSw (48)

Sustituir ?? en ??:

fw =1

1 + �o�wa exp�bS1

(49)

Derivando esta ecuación con respecto a S1:

fw =1

1 + �o�wa exp�bSw

dfwdSw

=�b �o

�wa exp�bSwh

1 + �o�wa exp�bSw

i2 (50)

4. Idealización del proceso

14

5. Disipación en desplazamientos inmiscibles

Tarea para entregar (Num. 3). Proximo Jueves 29 de Marzo 2012.

1 Investigar cuales son los efectos disipativos de la presión capilar y la compresibilidaden desplazamientos inmiscibles.

2 Investigar procedimientos comunes de control de calidad del agua a inyectar

6. Desplazamiento Miscible

6.1. Condiciones de miscibilidadDe�nition 1 Un proceso de desplazamiento miscible es aquel en el que el �uido de-splazante es miscible en todas proporciones en las condiciones en que se efectua el de-splazamiento. La TIF tiende a cero, es eliminada.

Si el proceso se lleva a cabo como proyecto de recuperación terciaria, donde Soi@Swir,el solvente inyectado tiene que contactar el aceite, por lo que primero debe desplazaruna cantidad de agua.

El mezclado del solvente con el aceite produce una mezcla de viscosidad mayor queel solvente original, por lo que puede desplazar agua.

Este proceso deriva en un banco de aceite precedido por una zona de mezcladosolvente/aceite, que tiene aceite en el frente y una concentración mayor de solventedetrásw del frente.

Esta con�guración se mantiene conforme se sigue inyectando solvente que va con-tactando aceite.

La e�ciencia de desplazamiento es mayor que en el proceso miscible y es más cercanaal 100%.

Los solventes usados para desplazamientos miscibles son extremadamente caros, porlo que pocas veces el proceso se lleva a cabo bajo el esquema de inyección contínua.

La inyección de un primer bache de solvente es seguida por el desplazamiento congrandes volumenes de un �uido más barato (agua, gas seco)

Idealmente este bache secundario es miscible con el bache primario, cuando se usagas seco (rico en metano) como solvente secundario.

Cuando se usa agua, para desplazar el bache de solvente, que es no miscible con elsolvente, una saturación residual de solvente es retenido en la roca y se deteriora.Este proceso tiene una movilidad relativa baja lo que mejora la e�ciencia de barrido.

Proceso WAG.

15

Miscibilidad de primer contacto. Ocurre en la zonas de la interfaz solvente/aceitey se da entre las moléculas del solvente y del aceite que estan ordenadas en estainterfaz, el cambio químico y composicional de este contacto provoca la eliminaciónde la TIF.

Miscibilidad de contacto múltiple. Dependen de la cantidad de aceite que se vecontactado y modi�cado en su composición molecular por el solvente inyectado,conforme éste se mueva en la zona de inyección.

Procesos de miscibilidad dinámica. Bajo las condiciones en las que se inyecta unsolvente, incialmente no hay miscibilidad en todas las proporciones con el aceite,sin embargo por los fenomenos de fase (vaporización, condesación, etc), se liberanlos hidrocarburos ligeros que van enriqueciendo al solvente inyectado, el bache desolvente inyectado va adquiriendo miscibilidad con el aceite, que va desarrollandosedinámicamente.

Los gases que comunmente se inyectan en procesos miscibles son: Hidrocarburosde bajo peso molecular (C1-C4), mezclas de hidrocarburos, CO2, N2 y mezclas deCO2-N2.

La miscibilidad del solvente se incrementa con la presión. La recuperación máximase debe incrementar con la presión. Esto en realidad pasa, pero existe una presiónpor encima de la cual incrementos adicionales, causan solo incementos mínimos enla recuperación �nal de aceite, la PMM.

Presión mínima de miscibilidad, PMM.

1)Presión a la cual la recuperación de aceite en un tD = 1;2V p de CO2 inyectado esigual o muy cercana a la máxima recuperación �nal en una serie de experimentos.

2)Presión que causa una recuperación del 80% en la irrupción del CO2, y 94% derecuperación en una RGA de 40,000 scf/Tstb.

3) Presión que causa un 90% de recuperación de aceite en tD = 1;2HCV p de CO2inyectado.

6.2. Propiedades de los �uidos en desplazamientos misciblesDensidad�o � 50� 60 lbs=ft3�f < �or� = �o � �f : anulación de la gravedad, digitaciónCorrelación para determinar densidad:Tr = T=TCPr = P= PC

z =Pv

RT; v =

zRT

P; � = m=v (51)

16

x1�1+x1�1+x1�1=

1

�mezcla(52)

ViscosidadSuponiendo que krD = krd de los �uidos no acuosos, donde el subíndice D es para la

fase desplazante y el d para la fase desplazada:

M =�d�D

(53)

�o �< 1cp�muy altas,�D < �o )M > 1 )razón de movilidad usualmente desfavorable para procesos miscibles

en sistemas no acuososCálculo de viscosidad de una mezcla usando la correlación de Gonzáles-lee para hidro-

carburos en estado gasesos:Calcular propiedades pseudo reducidas de la mezcla: Tcp =

XxiTci ;Pcp =

XxiPci

Determinar ��; de grá�cas �

�vsTcp;donde � =

�Pi x1pMwi

�2Para hidrocarburos líquidos se usa el método de Lohrenz.Coe�ciente de difusión, SolubilidadEn el diseño de desplazamientos con CO2, es útil conocer la cantidad de CO2 que se

pierde por solubilidad en el agua, donde el efecto de la salinidad es importante

7. Desplazamiento miscible ideal

Dos componentes son mutuamente miscibles entre sí se mezclan en todas propor-ciones sin la formación de una interfaz.

Trasladando esta de�nición a un proceso de desplazamiento: existe solo una fasecompuesta por muchos componentes que son miscibles entre si.

La ecuación de conservación de especies en una dimensión para componentes i=1; :::; Nces:

�@

@t

NPXj=1

SjCij +

�1� ��

�Cis

!+ u

@

@x(

NPXj=1

fjCj) = 0; i = 1; :::; NC (54)

fj es el �ujo fraccional de la fase j,

fj =uju=

�jPNPk=1 �rk

"1� kgsen�

u

NPXk=1

�rk��j � �k

�#(55)

u =

NPXj=1

uj

17

� =dDz

dx

Cij = concentración del componente i en la fase j

Cis = concentración del componente i en la fase s

Suposiciones:

Porosidad constante

Fluido incompresibles

Mezclado ideal.

De�niendo las siguientes variables no dimensionales:Concentración de la especie i en la fase global:

Ci =

NPXj=1

SjCij (56)

Concentración de la especie i en terminos del volumen de poros

C0

is = Cis

�1� ��

�Flujo global de la especie i:

Fi =

NPXj=1

fjCij (57)

xD = x=L

tD =

Z t

0

q

V pdt =

q

V pt

Sustituyendo las variables no dimensionales en la ec 54 :

@

@tD

�Ci + C

0

is

�+@Fi@xD

= 0; (58)

Con Ci conocido, se puede calcular Cij y Sj del comportamiento de fases en elequilibrio.

18

Con Cij y Sj se pueden calcular las permeabilidades relativas de la fase: krj =krj (Cij; Sj) y las viscosidades �j = �j (Cij) se pueden calcular de la informaciónpetrofísica.

Con krj y �j determinados, se pueden calcular las movilidades de la fase: �j =krj�j

Se se requiere conocer la densidad de las fases, tambien se pueden determinar yaque �j = �j (Cij)

En éste punto se tiene toda para calcular fj

Con fj y Cij determinados se procede a determinar Fi:

Es posible escribir la ec 58;como:"1 +

�@C

0is

@Ci

�xD

#@Ci@tD

�Ci + C

0

is

�+

�@Fi@Ci

�tD

@Ci@xD

= 0 (59)

Esta ecuación requiere soluciones Ci = Ci (xD; tD) y es muy ideal, pero permite estable-cer la de�nición de velocidad de concentración uCi

uCi =

�@Fi@Ci

�tD

1 +�@C

0is

@Ci

�xD

Por analogía con la de�nición de la velocidad especí�ca de discontinuidad:

uCi =

��Fi�Ci

�tD

1 +��C

0is

�Ci

�xD

Estas últimas ecuaciones a no aportan información nueva, ya que se pueden traba-jar como el caso inmiscible y usar el modelo de las ondas, sin embargo es el caso másidealizado.

7.1. Comportamiento de desplazamientos miscibles7.1.1. Cálculos basados en el Modelo del balance de materia

NP =

�VpSorwBo

� VpSormBo

�ERW

�ERMERW

�(60)

19

NP = recuperación de aceite

Vp = volumen de poros

Sorw = saturación promedio de aceite remanente

al �nal de la inyección de agua

Bo = factor de volumen

Sorm = saturación promedio de aceite remanente

al �nal del desplazamiento miscible en la

región contactada por el solvente.

ERW = e�ciencia volumétrica de barrido en el

desplazamiento por agua

ERM = e�ciencia volumétrica de barrido en el

desplazamiento miscibleERMERW

= razón de e�ciencias

NP =NBoiSoi

�SorwBo

� SormBo

�ERW

�ERMERW

�(61)

N = volumen de aceite original al descubrimiento

Soi = saturación inicial de aceite

Boi = factor de volumen a condiciones iniciales

En términos de recuperación fraccional:

NPN

=BoiBoSoi

(Sorw � Sorm)ERW�ERMERW

�(62)

7.1.2. Calculos basados en modelos físicos (una sola capa)Trabajo para exponer por equipos: Diagrama de �ujo del cálculo. Ejemplo de aplicación.

Recuperación secundaria de un arreglo de 5 pozos. Inyección contínua de solvente.

Recuperación terciaria de un arreglo de 5 pozos. Inyección contínua de solvente.

Recuperación terciaria. Desplazamiento por baches movilizados por agua

Para exponer el próximo jueves.Fuente: D.W. Green, G.P, Willhite, Enhanced Oil Recovery, 1998, Cap. 6, pags. 219-224

20

8. Disipación en desplazamientos miscibles

8.1. E�ciencia microscópica.Suposición: Swi<Swc

Mezclado a nivel micro

Comportamiento de fase

Dispersión

8.1.1. DispersividadDe�nition 2 Dispersión es el mezclado de dos �uidos miscibles caudo por difusión, gra-dientes locales de velocidad (la velocidad en las paredes del poro son diferentes a las que sedesarrollan en el centro del poro), lineas de corriente localmente heterogeneas y mezcladomecánico en el poro.

Para el �ujo en una dimensión el coe�ciente de dispérsión longitudinal Kl esta dadopor :

Kl

D0

= C1 + C2

�jujDp

D0

��(63)

donde C1; C2 y �;son propiedades del medio permeable y Do es el coe�ciente binario dedifusión molecular entre los �uidos inmiscibles y Dp es el diámetro de particula promedio.

Para �ujos muy lentos, el segundo término de la ecuación 63 es despreciable y Kl

es proporcional a D0. Este caso es análogo al desplazamiento miscible en un canalabierto donde el mezclado es enteramente por difusión molecular.

C1 =1

�F; F = factor de resistividad eléctrica

Para �ujos rápidos, el segundo término de la ec 63, cobra importancia. Este regimenes en el que ocurren la mayoria de los procesos EOR.

Kl =D0

�F+ C2

�jujDp

D0

��D0 t �l juj

donde �l es la dispersividad del medio, que a su vez es una medidad de la hetero-geneidad del medio.

NPe =L

�l

�lLes la longitud adimensional de la zona de mezclado

21

Figure 1. Coe�ciente de dispersión en un medio permeable.

8.2. E�ciencia macroscópica.Suposición: Swi<Swc

Razón de movilidades

Digitalización viscosa

Efectos gravitacionales