Egy másik alapfeladat fűrészelt, illetve faragott gerendákra Az előző dolgozatokban – ld.: ( ED - 1 ), ( ED - 2 ), ( ED - 3 ) – már szinte teljesen előkészítettük az itteni feladatot. Ehhez tekintsük az 1. ábrát!

1. ábra

Ez már többször szerepelt, nem véletlenül: ez az ábra adta az ötletet, hogy kíséreljünk meg elvégezni egy pontosabb számítást, az erdészeti és faipari gyakorlatban szokatlan-nak nem mondható alakú fatesttel kapcsolatban. Most nézzük, mi itt az alapfeladat! Az 1. ábrával is kapcsolatos az a tény, hogy ha egy elegendő hosszúságú, egyenes ten-gelyvonalú, állandó sudarlósságú fatestből – pl.: fűrészrönkből, melyet tehát csonkakúp alakúnak tekintünk – egy állandó befoglaló méretekkel bíró, négyzet keresztmetszetű gerendát alakítunk ki, akkor bizonyos esetben a fatesten belül három szakaszt különít-hetünk el – ld.: 2. ábra!

2. ábra

2

A fűrészvágások végrehajtása után az elöl- / felülnézetben a barna színű rész sík, a zöld pedig hengeres. Az egyes szakaszok jellemző, közbenső keresztmetszetét a 3. ábra szemlélteti.

3. ábra

I. szakasz: a négyzet sarkai nem érik el a kört, csak az alsó szakaszhatáron; viszonylag sok a leeső rész, azaz a veszteség. II. szakasz: a gerenda keresztmetszete már nem négyszög, csak a felső szakaszhatáron; viszonylag kevés a leeső rész. III. szakasz: a gerenda - keresztmetszet körív határolású; a szögletes gerenda szempont- jából az egész veszteség. A három szakasz megítélése aszerint változik, hogy ~ csak az ép élű gerenda az elfogadható, vagy ~ megengedett a fahengeresség, esetleg a hengeresség is. Ez az igények és/vagy szabványok kérdése lehet. Az józan ésszel rögtön belátható, hogy ~ a III. szakasz fellépését célszerű elkerülni: ezt az anyagot másra lehet használni; ~ a II. szakaszt célszerű lehet megengedni, esetleg korlátozásokkal; ~ az I. szakasz kialakítását célszerű gondosan megtervezni – ld. pl.:

Feldmann ~ Shapiro - elv! Megjegyezzük, hogy ha a H x H méretű négyzetet a Dmin átmérőjű véglapba írjuk bele – amint az szokásos −, akkor a fentiek tárgytalanná válnak, hiszen eltűnik, illetve eleve fel sem lép a III. és a II. szakasz: az egész hossz mentén az I. szakasz esete áll fenn. Ez azonban nem jelenti azt, hogy feladatunk nem értelmes és hasznos: az ácsok nem ritkán az építési helyszínen készítik el fűrészeléssel vagy faragással tartógerendáikat. Ennyi bevezetés után az alapfeladat az alábbi.

3

Adott: Dmax , Dmin , L , H. Keresett: v ( % ) . Megoldás: A veszteség - százalék képlete:

csk g g

csk csk

V V Vv 100 1 100 ( % ).

V V

( 1 )

Itt: Vcsk: a teljes csonkakúp / rönk térfogata; Vg: a gerenda térfogata. A gerenda térfogata:

g fahV V V . ( 2 ) Ebből:

2IV H L , ( 3 )

minthogy

max I1 D 2 H L tg ,2 ( 4 )

és max minD Dtg ,

2 L

( 5 )

ezért ( 4 ) és ( 5 ) - ből:

maxI

max min

D 2 HL L.D D

( 6 )

Most ( 3 ) és ( 6 ) - tal:

2 max

max min

D 2 HV H L .D D

( 7 )

A fahengeres keresztmetszetű gerendarész térfogata ( ED - 3 / 3 ) szerint:

3

fahHV 0,19361 .tg

( 8 )

Ezután ( 5 ) és ( 8 ) - cal: 3

3fah

max min max min

H LV 0,19361 0,38722 H ,D D D D2 L

tehát

3fah

max min

LV 0,38722 H .D D

( 9 )

4

Ezután ( 2 ), ( 7 ) és ( 9 ) - cel:

2 3maxg

max min max min

2 2

max maxmax min max min

D 2 H LV H L 0,38722 HD D D D

H L H L D 2 H 0,38722 H D H 2 0,38722 ,D D D D

tehát

2

g maxmax min

H LV D 1,02699 H .D D

( 10 )

A csonkakúp térfogata – ld.: [ 1 ]! – :

2 2csk max max min minV L D D D D .

12

( 11 )

Most ( 10 ) és ( 11 ) - gyel:

2max

maxg 2max min max min

2 22 2csk max max min minmax max min min

max

min2

max

max min min

max max

D 1,02699 HH L D 1,02699 HV D D D D12 HV D D D DL D D D D

12H1 1,02699

DD1D12 H

D D D1D D

2

max2 2

max min min min

max max max

H1 1,02699D12 H .

D D D D1 1D D D

( 12 ) Végül ( 1 ) és ( 12 ) - vel:

g

csk

2

max2

max min min min

max max max

Vv 1 100 ( % )

V

H1 1,02699D12 H 1 100 ( % ) ,

D D D D1 1D D D

tehát

5

2

max2

max min min min

max max max

H1 1,02699DHv 1 3,81972 100 ( % ).

D D D D1 1D D D

( 13 )

( 13 ) szerint az L adatra nincs is szükség a keresett végeredményhez. Azonban nem árt, ha megadjuk, mert a levezetés során nyert részeredmények használa-tához szükség lehet rá. Egy speciális eset: ha csak a fahengeres részt vesszük figyelembe, akkor

I maxL 0 D 2 H,

III minL 0 D H; ezekkel és ( 13 ) - mal: v* 19,11%. ( S ) Ezzel megoldottuk a feladatot. Megjegyzések: M1. Minthogy érződik némi bizonytalanság a sudarlósság fogalma körül, ezért ide kívánkoznak a következők. Az alábbi ábra [ 2 ] - ből származik.

6

Egyrészt megvilágítja a sudarlósság és a tőterpesz hasonlóságát / különbségét, másrészt felírja a mondott fogalmak képletét is. Tehát az utóbbi jelöléssel:

D ds . cm / fmh

A csonkakúp félnyílásszögére, ugyanezekkel a jelölésekkel: D dtg .2 h

Az utóbbi két képlet szinte tálcán kínálja, hogy a sudarlósságot a félnyílásszöggel kifejezzük. Ezt mégsem lehet jó szívvel ajánlani, mert zavarokat okozhat, hogy a sudarlósság kifejezésében a számláló és a nevező mértékegysége más. Nézzük meg egy példán keresztül, hogyan ajánlatos használni az utóbbi képleteket! Példa: Egy rönk véglap - átmérői 20 cm és 15 cm, hossza 5 m. Határozzuk meg a rönk sudarlósságát és a csonkakúpnak tekinthető test félnyílásszögét! Megoldás: Adott: D = 20 cm; d = 15 cm, h = 5 m = 500 cm. Keresett: s, α.

D d 20 cm 15 cm 5 cm cms 1 ,h 5 m 5 fm fm

azaz

cms 1 .fm

Tehát a rönk sudarlóssága 1 cm / fm.

D d 20 cm 15 cm 5 cm 1tg ,2 h 2 500 cm 2 500 cm 200

innen ( a számológépet DEG

üzemódban használva ): 1arctg 0, 286 0, 29 ,

200 tehát

0, 29 .

Tehát a csonkakúp félnyílásszöge 0,29°.

7

M2. A szakirodalom szerint – ld.: [ 2 ], [ 3 ], [ 4 ]! – a sudarlósság akkor számít fahibának, ha mértéke meghaladja az 1,0 ~ 1,5 cm / fm - t. M3. Javasoljuk, hogy az Olvasó határozza meg a 2. ábrán látható, a barna és a zöld területrészeket elválasztó görbe fajtáját! Előző dolgozatok: ( ED - 1 ) – Két alapfeladat fűrészelt, illetve faragott gerendákra ( ED - 2 ) – Egy H x H befoglaló keresztmetszeti méretű, fahengeres gerenda kialakítása egyenes tengelyű, sudarlós rönkből ( ED - 3 ) – Egy érdekes alakú test térfogatának kiszámítása Irodalom: [ 1 ] – I. N. Bronstejn ~ K. A. Szemengyajev: Matematikai zsebkönyv 6. kiadás, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1987. [ 2 ] – Veres Réka: Faipari anyag - és gyártásismeret Szega Books Kft., Pécs, 2007. [ 3 ] – Kovács Illés: Faanyagismerettan Mezőgazdasági Kiadó, Budapest, 1979. [ 4 ] – Molnár Sándor: Faanyagismerettan Mezőgazdasági Szaktudás Kiadó, Budapest, 1999.

Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár Sződliget, 2009. augusztus 4.