Egyenlőtlenségek

124

A Z A L G E B R A V I L Á G A

187. Oldjuk meg a következő egyenleteket! a) |x| = 4 d) |5x + 10| = 5x – 3 b) |x + 1| = 6 e) |x| + |x – 1| = 3 c) |2x – 2| = –8 f) |x – 2| – |x – 2| = –3x

ı Feladatgyujtemény 230–235. ııı

13. Egyenlőtlenségek geo:gebra

A Hangtan mobiltelefon-szolgáltatónál több-féle díjcsomag létezik. Van előfizetéses szol-gáltatás, amikor a havi telefonszámla mellett egy előre megállapított előfizetési összeget kell kifizetnünk a szolgáltatásokért minden hónapban. Ezt a havidíjat akkor is kell fizetni, ha a hónap folyamán egyszer sem használ-tuk a telefonunkat. Egy másik lehetőség, ha Rakosgató kártyát veszünk, ami a szokásos telefonkártyához hasonló elven használható. Van rajta vala-mennyi összeg, amit letelefonálhatunk. Ha-vidíj itt nincs.

2000 Ft (nettó)

–

10 Ft/perc (nettó)

25 Ft/perc (bruttó)

Hahó díjcsomag

Rakosgató díjcsomag

Hangtan mobiltelefon-szolgáltató árlistája

Havi előfize-tési díj

Éjszaka háló-zaton belül

O Hasonlítsuk össze, hogy a Hahó díjcsomagot vagy a Rakosgató díjcsomagot érdemesebb választanunk, ha beszélgetéseinket csak az éjszakai időszakra korlátozzuk!

Mindig azt a csomagot „érdemesebb” választanunk, amely legjobban illeszke-dik telefonálási szokásainkhoz. Van, aki átlagosan kevesebbet, és van, aki ren-geteget használja telefonját.

Tegyük fel, hogy havonta x percet be-szélünk. A nettó 2000 Ft havidíj bruttó 2500 Ft kiadást jelent egy hónapban.A nettó 10 Ft/perc díj pedig bruttó 12,5 Ft/percet jelent. Így a kiadásunk egy hónapban: 2500 + 12,5x ha a havidíjas előfizetést választjuk, és 25x a Rakosgató kártya esetén.

Mennyi beszélgetési idő esetén mindegy, hogy melyik előfizetést választjuk, azaz mikor egyenlő ez a két érték?

2500 + 12,5x = 25xx = 200Tehát 200 perc beszélgetés mindkét díjcsomag esetében ugyanannyiba kerül. A díj 2500 + 12,5 · 200 = 5000 Ft

Mit jelent a nettó és bruttó szavak?Amennyiben az ár nettó ár, akkor nem tar-talmazza az áfát (általános forgalmi adót). Bruttó árról akkor beszélünk, ha már az álta-lános forgalmi adót hozzáadták a nettó árhoz. Jelen esetben az áfa értéke 25%.

03 Számtan-algebra II.indd 124 2009.09.14. 10:41:09

125


Készítsünk értéktáblázatot a különböző lebeszélt időkhöz tartozó költségekről mindkét díj-csomaghoz!

Hogyan változnak a költségek akkor, ha 200 percnél kevesebbet telefonálunk (azaz x < 200), illetve ha 200 percnél többet beszélünk (azaz 200 < x)?

Ha x < 200, akkor olcsóbb a Rakosgató csomaggal telefonálni. Pontosan 200 perc esetén mindegy, hogy mit rendelünk meg. Ha 200 percnél több a beszélgetési idő, akkor éppen a Rakosgatóval fizetünk többet, tehát a 25x kifejezés értéke nagyobb.2500 + 12,5x > 25x, ha x < 200;2500 + 12,5x < 25x, ha x > 200;2500 + 12,5x = 25x, ha x = 200.

O Az előző problémát grafikus módszerrel is megoldhatjuk!

Ábrázoljuk a két kifejezést egy közös koor-dináta-rendszerben! A vízszintes tengelyen az időt, a függőleges tengelyen a lebeszélt percek díját tüntessük föl forintban!

Mivel az idő és a pénz között mindkét esetben lineáris összefüggés áll fent, az idő és a pénz is csak pozitív lehet, ezért a bejelölendő pontok egy-egy félegyene-sen helyezkednek el.

A Hahó díjcsomag egyenese 2500 Ft-os értékről indul – az előfizetési díj miatt.

A Rakosgató díjcsomag egyenese, mivel nincs havi előfizetési díj, a koordináta-rendszer origójából indul 0 Ft-ról.

A grafikonokról leolvasható a megoldás: ha 200 perc a beszélgetési idő, akkor a két kifejezés értéke egyenlő – itt metszi egymást a két egyenes; ha 200 percnél több a lebeszélt idő, akkor a havidíjas előfizetés egyenesénél magasabban halad a Rakosgató előfizetés egyenese, tehát itt már a Rakosgató a drágább; ha 200 percnél kisebb időkre nézzük meg a grafikonokat, akkor a havidíjas előfizetés gra-fikonja halad magasabban, így ez a drágább.

2500 + 12,5x

25x

4375 4975 4987,5 5000 5012,5 5025 5625 6250 7500

3750 4950 4975 5000 5025 5050 6250 7500 10 000

x 150 198 199 200 201 202 250 300 400


126


O Havonta legalább hány percet kell telefonálnunk, hogy megérje nekünk elő-Havonta legalább hány percet kell telefonálnunk, hogy megérje nekünk elő-fizetni az Távbeszélő 2. díjcsomagra, ha csak a hálózaton kívüli hívásokat tekintjük?

Számítsuk ki a bruttó árakat 25% áfa mellett!2500 Ft + áfa = 3125 Ft,68 Ft + áfa = 85 Ft,3500 Ft + áfa = 4375 Ft, 56 Ft + áfa = 70 Ft.

Jelölje újból x az egy hónapban lebeszélgetett perceket. Az alábbi egyenlőtlenséget kell megoldanunk:3125 + 85x > 4375 + 70x / – 3125 – 70x Ha mindkét oldalból elveszünk 3125-öt, és ha mindkét oldalból elhagyunk 70x-et, a két oldal viszonya nem változik meg.

15x > 1250 / : 15Mindkét oldal elosztható 15-tel – ez sem befolyásolja a két oldal viszonyát:

Ezzel a keresett halmaz: minden olyan x szám jó, amelyik -nál nagyobb. Ez annyit jelent,

hogy ha egy hónapban 83 és percnél többet beszélünk, akkor már megéri a drágább elő-

fizetést választani az alacsonyabb percdíjjal.

Távbeszélő 1.

Távbeszélő 2.

2500 Ft 68 Ft

3500 Ft 56 Ft

Havi előfizetés díja (nettó)

Hálózaton kívül (nettó)

2500 Ft

Az egyenlőtlenség mindkét oldalához ugyan-azt a számot hozzáadhatjuk vagy levonhat-juk, nem változik meg a két oldal közötti vi-szony.

2500 Ft

x – 3 > 5 / + 3x > 8

Az egyenlőtlenség megoldása annyit jelent, hogy megadjuk a változó vagy változók azon halmazát, amelyekre az egyenlőtlenség teljesül. Az egyenlőtlenségek megoldása előtt meg kell adni azt a halmazt, amin az egyenlőtlenséget meg akarjuk oldani. Ezt a halmazt az egyenlőtlenség alaphalmazának nevezzük.

Az előző feladatokban hallgatólagosan adott volt az alaphalmaz, hiszen a percek számá-nak 0 és a hónap napszámától függő éjszakai percszám között kell lenni.

Foglaljuk össze a feladatok tapasztalatait!

Egy egyenlőtlenséget megoldhatunk:a) grafikus módszerrel;b) algebrai módszerrel (a mérlegelvhez hasonló módszerrel).

A megoldás szokásos lépései:


127


2500 Ft

Az egyenlőtlenség mindkét oldalához hozzá-adhatjuk vagy levonhatjuk ugyanazt a vál-tozót tartalmazó kifejezést, ha ezzel nem változtatjuk meg az egyenlőtlenség alaphal-mazát.

2500 FtPozitív számmal megszorozhatjuk vagy eloszt-hatjuk az egyenlőtlenség mindkét oldalát.

2500 Ft

Negatív számmal való szorzásnál vagy osztás-nál a relációjel irányt vált. Az egyenlőtlenség megoldáshalmaza nem változik meg.

2500 Ft

Ha változót tartalmazó kifejezéssel szeretnénk szorozni vagy osztani, akkor a kifejezés elője-létől függően megváltozhat az egyenlőtlenség iránya.

2500 Ft

x + < 2 + / –

x < 2Az x < 2 egyenlőtlenséget kielégíti az x = 0 érték is, de akkor az eredeti egyenlőtlenség nem értelmezhető. Ezért ennek az egyenlőt-lenségnek a helyes megoldása: x < 2, de x ≠ 0

2500 Ft2x < 6 / : 2x < 3

–1245 > –15x rendezzük át 15x > 1245 / : 15x > 83

–1245 > –15x / ·(–1)1245 < 15x / :1583 < x

2500 Ft

Lásd a következő kidolgozott feladatot!

O Adjuk meg azon x-ek halmazát, amelyekre igaz, hogy

Ha egy egyenlőtlenségnek nincs megadva egy alaphalmaza, akkor mindig a valós számok lehető legbővebb részhalmazán kell megoldanunk, ahol az egyenlőtlenség még értelmez-hető. Az egyenlőtlenség alaphalmaza a 2-től különböző valós számok halmaza (x = 2-re a tört nevezője 0 lenne).

Itt már lehet gond, hiszen x – 2 a benne lévő változótól függően pozitív és negatív előjelű is lehet. Válasszuk szét ezt a két esetet – így az alaphalmazt is szétválasztjuk.

Ha x – 2 > 0, akkor x > 2. Ha x – 2 < 0, akkor x < 2. Ekkor negatív értékű kifejezéssel szorzunk, a relációjel megfordul.1 > –7(x – 2) 1 < –7(x – 2)1 > –7x + 14 /+ 7x – 1 1 < –7x + 14 / + 7x – 17x > 13 /:7 7x < 13 / : 7

Mivel x > 2 > , ezért: x > 2 x < 2, de < 2, ezért itt a megoldás: x <

Összefoglalva a megoldásokat: x < vagy 2 < x.


128


ııı FELADATOK:

188. Hasonlítsuk össze a Hangtan Picurfon I szolgáltatását a Picurfon III szolgáltatással a hálózaton kívüli, csúcsidőben történő telefonálások szempontjából. Az Picurfon I havi nettó előfizetési díja 2500 Ft, a Picurfon III-é pedig nettó 5500 Ft. Az első esetben nettó 68 Ft-ért, a másodikban viszont nettó 45 Ft-ért beszélhetünk egy percet. Ha a havi beszélgetéseinket csak hálózaton kívülre és csúcsidőn belülre korlátozzuk, akkor mennyi beszélgetésig éri meg az Picurfon I szolgáltatást megrendelni?

189. Oldjuk meg az alábbi egyenlőtlenséget algebrai és grafikus módszerrel is! a) 2x + 1 –x + 4 b) –2x – 5 > 2x + 3

190. a) Egy őszibarackbefőtt címkéjén ez áll: töltőtömeg 2800 g ± 5%. Mit jelent ez? b) Egy konzerv előírt töltőtömege 450 g. Ellenőrzéskor a töltőtömeg (m) akkor meg-

felelő, ha teljesül a következő: |m – 480| 15,2. Értelmezzük a kifejezést! Ábrázoljuk a megengedett tömegeket! Adjuk meg a megoldás intervallumot!

191. Oldjuk meg az alábbi egyenlőtlenséget grafikusan az egész számok halmazán: |x| – 1 < 2x!

192. Találjunk ki olyan szituációkat a mindennapi életből, amelyek megoldásához szüksé-gesek az egyenlőtlenségek!

ı Feladatgyujtemény 236–245. ııı

14. Elsőfokú egyenletrendszerek geo:gebra

O Egy osztály megnyert egy matematika versenyt, és néhányan tanárukkal el-mentek ünnepelni egy teázóba. A teázóban literes kancsóval lehetett külön-féle teákat rendelni. Hármat rendeltek: kettőt a szőlős teából, egyet pedig a

vérnarancsosból. Ezekért összesen 1080 forintot fizettek. Mivel jól érezték magukat és a tea is elfogyott, újból rendeltek: ezúttal a szőlősből csak egyet, a vérnarancsos-ból viszont négyet. Ezekért 1940 forintot fizettek. A teázóból távozva fölmerült a kér-dés, hogy melyik tea mennyibe kerülhetett. Adjuk meg!

Jelöljük a szőlős tea árát x-szel, a vérnarancsosét pedig y-nal. Mivel először az elsőből 2-t, a másodikból 1-et rendeltek, és fizettek 1080 Ft-ot, ezért ez így írható le: 2x + y = 1080Ez egy kétismeretlenes egyenlet. Megoldását az (x; y) számpárok adják. Ezek a számok csak pozitív számok lehetnek, hiszen a teák árát jelentik. Akárhány ilyen számpár megadható!

Egy szőlős és négy vérnarancsos teáért 1940 forintot fizettek a diákok.x + 4y = 1940


Documents

Egyenlőtlenségek