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Schadenversicherungsmathematik
Teil 4: Risikoteilung
Dr. Ulrich Riegel
Mathematisches Institut
LudwigMaximiliansUniversität München
Wintersemester 2015/16
Dr. Ulrich Riegel Schadenversicherungsmathematik 1
4.1 Das Kollektive Modell
4.1.1 Verteilungsmodelle
Dr. Ulrich Riegel Schadenversicherungsmathematik 3
4.1 Das Kollektive Modell
LogNormal-Verteilung
Parameter: > 0, 2 R, statt kann man den Skalenparameter
b := e verwenden
Einordnung: X LogNorm(; 2) =) ln(X ) N (; 2)
Verteilungsfunktion: F (x) = Φ
(ln(x)
)= Φ
(1
ln(xb
))für x > 0
Dichte: f (x) =1
x p22
exp
( (ln(x) )2
22
)für x > 0
Momente: E(X k) = exp
(k +
k2 22
)= bk exp
(k2 2
2
)für
k 1, insb.
E(X ) = e+2=2 und Var(X ) = E(X )2(e2 1):
Dr. Ulrich Riegel Schadenversicherungsmathematik 4
4.1 Das Kollektive Modell
Dichten der LogNormal-Verteilung
1b 2b
1=b
2=b
3=b
0
=0,2
=0,5
=1=2
=4
Dr. Ulrich Riegel Schadenversicherungsmathematik 5
4.1 Das Kollektive Modell
Pareto-Verteilung
Parameter: Formparameter > 0, Skalenparameter b > 0
Einordnung: X Pareto(; b) =) ln(X=b) Exp()
Verteilungsfunktion: F (x) = 1(b
x
)
für x > b
Dichte: f (x) = b x1 für x > b
Momente: E(X k) = bk
kfür k 2 N mit k <
Dr. Ulrich Riegel Schadenversicherungsmathematik 6
4.1 Das Kollektive Modell
Verteilungsfunktionen der Pareto-Verteilung
1b 2b 3b 4b 5b 6b 7b 8b
1
0
=2,5
=1,2
=0,8
Dr. Ulrich Riegel Schadenversicherungsmathematik 7
4.1 Das Kollektive Modell
Nullpunkt-Pareto-Verteilung
Parameter: Formparameter > 0, Skalenparameter b > 0
Einordnung: X Pareto0(; b) =) X + b Pareto(; b)
Verteilungsfunktion: F (x) = 1(
b
b + x
)
für x > 0
Dichte: f (x) = b(b + x)1 für x > 0
Momente: E(X k) =bk(1k
) für k 2 N mit k <
Dr. Ulrich Riegel Schadenversicherungsmathematik 8
4.1 Das Kollektive Modell
Verteilungsfunktionen der Nullpunkt-Pareto-Verteilung
1b 2b 3b 4b 5b 6b 7b
1
0
=2,5
=1,2
=0,8
Dr. Ulrich Riegel Schadenversicherungsmathematik 9
4.1 Das Kollektive Modell
Poisson-Verteilung
Parameter: > 0
Zähldichte: P(N = n) = e n
n!für n = 0; 1; : : :
Momente: E(N) = ; Var(N) = ; E((N E(N))3
)=
Rekursion: P(N = n) = P(N = n 1) n
für n 1
Dr. Ulrich Riegel Schadenversicherungsmathematik 10
4.1 Das Kollektive Modell
Negative Binomial-Verteilung
Parameter: > 0, p 2 (0; 1)
Inerpretation: Anzahl Misserfolge bis vor dem -ten Erfolg (im Fall
2 N)
Zähldichte: P(N = n) =
( + n 1
n
) p (1 p)n für n = 0; 1; : : :
Momente: E(N) = (1 p)
p, Var(N) =
E(N)
p,
E((N E(N))3
)=
Var(N) (2 p)
p
Rekursion: P(N = n) = P(N = n 1) (1 p) n + 1
nfür n 1
Dr. Ulrich Riegel Schadenversicherungsmathematik 11
4.1 Das Kollektive Modell
Vergleich von Poisson und Negativ Binomial mit
E(N) = 10
5 10 15 20 25
0:1
Poisson, D(N)=1
NegBin mit D(N)=2
NegBin mit D(N)=5
n
P(N=n)
Dr. Ulrich Riegel Schadenversicherungsmathematik 12
4.1 Das Kollektive Modell
4.1.2 Das Verfahren von Panjer
Dr. Ulrich Riegel Schadenversicherungsmathematik 13
4.1 Das Kollektive Modell
Panjer-Rekursion
Für die Verteilung pn = P(N = n) der Schadenzahl N gelte die Rekursion
pn =
(a +
b
n
) pn1:
Ferner sei die Verteilung der Schadenhöhen Xn arithmetisch diskret mit
Schrittweite h > 0, d.h. für
fk := P(X = k h) gilt
1∑k=0
fk = 1:
Dr. Ulrich Riegel Schadenversicherungsmathematik 14
4.1 Das Kollektive Modell
Panjer-Rekursion
Satz (Panjer 1980):
Dann kann die ebenfalls arithmetisch diskrete Verteilung gk := P(S = k h) desGesamtschadens S =
∑Nn=0 Xn rekursiv berechnet werden gemäÿ
g0 =
p0 exp(b f0) falls a = 0p0
(1 a f0)1+b
a
falls a 6= 0 und
gk =1
1 a f0k∑
j=1
(a +
b jk
) fj gkj für k 1:
Dr. Ulrich Riegel Schadenversicherungsmathematik 15
4.1 Das Kollektive Modell
Panjer-Rekursion
Bemerkung:
Für die relevanten Schadenzahlverteilungen (Poisson und Negativ Binomial) gibt
es eine Rekursion der Form pn =(a + b
n
) pn1 :
N Poi() =) a = 0; b =
N NegBin(; p) =) a = 1 p; b = ( 1)(1 p)
Eine Rekursion dieser Form gibt es ansonsten nur noch für die
Binomialverteilung!
Bemerkung:
Ist Schadenhöhenverteilung nicht arithmetisch diskret, so muss sie zuerst durch
eine arithmetisch diskrete Verteilung approximiert werden. Hierzu gibt es
Verfahren wie z.B. das Local Moment Matching.
Dr. Ulrich Riegel Schadenversicherungsmathematik 16
4.1 Das Kollektive Modell
Ezienz der Panjer-Rekursion
Es sei
f nk := P(X1 + + Xn = k h):
Wir nehmen oBdA f0 = 0 an.
Will man gk für k = 0; : : : ;K berechnen, so muss man f nk für alle n und k mit
n k K berechnen.
Dr. Ulrich Riegel Schadenversicherungsmathematik 17
4.1 Das Kollektive Modell
Ezienz der Panjer-Rekursion
Tut man dies rekursiv mit der Formel
f nk =
kn+1∑=1
f(n1)k f ;
so benötigt man folgende Anzahl an Multiplikationen:
Wahrscheinlichkeiten Anzahl Multiplikationen
f 22 ; : : : ; f 2K 1 + 2 + 3 + + (K 2) + (K 1)f 33 ; : : : ; f 3K 1 + 2 + 3 + + (K 2): : : : : :
f(K2)K2 ; : : : ; f
(K2)K 1 + 2 + 3
f(K1)K1 ; f
(K1)K 1 + 2
f KK 1
Dr. Ulrich Riegel Schadenversicherungsmathematik 18
4.1 Das Kollektive Modell
Ezienz der Panjer-Rekursion
Insgesamt braucht man also
1 (K 1) + 2 (K 2) + + (K 2) 2 + (K 1) 1
∫ K
0
x (K x) dx =K 3
6
Multiplikationen (wobei die Näherung bereits für K 10 sehr gut ist).
Hinzu kommen noch die Multiplikationen mit P(N = n) (asymptotisch aber nicht
relevant, da durch K 2 beschränkt).
Mit der Panjer-Rekursion braucht man hingegen nur
4 + K + 4
K∑k=1
k = 4 + K + 4K (K + 1)
2 2K 2
Multiplikationen und Divisionen.Dr. Ulrich Riegel Schadenversicherungsmathematik 19
4.1 Das Kollektive Modell
Ezienz der Panjer-Rekursion Beispiel
Für K = 10:000:
Panjer-Rekursion: etwa 2 108 Multiplikationen bzw. Divisionen
Faltungspotenzen direkt berechnet: etwa 1,7 1011 Multiplikationen!
Dr. Ulrich Riegel Schadenversicherungsmathematik 20
Teil 3: Risikoteilung
4.2 Formen und Gründe der Risikoteilung
Dr. Ulrich Riegel Schadenversicherungsmathematik 21
4.2 Formen und Gründe der Risikoteilung
Grundlegende Arten der Risikoteilung
Es sei X die Höhe eines Einzelschadens, eines Schadenereignisses, eines
Einzelrisikos oder der Gesamtschaden eines Portefeuilles.
Grundlegenden Arten der Risikoteilung:
proportionale Risikoteilung nichtproportionale Risikoteilung
X = c X + (1 c) X X = min(X ; a) + max(X a; 0)0 < c < 1 a > 0
Dr. Ulrich Riegel Schadenversicherungsmathematik 22
4.2 Formen und Gründe der Risikoteilung
Risikoteilung zwischen VN und VU
Gründe für Risikoteilung zwischen VN und VU:
Ausschluss von Kleinschäden (nur bei nichtproportionaler Risikoteilung)
Beeinussung des moralischen Risikos
Kostenreduktion (wenn VN sich für ein überdurchschnittlich gutes Risiko
hält)
Beispiele für Risikoteilung zwischen VN und VU:
proportionale Risikoteilung nichtproportionale Risikoteilung
Prozenttarif (PKV) Selbstbehalt (z.B. in Kasko)
Unterversicherung (Hausrat) Erstrisikodeckung (Haftpicht)
Mitversicherung Jahresfranchise (PKV)
Dr. Ulrich Riegel Schadenversicherungsmathematik 23
4.2 Formen und Gründe der Risikoteilung
Risikoteilung zwischen EV und RV
Gründe für RT zwischen Erstversicherer (EV) und Rückversicherer (RV):
Veringerung des versicherungstechnischen Risikos beim EV (d.h. des Risikos,dass die Schäden signikant über ihrem Erwartungswert liegen), insb.
I Schutz vor Groÿschäden (Zufallsrisiko)I Schutz vor Naturereignissen (Zufallrisiko)I Schutz vor Änderungs- und Prognoserisiko (z.B. Ination)
Verbesserung der Solvenz des EV
Reduktion der Kapitalkosten des EV
Homogenisierung des Portefeuilles des EV
Ausweitung der Zeichnungskapazität des EV für Groÿrisiken
Atomisierung von Risiken
Unterstützung des EV beim Aufbau neuer Sparten
Bessere Diversikation beim RV (als beim EV)
Dr. Ulrich Riegel Schadenversicherungsmathematik 24
4.2 Formen und Gründe der Risikoteilung
Risikoteilung zwischen EV und RV
Wichtigste Formen der Risikoteilung zwischen EV und RV:
proportionale Risikoteilung nichtproportionale Risikoteilung
Quote Einzelschadenexzedent
Summenexzedent Kumulschadenexzedent
Jahresschadenexzedent (Stop Loss)
Dr. Ulrich Riegel Schadenversicherungsmathematik 25
4.2 Formen und Gründe der Risikoteilung
Beispiel Quote mit 20% Abgabe
Dr. Ulrich Riegel Schadenversicherungsmathematik 26
4.2 Formen und Gründe der Risikoteilung
Beispiel Summenexzedent mit Maximum 2.000.000
Dr. Ulrich Riegel Schadenversicherungsmathematik 27
4.2 Formen und Gründe der Risikoteilung
Beispiel Summenexzedent mit Maximum 2.000.000
Dr. Ulrich Riegel Schadenversicherungsmathematik 28
4.2 Formen und Gründe der Risikoteilung
Beispiel Einzelschadenexzedent 4.000.000 xs 1.000.000
Dr. Ulrich Riegel Schadenversicherungsmathematik 29
4.2 Formen und Gründe der Risikoteilung
Beispiel Cat XL 50.000.000 xs 10.000.000
Dr. Ulrich Riegel Schadenversicherungsmathematik 30
4.2 Formen und Gründe der Risikoteilung
Beispiel Stop Loss 20% xs 100%
Dr. Ulrich Riegel Schadenversicherungsmathematik 31
Teil 3: Risikoteilung
4.3 Einuss der Risikoteilung
auf die Schadenverteilungen
Dr. Ulrich Riegel Schadenversicherungsmathematik 32
4.3 Einuss der Risikoteilung auf die Schadenverteilungen
Beispiel
X Lognormal with Vco(X ) = 4, N Poi(0,1). Dann ist
Vco(N)2 =Var(N)
E(N)2= 10 3,162;
Vco(S)2 =Vco(X )2
E(N)+ Vco(N)2 = 170 13,02 und
a=E(X ) 0,01 0,1 1 10 100 1Vco(S) 3,2 3,3 4,3 7,0 10,9 13,0
Vco(S) 13,2 14,1 20,8 61,9 466
Dr. Ulrich Riegel Schadenversicherungsmathematik 33
4.3 Einuss der Risikoteilung auf die Schadenverteilungen
Flächendarstellung des Schadens im Layer c xs a
a a + c
0:2
0:4
0:6
0:8
1
x0
E(min(c ;max(X a; 0)))
F
Dr. Ulrich Riegel Schadenversicherungsmathematik 34
4.3 Einuss der Risikoteilung auf die Schadenverteilungen
Beispiel zur Ination
XL-Priorität 1.000 Nach 3 Jahren ist alles
(alle Zahlen in 1.000) z.B. 20% teurer
Schadenhöhe EV RV Schadenhöhe EV RV
100 100 - 120 120 -
500 500 - 600 600 -
900 900 - 1.080 1.000 80
1.000 1.000 - 1.200 1.000 200
1.500 1.000 500 1.800 1.000 800
4.000 3.500 500 4.800 3.720 1.080
Zuwachs: 20% 6% 116%
Dr. Ulrich Riegel Schadenversicherungsmathematik 35
4.3 Einuss der Risikoteilung auf die Schadenverteilungen
Beispiel zur Ination
Wenn Schäden und Priorität um 20% höher sind:
Vor Ination Nach Ination
XL-Priorität 1.000 XL-Priorität 1.200
Schadenhöhe EV RV Schadenhöhe EV RV
100 100 - 120 120 -
500 500 - 600 600 -
900 900 - 1,080 1,080 -
1.000 1.000 - 1.200 1.200 -
1.500 1.000 500 1.800 1.200 600
4.000 3.500 500 4.800 4.200 600
Zuwachs: 20% 20% 20%
Dr. Ulrich Riegel Schadenversicherungsmathematik 36
4.3 Einuss der Risikoteilung auf die Schadenverteilungen
Ination bei Pareto-verteilter Schadenhöhe
Für die RV-relevanten Groÿschäden X ist die Pareto-Verteilung
F (x) = 1 ( bx
), x > b > 0, > 0 oft ein gutes Modell.
Bei einem unlimitierten XL mit Priorität a > b und > 1 gilt:
E(S) = E(N) ∫ 1
a
(1 F (x)) dx
= E(N) ∫ 1
a
b x dx
= E(N) b [x1
1
]1x=a
=E(N)
1(b
a
)
a:
Dr. Ulrich Riegel Schadenversicherungsmathematik 37
4.3 Einuss der Risikoteilung auf die Schadenverteilungen
Ination bei Pareto-verteilter Schadenhöhe
Bei Ination X ! X (1 + i) bleibt der Verteilungstyp wegen
1 Fi (x) = P(X (1 + i) > x) = P
(X >
x
1 + i
)=
(bx
1+i
)
=
(b(1 + i)
x
)
erhalten mit gleichem Formparameter und Skalenverschiebung b ! b (1 + i).
Also bei gleicher Priorität a
E(Si ) =E(N)
1(b (1 + i)
a
)
a; d.h.E(Si )
E(S)= (1 + i):
Ein typischer Wert ist = 2, d.h. der RV hat etwa doppelt so hohe Ination wie
im Original.
Dr. Ulrich Riegel Schadenversicherungsmathematik 38
Teil 3: Risikoteilung
4.4 Prämienkalkulation nichproportionaler RV-Verträge
Dr. Ulrich Riegel Schadenversicherungsmathematik 39
4.4 Prämienkalkulation nichtproportionaler RV-Verträge
Prämienkalkulation nichtproportionaler RV-Verträge
Zur Kalkulation (oder auch Quotierung) von nichtproportionalen
Rückversicherungsverträgen gibt es zwei grundsätzlich verschiedene Ansätze:
Burning Cost-Quotierung: Schätzung der erwarteten Schadenlast im
Quotierungsjahr durch die individuelle
Schadenerfahrung des EV in einem bestimmten
Beobachtungszeitraum.
Exposure-Quotierung: Verwendung von Marktschadenerfahrung bzw.
Marktkurven und individuellen
Bestandsinformationen
Dr. Ulrich Riegel Schadenversicherungsmathematik 40
4.4 Prämienkalkulation nichtproportionaler RV-Verträge
Prämienkalkulation proportionaler RV-Verträge
Die Kalkulation von Quoten ist ersten Blick einfach (durchschnittliche
Schadenquote der letzten n Jahre).
In der Realität ist die Quotierung von Quoten jedoch oft sehr komplex, z.B.:
Separate Modellierung vonI BasisschadenlastI GroÿschadenlastI Cat-Schadenlast
Quantizierung des Prämienzyklus
Quantizierung von Portefeuilleveränderungen
Berücksichtigung von variablen Provisionsregelungen, Gewinnanteilen,
Bouquet-Gewinnanteilen
Summenexzedenten sind meist noch schwerer einzuschätzen!
Dr. Ulrich Riegel Schadenversicherungsmathematik 41
4.4 Prämienkalkulation nichtproportionaler RV-Verträge
Burning Cost Beispiel XL per Risk 4 Mio. xs 1 Mio.
Geschätzte Prämie im Quotierungsjahr 2017: 80 Mio.
) BC =12:200:000
245:000:000 4,98% ) Erwarteter xs-Schaden 2017: 3,98 Mio.
Dr. Ulrich Riegel Schadenversicherungsmathematik 42
4.4 Prämienkalkulation nichtproportionaler RV-Verträge
Burning Cost Beispiel Cat-XL 5 Mio. xs 5 Mio.
Geschätzte Prämie im Quotierungsjahr 2017: 80 Mio.
) BC =9:400:000
245:000:000 3,84%
) Erwarteter xs-Schaden 2017: 3,07 Mio.
Dr. Ulrich Riegel Schadenversicherungsmathematik 43
4.4 Prämienkalkulation nichtproportionaler RV-Verträge
Exposurequotierung
Wir betrachten ein Portefeuille von Risiken S = R1 + : : : + RI und modellieren
jedes Risiko mit einem Kollektiven Modell: Ri =∑Ni
n=1 Xin.
Dann erhält man für einen Risiko-XL mit Priorität a > 0
E(S) =
I∑i=1
E(Ni ) E(max(Xi a; 0))
=
I∑i=1
E(Ni ) E(max(Xi a; 0))
E(Ni ) E(Xi ) E(Ri )
=
I∑i=1
(1 ri (a)) E(Ri );
d.h. der RV braucht nur die Entlastungseektfunktionen ri und die Nettoprämien
E(Ri ) zu kennen.
Dr. Ulrich Riegel Schadenversicherungsmathematik 44
4.4 Prämienkalkulation nichtproportionaler RV-Verträge
Exposurequotierung
Problem:
Der RV kennt i.d.R. nur die Schäden ab einer gewissen Meldegrenze, z.B.
X > a=2. Zur Schätzung der Entlastungseektfunktionen braucht man aber alle
Schäden.
Wenn der RV diese Daten mal beschat/ausgewertet hat, möchte er sie für
möglichst viele Länder (Währungen) und Jahre (Ination) anwenden.
In der Sachversicherung (Feuer) ist dies tatsächlich möglich, denn dort ist
(innerhalb einer Risikoklasse) die folgende Annahme durchaus realistisch!
Dr. Ulrich Riegel Schadenversicherungsmathematik 45
4.4 Prämienkalkulation nichtproportionaler RV-Verträge
Feuer-Exposurequotierung
Annahme: Sei vi die Versicherungssumme des Risikos Ri . Die Schadengrade
Yin := Xin=vi eines jeden Risikos sind wie ein Standardschadengrad Y verteilt.
Wegen dieser Annahme ist übrigens in der Feuerversicherung die EV-Prämie für
jedes Risiko derselbe Promille-Satz der VS. Mit dieser Annahme erhalten wir
ri (a) =E(min(Xi ; a))
E(Xi )=
E(min
(Y ; a
vi
))E(Y )
= G
(a
vi
)mit der sog. Exposurekurve
G (y) :=
E(min(Y ; y))
E(Y )für 0 y 1
1 für y 1:
Dr. Ulrich Riegel Schadenversicherungsmathematik 46
4.4 Prämienkalkulation nichtproportionaler RV-Verträge
Entlastungseekt ri und Exposurekurve G in der
Feuerversicherung
vi
0:2
0:4
0:6
0:8
1
ri (x)
x0
E (Xi1)
1
0:2
0:4
0:6
0:8
1
G (x)
x0
E (Y )
Dr. Ulrich Riegel Schadenversicherungsmathematik 47
4.4 Prämienkalkulation nichtproportionaler RV-Verträge
Feuer-Exposurequotierung
Feuer-Exposurequotierung
Für einen Risiko-XL mit Priorität a gilt somit
E(S) =
I∑i=1
(1 G
(a
vi
)) E(Ri );
mit der währungs- und inationsunabhängigen Exposurekurve G .
Dr. Ulrich Riegel Schadenversicherungsmathematik 48
4.4 Prämienkalkulation nichtproportionaler RV-Verträge
Feuer-Exposurequotierung Beispiel
Dr. Ulrich Riegel Schadenversicherungsmathematik 49
4.4 Prämienkalkulation nichtproportionaler RV-Verträge
Haftplicht-Exposurequotierung (Zuschlagsquotierung)
In der Haftpicht-Versicherung ist das Modell Xin viY nicht realistisch, da vihier vom VN frei gewählt wird und eher dessen Risikoaversion widerspiegelt als
die objektive Maximalgefährdung.
Realistisch ist eher Xin min(X ; vi ) mit einer für alle Risiken derselben Klasse
gleichen Schadenhöhe X . Also
ri (a) =
E(min(X ; a))
E(min(X ; vi ))=
r(a)
r(vi )für 0 a vi
1 für a vi
mit dem Entlastungseekt r = E(min(X ;a))E(X ) von X .
Dr. Ulrich Riegel Schadenversicherungsmathematik 50
4.4 Prämienkalkulation nichtproportionaler RV-Verträge
Haftplicht-Exposurequotierung (Zuschlagsquotierung)
Problem:
Hier sind X und r voll währungs- und inationsabhängig. Entsprechendes gilt
natürlich auch für die Originalnettoprämie:
S(vi ) := E(Ni ) E(min(X ; vi ))
Daher benutzen die deutschen Erst- und Rückversicherer in dieser Situation eine
Methode, die schon 1936 von Paul Riebesell vorgeschlagen wurde
(Riebesell-Modell, Zuschlagsquoierung).
Dr. Ulrich Riegel Schadenversicherungsmathematik 51
4.4 Prämienkalkulation nichtproportionaler RV-Verträge
Haftplicht-Exposurequotierung (Zuschlagsquotierung)
Sei s0 = S(v0) die Nettoprämie für die Standard-VS v0. Zur Berechnung der
Nettoprämie S(v) für höhere VS v empehlt Riebesell einen konstanten
prozentualen Zuschlagssatz z 2 (0; 1) für die Verdoppelung von
Versicherungssummen (z.B. z = 20%):
Sz (2 v0) = s0 (1 + z)
Sz (4 v0) = s0 (1 + z)2;
Sz (2k v0) = s0 (1 + z)k :
Einsetzen von k = log2(v=v0) liefert die
Riebesell-Formel: Für v > 0 und z 2 (0; 1) ist
Sz (v) = s0 (1 + z)log2(v=v0) = s0 (v
v0
)log2(1+z)
:
Dr. Ulrich Riegel Schadenversicherungsmathematik 52
4.4 Prämienkalkulation nichtproportionaler RV-Verträge
Prämienfunktionen Sz(v ) aus der Zuschlagsquotierung
1v0 2v0 3v0 4v0 5v0
1s0
2s0
0
z=50%
z=40%
z=30%
z=20%
z=10%
Dr. Ulrich Riegel Schadenversicherungsmathematik 53
4.4 Prämienkalkulation nichtproportionaler RV-Verträge
Haftplicht-Exposurequotierung (Zuschlagsquotierung)
Hieraus ergibt sich
Zuschlagsquotierung:
Für einen Risiko-XL mit Priorität a folgt aus der Ribesell-Formel
E(S) =
I∑i=1
(1 Sz (min(a; vi ))
Sz (vi )
) E(Ri )
=
I∑i=1
(1
(min(a; vi )
vi
)log2(1+z)) E(Ri )
(währungs- und inationsunabhängig!).
Dr. Ulrich Riegel Schadenversicherungsmathematik 54
4.4 Prämienkalkulation nichtproportionaler RV-Verträge
Zuschlagsquotierung Beispiel
Dr. Ulrich Riegel Schadenversicherungsmathematik 55
4.4 Prämienkalkulation nichtproportionaler RV-Verträge
Haftplicht-Exposurequotierung (Zuschlagsquotierung)
Frage: Ist die Zuschlagsquotierung mit dem Kollektiven Modell verträglich?
Denition:
Unter eine Prämienfunktion verstehen wir eine monoton wachsende Funktion
S : [0;1) ! [0;1) mit S1(0) = f0g.Eine Prämienfunktion S heiÿt mit dem Kollektiven Modell verträglich, wenn es
Zufallsvariablen N : Ω ! N0 und X : Ω ! (0;1) gibt, so dass
S(v) = E(N) E(min(X ; v))
für alle v 0 gilt.
Dr. Ulrich Riegel Schadenversicherungsmathematik 56
4.4 Prämienkalkulation nichtproportionaler RV-Verträge
Haftplicht-Exposurequotierung (Zuschlagsquotierung)
Satz: Eine Prämienfunktion S ist genau dann mit dem Kollektiven Modell
verträglich, wenn folgende drei Bedingungen erfüllt sind:
(1) S ist konkav
(2) limv&0 S(v)=v <1(3) limv!1(S(v + 1) S(v)) = 0
Sind N 2 N0 und X > 0 Zufallsvariablen mit S(v) = E(N) E(min(X ; v)) so gilt
für die Schadenhöhenverteilung F von X
F (v) = 1 S 0(v)
S 0(0): (S 0 rechtsseitige Ableitung)
Dr. Ulrich Riegel Schadenversicherungsmathematik 57
4.4 Prämienkalkulation nichtproportionaler RV-Verträge
Haftplicht-Exposurequotierung (Zuschlagsquotierung)
Beweis:
): Seien N und X > 0 Zufallsvariable mit S(v) = E(N) E(min(X ; v)). Mit der
Verteilungsfunktion F von X gilt dann
S(v) = E(N)
∫ v
0
(1 F (x)) dx :
S ist konkav, da 1 F monoton fällt. Die Bedingung (2) folgt aus
limv&0
S(v)=v = E(N)(1 F (0)) = E(N) <1
und (3) folgt aus limv!1 F (v) = 1. Ferner gilt wegen F (0) = 0
1 S 0(v)
S 0(0)= 1 E(N)(1 F (v))
E(N)(1 F (0))= F (v):
Dr. Ulrich Riegel Schadenversicherungsmathematik 58
4.4 Prämienkalkulation nichtproportionaler RV-Verträge
Haftplicht-Exposurequotierung (Zuschlagsquotierung)
(: Sind (1) (3) erfüllt, so ist durch
F (v) := 1 S 0(v)
S 0(0)
eine Verteilungsfunktion deniert (S rechtsseitig dierenzierbar wegen (1) und
(2), F monoton wachsend wegen (1), limv!1 F (v) = 1 wegen (3)).
Ist X eine Zufallsvariabe mit Verteilungsfunktion F und N eine Zufallsvariable
mit E(N) = S 0(0), so gilt
E(N) E(min(X ; v)) = E(N)
∫ v
0
(1 F (x)) dx =
∫ v
0
S 0(x) dx = S(v):
Dr. Ulrich Riegel Schadenversicherungsmathematik 59
4.4 Prämienkalkulation nichtproportionaler RV-Verträge
Haftplicht-Exposurequotierung (Zuschlagsquotierung)
Folgerung: Die Prämienfunktion Sz aus der Ribesell-Formel ist nicht mit dem
Kollektiven Modell verträglich, denn limv&0 Sz (v)=v = +1.
Das lässt sich jedoch leicht beheben: Wähle ein beliebig kleines u > 0, setze
su := S(u) und deniere
Suz (v) :=
v
u Sz (u) für 0 v < u
Sz (v) für v u
=
suv=u für 0 v < u
su
(vu
)log2(1+z)
für v u:
Dann ist Suz mit dem Kollektiven Modell verträglich und es gilt Su
z (v) = Sz (v)für alle v u. Wird u < a gewählt, so kann man in bei der Zuschlagsquotierung
Sz (v) durch Suz (v) ersetzen und erhält das gleiche Ergebniss.
Dr. Ulrich Riegel Schadenversicherungsmathematik 60
4.4 Prämienkalkulation nichtproportionaler RV-Verträge
Vergleich der Prämienfunktionen Sz(v ) und Suz (v )
u
Sz (u)
Sz (v)
v0 u
Sz (u)
Suz (v)
v0
Dr. Ulrich Riegel Schadenversicherungsmathematik 61
4.4 Prämienkalkulation nichtproportionaler RV-Verträge
Haftplicht-Exposurequotierung (Zuschlagsquotierung)
Korollar: Die Prämienfunktion Suz gehört zu einem Kollektiven Modell, bei dem
die bedingte Schadenhöhe X j(X > u) Pareto-verteilt mit = 1 log2(1+ z) ist.
Beweis: Rechtsseitige Ableitung von Suz :
(Suz )0(v) =
su=u für 0 v < u
log2(1 + z)su
u
(uv
)1log2(1+z)
für v u.
Mit obigem Satz erhalten wir die Verteilungsfunktion
F uz (v) = 1 (Su
z )0(v)
(Suz )0(0)
=
0 für v < u
1 log2(1 + z)(uv
)1log2(1+z)
für v u.
Dr. Ulrich Riegel Schadenversicherungsmathematik 62