Einfhrung in die Algebra(+ Ergnzungen)

/Warnung: Viele Teile sind noch voller Fehler oder nicht einmal fertig geschrieben/Peter Mller

13. Juli 2016

Algebra is the oer made by the devil to the mathematician. The devil says:I will give you this powerful machine, it will answer any question you like.All you need to do is give me your soul: give up geometry and you will havethis marvellous machine.

Sir Michael Atiyah1

Inhaltsverzeichnis

1 Einfhrung 4

2 Etwas Zahlentheorie 5

3 Gruppen 73.1 Denitionen, Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.2 Untergruppen und zyklische Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.3 Nebenklassen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.4 Normalteiler und Faktorgruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.5 Symmetrische und alternierende Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.6 Homomorphismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.7 Gruppenoperationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.8 Abzhlungen von Frbungen der Satz von RedeldPlya . . . . . . . 303.9 Die Stze von Sylow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.10 Produkte von Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.10.1 Direkte Produkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371Bull. London Math. Soc. 34 (2002) 115

1

3.10.2 Semidirekte Produkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.11 Endlich erzeugte abelsche Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.12 Ausbare Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4 Ringe 454.1 Denitionen, Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.2 Homomorphismen, Ideale und Faktorringe . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.3 Maximale Ideale und Primideale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.4 Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.5 Euklidische Ringe und Hauptidealringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514.6 Quotientenkrper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.7 Teilbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.8 Euklidischer Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564.9 Chinesischer Restsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574.10 Nullstellen von Polynomen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574.11 Primitive Polynome, Lemma von Gau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.12 Das Irreduzibilittskriterium von Eisenstein . . . . . . . . . . . . . . . . 61

5 Krper 625.1 Krpererweiterungen, Krpergrade und Homomorphismen . . . . . . . . 625.2 Algebraische und transzendente Elemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635.3 Konstruktion mit Zirkel und Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

5.3.1 Wrfelverdoppelung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 675.3.2 Winkeldreiteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 685.3.3 Regulre nEcke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 685.3.4 Quadratur des Kreises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 685.3.5 Konstruierbare Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

5.4 Kreisteilungspolynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705.5 Algebraische Krpererweiterungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

5.5.1 Fortsetzung von Homomorphismen . . . . . . . . . . . . . . . . . 715.5.2 Zerfllungskrper und normale Erweiterungen . . . . . . . . . . . 725.5.3 Separabilitt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

5.6 Galoistheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 775.6.1 Automorphismen endlicher Krpererweiterungen . . . . . . . . . . 775.6.2 Ein Lemma der Linearen Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . 785.6.3 Der Hauptsatz der Galoistheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 785.6.4 Beispiele fr Galoisgruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 845.6.5 Ausbarkeit durch Radikale, Teil 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

5.7 Endliche Krper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

6 Ergnzungen zur Gruppentheorie 896.1 Zwei weitere Beweise fr Existenz der Sylowgruppen . . . . . . . . . . . 89

6.1.1 2. Beweis von Satz 3.74 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 896.1.2 3. Beweis von Satz 3.74 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

2

6.2 Der Satz von Jordan-Hlder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 906.3 Gruppen kleiner Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

6.3.1 Automorphismen zyklischer Gruppen. . . . . . . . . . . . . . . . . 936.3.2 |G| = pq, p < q Primzahlen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 946.3.3 |G| = 1001 = 7 11 13. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 946.3.4 |G| = pqr, p < q < r Primzahlen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 946.3.5 |G| = paqb, p < q Primzahlen, 0 a, b 2. . . . . . . . . . . . . . 956.3.6 |G| = 8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 956.3.7 Ausbarkeit von G fr |G| < 60. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

7 Ergnzungen zur Ringtheorie 977.1 Existenz maximaler Ideale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 977.2 Anwendungen der Kongruenzrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 977.3 Einheitengruppe von Z/nZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 987.4 Kryptographie und Restklassenringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 997.5 Symmetrische Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1017.6 Diskriminanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1037.7 Chinesischer Restsatz etwas allgemeiner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1047.8 Ganze Ringerweiterungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1057.9 Polynome ber faktoriellen Ringen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

8 Ergnzungen zur Krpertheorie 1118.1 Lineare Unabhngigkeit von Charakteren . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1118.2 Zyklische Erweiterungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1118.3 Ausbarkeit durch Radikale, Teil 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1138.4 Zirkel- und Linealkonstruktion regulrer n-Ecke . . . . . . . . . . . . . . 1148.5 Algebraischer Abschluss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1148.6 Fundamentalsatz der Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

8.6.1 1. Beweis (direkt) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1158.6.2 2. Beweis (Funktionentheorie) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1168.6.3 3. Beweis (Topologie) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1168.6.4 4. Beweis (Galoistheorie) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

8.7 Mehr zur Separabilitt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1178.8 Spuren und Normen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1198.9 Polynome vom Grad 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1208.10 Kreisteilungspolynome ber endlichen Krpern . . . . . . . . . . . . . . . 1218.11 Primzahlen in mN + 1 und abelsche Galoisgruppen ber Q . . . . . . . . 1218.12 Zykeltypen in Galoisgruppen ein Satz von Dedekind . . . . . . . . . . . 1228.13 Eine unpraktische Methode zur Berechnung von Galoisgruppen . . . . . . 1258.14 Der Hilbertsche Irreduzibilittssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

8.14.1 Hilbertsche Krper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1288.14.2 Ein Reduktionssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1298.14.3 Galoisgruppen und hilbertsche Krper . . . . . . . . . . . . . . . 1308.14.4 Simultane Spezialisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

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8.14.5 Konvergente Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1328.14.6 Ein Lemma ber LagrangePolynome . . . . . . . . . . . . . . . . 1378.14.7 Stze von Drge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1388.14.8 Beweis des Hilbertschen Irreduzibilittssatzes . . . . . . . . . . . 1408.14.9 KroneckerSubstitution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1408.14.10Erweiterungen Hilbertscher Krper . . . . . . . . . . . . . . . . . 1428.14.11Anwendungen hilbertscher Krper . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1438.14.12Eine Methode von Runge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

8.15 Schiefkrper und der Satz von Wedderburn . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

9 Verschiedenes 1489.1 Das Lemma von Zorn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1489.2 Quadratische Reste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1489.3 Transzendenz von e und . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1539.4 Elementare Integrierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

9.4.1 Holomorphe und meromorphe Funktionen . . . . . . . . . . . . . 1589.4.2 Dierentialkrper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1589.4.3 Die Stze von Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

1 Einfhrung

Die Algebra hat ihre Wurzeln in der Geometrie und Zahlentheorie.

Klassische Beispiele

Kann man mit Zirkel und Lineal beliebige Winkel dritteln, oder Wrfel verdop-peln?

Kann man die Nullstellen von Polynomen stets durch Wurzeln und die vier Grund-rechenarten ausdrcken?

Kann man fr Funktionen wie ex2 explizite Stammfunktionen angeben?

Wie ndet man rationale oder ganzzahlige Lsungen von Systemen von Polynomenin mehreren Vernderlichen, z.B. (fr festes n N) Xn+Y n = Zn mit X, Y, Z Z(Fermat-Problem)?

Moderne Beispiele

Wie bertrgt man digitale Daten, bei deren bertragung Fehler auftreten kn-nen, durch Einbau von mglichst wenig Redundanz, aber mit mglichst guterFehlererkennungs- und -korrekturmglichkeit? Dies fhrt zur Kodierungstheorie.

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Wie bertrgt man verschlsselte Daten entlich, so dass nur der vorgeseheneEmpfnger sie entschlsseln kann? Das geht sogar, ohne dass Sender und Emp-fnger vorher geheime Schlssel austauschen mssen, selbst die drfen entlichmitgeteilt werden (public key cryptography)! Dies fhrt zur Kryptographie.

In der Algebra haben sich wichtige Begrie herauskristallisiert, nmlich Gruppen, Ringeund Krper. Diesen Begrien ist die Einfhrung in die Algebra gewidmet. Ein weitereswichtiges Gebiet ist die Galoistheorie, eine reizvolle Kombination aus Gruppen- undKrpertheorie.

2 Etwas Zahlentheorie

In diesem Abschnitt erinnern wir an einige einfache Aussagen der Zahlentheorie, diehoentlich aus dem Vorkurs und/oder den Anfngervorlesungen bekannt sind.Es gibt keine einheitliche Auassung darber, ob 0 eine natrliche Zahl ist. Im gesam-

ten Skript wird 0 nicht als natrliche Zahl betrachtet. Entsprechend schreiben wir N ={1, 2, 3, . . . }. Man beachte aber, dass z.B. in der franzsischen Literatur (oder auch nachder DIN-Norm 5473) 0 eine natrliche Zahl ist. Fr die Menge {0, 1, 2, . . . } = N {0}schreiben wir N0.Sind a, b Z ganze Zahlen, und 0 6= n Z, dann schreibt man a b (mod n), falls

n ein Teiler von a b ist. Statt a 0 (mod n) schreibt man auch n | a, und n - a, fallsn kein Teiler von a ist.Unter Division mit Rest verstehen wir die folgende einfache Aussage: Sind a, n Z

und n 6= 0, dann gibt es c, r Z mit a = cn + r und 0 r |n| 1. Dabei sind c undr eindeutig.Der grte gemeinsame Teiler ggT(a, b) von a, b Z, a 6= 0 oder b 6= 0, ist die grte

natrliche Zahl n mit n | a und n | b. Man nennt a und b teilerfremd , falls ggT(a, b) = 1.Eine sehr wichtige Aussage ist

Satz 2.1 (Lemma von Bzout). Seien a, b Z nicht beide 0, und d = ggT(a, b) dergrte gemeinsame Teiler von a und b. Dann gibt es u, v Z mit ua+ vb = d.Sind insbesondere a, b teilerfremd, dann gibt es u, v Z mit ua+ vb = 1.

Beweis. Da adund b

dteilerfremd sind, folgt der erste Teil des Satzes aus dem zweiten

Teil. Wir knnen also annehmen, dass a und b teilerfremd sind.Wir zeigen die folgende Behauptung durch vollstndige Induktion ber n N: Sind

a, b Z teilerfremd und |a|+ |b| n, dann gibt es u, v Z mit ua+ vb = 1.Induktionsanfang: Fr n = 1 folgt |a| + |b| 1, also a = 1 und b = 0, oder a = 0

und b = 1. In diesen Fllen ist die Aussage klar. (Etwa a a+ b b = 1.)Schluss von n auf n+ 1: Sei |a|+ |b| n+ 1. Indem man eventuell a durch a und b

durch b ersetzt, drfen wir a, b 0 annehmen. Da die Aussage symmetrisch in a undb ist, drfen wir weiter a b annehmen.Falls b = 0, dann gilt 1 = ggT(a, b) = ggT(a, 0) = a, und daher a = 1. Dieser Fall ist

bereits erledigt.

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Sei also b > 0. Wegen a = (a b) + b sind a b und b teilerfremd. Ferner gilt

|a b|+ |b| = a b+ b = a a+ (b 1) = |a|+ |b| 1 (n+ 1) 1 = n.

Nach Induktionsannahme gibt es daher u, v Z mit 1 = u(a b) + vb = ua+ (v u)b,und die Behauptung folgt.

Eine einfache Folge ist

Lemma 2.2. Seien r, s Z \ {0} teilerfremd, und m Z.

(a) Aus r | sm folgt r|m.

(b) Aus r | m und s | m folgt rs | m.

Beweis. Sei ur + vs = 1 mit u, v Z. Dann sind beide Summanden der rechten Seitevon m = urm+ vsm durch r teilbar, und wir erhalten (a).Zu (b). Schreibe m = rr und m = ss mit r, s Z. Dann gilt

m = urm+ vsm = urss + vsrr = rs(us + vr),

und die Behauptung folgt.

Die Primzahlen sind die natrlichen Zahlen p 2, die auer 1 und p keine Teilerhaben. Das ist gleichbedeutend damit, dass man p nicht als Produkt kleinerer natrlicherZahlen schreiben kann.Zur (nicht nur mathematischen) Allgemeinbildung zhlt

Satz 2.3 (Euklid, etwa 300 v. Chr.). Es gibt unendlich viele Primzahlen.

Beweis. Wir zeigen, dass es fr alle n N eine Primzahl p > n gibt. Sei p der kleinsteTeiler > 1 von n!+1 = 1 2 3 n+1. Dann ist p eine Primzahl, denn jeder echte Teilervon p wre ja auch ein Teiler von n! + 1, im Widerspruch zur minimalen Wahl von p.Wre p n, dann wre p einer der Faktoren in n!, d.h. p wre ein Teiler von (n! +

1) n! = 1, ein Widerspruch. Daher gilt p > n.

Eine wichtige und nicht unmittelbar aus der Denition folgende Eigenschaft der Prim-zahlen ist

Satz 2.4 (Euklid). Sei p eine Primzahl. Aus p | ab fr a, b Z folgt p | a oder p | b.

Beweis. Sei p - a. Dann sind p und a teilerfremd, und es gilt up + va = 1 mit u, v Z.Hieraus folgt b = ubp+ vab, und wir sehen, dass p auch die linke Seite teilt.

Mit dem vorigen Satz und vollstndiger Induktion beweist man

Satz 2.5 (Eindeutige Primfaktorzerlegung). Jede natrliche Zahlen n 2 hat eine bisauf Reihenfolge der Faktoren eindeutige Darstellung als Produkt von Primzahlen.

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3 Gruppen

What is a group? Algebraists teach that this is supposedly a set with twooperations that satisfy a load of easily-forgettable axioms. This denitionprovokes a natural protest: why would any sensible person need such pairsof operations? Oh, curse this maths concludes the student (who, possibly,becomes the Minister for Science in the future).

Vladimir I. Arnold2

3.1 Denitionen, Beispiele

Eine zweistellige Verknpfung auf einer Menge M ordnet je zwei Elementen a, b Mein Element a b M zu. Einer der einfachsten und zugleich grundlegendsten Begrieder Mathematik ist der einer Gruppe:

Denition 3.1. Eine Gruppe ist eine Menge G mit einer zweistelligen Verknpfung undeinem Element e mit den folgenden Eigenschaften:

(a) Es gilt (a b) c = a (b c) fr alle a, b, c G. (Assoziativitt)

(b) a e = a fr alle a G. (e ist ein neutrales Elements)

(c) Zu jedem a G gibt es ein Element b G mit a b = e. (Existenz des inversenElements)

Die ersten zwei Beispiele sind aus der Schule bekannt die anderen beiden aus derLinearen Algebra.

Beispiel 3.2. (a) Die ganzen Zahlen Z bilden mit der Addition eine Gruppe, wobeiman natrlich a+ b statt a b und 0 statt e schreibt.

(b) Die positiven rationalen Zahlen G = {x Q | x > 0} bilden bezglich derMultiplikation eine Gruppe.

(c) GLn(K) = {A Mn(K) | detA 6= 0}, K Krper.

(d) SLn(Z) = {A Mn(Z) | detA = 1}.

Eine sehr wichtige Familie von Beispielen sind die symmetrischen Gruppen:

Satz 3.3 (Symmetrische Gruppe). Sei eine nicht leere Menge, und G die Mengealler bijektiven Abbildungen von nach . Fr f, g G sei f g G deniert durch(f g)() = f(g()) fr alle . Dann ist G mit diesem Produkt eine Gruppe.2Russian Math. Surveys 53:1, 229236

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Beweis. Wir berprfen die drei geforderten Eigenschaften (a), (b) und (c):(a) Seien f, g, h G. Fr alle gilt

((f g) h)() = (f g)(h()) = f(g(h())) = f((g h)()) = (f (g h))(),

und daher (f g) h = f (g h).(b) Sei e die identische Abbildung, also e() = fr alle . Dann gilt natrlich

f e = f fr alle f G.(c) Sei f G. Da f bijektiv ist, hat f eine Umkehrabbildung g, es gilt also g(f()) =

fr alle . Mit = g() fr folgt g(f(g())) = g(), und dannf(g()) = wegen der Injektivitt von g. Es gilt also f g = e.

In dem speziellen Fall = {1, 2, . . . , n} mit n N werden wir spter die Gruppe Ggenauer studieren.In obigem Beispiel der symmetrischen Gruppe gilt e f = f fr alle f G, und aus

f g = e folgt auch g f = e. Auch stellt man schnell fest, dass in diesem Beispielgenau ein neutrales Element existiert, und zu f G genau ein Element g G mitf g = e existiert. Der folgende Satz zeigt, dass das keine Besonderheit dieses Beispielsist, sondern fr alle Gruppen gilt:

Satz 3.4. Sei G eine Gruppe mit neutralem Element e. Dann gilt:

(a) e a = a fr alle a G.

(b) Aus a b = e folgt b a = e.

(c) Aus a x = b x folgt a = b. (Krzungsregel)

(d) Aus x a = x b folgt a = b. (Krzungsregel)

Beweis. Wir beweisen zunchst (b). Man mache sich in jedem Schritt klar, welchesGruppenaxiom wir benutzt haben. Es sei also a b = e. Whle c G mit b c = e. Danngilt

b a = (b a) e= b (a e)= b (a (b c))= b ((a b) c)= b (e c)= (b e) c= b c= e

Unter Benutzung von (b) beweisen wir nun (a): Sei b G mit a b = b a = e. Dann gilt

e a = (a b) a = a (b a) = a e = a.

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Zum Beweis von (c) whle y G mit x y = e. Dann gilt

a = a e = a (x y) = (a x) y = (b x) y = b (x y) = b e = b.

Der Beweis von (d) geht analog.

Aus den Krzungsregeln folgt insbesondere, dass eine Gruppe nur ein neutrales Ele-ment hat, und es zu jedem Element nur ein inverses Element gibt. Das inverse Elementzu a bezeichnet man mit a1. Es gilt also a a1 = a1 a = e.Die Krzungsregel wird auch oft in der Form angewendet, dass aus ax = x schon

a = e folgt (wegen ax = x = ex).Aus dem Assoziativgesetz folgt zunchst, dass man in Produkten mit drei Faktoren

a b c keine Klammern bentigt. Durch vollstndige Induktion ber die Anzahl derFaktoren kann man zeigen, dass das auch fr Produkte beliebiger (endlicher) Lnge gilt.(bung?!)Ist a ein Gruppenelement, und n N, dann bezeichnet an das n-fache Produkt a

a a. Ferner setzt man a0 = e und an = (a1)n. Mit diesen Vereinbarungen gilt(bung?!) ar+s = aras fr alle r, s Z.Aus den bisher gewonnenen Erkenntnissen folgen einige weitere Eigenschaften, die wir

ohne weiteren Kommentar verwenden werden: Fr a, b G gilt (ab)(b1a1) = e, also(ab)1 = b1a1. Ferner folgt (a1)1 = a aus e = aa1 = a1a.

Aufgabe. Sei M eine Menge mit einer zweistelligen Verknpfung und einem Elemente mit den folgenden Eigenschaften:

(a) Es gilt (a b) c = a (b c) fr alle a, b, c M .

(b) a e = a fr alle a M .

(c) Zu jedem a M gibt es ein Element b M mit b a = e.

Man zeige, dass eine solche Menge bezglich der Verknpfung keine Gruppe sein muss.(Hinweis: Deniere a b := a)

Denition 3.5. Eine Gruppe G heit abelsch3 oder auch kommutativ , wenn a b = b afr alle a, b G gilt.

In abstrakten abelschen Gruppen wird die Verknpfung hug mit + statt bezeich-net, und das neutrale Element e mit 0. Ferner schreibt man a statt a1.Bei Gruppen in multiplikativer Notation schreibt man meist ab statt a b.Aus den bisherigen Erkenntnissen ber Gruppen erhlt man folgende Aussage:

Satz 3.6. Sei G eine Gruppe, und a, b G. Dann haben die Gleichungen ax = b undya = b jeweils eine eindeutige Lsung x G bzw. y G.

Beweis. Die Eindeutigkeit folgt aus der Krzungsregel. Die Existenz ist auch klar, dennfr x = a1b gilt ax = aa1b = b, und analog ya = b mit y = ba1.

Man beachte, dass im Allgemeinen x 6= y gilt!3Benannt nach dem norwegischen Mathematiker Niels Henrik Abel (18021829).

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3.2 Untergruppen und zyklische Gruppen

Denition 3.7. Eine nichtleere Teilmenge U einer Gruppe G heit Untergruppe vonG, wenn aus a, b U schon a b U und a1 U folgt. (In diesem Fall ist (U, ) eineGruppe.) Man schreibt U G.

Es folgt sehr einfach, dass Untergruppen von Untergruppen wieder Untergruppen sind.Auch Schnitte von Untergruppen sind wieder Untergruppen. (Was ist mit Vereinigun-gen?)

Beispiele

G = Z, U = 2Z = {2m | m Z}

G = S5, U = {g G | g(5) = 5} = S4

G = GLn(K), U = SLn(K)

Denition 3.8. Sei M G eine Teilmenge der Gruppe G. Die von M erzeugte Un-tergruppe ist die bezglich Inklusion kleinste M enthaltende Untergruppe von G.(Somit ist der Schnitt aller Untergruppen von G, welche M enthalten.)

Ist M = {m1,m2, . . . ,mk}, dann schreibt man normalerweise statt = .Unsere Denition des Erzeugnisses ist meistens nur fr Beweise ntzlich. Ist G eine

groe Gruppe, und M G, dann will man natrlich nicht dadurch bestimmen,dass man alle Untergruppen von G aufzhlt und dann den Schnitt all derer bildet, dieM enthalten. Vielmehr fhrt folgende quivalente Beschreibung normalerweise schnellerzum Ziel.

Satz 3.9. Sei M G eine nicht leere Teilmenge der Gruppe G, und U die Menge allerProdukte der Form m1m2 mr mit mi M oder mi M1 = {m1 | m M}. Dannist U eine Gruppe, und es gilt U = .

Beweis. JedeM enthaltende Untergruppe vonG enthlt die angegeben Produktem1m2 mr,daher gilt U .Andererseits ist U unter Multiplikation und wegen (m1m2 mr)1 = m1r m12 m11

auch unter Inversenbildung abgeschlossen, also eine Untergruppe von G, die M enthlt.Es gilt also auch U , und daher U = .

Bemerkung. Ein besonders einfacher Fall ist M = {m}. Dann gilt = {mi |i Z}. Das Erzeugnis von zwei Elementen hingegen kann in nicht abelschen Gruppenbeliebig kompliziert werden.

Wichtige Beispiele von (Unter)gruppen sind solche, die von einem Element erzeugtwerden.

Denition 3.10. Eine zyklische Gruppe ist eine von einem Element erzeugte Gruppe.

10

Beispiele zyklischer Gruppen

G = Z =

G = {e 2ikn | k = 0, 1, . . . , n 1} = fr n N

G = Z/nZ = fr n N

Denition 3.11. Ist G eine Gruppe, dann heit |G| N {} die Ordnung von G.Fr a G ist die Ordnung ord(a) die kleinste natrliche Zahl n mit an = e. Gibt es

eine solche Zahl nicht, dann setzt man ord(a) =.

Lemma 3.12. In endlichen Gruppen hat jedes Element eine endliche Ordnung. Seiord(a) = n N. Dann gilt ai = aj genau dann, wenn i j (mod n). Insbesondere gilt = {e = a0, a1, . . . , an1}, und daher auch || = n.

Beweis. Sei a ein Element einer endlichen Gruppe. Dann gibt es unter den Potenzen ai,i N, nur endlich viele verschiedene Elemente. Wir nden daher i < j mit ai = aj, alsoaji = e. Somit hat a eine endliche Ordnung, die hchstens j i ist.Sei nun ord a = n N und ai = aj. Division mit Rest ergibt ij = qn+r mit q Z und

0 r n 1. Wegen an = e ist ai = aj quivalent zu ai = aj+qn+r = aj(an)qar = aiar,und das ist quivalent zu ar = 1. Aber 0 r n 1, daher gilt ar = e genau frr = 0.

Denition 3.13. Ein Element der Ordnung 2 nennt man Involution.

Wir werden spter sehen, dass die Struktur der Untergruppen selbst in endlichen Grup-pen sehr kompliziert sein kann. bersichtlich ist das hingegen in zyklischen Gruppen.

Satz 3.14. Jede Untergruppe einer zyklischen Gruppe ist zyklisch. Eine endliche zykli-sche Gruppe hat fr jeden Teiler r ihrer Ordnung genau eine Untergruppe der Ordnungr.

Beweis. Sei U eine Untergruppe der zyklischen, von a erzeugten Gruppe G = ={ai | i Z}. Falls U = {e} dann ist U natrlich zyklisch. Sei nun U 6= {e}. Whle s Nminimal mit as U . Wir behaupten U = . Dazu sei m Z mit am U . Schreibem = us+ v mit 0 v s 1 (Division mit Rest). Wegen (as)uav = am U und as Ufolgt av U , also v = 0 wegen der Minimalitt von s. Aber am = (as)u . Hierausfolgt der erste Teil der Behauptung.Sei nun G endlich der Ordnung n. Wegen an = e U folgt wie eben, dass s ein

Teiler von n ist, also n = rs mit r N. Oenbar gilt = {a0, as, a2s, . . . , a(r1)s},also |U | = ord(as) = r. Umgekehrt ist fr jeden Teiler r von n die Menge ={a0, as, a2s, . . . , a(r1)s} mit s = n/r eine Untergruppe der Ordnung r.

Hug bentigt man die Ordnung von Potenzen von Elementen einer Gruppe. Derfolgende Satz gibt darber Auskunft.

Satz 3.15. Sei a ein Element der Ordnung n N in einer Gruppe. Fr m Z seid N der grte gemeinsame Teiler von n und m. Dann hat am die Ordnung n

d.

11

Beweis. Sei k die Ordnung von am. Aus (am)nd = (an)

md = e

md = e folgt n

d k.

Wegen e = (am)k = amk ist n ein Teiler von mk, und daher ist ndein Teiler von

mdk. Aber n

dund m

dsind teilerfremd, also n

d| k und daher n

d k. Oben sahen wir die

umgekehrte Ungleichung, die Behauptung folgt.

Denition 3.16. Fr eine natrliche Zahl n bezeichne (n) die Anzahl der natrlichenZahlen 1 m n, die zu n teilerfremd sind. Man nennt auch die Eulersche -Funktion.

Eine Anwendung des vorigen Satzes ist

Korollar 3.17. Sei a der Erzeuger einer zyklischen Gruppe der Ordnung n. Dann istam genau dann ein Erzeuger dieser Gruppe, wenn m und n teilerfremd ist. Insbesonderebesitzt eine zyklische Gruppe der Ordnung n genau (n) Erzeuger.

Eine andere gelegentlich bentigte Aussage ist

Satz 3.18. Seien a, b Elemente einer Gruppe mit teilerfremden endlichen Ordnungen.Ferner gelte ab = ba. Dann gilt ord(ab) = ord(a) ord(b).

Beweis. Sei r = ord(a), s = ord(b) und m = ord(ab). Es gilt (ab)rs = (ar)s(bs)r = e, alsom rs.Aus (ab)m = e folgt am = (b1)m, also ams = (bs)m = e. Somit ist r ein Teiler von

ms. Da r und s teilerfremd sind, ist r dann sogar ein Teiler von m. Analog folgt, dasss ein Teiler von m ist. Aber dann ist, wiederum wegen der Teilerfremdheit von r unds, auch rs ein Teiler von m, also rs m, und daher m = rs wegen obiger umgekehrterUngleichung.

Satz 3.19. Sei n die grte Elementordnung in einer abelschen Gruppe G. Dann giltgn = e fr alle g G.

Beweis. Sei g G von grtmglicher Ordnung n, und h G beliebig. Wir wollenzeigen, dass m = ord(h) ein Teiler von n ist. Dazu mssen wir sehen, dass jede Primzahlp in n mindestens so oft enthalten ist wie in m.Schreibe m = peu und n = pfv mit u, v N nicht durch p teilbar. Dann gilt

ord(hu) = pe und ord(gpf) = v. Da pe und v teilerfremd sind, gilt nach dem vorigen

Satz ord(hugpf) = pev. Nach Voraussetzung gilt pev n = pfv, also e f , was zu

zeigen war.

3.3 Nebenklassen

Sei U eine Untergruppe der Gruppe G. Fr g G nennt man die Menge gU := {gu |u U} eine Linksnebenklasse. Analog ist Ug eine Rechtsnebenklasse. Die Mengen derRechts- bzw. Linksnebenklassen bezeichnen wir mit U\G bzw. G/U .Fr eventuell unendliche Mengen A und B schreiben wir |A| = |B|, falls es eine

Bijektion A B gibt. Sind A und B endlich, dann bedeutet |A| = |B| natrlich, dassA und B gleich mchtig sind.

12

Lemma 3.20. Fr zwei Linksnebenklassen gU und hU gilt entweder gU = hU , odergU hU = .

Beweis. Sei x gU hU , also x = gu1 = hu2 fr u1, u2 U . Es folgt g = hu3 mitu3 = u2u

11 U , also gU = hu3U = hU .

Da die Inversenabbildung g 7 g1 eine Bijektion von G ist, ist auch die AbbildungUg 7 (Ug)1 = g1U1 = g1U eine Bijektion zwischen U\G und G/U . Insbesonderegilt |G/U | = |U\G|. Man nennt [G : U ] := |G/U | den Index von U in G.

Lemma 3.21. Sei U eine Untergruppe einer Gruppe G. Dann gilt |U | = |gU | = |Ug|fr alle g G.

Beweis. Die Abbildungen U gU , u 7 gu und U Ug, u 7 ug sind bijektiv.

Denition 3.22. Sei G endlich. Aus Lemma 3.20 gewinnt man eine disjunkte ZerlegungG =

i giU fr geeignete gi G, die Linksnebenklassenzerlegung . Die Menge der gi

nennt man eine Linkstransversale oder ein Vertretersystem von G/U . Analog ist eineRechtstransversale deniert.

Bemerkung. Eine Rechtstransversale ist im allgemeinen keine Linkstransversale. Den-noch kann man z.B. fr endliche Gruppen G zeigen, dass es zu jeder Untergruppe U einesimultane Rechts- und Linkstransversale gibt.

Aus der Nebenklassenzerlegung und dem vorigen Lemma folgt der fundamentale Satzvon Lagrange:

Satz 3.23 (Lagrange). Sei U eine Untergruppe der Gruppe der endlichen Gruppe G.Dann gilt |G| = [G : U ]|U |. Insbesondere ist |U | ein Teiler von |G|.

Bemerkung. Die Umkehrung des Satzes von Lagrange gilt im allgemeinen nicht, esmuss nicht fr jeden Teiler r von |G| eine Untergruppe der Ordnung r existieren. Isthingegen r eine Primpotenz, so werden wir spter sehen, dass es stets Untergruppen derOrdnung r gibt.

Der Satz von Lagrange hat einige bemerkenswerte Folgen:

Korollar 3.24. Sei G eine endliche Gruppe. Fr alle g G ist ord(g) ein Teiler von|G|.

Beweis. Klar, da eine Untergruppe der Ordnung ord(g) ist.

Korollar 3.25 (Kleiner Satz von Fermat). a Z sei nicht durch die Primzahl p teilbar.Dann ist ap1 1 durch p teilbar.

Beweis. Die Gruppe der invertierbaren Elemente im Restklassenring (Z/pZ, ) hat Ord-nung p 1.

Korollar 3.26. Gruppen von Primzahlordnung sind zyklisch.

Beweis. Sei e 6= g G. Dann ist ord(g) > 1 ein Teiler der Primzahl |G|, also ord(g) = |G|und daher G = .

13

3.4 Normalteiler und Faktorgruppen

Sind A und B Teilmengen einer Gruppe G, dann schreiben wir AB := {ab | a A, b B}. Fr a A sei aB := {ab | b B}, usw.Auf den Begri des Normalteilers stt man unter anderem, wenn man versucht, auf

der Menge G/U der Linksnebenklassen auf sinnvolle Weise ein Produkt einzufhren.Es sollte (gU) (hU) = ghU fr alle g, h G gelten. Sei u U , g G und h = e. WegenU = eU = uU gilt dann

gU = egU = (eU) (gU) = (uU) (gU) = ugU,

also ug = gu fr ein u U . Es folgt ug gU . Da dies fr alle u gilt, erhlt manUg Ug fr alle g G. Hieraus folgt schnell gU = Ug fr alle g. Diese spezielleEigenschaft von Untergruppen kennzeichnet Normalteiler.

Denition 3.27. Eine Untergruppe N G heit Normalteiler von G, wenn Ng = gNfr alle g G gilt. Man sagt auch, N ist normal in G, und schreibt N E G.

Zur berprfung der Normalteilereigenschaft ist folgende Aussage oft ntzlich.

Lemma 3.28. Die Untergruppe N von G ist genau dann ein Normalteiler, wenn g1Ng N gilt fr alle g G.

Beweis. Aus g1Ng N folgt Ng gN . Mit g1 statt g gilt Ng1 g1N , alsogN = (Ng1)1 (g1N)1 = Ng, und die eine Richtung der Behauptung folgt. Dieandere Richtung ist sowieso klar.

Beispiele

Untergruppen abelscher Gruppen sind normal.

Sei U G mit [G : U ] = 2. Fr g G gilt entweder g U , und daher Ug =U = gU , oder g / U , und dann ist Ug = gU , da G die disjunkte Vereinigung vonU und Ug bzw. von U und gU ist. Daher sind Untergruppen vom Index 2 stetsNormalteiler.

Es gilt SLn(K) E GLn(K). Dazu seien A SLn(K) und B GLn(K) beliebig.Wegen det(B1AB) = det(B1) det(AB) = det(AB) det(B1) = det(ABB1) =det(A) = 1 gilt B1AB SLn(K), und die Behauptung folgt aus Lemma 3.28.

Die Untergruppe U der oberen Dreiecksmatrizen in GLn(K) ist fr n 2 nichtnormal in GLn(K). Dazu sei D die Antidiagonalmatrix mit Eintrgen 1. Dannbesteht D1UD aus den unteren Dreiecksmatrizen.

Der folgende Satz bildet aus einer Gruppe G und einem NormalteilerN eine im Allgemei-nen kleinere Gruppe G/N . Dieses Prinzip ist wichtig, um ber eine eventuell komplizierteGruppe G Informationen aus den kleineren Gruppen N und G/N gewinnen zu knnen.Da N ein Normalteiler ist, brauchen wir zwischen Rechts- und Linksnebenklassen nichtzu unterscheiden. Es ist blich, sie als Rechtsnebenklassen zu schreiben, und diese Mengedennoch mit G/N zu bezeichnen.

14

Satz 3.29. Sei N E G. Dann gilt (Ng)(Nh) = Ngh fr alle g, h G. Mit diesemProdukt wird G/N zu einer Gruppe, der Faktorgruppe von G modulo N .

Beweis. Durch Verwendung vonNx = xN und der Assoziativitt folgtNgNh = NNgh =Ngh.Assoziativitt des Produkt auf G/N ist klar, das neutrale Element ist N , und das

inverse Element von Ng ist Ng1.

Ein wichtiges Beispiel einer Faktorgruppe ist die additive Gruppe des RestklassenringsZ/nZ. Hier ist G = Z und N = nZ fr ein n N. Wie wir bereits sahen, ist dann Z/nZeine zyklische Gruppe der Ordnung n.

Denition 3.30. Eine Gruppe G > {e} heit einfach, wenn sie auer G und {e} keineNormalteiler hat.

Einfache Gruppen spielen eine hnliche Rolle wie die Primzahlen fr die natrlichenZahlen. Nach dem Satz von Lagrange ist z.B. eine Gruppe von Primzahlordnung einfach.Weniger triviale Beispiele werden uns in den folgenden Abschnitten begegnen.

3.5 Symmetrische und alternierende Gruppen

Eine bijektive Abbildung einer Menge in sich wird auch Permutation genannt. DieMenge der Permutationen von bildet, wie wir schon gesehen haben, eine Gruppe,indem man das Produkt durch ()(i) = ((i)) fr alle i deniert4. DieseGruppe heit symmetrische Gruppe der Menge und wird mit Sym() bezeichnet. Istspeziell = {1, 2, . . . , n}, dann wird diese symmetrische Gruppe auch mit Sn bezeichnet.Die Bestimmung der Ordnung von Sn ist einfach:

Satz 3.31. Die symmetrische Gruppe Sn der Permutationen von {1, 2, . . . , n} bestehtaus n! Elementen.

Beweis. Wir zhlen ab, auf wie viele Weisen wir eine Permutation Sn bilden knnen.Fr (1) gibt es n Mglichkeiten. Nachdem wir (1) gewhlt haben, haben wir fr (2)nur noch n 1 Mglichkeiten, da (2) 6= (1) gelten muss. Danach gibt es fr (3)nur noch n 2 Mglichkeiten. So fortfahrend sehen wir, dass es fr insgesamt genaun(n 1)(n 2) 3 2 1 = n! Mglichkeiten gibt.

Es gibt mehrere Mglichkeiten, Permutationen zu beschreiben. Die oensichtlichsteMethode ist durch eine Wertetabelle, also

=

(1 2 n

(1) (2) (n)

)Wir betrachten ein Beispiel in S3. Sei

=

(1 2 32 1 3

)und =

(1 2 31 3 2

).

4Aber siehe dazu Bemerkung 3.49.

15

Dann gilt(1) = ((1)) = (1) = 2(2) = ((2)) = (3) = 3(3) = ((3)) = (2) = 1

und daher

=

(1 2 32 3 1

).

Genauso berechnet man

=

(1 2 33 1 2

).

Insbesondere gilt 6= , die Gruppe S3 ist also nicht abelsch.Wir kommen nun zu einer praktischeren Darstellung von Permutationen, der soge-

nannten Zykeldarstellung.

Denition 3.32. Sei Sn eine Permutation von {1, 2, . . . , n} mit folgenden Eigen-schaften: Es gibt paarweise verschiedene Elemente k1, k2, . . . , km {1, 2, . . . , n} mit

(a) (ki) = ki+1 fr alle 1 i m 1 und (km) = k1,

(b) (i) = i fr alle i 6 {k1, k2, . . . , km}.

Eine solche Permutation heit m-Zykel , oder auch nur Zykel , wenn es auf m nicht an-kommt.

Wir nennen zwei Permutationen , Sn disjunkt , wenn die von bewegten Elementeverschieden sind von den von bewegten Elementen. In obigem Beispiel etwa sind diebeiden Zykel und nicht disjunkt, da beide Permutationen 2 bewegen.

Lemma 3.33. Fr disjunkte Permutationen , Sn gilt = .

Beweis. bung!

Satz 3.34. Jede Permutation Sn ist ein Produkt disjunkter Zykel.

Beweis. Wir beweisen die Aussage durch vollstndige Induktion ber die Anzahl derbewegten Elemente. Sei e 6= Sn und X die Menge der von bewegten Elemente. Wirwhlen k1 X beliebig. Da Sn endlich ist, hat eine endliche Ordnung. Insbesonderegibt es eine kleinste Zahl m N mit m(k1) = k1. Fr i = 1, 2, . . . ,m 1 deniereinduktiv ki+1 = (ki). Dann gilt (km) = 2(km1) = = m(k1) = k1. Die Elementeki sind paarweise verschieden: Sei etwa ki = kj mit 1 i < j m. Dann gilt i1(k1) =ki = kj =

j1(k1), also ji(k1) = k1, im Widerspruch zur Wahl von m.Setze Y = {k1, k2, . . . , km} X, und deniere den m-Zykel Sn dadurch, dass

auf Y mit bereinstimmt, und alle anderen Elemente xiert. Dann xiert 1

alle Elemente auer denen in X \ Y . Nach Induktionsannahme ist 1 ein Produktdisjunkter Zykel, die nur Elemente aus X \Y bewegen. Ferner ist die Permutation 1disjunkt zum Zykel . Die Behauptung folgt nun aus = (1) .

16

Bemerkung. Man kann sich berlegen, das die Darstellung einer Permutation als Pro-dukt disjunkter Zykel bis auf die Reihenfolge der Faktoren (die nach obigem Lemmakommutieren) eindeutig ist. Im folgenden bentigen wir diese Aussage, die eigentlichauch ohne Beweis plausibel sein sollte, nicht.

Sei Sn ein m-Zykel, und k1, k2, . . . , km wie in der Denition 3.32. Dann ist dieZykelnotation diesesm-Zykels = (k1 k2 km). Diese Notation ist allerdings nicht ein-deutig, da man mit einem beliebigen ki starten kann, also = (ki ki+1 km k1 ki1).Die Zykelnotation einer beliebigen Permutation Sn ist dann die Darstellung von

als Produkt disjunkter Zykel, wobei jeder Zykel in Zykelnotation geschrieben wird.Zykel der Lnge 1 werden dabei meist weggelassen.

Beispiel 3.35. Die Zykelnotation von

=

(1 2 3 4 5 6 7 84 6 3 5 1 8 2 7

)ist

= (1 4 5)(2 6 8 7).

Eine besondere Klasse von Permutationen sind die 2-Zykel, die also nur zwei Elementemiteinander vertauschen. Man nennt die 2-Zykel daher auch Transpositionen.

Satz 3.36. Jede Permutation aus Sn ist ein Produkt von Transpositionen.

Beweis. Da nach dem vorigen Satz jede Permutation ein Produkt von Zykeln ist, gengtes die Aussage fr Zykel zu beweisen. Sei also = (k1 k2 km) ein m-Zykel. Dann ist

= (k1 k2 km) = (k1 k2)(k2 k3)(k3 k4) (km2 km1)(km1 km)

ein Produkt der Transpositionen (ki ki+1), 1 i m 1.

In der Darstellung einer Permutation als Produkt von Transpositionen sind die Trans-positionen im allgemeinen natrlich nicht disjunkt, und auch die Anzahl der Faktorenist nicht eindeutig. Allerdings werden wir jetzt sehen, dass die Anzahl der Faktoren beider Zerlegung einer Permutation in Transpositionen entweder immer gerade oder immerungerade ist. Als Vorbereitung beweisen wir zwei Hilfsstze

Lemma 3.37. Sei i {1, 2, . . . , n} und , Sn Transpositionen mit (i) 6= i und(i) = i. Dann gibt es Transpositionen , Sn mit = , (i) = i und (i) 6= i.

Beweis. Sind und disjunkte Permutationen, dann gilt = . Wir knnen indiesem Fall = und = whlen.Seien nun und nicht disjunkt, also = (i j) und = (k j). Mit = (k j) und

= (i k) gilt dann

= (i j)(k j) = (i j k) = (k j)(i k) = .

17

Lemma 3.38. Ein Produkt einer ungeraden Anzahl von Transpositionen aus Sn ist niedie identische Permutation.

Beweis. Wir nehmen an, dass die Behauptung falsch ist, dass es also Transpositionen1, 2, . . . , r Sn gibt mit 12 r = e und r ungerade. Wir betrachten die Gegenbei-spiele mit r minimal.Whle i mit r(i) 6= i. Unter allen Gegenbeispielen mit r(i) 6= i whlen wir eines, fr

das die Anzahl der k mit k(i) 6= i minimal ist. Multipliziert man in

12 . . . r(i) = i

nacheinander von links mit 1, 2, . . . , r1, so folgt

i 6= r(i) = r1 21(i).

Daher gibt es ein m r 1 mit m(i) 6= i. Wegen des vorigen Lemmas knnen wir dieElemente m, m+1, . . . , r1 so modizieren, dass r1(i) 6= i, und die Anzahl der m mitm(i) 6= i unverndert bleibt.Es ist also r = (i j) und r1 = (i k). Falls j = k, dann ist r1r = e, und wir

erhalten ein Gegenbeispiel mit der ungeraden Anzahl r 2 von Faktoren. Das ist einWiderspruch zur minimalen Wahl von r.Daher ist j 6= k. Aber dann gilt

r1r = (i k)(i j) = (j k)(i k).

Indem wir also r1 und r durch (j k) und (i k) ersetzen, erhalten wir ein Gegenbeispiel,in dem die Anzahl der Faktoren k mit k(i) 6= i kleiner geworden ist, aber immer nochr(i) 6= i gilt. Dieser Widerspruch zur getroenen Minimalittsvoraussetzung beweistdie Aussage.

Satz 3.39. Sei Sn eine Permutation, und = 12 . . . r = 1 2 . . . s mit Transpo-sitionen i,

i aus Sn. Dann ist r s gerade.

Beweis. Multipliziert man in 12 . . . r = 12 . . .

s nacheinander von links mit 1, 2, . . . , r,

dann folgt e = rr1 . . . 1 12 . . .

s. Nach dem vorigen Lemma ist r + s gerade (und

damit auch r s).

Aufgrund des Satzes ist die folgende Denition sinnvoll.

Denition 3.40. Sei Sn, und = 12 . . . r mit Transpositionen i Sn. Dannheit gerade bzw. ungerade, wenn r gerade bzw. ungerade ist. Das Signum sgn() von ist deniert durch sgn() = (1)r.

Satz 3.41. Fr alle , Sn gilt sgn() = sgn() sgn() und sgn(1) = sgn().Ferner gilt sgn() = (1)m1 fr jeden m-Zykel.

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Beweis. Sind und Produkte von r und s Transpositionen, dann ist ein Produktvon r + s Transpositionen. Der erste Teil der Behauptung folgt dann aus der Denitiondes Signums.Da e ein Produkt von 0 Transpositionen ist, gilt sgn(e) = 1, und dann 1 = sgn(1) =

sgn(1) sgn().Der dritte Teil folgt aus dem Beweis des Satzes 3.36, denn dort sahen wir, dass jeder

m-Zykel ein Produkt von m 1 Transpositionen ist.

Satz 3.42. Die Menge der geraden Permutationen in Sn bildet einen Normalteiler vonSn, die alternierende Gruppe An. Fr n 2 und Sn eine Transposition ist Sn =An(An). Insbesondere gilt |An| = n!/2.

Beweis. Das folgt unmittelbar aus dem vorigen Satz.

Ein wichtiger Begri der Gruppentheorie ist die Konjugiertheit , den wir hier am Bei-spiel der symmetrischen Gruppe nher kennenlernen wollen. Die Konjugiertheit ist eineVerallgemeinerung des Begris der hnlichkeit fr die Gruppe der invertierbaren Ma-trizen GLn(K).

Denition 3.43. Sei G eine Gruppe. Die Elemente a, b G heien konjugiert , wenn esein g G gibt mit b = gag1. Analog nennt man auch zwei Untergruppen A und B vonG konjugiert , wenn B = gAg1 = {gag1 | a A} fr ein g G.Man rechnet sofort nach, dass die Konjugiertheit eine quivalenzrelation ist.

Die Konjugiertheit schreibt sich in Zykelnotation sehr bersichtlich:

Satz 3.44. Sei = (a1 a2 . . . )(b1 b2 . . . ) . . . Sn in Zykelnotation und Sn. Danngilt

1 = ((a1)(a2) . . . )((b1)(b2) . . . ) . . .

Beweis. Wir mssen sehen, wohin z.B. das Element (ai) von 1 abgebildet wird.Wir rechnen

1((ai)) = ((ai)) = (ai+1)

und die Behauptung folgt.

Die Zykellngen von Sn sind die Lngen der in der Zykelschreibweise von auftretenden Zykel. Obiger Satz zeigt, dass sich die Zykellngen unter Konjugation nichtndern. Es gilt auch die Umkehrung:

Satz 3.45. Seien , Sn Permutationen mit den gleichen Zykellngen. Dann sind und in Sn konjugiert.

Beweis. Seien m1,m2, . . . die Zykellngen. Schreibe

= (a1,1 a1,2 . . . a1,m1)(a2,1 a2,2 . . . a2,m2) . . .

= (b1,1 b1,2 . . . b1,m1)(b2,1 b2,2 . . . b2,m2) . . . ,

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wobei wir auch die Zykel der Lngen 1 mit aufschreiben. Jedes Element aus {1, 2, . . . , n}kommt daher genau einmal sowohl unter den ai,j, als auch unter den bi,j, vor. Sei Sndeniert durch bi,j = (ai,j). Der vorherige Satz liefert die Behauptung:

= (b1,1 b1,2 . . . b1,m1)(b2,1 b2,2 . . . b2,m2) . . .

= ((a1,1)(a1,2) . . . (a1,m1))((a2,1)(a2,2) . . . (a2,m2)) . . .

= 1.

Unser nchstes Ziel ist es zu zeigen, dass die alternierenden Gruppen An fr n 5einfach sind. Hierfr bentigen wir noch einige Vorbereitungen:

Satz 3.46. Jede gerade Permutation in Sn ist ein Produkt von 3-Zykeln. Insbesonderewird An von den 3-Zykeln aus Sn erzeugt.

Beweis. Da jede gerade Permutation das Produkt einer geraden Anzahl von Transpo-sitionen ist, gengt es zu zeigen, dass das Produkt von zwei Transpositionen = (a b)und = (c d) ein Produkt von 3-Zykeln ist. Wir unterscheiden zwei Flle: (i) und bewegen einen gemeinsamen Punkt. Sei also etwa a = c (und b 6= d, da es sonst nichts zubeweisen gibt). Dann gilt = (a b)(a d) = (a d b). (ii) und bewegen keinen gemein-samen Punkt. In diesem Fall gilt = (a b)(c d) = (b a)(b c)(c b)(c d) = (b c a)(c d b).

Lemma 3.47. Sei n 5. Dann sind alle 3-Zykel in An konjugiert.

Beweis. Seien und zwei 3-Zykel. Nach Satz 3.45 gibt es Sn mit = 1.Liegt in An, dann sind wir fertig. Das sei also nicht der Fall. Wegen n 5 gibt eseine Transposition , die zwei Fixpunkte von vertauscht. Da und disjunkte Trgerhaben gilt = , also

()()1 = 11 = 1 = ,

und die Behauptung folgt wegen An.

Satz 3.48 (C. Jordan 1875). Fr n 5 ist die Gruppe An einfach.

Beweis. Sei N 6= {e} ein Normalteiler von An. Unser Ziel ist es zu zeigen, dass N einen3-Zykel enthlt. Fr alle An folgt dann nmlich 1 N1 = N , und wegendes obigen Lemmas enthlt N dann alle 3-Zykel aus An. Diese aber erzeugen nach Satz3.46 die Gruppe An, und somit gilt N = An.Es bleibt die Existenz eines 3-Zykels N zu zeigen. Dazu sei e 6= N beliebig.

Fr An gilt dann := 1

N

1 N,

eine Beziehung, die wir im folgenden mehrfach verwenden werden. Unser Ziel ist es, so zu whlen, dass ein 3-Zykel ist. Das gelingt nicht immer in einem Schritt.

20

Ist ein 3-Zykel, dann sind wir sowieso fertig.Da gerade ist, kann keine Transposition sein. Somit bewegt mindestens 4 Punkte.Wir unterscheiden drei Flle:(i) hat eine Zykellnge 4. Dann knnen wir := (a b c d . . . ) . . . schreiben. Wir

setzen := (a b c). Dann gilt

N 3 = 11 = (a c b)1 = (a b c)(b d c) = (a b d).

N ist also der gewnschte 3-Zykel.(ii) enthlt einen 3-Zykel (a b c). Da kein 3-Zykel ist, wird mindestens ein weiteres

Element d bewegt, also = (a b c)(d e . . . ) . . . . Wir setzen = (a b d). Es folgt

N 3 = 11 = (a d b)1 = (a b d)(b e c) = (a b e c d).

Mit N fahren wir fort wie im Fall (i), und konstruieren so wie dort einen 3-Zykel.(iii) hat nur Zykellngen 2. Dann gilt = (a b)(c d) . . . , und wir setzen = (a c e),

wobei e von a, b, c, d verschieden ist. (Hier kommt nochmals die Voraussetzung n 5 insSpiel!) Es gilt

N 3 = 11 = (a e c)1 = (a c e)(b (e) d).

Ist e = (e), dann gilt = (a c e)(b e d) = (a c e d b), und wir fahren fort wie im Fall(i). Ist hingegen e 6= (e), dann ist = (a c e)(b (e) d) das Produkt zweier disjunkter3-Zykel, und wir fahren fort wie im Fall (ii).Wie wir sehen, gelangen wir stets nach endlich vielen Schritten zu einem 3-Zykel aus

N . Die Behauptung folgt.

Bemerkung 3.49. In der Vorlesung haben wir eine sogenannte Linksoperation dersymmetrischen Gruppe verwendet, d.h. fr g, h Sn ist gh durch (gh)(i) := g(h(i))deniert. Diese Notation hat gewisse Nachteile. Mchte man etwa ein lngeres Produktvon Permutationen ausrechnen, dann muss man die Faktoren, entgegen der blichenLeserichtung, von rechts nach links lesen.Eine wesentlich praktischere Notation ist einer Rechtsoperation, in der das Bild von

i unter g mit ig (oder i.g) bezeichnet wird, und gh durch igh = (ig)h deniert ist. Indem Produkt gh wird also zuerst g angewendet, und danach h. Diese Notation ist inder professionellen Gruppentheorie blich, und auch die beiden fhrenden Computeral-gebrasysteme mit Schwerpunkt Gruppentheorie, Gap [4] (open source) und Magma [1](lizenzpichtig) verwenden diese Rechtsoperation und die entsprechende Notation.Sei etwa g = (1 2), h = (2 3) S3. Wir sahen, dass gh = (1 2 3). Aber

gap> # GAP-Code

gap> G:=SymmetricGroup(3);

Sym( [ 1 .. 3 ] )

gap> g:=(1,2);

(1,2)

gap> h:=(2,3);

21

(2,3)

gap> [1^g, 2^g, 3^g];

[ 2, 1, 3 ]

gap> g*h;

(1,3,2)

und

> // Magma-Code

> G:=SymmetricGroup(3);

> g:=G!(1,2);

> h:=G!(2,3);

> [1^g, 2^g, 3^g];

[ 2, 1, 3 ]

> g*h;

(1, 3, 2)

Das muss man bedenken, wenn man diese Systeme verwendet!In dem in vielfacher Hinsicht ausgezeichneten Computeralgebrasystem Sage [11] (open

source) wurde die Gruppentheorie bisher leider nur wenig implementiert, und vor allemfr Gruppenoperationen wurde ein schwerer Konzeptionsfehler begangen: Da wird wie inGap und Magma eine Rechtsoperation verwendet, aber die Notation der Linksoperationverwendet. Siehe

sage: # Sage-Code

sage: G = SymmetricGroup(3)

sage: g = G("(1,2)")

sage: h = G("(2,3)")

sage: [g, h, g*h]

[(1,2), (2,3), (1,3,2)]

sage: (g*h)(1) == g(h(1))

False

3.6 Homomorphismen

Strukturerhaltende Abbildungen spielen in der gesamten Mathematik eine wichtige Rol-le. In der Algebra heien sie meist Homomorphismen.

Denition 3.50. Eine Abbildung : G H von der Gruppe G in die Gruppe H heitein Homomorphismus , wenn (xy) = (x)(y) gilt fr alle x, y G.

Einfache Folgerungen. Die folgenden Aussagen fr einen Homomorphismus : GH erhlt man direkt aus den Denitionen.

Ein Homomorphismus bildet das neutrale Element auf das neutrale Element ab,das folgt aus der Krzungsregel und (e) = (ee) = (e)(e).

22

Es gilt (x1) = ((x))1.

Die Komposition von Homomorphismen ist ein Homomorphismus.

Das Bild (U) = {(u) | u U} einer Untergruppe U G ist eine Untergruppevon H.

Das Urbild 1(V ) = {g G | (g) V } einer Untergruppe V H ist eineUntergruppe von G. Ist dabei V normal in H, dann ist 1(V ) normal in G. (Sindauch Bilder von Normalteilern normal?)

Sind x, y in G konjugiert, so sind (x),(y) in H konjugiert.

ist bereits durch seine Werte auf einem Erzeugendensystem von G festgelegt.

Homomorphismen : G H mit speziellen Eigenschaften haben noch weitere Bezeich-nungen:

Monomorphismus: ist injektivEpimorphismus: ist surjektivIsomorphismus: ist bijektivEndomorphismus: G = HAutomorphismus: G = H und ist bijektivDie Umkehrabbildung eines Isomorphismus bezeichnet man mit 1. Aus

xy = (1(x))(1(y)) = (1(x)1(y))

folgt, nach Anwenden von 1, dass auch 1 ein Homomorphismus und damit einIsomorphismus ist. Insbesondere ist die Menge der Automorphismen einer Gruppe Gselber eine Gruppe, man bezeichnet sie mit Aut(G). Besteht zwischen den Gruppen Gund H ein Isomophismus, dann nennt man G und H isomorph, und schreibt G = H.

Beispiele von Homomorphismen : G H

G = (C,+), H = (C \ {0}, ), (x) := ex.

G = GLn(K), H = (K \ {0}, ), (x) := det(x).

G = Sn, H = ({1, 1}, ), (x) := sign(x).

G = H abelsch, n Z, (x) := xn.

N E G, H = G/N , (x) := Nx.

Denition 3.51. Der Kern eines Homomorphismus : G H ist die Menge der g Gmit (g) = e, man schreibt auch Kern() fr diese Menge. Als Urbild des Normalteilers{e} vonH ist Kern() ein Normalteiler vonG. Mit Bild() bezeichnen wir das Bild (G)von G unter . Im letzten Beispiel : G G/N , x 7 Nx von oben ist N = Kern().Insbesondere ist jeder Normalteiler von G der Kern eines geeigneten Homomorphismus.

23

Bemerkung. Man rechnet sofort nach, dass ein Homomorphismus genau dann injek-tiv ist, wenn Kern() = {e} gilt.

Analog zu einem Satz der linearen Algebra erhalten wir den folgenden wichtigen

Satz 3.52 (Homomorphiesatz). Sei : G H ein Homomorphismus. Dann ist dieAbbildung : G/Kern() H, Kern()x 7 (x) wohldeniert, und liefert einenIsomorphismus G/Kern() = Bild().

Beweis. DieWohldeniertheit folgt direkt aus der Denition, denn Kern()x = Kern()yimpliziert y = nx mit (n) = e, also (y) = (nx) = (n)(x) = (x).Setze N := Kern(). Wegen NxNy = Nxy gilt (NxNy) = (Nxy) = (xy) =

(x)(y) = (Nx)(Ny). Somit ist ein Homomorphismus. Ferner ist injektiv,denn aus eH = (Nx) = (x) folgt x N . Ferner gilt Bild() = Bild(), d.h. :G/Kern() Bild() ist auch surjektiv.

Es war wohl schon frher klar, dass es im Prinzip nur die zyklischen Z und Z/nZgibt. Mit den jetzigen Begrien knnen wir das przise formulieren und beweisen:

Korollar 3.53. Bis auf Isomorphie gibt es nur die folgenden zyklischen Gruppen: (Z,+)und (Z/nZ,+) fr ein n N.

Beweis. Sei g ein Erzeuger einer zyklischen Gruppe G. Die Abbildung Z G, m 7 gmist ein Epimorphismus. Sei N der Kern. Dann gilt nach obigem Satz G = Z/N . IstN = {0}, dann gilt natrlich Z/N = Z. Sei nun N 6= {0}, und n die kleinste natrlicheZahl in N . Dann gilt N = nZ, und die Behauptung folgt.

Eine weitere wichtige Erkenntnis ist der Satz, dass jede Gruppe isomorph ist zu einerUntergruppe einer symmetrischen Gruppe.

Satz 3.54 (Cayley). Jede Gruppe G ist isomorph zu einer Untergruppe der symmetri-schen Gruppe Sym(G).

Beweis. Fr g G sei (g) die Permutation der Elemente von G, welche x G aufgx abbildet, d.h. (g)(x) = gx. Aus (gh)(x) = ghx = g(hx) = (g)((h)(x)) =((g)(h))(x), folgt, dass : G Sym(G) ein Homomorphismus ist. Der Kern von besteht oenbar nur aus dem neutralen Element, somit ist G isomorph zu (G).

Aus dem Homomorphiesatz folgen einige Isomorphiestze. Vorher bentigen wir nochein Lemma

Lemma 3.55. Seien A und B Untergruppen einer Gruppe G. Dann ist AB genau danneine Untergruppe von G, wenn AB = BA.

Beweis. Ist AB eine Untergruppe, dann folgt aus (ab)1 = b1a1 schnell AB = BA.Sei nun AB = BA. Dann ist AB unter Inversenbildung abgeschlossen: Sei ab AB mita A, b B. Dann gilt (ab)1 = b1a1 BA = AB. Ferner ist AB multiplikativabgeschlossen, denn (AB)(AB) = A(BA)A = A(AB)B = (AA)(BB) = AB. Damit istAB eine Untergruppe.

24

Wenn N ein Normalteiler und U eine Untergruppe einer Gruppe G sind, dann ist nachdem Lemma UN eine Untergruppe von G. Ferner ist U N ein Normalteiler von U .

Satz 3.56. (a) Sei G eine Gruppe mit Untergruppe U und Normalteiler N . Dann giltU/U N = UN/N .

(b) Sei G eine Gruppe mit Normalteilern N M . Dann gilt (G/N)/(M/N) = G/M .

Beweis. (a) Der Homomophismus U UN/N , u 7 Nu, ist surjektiv und hat den KernU N , die Behauptung folgt aus dem Homomorphiesatz.(b) Die Abbildung G/N G/M , Ng 7 Mg ist ein wohldenierter Epimorphismus

mit Kern M/N , die Behauptung folgt wiederum aus dem Homomorphiesatz.

3.7 Gruppenoperationen

In diesem Abschnitt verallgemeinern wir das Konzept der symmetrischen Gruppen unddenieren und studieren allgemein die Operationen von Gruppen auf Mengen.Einige grundlegende Aussagen werden spter als Hilfsmittel zum Beweis interner Aus-

sagen ber endliche Gruppen dienen, die nichts mit Gruppenoperationen zu tun haben.Die folgende Denition sieht auf der ersten Blick vielleicht etwas seltsam aus. Mit den

nachfolgenden Aussagen, Bezgen zur symmetrischen Gruppe und den Beispielen sollteman aber schnell merken, dass es sich um einen sehr natrlichen Begri handelt.

Denition 3.57. Eine Operation einer Gruppe G auf einer Menge M ist eine Abbil-dung G M M , in der das Bild von (m, g) mit g.m bezeichnet wird, mit folgendenEigenschaften:

(a) e.m = m fr alle m M .

(b) (gh).m = g.(h.m) fr alle g, h G, m M .

Das folgende Lemma zeigt, dass eine Operation von G auf einer Menge M das gleicheKonzept ist wie ein Homomorphismus G Sym(M):

Lemma 3.58. (a) Die Gruppe G operiere auf der MengeM . Fr jedes Element g Gsei g die Abbildung M M , m 7 g.m. Dann ist g eine Permutation von M ,also g Sym(M). Ferner ist : G Sym(M), g 7 g ein Homomorphismus.

(b) Sei G eine Gruppe, M eine Menge, und : G Sym(M), g 7 g ein Homomor-phismus. Dann erhlt man via g.m := g(m) eine Operation von G auf M .

Beweis. (a) g ist injektiv fr alle g G: Sei g(m) = g(n), also g.m = g.n fr gewissem,n M . Mit den Eigenschaften der Gruppenoperation folgt

m = e.m = (g1g).m = g1.(g.m) = g1.(g.n) = (g1g).n = e.n = n.

g is surjektiv: Jedes Element m M liegt wegen

m = e.m = g.(g1.m) = g(g1.m)

25

im Bild von g.Es gilt also g Sym(M) fr alle g G. Wegen

gh(m) = (gh).m = g.(h.m) = g(h(m))

fr allem M gilt gh = gh, d. h. : G Sym(M) ist ein Gruppenhomomorphismus.(b) Die Aussage folgt direkt aus den Denitionen.

Die Operation von G auf M heit treu, wenn es fr alle 1 6= g G ein m M gibtmit g.m 6= m. Das ist gleichbedeutend damit, dass der zugehrige Homomorphismus : G Sym(M) injektiv ist.Operiert die Gruppe G auf der Menge M , so erhlt man auf natrliche Weise eine

quivalenzrelation auf M : Zwei Elemente m1,m2 M sind quivalent genau dann,wenn es ein Element g G gibt mit m2 = g.m1. (Man veriziere die drei EigenschaftenReexivitt, Symmetrie und Transitivitt.) Die quivalenzklassen nennt man Bahnen.Die Bahn durch m besteht oenbar aus den Elementen g.m, g G, und wird daher mitG.m bezeichnet.Eine Operation von G auf M heit transitiv , wenn M nur aus einer Bahn besteht.

Bemerkung 3.59. Wie schon bei den symmetrischen Gruppen, siehe Bemerkung 3.49,wird in der professionellen Gruppentheorie und bei den Computeralgebra-SystemenGAP, Magma und Sage statt einer Links- eine Rechtsoperation verwendet, und auer imFalle von Sage auch die passende Notation gewhlt. Eine Rechtsoperation ist dann eineAbbildung M G M , (m, g) 7 mg mit me = m und mgh = (mg)h fr alle g, h G,m M .Aus einer Rechtsoperation erhlt man eine Linksoperation durch g.m := mg

1(Nach-

rechnen!). Das Invertieren von g ist ntig, denn durch g.m := mg wrde man eineAntioperation bekommen.

Beispiele

Sei G die Gruppe der gleichsinnigen Kongruenzabbildungen (Drehungen) einesWrfels. Diese Gruppe hat Ordnung 24, denn eine Seitenche lsst sich auf 6mgliche Flchen abbilden, und danach hat man noch 4 mgliche Drehungen die-ser Flche. Diese Gruppe hat verschiedene transitive Operationen auf Objekten,die zum Wrfel gehren: G operiert transitiv auf den 8 Ecken, transitiv auf den 6Flchen, transitiv auf den 12 Kanten, aber auch transitiv auf den 4 Raumdiago-nalen.

Die lineare Gruppe GLn(K) operiert auf dem Vektorraum Kn der Spaltenvektorendurch Linkssmultiplikation. Eine weitere wichtige Operation der GLn(k) ist auf derMenge der 1-dimensionalen Unterrume von Kn.

Sei U eine Untergruppe der Gruppe G. Dann operiert G auf den Linksnebenklas-sen G/U : Hierbei schickt g die Nebenklasse xU auf die Nebenklasse gxU . DieseOperation ist oensichtlich transitiv. Gleich werden wir sehen, dass jede transitive

26

Operation auf einer Menge M , bis auf Umbenennung der Elemente von M , einesolche Operation auf Nebenklassen ist.

Diese Operation liefert einen Homomorphismus G Sym(G/U). Es ist natrlichinteressant, den Kern N zu bestimmen. Dabei besteht N aus genau den Elementeng G, die jede Nebenklasse xU festlsst, also gxU = xU fr alle x G erfllen.Aber gxU = xU ist quivalent zu x1gx U , und das ist quivalent zu g xUx1.Daher besteht N aus dem Schnitt der Konjugierten xUx1 von U . Gilt [G : U ] =n 1 ist diese Operation nicht transitiv,da {e} eine Bahn ist.

Operiert G auf M , so nennt man Gm := {g G | g.m = m} den Stabilisator vonm M . Andere gebruchliche Bezeichnungen sind Punktstabilisator , Standgruppe oderIsotropiegruppe. Man rechnet sofort nach, dass Gm eine Untergruppe von G ist.

Satz 3.60. Die Gruppe G operiere transitiv auf der Menge M . Sei Gm der Stabilisatoreines Elements m M . Dann gilt |M | = [G : Gm].

Beweis. Setze U = Gm. Wir denieren eine Abbildung : G/U M durch xU 7 x.m.Zunchst mssen wir sehen, dass wohldeniert ist. Dazu sei etwa xU = yU . Dann

gilt y = xu mit u U , und wegen u.m = m folgt x.m = x.(u.m) = (xu).m = y.m. ist oenbar surjektiv. Ferner ist injektiv, denn aus x.m = y.m folgt (y1x).m = m,

also y1x U und dann xU = yU .

Bemerkung 3.61. Man sieht, dass die angegebene Bijektion sich mit den Operationenvon G auf G/U und M vertrgt, d.h. (gxU) = (gx).m = g.(x.m) = g.(xU). Dasbedeutet, dass bis auf Benennung der Elemente jede transitive Operation einer GruppeG die Operation durch Linksmultiplikation auf den Nebenklassen einer Untergruppe vonG ist.

Eine wichtige Konsequenz des Satzes erhlt man durch Anwendung auf eine Bahn:

Korollar 3.62. Die Gruppe G operiere auf M . Fr die Lnge der Bahn durch m Mgilt |G.m| = [G : Gm].

Folgende einfache Aussage wird hug ohne Kommentar verwendet:

Lemma 3.63. G operiere auf M . Die Elemente u, v M seien in einer gemeinsamenBahn. Dann sind die Stabilisatoren Gu und Gv in G konjugiert. Genauer: Ist v = g.u,dann gilt Gv = gGug

1.

Beweis. Sei v = g.u. Dann ist h Gv h.v = v hg.u = g.u g1hg.u = u g1hg Gu h gGug1.

27

Satz 3.64 (Bahnengleichung). Die Gruppe G operiere auf der endlichen Menge M .Seien m1,m2, . . . ,mr Reprsentanten der Bahnen. Dann gilt

|M | =ri=1

[G : Gmi ].

Beweis. M ist die disjunkte Vereinigung der Bahnen durch die mi, die Behauptung folgtdann aus Korollar 3.62.

An einigen Beispielen wollen wir die Anwendbarkeit der neuen Resultate und Konzepteverdeutlichen. Vorher bentigen wir noch einige Begrie.

Denition 3.65. Die Gruppe G operiere durch Konjugation auf sich selbst. Den Sta-bilisator eines Elements x unter dieser Operation nennt man den Zentralisator von x inG, und schreibt dafr CG(x). Die Untergruppe CG(x) besteht also aus allen g G mitgx = xg.Die Konjugationsklasse von x in G ist die Menge aller zu x konjugierter Elemente aus

G. Das ist aber gerade die Bahn {gxg1 | g G} von G durch x unter Konjugation.Das Zentrum Z(G) von G ist die Menge aller Elemente g G, die mit allen Elementen

aus G kommutieren. Oenbar ist Z(G) ein Normalteiler von G.

Satz 3.66 (Klassengleichung). Sind x1, x2, . . . , xr Reprsentanten der Konjugationsklas-sen der endlichen Gruppe G, dann gilt

|G| =ri=1

[G : CG(xi)].

Beweis. Dies ist obiger Satz, angewandt auf die Operation von G auf sich durch Konju-gation.

Korollar 3.67. Sei p eine Primzahl, n N, und G eine Gruppe der Ordnung pn. Danngilt |Z(G)| > 1.Beweis. Seien e = x1, x2, . . . , xr die Reprsentanten der Konjugationsklassen von G.Dann gilt pn =

ri=1[G : CG(xi)]. Nach dem Satz von Lagrange sind die Indizes [G :

CG(xi)] Potenzen von p. Die linke Seite der Klassengleichung ist durch p teilbar, aber[G : CG(x1)] = 1 ist es nicht. Daher muss es einen Index i > 1 geben, so dass auch[G : CG(xi)] nicht durch p teilbar ist. Als Potenz von p muss dann [G : CG(xi)] = 1gelten, also G = CG(xi) und somit e 6= xi Z(G).

Die folgende Formel wird manchmal die Burnsidesche Bahnenformel genannt, obwohlsie schon frher bei Cauchy und Frobenius auftaucht.

Satz 3.68 (CauchyFrobenius Bahnenformel). Die endliche Gruppe G operiere auf derendlichen Menge M . Fr g G sei (g) die Anzahl der Fixpunkte, also die Anzahl derm M mit g.m = m. Dann ist

1

|G|gG

(g)

die Anzahl der Bahnen von G auf M .

28

Beweis. Es gengt die Aussage fr transitive Operationen zu beweisen, da die Anzahlder Fixpunkte von g die Summe der Anzahlen der Fixpunkte auf den einzelnen Bahnenist. Sei S die Menge der Paare (g,m) GM mit g.m = m. Wir zhlen S einmal berdie Elemente g, und einmal ber die Elemente m ab. Die erste Abzhlung liefert |S| =

gG (g), und die zweite Abzhlung ergibt |S| =

mM |Gm|. Wegen der Transitivittgilt |M | = [G : Gm] fr alle m M , also |Gm| = |G|/|M |, und die Behauptung folgt.

Wir notieren zwei Folgerungen.

Korollar 3.69. Die Gruppe G operiere transitiv auf der endlichen Menge M . Es gelte|M | > 1. Dann enthlt G ein xpunktfreies Element.Beweis. Wir drfen G ersetzen mit seinem homomorphen Bild in Sym(M), insbesondereist dann G endlich. Nach obigem Satz haben die Elemente von G durchschnittlich einenFixpunkt. Aber e hat |M | > 1 Fixpunkte, daher muss es zum Ausgleich ein Element mitweniger als einem Fixpunkt geben.

Korollar 3.70. Die echte Untergruppe U von G habe endlichen Index. Dann ist G nichtdie Vereinigung der Konjugierten von U .

Beweis. Betrachte die Operation von G auf G/U durch Linksmultiplikation. Nach obi-gem Korollar hat G ein xpunktfreies Element g. Das heit gxU 6= xU fr alle x G,und somit g / xUx1 fr alle x G.Bemerkung. Diese Aussage wird falsch, wenn man die Voraussetzung des endlichenIndex weglsst. In der Theorie der sogenannten algebraischen Gruppen spielen gera-de gewisse Untergruppen (die Borelgruppen) eine wichtige Rolle, deren Konjugierte imzusammenhngenden Fall die Gruppe ausfllen. Ein Spezialfall davon ist z.B. die be-kannte Aussage aus der Linearen Algebra, dass sich jede Matrix aus GLn(C) auf obereDreiecksgestalt transformieren lsst.

Bemerkung 3.71. [Permutationen und Vertauschungen] Hier wollen wir (leicht versp-tet) an einem Beispiel verdeutlichen, wie Permutationen im Sinne bijektiver Abbildungenmit den anschaulichen Vertauschungen zusammenhngen: Seien drei Felder 1, 2 und 3gegeben, auf denen drei unterscheidbare Objekte a, b und c auf je einem Feld liegen. Mitbac etwa bezeichnen wir, dass b, a und c auf den Feldern 1, 2 und 3 liegen. Man kannsich nun eine Vertauschung der Objekte auf zwei verschiedene Arten vorstellen:

(a) Man nimmt eine Permutation Sym({a, b, c}), und sagt etwa, dass (x) auf denPlatz von x kommt. Das ist gleichbedeutend damit, dass x auf den Platz wandert,den vorher 1(x) eingenommen hatte.

Diese Beschreibung entspricht vielleicht nicht immer dem, wie man sich Vertau-schungen vorstellt. Eine alternative Beschreibung ist die folgende:

(b) Man beschreibt die Vertauschung der Objekte dadurch, welche Pltze gendertwerden. Ist S3 = Sym({1, 2, 3}), dann deniert man eine zugehrige Vertau-schung dadurch, dass das Objekt auf Platz i auf den Platz (i) gelegt werden.Bezeichnet S und T die zu , Sn gehrigen Vertauschungen, dann beschreibt die Vertauschung, in der man erst T und dann S anwendet.

29

Die Vertauschung abc bac wird dann gem (a) durch = (a b) beschrieben, undgem (b) durch = (1 2). Allerdings wird z.B. die Vertauschung cab acb durch dasgleiche Element = (1 2) beschrieben, aber durch ein anderes Element = (c a).Jede dieser beiden Interpretationen hat je nach Situation ihre Vor- und Nachteile.

Wir wissen bereits, dass jede Permutation ein Produkt von Transpositionen ist. In derInterpretation von (a) ist das eine keineswegs plausible Aussage, in der Interpretation(b) ist das jedoch sofort klar: Die Zahlen 1, 2, . . . , n seien in einer beliebigen Reihenfolgegegeben. Dann knnen wir sie dadurch sortieren, dass wir mehrmals je zwei Zahlenvertauschen: Liegt die 1 nicht schon ganz links, dann vertauschen wir 1 mit der Zahlganz links. Analog bringen wir die 2 aus den zweiten Platz usw.

3.8 Abzhlungen von Frbungen der Satz von RedeldPlya

Wir geben eine Anwendung der CauchyFrobenius Bahnenformel 3.68 fr Abzhlun-gen gewisser kombinatorischer Strukturen. Hierbei hat die Fragestellung augenscheinlichnichts mit Gruppentheorie zu tun, aber zur Lsung verwendet man gruppentheoretischeKonzepte.Um die Methode zu beschreiben, betrachten wir eine Operation der endlichen Gruppe

G auf der endlichen Menge M . Ist F eine weitere endliche Menge, die wir als Farbenbezeichen, dann ist eine Frbung von M eine Abbildung : M F . Das Elementm M hat die Farbe (m) F . Sei C die Menge aller Abbildungen : M F , alsodie Menge aller Frbungen der Menge M . Wir denieren eine Operation von G auf Cdurch

(g.)(m) := (g1.m).

Wir mssen sehen, dass wir dadurch tatschlich eine Operation von G auf C bekommen.Natrlich ist e. = . Weiter gilt

(gh.)(m) = ((gh)1.m) = (h1.(g1.m)) = (h.)(g1.m) = (g.(h.))(m),

also(gh). = g.(h.) fr alle g, h G.

(Htten wir (g.)(m) := (g.m) deniert, dann htten wir eine Antioperation erhalten.)

Satz 3.72 (PlyaRedeld). Die endliche Gruppe G operiere auf der endlichen MengeM . Sei F eine endliche Menge, und C die Menge aller Abbildungen M F . Die Anzahlder Bahnen von G auf C, bezglich der oben beschriebenen Operation, ist

1

|G|gG

|F |(g),

wobei (g) die Anzahl der Zykel (inklusive Fixpunkte) von g in der Operation auf Mbezeichnet.

30

Beweis. Sei (g) die Anzahl der C mit g. = . Nach der CauchyFrobeniusBahnenformel 3.68 ist die Anzahl der Bahnen von G auf C gleich 1|G|

gG (g).

Wir bestimmen (g): Es gilt = g. genau dann, wenn = g1., und das istquivalent zu (m) = (g.m) fr alle m M . Hieraus folgt (m) = (u.m) fr alle u , m M , d.h. ist konstant auf jeder Bahn inM , und das ist auch die einzigeEinschrnkung an . Fr jede Bahn haben wir also |F | Frbungsmglichkeiten,und da (g) gleich der Anzahl der Bahnen ist, gilt (g) = |F |(g).

1. Beispiel: Grau/weiFrbungen der Ecken eines gleichseitigen Dreiecks. Wirbeginnen mit einem einfachen Beispiel, der Anzahl der Frbungen der Ecken eines gleich-seitigen Dreiecks mit den Farben wei und grau. Dabei sind zwei Frbungen gleich, wennsie durch Drehung ineinander bergehen. Im folgenden beschreibt g = (1 2 3) eine Links-drehung eines Dreiecks um 120. Sei die Frbung (1) = (3) = wei, (2) = grau.

1 2

3

g

1 2

3

Wir sehen, dass etwa (g.)(3) = (g1.3) = (2) = grau, und (g.)(1) = (g.)(2) =wei.

Diese beiden Frbungen sehen wir natrlich als gleich an. Die gleichsinnigen Symme-trien des Dreiecks bestehen aus der Gruppe G = = {e, g, g2}. Die verschiedenenBahnen von G auf den Frbungen, also der Menge der Abbildungen {1, 2, 3} F ={wei, grau}, beschreiben genau die durch Drehung nicht ineinander berfhrbaren Fr-bungen des Dreiecks. Davon gibt es natrlich genau 4 Stck, jede Zeile besteht aus einerBahn:

31

1 2

3

1 2

3

1 2

3

1 2

3

1 2

3

1 2

3

1 2

3

1 2

3

Das ist im Einklang mit dem vorigen Satz: Es gilt (e) = 3 und (g) = (g2) = 1. DieAnzahl der verschiedenen Frbungen ist also 1

3(23 + 21 + 21) = 4.

2. Beispiel: Frbungen des Wrfels. Wir wollen sehen, auf wie viele Weisen wir die 6Seitenchen eines Wrfels mit f Farben frben knnen, wobei wir zwei Frbungen einesWrfels als gleich betrachten, wenn sie durch eine gleichsinnige Kongruenzabbildungineinander hervorgehen.

Mathematisch bedeutet das: Sei G die Gruppe der gleichsinnigen Symmetrieoperatio-nen eines Wrfels, in ihrer Operation auf den 6 Flchen. Das liefert eine Operation aufder Menge C der f 6 Frbungen, und die gesuchte Anzahl ist die Anzahl der Bahnen vonG auf C. Tabelle 3.8 gibt eine bersicht ber die Elemente aus G. Das sind tatschlichalle Elemente aus G, da wir 24 verschiedene Elemente auisten, aber auch schon wissen,dass G die Ordnung 24 hat.

32

Beschreibung Anzahl Zykeltyp auf Seitenchen

Identitt 1 6 Fixpunkte 6Drehung um 120 um Raumdiagonale 8 (123)(456) 2Drehung um 180 um Verbindunglinie der Mittel-punkte gegenber liegender Kanten

6 (12)(34)(56) 3

Drehung um 180 um Verbindunglinie der Mittel-punkte gegenber liegender Flchen

3 (12)(34) 4

Drehung um 90 um Verbindunglinie der Mittel-punkte gegenber liegender Flchen

6 (1234) 3

Wir sehen also, dass der Wrfel, bis auf Symmetrien, genau

8f 2 + 12f 3 + 3f 4 + f 6

24

Flchenfrbungen mit f Farben besitzt.

3. Beispiel: Anzahl der Graphen mit n Ecken. In der Graphentheorie deniert man(einfache und endliche) Graphen auf folgende Weise: Man betrachtet eine nelementigeMenge V von Ecken (engl. vertices), und eine Menge von Kanten E (engl. edges). EineKante ist dabei eine Verbindung zweier verschiedener Ecken, und je zwei Ecken sindhchstens mit einer Kante verbunden. Damit kann man die Kanten auassen also eineMenge von 2elementigen Teilmengen von V . Zwei Graphen nennt man isomorph, wennsie bis auf Bezeichnung der Ecken gleich sind. Man berlegt sich etwa, dass es bis aufIsomorphie genau die folgenden 11 Graphen mit 4 Ecken gibt:

q q q q q q qq q q q q q qq q q q q q qq q q q q q q

q q qq q qq q qq q q

q qq q

@

@@

@@@

@@@

@@@

@@@

@@@

Wie berechnet man nun allgemein bei n Ecken die Anzahl? Sind n Ecken gegeben, sohat man fr jede 2elementige Teilmenge der Ecken die Wahl, diese zwei Ecken durcheine Kante zu verbinden oder nicht. Es gibt also 2(

n2) = 2n(n1)/2 Mglichkeiten, wenn

wir keine Isomorphismen bercksichtigen.Wir formulieren das Abzhlproblem als Frbungsproblem: Sei V2 die Menge der 2

elementigen Teilmengen von V = {1, 2, . . . , n}. In einem Graph mit Eckenmenge Vfrben wir {i, j} V2 schwarz, wenn {i, j} eine Kante ist, und im anderen Fall wei.

33

Sei C die Menge der schwarzweiFrbungen von V2. Die Gruppe Sn operiert aufV , und damit auch auf V2 und schlielich auf C. Die Anzahl der Isomorphieklassen vonGraphen mit n Punkten ist gleich der Anzahl der Bahnen von Sn auf C.Fr g G sei (g) die Anzahl der Zykel von g auf V2. Die gesuchte Anzahl betrgt

1

n!

gSn

2(g).

Die Gre (g) hngt nur von der Konjugationsklasse von g ab.Fr das Beispiel n = 4 geben wir diese Werte, zusammen mit der Gre der Konju-

gationsklassen, in folgender Tabelle:

Reprsentant der Gre der Konjugationsklasse Konjugationsklasse

e 1 6(1 2) 6 4

(1 2)(3 4) 3 4(1 2 3) 8 2(1 2 3 4) 6 2

Hiermit besttigen wir obige Abzhlung:

14 22 + 9 24 + 26

4!= 11.

4. Beispiel: Halsketten und der kleine Satz von Fermat. Sei p eine Primzahl. Wirbetrachten alle Halsketten mit p Perlen (in den Ecken eines regulren p-Ecks) mit a 1Farben. Wir betrachten die zyklische Gruppe G der p Drehungen der Halsketten. Fre 6= g G hat g die Ordnung p, ist also ein p-Zykel, und damit gilt (g) = 1 fr diesep 1 Elemente. Wegen (e) = p erhalten wir also bis auf Drehungen genau

1

p(ap + (p 1)a) = a+ a

p ap

verschiedene Halsketten. Insbesondere sehen wir, dass p ein Teiler von ap a ist, undhaben damit einen kombinatorischen Beweis fr den kleinen Satz von Fermat.

3.9 Die Stze von Sylow

Der Satz von Lagrange ist im allgemeinen nicht umkehrbar, ist d ein Teiler der Ordnungeiner endlichen Gruppe, dann muss es keine Untergruppe der Ordnung d geben. So hatetwa die alternierende Gruppe A4 der Ordnung 12 keine Untergruppe der Ordnung 6.Ist hingegen, der Teiler d eine Primpotenz, dann gibt es Untergruppen der Ordnung d.Das ist eine der Aussagen der Stze von Sylow. Als Vorbereitung behandeln wir erst denFall, dass d eine Primzahl ist:

34

Lemma 3.73 (Cauchy). Die Primzahl p teile die Ordnung der endlichen Gruppe G.Dann enthlt G ein Element der Ordnung p.

Beweis. Sei M die Menge der pTupel (g1, g2, . . . , gp) mit Elementen aus G, so dassg1g2 . . . gp = e. Ist (g1, g2, . . . , gp) M , dann liegt auch das zyklisch rotierte Element(g2, g3, . . . , gp, g1) inM , denn g2g3 . . . gpg1 = g

11 g1g2g3 . . . gpg1 = g

11 g1 = e. Insbesondere

operiert eine zyklische Gruppe C der Ordnung p durch Rotation der Elemente auf M .Oenbar ist |M | = |G|p1 durch p teilbar. Da C den Fixpunkt (e, e, . . . , e) hat, mussC einen weiteren Fixpunkt (g1, g2, . . . , gp) haben. Dass dieses Element ein Fixpunkt istbedeutet g1 = g2 = = gp, also gp1 = e, aber g1 6= e, und die Behauptung folgt.

Satz 3.74 (Sylow 1872). Sei G eine endliche Gruppe, und pr eine Primpotenz, die |G|teilt. Dann besitzt G eine Untergruppe der Ordnung pr.

Beweis. Fr r = 0 ist die Aussage klar. Sei nun r 1.Wir beweisen die Behauptung durch vollstndige Induktion ber die Gruppenordnung.Sei Z das Zentrum von G, und g1, g2, . . . , gh Reprsentanten der Konjugationsklassen.

Die Klassengleichung liefert

|G| =hi=1

[G : CG(gi)] = |Z|+gi /Z

[G : CG(gi)].

Man beachte, dass in der zweiten Summe die Gruppen CG(gi) echte Untergruppen vonG sind. Wir unterscheiden zwei Flle:

(a) p teilt |Z|. Nach dem vorigen Lemma besitzt Z eine Untergruppe N der Ordnungp, diese ist normal in G. Aus pr | |G| = p|G/N | folgt pr1 | |G/N |. Nach Induk-tionsannahme hat G/N eine Untergruppe P/N der Ordnung pr1. Aber dann hatP die Ordnung pr.

(p) p teilt nicht |Z|. Wegen p | |G| gibt es einen Index i mit gi / Z, so dass [G : Cg(gi)]nicht durch p teilbar ist. Aber dann gilt pr | |CG(gi)|. Nach Induktionsannahmehat CG(gi) eine Untergruppe der Ordnung pr, und wir sind fertig.

Sei p eine Primzahl. Eine endliche Gruppe heit p-Gruppe, wenn die Ordnung derGruppe eine Potenz von p ist (evtl. auch 1). Wir kommen nun zu einer wichtigen Klassevon Untergruppen einer endlichen Gruppe.

Denition 3.75. Sei G eine endliche Gruppe, und p eine Primzahl. Eine UntergruppeP von G heit p-Sylowgruppe von G, wenn P eine p-Gruppe ist, und [G : P ] nicht durchp teilbar ist.

Ist also pr die hchste Potenz von p, die |G| teilt, dann sind die p-Sylowgruppen geradedie Untergruppen der Ordnung pr. Wie wir gerade sahen, gibt es in endlichen Gruppen

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fr jede Primzahl p mindestens eine p-Sylowgruppe. Der folgende Satz enthlt weitereEigenschaften der Sylowgruppen. Vorher bentigen wir einen neuen Begri.Fr eine Untergruppe U von G ist NG(U) = {g G | U g = U} der Normalisator

von U in G. Per denitionem ist NG(U) der Stabilisator von U in der Operation vonG durch Konjugation auf den Untergruppen von G. Insbesondere ist [G : NG(U)] dieAnzahl der Konjugierten von U in G. Es gibt eine weitere Interpretation, die manchmalntzlich ist: NG(U) die grte Untergruppe von G, in der U normal ist.Das Hauptergebnis von Sylow, das ein wichtiges Instrument zur Analyse endlicher

Gruppen ist, lautet nun:

Satz 3.76 (Sylow). Sei G eine endliche Gruppe, und p eine Primzahl. Dann gilt:

(a) Jede p-Untergruppe von G liegt in einer p-Sylowgruppe von G.

(b) Die p-Sylowgruppen von G sind konjugiert.

(c) Sei np die Anzahl der p-Sylowgruppen von G. Dann gilt

(i) np 1 (mod p),(ii) np = [G : NG(P )], und

(iii) np teilt [G : P ].

Beweis. Sei P eine p-Sylowgruppe von G, und M die Menge der zu P konjugiertenUntergruppen von G. Natrlich ist jede Gruppe aus M wieder eine p-Sylowgruppe. Goperiert auf M durch Konjugation, d.h. fr g G und Q M denieren wir g.Q =gQg1. Als Zwischenschritt zeigen wir zunchst:

Ist Q M ein Fixpunkt der p-Untergruppe U von G, dann gilt U Q. (1)

Sei Q ein Fixpunkt von U , also uQ = Qu fr alle u U . Dann gilt UQ = QU , und UQist eine Gruppe nach Lemma 3.55. Wegen uqQ = uQ = Qu = Qqu fr alle u U , q Qist Q ein Normalteiler von Q. Der Isomorphiesatz liefert UQ/Q = U/U Q. Daher istUQ eine p-Gruppe der Ordnung |Q|[U : U Q]. Aber Q ist schon eine p-Untergruppevon G grtmglicher Ordnung, daher gilt U = U Q, also U Q.

(a,b) Wegen |M | = [G : NG(P )] | [G : P ] ist die Ordnung |M | nicht durch p teilbar.Sei U G eine p-Gruppe. Da jede Bahnlnge von U eine p-Potenz (inklusive 1)ist, und |M | nicht durch p teilbar ist, hat U einen Fixpunkt Q M , also U Qnach (1) und wir erhalten (a). Ist dabei U eine p-Sylowgruppe, dann gilt wegen|U | = |Q| sogar U = Q, und es folgt (b).

(c) Sei nun U = P . Ein Fixpunkt von P ist P selber, und nach (1) gibt es keineweiteren Fixpunkte. Die Lnge jeder anderen Bahn von P ist also eine p-Potenz p und ist damit durch p teilbar. Daraus folgt (i).Der Stabilisator von P in G ist NG(P ), daher gilt |M | = [G : NG(P )], also (ii).Aus [G : NG(P )] | [G : P ] folgt (iii).

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Whrend die einfachen Gruppen An, n 5, auer sich selbst und {e} keine Normal-teiler haben, besitzen p-Gruppen zahlreiche Normalteiler, sogar mit einer Ordnung frjeden Teiler der Gruppenordnung. Hier sind einige typische Aussagen ber pGruppen:

Satz 3.77. Sei p eine Primzahl, und G eine Gruppe der Ordnung pm p. Dann gilt:(a) |Z(G)| > 1.

(b) Es gibt eine Kette {e} = G0 < G1 < < Gm = G von Normalteilern von G mit|Gi| = pi fr 0 i m.

(c) Sei U < G eine echte Untergruppe. Dann gilt NG(U) > U .

(d) Untergruppen U < G vom Index p sind normal in G.

Beweis. (a) Das ist die Aussage von Korollar 3.67.

(b) Wir beweisen die Aussage durch vollstndige Induktion ber m.

Nach (a) gilt |Z(G)| > 1, und daher gibt es eine Untergruppe N von Z(G) mit|N | = p. Dabei ist N normal in G. Betrachte den natrlichen Homomorphismus : G G/N = G. Nach Induktionsannahme hat G eine Kette {e} = G1 U . Daher ist [G : NG(U)] < [G : U ] = p ein Teiler < p vonp, also G = NG(U).

3.10 Produkte von Gruppen

3.10.1 Direkte Produkte

Sind G1, G2, . . . , Gn Gruppen, dann erhlt das kartesische Produkt G1 G2 Gneine natrliche Struktur als Gruppe durch komponentenweise Multiplikation, d.h.

(g1, g2, . . . , gn)(h1, h2, . . . , hn) := (g1h1, g2h2, . . . , gnhn).

Man nennt diese Gruppe das direkte Produkt der Gruppen Gi, und schreibt dafr auchni=1 Gi.Direkte Produkte von zwei Faktoren kommen hug aufgrund folgender Eigenschaft

von Normalteilern vor:

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Lemma 3.78. Seien A und B Normalteiler der Gruppe G mit AB = {e} und G = AB.Dann gilt G = AB.

Beweis. Sei a A, b B. Wegen aba1 B und b1 B gilt aba1b1 B. Wegena A und ba1b1 A gilt aber auch aba1b1 A, also aba1b1 A B = {e} undsomit ab = ba. Folglich ist die Abbildung AB G, (a, b) 7 ab ein Homomorphismus.Gem Voraussetzung ist dieser Homomorphismus surjektiv. Er ist aber auch injektiv,denn aus ab = e folgt a, b A B, also a = b = e.

Das Produkt AB im Lemma nennt man auch das interne direkte Produkt der Nor-malteiler A und B. Im Gegensatz dazu bezeichnet man AB manchmal als das externedirekte Produkt von A und B.Das Lemma lsst sich auf mehrere Faktoren verallgemeinern, allerdings ist dabei Vor-

sicht angebracht: Sind A,B,C Normalteiler einer Gruppe G, die sich paarweise trivialschneiden und G = ABC erfllen, dann muss nicht G = A B C gelten; betrachtez.B. G = C2 C2 und die drei Untergruppen A,B,C der Ordnung 2. (C2 bedeutet hiereine Gruppe der Ordnung 2.)Man bentigt darber hinaus, dass z.B. AB und C sich trivial schneiden. Denn dann

besagt das Lemma G = ABC. Das Lemma nochmal angewandt, jetzt auf die GruppeAB, zeigt AB = AB, was zu G = (AB) C = AB C fhrt.Eine induktive Verallgemeinerung dieser Idee ergibt

Satz 3.79. Seien N1, N2,. . . ,Nr Normalteiler einer Gruppe G, mit G = N1N2 . . . Nr und(N1N2 . . . Ni)Ni+1 = {e} fr alle i = 1, 2, . . . , r1. Dann ist N1N2 Nr G,(n1, n2, . . . , nr) 7 n1n2 . . . nr ein Isomorphismus.

Bemerkung. In der Situation dieses Satzes stellt man fest, dass jedes Element aus Geine eindeutige Darstellung der Form n1n2 . . . nr mit ni Ni hat. Man sagt auch, G istdas (interne) direkte Produkt der Gruppen Ni.

Beispiele direkter Produkte

Seien m und n teilerfremde natrliche Zahlen, und G eine zyklische Gruppe derOrdnung mn. Dann hat G Untergruppen A der Ordnung m und B der Ordnung n.Nach dem Satz von Lagrange gilt AB = {e}. Daher ist AB G, (a, b) 7 abein Monomorphismus. Diese Abbildung ist wegen |A B| = mn = |G| sogarbijektiv, und es folgt G = AB.

Sei C die multiplikative Gruppe der komplexen Zahlen, und S1 die Untergrup-pe der komplexen Zahlen vom Betrag 1. Sei P die Gruppe der positiven reellenZahlen. Dann gilt C = S1 P . Die Funktion x 7 eix ist ein EpimorphismusR S1 mit Kern 2Z. Daher gilt weiter C = (R/2Z) P , was man von denPolarkoordinaten kennt. (Man beachte, dass das halboene Intervall [0, 2[ einNebenklassenvertretersystem von R/2Z ist.)

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Sei V ein Vektorraum ber einem KrperK mit einer endlichen Basis v1, v2, . . . , vn.Dann ist (V,+) das interne direkte Produkt der Unterrume Kvi, und isomorphzum externen direkten Produkt Kn =

ni=1K.

Im ersten Beispiel hatten wir ein etwas indirektes Argument zur Bestimmung der Grevon AB fr Untergruppen A und B einer Gruppe. Die Gre von Produkten AB lsstsich ganz allgemein bestimmen. Man beachte, dass AB im allgemeinen keine Gruppesein muss.

Satz 3.80. Seien A und B Untergruppen der endlichen Gruppe G. Dann gilt |AB| =|A||B||AB| .

Beweis. Die Menge AB ist die Vereinigung der Nebenklassen aB, a A. Jede dieserNebenklassen enthlt |B| Elemente, daher gilt |AB| = |M ||B|, wo M die Menge derNebenklassen aB bezeichnet. Die Gruppe A operiert transitiv auf dieser Menge M , undder Stabilisator von B besteht aus allen a A mit aB = B, also a A B. Daher gilt|M | = [A : A B], und die Behauptung folgt.

Bemerkung. Direkte Produkte lassen sich auch auf unendlich viele Faktoren verallge-meinern. Diese unterscheiden sich dann von den sogenannten direkten Summen (odereingeschrnkten direkten Produkten), die aus der Untergruppe der Tupel bestehen, diean nur endlich vielen Stellen ein Element ungleich dem neutralen Element stehen ha-ben. Direkte Summen von Gruppen Gi werden mit

Gi bezeichnet. Bei endlich vielen

Faktoren stimmen natrlich direkte Summen mit direkten Produkten berein. Bei un-endlich vielen Faktoren treten jedoch erhebliche Unterschiede auf. So ist z.B.

iNC2

berabzhlbar, aber

iNC2 ist abzhlbar.

3.10.2 Semidirekte Produkte

Wir kommen nun zum wichtigen Begri des semidirekten Produkts , einer Verallgemeine-rung des direkten Produkts zweier Faktoren. Hierzu sei U eine Untergruppe der GruppeG, und N ein Normalteiler von G, so dass N U = {e} und G = NU gelten. In dieserSituation sagt man, G sei das semidirekte Produkt des Normalteilers N mit der Unter-gruppe U . Man spricht auch vom internen semidirekten Produkt . Ferner nennt man Uein Komplement von N in G. Im folgenden konstruieren wir aus dieser Situation ei-ne Verallgemeinerung des externen direkten Produkts. Dazu beobachten wir, dass jedesElement aus G eine eindeutige Darstellung der Form nu mit n N , u U hat. DasZiel ist es, das Produkt zweier solcher Elemente n1u1 und n2u2 wieder in dieser Formdarzustellen. Wir rechnen

n1u1n2u2 = n1 u1n2u11

N

u1u2.

Fr u U sei u der Automorphismus n 7 unu1 von N . Dann knnen wir obigeBeziehung auch schreiben als

n1u1n2u2 = n1u1(n2)u1u2.

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Die Menge der Paare (n, u) mit n N , u U bezeichnen wir mit N oU . Wir schreibennicht NU , da wir auf dieser Menge ein Produkt einfhren wollen, das nicht das direkteProdukt ist. Die Abbildung : N o U NU ist bijektiv. Die obige Rechnung zeigt,wie man die Multiplikation aus NU mittels auf N o U bertrgt:

(n1, u1) (n2, u2) = (n1u1(n2), u1u2).

Es gilt also

((n1, u1) (n2, u2)) = ((n1u1(n2), u1u2))= n1u1(n2)u1u2

= n1u1n2u2

= ((n1, u1))((n2, u2)).

Damit ist per denitionem (N o U, ) eine Gruppe, und : N o U NU ist einIsomorphismus.Man nennt N o U ein externes semidirektes Produkt von N mit U , wobei man das

Adjektiv extern hug weglsst.Bei der Konstruktion des direkten Produkts zweier Gruppen musste keine Beziehung

zwischen den beiden Faktoren bestehen. Auch zur Konstruktion externer semidirekterProdukte von N und U mssen N und U nicht Untergruppen einer gemeinsamen Gruppesein. Allerdings muss wegen des Bestandteils u1(n2) ein Zusammenhang bestehen. Inunserem konkreten Fall ist : U Aut(N), u 7 u ein Homomorphismus. Der folgendeSatz zeigt, dass ein solcher Homomorphismus alles ist was wir brauchen, um die obigeKonstruktion zu verallgemeinern:

Satz 3.81. Seien N und U Gruppen, und : U Aut(N), u 7 u ein Homomor-phismus. Wir bezeichnen die Menge der Paare (n, u), n N , u U mit N o U , unddenieren darauf ein Produkt durch

(n1, u1) (n2, u2) := (n1u1(n2), u1u2).

Mit diesem Produkt ist N o U eine Gruppe. Dabei ist N o U ein internes semidirektesProdukt des zu N isomorphen Normalteilers {(n, e) | n N} mit der zu U isomorphenUntergruppe {(e, u) | u U}. Ferner gilt (e, u) (n, e) (e, u)1 = (u(n), e).

Beweis. Die Aussagen ergeben sich alle durch direktes Nachrechnen.

Bemerkung. (a) Der erste Teil des Satzes liefert eine wichtige Konstruktionsmethodefr Gruppen. Man schreibt auch N oU , wenn man die Abhngigkeit vom Homo-morphismus : U Aut(N) betonen mchte. Ist der triviale Homomorphismus,dann ist N o U einfach das direkte Produkt N U .

(b) Hug aber ist die Situation umgekehrt: Man kennt einen Normalteiler N derGruppe G, und untersucht, ob es ein Komplement U gibt. Ist das der Fall, dannkann man das Studium der Gruppe G auf die Untersuchung des konkreter gegebe-nen externen semidirekten Produkts N o U zurckfhren.

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(c) Seien A und B Untergruppen von G mit G = AB und A B = {e}. Sind Aund B normal, dann erhalten wir ein direktes Produkt. Ist eine der Untergruppennormal, dann bekommen wir ein semidirektes Produkt. Man kann sich fragen, obman noch etwas handliches bekommt, wenn keine der beiden Untergruppen normalist. Das ist nicht der Fall, denn a3 und b3 in a1b1a2b2 = a3b3 lassen sich nicht durcha1, b1, a2, b2 ausdrcken.

Beispiele semidirekter Produkte

Sei Sn die symmetrische Gruppe auf n 2 Punkten, An die alternierende Gruppe,und C die von einer Transposition erzeugte Untergruppe von Sn. Dann gilt Sn =An o C, aber nicht Sn = An C.

Sei Cn eine zyklische Gruppe der Ordnung n, C = eine Gruppe der Ordnung2, und : C Aut(Cn) deniert durch c(g) := g1. Die Gruppe G := Cn o Cist die Diedergruppe Dn der Ordnung 2n. Fr n 3 kann man sich diese Gruppegeometrisch veranschaulichen, sie besteht aus den Kongruenzabbildungen eines re-gulren n-Ecks. Die Gruppe Cn besteht dabei aus den gleichsinnigen Kongruenzen,und c ist eine Spiegelun