Einführung in die angewandteWirtschaftsmathematik

Jürgen Tietze

Einführungin die angewandteWirtschaftsmathematik

Das praxisnahe Lehrbuchinklusive Brückenkurs für Einsteiger

Mit 500 Abbildungen und mehr als 1700Übungsaufgaben

17., erweiterte Auflage

–

Prof. Dr. rer. nat. Jürgen Tietze

tietze@fh-aachen.de

FH AachenAachen, Deutschland

ISBN 978-3-658-02360-7 ISBN 978-3-658-02361-4 (eBook)DOI 10.1007/978-3-658-02361-4

Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; de-taillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar.

Springer Spektrum© Springer Fachmedien Wiesbaden 1988, 1990, 1991, 1992, 1995, ..., 2013Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung, die nicht aus-drücklich vomUrheberrechtsgesetz zugelassen ist, bedarf der vorherigen Zustimmungdes Verlags. Das giltinsbesondere für Vervielfältigungen, Bearbeitungen, Übersetzungen,Mikroverfilmungen und die Einspei-cherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen.

Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk be-rechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne derWarenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermannbenutzt werden dürften.

Planung und Lektorat: Ulrike Schmickler-Hirzebruch | Barbara Gerlach

Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier.

Springer Spektrum ist eine Marke von Springer DE. Springer DE ist Teil der Fachverlagsgruppe SpringerScience+BusinessMediawww.springer-spektrum.de

Vorwort zur 17. Auflage

V

"Mathematik = Höhere Faulheit: ständig harte Arbeit auf der

Suche nach dem leichteren Weg"

(Graffito auf einer Hörsaalbank)

Ein wirtschaftswissenschaftliches Studium ist heutzutage ohne Mathematik (als Hilfswissenschaft) un­denkbar, mathematische Beschreibungs-, Erklärungs- und Optimierungs-Modelle beherrschen große Tei­le der ökonomischen Theorie und in zunehmendem Maße auch der ökonomischen Praxis.

Mathematik in diesem Zusammenhang bedeutet einerseits das Problem, mathematische Ideen zu ver­stehen, um die dazugehörigen Techniken zu beherrschen und andererseits, diese zunächst abstrakten Techniken zielgerichtet und sinnvoll für ökonomische Anwendungen nutzbar zu machen.

Das nun in 17. Auflage vorliegende Buch- als Lehr-, Arbeits- und Übungsbuch vorrangig zum Selbststu­dium konzipiert- versucht, beide Aspekte zu berücksichtigen durch

ausführliche Darstellung, plausible Begründung und Einübung mathematischer Grundelemente und ökonomisch relevanter mathematischer Techniken aus der Analysis (d.h. der Differential­und Integralrechnung), der linearen Algebra und der linearen Optimierung sowie

ausführliche Demonstration der Anwendbarkeit mathematischer Instrumente auf Beschreibung, Erklärung, Analyse und Optimierung ökonomischer Vorgänge, Situationen und Probleme.

Die Erfahrungen des Autors aus den letzten Jahren haben allerdings gezeigt, dass die für den erfolgrei­chen Einstieg in in die Wirtschaftsmathematik erforderlichen elementarmathematischen (insbesondere algebraischen) Grundlagen nicht immer ausreichend beherrscht werden.

Daher wird für Studieneinsteiger erstmals in diesem Wirtschaftsmathematik-Lehrbuch ein Brückenkurs in elementarer Algebra in Kap. 1.2 vorgeschaltet: Die Darstellung ist besonders ausführlich und wird unterstützt von mehr als 500 Übungsauf gaben, Selbstkontroll-Tests, Eingangs- und Schlusstests. So be­steht die realistische Möglichkeit, verschüttete Grundkenntnisse in elementarer Algebra (Axiome und elementare Rechenregeln für Terme, Potenzen, Logarithmen, Gleichungen und Ungleichungen) erfolgreich wieder ins Bewusstsein zu heben, um sie ebenso erfolgreich zur Behandlung wirtschaftsmathematischer Anwendungen einsetzen zu können.

Im Übrigen wendet sich dieses Buch sowohl an Studierendeder ersten Semester, diedas wirtschaftsmathe­matische Rüstzeug zur ökonomischen Anwendung benötigen als auch an fortgeschrittene Studierende oder quantitativ orientierte Wirtschaftspraktiker, die sich über die Fülle der Anwendungsmöglichkeiten mathematischen Instrumentariums auf ökonomische Sachverhalte informieren möchten.

Jahrelange Erfahrungen mit Teilnehmer(inne)n meiner Vorlesungen in Finanz- und Wirtschaftsmathe­matik bzw. Operations Research haben mich darin bestärkt, ein Buch für den (zunächst) nicht so bewan­derten Leser zu schreiben (und nicht für den mathematischen Experten). Wenn daher auch in manchen Fällen die mathematischen Beweise nicht streng sind oder fehlen, so habe ich mich doch bemüht, jeden mathematischen Sachverhalt in einer das Verstehen erleichternden Weise zu begründen und plausibel herzuleiten. Die daraus resultierende relativ breite (weil auf Verständnis abzielende) Darstellung dürfte allen den Leserinnen und Lesern entgegenkommen, die sich im Selbststudium die Elemente der Wirt­schaftsmathematik aneignen wollen.

Weiterhin habe ich bewusst auf das eine oder andere Detail traditioneller Mathematikdarstellungen ver­zichtet, so auf eine ausführliche Theorie der Folgen und Reihen, auf die sog. Epsilontik oder auf die Theorie der Determinanten, auf Stoffinhalte also, die zwar von prinzipiellem mathematischen Interesse sind, nicht aber im Vordergrund ökonomischer Anwendungen stehen und daher dem Studienanfänger (und erst recht dem Praktiker) als unnötiger theoretischer Ballast erscheinen können.

VI Vorwort

Die vorliegende 17. Auflage wurde einerseits durch den ausführlichen algebraischen Brückenkurs wesent­lieh erweitert, im Übrigen wieder sorgfältig durchgesehen und in vielen Details verbessert. Das bis zur 4. Auflage noch enthaltene Kapitel über Finanzmathematik ist in wesentlich erweiterter Form als eigenstän­diges Lehrbuch "Einführung in die Finanzmathematik" im gleichen Verlag erschienen, siehe [66] im Literaturverzeichnis.

Der Text enthält -nicht nur im Brückenkurs-eineVielzahl ergänzender Beispiele und Übungsauf gaben, die das Gefühl für die Beherrschung und die Anwendbarkeit des mathematischen Kernstoffes stärken sollen. Für den umfangreichen Aufgabenteil (mit mehr als 1700 Aufgaben) sind die Lösungen wie folgt verfügbar:

- Die Lösungen der mehr als 500 Aufgaben/Tests des Brückenkurses sind im Lösungsanhang am En­de dieses Buches (ab Seite 633) verfügbar. Ausführliche Herleitungen dieser Lösungen finden sich auf den Internetseiten des Verlages (www.springer.com -mit Hilfe der Suchfunktion findet man die Verlags-Seite dieses Buches und dort den Link zu den ausführlichen Lösungen).

- Lösungen einer Auswahl der übrigen Aufgaben dieses Buches sind ebenfalls im Lösungsanhang am Ende des Buches enthalten. Ausführliche Herleitungen sämtlicher Lösungen sowie zehn Testklau­suren mit Lösungen sind erschienen im ergänzenden Übungsbuch

Tietze, J.: Übungsbuch zur angewandten Wirtschaftsmathematik -Aufgaben, Testklausuren und ausführliche Lösungen- 8. Auflage, 402 S. Vieweg+ Teubner, Wiesbaden 2010, ISBN 978-3-8348-1236-0

Zum Gebrauch des Buches: Um die Lesbarkeit des Textes zu verbessern, wurde die Form strukturiert:

Definitionen, mathematische Sätze und I wichtige Ergebnisse I sind jeweils eingerahmt.

Bemerkungen sind in kursiver Schrifttype gehalten.

Beispiele sind mit einem senkrechten Strichbalken am linken Rand gekennzeichnet.

Definitionen (Def.), Sätze, Bemerkungen (Bem.), Formeln, Beispiele (Bsp.), Aufgaben (Aufg.) und Ab­bildungen (Abb.) sind in jedem erststelligen Unterkapitel ohne Rücksicht auf den Typ fortlaufend durch­nummeriert. So folgen etwa in Kap. 6.2 nacheinander Bsp. 6.2.15, Abb. 6.2.16, Bem. 6.2.17, Def. 6.2.18 usw. Ein * an einer Aufgabe weist auf einen etwas erhöhten Schwierigkeitsgrad hin. Zahlen in eckigen Klammern, z.B. [ 66 ], beziehen sich auf das Literaturverzeichnis am Schluss des Buches.

Dieses Buch hätte nicht entstehen können ohne Henna, die mir in vielen kritischen Situationen ihre Kraft zum Weitermachen lieh.

Zum Schluss gebührt mein Dank dem Springer Spektrum Verlag und insbesondere Frau Ulrike Schmick­ler-Hirzebruch für die jahrelange gute und verständnisvolle Zusammenarbeit.

Die Hinweise vieler Leserinnen und Leser auf Fehler und Verbesserungsmöglichkeiten in den vorherge­henden Auflagen waren für mich und - so hoffe ich - auch für diese Neuauflage sehr wertvoll. Da ich allerdings damit rechne, dass trotzaller Sorgfalt der Fehlerteufel (bzw. die Fehlerteufelin) nicht untätig geblieben sind, danke ich schon jetzt allen Leserinnen und Lesern für entsprechende Korrekturhinweise oder Verbesserungsvorschläge, z.B. perE-Mail (tietze@fh-aachen.de). Ich werde jede Ihrer Rückmeldun­gen beantworten und in allen Fällen auch um eine schnelle Antwort bemüht sein.

Aachen, im Herbst 2013 Jürgen Tietze

VII

Inhaltsverzeichnis

Vorwort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V

Symbolverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XIII

Abkürzungen, Variablennamen

1 Grundlagen und Hilfsmittel

XIV

1 1.1 Mengen und Aussagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 Mengenbegriff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.2 Spezielle Zahlenmengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.3 Aussagen und Aussageformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.4 Verknüpfungen von Aussagen und Aussageformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.1.4.1 Konjunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.4.2 Disjunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.4.3 Negation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.1.4.4 Zusammengesetzte Aussagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.1.5 Folgerung (Implikation) und Äquivalenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.1.5.1 Folgerung(Implikation) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.1.5.2 Äquivalenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.1.6 Relationen zwischen Mengen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.1.6.1 Gleichheitzweier Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.1.6.2 Teilmengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.1.7 Verknüpfungen (Operationen) mit Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.1.7.1 Durchschnittsmenge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.1.7.2 Vereinigungsmenge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.1.7.3 Restmenge (Differenzmenge) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.1.8 Paarmengen, Produktmengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.2 Elementare Algebra im Bereich der reellen Zahlen 1R Brückenkurs (BK) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

Eingangstest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Eingangstest - Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

BKl Thema: Axiome (Grundregeln) der Algebra in lR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 BK 1.1 Die neun Axiome (Grundregeln) der Algebra in lR . . . . . . . . . . . . . . 27 BK 1.2 Subtraktion und Division - Differenzen und Brüche . . . . . . . . . . . . . 32 BK 1.3 Konventionen/Vereinbarungen zur Reihenfolge der Operationen . . . . 33 Selbstkontroll-Test zu Thema BKl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

BK2 Thema: Termumformungen in lR - aus den Axiomen abgeleitete Rechenregeln 36 BK 2.1 Oll-Regeln und Vorzeichenregeln; Multiplikation von Summen,

insb. "Binomische Formeln" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 BK 2.2 Brüche und algebraische Bruchterme: Multiplikation/Division zweier

Brüche, Kürzen und Erweitern von Brüchen, Addition/Subtraktion zweier Brüche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

BK 2.3 Wann ist ein Produkt/Quotient Null? Konsequenzen für Gleichungen 51 Selbstkontroll-Test zu Thema BK2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

BK3 Thema: Einige spezielle mathematische Begriffe und Symbole (Exkurs) . . . . . 54 BK 3.1 (absoluter) Betrag einer Zahl/eines Terms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 BK 3.2 Das Summenzeichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

VIII Inhaltsverzeichnis

BK 3.3 Das Produktzeichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 BK 3.4 Fakultät und Binomialkoeffizient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 Selbstkontroll-Test zu Thema BK3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

BK4 Thema: Potenzen und Wurzeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 BK 4.1 Potenzen mit natürlichen und ganzzahligen Exponenten . . . . . . . . . . 65 BK 4.2 Rechernegeln für Potenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 BK 4.3 Potenzen mit rationalen (gebrochenen) Exponenten; Wurzeln . . . . . . 76 Selbstkontroll-Test zu Thema BK4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

BKS Thema: Logarithmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 BK 5.1 Begriff des Logarithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 BK 5 .2 Rechernegeln für Logarithmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 Selbstkontroll-Test zu Thema BK5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

BK6 Thema: Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 BK 6.1 Allgemeines zu Gleichungen und ihren Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . 96 BK 6.2 Äquivalenzumformungen von Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

Exkurs: Beliebte Fehlerfallen bei der Gleichungsumformung . . . . . . 107 BK 6.3 Lineare Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 BK 6.4 Quadratische Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 BK 6.5 Gleichungen höheren als 2. Grades, Substitution, Polynomdivision . . 125 BK 6.6 Bruchgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 BK 6.7 Wurzelgleichungen und Potenzgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 BK 6.8 Exponentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 BK 6.9 Logarithmengleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 BK6.10 Exkurs: Lineare Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 Selbstkontroll-Test zu Thema BK6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

BK7 Thema: Ungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 Rechenregeln für Ungleichungen- Monotoniegesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 Lösungsverfahren für Ungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 Selbstkontroll-Test zu Thema BK7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

Abschluss-Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

2 Funktionen einer unabhängigen Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 2.1 Begriff und Darstellung von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

2.1.1 Funktionsbegriff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 2.1.2 Graphische Darstellung von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 2.1.3 Abschnittsweise definierte Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 2.1.4 Umkehrfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 2.1.5 Implizite Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 2.1.6 Verkettete Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

2.2 Eigenschaften von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 2.2.1 Beschränkte Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 2.2.2 Monotone Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 2.2.3 Symmetrische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 5 2.2.4 Nullstellen von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

2.3 Elementare Typen von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 2.3.1 Ganzrationale Funktionen (Polynome) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

2.3.1.1 Grundbegriffe, Horner-Schema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 2.3 .1.2 Konstante und lineare Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 2.3.1.3 Quadratische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 2.3.1.4 Nullstellen von Polynomen und Polynornzerlegung . . . . . . . . . . . . . . 187

2.3.2 Gebrochen-rationale Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 2.3.3 Algebraische Funktionen (Wurzelfunktionen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 2.3.4 Exponentialfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

Inhaltsverzeichnis

2.3.5 Logarithmusfunktionen ......................................... . 196 2.3.6 Trigonometrische Funktionen (Kreisfunktionen, Winkelfunktionen) ....... . 197

2.4 Iterative Gleichungslösung und Nullstellenbestimmung (Regula falsi) ........... . 203 2.5 Beispiele ökonomischer Funktionen ..................................... . 207

3 Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen ....................... . 229 3.1 Begriff von Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen ................. . 229 3.2 Darstellung einer Funktion mit mehreren unabhängigen Variablen .............. . 230 3.3 Homogenität von Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen ............ . 239

4 Grenzwerte und Stetigkeit von Funktionen ............................... . 243 4.1 Der Grenzwertbegriff ................................................. . 243

4.1.1 Grenzwerte von Funktionen für x- x0 ••.••.••.••••.•••••.•.••.••..• 244 4.1.2 Grenzwerte von Funktionen für x - oo (bzw. x -- oo) ................ . 248

4.2 Grenzwerte spezieller Funktionen ....................................... . 254 4.3 Die Grenzwertsätze und ihre Anwendungen ............................... . 257 4.4 Der Stetigkeitsbegriff ................................................. . 261 4.5 Unstetigkeitstypen ................................................... . 263 4.6 Stetigkeitsanalyse .................................................... . 265 4.7 Stetigkeit ökonomischer Funktionen ..................................... . 268 4.8 Asymptoten ........................................................ . 271

5 Differentialrechnung für Funktionen mit einer unabhängigen Variablen­Grundlagen und Technik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275 5.1 Grundlagen der Differentialrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275

5.1.1 Problemstellung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275 5 .1.2 Durchschnittliche Funktionssteigung (Sekantensteigung), Differenzenquotient. 275 5.1.3 Steigung und Ableitung einer Funktion (Differentialquotient) . . . . . . . . . . . . . 277 5.1.4 Differenzierbarkeit und Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281

5.2 Technik des Differenzierens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282 5.2.1 Die Ableitung der Grundfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283

5.2.1.1 Ableitung der konstanten Funktion f(x) = c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283 5.2.1.2 Ableitung der Potenzfunktion f(x) = xn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283 5.2.1.3 Ableitung der Exponentialfunktion f(x) = ex. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284 5.2.1.4 Ableitung der Logarithmusfunktion f(x) = In x . . . . . . . . . . . . . . . . . 285

5.2.2 Ableitungsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287 5.2.2.1 Faktorregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287 5.2.2.2 Summenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287 5.2.2.3 Produktregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288 5.2.2.4 Quotientenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289 5.2.2.5 Kettenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291

5.2.3 Ergänzungen zur Ableitungstechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294 5.2.3.1 Ableitung der Umkehrfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294 5.2.3.2 Ableitung allgemeiner Exponential- und Logarithmusfunktionen. . . . 296 5.2.3.3 Logarithmische Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298

5.2.4 Höhere Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299 5.2.5 Zusammenfassung der wichtigsten Differentiationsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . 301

5.3 Grenzwerte bei unbestimmten Ausdrücken- Regeln von de L'Hospital . . . . . . . . . . . 302 5.4 Newton-Verfahren zur näherungsweisen Ermittlung von Nullstellen einer Funktion. . 309

6 Anwendungen der Differentialrechnung bei Funktionen mit einer unabhängigen Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313 6.1 Zur ökonomischen Interpretation der ersten Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313

6.1.1 Das Differential einer Funktion..................................... 313

IX

X Inhaltsverzeichnis

6 .1.2 Die Interpretation der 1. Ableitung als (ökonomische) Grenzfunktion . . . . . . 316 6.1.2.1 Grenzkosten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318 6.1.2.2 Grenzerlös (Grenzumsatz, Grenzausgaben) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319 6.1.2.3 Grenzproduktivität (Grenzertrag) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320 6.1.2.4 Grenzgewinn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322 6.1.2.5 Marginale Konsumquote . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323 6.1.2.6 Marginale Sparquote . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323 6.1.2.7 Grenzrate der Substitution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324 6.1.2.8 Grenzfunktion und Durchschnittsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325

6.2 Anwendung der Differentialrechnung auf die Untersuchungvon Funktionen . . . . . . . 328 6.2.1 Monotonie- und Krümmungsverhalten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329 6.2.2 Extremwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332 6.2.3 Wendepunkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336 6.2.4 Kurvendiskussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338 6.2.5 Extremwerte bei nichtdifferenzierbaren Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344

6.3 Die Anwendung der Differentialrechnung auf ökonomische Probleme . . . . . . . . . . . . 346 6.3.1 Beschreibung ökonomischer Prozesse mit Hilfe von Ableitungen . . . . . . . . . . 346

6.3.1.1 Beschreibung des Wachstumsverhaltens ökonomischer Funktionen . . 347 6.3.1.2 Konstruktion ökonomischer Funktionen

mit vorgegebenen Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350 6.3.2 Analyse und Optimierung ökonomischer Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352

6.3.2.1 Fahrstrahlanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353 6.3.2.2 Diskussion ökonomischer Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356 6.3.2.3 Gewinnmaximierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358 6.3.2.4 Gewinnmaximierung bei doppelt-geknickter Preis-Absatz-Funktion . 365 6.3.2.5 Optimale Lagerhaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367

6.3.3 Die Elastizität ökonomischer Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377 6.3.3.1 Änderungen von Funktionen................................ 377 6.3.3.2 Begriff, Bedeutung und Berechnung der Elastizität von Funktionen. . 379 6.3.3.3 Elastizität ökonomischer Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384 6.3.3.4 Graphische Ermittlung der Elastizität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390

6.3.4 Überprüfung ökonomischer "Gesetze" mit Hilfe der Differentialrechnung . . . . 395

7 Differentialrechnung bei Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen. . 401 7.1 Grundlagen.......................................................... 401

7.1.1 Begriff und Berechnung von partiellen Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401 7.1.2 Ökonomische Interpretation partieller Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406 7.1.3 Partielle Ableitungen höherer Ordnung............................... 407 7 .1.4 Kennzeichnung von Monotonie und Krümmung durch partielle Ableitungen . . 409 7.1.5 Partielles und vollständiges (totales) Differential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411 7.1.6 Kettenregel, totale Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413 7.1.7 Ableitung impliziter Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416

7.2 Extrema bei Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . 420 7.2.1 Relative Extrema ohne Nebenbedingungen............................ 420 7.2.2 Extremwerte unter Nebenbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422

7.2.2.1 Problemstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422 7.2.2.2 Variablensubstitution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424 7.2.2.3 Lagrange-Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424

7.3 Beispiele für die Anwendung der Differentialrechnung auf ökonomische Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428 7.3.1 Partielle Elastizitäten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428

7.3.1.1 Begriff der partiellen Elastizität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428 7.3.1.2 Die Eulersche Homogenitätsrelation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429 7.3.1.3 Elastizität homogener Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430

Inhaltsverzeichnis XI

7.3.1.4 Faktorentlohnung und Verteilung des Produktes ............... . 433 7.3.2 Ökonomische Beispiele für relative Extrema (ohne Nebenbedingungen) .... . 438

7.3.2.1 Optimaler Faktoreinsatz in der Produktion .................... . 438 7.3.2.2 Gewinnmaximierungvon Mehrproduktunternehmungen .......... . 442 7.3.2.3 Gewinnmaximierung bei räumlicher Preisdifferenzierung ......... . 447 7.3.2.4 Die Methode der kleinsten Quadrate ........................ . 450

7.3.3 Ökonomische Beispielefür Extrema unter Nebenbedingungen ........... . 453 7.3.3.1 Minimalkostenkombination ............................... . 453 7.3.3.2 Expansionspfad, Faktornachfrage-und Gesamtkostenfunktion .... . 459 7.3.3.3 Nutzenmaximierung und Haushaltsoptimum .................. . 463 7.3.3.4 Nutzenmaximale Güternachfrage-und Konsumfunktionen ....... . 469

8 Einführung in die Integralrechnung ..................................... . 477 8.1 Das unbestimmte Integral ............................................. . 477

8.1.1 Stammfunktion und unbestimmtes Integral ........................... . 477 8 .1.2 Grundintegrale ................................................ . 480 8.1.3 Elementare Rechenregeln für das unbestimmte Integral ................. . 481

8.2 Das bestimmte Integral ............................................... . 483 8.2.1 Das Flächeninhaltsproblem und der Begriff des bestimmten Integrals ...... . 483 8.2.2 Beispiel zur elementaren Berechnung eines bestimmten Integrals ......... . 485 8.2.3 Elementare Eigenschaften des bestimmten Integrals ................... . 486

8.3 Beziehungen zwischen bestimmtem und unbestimmtem Integral ............... . 488 8.3.1 Integralfunktion ............................................... . 488 8.3.2 Der 1. Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung ................ . 489 8.3.3 Der 2. Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung ................ . 491 8.3.4 Flächeninhaltsberechnung ........................................ . 492

8.4 Spezielle Integrationstechniken ......................................... . 494 8 .4 .1 Partielle Integration ............................................. . 495 8.4.2 Integration durch Substitution ..................................... . 496

8 .5 Ökonomische Anwendungen der Integralrechnung .......................... . 498 8.5.1 Kosten-, Erlös- und Gewinnfunktionen ............................. . 498 8.5.2 Die Konsumentenrente .......................................... . 501 8.5.3 Die Produzentenrente ........................................... . 502 8.5.4 Kontinuierliche Zahlungsströme ................................... . 504 8.5.5 Kapitalstock und Investitionen einer Volkswirtschaft ................... . 508 8.5.6 Optimale Nutzungsdauer von Investitionen .......................... . 509

8.6 Elementare Differentialgleichungen ...................................... . 513 8.6.1 Einleitung .................................................... . 513 8.6.2 Lösung von Differentialgleichungen durch Trennung der Variablen ........ . 8.6.3 Ökonomische Anwendungen separabler Differentialgleichungen .......... .

514 517

8.6.3.1 Exponentielles Wachstum ................................. . 517 8.6.3.2 Funktionen mit vorgegebener Elastizität ...................... . 517 8.6.3.3 Neoklassisches Wachstumsmodell nach Solow ................. . 519

9 Einführung in die Lineare Algebra ...................................... . 525 9.1 Matrizen und Vektoren ............................................... . 525

9.1.1 Grundbegriffe der Matrizenrechnung ............................... . 525 9.1.2 Spezielle Matrizen und Vektoren .................................. . 529 9.1.3 Operationen mit Matrizen ........................................ . 530

9.1.3.1 Addition von Matrizen ................................... . 530 9.1.3.2 Multiplikation einer Matrix mit einem Skalarfaktor .............. . 532 9.1.3.3 Die skalare Multiplikationzweier Vektoren (Skalarprodukt) ....... . 534 9.1.3.4 Multiplikation von Matrizen ............................... . 535

9 .1.4 Die inverse Matrix .............................................. . 542

XII Inhaltsverzeichnis

9.1.5 Ökonomisches Anwendungsbeispiel (Input-Output-Analyse)............ 544 9.2 Lineare Gleichungssysteme (LGS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 549

9.2.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 549 9.2.2 Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme- Gaußscher Algorithmus . 551 9.2.3 Pivotisieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 557 9.2.4 Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562 9.2.5 Berechnung der Inversen einer Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 567 9.2.6 Ökonomische Anwendungsbeispiele für lineare Gleichungssysteme . . . . . . . 569

9.2.6.1 Teilebedarfsrechnung, Stücklistenauflösung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 569 9.2.6.2 Innerbetriebliche Leistungsverrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 571

10 Lineare Optimierung (LO) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575 10.1 Grundlagen und graphische Lösungsmethode............................... 575

10.1.1 Ein Problem der Produktionsplanung............................... 575 10.1.2 Graphische Lösung des Produktionsplanungsproblems . . . . . . . . . . . . . . . . . 576 10.1.3 Ein Diät-Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 578 10.1.4 Graphische Lösung des Diät-Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 579 10.1.5 Sonderfälle bei graphischer Lösung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 581 10.1.6 Graphische Lösungvon LO-Problemen- Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . 584

10.2 Simplexverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 586 10.2.1 Mathematisches Modell des allgemeinen LO-Problems................. 586 10.2.2 Grundidee des Simplexverfahrens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 588 10.2.3 Einführungvon Schlupfvariablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 588 10.2.4 Eckpunkte und Basislösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 589 10.2.5 Optimalitätskriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 591 10.2.6 Engpassbedingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592 10.2.7 Simplexverfahren im Standard-Maximum-Fall- Zusammenfassung . . . . . . . 594 10.2.8 Beispiel zum Simplex-Verfahren (Standard-Maximum-Problem) . . . . . . . . . . 595

10.3 Zweiphasenmethode zur Lösung beliebiger LO-Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 597 10.4 Sonderfälle bei LO-Problemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604

10.4.1 Keine zulässige Lösung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604 10.4.2 Keine endliche optimale Lösung (unbeschränkte Lösung) . . . . . . . . . . . . . . . 605 10.4.3 Degeneration (Entartung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605 10.4.4 Mehrdeutige optimale Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 607 10.4.5 Fehlen von Nichtnegativitätsbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 609 10.4.6 Ablaufdiagramm des Simplexverfahrens im allgemeinen Fall . . . . . . . . . . . . . 610

10.5 Die ökonomische Interpretation des optimalen Simplextableaus . . . . . . . . . . . . . . . . 611 10.5.1 Produktionsplanungsproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 611

10.5.1.1 Problernformulierung, Einführung von Einheiten . . . . . . . . . . . . . . 611 10.5.1.2 Optimaltableau und optimale Basislösung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613 10.5.1.3 Deutung der Zielfunktionskoeffizienten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613 10.5.1.4 Deutung der inneren Koeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614 10.5.1.5 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 616

10.5.2 Diätproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 617 10.6 Dualität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 618

10.6.1 Das duale LO-Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 618 10.6.2 Dualitätssätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 621

10.7 Ökonomische Interpretation des Dualproblems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624 10.7.1 Dual eines Produktionsplanungsproblems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624 10.7.2 Dual eines Diätproblems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 626

11 Lösungshinweise zum Brückenkurs und zu ausgewählten Aufgaben . . . . . . . . . . 629

12 Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 667

13 Sachwortverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 671

XIII

Symbolverzeichnis (auf den angegebenen Seiten finden sich nähere Erläuterungen zu den jeweiligen Symbolen)

E (EI:) ist (kein) Element von, 1 lim f(x) Grenzwert von f , 243ff

{xEMj ... } Mengenklammer, 2f X-+-oo für: x gegen unendlich X---+- x0 für: x gegen x

JN,7L,(Q,IR spezielle Zahlenmengen, 3 X---+- xJ- rechtsseitiger fuenzwert X---+- XÖ linksseitiger Grenzwert

{ },~ leere Menge, 3 Differenzenquotient

[a,b]; ]a,b[ M (Sekantensteigung) , 276

[a,b[; ]a,b] Intervalle, 4 ill!.

< . < kleiner; kleiner oder gleich f'(x), ~~ Differentialquotient 277f

' - 1. Ableitung ' >· ~ größer; größer oder gleich

' d w,f wahr, falsch, 5 dx Differentialoperator, 277

A(x), 2

Aussageformen, 5 f"(x), d ; 2. Ableitung, 299f A(x,y, ... ) dx T(x),

Terme, 5f f(n)( ) dnf n-te Ableitung, 299f T(x,y, ... ) X' dxn DA,DG Definitionsmenge, 6,96 df Differential, 313ff L, LA> LG Lösungsmenge, 6ff,97

Ef.x x-Elastizität von f, 379ff == ;=: definitionsgemäß gleich, 3,27

identisch gleich IA131 Länge der (gerichteten) Strecke ;::; ungefähr gleich von A nach B, 390f

af ~ entspricht ax 'fx 1. partielle Ableitung, 403ff /\,V,-, und, oder, nicht, 9ff

a partieller Differential-~. {:::: Folgerung, 14f ax operator, 403 ~ Äquivalenz, 15f c ist Teilmenge von, 16f a2f

2. partielle Ableitung, 407f -2, fxx n,u Durchschnitt,Vereinigung, 17f ax

Mengendifferenz, 18f dfx partielles Differential, 411f

AxBx ... Produktmenge, 21f df totales Differential, 412 JRll n-dimensionaler Raum, 22

Jf(x)dx Iai absoluter Betrag, 54f unbestimmtes Integral, 479

~.n Summe, Produkt, 55ff,60ff J)(x)dx bestimmtes Integral, 484 n! Fakultät, 61

(~) Binomialkoeffizient, 61ff F(x)j: F(b)- F(a), 491 an, eX Potenz, 65ff y y'(t), ~i ' 513 n 1 va. an Wurzel, 76ff A,B, ... logax, lnx, lgx Logarithmus, 85ff Amn Matrizen, 525ff 00 unendlich, 4,243ff (a;k) f, f(x),f(x,y, .. ) Funktionen, 153ff,229ff aik • b;k' ··· Matrix-Elemente, 526 Dr, Wf Definitions-, Wertebereich, 154 AT transponierte Matrix, 527 x ~--+ f(x) Zuordnungsvorschrift, 153ff

a,b, ... Spaltenvektoren, 527f f-1 Umkehrfunktion, 165ff

f(g(x)) verkettete Funktion, 171f,291 ""iT, bT, ... Zeilenvektoren, 527f ft,t+ f steigt bzw. fällt, 173f,253f 0,0 Nullmatrix, Nullvektor, 529 sin, cos trigonometrische Funktio- Einheitsmatrix, tan, cot nen, 197ff E,ei Einheitsvektor, 529 - Vektor, 230,527f X A-1 inverse Matrix, 542

1" 1" uneigentliche Terme, 256,302ff rgA Rang der Matrix A, 562 "oo "Ü+

XIV Abkürzungen

Abkürzungen

BK Brückenkurs m.a.W. mit anderen Worten Abkürzungen für Regeln BL Basislösung ME Mengen-Einheit und Rechengesetze: BV Basisvariable NB Nebenbedingung CD Cobb-Douglas NBV Nichtbasisvariable Al-A4 Axiome für " + " c.p. ceteris paribus NNB Nichtnegativitätsbe- Ml-M4 Axiome für"·" DB Deckungsbeitrag dingung D Distributivgesetz d.h. das heißt p.a. pro Jahr Kl-K7 Konventionen € Euro s. siehe Rl- R16 Rechenregeln in lR f falsch T€ tausend Euro Pl -PS Potenzregeln FE Faktoreinkommen u.v.a.(m.) und vieles andere (mehr) L1 -L3 Logarithmenregeln GE Geldeinheit vgl. vergleiche Gl- G9 zuläss. Umform. LE Leistungseinheit w wahr Ul-U7 f. Gl./Ungleichg. LGS Lineares Gleichungs- WE Währungseinheit

system w.z.b.w. was zu beweisen war LO Lineare Optimierung ZE Zeiteinheit

Häufig verwendete Variablennamen

al' a(t) Auszahlung d. Periode t Ko Barwert (eines Kapitals) A, A(t) Annuität; Arbeitsinput (in t) ~ Zeitwert (eines Kapitals B Bestand; (zulässiger) Bereich im Zeitpunkt t) c Konsum, Konsumsurnrne ky stückvariable Kosten Co Kapitalwert l<y variable Kosten e Eulersche Zahl L Lösungsmenge; Lagrange-el' e(t) Einzahlung d. Periode t Funktion; Liquidationserlös E Erlös, Umsatz, Ausgaben; A. Lagrange-Multiplikator

Einheitsmatrix p Preis; Zinsfuß f Elastizität q Zinsfaktor ( = 1 + i) g Stückgewinn Input; Homogenitätsgrad; gD Stückdeckungsbeitrag (stetiger) Zinssatz; Rang einer Matrix G Gewinn R Rate; Zahlungsstrom Go Deckungsbeitrag Rn Renten-Endwert h Stunde(n) s Sparen, Sparsurnrne i Zinssatz ( = p/1 00) t Zeit I, I(t) Investition (im Zeitpunkt t) T Laufzeit k Stückkosten u Nutzen(index); Umsatz K Kosten; Kapital X Nachfrage; Angebot; kf stückfixe Kosten Output; Menge Kr Fixkosten y Einkommen; Sozialprodukt

~ Endwert (eines Kapitals) z Zielfunktion

Griechisches Alphabet

a,A Alpha t, I Jota p,P Rho ß,B Beta K,K Kappa a,~ Sigma y, r Gamma A., A Lambda r, T Tau o, ß Delta f-t,M My v, y Ypsilon e, E Epsilon v, N Ny <p, <I> Phi ~. z Zeta ~. 3 Xi X, X Chi 1], H Eta o, 0 Omikron '1/J, lJ1 Psi iJ, e Theta :rr, li Pi w,Q Omega