Einige Probleme der Dynamik des Fluges zum Mond

Einige Probleme der Dynamik des Fluges zum Mondl) Von V. A. EGOROV

Einleitung Bei der heutigen Entwicklung des Raketenbaues ist es moglich, Geschwindig-

keiten zu erzielen, die nicht nur zur Entsendung kunstlicher Erdsatelliten, sondern auch fiir einen Flug zum Mond ausreichen. Man findet in der Literatur [I, 2, 3, 4, 51 jedoch noch keine befriedigende Losung einer Reihe wichtiger Probleme der Theorie des Fluges zum Mond, wie der Form und der Klassi- fikation der Freiflugbahnen, der moglichen Bahnen fur das Um0iegen des Mon- des und der anschliellenden Riickkehr zur Erde, der Moglichkeiten eines periodischen Umfliegens von Mond und Erde, des Problems der minimalen, zum Er- reichen des Mondes erforderlichen Anfangsgeschwindigkeiten sowie des Auf- treffens auf dem Mond. Ferner ist auch das sehr wichtige Problem nicht gelost, wie die Wahl der Anfangswerte die charakteristischen Eigenschaften der verschiedenen Flugbahnen zum Mond beeinflullt. Diese Tatsache erkliirt sich durch bestimmte Schwierigkeiten, denn diese Dinge fiihren in der einfachsten Form der Problemstellung auf das in der Mechanik noch ungeloste Dreikorperproblem fur kreisformige Bahnen.

Der genannte Problemkreis wurde in den Jahren 1953- 1955 im Mathemati- schen Institut der Akademie der Wissenschaften der UdSSR systematisch untersucht. Ferner wurden numerische Berechnungen mittels elektronischer Rechenmaschinen durchgefiihrt. Die wichtigsten Ergebnisse dieser Untersuchun- gen werden im vorliegenden Bericht dargelegt ”.

Im $ 1 wird das auf Kreisbahnen beschrgnkte Dreikorperproblem fur Erde, Mond und Rakete formuliert. Die Gleichungen dieses Problems haben in dem Koordinatensystem, das mit der Verbindungsachse der Mittelpunkte von Erde und Mond rotiert, die Energie als Integral der Bewegung ( JAKOBI). Das erlaubt nach HILL [7] eine energetische Behandlung des Problems und ermoglicht eine exakte theoretische Losung der Frage nach der kleinsten, zurn Erreichen des Mondes erforderlichen Anfangsgeschwindigkeiten ( $ 2 ) .

Die tat,sachliche Bestimmung der Flugbahnen minimaler Geschwindigkeit durch numerische Integration zeigt jedoch, dall diese Flugbahnen langere Zeit in der Nahe von Ellipsen mit einem Brennpunkt im Erdmittelpunkt verlaufen,

l) Uspechi fiz. Nauk 63, 73-117 (1957). *) Hieriiber mrde im Mathematischen Institut der Akademie der Wissenschaften der

UdSSR im Februar 1956 berichtet. Eine kurze Zufiammenfassung findet man in der An- merkung [18].

Einige Probleme der Dynamik des Bluges zum Mond 81

und daB die Rakete vor Erreichen des Mondes eine hinreichend groBe Anzahl von Umlaufen um die Erde (etwa Hundert und mehr) auszufiihren hat. Diese Plugbahnen besitzen daher kein praktisches Interesse. Es zeigt sich auch, daO die zum Erreichen des Mondes beim ersten Umlauf erforderlichen minimalen Geschwindigkeiten durch die Bedingung, daD der Flugkorper auf den Mond auftrifft, unter vollstandiger Vernachlassigung ssines Einflusses (0 3), festgelegt werden konnen.

I m 9 4 wird gezeigt, daB es nicht moglich ist, das Gerat durch die EinfluB- sphare des Mondes einzufangen, wenn es sich auf einer auf der Erde beginnenden Flugbahn bewegt und sich dem Mond beim ersten Umlauf nahert (Annaherungs- flugbahn).

DaB der Einfang bei beliebigen Flugbahnen nicht moglich ist, kann man bei Be- schrankung des Dreikorperproblems auf Kreisbahnen nur fur hinreichend kleine Massenverhiiltnisse (kleiner als das Massenverhaltnis von Mond zu Erde) zeigen.

Fur die Annaherungsflugbahnen kann man den EinfluB des Mondes auBerhalb seiner EinfluBsphLre und den EinfluB der Erde innerhalb der EinfluOsphare des Mondes vernachlassigen; man kann daher annehmen, daB die Bewegung auBer- halb der EinfluBsphare des Mondes langs eines geozentrischen KegeIschnittes und innerhalb seiner EinfluBsphare langs eines selenozentrischen Kegelschnittes srfolgt. Hieraus ergibt sich ein einfaches und auch genugend genaues Naherungs- verfahren zur Untersuchung der Flugbahnen. Ferner kann man zeigen, daO die Bewegung langs der Annaherungsflugbahnen relativ zum Mond stets mit Ge- schwindigkeiten erfolgt, die wesentlich grooer als die selenozentrische parabolische Geschwindigkeit sind ( $ 5).

Das genannte Naherungsverfahren zur Untersuchung der Flugbahnen erlaubt, in charakteristischen Bereichen die grundlegenden GesetzmaBigkeiten zu ermitteln und die Eigenschaften der Bewegung zu berechnen. Insbesondere zeigt sich, daB bei Anfangsgeschwindigkeiten, die nur um 0,5 kmlsec grdBer als die parabolische sind, die GesetzmaBigkeiten sich bereits den asymptotischen Ver- haltnissen bei unendlich groBen Anfangsgesohwindigkeiten nahern.

Bei einer Bewegung in der Bahnebene des Mondes kann die geozentrische Austrittsgeschwindigkeit aus der EinfluBsphare des Mondes heraus nlherungs- weise bestimmt werden, und zwar gleichzeitig fiir alle Annaherungsflugbahnen rnit vorgegebenem Vektor der Anfangsgeschwindigkeit. Das setzt uns in die Lage, die Entwicklung der gesamten Mannigfaltigkeit der Annaherungsbahnen zu analysieren, wenn sich GroBe und Richtung der Anfangsgeschwindigkeit andern ($ 6), und die Grundprobleme der Dynamik des Fiuges zum Mond in dessen Bahnebene zu losen.

Um das Problem des Auftreffens auf dem Mond zu losen (0 7), wurde eine Methode zur maschinellen Berechnung der Anfangswerte, die ein Auftreffen auf dem Mondmittelpunkt mit vorgegebener Genauigkeit ermoglichen, ausgearbeitet, wodurch die Berechnung von Auftreffflugbahnen in groOerem Umfange moglich wurde. Mit Hilfe eines Naherungsverfahrens wurde festgestellt, da13 die Ab- weichung der Flugbahnen vom Mondmittelpunkt nicht linear, sondern quadratisch von kleinen Abweichungen der Anfangswerte abhangen. Die Rechnungen zeigten, daB offenbar das Auftreffen auf den Mond, was die erforderliche Genauig- keit der Anfangswerte angeht, ohne Korrekturen irgendwelcher Art auf der Frei- flugbahn technisch realisierbar ist. 6 Kiinstliche Erdvatelliten

82 V. A. EGOKOV

Was das Problem des Umfliegens des Mondes betrifft ($ 8), so wurde ebenfalls eine Methode zur Berechnung der die Ruckkehr zur Erde ermoglichenden An- fangswerte gefunden. Hierbei ist die Abweichung der Flugbahn vom Erdmittel- punkt bei der Ruckkehr ebenso wie beim Auftreffproblem eine quadratische Funktion der Fehler der Anfangswerte. Was den Charakter der Annaherung an den Mond angeht, so konnen die ihn umkreisenden Flugbahnen zwei verschiedenen Klassen angehoren. Es gibt auch zwei Klassen von Annaherungsbahnen bei der Riickkehr zur Erde, jedoch entsprechen diese Riickkehrbahnklassen nicht den ersteren. Die Entstehung, Entwicklung und das Verschwinden der beiden Klassen bei Bnderung der Anfangsgeschwindigkeit 1aBt sich verfolgen. Der EinfluB der Streuung der Anfangswerte nimmt mit zunehmendem Abstand der Flugbahn vom Mond ab. Beim Umfliegen des Mondes in Abstanden, die groBer als der Radius der EinfluBsphare des Mondes (66000 km) sind, ist die fur die Riickkehr zur Erde erforderliche Genauigkeit nicht groBer als fur ein Auftreffen auf den Mond bei der gleichen Anfangsgeschwindigkeit. Daher ist das Umfliegen des Mondes in hinreichend groBen Abstanden mit anschlieBen- der Ruckkehr zur Erde ohne eine Korrektur auf der Freiflugbahn offenbar technisch realisierbar.

Das verlockendere Problem des Umfliegens rnit schragem Eintritt in die Erd- atmosphare ( $ 9) wird ahnlich gelost und besitzt eine ahnliche Klassifizierung. Infolge der relativ geringen Dichte der Erdatmosphare ist jedoch ein schrages Eintreten ohne entsprechende Korrekturen der Annaherungsbahn nach einem Umfliegen des Mondes kaum zu verwirklichen.

Ein periodisches Umfliegen von Mond und Erde in einer Ebene langs einer Annaherungsbahn ( $ 10) ist praktisch nicht moglich. Es zeigt sich, daB es praktisch nur eine Schar von periodischen Annaherungsbahnen zum Umfliegen gibt ; fiir den Flug zum Mond gibt es eine unendliche Menge (zwei Folgen) von hinfiihrenden Scharen. Die Losungen fur das Umfliegen entsprechen hyperboli- schen Anfangsgeschwindigkeiten, die Flugbahnen verlaufen in einem Abstand von 100000 km und mehr von der Erde und sind instabil.

Betrachtet wurde auch die Antreibung (Geschwindigkeitszuwachs) der Rakete mit Hilfe des Mondes ohne Brennstoffverbrauch, beispielsweise fur den Flug zu einem anderen Planeten ( 9 11). Dieses Problem ist deshalb interessant, weil die Bahnebene des Mondes mit denen der Planeten einen kleinen Winkel bildet. Die Flugbahn, auf der die beinahe maximal mogliche Antreibung nahe der maximal moglichen (von der GroBenordnung 1,5 km/sec) erfolgt, muB hinreichend nahe an der Mondoberflache vorbeifiihren. Aus diesem Grunde ist die (beinahe maximale) Antreibung ohne entsprechende Korrektur auf der Freiflugbahn vor der Annaherung offenbar nicht zu erreichen. Neben den gefundenen Flugbahnen fiir ,,Auftreffen", ,,Umfliegen" und ,,Hinfiihren" und neben den Flugbahnen, die der einen oder anderen Antreibung der Rakete nach der Annaherung entsprechen, existieren Flugbahnen, die einer groBen oder kleinen Verlangsamung (relativ zur Erde) entsprechen. Andere Anniiherungsbahnen existieren nicht. Die erhaltene Klassifikation der Annaherungsbahnen ist daher vollstandig.

Am SchluB der Arheit wird auf mogliche Verallgemeinerungen der Methode und Ergebnisse aufmerksam gemacht, insbesondere wird auf die Moglichkeit ihrer Verallgemeinerung fur das Problem des Fluges von der Erde zu den auBeren Planeten des Sonnensystems hingewiesen.

Einige Probleine der Dynamik des Fluges zum Mond

8 1. Die Bewegungsgleichungen

83

Fiir das Ziel tiieser Arbeit ist es nicht erforderlich, alle Krafte, die auf der Frei- flugbahn zum Mond wirken, zu beriicksichtigen. Es geniigt, die wichtigsten Krafte, von denen die Bewegung abhangt, zu erfassen.

Untersucht man die beim vorliegenden Problem wirkenden Krafte, so ist es sinnvoll anzunehmen, daB die Flugbahn auBerhalb der Atmosphare in einer Hohe von einigen hundert Kilometern beginnt und ganz innerhalb der EinfluB- sphare der Erde beziiglich der Sonne verlauft. Dabei wird die EinfluBsphLre der Erde wie folgt definiert [6]: Sei x1 das Verhaltnis der Kraft, mit der die Sonne die geozentrische l ) Bewegung des Gerates stort, zur Anziehungskraft der Erde und x2 das Verhaltnis der Kraft, rnit der die Erde die heliozentrischel) Bewegung des Gerates stort, zur Anziehungskraft der Sonne. Diejenige Sphare um die Erde, innerhalb der x1 < x2 ist, heil3t Einfluljsphare der Erde.

Zur Bestimmung des Radius der EinfluBsphare eines kleinen Korpers m beziiglich eines grol3en il.l gilt die Relation ([6], Seite 194)

r* = A(m/M)'is. (1.1)

(Dabei ist A der Abstand zwischen den Massen m und 111.) 1st m die Erde und M die Sonne, so liefert (1>1) r* x 930000 km. Dieser Wert betragt etwa das 2,5fache des Abstandes a Erde-Mond (a = 384400 km).

Wir schatzen nun die Storung der Erdanziehung durch die Sonne ab. Allgemein gilt, dalj das Verhaltnis der Storung A F zur Anziehung F eines zentralen Kor- pers am Rande der EinfluRsphare maximal ist und der Relation [6]

(1.2) AF'IF < (16 m/M)' 6

geniigt. Hieraus folgt fur den Fall Erde-Sonne AF'lF < 0,138. Mit abnehmendem Abstand r von der Erde nimmt A F / F mit r 3 ab, so daB im Abstand der Mondbahn AF' lP = 0,138/(2,5)3 < 0,Ol ist; bei kleineren Abstanden von der Erde ist das Verhaltnis von Storung durch die Sonne zu Erdanziehung noch kleiner. Wir nehmen an, daB das Geriit nicht wesentlich uber die Mondbahn hin- ausfliegt. Dann brauchen wir beim vorliegenden Problem den EinfluB der Sonne nicht zu beriicksichtigen.

Wir gehen nun zur Abschatzung der storenden Wirkung der Planeten iiber. Die Abstande der Planeten von der Erde sind mit dem Abstand der Erde von der Sonne vergleichbar. DieMasse der Planeten ist jedoch, verglichen mit der Sonnen- masse, verschwindend gering. Die Storung durch die Planeten braucht daher erst recht nicht beriicksichtigt zu werden.

AbschlieBend betrachten wir den EinfluB des Mondes. Der Radius der Ein- fluBsphiire e* des Mondes beziiglich der Erde ist klein: m,:m, = 81,45; p* = a (m2/m1)' 6 = 66000 km. Obwohl die Storung durch den Mond innerhalb des gro13ten Teiles des betrachteten Raumes im Vergleich zur Erdanziehung verschwindend gering ist, spielt sie innerhalb der EinfluBsphLre des Mondes doch

l ) Geozentrisch (heliozentrisch) heidt die Bewegung in einem Koordinatensystem mit dem Ursprung im Erdmittelpunkt (Sonnenmittelpunkt), das sich translativ mit der Erde (Sonne) verschiebt.

b *

84 V. 3. EGOROV

eine grundlegende Rolle, und sie darf keinesfalls vernachlassigt werden; um so mehr, als gerade die durch die EinfluBsphare des Mondes gehenden Flugbahnen besonders interessieren. Somit sind beim vorliegenden Problem nur die An- ziehungskrafte der Erde und des Mondes zu beriicksichtigen.

Da die Abplattung von Erde und Mond die Schwerkrafte um weniger als 17; andert, kann man sie vernachlaissigen. Das Problem fuhrt auf das sogenannte Dreikorperproblem fur Punkte auf elliptischen Bahnen: m, - Erde, m2 - Mond, m, - Gerat.

Das Problem kann weiter vereinfacht werden, wenn wir beachten, daB die Kondbalin nahezu eine Kreisbahn ist (ihre Exzentrizitat betriigt e = 0,0549). Betrachtet man nun diejenigen Krhfte im Koordinatensystem x, y, z, das sich mit der Verbindungslinie von m, und m2 dreht, die dadurch bedingt sind, daB die Bahnkurven Ellipsen und keine Kreise sind, so kann man zeigen, daB diese nur einen Bruchteil der GroBenordnung e der Zentrifugal- und Corioliskriifte aus- machen. Daher kann man sich beim vorliegenden Dreikorperproblem auf Kreis- bahnen beschranken.

Die Gleichungen desselben sind

Hierbei ist 1 fm, fm2 u = - (22 + y2) + __ + -, 2 r e

wobei f die Gravitationskonstante ist; r ist der Abstand des Gerates m, von m,, der Abstand desselben von m,. Die x-Achse verlauft stets von m2 nach m,, die y-Ache verlauft durch den Massenmittelpunkt des Systems m,m2 in der Bahn- ebene des Mondes.

Hierbei wurden folgende Einheiten benutzt : Piir die Langen der Ab- stand a zwischen den Mittelpunkten von Erde und Mond und fiir die Zeit T/Zn, wobei T der siderische Monat ist (Umlaufperiode der Massen ml und mz). Wir erwahnen, daB nach dem dritten Keplerschen Gesetz in diesen Einheiten f (ml + m2) = a 3 ( T / 2 ~ ) - ~ = 1 ist.

Auch das ebene Dreikorperproblem der Mechanik fur Kreisbahnen ist bekannt- lich in seiner allgemeinen Form nicht explizit Iosbar. Fur einige Spezialfalle, die die Bewegung der Korper des Sonnensystems betreffen, gibt es jedoch Methoden zur Bestimmung der Losungen. Die Bahn eines Fluges von der Erde zum Mond hat jedoch mit den gewohnlichen Bahnen der Korper des Sonnensystems wenig Ahnlichkeit. Daher sind diese Methoden hierfiir wenig geeignet.

I n der vorliegenden Arbeit wird zur Bestimmung der moglichen Bahnformen fiir den Flug zumMond und fur deren naherungsweise Berechnung ein Naherungs- verfahren benutzt. Zur genauen Berechnung der Bewegungsparameter und zur Ermittlung des Einflusses einer Streuung der Anfangswerte wurden die Be- wegungsgleichungen (1.3) numerisch mit Hilfe von Rechenmaschinen integriert.

Zur theoretischen Losung der Rage nach den kleinsten Geschwindigkeiten, die erforderlich sind, um den Mond zu erreichen, sowie des Problems des Ein- fanges des Gerates durch den Mond gingen wir, wie HILL [7], energetisch vor.

Einige Probleme der Dynamik des Fluges zum Mond

S 2. Die theoretische Liisung des Problems dor kleinsten Geschwindigkeiten

Zur Bestimmung der kleinsten Geschwindigkeiten, die erforderlich sind, um den Mond zu erreichen, machen wir davon Gebrauch, daB die Gleichung (1.3) das bekannte JAI<OEI-Integral besitzt [6]

85

( 1 / 2 ) ( i 2 + y2 + i2) = V2/2 = U + h mit h = const. (2.1)

Bei festem h wird die Bewegung offenbar durch die von HILL [’i] eingefiihrten , ,FI&chen der Geschwindigkeit Null“ begrenzt :

U = - h . (2.2)

Eine Untersuchung der Gleichung (2.2) zeigt ([GI, Seite 108), dalj die Bewegung bei groBen negativen Werten von h entweder nur innerhalb zweier sich nicht beriihrender Flachen s‘ und s“ oder auljerhalb der s’ und s” umfassenden Flache s moglich ist. Die Flachen sf bzw. s“ weichen nur wenig von den Oberflachen von Kugeln mit den Mittelpunkten m, bzw. m, ab. Die Schnitte jeder der drei Flachen s’, s”, s rnit der x y-Ebene sind nahezu Kreise. Bei der Anfangsgeschwindigkeit V, = 0 verlauft die Flache s’ durch den Anfangs- punkt, mit wachsendem V , vergroBert sie sich, wobei sie sich von m, entfernt.

Beginnt die Freiflugbahn in Abstanden, die wesentlich kleiner als die Ent- fernung zum Mond sind, so kann die Bewegung nur innerhalb der Flache s’ erfolgen, und eine Annaherung an den Mond ist nicht moglich.

Mit wachsender Anfangsgeschwindigkeit V,, nimmt h zu, die Flachen sf und s” dehnen sich aus, wobei sie sich einander nahern, die Fliiche s dagegen schrumpft zusammen. Bei einem bestimmten Wert V,, = V t ) erreicht h einen Wert h,, fur den die Flachen s’ und s” einen gemeinsamen Punkt L, (Bild 1) besitzen; bei kleinen ( h - h,) werden sie durch einen Kanal bei L, verbunden. Das bedeutet, daB fur solche Werte von h Flugbahnen existieren konnen, die von Punkten in der Nahe von m, ausgehen und zu Punkten in der Nahe von m, fiihren, d. h. die Annaherung eines Gerates an den Mond ist moglich. Eine Halfte der h = h, entsprechenden Schnittflache der x y-Ebene mit den Flachen s, s’, s” (Kurven sl, s;, s;’) ist in Bild 1 wiedergegeben.

Bei weiterem Anwachsen von h ( V,) wird schlieljlich ein kritischer Wert h, > h,, h, = h ( Vf)) erreicht, der der Beriihrung der Flachen s und s” in einem Punkte L, entspricht (Kurve s2 in Bild 1). Damit besteht fur das Gerat die Rloglichkeit, die Erde durch den Kanal bei L, zu verlassen und in das Unend- liche zu fliegen. Die kleinste, zum Erreichen des Mondes erforderliche Geschwin- tligkeit ist somit gleich Vp), die zum Wegfliegen in das Unendliche V r ) .

Neben den kritischen Werten h, und h, existieren noch zwei kritische Werte h, > h, und h, > h,. Der Wert h, entspricht der Moglichkeit des Wegfliegens in tlas Unendliche durch den Kanal bei L, (siehe Kurve s, in Bild 1) . Der Wert h, ist kleiner als Null und entspricht dem Verschwinden der zur Geschwindigkeit 0 gehorenden Kurven in der x y-Ebene in den zur x-Achse symmetrisch liegenden Punkten L, und L,; dieser Wert entspricht somit der Moglichkeit des Weg- fliegens der Rakete in das Unendliche Iangs einer beliebigen Richtung in der x y-Ebene. Die die raumliche Bewegung begrenzenden Flachen verschwinden fur h = 0.

86 V. A. EGOROV

Die Punkte Li (sogenannte Librationspunkte) liegen in der Bahnebene des Mondes und konnen als singulare Punkte der Flachen (2.2) gefunden werden. Die h-Werte findet man aus (2.1) fiir V = 0 mittels der Koordinaten der Punkte Li, die entsprechenden Anfangsgeschwindigkeiten Vf) folgen aus (2.1) mit h, = hi aus den Koordinaten der gegebenen Anfangspunkte.

Wir erwdhnen, daD nian fur die kritische Anfangsgeschwindigkeit V f ) stets den gleichen Wert erhalt, und zwar unabhangig von ihrer Richtung, obwohl dieae

L, 0,8491539 0,1508461 -1,594067 10,60335 L, 1,1677237 0,1677237 -1,585991 10,60411 L, 0,9929263 1,9929263 -1,506062 10,61165 L4 1 1 - 1,494001 10,61278

LZ m2 L, m1 L3 X

Bild 1. Schnitt durch die der Geschwindigkeit Xu11 entsprechenden kritisclien Flachen fur das System Erde - Mond. Die Schnittebene piurde durch die Mondbahnebene gelegt. Bei Geschwindigkeiten, die eiii wenig groBer als die minimale sind, kann das Gerat nur

durch den Kana1 bei L, zum &fond gelangen.

10,84890 10,84968 10,85738 10,85854

sich offenbar von Punkt zu Punkt andert. Aus (1.4) und (2.1) folgt jedoch, daLi sie sich innerhalb einer Sphare mit dem kleinen Radius r von Punkt zu Punkt nur wenig andert. Es zeigt sich, daft die Bnderung der Geschwindigkeit V t ) in einer Sphare, die einer Hohe von 200 km entspricht, von der GroDenordnung 5 . lO-'(2na/T) ist, so dafi die Geschwindigkeit V$) .praktisch nicht von der Lage in der Sphare abhangt. (Hierbei wurde ebenso m e bei der Berechnung der Kurven von Bild 1 der Wert 81,45 fur das Massenverhaltnis m1:m2 angenommen.)

Tabelle 1

Einige Probleme der Dynamik des Fluges zum Mond 87

In Tabelle 1 sind die Ergebnisse der Berechnungen der Abstande ri und ei tler Librationspunkte von der Erde bzw. vom Mond, der kritischen Energien hi und der kritischen Geschwindigkeiten V f ) in den Einheiten 2nalT und km/sec miedergegeben.

Als Anfangshohe wurde der Wert 200 km gewahlt. Dieser Wert wurde ge- iiommen, damit die berechneten Flugbahnen auch fur groBe Anfangshohen real sind. Kleinere Anfangshohen darf man nicht wiihlen, da dann der Widerstand der Atmosphare so anwachst, daB man ihn beriicksichtigen muR.

Wir sehen, daB die Differenz Vhl) - V p ) kleiner als 10 mjsec ist, die Differen- zen V t ) - V t ) sowie VF) - Vi4) sind dagegen nur von der GroBenordnung 1 misec.

Der Abstand der Punkte L, bzw. L, vom Mond ist in km ausgedriickt 58000km bzw. 65000 km, d. h. diese Punkte liegen sehr nahe am Rande der EinfluBsphLre des Mondes.

Wir wollen erwahnen, daB bei der Untersuchung der Lage der Librations- punkte die Fehlerhaftigkeit eines Theorems von MARTIN [9] festgestellt wurde, das von MARKOV [lo] besprochen, jedoch nicht berichtigt wurde. Setzen wir m2 = p, m, = 1 - p, so gelten nach diesem Theorem folgende Ungleichungen:

,u* < p < 1. Es wurde behauptet, daB p* > 11, sei. Man kann jedoch zeigen, daR stets el(p) < e,(p) ist und daR diese beiden

GroBen fur 0 < p < 1 nicht einander gleich werden konnen. Der Fehler schlich sich im Beweisgang von MARTIN bei der Einfiihrung ahnlicher Ausdrucke ein.

Im Zusammenhang hiermit ist die Arbeit von ROSENTAL [S] gegenstandslos, die sich mit der Bestimmung des Wertes p* befaot.

< eZ(p) fur 0 < p < p*, el@) = ez(p) fur p = ;cc* und el(p) > ee(p) fur

8 3. Numerische Bestimmung der Flugbahnen Flugbahnen minimaler Geschwindigkeit

Es ware interessant zu wissen, wenn auch nur beim ebenen Problem, wie die Flugbahnen minimaler Geschwindigkeit aussehen und ob man ein Gerat derart von der Erde zum Mond senden kann, daB man ihm eine etwas grol3ere Anfangs- geschwindigkeit als die minimale erteilt, so daB das Geriit dadurch langs der emporfuhrenden Flugbahn zum Librationspunkt L, gehoben wird, mit kleiner Geschwindigkeit durch den Kana1 fliegt und dann den Mond erreicht. Diese Frage kann man klaren, wenn man die Flugbahn durch numerische Integration mit Hilfe einer Rechenmaschine berechnet.

Wir erwahnen, daB die rechten Seiten der Bewegungsgleichungen bei Anniihe- rung des Geriites an den Mond anwachsen und beim Auftreffen des Gerates auf den Mondmittelpunkt unendlich werden. Von dieser Schwierigkeit konnen wir uns mittels einer regularisierenden Transformation der Variablen befreien.

Beim ebenen Problem ist die bekannte Transformation von TILLE [15] dazu besonders geeignet. Zu deren Anwendung transformieren wir den Ursprung des Koordinatensystems in den Mittelpunkt des Intervalles m, m,, als MaBeinheit benutzen wir c = a/2 an Stelle von a (Bild 2) :

6 = c1 + 2 2 ; 1;1 = 2y, wobei c1 = mi - ma = 0,9757478. . (3.1) m 1 f m2

88 V. A. EGOROV

Man erhalt die Gleichungen

(3.2)

und das JAI<OBI-htegral I 8m 8m, 2 V 2 = 2 U' + H , wobei U' =7 (t2 4- q') - c + -l + -- , H = const. (3.3)

r 0 1

Die Transformation von TILLE besteht im ubergang zu neuen Veranderlichen z, U ( z ) und V (z) gemBB den Relationen dt = r e d t und [ = cos W , wobei

5' = 6 + iq und W = U + i V . (3.4)

I Bild 2. Zusammenhang zwischen den geozentrischen Roordinaten El, 7jl mit den rotie-

renden 5, T. Die Anfangsrichtung von ist die voii m2 (Mond) nach ml (Erde).

Man uberzeugt sich leicht davon, daB diese Transformation tatsachlich zu Gleichungen mit in der gesamten endlichen W-Ebene regularen rechten Seiten fiihrt. I n diesen neuen Veranderlichen wurden alle Flugbahnen (etwa 1000) mit 5- bis 7stelliger Genauigkeit mittels der Elektronenrechenmaschine SCM [I71 berechnet. Fur die Kontrolle der Genauigkeit erwies sich das JAKOBI-Integral (3.3) als geeignet.

Wir geben nun die Ergebnisse der Berechnungen der Flugbahnen mit minimaler Geschwindigkeit wieder. Zuerst wurde die Flugbahn mit der ersten h i t i - schen Geschwindigkeit V,, = Vl1) berechnet, und zwar fur den Fall, daB diese auf dem geozentrischen Radiusvektor des Anfangspunktes (geozentrischer An- fangsradius) rl senkrecht steht und in die Rotationsrichtung des Mondes weist. I n diesem Falle ist die geozentrische Anfangsgeschwindigkeit des aerates, wie man gild 2 entnehmen kann, maximal. Die Blugbahn beginnt in einer Hohe von 200 km bei e = a. Es zeigte sich, daB diese Flugbahn die kritische Kurve s; bei

Einige Probleme der Dynamik des Fluges zuni Mond 89

etwa 30000 km nicht erreicht und zur Erdc zuriickfiihrt. Es wurden noch 5 Um- laufe dieser Flugbahn in einem sich uber mehr als einen Monat erstreckenden Interval1 verfolgt, die Hohe des Apogaums iinderte sich jedoch praktisch nicht.

Bild 3 zeigt die berechnete Flugbahn in einem rotierenden Koordinaten- system (der sechste Umlauf ist nicht mehr eingezeichnet, da er sich mit dem ersten schneidet). Die Zahlen an den Flugbahnen bezeichnen hier und im fol-

Bild 3. Die ersten Umlaufe der Flugbahn mit minimaler kritischer dnfangsgeschwindig- keit im rotierenden Koordinatensystem. Die h-ritische Kurve s; wird im Verlaufe eines

Monats nicht erreicht. (Kurven und Achsenteilungen sind mahtabsgetreu.)

genden die Flugdauer (ausgedriickt in Tagen) l). I n einem nichtrotierenden geozentrischen System m,[lql (die tl-Achse hat die Richtung der [-Achse zum Zeitpunkt t = 0 ; s. Bild 2) entsprechen die 8er Windungen (Bild 3) Kurven, die die Erde in der gleichen Richtung umlaufen und die siimtlich nahezu auf der gleichen Ellipse mit einem Brennpunkt im Erdmittelpunkt liegen (Bild 4). Das Anwachsen der Hohe des Apogiiums ist zwar bemerkbar, jedoch klein.

Erde, Mond und Flugbahnen sowie die Teilungen auf den Achsen sind mal3stabs- getreu eingexeichnet.

90 V. A. EGOROV

I I

I I

+

Aus den angefiihrten Rechnungen ergibt sich, daB das friihere oder spatere Erreichen der Fliiche s; durch die Flugbahn mit der Anfangsgeschwindigkeit

V, = V:,’) gemaB 5 2 nur nach einer hinreichend grol3en Anzahl von Umlaufen urn m,

Neben der betrachteten Flugbahn wurden km) niiiglich ist.

. -700

- -750

noch solche berechnet, die si& von dieser hinsichtlich dcr Richtung der Anfangsge- schwindigkeit unterscheiden (Bild 5 ) . Es zeigte sich, daD die Wahl der Richtung der Anfangsgeschwindigkeit fiir die Hohe des Apogiiums des ersten Umlaufes der Flug- bahn nicht ohne EinfluD ist,. Aus einem Ver- gleich der Flugbahnen in Bild 5 (beispielsweise der Flugbahnen I und IV) kann man entnehmen, daB der Abstand des Apogaums um so groDer ist, je groDer die geozentrische Anfangsgeschwindigkeit ist.

Wir erwahnen, daD die die Erde im Uhr- zeigersinn umlaufenden Kurven vom Typ 1V (Bild 5 ) im geozentrischen Koordinaten- system ebenso wie die Kurven in Bild 4

k h l o u f Bild 4. Die Flugbahn des vorhergehenden Bildes in geozentrischen Koordinaten. Die durch den

&3umfouf MondeinfluD bedingte Bahnvergrohrung ist bemerkbar.

v/tuusend km)

Bild 3. EinfluD der hde rung der Richtung der Anfangsgeschwindigkeit auf die Flugbahn, dargestellt im rotierenden Koordinatensystem 0, E , r).

Einige Probleme der Dynamik des Fluges ziim Mond 91

Ellipsen mit einem Brennpunkt im Erdmittelpunkt sehr nahe liegen, wobei d iese Ellipsen im Uhrzeigersinn durchlaufen werden.

Auch fur die Flugbahnen V , = V:J, i = 2 , 3, 4 erhalt man Ergebnisse, die den fur die Flugbahnen mit der Anfangsgeschwindigkeit V , = V t ) erhaltenen analog sind.

Es zeigte sich insbesondere, daS diese Flugbahnen beim ersten Umlauf weder die entsprechenden Kurven si erreichen, noch an die Kurven sli herankommen (Bild 1).

Die im § 2 mittels des JAKOBI-Integrals erhaltenen minimalen Geschwindig- keitcn reichen somit zur Annaherung an den Mond beim ersten Umlauf keinesfalls aus (was sehr interessant ist). Die Berechnung der Bedingungen fur das Er- reichen des Mondes beim ersten Umlauf ist mittels der Methode des 5 2 nicht moglich, es ist vielmehr erforderlich, nach anderen Wegen zur Losung des Problems zu suchen.

Da die Bewegung mit minimaler Geschwindigkeit beim ersten Umlauf im geozentrischen Koordinatensystem nahezu mit der Bewegung auf entsprechenden Ellipsen mit einem Brennpunkt im Erdmittelpunkt ubereinstimmt, ergibt sich, da13 der EinfluS des Mondes bei solchen Bewegungen beim ersten Umlauf praktisch unwesentlich ist. Somit liegt der Versuch nahe, die zum Erreichen des Mondes beim ersten Umlauf erforderliche minimale Geschwindigkeit naherungs- meise durch vollstandige Vernachlassigung des Mondeinflusses zu finden.

In diesem Falle kommt es auf die Anfangsgeschwindigkeit T’, im nichtrotierenden geozentrischen System m,, t,, ql an, nicht aber auf die Geschwindigkeit im System 0, E , q (Bild 2 ) . Die kleinste erforderliche geozentrische Anfangs- geschwindigkeit ist, wie man sich leicht uberlegt, einfach diejenige Geschwindig- keit, mit der man einen Wert ra fur die Hohe des Apogaums erreichen kann, der gleich dem Abstand zum Mond ist.

Wir betrachten den Winkel a1 zwischen der Richtung dieser kleinsten Ge- schwindigkeit V, und des geozentrischen Anfangsradius rl als gegeben und bestimmen-Vl. -

Aus der Bedingung der lrleinsten Ellipse :

ra = a erhalten wir einen Ausdruck fur die groBe Achse

a2 - r: sin2 a1 2a, = - a - r, sin2 a1 * (3.5)

Mit Hilfe des geozentrischen Energieintegrals erhalten wir die minimale Ge- schwindigkeit Vl (TI, al) :

wobei V, die parabolische Geschwindigkeit ist. Fur eine Hohe yon 200 km und bei vertikaler Richtung (al = 0) der Anfangsgeschwindigkeit gilt

V, = 10,99967 km/sec.

92 V. A. EGOROV

Der Betrag der minimalen ,4nfangsgeschwindigkeit ist V, = 10,90525 km/sec. Dieser Wert ist um 50-60 mlsec grofler als die der 1. bis 4. kritischen Geschwin- digkeit bei a = 0 entsprechenden geozentrischen Geschwindigkeiten.

Aus (3.5) und (3.6) folgt, daB die Grofle der Anfangsgeschwindigkeit mit einer Bnderung ihrer Richtung von der vertikalen in die horizontale, d. h. bei der h d e r u n g von a innerhalb des Intervalles 0 < 1 all < n/2, monoton wachst. Folglich ist der angegebene, der vertikalen Richtung der Anfangsgeschwindig- keit entsprechende Wert der kleinste ihrer minimalen Werte. Jedoch ist er nicht

4 77

Bild 6. Berechnung des Auftreffens auf den Mond ohne Beriicksichtigung seines Ein- flusses fur a1 > 0.

sehr verschieden von dem der horizontalen Richtung entsprechenden. Bei einer Anfangshohe von 200 km betragt diese Differenz beispielsweise nur 1,6 m/sec.

Die Anfangslage ist sehr einfach zu berechnen. Aus dem Betrag von V, untl der Richtung a, der Anfangsgeschwindigkeit findet man leicht die Ellipsenpara - meter, den Winkelabstand @ und die Dauer des Fluges zwischen Anfangs- und Endradius. Die dem Erreichen des Mondes entsprechende Anfangslage findet man aus der Forderung nach einem Zusammentreffen des Gerates mit dem Mond in einem gewissen Punkt .

Bei der Bewegung in der Mondbahnebene wird die Anfangslage allein durch den Winkel il des Anfangsradius mit der 6-Achse ( 1 il 1 < n) bestimmt. Aus der Bedingung, daS die E-Achse zum Anfangszeitpunkt mit dcr E,-Achse zusammen- fallt (Bild 6), folgt :

wobei w die Winkelgeschwindigkeit des Mondes, Tl ,2 die Dauer des Fluges zu dem durch Relationen der Theorie der Kegelschnitte zu bestimmenden Mond- punkt ist. Hier und im folgenden werden die Winkel im mathematischen Sinne (d. h. entgegen dem Uhrzeigersinn) positiv gezahlt.

il = 3t sign a, - dj,, Q0 = @H - q, Q ~ M = LU (3.7)


Die durch (3.2) und die Anfangswerte aus (3.5)-(3.7) bestimmten Flugbahnen wurden durch numerische Integration mittels Maschinen fur die Werte aI = - n/2, 0, nl2 und fiir eine Reihe benachbarter Werte ermittelt. Eine von diesen ist in Bild 7 dargestellt. Es zeigte sich, daB die Bedingung r, = a die zum Er- reichen des Mondmittelpunktes erforderliohe minimale Geschwindigkeit hin -

Bild 7. Unterschied zwischen der Treffbahn 11 und der entsprechenden Ellipse I bei minimaler Anfangsgeschwindigkeit. Es ist zu erkennen, da13 das Auftreffen ohne Beriick-

sichtigung des Mondeidusses berechnet werden kann.

reichend genau (Genauigkeit 0,02 mlsec) festlegt, so daB die entsprechenden Anfangswerte tatsachlich unter Vernachlassigung des Mondeinflusses bestimmt werden konnen.

Das erhaltene Ergebnis zeigt insbesondere, daB die verbreitete Meinung, daB ein Geriit den Mond erreichen konne, wenn man es so weit von der Erde entferne, daD die an ihm angreifende Erdanziehungskraft ebenso groB wie die Mond-

04 V. A. EGOROV

anziehung ist, nicht zutrifft. Das bestatigten auch Berechnungen der entsprechenden Flugbahnen unter Beriicksichtigung der Mondanziehung fur el = - n/2, 0, + n /2 (siehe beispielsweise die Flugbahn mit L Y ~ = + nt/2 in Bild 8).

Wir erwahnen, daR auch bei den in den Rildern 7 und 8 dargestellten Fallen, in denen Gerat and Mond bei der Annaherung die Erde in der gleichen

Bild

\ \

H = ZOOkm

AY, =4707krn/sec

-------- 8. Storung der Ellipse, die den Punkt erreicht, in dem E d - und Mondanziehung

pleich sind, durch den Mond.

Richtung umlaufen und der EinfluB des Mondes besonders stark ist, die BP- wegung bei Beriicksichtigung des Mondeinflusses (fette Kurven) und bei Ver- nachlassigung desselben (diinne Kurven) bis zum Einlaufen in die EinfluSsphare des Mondes (Kreis e = e*) praktisch die gleiche ist. Bei Geschwindigkeiten, die groRer als die minimalen sind, ist der EinfluB der Storungen noch kleiner.

Wir konnen nun eine einfache Erklarung dafiir erhalten, daB die Anfangs- geschwindigkeit im System 0, 5, 91 kaum groRer als die erste kritische Ge- schwindigkeit VF) ist ( 4 2) und da13 sich das Gerat beim ersten Umlauf der

Einige Probleme der Dynamik des Fluges zuin Mond 95

Flugbahn nicht zurn Librationspunkt L, bewegen und nach Durchlaufen des Kanals mit sehr kleiner Geschwindigkeit den Mond erreichen kann. Denn die geozentrische Flachenkonstante l ) (T (L,), die der relativen Ruhe im Punkt L, entspricht, betragt mindestens das 3,9fache des Anfangswertes der Flachenkon- stanten (T ( A,). Die Storung durch den Mond kann diese Differenz wahrend eines Umlaufes nicht zu Null machen.

Wir schatzen die Zahl der zum Erreichen der kritischen Kurve s; (Bild 1 ) bei der ersten kritischen Anfangsgeschwindigkeit erforderlichen Umlaufe ihrer GroBenordnung nach ab. Da fur die Flugbahn in Bild 2 bei der AnfangsgroBe 6 ( A , ) = 71 300 km2/sec nach 6 Umlaufen der Wert AS = 6810 km2/sec erreicht wird, ist zu erwarten, daB die Groaenordnung der Zahl der zum Erreichen der Kurve s; erforderlichen Umliiufe durch den Ausdruck

6(G(Ll) - o(A,))/Ao gegeben ist; das sincl also etwa 200 Umlaufe.

Wir erwahnen, daB die Differenz zwischen der geozentrischen Energie eines Gerates, das sich im Punkte L, in relativer Ruhe befindet, und der eines Gerates, das die kritische Anfangsgeschwindigkeit V!;) besitzt, im Vergleich zu dessen kinetischer Anfangsenergie 112 . Vi1)2 verschwindend klein ist. Daher fiihrt die storende Wirkung des Mondes bei Geschwindigkeiten V, in der Nahe von V P ) im wesentlichen zu einer h d e r u n g der geozentrischen Flachengeschwindigkeit .

Q 4. tfber die Moglichkeit des Einfangs eines von der Erde entsandten Geriites dureh den Mond

Unter den im Zusammenhang mit der Losung des Problems der minimalen Anfangsgeschwindigkeiten berechneten Flugbahnen waren keine, die dem Fall des Einfangs durch den Mond entsprachen. Mit Hilfe der Ergebnisse von HOPF [ 1 1 ] kann man zu dem XchluB kommen, daS die Menge der Flugbahnen des Gerates im Phasenraum, von denen man nicht sagen kann, da13 sie nicht zum Einfang fiihren, das Lebesguesche MaB Null hat. Zur Losung des Problems des Fluges zum Mond ist es wichtig zu wissen, ob eine dem Einfangfall entsprechende Flugbahn existiert oder nicht. Obgleich sich, wenn eine solche Flugbahn existiert, deren spezielle Anfangsbedingungen nicht genau realisieren lassen, so kann man doch durch Realisierung hinreichend benachbarter Werte eine Flugbahn erhalten, die eine geniigend groBe Anzahl von Umliiufen um den Mond ausfiihrt, bevor sie sich von diesem entfernt. Das ist offenbar fur die Entsendung eines kiinstlichen Mondsatelliten ohne Hilfe eines zusatzlichen Antriebes von Inter- esse.

Man kann jedoch zeigen, daIj der Einfang eines von der Erde entsandten Ge- rates durch den Mond beim ersten Umlauf seiner Flugbahn bei keinem Anfangs- wert moglich ist. Nach einer Idee von FESENKOV [12] transformiert man das JAKOBI-Integral (2.1) vor dem Einfangen auf die gepzentrischen Elemente a,, p,, {, und nach dem Einfangen auf die selenozentrischen Elemente a2, p,, i,, eleminiert die Konstante h und zeigt, daB das Ergebnis auf einen Widerspruch fuhrt. --

1) o(LJ = wr;, :.= 282000 km2/sec, lo(A,) 1 = r l V g ) < 72400 krn2/sec.

96 V. A. EGOROV

Den Widerspruch kann man dank der spezifischen Anfangswerte der Flug- bahnen, die auf der Erde beginnen und sich nach dem ersten Umlauf dem Mond nahern, herleiten (siehe [lZ]). Wir nehmen (ebenso wie FESENKOV) an, daB der Einfang mit dem Augenblick beginnt, von dem an die Flugbahn innerhalb eines Bereiches bleibt, in dem die Anziehung durch den Mond starker ist als die der Erde. Der Radius dieser Sphare betragt eo (m,/rn,)'/s = 42700 km. Der Be- weis bleibt richtig, wenn man an Stelle dieses Wertes den Wert fiir die EinfluB- sphare des Mondes (e = eye = (m2/m1)s/s = 66000 km) benutzt. Er kann auch bei kleinerem Verhaltnis der anziehenden Massen m2 : m, durchgefiihrt werden, wenn nur der Anfangsabstand des Korpers m, von der Masse m, genugend klein ist, verglichen mit dem Abstand m,m,.

Somit verlaBt ein von der E r d e entsandtes Gerat, das beim ersten Umlauf in den EinfluDbereich des Mondes eindringt, diesen unbedingt wieder. Man kann daher das Projekt eines Mondsatelliten, wenn man diesen nach einem Umlauf erhalten will, nicht ohne zusatzlichen Antrieb verwirkliehen.

Bei einer Annaherung des Gerates an den Mond Iangs einer beliebigen Flugbahn kann man die Unmoglichkeit des Einfangs nicht zeigen; nur bei hinreichend kleinen Verhaltnissen der anziehenden Massen ist dieser Beweis bei Beschran- kung auf die kreisformigen Bahnen des Dreikorperproblems moglich. Diese Massenverhaltnisse mussen kleiner als das Verhaltnis von Mondmasse zu Erd- masse sein. Diesen Beweis wollen wir fiihren. Wir setzen m, + m2 = 1 und m2 = p. Dann gilt m, = 1 - p, eo x I/$

Nach 5 2 ist h > h,, wenn der K6rper m, bei einem bestimmten Umlauf aus dem Inneren der kritischen Flache s' zu m2 hinfliegt; kommt er aus demUnend- lichen, so ist h > h,. Hierbei ist

Bei kleinen ,LL gilt [I31

mit einer Genauigkeit bis auf Gro5en der Ordnung (~13)';~. Nehmen wir an, da5 der Einfangvorgang erfolgt ist, und transformieren wir

(2.1) auf die m,-zentrischen Elemente, so erhalten wir unter Beachtung der Un- gleichung -2 h < - 2 h, :

E. + 2 y z 2 cos i, < 10 - + !J F,, a2 4 (:

wobei FI endlich ist. Wegen a2 < 7/Fgilt

(4.3)

(4.3 a)


Da der kleinste Exponent von ,u auf der linken Seite kleiner als der auf der rechten Seite ist, ist diese Ungleichung bei geniigend kleinem ,u nicht zu erfullen, der Einfangvorgang ist dann nicht moglich. Es ist nicht schwer zu zeigen, da13 dieses Ergebnis auch da.nn noch gilt, wenn man an Stelle der Sphllre e < p'/i die EinfluBsphLre e < pais benutzt.

Das Ergebnis (4.3) verbessert das FESENKOVsche Kriterium der Unmoglich- keit eines Einfangs [12] fur kleine ,u

wo F endlich ist. Das Kriterium (4.4) unterscheidet sich von (4.3) dadurch, dab in [12] beim Beweisgang auf den linken Seiten der Formeln vom Typ (4.4) ,u vernachlassigt wurde. AuBerdem wurden in [12] bei der Ableitung des Kriteriums (4.4) nicht die Ausdrucke hi (p) betrachtet, sondern die TIssERANsche Trans- formation [13] und folgende Annahme benutzt [ l 2 ] (Seite 45):

,,Man sieht leicht, daB bei allen Bewegungen des Korpers m,, bei denen seine Annaherung an m, moglich ist, der Ausdruck l/al + 2 fi, cos i, stets kleiner als 3 ist." Diese Behauptung ist nicht richtig. Transformieren wir (2.1) auf die Ele- mente al, p,, i, und benutzen wir (4.2), so erhalten wir

(wobei y endlich ist); dieser Ausdruck ist bei hinreichend kleinen ,u gro13er als 3. Fur p-1 = 81,45 ist die Ungleichung (4.3) noch erfiillt, und es bleibt fur belie-

bige Flugbahnen zum Mond das Einfangproblem offen, wahrend man nach dem Kriterium von B'ESENKOV (4.4) erhalt, daB ein Einfang nicht moglich ist.

Unabhgngig davon, ob der Einfang moglich ist oder nicht, ist die Schaffung eines Mondsatelliten fur eine gewisse Zeit ohne Zuhilfenahme eines Antriebs im Prinzip moglich. Denn iiberschreitet die Anfangsgeschwindigkeit des Geraites die erste kritische Geschwindigkeit und ist diese kleiner als die zweite, d. h. ist h, < h < h,, so kann das Geriit nach $ 2 nicht in das Unendliche entweichen, es kann jedoch durch den Kana1 bei L, den Mond erreichen (Bild I). Natiirlich muB es zunachst gemaB 9 3 eine geniigende Anzahl von Umlaufen urn die Erde ausfuhren. Da der Kanal durch Verkleinerung der Anfangsgeschwindigkeit hinreichend eng gemacht werden kann, kann das Gerat offenbar hinreichend lange um den Mond kreisen, bevor es durch den Kanal zuruckkehrt.

Was die praktische Realisierung eines derartigen Projektes eines kunstlichen Mondsatelliten betrXt, so ist diese aus folgenden Grunden kaum moglich. Er- stens ist die Differenz zwischen der ersten und der zweiten kritischen Geschwin- digkeit kleiner als 1 mlsec, und eine zwischen beiden liegende Geschwindigkeit ist schwer zu realisieren. Zweitens kann das Gerat vor Erreichen des Kanales zur Erde zuruckkehren, drittens konnen die vernachlassigten Storungen der Sonne h leicht so andern, daB es nicht mehr der Relation h, < h < h, genugt, d. h. sie konnen dazu beitragen, da13 der Kanal geschlossen wird oder das Gerat in das Unendliche entweicht. 7 Kiinstliche Erdsatelliten

98 V. A. EGOROV

sj 5. Naherungsverfahren

Wir bezeichnen die Flugbahnen, die in der Nahe der Erde (Korper m,) beginnen und beim ersten Umlauf um die Erde in die EinfluBsphare des Mondes (Korper m,) eindringen, als Annaherungsbahnen.

VerlaBt die Annaherungsbahn die EinfluBsphare des Mondes wieder, so kann man die Bewegung auf der Annaherungsbahn in drei Teile gliedern: Die Be- wegung zur EinfluBsphare hin, die Bewegung innerhalb derselben und die Be- wegung von ihr weg.

Die Storung der geozentrischen Bewegung durch den Mond bei der Bewegung zur EinfluBsphare hin ist nach 5 3 praktisch unwesentlich. Das gleiche gilt fur die Bewegung von der EinfluBsphare weg. Die Storung der selenozentrischen Bewegung in der EinfluBsphare durch die Erde ist nach der Definition der Ein- flul3sphare ebenfalls klein. Man kann daher stets die Storungen gegenuber der Anziehung durch den Zentralkorper vernachllssigen.

Tun wir dies, so erhalten wir folgendes Ergebnis: Die Teile der Flugbahn aul3erhalb der EinfluBsphare, bezogen auf das geozentrische System m, t,q,[,, sind Kegelschnitte mit einem Brennpunkt in m,, der innerhalb der EinfluB- sphke liegende Teil derselben, bezogen auf das selenozentrische System m,t2q2[,, ist ein Kegelschnitt mit einem Brennpunkt in m2 (siehe Bild 9a, dah fur eine Bewegung in der Mondbahnebene gilt).

Vom Anfangspunkt der Flugbahn bis zu jenem Punkt, an dem sie in die Ein- fluasphare eindringt (Eintrittspunkt), kann die Flugbahn je nach der geozentrischen Anfangsgeschwindigkeit eine Ellipse, eine Hyperbel oder eine Parabel sein. Bei elliptischer Geschwindigkeit, die groBer als die minimale Geschwindigkeit ist, kann das Eintreten in die Einflu5sphare sowohl auf dem aufsteigenden als auch auf dem absteigenden Zweig der geozentrischen Flugbahn erfolgen, bei paraboli- scher und hyperbolischer Geschwindigkeit j edoch nur auf dem aufsteigenden Zweig.

Die Berechnung der Bewegung in der EinfluBsphare erfolgt mit den geozentrischen Anfangswerten r,, A,, V,, a,. Im Einlaufpunkt werden die geozentrischen Koordinaten und die Geschwindigkeit 8, (geozentrische Einlaufdaten) in das selenozentrische System umgerechnet, man erhalt so die selenozentrischen Ein- trittsdaten (Bild 9a).

Man kann zeigen, da13 der in der EinfluBsphdre des Mondes verlaufende Teil der Annaherungsflugbahn in selenozentrischen Koordinaten stets hyperbolisch ist. Am Rande der EinfluBsphare iibertrifft die selenozentrische Ge- schwindigkeit W2 die parabolische Geschwindigkeit an der gleichen Stelle um mehr als das zweifache; die parabolische Geschwindigkeit ist hier V i = 1/2fm2/p* = 0,383 km/sec.

Diese Tatsache erklart, daB auf Annaherungsbahnen ein Einfangen nicht moglich ist. Da die Geschwindigkeit hyperbolisch ist, wird der Randbezirk der Ein- fluBsphlre sehr schnell durchlaufen, und obwohl die Storungen in der Nahe des Randes etwa das 0,Vfache der Anziehung des Zentralkorpers betragen, wirken sie nicht merklich auf die Annaherungsflugbahnen ein.

Die Bewegung innerhalb der Einfluasphare des Mondes wird durch selenozentrische Energie- und Flachenintegrale bestimmt . Im Austrittspunkt aus der EinfluBsphare sind die selenozentrischen Koordinaten und die Austrittsgeschwin-

Einige Probleme der Dynainik des Fluges zum Mond 99

digkeit ?& (selenozentrische Austrittsdaten) auf geozentrische umzurechnen (Bild 9 a).

Nach dem Austritt aus der EinfluSsphare des Mondes ist die Bewegung durch geozentrische Energie- und Flachenintegrale mit neuen Werten der Konstanten

H = 200km

J v, = 4092356 km/sec a!,=

Bild 9a. Niihernngsweise Iferechnung der Bewegung. AuBerhalb der EiduBsphiire des Mondes werden die Storungen durch den Mond, innerhalb derselben die durch die Erde vernachlassigt. Innerhalb der EinfluOsphare erfolgt die selcnozentrische Bewegung auf

einer Hyperbel.

zu berechnen. Die Bewegung nach dem Austritt kann relat,iv zur Erde sowohl aufsteigend als auch absteigend sein.

Wir zeigen am Beispiel der in Bild 9 a dargestellten Flugbahn das Zusammen- fugen der Ein- und Austrittsgeschwindigkeiten. Im Geschwindigkeitsdiagramm sei die Richtung des geozentrischen Radius A, zum Eintrittszeitpunkt t, hori- zontal (Bild 9b). Von irgendeinem Nullpunkt aus tragen wir den Vektor der geozentrischen Eintrittsgeschwindigkeit 8; ab. Dieser bildet mit dem geozentrischen Eintrittsradius den Winkel a,. An seinem Ende fiigen wir den Vektor ;*

100 V. A, EGOROV

- 23M(tz)1) an, der mit der Transversalen den Winkel p2 einschliel3t. Dieser Winkel ist demjenigen gleich, den der Eintrittsradius mit der Richtung der Verbindungslinie Erde-Mond bildet. Die Summe beider Vektoren 2326 = Bz - BM ( t2 ) ist die selenozentrische Eintrittsgeschwindigkeit.

Da die selenozentrische Bewegung langs eines Kegelschnittes verlauft, ist I 23; 1 = I 23; 1. Sei a der Winkel, um den sich die Richtung der selenozentrischen Bewegung des Gerates infolge des Mondeinflusses wiihrend seiner Verweilzeit in der EinfluBsphare andert. Wir setzen am Ende des Vektors 23.: den Vektor 23; an, der rnit 23; den Winkel a einschlieSt, am Ende des letzteren fiigen wir den Vektor + BM(t ) an, der rnit dem Vektor BM ( t2 ) den Winkel w (t, - tz) = w T2,3 einschliel3t. Die Summe dieser Vektoren B3 = + BM (t3) ist der Vektor der geozentrischen Austrittsgeschwindigkeit .

Bild 9b. Geschwindigkeitsdia- gramm in den Schnittpunkten der,,,Flugbahn mit der EinfluD-

sphsre.

Q 6. Diskussion der AnnIherungsbahnon

Mit Hilfe der in 3 5 beschriebenen Methode kann man eine beliebige Annahe- rungsbahn berechnen und konstruieren. Es ist von Interesse, die Gesamtheit aller moglichen Bewegungen auf den Annaherungsbahnen wenigstens naherungsweise zu untersuchen. Wir betrachten hierzu die charakteristischen Eigenschaften der Gesamtheit der Annaherungsbahnen am Anfang und am Ende der aufein- anderfolgenden Bewegungsbereiche. Zugleich werden wir die entsprechenden Geschwindigkeitsdiagramme betrachten.

Die Bewegung bis zur EinfluBsphare hangt von den Anfangswerten ab. Die Anfangshohe betrachten wir als vorgegeben ; in den Rechnungen setzen wir sie gleich 200 km. Die Ergebnisse sind auch auf Hohen anwendbar, die doppelt so pol3 oder noch gro13er 11s dieser angenommene Wert sind (z. B. fur Hohen, in denen sich Satellitenst ,ionen befinden), da solche Anderungen der Anfangshohe gemessen am geozentrischen Anfangsradius klein sind. Der Winkel a,, den die Anfangsgeschwindigkeit mit diesem Radius einschlieBt, variiert innerhalb des Intervalles - 90" < a1 < 90". Die Anfangsgeschwindigkeit V, selbst ist ein ver- anderlicher Parameter.

Wir betrachten die Gesamtheit aller moglichen geozentrischen Eintrittsdaten. Diese GroDen lassen sich aus den Anfangswerten mit Hilfe geozentrischer Ener- gie- und Flachenintegrale bestimmen. Wir betrachten die geozentrische Eintritts- geschwindigkeit V, und den Winkel az, den sie mit dem geozentrischen Eintritts- radius bei einem mittleren Wert desselben (r, = a, Mondbahnabstand) ein- schlieI3t. Dann hangt gemal3 dem Energieintegral die Eintrittsgeschwindigkeit nur von der Anfangsgeschwindigkeit ab, oder, was das gleiche ist, von dem Ge-

l) Anm. d. dtsch. Red.: BM ist die Mondgeschwindigkeit.


schwindigkeitsuberschuf.3 A V, uber die parabolische Geschwindigkeit V,. Die Funktion V,( V,) ist monoton wachsend (Bild 10). Der Winkel a, hangt nicht nur von der Anfangsgeschwindigkeit, sondern auch vom Anfangswinkel a, ab und hat dessen Vorzeichen. Die Funktion a2 ( V,) ist auch fiir den Anfangswinkel a1 = 90" monoton fallend, d. h. fiir horizontale Richtung der Anfangsgeschwin- digkeit, wie es in Bild 10 dargestellt ist. Bei Verkleinerung des Anfangswinkels verliiuft die entsprechende Kurve, die ebenso bei der Ordinate 90" beginnt, unterhalb der dargestellten.

fly, - Bild 10. Anderung der Charakteristiken im Eintrittspunkt in die RinfluSsphare in Ab- hiingigkeit vom Betrag A V, = Vl - V,. tz, e, und &, ii, sind die Grenzwerte fur die geozentrische Einlaufgeschwindigkeit V, und fur deren Winkel a2 mit dem geozentrischen Eintrittsradius. Uf und U- sind die Werte der selenozentrischen Eintrittsgeschwindigkeit

fur die Werte & 90" des Winkels zwischen Anfangsgeschwindigkeit und Radius.

Zur Festlegung der moglichen Intervalle, innerhalb derer sich die Eintritts- daten bei einer Anderung des Eintrittsradius andern kijnnen, wurden zu der betrachteten die analogen Kurven (Bild 10)

fiz(Vl), L2(V1) und p2(Vl ) , h ( V , ) , (6.1) berechnet, die (in der gleichen Reihenfolge)

r2 = a + e* und r2 = a - Q*

entsprechen, wo py: der Radius der Einfluasphare ist.

102 1'. A. EGOROV

Man erkennt, da13 die dnderung yon Betrag und Richtung der geozentrischen Eintrittsgeschwindigkeit fur Anfangsgeschwindigkeiten, die nicht in der Nahe der minimalen liegen, innerhalb des Intervalles I r - a I < eye klein ist. Fur solche Anfangsgeschwindigkeiten kann man naherungsweise annehmen, daI3 Betrag und Richtung der geozentrischen Eintrittsgeschwindigkeit bei festem Vl und aI nicht vom Eintrittspunkt, cl. h. von der Flugbahn. abhangen, und die Mittelwerte

V , ( r 2 ) = V , (a) und az ( r2) = az(a) (6 .2) besitzen.

Bild 11. Flugdauer zur Mondbahn. Der vertikalen Richtung der Anfangsgeschwindigkeit (al = 0) entsprechen die kleinsten Flugdauern, den horizontalen die groaten.

Wir wollen hier und im folgenden nur Annaherungsflugbahnen betrachten, die in der Mondbahnebene verlaufen. Die Anfangsgeschwindigkeit V, und der Winkel al, den diese mit dem Radius einschlieot, seien festgelegt; die Annahe- rungsbahn andert sich dann nur mit dem Winkel il zwischen dem Anfangsradius und der Richtung der Verbindungslinie Erde-Mond. Dann ist der Vektor 23, im Geschwindigkeitsdiagramm (Bilder 9 b und 14) fur Anfangsgeschwindig- keiten, die nicht in der Nahe der minimalen liegen, gemaI3 (6.2) fiir allc bctrach- teten Flugbahnen der gleiche.

Die Flugzeiten F12( V J bis zur Mondbahn fur die vertikale und horizontale Richtung der Anfangsgeschwindigkeit ist in Bild 11 dargestellt. Sie liegen sehr nahe beieinander. Diese Tatsache, wie auch die starke Bnderung der betrachteten Kurven in den Bildern 10 und 11 fur Geschwindigkeiten im Bereich dtr mini-

Einige Probleme der Dynainik des Fluges zum Mond 103

malen, ist durch die Ausgedehntheit der Kegelschnitte (die Exzentrizitat derselben liegt bei 1) zu erklaren, die der Bewegung zur EinfluBsphare liings der Annaherungsbahnen entsprechen.

Bei geniigend groBer Anfangsgeschwindigkeit nahern sich die Kurven

v2 ( vl), a2 ( Vl) und Tl, 2 ( V l )

V2 = Vl; a2 = arc sin ___ ; T1.2 = 0,

den Asymptoten rl sin a1

r2 (6.3)

wo r, und r2 Anfangs- und Eintri t tsrdus sind. Der asymptotische Charakter dieser Kurven ist bereits bei Anfangsgeschwindigkeiten zu bemerken, die urn nur 0,5 km/sec groBer als die parabolische sind (Bilder 10 und 11).

Wir gehen nun zur Untersuchung der Bewegung in der EinfluBsphLre uber. Die selenozentrischen Eintrittsdaten sind durch die geozentrischen Daten festgelegt. Hierbei hat die Beriicksichtigung des kleinen Winkels yz (Bilder 9a und 9 b) zwischen den geozentrischen Radien des Mondes und des Einlaufpunktes, wie

a ) b l

Bild 12. Selenozentrische Flugbahnen in der EinfluBsphiire des Mondes. Die Eintritts- punkte bedecken nahezu die Halfte der EinfluBsphiire. Vg ist die selenozentrische Eintritts-

geschwindigkeit.

man zeigen kann, fiir die folgenden Ergebnisse keine prinzipielle Bedeutung. Vernachlassigen wir diesen Winkel, so ist die Mondgeschwindigkeit im Ein- trittspunkt t, orthogonal zum Eintrittsradius ; Betrag und Richtung der selenozentrischen Eintrittsgeschwindigkeit Vg sind im Geschwindigkeitsdiagramm fiir alle betrachteten Flugbahnen die gleichen (Bild 14). Das bedeutet, dal3 die An- fangsteile der selenozentrischen Flugbahnen in der EinfluBsphare einander parallel verlaufen.

Beschreibt man den Eintrittspunkt durch den Winkel yz , den der selenozentrische Radiusvektor des Eintrittspunktes mit dem Vektor der Mondgeschwindig- keit bildet (Bild 9a), so ist bei dnderung von J. der Eintritt fur Werte des Win- kels yz moglich, die sich iiber nahezu 180" erstrecken. Die zu den Winkelwerten der einen Intervallhalfte gehorenden Kurven umlaufen den Mondmittelpunkt im Uhrzeigersinn (Bild 12, b), die der anderen Jntervallhalfte im entgegengesetzten Sinne (Bild 12, a).

104 V. A. EGOROV

Fur ebene Annaherungsflugbahnen kann man zeigen, daS die Umgebung des Wertes yz = 180" ein verbotener Bereich auf der EinfluBsphare ist, in dem fur keinen Anfangswert ein Eintritt moglich ist. Das bedeutet, daB das Gerat nicht in die EinfluBsphare eindringen kann, wenn es den Mond auf seiner Rahn ein- holt.

Wir erinnern daran, da13 selenozentrische Ein- und Austrittsgeschwindigkeit ihrem Betrag nach gleich sind. Ihr gemeinsamer absoluter Wert U ist eine monoton wachsende Funktion der Anfangsgeschwindigkeit. Fur die Anfangswinkel a1 = -+ 90" zwischen Geschwindigkeit und Radius ist diese in Bild 10 dargestellt (Kurven U+ und U-) . Man kann zeigen, daB der Betrag der selenozentrischen Geschwindigkeit am Rande der EinfluSsphare bei h d e r u n g von a, zwischen - 90" und 90" monoton von U- auf U+ abfiillt. Die Geschwindigkeits- differenz U- - U+ ist klein und geht mit zunehmender Anfangsgeschwindigkeit schnell gegen Null. So betragt diese Differenz bereits bei d V, = 0,5 km/sec

d - Bild 13. Der Winkel zwischen den Hyperbeltangenten im Ein- und Austrittspunkt als Funktion des Ab- standes d der Flugtangente im Eintrittspunkt vom Mondmittelpunkt. U ist der Betrag der Geschwindigkeit.

nur noch etwa 3 yo der halben Summe dieser Geschwindig- keiten. Wir erwahnten, daB die selenozentrische Ge- schwindigkeit bei beliebigen An fangsgeschwindigkeit en

am Rande der EinfluBsphare groBer als die geozentrische Eintrittsgeschwindigkeit is t , d. h. es gilt U ( V,) > V2 ( V , ) (Bild 10).

Die Bewegung innerhalb der EinfluBsphare und die selenozentrischen Austritts- daten lassen sich mit Hilfe der selenozentrischen Ener- gie- und Flachenintegrale

berechnen. Insbesondere kann man die Richtungs- anderung der selenozentrischen Bewegung durch den Mond, d. h. den Winkel CL

zwischen den selenozentrischen Ein- und Austritts- geschwindigkeiten, berechnen.

Haben die betrachteten Flugbahnen ein und dieselbe GroBe der Eintritts- geschwindigkeit, so hangt der Winkel a allein vom Abstand der Wirkungslinie dieses Geschwindigkeitsvektors vom Mondmittelpunkt ab. Wir wollen diesem Abstand das Vorzeichen von a, d. h. das Vorzeichen der Umlaufrichtung um den Mond, geben. Der Mond andert offenbar die Bewegungsrichtung um so starker, d. h. der Winkel I a1 wird um so groBer, je starker die Anfangsrichtung der Be- wegung zum Mond hin weist. Bild 13 zeigt die Kurven a(d) fur verschiedene selenozentrische Eintrittsgeschwindigkeiten.


Andern wir den Abstand d bei den betrachteten Flugbahnen zwischen -Q* < d < Q*, so nimmt der Winkel a ( d ) alle moglichen Werte zwischen - 180" und + 180" an. Die Vektoren der selenozentrischen Austrittsgeschwindig- keiten fiillen im Geschwindigkeitsdiagramm einen Kreis mit dem Mittelpunkt in A; und dem Radius U kompakt aus (oberer Kreis in Bild 14). Wir betrachten hderungen der Geschwindigkeiten und der Flugbahnen in der EinfluBsphare in

Bild 14. Diagramm der Austrittsgeschwindigkeit. Oberer Kreis - selenozentrische Ge- schwindigkeiten, unterer - geoeentrische. Die Bewegung ist nach der Annaherung an den Mond in allen Richtungen moglich. Die Geschwindigkeiten V31a = 0 und Vila = o ent-

spreohen der trivialen Losung.

Abhangigkeit vom Winkel 2 zwischen dem Anfangsradius und der Richtung Erde -Mond, d. h. bei einer Drehung des zur EinfluBsphLre fuhrenden Bahnteiles als Ganzes urn den Erdmittelpunkt. Die aufsteigende Flugbahn beriihre zunachst die EinffuBsphare und umlaufe sie entgegen dem Uhrzeigersinn (Bild 12a). Es

(Bild 14). Mit wachsendem il nahert sich die Flugbahn dem Mond, d wird kleiner und a wiichst, d. h. 23; wird entgegen dem Uhrzeigersinn gedreht. Bei d = 0 erreicht a den Wert. 180°, das Gerat trifft dann auf den Mondmittelpunkt auf

106 V. A. EGOROV

(Bild l2a). Bei weiterer Zunahme von /I wird d < 0, a1 springt dann auf den Wert - lSO", da die Umlaufrichtung um den Mondmittelpunkt geandert wird (Bild 12 b). Jedoch durchlaufen der Austrittspunkt aus der EinfluBsphare und der Endpunlrt des Vektors der Austrittsgeschwindigkeit 8; einen entsprechenden Kreis stetig, und zwar stets entgegen dem Uhrzeigersinn. Nachdem 8; den vollen Kreis durchlaufen hat, wird wieder LY = 0, %&=, = B2 (Bild 14), eine Annahe- rung erfolgt dann nicht mehr. Die Losung mit 93; = 86 kann man trivial nennen.

Wie man leicht, zeigen kann, ist der Flugbahnabstand vom Mondmittelpunkt fiir kleine d klein von der GroBenordnung d2, und zwar fur beliebige selenozen-

780°

7506

t I Z O O

906 .- tc .

60'

30'

0 I I I J

7 2 3 kmhec 4 u -

Bild 15. Charakteristiken der a n der Mond- oberfliiche verlaufenden Flugbahnen: @ - selenozentrischer Winkel, den das Geriit in der EinfluBsphare durchliiuft, a - Winkel zwischen den Hyperbeltangenten im Ein- und -4ustrittspunkt, d - Tangentenabstand rorn Mondmittelpunkt, U - selenozentri-

sche Eintrittsgeschwindigkeit.

trische Geschwindigkeiten am Rande der EinfluSsphare. Das wird fur das Auftreffen auf dem Mond wichtig sein

Bei kleinem d wird die Flugbahn in der EinfluBsphare so stark gekrummt, daB sei sich in ihrer auBeren Gestalt dem Winkel nahert, der von den zu dieser Bahn gehorenden Geschwindig- keiten 23; und 8,; im Geschwindigkeits- diagramm (Bild 14) gebildet wird.

Interessant ist noch die Abhangig- keit der GroSen 1 d 1, LY und @' von U bei Flugbahnen mit gleichem Abstand vom Mondmittelpunkt,. (Hier ist @' der Winkel, den der selenozentrische Ra- diusvektor bei der Bewegung innerhalb der EinfluBsphare durchlauft.) Diese GroBen sind fallende Funktionen; fur Flugbahnen nahe der Mondoberflache sind sie in Bild 15 dargestellt. Wir sehen, daB die d-Werte, bei denen eine Beruhrung des Mondes eintritt, klein sind und weniger als 5400 km betragen. Der Winkel a: - die Drehung der Bewegungsrichtung durch den Mond - ist nur fur solche Geschwindigkei- ten U groBer als 90") die nahe bei den minimalen liegen; mit wachsendem 17 nahert sicth LY dem Wert 0. In Bild 14 sind die Vektoren fur die Beriihrungs-

( 9 7 ) .

bahrien gestrichelt eingezeichnet . Offenbar konnen zu Annaherungshahnen, die nicht auf den Mond treffen, nur Vektoren gehoren, die zwischen den gestrichelten liegen.

Die Flugdauer innerhalb der EinfluBsphare T2,3 = t , - t , ist in Bild 16 als Funktion des Abstandes d fur festgehaltenes U (selenozentrische Geschwindig- keit) am Rande der EinfluDsphare dargestellt. Das Maximum der Flugdauer wird bei d = e+ 6'i /U 1/2 angenommen, wo V i die selenozentrische parabolische Ge- schwindigkeit am Rande der EinfluBsphare ist. Diese Maxima sind jedoch nur

Einige Probleme der Dynainik des Fluges zuin Mond 107

schwach ausgepragt; fur Abstande 1 d 1, die nicht in der Nahe des Radius der Ein- flul3sphare liegen, kann man T,,3 als konstant und nur von U abhangig annehmen.

AbschlieBend betrachten wir die geozentrischen Austrittsdaten. Wir werden bei diesen nicht lange verweilen und nur die geozentrischen Austrittsgeschwin- tiigkeiten B3 ( d ) betrachten. Diese Geschwindigkeiten erhalt man aus den entsprechenden selenozentrischen Geschwindigkeiten '23; ( d ) durch Hinzufugen des Vektors %, ( t 3 ) der Mondgeschwindigkeit ; 8, ( t3) ist gegen 8, ( t z ) um den kleinen

SR/nden

40

t 7TOg 5 3 20

0 fdt -

Bild 16. Flugdauer in der EinfluBsphare. Auffallend ist das starke Bbfallen der Flug- dauer bei zunehmender Geschwindigkeit U .

Winkel w(t3 - t z ) < w(T2,B)max zwischen den Richtungen der Verbindungs- linien Erde-Mond zum Ein- und Austrittszeitpunkt verdreht (Bild 14). Man kann zeigen, daB eine Beriicksichtigung dieses Winkels fur die durchgefiihrten Betrachtungen keine prinzipielle Bedeutung hat und daB er vernachlassigt merden kann. Dann ist der geometrische Ort der Endpunkte aller Vektoren der geozentrischen Austrittsgeschwindigkeiten %3 (d ) , wenn diese von A6 ausgehen, ein Kreis mit dem Radius U und dem Mittelpunkt in A, (unterer Kreis in Bild 14). Das Geschwindigkeitsdiagramm ist also auflerordentlich einfach.

Wir betrachten nun die Annaherung auf den absteigenden Zweigen bei gleichen Anfangswerten rl, V1, a, und nehmen an, da13 die Anfangsgeschwindigkeit 8, elliptisch ist. Ebenso wie bei den aufsteigenden Zweigen, erhalten wir die Vek-

toren 0' A, = 8, und 0 A; = 8; (Bild 14), die symmetrisch beziiglich der Geraden A , AS zu den Vektoren von vorhin liegen. Da einem beliebigen Vektor %:, der zu dem Winkel a gehort, ein beziiglich A,A; symmetrisch gelegener Vektor 8; des aufsteigenden Zweiges entspricht, der zu dem Winkel - a gehort, ist das Geschwindigkeitsdiagramm zu demjenigen, das fur die aufsteigenden Zweige gilt, symmetrisch, und die von den Endpunkten der Vektoren 'iB3 ge- bildeten Kreise fallen zusammen. Wir konnen daher beide Diagramme zugleich un t ersuchen .

--+ -+

108 V. A. EGOROV

Fur beide Falle entnehmen wir dem Bild 14, daB die maximale geozentrische Austrittsgeschwindigkeit VLJI) = U + V , und die minimale V!?) = U - V , ist und daB fur U > V , geozentrische Austrittsgeschwindigkeiten s3 beliebiger Richtung existieren, unabhiingig von Betrag und Richtung der Anfangsgeschwin- digkeit. Da U mit wachsendem a, monoton abnimmt (a, ist der Winkel zwischen Anfangsgeschwindigkeit und Radius), hat das Geschwindigkeitsdiagramm fur 01, = 90" etwas kleinere Abmessungen als fiir a1 = - 90"; fur Zwischenwerte des Winkels a, liegen sie dazwischen. , Wir verfolgen kurz die Anderung der Geschwindigkeitsdiagramme bei einer h d e r u n g der Anfangsgeschwindigkeit V, und beginnen mit Anfangsgeschwin- digkeiten, die um groBe Betrage A V, hoher als die parabolische Geschwindigkeit sind. Bei hytperbolischen Geschwindigkeiten ist eine Annaherung offenbar nur auf den aufsteigenden Zweigen moglich. Fiir A V , = 0,5 km/sec gilt (Bild 10) : la$/ = 3", V, = 3,64 km/sec, U+ = 3,73 km/sec, U- = 3,83 km/sec; hierbei entspricht das ,,+"-Zeichen dem Winkel a1 = +90" und das ,,-"-Zeichen dem Winkel a, = -90". Da sich U+ und U- nur wenig voneinander unterscheiden, fallen die Geschwindigkeitsdiagramme fur alle Winkel a, praktisch zusammen. Alle geozentrischen Austrittsgeschwindigkeiten sind stark hyperbolisch.

Mit abnehmender Anfangsgeschwindigkeit verringern sich alle Geschwindig- keiten ; die minimalen geozentrischen Austrittsgeschwindigkeiten werden bald elliptisch, obwohl die Eintrittsgeschwindigkeiten noch hyperbolisch bleiben. Das erfolgt bei A V , = 0,149 kmjsec zuerst fiir den Winkel a, = + 90". Rei weiter abnehmender Anfangsgeschwindigkeit werden die Austrittsgeschwindig- keiten auch fur negative Winkel a, elliptisch. Fur a1 = -90" erfolgt dies bei d V , = 0,114 km/sec.

Beim Durchgang der Anfangsgeschwindigkeit V, durch die parabolische Ge- schwindigkeit wird Annaherung auf den absteigenden Zweigen moglich. Bei V , = V , gilt (Bild 14) :

V , = 1,4 km/sec; la$i = 7 3 " ; U+ = 1,65 km/sec; U- = 1,87 km/sec.

Der Bereich der geozentrischen elliptischen Austrittsgeschwindigkeiten nimmt im Geschwindigkeitsdiagramm etwa ein Drittel des entsprechenden Kreises ein (Bild 14). Fiir a, = &9O0 erhalten wir die maximalen Geschwindigkeiten V p ) + = 2,67 km/sec bzw. V y ) - = 2,9 km/sec sowie die minimalen Vim)+ = 0,63 km/sec und V!F)- = 0,85 km/sec.

Verringert sich die selenozentrisehe Eintrittsgeschwindigkeit mit abnehnien- der Anfangsgeschwindigkeit fur a, = 90" schliealich bis auf die Mondgeschwin- digkeit, so erhalten wir eine verschwindende geozentrische Austrittsgeschwin- digkeit (Bild 17). Es gilt:

Vl;"! = 0; VC;..) = 2 - V M = 2,05 km/sec; V 2 = 0,6 km/sec; a: = i8,4".

I n Bild 17 ist der Sektor der praktisch realisierbaren selenozentrischen Aus- trittsgeschwindigkeiten (zwischen den punktierten Linien) groBer als 180". Der zugehorige Wert A V,, ist x - 0,077 km/sec.

Obwohl der entsprechende Vektor der geozentrischen Eintrittsgeschwindig- keit &, wie &us Bild 10 zu entnehmen ist, bei einer Bnderung des Eintritts- punktes bereits nicht mehr als konstant angesehen werden kann, kann man doch

Einige Probleme der Dynainik des Fluges zuin Mond 109

zeigen, daf3 die Beriicksichtigung dieser Bnderung sowie der des Vektors der selenozentrischen Eintrittsgeschwindigkeit fiir A V, > A V,, keine prinzipielle Bedeutung hat. Fur A V, < A V,, kann eine Flugbahn mit OL, = & go", wie man leicht feststellen kann, keine nahe bei -Q* liegenden Abstande d erreichen, ferner sind hinreichend kleine Winkel a < 0 nicht moglich. Im Diagramm der Austrittsge- schwindigkeiten gibt es einen besonderen verbotenen Bereich. Daher ware eine spezielle Unter- suchung erforderlich, die wir hier jedoch nicht durchfiihren wollen.

Wir erwahnen nur, daB der genannte verbotene Bereich mit abnehmendem V, breiter wird und schliel3lich das gesamte Dia- gramm iiberdeckt, ausgenommen denVektor B3Ia=,,, der der trivi- d e n Losung entspricht ( B3 1 a= ,, = A60; fur die absteigenden Zweige, siehe die Bilder 14 und 17). Fur U < V, sind nur Be- wegungen auf einer Xeite des geozentrischen Eintrittsradius r3 moglich und nicht wie friiher auf beiden Seiten (Bild 17).

Bei Anfangsgeschwindigkeiten nahe bei der minimalen sind die geozentrischen Geschwindigkei- ten V, klein, die Bewegung verlauft dann etwa so, als floge die EinfluBsphare an die im Raum ruhende Rakete heran.

Die Diskussion der Bewegung

Bild 17. Diagramm der Austrittsgeschwindigkeiten fur den Fall, daB die Betrage der selenozentrischen Eintrittsgeschwindigkeit Vg und der Mond- gescliwindigkeit V , gleich sind. Die Bewegung auBerhalb der EinfiuBsphare ist nur auf der einen Seite der Richtung m,A, des geozentrischen Aus-

trittsradius moglich.

nach dem Austritt aus der EinfluBsphare ist analog der des vor der AnnLherGng liegenden Teiles; wir werden daher auf sie verzichten.

Q 7. Das Auftreffen auf den Mona

Fragen wir danach, wann ein Auftreffen auf den Mond erfolgt, so benotigen wir das Verhalten der Losung nach der Anniiherung an den Mond nicht; die Klassifizierung ist hier sehr einfach. Gegeben seien folgende geozentrische GroBen : Radius r,, Geschwindigkeit V, und Winkel a1 zwischen Geschwindig- keit und Radius. Der Winkel A zwischen Radius und t-Achse (Bild 16) laat sich aus der Forderung bestimmen, das Cerlit moge auf den Mond auftreffen.

Bei elliptischen Anfangsgeschwindigkeiten kann die Annilherung des Gerates an den Mond offensichtlich sowohl langs des aufsteigenden ( a ) als auch langs des

110 1'. A. EGOROV

absteigenden (f) Zweiges crfolgen. Dementsprechend gibt es dann zwei Klassen von Treffbahnen: Fa und Ff. Die zu a1 = + n/2 und a, = - n / 2 gehorenden Flugbahnen sind in Bild 18 schematisch dargestellt. Nach dem Vorzeichen der Richtung des Umlaufes um die Erde, d. h. nach dem Vorzeichen von al, konnen wir jede Klasse in zwei Unterklassen aufteilen :

Die bezuglich der Erde rein radiale Flugbahn trennt hierbei die Klassen vonein - ander. Bei einer monotonen dnderung des Winkels a1 innerhalb - n/2 < a,

< +- 3x12 erfolgen auch die Flugbahnanderungen innerhalb derselben Klasse zwischen den Grenzbahnen mono t on.

Wir wollen nun das Ver- halten der Losungen bei abnehmender Anfangsgeschwin - digkeit verfolgen. Bei hyper- bolischen Anfangsgeschwin - digkeiten existieren offenbar nur die Losungen der Klasse Fa. Wird die parabolische Ge- schwindigkeit erreicht, so werden die absteigenden Zweige Losungen, zugleich damit treten fur alle a1 Losungen der Klasse Ft in Erscheinung. Mit weiter abnehmender Ge- schwindigkeit nahern sich die zudem gleichen Winkelal.ge-

steigende Flugbahnzweige, II - absteigende. h(jrenden Losungen belder Klassen einander. Geht die

Anfangsgeschwindigkeit durch den minimalen Wert Vlmin (I al I) hindurch, so gehen die entsprechenden Losungen beider Klassen ineinander uber und verschwinden. Zuerst verschwinden die Losungen mit 1 all = n / 2 , so da13 fur I all = n/2 das Auftreffen auf dcn Mondmittelpunkt nicht mehr moglich ist, obschon es Winkel I all < ;2/2 gibt, fur die das noch moglich ist.

Den A-Wert, der einem Auftreffen auf den Mond entspricht, konnen wir, wie aus 9 3 folgt, naherungsweise bei volliger Vernachltissigung des Mondeinflusses aus den Relationen (3.7) bestimmen. Hierzu bestimmen wir zunachst nach der Theorie der Kegelschnitte den Winkel @ zwischen den geozentrischen Radien des Anfangspunktes und des Punktes, in dem das Zusammentreffen erfolgt, ferner bestimmen wir die Plugdauer Tl , zwischen diesen Punkten. Die Funktionen @ ( Vl), A+ ( Vl), Ao ( V,) und A- ( V,) (dargestellt in Bild 19) sowie die Funktionen F1, ( V,) (Bad 11) wurden fur die Klasse Fa fur eine Anfangshohe von 200 km berechnet. Die Funktion @ ( V,) gehort zu al = n/2, die Funktionen A+ ( V,), Ao ( V , ) und A- ( V , ) entsprechend zu a1 = + 3212, 0, -- n/2. Liegt die Anfangs-

Bild 18. Die Klassen cler Treffbahnen: I - auf-


geschwindigkeit nur etwa 0,5 kmlsec iiber der parabolischen, so streben die Kur- ven bereits merklich gegen die Asymptoten.

Die Flugbahnen der Klasse Fa fiir eine Anfangshohe von 200 km und einen Winkel a, = n12 sowie auch die oben berechneten Naherungswerte ;I+ (V,) wurden unter Beriicksich- tigung der Mondanziehung durch numerische Integra- tion der Gleichung (3.2) mittels einer Rechenmaschine ermittelt. Es zeigte sich, daB dieAbweichung em der Flug- bahnvomMondmittelpunkt, wenn man bei der Berech- nung von ;I die Mondanzie- hung nicht beriicksichtigt, sehr schnellabnimmt, sobald die Anfangsgeschwindigkeit iiber die minimale hinaus anwllchst. WBhrend man bei minimalen Anfangsge- schwindigkeiten einen Feh- ler em der GroBenordnung einiger 10 km erhalt, ist bei

an die paraboa lische Geschwindigkeit bereits em < I km.

Um eine Vorstellung von den eigentlichen Treffbahnen zu erhalten, wurde eine Genauigkeit von einigen I0 km ausreichen. Will man jedoch die Auswirkungen einer Streuung der Anfangswerte untersuchen, so muB die Genauigkeit, mit der das Auftreffen auf den Mondmittelpunkt berechnet wird, groBer sein und einige Kilometer betragen.

Hinreichend genaue Flugbahnen, die zum Mondmittelpunkt fiihren, kann man mittels eines Iterationsverfahrens fur em = 0 beziiglich des Argumentes A erhalten. Hierbei kann man zeigen, daB die Konvergenz des Verfahrens von hohe- rep Ordnung ist, wenn man als Funktion nicht em rnit dem Vorzeichen der Um- laufrichtung um den Mond, sondern I/& mit dem gleichen Vorzeichen wahlt.

Dieser IterationsprozeB wurde fur eine Rechenmaschine programmiert, wodurch die Berechnung einer groBen Anzahl von Treffbahnen moglich wurde. In Bild 20 sind die Ergebnisse der Berechnungen fur Flugbahnen der Klasse Fa und a1 = + n/2 im System 0, 6, 17 dargestellt; dieses System rotiert mit der Ver- bindungslinie zum Mond (vgl. 0 2). Die Abhangigkeit der GroBen TI, 2, @ und I. von der Anfangsgeschwindigkeit fur diese Flugbahnen stimmt praktisch mit der in den Bildern 11 und 19 gezeigten uberein. Wir untersuchen nun die erforderliche Genauigkeit der Anfangswerte. Vernachlissigen wir den Mondein- fluB, wenn wir die Auswirkungen kleiner Fehler der Anfangswerte bestimmen, so sind die Abweichungen em lineare Funktionen dieser Fehler. Beriicksichtigen wir den MondeinfluB in seiner EinfluBsphare, so wird d eine lineare Funktion

2

,

0 47 42 43 44km/secO,5

Bild 19. Winkel 1. zwischen Anfangsradius und Rich- tung Erde-Mond, fur den ein Auftreffen nuf den Mond sicher ist, als Funktion der Anfangsgeschwindigkeit, und zwarfiir vertikale (al= 0) und horizontale( /al I = 90n)

SchuDrirhtung. @ ist der Winkelabstand.

A f i -

112 V. A. EGOROV

TI, 2 [Tagel

1,08386 1,62688 2,06981 2,64816 3,33284 4,73092

der Fehler (d ist der Abstand der Wirkungslinie des Vektors der selenozentrischen Eintrittsgeschwindigkeit vom Mondmittelpunkt).

Da em bei kleinen d jedoch nach 8 6 proportional d2 ist, sind die Abweichungen bei Berucksichtigung des Mondeinflusses quadratisch von den Fehlern abhangig. Das bedeutet aber, daB es wesentlich einfacher ist, hinreichend genau den Mond zu treffen als einen nichtanziehenden Punkt, der sich ebenso bewegt wie der Mond.

Bild 20. Aufst,eigende Treffbahnen im rotierenden Koordinatensystem. Tl, ist die

Flugdauer. I I1 111 I.V V VI

+0,48251 +0,106094

0 -0,057828 -0,082828 -0,092828

Die Berechnung der Abweichungen em = ev, ea, . . . , die auf die Fehler 8 V,, Bal, . . . , zuriickgehen, mit Hilfe eines Naherungsverfahrens, d. h. also unter Be- riicksichtigung des Mondeinflusses nur in seiner EinfluBsphare, ist sehr lang- wierig. Genauer und leichter ist die Bestimmung der Abweichungen en, durch nnmittelbare maschinelle Berechnung von Flugbahnen, die benachbart zu aus- reichend genau auf den Mondmittelpunkt treffenden Bahnen liegen (nominale Flugbahn) 1).

Variieren wir einen der ,,nominalen" Anfangswerte x1 um einen kleinen Be- trag 6 xi und berechnen wir die entsprechende Flugbahn, so erhalten wir deren

l) Anm. d. dtsch. Red.: ,,nominal" heil3t eine durch den Mondmittelpunkt fiihrende Treff bahn.


Abweichung vom Mondmittelpunkt pi x ki(6xc)2. I n Bild 21 sind die Kurven ka ( V,) und k, (V, ) dargestellt. Die Funktion k, ( V,) wachst monoton, wahrend k, I V - ) monoton fallt und r . I, durch Null geht. Der entsprechende maximal zulas- sige Fehler in der Richtung ~ ~ C G , ~ ~ . ~ (d. h. der Fehler, der einer Abweichung ent- sprieht, die gleich dem Mondradius ern = RM ist, wenn die iibrigen Anfangs- werte genau eingehalten werden) ist eine monoton fallende Funktion der An- fangsgeschwindigkeit V,, wahrend der maximale Fehler der Anfangsge- schwindigkeit 16 V , l R M bei V , ein Maximum besitzt (Bild 22). Der Durchgang der Funktion kv ( V,) durch Null ist dadurch zu er- klairen, daB bei dieser

Anfangsgeschwindigkeit fiir a = 3712 die Verschie- bung des Treffpunktes wegen der Krummungsande- rung der Bahn durch eine Verschiebung des Mondes wegen der Flugzeitiinde- rung des Geriites bis zum Treffpunkt kompensiert wird.

Die Hohe des Maximums der Funktion ISV, IR,in Bild 22 kann naherungsweise aus der Relation I 6 V , l R M = tR,k, gefunden werden, die fiir kv =O aus der Relation ern =

folgt (in Bild 22 ist die GroBe dieses Maximums nur anniihernd eingezeichnet).

b ( A VJ2 + k4 ( A VJ4 + . . .

\LV

Bild 21. Die fur die Abweichung der Flugbahnen vom Mondmittelpunkt maogebenden Koeffizienten.

Bild 22. GroBe der Fehler, die eine Abweichung der Flugbahn bis zum Mondrand bewirken. Die optimale GroBe der Anfangsgeschwindigkeit h h g t von den vor-

ausgesetzten Genauigkeiten ab.

Dern Bild 22 entnehmen wir, da13 beispielsweise fur Geschwindigkeiten in der Nahe der parabolischen I 601, x 0,3” und 16 V , \Ear x 50 m/sec ist. Die optimale Anfangsgeschwindigkeit hangt offensichtlich von dem Verhaltnis der ge- 8 Eiinstliohe Erdsatelliten

114 V. A. EGOROV

forderten Genauigkeiten ab. Zu ersehen ist ferner, daB ein Fehler A V, bei Ge- schwindigkeiten in der Nahe der minimalen besonders groDen EinflulJ hat. Bild 23 zeigt, wie stark ein Fehler d V , = f- 2 m/sec die Flugbahn des Gerates bei Geschwindigkeiten in der Nahe der minimalen andern kann.

Wir erwahnen, daD sich fur a, = - z / 2 (Winkel zwischen Anfangsgeschwin- digkeit und Radius) und Fehlern in der Anfangsgeschwindigkeit die Verschie-

632 B * $73 576, I $07

- 7 , , l 3.34 I ."" J /

\ ^ A , If.,,

I

f l r

,47 50

- 706'

2 -300

---c

-400

Bild 23. dnderung des Charakters der auftreffenden Flugbahnen bei Fehlern in der Anfangsgeschwintligkeit, wenn letzterc nahe bei der minimalen liegt. Die Bahnen treffen fur H = 200 km, a, = 75', V , = 0,0919 kmisec auf, fiir A Vl = 5 3 m/sec jedocli

nicht. Das ,,+"-Zeichen entspricht I , das ,,--"-Zeichen If.

bungen von Flugbahn und Mond nicht kompensieren, sondern eine zusammen- gesetzte Verschiebung ergeben. Daher sind die maximal zulassigen Fehler 16 V , 1 RM fur oil = - 3212 vie1 kleiner als fur a1 = + z / 2 .

Der EinfluD von Fehlern dr, ist praktisch unwesentlich. So erhalt man beispielsweise fiir dr, = 50 km und bei den Anfangsgeschwindigkeiten V , - V , - _ - 0,092828; 0 ; + 0,106094 km/sec folgende Abweichungen: el -- 56; 43; 140 km.


Die Fehler d A hangen hauptsachlich mit Fehlern zum Zeitpunkt des Startes zusammen. Die maximal zulassigen Fehler hinsichtlich il liegen gr6Benord- nungsmaBig bei einem Grad, daher muB die Startzeit auf einige Minuten genau sein.

Fehler 6 5 und 6 f bezuglich der Normalen 5 der Mondbahnebene fiihren, wie man zeigen kann, zu Abstanden I d I = a 1 [ l/rl und d I < a t /4 V,. Fur V , = V , erhalten wir U+ N 1,65 km/sec, und aus Bild 15 erhalten wir die zulassigen Werte I d I < 3000 km.

< 50 mjsec in jedem Fall noch auf den Mond auftrifft. Die zulassigen Fehler bei Streuung nur eines An- fangswertes sind somit die folgenden: Fur die Geschwindigkeit etwa 50 m/sec, fiir die Richtung etwa 0,5", fur die Lage des Anfangspunktes etwa 50 km und fiir die Startzeit einige Minut,en. Man kann zeigen, da13 die zulassigen GroDen- ordnungen bei gleichzeitig auftretenden Fehlern etwa die gleichen sind.

Diese GroBenordnungen andern sich auch nicht, wenn man Xtorungen durch die Xonne und andere Faktoren beriicksichtigt, was in den Gleichungen ( 3 . 2 ) nicht geschah. Denn diese Storungen sind klein, sie gehen in die exakten Be- wegungsgleichungen mit kleinen Parametern [die in (3 .2) gleich Null gesetzt wurden] ein. Die Ableitungen der Losungen nach den Anfangswerten, durch die im betrachteten Falle die erforderlichen Genauigkeiten bestimmt werden, hangen im vorliegenden Fall, wie man leicht sieht,, von den Parametern fiir kleine Werte stetig ab. Diese Ableitungen und die erforderlichen Genauigkeiten haben folglich die gleiche Groldenordnung wie bei verschwincienden Werten der Para- meter.

Der EinfluB von Streuungen fur das Auftreffen auf den Mond ist auf den absteigenden Zweigen 2- bis 5mal grolder als auf den aufsteigenden Zweigen der Flugbahnen.

Aus den erhaltenen Ergebnissen folgt, daB der EinfluB von Streuungen der Anfangswerte auf die realen Treffbahnen relativ gering ist, so daR ein Auftreffen auf den Mond realisiert werden kann, ohne auf der Freiflugbahn eine Korrektur vorzunehmen.

Hieraus folgt, daR das Gerat fur 6 5 < 50 km oder 6

fj 8. Das Umfliogen dos Mondes

Bereits HOCHMANN [ l a ] zeigte, da13 es moglich sein muate, den Mond hinreichend lange zu umfliegen.

In den Arbeiten [ 4 , 51 wird die Moglichkeit des Umfliegens des Mondes auf symmetrischen Flugbahnen gezeigt. Es ist jedoch von Interesse, alle moglichen ebenen Flugbahnen fiir ein nahes Umfliegen des Mondes zu untersuchen, d. h. alle Annaherungsbahnen, die den Mond umlaufen; ferner sind die zur Realisie- rung dieser Flugbahnen erforderlicheri Genauigkeiten der Anfangswerte zu ermitteln. Zur Ermittlung der Annaherungsbahnen, die um den Mond fiihren, losen wir folgendes allgemeinere Problem : Wir bestimmen die Annaherungs- bahnen, die in einen gegebenen Bereich urn die Erde, namlich in die Sphare mit dem gegebenen Radius rk < a, wobei a der Abstand zum Mond ist, zuriickkehren. Dieses Problem konnen wir Ruckkehrproblem nennen.

Die Gesamtheit aller ebenen Losungen des betrachteten Problems ist vier- parametrig. Die Gesamtheit aller Ruckkehrbahnen, die den geozentrischen Kreis s*

116 V. A. EGOROV

mit dem vorgegebenen Radius T~ < a beriihren, ist dreiparametrig. Die Gesamt- heit aller symmetrischen Ruckkehrbahnen ist zweiparametrig. Benutzen wir die Umkehrbarkeit der Bewegungsrichtung, so konnen wir leicht zeigen, da13 die symmetrischen Flugbahnen die Oerade von der Erde zum Mond (Symmetrie- achse) unter dem Winkel 90" schneiden miissen. Sie sind daher durch den Ab- stand dieses Schnittpunktes vom Mondmittelpunkt und die Geschwindigkeit in diesem Punkt eindeutig charakterisiert. Diese Tatsache Wird in [ 4 , 5 ] zur nume- rischen Berechnung der symmetrischen Flugbahnen benutzt.

Bild 24. Gesohwindigkeitsdiagramm fur den Fall einer Riickkehr der Flugbahnen zum Erdmittelpunkt bei

positiver Anfangsfliichengeschwindigkeit.

Wir kehren nun zum oben formulierten Riickkehrpro- blem zuriick.

Analog zum Problem der Treffbahnen, wo wir unter ,,nominalen" die durch den Mondmittelpunkt fiihrenden Treffbahnen verstanden, bezeichnen wir beim Riick- kehrproblem die durch den Erdmittelpunkt verlaufenden Flugbahnen als ,,nominale" .

Offensichtlich sind die nominalen Flugbahnen dadurch charakterisiert, da13 sie nach ihrem Austritt aus der Einfluasphare eine verschwindende geozentrische Flachenkonstante (Tk besitzen.

Wir erwahnen, da13 man den kleinen Winkel q~, zwi-

schen dem geozentrischen Austrittsradius (Bild9a) und der Richtung Erde-Mond vernachlassigen kann, da man zeigen kann, da13 die

Beriicksichtigung dieses Winkels keine prinzipielle Bedeutung besitzti Dann ist offensichtlich, daB den Ruckkehrbahnen im Geschwindigkeitsdiagramm (Bild 14) nur zwei Vektoren der geozentrischen Austrittsgeschwindigkeit %,, parallel zur Geraden A,m, (Bilder 24 und 26) entsprechen konnen. Einer von diesen, !&,, gehort zur absteigenden, der andere, zur aufsteigenden Bewegung, unab- haingig davon, wie die Bewegung bis zur Anniiherung verlauft. Die aufsteigende Bewegung kann im Gegensatz zur absteigenden nur dann Losung des Pro- blems sein, wenn V , < V,(a) ist, wobei V,(a) = 1,44 km/sec die geozentrische parabolische Geschwindigkeit im Mondbahnabstand ist.

Wir beachten die letzte Bedingung und betrachten zunachst die Anniiherung langs des aufsteigenden Zweiges, der einem positiven Winkel a1 zwischen der Anfangsgeschwindigkeit und dem Radius entspricht.


Wir sehen, da13 die selenozentrischen Austrittsgeschwindigkeiten %;, und %if mit der selenozentrischen Eintrittsgeschwindigkeit VL die Winkel a, < 0 bzw. af < 0 bilden (Bild 24). Der Mond wird folglich von den entsprechenden Flug- bahnen im Uhrzeigersinn umlaufen, so da13 ein Umfiegen erfolgt. Wir bezeichnen diese Flugbahnen mit Sf+ bzw. 8:'. Die Vorzeichen sind hierbei gleich signa, (Vorzeichen der sektorialen Anfangsgeschwindigkeit ax), der obere Buchstabe bezeichnet den Typ des Zweiges bis zur Annaherung, der untere den nach derselben. Die Losung Sy+ kommt wesentlich naher an den Mondmittelpunkt heran als S," + , da [ a, I > I a, 1. Die Flugdauer ist fur beide Losungen bis zur Annahe- rung etwa die gleiche wie fiir die Treffbahnen, wenn sie die gleichen Anfangs- geschwindinkeiten haben. Wiihrend der Annaherung andert sich die geozentri-

y, - sche Sekiorialgeschwindigkeit rom Wert a, bis auf Null. Die geozentrische Bewegung nach der Annaherung ist eine rein radiale. Bild 25 zeigt die betrachteten Losungen schematisch.

Fur a, < 0 (Bild 26) ist nach dem vorhergehenden der Winkel af < 0, dieser Fall entspricht dem Typ 8;- (Bild 25). 1st jedoch a, < 0, so da13 der Mond- mittelpunkt entgegen dem Uhr- zeigersinn umlaufen wird, so erfolgt ein Umfliegen. Wir nennen solche Anniiherungsbahnen ,,zum Mond hinfuhrend". Fiihren wir fur diese die Bezeichnung D ein, so haben wir fur die letzt- genannte 0,"- zu schreiben (Bild 27).

Wir betrachten abschlieaend die Annaherung auf den absteigenden Zweigen. Die entsprechenden Geschwindigkeitsdiagramme

9, \

Bild 25. Klassen der umlaufenden nominalen Flugbahnen. Die unter dem E i d u B des Mondes auf den Wert Null abnehmende Fllichengeschwin-

digkeit ist zu erkennen.

sind nach 6 bei den in den Bildern 24 und 26 dargestellten Diagrammen symmetrisch zur Geraden A, A6 ; entsprechend dem Vorhergehenden erhalten wir vier Losungen: Fur > 0 die Losungen 0;' und D:' (Bild 27); fur a, < 0 die Losungen DL- (Bild 27) und S:- (Bild 25). Aus den Bildern 24 bis 26 ersieht man, daf3 die umlaufenden Losungen je nach dem Verlauf der Annaherung (Bild 25) in zwei Klassen eingeteilt werden konnen:

1. Starke Annaherung, der Zweigtyp geht nach der Anngherung in den entgegengesetzten iiber (Klasse 8;) ;

2. Schwache Annaherung, der Zweigtyp ist nach der Anniiherung der gleiche wie zuvor. Diese Klasse lafit sich im Gegensatz zu 1 in zwei Unterklassen S,"'

11s ti. A. EGOROV

und 5';- aufteilen, die bei steti- ger h d e r u n g von nnd fest- gehaltener Anfangsgeschwin- digkeit nicht ineinander iiber- gehen. Analogistdie Gliederung der hinfuhrenden Losungen : 1 . DL; 2 . D:-und D;' (Bild27). Fur a1 > 0 entarten die ym- laufendeii und die hinfuhrenden nominalen Losungen der zweiten Klassen zu trivialen, d. 11. sic treten nieht in den EinfluBbereich cies Blondes ein

Wir erwahnen, daB das cr- haltene System nominaler umlaufender und hinfuhrender Annaherungsbahnen vollstari - dig ist. Die nominalen Flug- bahnen findet man wie bcim Problem der Treff bahncn dnrch ein lt'erat"'erfahren lnit einem gewissen Anfangs- wert als Argument ansgehencl

ch * l (keine Annaherung).

Bild 26. Gescliwiridigkeitsdiagranim fiir die zum Erdmittelpunkt zuriickkchrenden Flugbahnen hei

negativer Anfangsfiacliengeschwindigkeit.

von der Funktiori y = 0. Hierbei ist, y = Vi-,,& sign g k ,

wobei r,,, der Abstand der Rtickkehrbahn vom Erd - mittelpunkt ist. Mit dieser Methode und numeriseher Tntegmtion auf' einer Ma- schine wurden die umlauferi- den Flugbahnen aller Unter- klassen sowie einige der hinfiihrenden berechnet, wodurch die Riehtigkeit der Naherungsmethode best%- tigt wurde. Das Iterations- verfahren wurde beziiglich des Argumentes 2 bei fest- gehaltenen Anfangswerten rl = 6571 km, A V , = - 0,07228 km/sec und a1 = 5 z j 2 durchgefiihrt ; A V ,

_ _

-- ID,~.

ist der OberschuB der An- Bild 27. Klassen hinfiihrender nominaler Flugbahnen. fangsgeschwindigkeit iiber Nan sieht die Annlogie zu den umlaufenden Flug- die parabolische, Es zeipt bahnen.

Einige Probleiiie der Dynainik des Fluges zuin Mond 119

sich, daB der Klasse St Flugdauern Tl,2 zwischen 5 und 10 Tagen, der Klasse 0,: zwischen 15 und 20 Tagen entsprechen; die iibrigen haben dazwischen liegende Flugdauer.

Wir betrachten das Verhalten der nominalen Liisungen bei abnehmender An- fangsgeschwindigkeit V,. Bei hinreichend grol3en Geschwindigkeiten existieren nur die Losungen der Klasse Sfe. Bei d V , = 0,017 km/sec treten die Losungen S:" in Erscheinung, bei A V , < 0 die Losungen Di', DL' und S;-. Bei A V l

abnehmender Anfangsgeschwindigkeit erfolgt paarweise Annaherung der Losungen, spater gehen die Losungen ineinander iiber und verschwinden : zuerst verschwinden die Losungen S;' und S",, dann die Losungen DL+ und D;', darauf und S;-. Zuletzt verschwinden die Losungen D:- und DL-. Bei noch kleineren Anfangsgeschwindigkeiten ist crk = 0 nicht mehr moglich, obwohl die Flugbahnen noch die EinfluBsphare erreichen konnen.

Die Losungen der zweiten Klassen verlaufen bei allen Anfangsgeschwindig- keiten aufierhalb der Mondscheibe, die der ersten Klassen nur bei Anfangs- geschwindigkeiten in der Nahe der minimalen.

Wir wollen nun die Rage beantworten, wie sich eine Streuung der Anfangs- werte auswirkt. Da bei nominalen Flugbahnen im Gegensatz zu den anderen der Abstand vom Erdmittelpunkt r, nicht linear, sondern quadratisch von kleinen Fehlern abhangt, verlaufen derartige Flugbahnen, solchen, bei denen die erforderliche Genauigkeit der Anfangswerte eingehalten wurde, hinreichend benachbart.

Wie auch fur die Treffbahnen ist der fur die umlaufenden Flugbahnen wesent- liche EinfluB die Streuung der Anfangsgeschwindigkeit V, und des Winkels a, zwischen Anfangsgeschwindigkeit und Radius.

Welchen EinfluB die Streuung hat, hangt beim betrachteten Problem nicht nur vom Charakter des Flugbahnverlaufes relativ zur Erde, sondern auch vom dbstand em der Flugbahn vom Mondmittelpunkt ab. Mit abnehmendem p,,, nimmt der EinfluB der Fehler stark zu. Er ist daher fur die ersten Klassen groBer als fur die zweite, wobei die Fehler bei kleiner werdendem Abstand em sich starker auswirken als bei seiner VergroBerung. Wir erhalten beispielsweise fur den Typ 8;' bei a, = n/2 und A V , = - 0,07228 km/sec den Wert ern = 12900 km. Rei Fehlern SV, = - 1 m/sec und Sa, = - 0,Ol rad sowie bei den Fehlern hV, = + 10mlsec und Sa, = + 0,l rad fuhren die Flugbahnen noch zur Erde zuruck. Bei den Fehlern SV, = - 10 m/sec und Bar, = - 0,l rad trifft die Flug- bahn entweder auf den Mond oder sie umgeht ihn entgegen dem Uhrzeigersinn, YO daB kein Umfliegen eintritt. Eine Realisierung des betrachteten oder eines noch naheren Umfliegens des Mondes mit anschliefiender Riickkehr zur Erde ohne Korrektur auf der Freiflugbahn ist wohl kaum moglich.

Mit zunehmendem minimalen Abstand der Flugbahn vom Mond werden die Anforderungen an die Genauigkeit schnell kleiner.

Fur die trivialen Losungen (die in Abstanden em x e* den Mond passieren), d. h. fur ein hinreichend entferntes Umfliegen (wie bei HOCHMANN), ist der Ein- flufi einer Streuung relativ gering; die fur die Riickkehr zur Erde erforderlichen Genauigkeiten sind nicht gro13er als die fur das Auftreffen auf den Mond bei der gleichen Anfangsgeschwindigkeit erforderlichen. Ein solches Umfliegen ist ohne Korrektur auf der Freiflugbahn offenbar technisch realisierbar.

- - - 0,017 kmlsec schlieBlich erscheinen die LBsungen DL- und 0:-. Bei weiter

120 V. A. EGOROV

Q 9. Das ,,spezielle Problem'6 des UmMegens des Mondes

Unter dem ,,speziellen Problem" des Umfliegens des Mondes verstehen wir die Suche nach umkreisenden Flugbahnen, bei denen das Gertit bei der Riickkehr schrag in die Erdatmosphiire eintritt. Solche umlaufenden Flugbahnen sind besonders interessant, da sie einfachere Eintrittsbedingungen in die Erdatmosphare besitzen. Fur diese umlaufenden Flugbahnen ist der minimale geozentrische Radius r, auf dem Riickkehrbereich offensichtlich gleich dem Radius R der oberen Atmospharenschichten.

Man kann zeigen, daB eine Annaherungsbahn mit r, = R bei Anfangs- geschwindigkeiten V, < V , + 0,5 km/sec im Austrittspunkt aus der EinfluB- sphare die Eigenschaft I V , I x ( R/r,) V , besitzt, wobei V , , die Komponente der geozentrischen Austrittsgeschwindigkeit V, senkrecht zum Austrittsradius r3 ist (Bild 9a); V , ist die parabolische Geschwindigkeit fur die Anfangshohe. Diese Eigenschaft erlaubt wie beim vorhergehenden Problem alle Losungsklassen rnit Hilfe des Geschwindigkeitsdiagrammes zu finden.

Jedem Unterklassenpaar von Losungen des vorhergehenden Problems entsprechen, wie sich herausstellt, bei diesem Problem zwei Klassen von Losungen, die den Mond in der gleichen Richtung wie die Losungen des obigen Problems, die Erde jedoch in verschiedenen Richtungen umlaufen. Es ist jedoch nicht erforderlich, die Klassen hier in Unterklassen einzuteilen, da sich ihre Losungen beim Durchgang durch den Wert a, = 0 (Winkel zwischen der Anfangs- geschwindigkeit und dem Radius) stetig andern. Wir konnen sie daher mit Aus- driicken ohne oberes Vorzeichen bezeichnen: S:+ und S;- fur die erste Klasse der ,,umfliegenden" Losungen und 8:- und Si+ fiir deren zweite Klasse. Analog erhalten wir fiir die ,,hinfuhrenden" Losungstypen DL+, BL-, BE+ und D:-. Das Vorzeichen am unteren Index bezeichnet die Umlaufrichtung um die Erde. 1st 01, ein rechter WinkeI, so konnen die zweiten Losungspaare zu trivialen entarten (die keine Annaherung an den Mond bedeuten). Diese Losungen sind Ellipsen mit einem Brennpunkt im Erdmittelpunkt, im Perigaum beriihren sie die oberen Atmospharenschichten. Bild 28 zeigt die Losungen des Umfliegens fiir einen mittleren Wert a, = 0. Die geozentrische Sektorialgeschwindigkeit ist anfangs Null, und die Losungen beginnen radial. Dann erhoht die Storung durch den Mond die Flachengeschwindigkeit derart, daB der Ruckkehrzweig die oberen Schichten der Erdatmosphare beriihrt.

Das Verhalten der Losungen beim vorliegenden Problem, wenn wir die An- fangsgeschwindigkeit andern, verfolgen wir iihnlich, wie wir das bei den Losungen der entsprechenden Klassen des vorhergehenden Problems getan haben.

Wir erwahnen, daB alle Annaherungsbahnen, die zur Erde zuriickkehren, zwischen den Losungen des vorliegenden Problems mit a, = + n12 und ul = - n / 2 liegen, und bei gleichem Anfangsradius und gleicher Anfangs- geschwindigkeit. Ferner heben wir hervor, daB die symmetrischen Losungen des speziellen Riickkehrproblems, wie man Bild 28 entnehmen kann, nur in den Klassen A!$+, DL+ (zu OL, = + n/2) und ST-, DL- (zu O L ~ = - n / 2 ) enthalten sind. Andern wir Anfangsradius und Anfangsgeschwindigkeit unabhangig voneinander, so erhalten wir gemaB $ 8 die Gesamtheit aller symmetrischen An- naherungsbahnen (siehe [5]).


Die Methode, rnit der wir beim vorhergehenden Problem die Losungen ermittelt haben, wenden wir auch auf dieses Problem an, die Iteration beginnen wir jedoch nicht mit 2/ = r, = 0, sondern rnit y = f I/R. Die relativ geringe Dichte der Atmosphgre stellt jedoch wesentlich scharfere Forderungen an die Genauig- keit der Anfangswerte im Ge- gensatz zum vorhergehenden Problem.

Zum Beispiel ist bei symme- trischem Umfliegen mit A V, = - 0,083773 (UberschuB der An- fangsgeschwindigkeit iiber die parabolische) und a, = nl2 (Winkel zwischen Anfangsge- schwindigkeit und Radius) und der Flugdauer von 832600 sec der Abstand vom Mond em = 27000 km. Selbst so kleine Feh- ler in den Anfangswerten wie SV, = 0,2 m/sec und Sa, = 5 - rad verursachen bei der Riickkehr Hohenanderungen von 160 bzw. 190 km; diese sind aber nicht zulassig (die Hohenanderung darf einige 10 km nicht iiberschreiten).

Y

Bild 28. Klassen der Flugbahnen, die zur Erde zuriickkehren und schriig in deren Atmosphiire

eintreten.

Dieses Beispiel gilt fiir einen relativ groBen Wert von em. Eine Verkleinerung von em erhoht den EinfluB der Fehler ebenso schnell wie beim vorigen Problem.

Da die Genauigkeit, mit der die geforderten Anfangswerte eingehalten werden miissen, aul3erordentlich grofi ist, ist eine praktische Verwirklichung des Um- fliegens des Mondes auf Annaherungsbahnen rnit schragem Eintritt in die Erd- atmosphare ohne eine Korrektur auf der Freiflugbahn kaum moglich.

Q 10. Das periodisehe Umfliegen des Mondes

I n diesem Paragraphen betrachten wir das folgende Problem : 1st es moglich, ein Gerat in die Mondbahnebene so zu entsenden, dal3 dieses den Mond periodisch umfliegt, regelmafiig vom Mond, beispielsweise von dessen Ruckseite, Infor- mationen liefert und dann zur Erde zuriickkehrt. Hierbei interessieren nicht beliebige periodische Losungen, sondern solche Losungen, die nahe am Mond vorbei fiihren. Wir losen offensichtlich das gestellte Problem, wenn wir alle ebenen, periodischen Flugbahnen ermitteln. In der Literatur wurde ein solches Problem bisher nicht behandelt.

Wir wollen als Endpunkt einer jeden Periode den dem Erdmittelpunkt am niichsten gelegenen Punkt wahlen. Man erkennt leicht, daB die gesuchten Losun- gen nicht im geozentrischen Koordinatensystem rnl[,q1, sondern in dem mit der

122 V. A. EGOROV

Verbindungslinie zwischen Erde und &fond (siehe Bild 2 ) rotierenden System 0, 6 , q in sich geschlossen sind. Nichtsdestoweniger miissen in den Periodenend- punkten die geozentrischen Endgeschwindigkeiten v k , die Radien Tk und die Winkel ak = & nj2 zwischen ihnen mit den entsprechenden AnfangsgroBen I:, r1 und c(l ubereinstimmen.

Unter Benutzung dieser Tatsache und der der Umkehrbarlieit der Bewegung kann man zeigen, dalj die gesuchten Losungen in den Koordinatensystemen

"fousend hml t, 5.77 ,

S I r , [kni] IV,, [kmisec] en& [ lm]

I 6571 11,1242 150 I1 42203 4,4008 823 J I I 82824 3,1833 1500 1 JV 116371 2,7410 2000

iseno

Bild 29. Plogbahnen fur periodisches Urn- fliegen von lkde und Mend. Die auIjerhalb der Mondoberflache verlaufenden Bahnen haben von der Erde einen Abstand von

100000 km und mehr.

Einige Problenie der Dgnsniik des Fluges zum Mond 123

der Winkel zwischen den geozentrischen Radien des Anfangspunktes nnd des dem Mond am nachsten gelegenen Punktes, so fuhrt die Forderung, clag der Winkel A fur Anfangs- und Endpunkte im System O [ q ubereinstimmt, wie man leicht einsieht, auf eine Bedingung fur die W'inkelverschiebungen von Gerat und Mond wahrend der Zeit Tl, k. Diese besitzt die Form

Da wegen der Kleinheit der EinfluBsphare x @ ist, wobei @ der Winkcl zwischen den geozentrischen Radien r = r1 und t = a des Kegelschnittes ist, clem der Anfangsteil der Flugbahn anqehort, gilt nahcrungsweise

1st

2@1 - O j T 1 , k = 2 k X , X: 0, I, 2, ... (10.1)

2@ - wTl,k = & 2 k n , k = 0 , 1, 2, ... (10.2) Mit Hilfe von (10.2) 1- \arm man

alle periodischen Annaherungsbahnen crhalten. Es zeigt sich, da13 ein periodisches Umfliegen nach Typ S:+ nicht moglich ist und da13 zum Typ S;- nur eine Schar periodischer Losungen gehort, die 2 @ -COT 1, = - 2 n entsprechen. Die Losungen dieser Schar umlaufen Erde und Mond im Uhrzeigersinn, d. 21. bei ihnen ist @ < 0 (Bild 29).

Fur die hinfiihrenden periodischen TJiisungen sind beide Typeri moglich : I):+ und DX-, wobei zu D:+ zwei unendliche Gesamtheiten von Scharen gehoren, fiir die die Bedingung 2@ - coT,,k = - 2 kn gilt,, und die zu 3, = x, k 2 0 sowie zu = 0, k 2 I gehoren. Zu Di- gehoren die beiden analogen Gesamtheiten, fur die 2 @ - w T I , k = - 2 In gilt. und die zu 1 = 3, 1 2 2 sowie zu?. = 0, l 2 3 gehiiren.

f Die Losungen vom Typ Da+ umlaufen Erde und Mond entgegen dcm Uhr- zeigersinn und entsprechen @ > 0. Hier- beifuhrt der Mond wahrend einer Halb- periode bei der ersten Gesamtheit von Scharen (mit 3, = n) etwas niehr als 0,5; 1,5; . . . ; E -k 0,5; . ,. Umlaufe aus, bei der zweiten Gesamtheit (A = 0) ,etwas mehr als 1, 2, . . . , E , . . . Umlaufe.

Die Bilder 30 und 31 zeigen die Lo- sungen dieses Typs mit 3, = n fur k = 0,l schematisch, Bild 32 zeigt die Losung mit = 0 fur k = 1.

Bild 30. Einfachste hinfiihrendcPlugbahn der Unterklasse D+ (Umlauf urn die Erde inposi- tiver Richtung, k = 0, 1 = n) : die Periode be-

tragt etnas mehr sls einen hnlben Monat.

Bild 31. Hinfiihrende periodische Flugbalin der Unterklasse D, ( k = 1 , I = n). Die Periode betragt etwas mehr als 1,5 &Zonate.

124 V. A. EGOROV

Die Losungen des Typs 0:- umlaufen die Erde im Uhrzeigersinn und den Mond entgegen dem Uhrzeigersinn und entsprechen @ < 0. Der Mond fuhrt hierbei wahrend einer Halbperiode im Falle der ersten Gesamtheit von Scharen mit A = n etwas weniger als 0,5; 1,5; . . . ; 1 - 2 + . . . Umlaufe aus, und bei

Bild 32. Hinfiihrende periodische Flugbahn der Unterklasse D1+ (k -- 1, I = n). Die Periode betragt etwas mehr als einen Monat.

W M7

Bild. 33. Einfachste periodische hinfiihrende Flugbahn der Unterklasse D- (Umlauf urn die Erde in negativer Richtung, I = 2, il = n). Die Periode betragt etwas weniger

als einen halben Monat.

Bild 34. Hinfiihrende periodische Flugbahn der Unterklasse D,- ( I = 3, I = n). Die Peri- ode betragt etwas weniger als I ,5 Monate.

Bild 35. Hinfiihrende periodische Flugbahn der Unterklasse 0;- ( I = 3, I = 0). Die Peri- ode betragt etwas weniger als einen Monat.

der Gesamtheit mit A = 0 etwas weniger als I ; 2, . . . , 1 - 2, . . . Umlaufe. Die betrachteten Losungen mit A = n sind fiir 1 = 2,3 in den Bildern 33 und 34 schematisch dargestellt, die Losungen mit ,I = 0 fur 1 = 3 in Bild 35.

Zwischen den Losungen der Typen DL+ und DL- kann man bei gleichem il eine eineindeutige Zuordnung herstellen, wenn man 1 = k. + 2 setzt. Man sieht dann leicht, da13 die entsprechenden Losungen fiir rl -+ 0 in ein und dieselbe


Losung ubergehen, d. h. sie stimmen iiberein. Diese Grenzlosungen fiir I = n und k = 0,i (d. h. 1 = 2,3) sind in den Bildern 36 und 37 und fiir il = 0 und k = 1 (1 = 3) in Bild 38 dargestellt. Zu den Grenzlosungen gehoren Winkel- verschiebungen des Mondes wiihrend einer Halbperiode, die genau 0,5; 1,5; . . . ; k + lI2; ... bzw. 1, 2, 3, ..., k , ... Umliiufen entsprechen.

Es gibt somit tatsachlich nicht vier, sondern zwei Gesamtheiten von Scharen hinfuhrender, periodischer Losungen ( A = 0 bzw. R = n). Wir bezeichnen die Schar mit k = 0 und R = n mit dem Buchstaben D, die mit k > 0 und 3, = z,

Bild 36. Einfachste poriodische hinfuhrende Flugbahn der Klasse D, die diese in die Unterklasse D+ und D- teilt (Bild 30 und 31). Die Periode betragt 0,5 Monate.

Bild 37. Periodische hinfuhrende Flugbahn der Klasse D,, die dieunterklassen D1+ und D,-voneinander trennt (Bild 31 und 34). Die Periode betriigt 1,5 Monate.

Bild 38. Periodische hinfiihrende Flugbahn der Klasse D;, die die Unterklassen D;+ und 0;- voneinander I- Bild 36. trennt (Bild 32 und 35). Die Periode betriigt 1 Monat.

6

Bild 37. Bild 38.

0 mit Dk bzw. 0;. Diese Bezeichnungen wurden auch in den Unterschriften zu den Bildern 30-38 benutzt.

Vergleichen wir die erhaltenen Ergebnisse mit den bekannten von STROMGREN und der Kopenhagener Schule [15], die diese fiir den Fall gleich groI3er anziehen- der Massen (m, = m,) erhielten, so sehen wir, daB die (mit dem Buchstaben D bezeichnete) Schar der den Mond umkreisenden Losungen der Klasse ,,m" von STROMGREN entspricht und die Scharen D und Dk seiner Klasse ,,s". Die Scharen DL haben bei STROMGREN keine Analoga, umgekehrt sind bei ihm periodische Bahnen angefiihrt (Klasse ,,k", gefunden von LOUS [IS]), die bei uns keine Ana- loga haben, obwohl sie fur m1 = mz Annaherungsbahnen sind. Da das System der periodischen Annaherungsbahnen S, D, Dk und D; nach der Art seiner Er-

126 V. A. EGOROV

mittlung fur das Massenverhaltnis von Erde und Mond (ml/mz = 81,45) vollstandig ist, folgt, daB bei m1 = m, noch periodische Losungen existieren, die bei riner VergroBerung des Quotienten mJm, auf den Wert 81,45 verschwinden.

Wir erwahnen, daB die Flugbahnen Dk und DL nieht die einfachsten sind, d. 11 . tlaB sie im System 0, 5 , y~ wahrend einer Periode nicht mehr als einen Umlauf ausfuhren. Im System Erde-Mond sind nur die Scharen C und D einfachste periodische Annaherungsbahnen.

Wir betrachten die Schar S, die einzige Schar umlaufender Flugbahnen. Es zeigt sich, daB die Losungen dieser Schar, die die Atmosphare beruhren, durcli den Mond hindurchgehen (Bild 29) und daS die auljerhalb der Mondoberflache verlauf'enden Losungen vom Erdmittelpunkt um mehr als 94 800 km entfernt

~ftuusend kml

78.3\ \

Bild 39. Entweichen ins Unendliche bei angenlhert periodischer Balm. Die Bahnen I1 und If1 liegen zwischen den dargestellten. H = 76253 km, a1 = - x / 2 , d V, = 0,085058 km/sec, 6 V, < 0,001 m/sec, 1-1' - erster Umlauf, 111' - Reendigung des 3. Umlaufeq,

IV - 4. Umlanf.

liegen. Alle Losungen \on Bild 29 wurden mit einer cler STRGhIGRENschen analogen Methode gefundrn (im System 0, it, q und mit V, als Geschwindigkeit in dieseni System). Diese Liisiingen erwiescn sich als instabil. So fiihrt beispielsweise die Losung mit r, = 82800 km (Abstand vom Erdmittelpunkt) untl em = 1500 km (Abstand vom Rlondmittelpunkt) bei einem Fehler von dVo = 0,001 mjsec bereits beim vierten IJmlauf ins Cnendliche (Bild 39). So ist ein periodisches Umfliegen des Mondes in kleinen Abstanden praktisch nicht niBglich .

Ware bei den periodisclien Losungen im JAIiOBI-Integral (2.1) h < h,, so kijnnten die Losungen gemaS 9 2 nicht in das Unendliche fuhren. Urn von der Erde zum Mond zu gelangen, mulj jedoch h > h, sein. Fur Annahcrungsbahnen, anch fur die periodischen unter ihnen, ist nach 0 3 h > h,. Periodische Losungen, die der Bedingung h, < h < h, geniigen, verlaufen also, falls sie existieren, gc- niigend weit ab von der Erde. De die Differenz h, - h, sehr klein ist, haben diese Losungen, selbst wenn sie existieren, keinen praktischen Wert, nicht nur wegen der Streuung der Anfangswerte, die die Erfullung der Relation h, < h < h, er-

Einige Probleine der Dynainik des Fluges zum Nond 127

schwert, sondern auch deshalb, weil die nichtberucksichtigten Storungen durch die Sonne sowie andere Storungen leicht h so andern konncn, daI3 es nicht mehr der Relation h, < h < h, geniigt.

8 11. Antreibung (Geschwindigkeitszuwachs) und Abbremsung niit Hilfe des Mondes Klassifikation der Flugbahnen

Wir betrachten das Problem der maximalen Antreibung (Geschwindigkeits- zuwachs) einer kosmischen Rakete mit Hilfc des Mondes ohne Benutzung dcr Schubkrafte eines Beschleunigers. Aus dcm Geschwiridigkeitsdiagramm (siehc Bild 14) ist zu entnehmeii, da13 die maximale geozentrische Austrittsgeschwin- digkeit nach der Annaherung Uyax = U + V , ist, wo U die Gro13e der selenozentrischen Austrittsgeschwindigkeit und V , die Mondgeschwindigkeit ist. Man kann jedoch zeigen, da13 die hierzu gehorende Annaherungsbahn bei beliebigen Anfangswerten durch den Mond gehen muB.

Es zeigt sich, daB die der maximalen Antreibung A V2, , = V , - V , (wobei V , die geozentrische Eintrittsgeschwindigkeit ist) entsprechende, praktisch realisier- bare Flugbahn an der Mondobcrflache vorbeifuhreri mu13 und dabei den Mond bei Annaherung auf dem absteigenden Zweig (Klasse $f ) im Uhrzcigersinn, bei Annaherung auf dem aufsteigenden Zweig (Klasse f i a ) entgegen dem Uhrzeiger- sinn umlauft. Zur Klasse ?ia gehoren die groI3eren der gestrichelten Vektoren %$ in den Bildern 14 und 17. Beim Aufsuchen der Antreibungslosungen wurde die Iteration fur die Funktion y = mit dem Vorzeichen der Umlaufrichtung um den Mond rnit dem Wert + v R M fiir die Losungen Da und mit fiir tlie Losungen & ! f durchgefiihrt. Dabei ist ern der Ab- stand der Flugbahn vom Nondmittelpunkt und R, = 1736,7 km der &fond- radius. Bestimmt wurden tlie Randlosungen jeder Klasse, d. h. die Losungen mit = + n / 2 und - n12. Diese sind in Bild 40 schematisch in dem geozentrischen ( f l , ql) und dem rotierenden ( f , 11) Koordina- tensystem dargestellt. Hin- sichtlich des Vorzeichens des Winkels d. h. hinsichtlich der Umlaufrich- tung um die Erde, kann jede Klasse in zwei Unter- klassen eingeteilt werden :

5~ in &+ und 5 - ; gi in sf+ und gf- .

a, >o oq co

1;"- '%

Bild 40. Klassen der Flugbahnen maximaler dntreibung mit Hilfe des Mondes. Erkennbar ist die Analogie zu den

Treffbalinen (Bild 18).

128 V. A. EGOROV

Die Antreibungslosungen werden durch den Mond so gekrummt, dafi sie aus der Einflufisphare in einer Richtung austreten, die zur Richtung der Mond- geschwindigkeit hin tendiert. Die nach der Antreibung vorhandene geozentrische Austrittsgeschwindigkeit V, ist stets hyperbolisch, und zwar unabhangig von der Anfangsgeschwindigkeit V,, so dafi das Gerat nach der Annaherung an den Mond in das Unendliche entweicht. Der Betrag der Antreibung A V2.3 hangt jedoch von V, ab; sie ist maximal (1,5 km/sec) bei Geschwindigkeiten V , in der Nahe der minimalen. Mit zunehmendem V , fallt sie monoton (und geht fur V, -+ 60 gegen Null). Wegen des monatlichen Mondumlaufes kann man in der Mondbahnebene die maximal mogliche Geschwindigkeit in beliebiger Richtung erhalten. Da diese Ebene kleine Winkel mit den Ebenen der Planetenbahnen bildet, kann man diese brennstofflose Antreibung auch fur interplanetare Fliige ausnutzen.

Wir betrachten nunmehr die Auswirkungen, die eine Streuung der Anfangs- werte auf die Antreibungslosungen hat. Diese sind bier groBer als bei den auftreffenden Losungen, da die Abweichungen 6 em nicht quadratisch, sondern linear von den Fehlern abhangen. So verursachen beispielsweise bei einer An- treibungsbahn Da+ rnit einer Anfangsgeschwindigkeit, die um 0,0723 km/sec kleiner als die parabolische ist, und mit a, = 90" die Pehler 6 V , = 1 km/sec und da, = 1" die dnderungen (6e,)v = 120 km und ( 6 ~ ~ ) = 100 km.

Wegen der Gefahr einesZusammenstol3es mit dem Mond infolge vonFehlern der Anfangswerte miissen die berechneten Flugbahnen von der Mondoberflache entfernt werden. Ein solches Abheben der Flugbahn vom Mond verkleinert den Ge- schwindigkeitszuwachs ; die grofitmoglichen Antreibungen sind daher kaum ohne eine Korrektur der Flugbahn vor der Annaherung an den Mond zu realisieren.

Die Losungen mit aI = + n / 2 sind zweckmafiiger als andere Antreibungs- losungen, und zwar deshalb, weil sie die in der Mondbahnebene liegende Ge- schwindigkeitskomponente der taglichen Erdumdrehung zu verwenden ge- statten (was iibrigens auch fur die Losungen der oben betrachteten Probleme mit a, = + n12 gilt).

Man erkennt leicht, daB, wenn das Problem einer beliebigen Antreibung gelost ist, wegen der Umkehrbarkeit der Bewegungsrichtung (Ersetzen von t durch - t ) in dieser Losung stets auch die der Abbremsung mit Hilfe des Mondes einer Flugbahn, die um die &Achse spiegelsymmetrisch zur Beschleuni- gungsbahn ist, enthalten ist. Hierbei sind hinsichtlich der Abbremsung die Bahnen am giinstigsten, die den giinstigsten Antreibungsbahnen entsprechen, da bei ihnen beim Eintritt in die Atmosphare deren tagliche Umdrehung zusammen mit der Erde ausgenutzt und die Geschwindigkeit des Gerlites relativ zur Erdoberflache verringert wird. Die Flugbahnen maximaler Abbremsung konnen beispielsweise bei der Riickkehr einer Rakete von einem interplanetaren Fluge Verwendung finden.

Wie man dem Geschwindigkeitsdiagramm (Bild 14) entnehmen kann, konnen neben den Treffbahnen und den zur Erde zuriickkehrenden Annaherungsbahnen an den Mond sowie den Flugbahnen, die der einen oder anderen Antreibung der Rakete als Folge der Annliherung entsprechen, noch Flugbahnen existieren, die einer grofien oder kleinen Verlangsamung derselben (relativ zur Erde) entsprechen; andere Annaherungsbahnen gibt es nicht. An Hand des Geschwindig- keitsdiagramms kann man somit eine vollstandige Klassifizierung der ebenen Annaherungsbahnen durchfuhren.


Den Verlangsamungsbahnen in Bild 14 entsprechen geozentrische Austritts- geschwindigkeiten, die mit der Geschwindigkeit - V , einen Winkel einschlieiljen und die kleiner als die Eintrittsgeschwindigkeiten der Flugbahnen vom Typ S;, und DL+ sind, wobei die maximale Verlangsamung auf jener Flugbahn erfolgt, die aus der EinfluBsphare in einer der Mondbewegung entgegengesetzten Rich- tung austritt, und zwar unabhangig von den Eintrittsbedingungen.

Wie aus Bild 14 zu entnehmen ist, gehort zu der Flugbahn inaximaler Ver- langsamung eine maximale geozentrische Flachenkonstante (Tk, und daher verlauft diese Flugbahn im Vergleich zu den nahen Flugbahnen in sehr grol3em Abstand vom Erdmittelpunkt.

Mit Hilfe des Geschwindigkeitsdiagramms kann man das Verhalten der Losungen bei einer Bnderung des Winkels il oder eines anderen An fangswertes innerhalb des der Annaherung entsprechenden Wertebereiches untersuchen, wir wollen hierbei jedoch nicht verweilen.

Fassen wir die oben betrachteten Probleme zusammen, so konnen wir folgende SchluBfolgerung ziehen. Die hohen An forderungen an die Genauigkeit der An- fangswerte fuhren dazu, daB zu einer Realisierung der Mondumkreisung in kleinem Abstand bzw. in besonders kleinem Abstand bei schriigem Eintritt in die Erdatmosphare eine Korrektur auf der Freiflugbahn erforderlich ist. Sowohl fur auf den Mond auftreffende als auch diesen in groaeren Abstanden umlaufende Flugbahnen sind die Genauigkeitsanforderungen geringer ; der Flug auf diesen Bahnen kann daher ohne Korrektur auf der Freiflugbahn erfolgen, wenn nur die Raketen Geschwindigkeiten von der GroBenordnung der parabolischen erreichen.

Schluflbemerkungen

1. Die erhaltenen Ergebnisse lassen es zu, fur jede konkrete Fragestellung eines Mondfluges ebene Flugbahnen der geeignetsten Form und Eigenschaft auszu- wahlen. 1st diese Auswahl erfolgt, so konnen mit der dargelegten Methode die Anfangswerte und die bei ihrer Realisierung erforderlichen Genauigkeiten bestimmt werden. Diese Anfangswerte konnen als 1. Naherung zur genauen Er- mittlung von Anfangswerten dienen, bei denen die Storungen durch die Sonne und durch andere zweitrangige Faktoren in der Rechnung beriicksichtigt w erden .

2 . Die jeweiligen genauen Bewegungsgleichungen sind zweckmafligerweise numerisch mittels schneller Rechenmaschinen zu integrieren. Hierbei kann man zur zahlenmailjigen Bestimmung der berechneten Flugbahnen die gleichen Ite- rationsverfahren fur die gleichen Funktionen und Argumente verwenden, wie sie zur Ermittlung der nominalen Flugbahnen bei den dargelegten Problemen benutzt wurden.

3. Die in der vorliegenden Arbeit erhaltenen Losungen konkreter Einzel- probleme sind auch dann von praktischem Interesse, wenn ihre Realisierung ohne eine Korrektur auf der Freiflugbahn (mit Hilfe einer zusatzlichen Be- schleunigung) nicht moglich ist, da sie im Gegensatz zu anderen Losungen nur sehr kleine Korrekturen erfordern.

4. Man kann zeigen, dailj die angewandte Naherungsmethode nicht nur fur das Verhaltnis von Mond- zu Erdmasse (m, : m, = 1 : 81,45), sondern auch fiir andere 9 Kunstliche Erdsatelliten

130 V. A, EGOROV

hinreichend kleine Verhaltnissc m2 : m, geeignet ist. Mehr noch, die Genauigkeit dieser Methode wachst mit abnehmendem Wert dieses Verhaltnisses auf Null unbegrenzt. Sie ist daher auch auf die Bewegung eines Gerates im Schwerefeld der Sonne m, und eines auBeren Planeten m, anwendbar. Annaherungsflugbahnen sind dann die Bahnen, die durch die EinfluBsphLre von m2 bezuglich m, fiibren.

Da die Planetenbahnebenen mit der Erdbahnebene kleine Winkel einschliefien, ist die dargelegte Methode zur Untersuchung von Flugbahnen fur interplanetare Fliige geeignet. Der Hauptteil dieser Flugbahnen verlauft auBerhalb der EinfluDsphLre der Erde beziiglich der Sonne. Die Anfangswerte sind zu beziehen auf den Rand der EinfluBsphare der Erde. Die Rolle des Anfangsradius r, spielt dann der heliozentrische Radius oder, naherungsweise, der Erdbahnradius, und fur den Mondbahnradius a ist der Planetenbahnradius zu setzen. Den EinfluB der anderen Planeten auBer dem Planeten m2 braucht man nicht zu beriicksichtigen, da ein Eintreten der Flugbahn in deren Einfluhphare wenig wahrschein- lich ist.

Fur Annaherungsbahnen sind offenbar folgende ebenen Problemstellungen sinnvoll : Auftreffen auf den Planeten ni,, Umfliegen desselben und Ruckkehr zur Erdbahn, spezielles Umfliegen (mit bezuglich der Erdbahn tangentialer Riickkehr), Antreibung mit Hilfe von m2, um beispielsweise zur Bahn eines weiter entfernten Planeten vorzudringen.

1st das Verhaltnis rl :a klein, wie es beispielsweise fur Neptun der Fall ist, so ist nicht nur die Methode brauchbar, sondern es konnen auch viele Ergebniss iibernommen werden. Insbesondere sind die theoretisch moglichen Klassen und Formen der Flugbahnen von der Erdbahn zum Neptun offensichtlich die gleichen wie die der Flugbahnen von der Erdoberflache oder einem Erdsatelliten zum Mond. 1st jedoch das Verhaltnis rl :a nicht klein (wie z. B. fur Mars), so muB man die Betrachtungen dieser Arbeit verallgemeinern.

5. Die in dieser Arbeit dargelegte Naherungsmethode kann ohne besondere Schwierigkeiten auf die raumliche Bewegung verallgemeinert werden. Die charakteristischen Bereiche, aus denen die Flugbahnen bestehen, bleiben hierbei die gleichen, obwohl sie in verschiedenen Ebenen liegen. Die fur jeden Bereich gefundenen GesetzmaBigkeiten bleiben erhalten. Verandert werden nur die Umrechnungsrelationen in den Durchtrittspunkten der Flugbahnen durch die Grenze der EinfluBsphare.

LITERATUR

[I] B. THURING, Weltraumfahrt 3, 202 (1952). [Z ] B. THURING, Weltraumfahrt 6, 69 und 103 (1954). [3] D. F. LAWDEN, J. British Interplanetary Society 13, 329 (1954) und 14, 204 (1955). [4] G. A. ~EBOTAREV, Bulletin ITA 6, 487 (1957). [5] M. S. LISOVSKAJA, Bulletin ITA 6, 550 (1957). [6] M. F. SUBBOTIN, Lehrbuch der Himmelsmechanik, Band 2 ONTI (1937) (russ.).

Einige Problenie der Dynaniik des Fluges Zuni Mond 131

[ 7 ] B. W. HILL, Lunar Theory, Amer. J. of Math., Band 1 , Teil 23 (1877). 181 J. E. ROSENTAL, Amer. J. of Math. 63, 258 (1931). [9] M. MARTIN, Amer. J. of Math. 63, 167 (1931).

[lo] A. A. MARKOV, Uspechi AstronomiE. Nauk, Heft 3, 75 (1933). [ I I ] H. HOPF, Mathematische Annalen 103, (1930). [I21 V. G. FESENKOV, AstronomiE. Zurn. 23, Heft 1 (1946). [I31 F. P. MUL'TON, Einfiihrung in die Himmelsmechanik, ONTI (1937) (russ.). [I41 V. HOCHMANN, Die Erreichbarkeit der HimmelskBrper, Munchen-Berlin, Seite 63

1151 E. STROMGREN, Publicationern fra Kobenhavns obs. Nr. 100 (1936). 1161 C. LOUS, Publicationern fra Kopenhavns obs. Nr. 32 (1919). [I71 V. A. EGOROV, Arbeiten der Konferenz ,,Wege der Entwicklung des sowjetischen

[I81 V. A. EGOROV, Dokl. Akad. Nauk SSSR 113, Nr. 1 (1957).

(1 925).

Rechenmaschinen- und Geratebaues, Band 2", Moskau (1957).

Documents

Einige Probleme der Dynamik des Fluges zum Mond