ESCUELA POLITCNICA NACIONALANLISIS MATEMTICO II HOJA DE EJERCICIOS N. 3

LMITES Y SUCESIONES I

8 de mayo de 2015 Profesor: Mat. Andrs Merino

Sean (E, d) un espacio mtrico.

1. Sea A E. Demostrar que A es acotado (es decir diam(A) existe) si y solo siexisten x E y M > 0 tales que A B(x,M).

2. Sea (xn)nN una sucesin de E, se dice que la sucesin est acotada si el con-junto

{xn E : n N}

es un conjunto acotado. Demostrar que, si una sucesin es convergente, en-tonces est acotada. Se tiene el recproco de este resultado?

3. Sea (xn)nN una sucesin convergente en E. Si E es finito, demostrar que, paraun n suficientemente grande, (xn)nN es constante.

4. Sea (xn)nN una sucesin de E. Si E es finito, demostrar que (xn)nN tieneuna sub-sucesin convergente.

5. Sea E = C [0, 1], con lamtrica delmximo. Demostrar que la sucesin ( fn)nN,donde

fn : [0, 1] Rx 7 fn(x) = x

no converge en E (es decir, no existe f E tal que ( fn)nN converge a f ).

6. Considere la sucesin (1/n)nN. Demostrar que converge en E si E = [0, 1]con la mtrica usual del valor absoluto, pero no converge en E si E = (0, 1]con la misma mtrica.

7. Sea F E un conjunto cerrado y (xn)nN una sucesin convergente de ele-mentos de F, demostrar que el lmite de la sucesin es un elemento de F.

8. Sea E = , con la mtrica del supremo. Se define

c ={

(xn)nN : existe N N tal que n > N implica xn = 0

}

,

Demostrar que este conjunto no es cerrado.

1