Ejemplo Polinomios de Legendre (2)

Tomamos una función

f@x_D = If@x < 0, 0, 1DIf@x < 0, 0, 1DPlot@f@xD, 8x, -2, 2<, PlotStyle ® ThickD

-2 -1 1 2

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Sabemos que

f[x]=S aL PLHxL dónde aL = H2 L + 1L �2 Ù-1

1f HxL PLHxL â x

a@L_D :=H2 L + 1L

2à

-1

1

f@xD LegendreP@L, xD âx

8a@0D, a@1D, a@2D< �� N

80.5, 0.75, 0.<For@i = 0, i < 40, i++, aa@iD = a@iD �� NDAproximacion de M términos.

Aprox@M_, x_D := âL=0

M

aa@LD LegendreP@L, xD

Aprox@3, xD-0.21875 I5 x

3- 3 xM + 0.75 x + 0.5

Ap0

Plot@8f@xD, Aprox@0, xD<, 8x, -2, 2<, PlotStyle ® 88Thick, Green<, 8Thick, Red<<D

-2 -1 1 2

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Ap1

Plot@8f@xD, Aprox@1, xD<, 8x, -1, 1<, PlotStyle ® 88Thick, Green<, 8Thick, Red<<D

-1.0 -0.5 0.5 1.0

-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

2 Legendre2.nb

Ap3

Plot@8f@xD, Aprox@3, xD<, 8x, -1, 1<, PlotStyle ® 88Thick, Green<, 8Thick, Red<<D

-1.0 -0.5 0.5 1.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Ap9

Plot@8f@xD, Aprox@9, xD<, 8x, -1, 1<, PlotStyle ® 88Thick, Green<, 8Thick, Red<<D

-1.0 -0.5 0.5 1.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Legendre2.nb 3

Ap19

Plot@8f@xD, Aprox@19, xD<, 8x, -3, 3<, PlotStyle ® 88Thick, Green<, 8Thick, Red<<D

-3 -2 -1 1 2 3

-1

1

2

App39-cerca

Plot@8f@xD, Aprox@39, xD<, 8x, -1, 1<, PlotStyle ® 88Thick, Green<, 8Thick, Red<<D

-1.0 -0.5 0.5 1.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Aprox@39, xD0.75 x - 0.21875 I5 x

3- 3 xM + 0.0429688 I63 x

5- 70 x

3+ 15 xM -

0.0183105 I429 x7

- 693 x5

+ 315 x3

- 35 xM + 0.00202942 I12 155 x9

- 25 740 x7

+ 18 018 x5

- 4620 x3

+ 315 xM -

0.000921249 I88 179 x11

- 230 945 x9

+ 218 790 x7

- 90 090 x5

+ 15 015 x3

- 693 xM +

0.000212431 I1 300 075 x13

- 4 056 234 x11

+ 4 849 845 x9

- 2 771 340 x7

+ 765 765 x5

- 90 090 x3

+ 3003 xM -

0.0000990853 I9 694 845 x15

- 35 102 025 x13

+ 50 702 925 x11

-

+ - + - M +

4 Legendre2.nb

37 182 145 x9

+ 14 549 535 x7

- 2 909 907 x5

+ 255 255 x3

- 6435 xM +

5.82659´10-6 I583 401 555 x

17- 2 404 321 560 x

15+ 4 071 834 900 x

13- 3 650 610 600 x

11+

1 859 107 250 x9

- 535 422 888 x7

+ 81 477 396 x5

- 5 542 680 x3

+ 109 395 xM -

2.75931´10-6 I4 418 157 975 x

19- 20 419 054 425 x

17+ 39 671 305 740 x

15- 42 075 627 300 x

13+ 26 466 926 850 x

11-

10 039 179 150 x9

+ 2 230 928 700 x7

- 267 711 444 x5

+ 14 549 535 x3

- 230 945 xM + 6.56863´10-7

I67 282 234 305 x21

- 344 616 322 050 x19

+ 755 505 013 725 x17

- 925 663 800 600 x15

+ 694 247 850 450 x13

-

328 189 892 940 x11

+ 97 045 398 450 x9

- 17 210 021 400 x7

+ 1 673 196 525 x5

- 74 364 290 x3

+ 969 969 xM -

3.1411´10-7 I514 589 420 475 x

23- 2 893 136 075 115 x

21+ 7 064 634 602 025 x

19-

9 821 565 178 425 x17

+ 8 562 390 155 550 x15

- 4 859 734 953 150 x13

+ 1 805 044 411 170 x11

-

429 772 478 850 x9

+ 62 386 327 575 x7

- 5 019 589 575 x5

+ 185 910 725 x3

- 2 028 117 xM +

3.76894´10-8 I15 801 325 804 719 x

25- 96 742 811 049 300 x

23+ 260 382 246 760 350 x

21- 405 039 050 516 100 x

19+

402 684 172 315 425 x17

- 267 146 572 853 160 x15

+ 119 873 462 177 700 x13

- 36 100 888 223 400 x11

+

7 091 245 901 025 x9

- 859 544 957 700 x7

+ 58 227 239 070 x5

- 1 825 305 300 x3

+ 16 900 975 xM -

1.81453´10-8 I121 683 714 103 007 x

27- 805 867 616 040 669 x

25+ 2 370 198 870 707 850 x

23-

4 079 321 865 912 150 x21

+ 4 556 689 318 306 125 x19

- 3 463 083 881 912 655 x17

+

1 825 501 581 163 260 x15

- 667 866 432 132 900 x13

+ 166 966 608 033 225 x11

-

27 577 067 392 875 x9

+ 2 836 498 360 410 x7

- 164 094 946 470 x5

+ 4 411 154 475 x3

- 35 102 025 xM +

4.37961´10-9 I1 879 204 156 221 315 x

29- 13 385 208 551 330 770 x

27+ 42 710 983 650 155 457 x

25-

80 586 761 604 066 900 x23

+ 99 943 385 714 847 675 x21

- 85 665 759 184 155 150 x19

+

51 946 258 228 689 825 x17

- 22 427 590 854 291 480 x15

+ 6 845 630 929 362 225 x13

- 1 447 043 936 287 950 x11

+

204 070 298 707 275 x9

- 18 050 444 111 700 x7

+ 902 522 205 585 x5

- 21 037 813 650 x3

+ 145 422 675 xM -

2.11905´10-9 I14 544 636 039 226 909 x

31- 110 873 045 217 057 585 x

29+ 381 478 443 712 926 945 x

27-

783 034 700 252 850 045 x25

+ 1 067 774 591 253 886 425 x23

- 1 019 422 534 291 446 285 x21

+

699 603 700 003 933 725 x19

- 348 782 019 535 488 825 x17

+ 126 155 198 555 389 575 x15

-

32 706 903 329 175 075 x13

+ 5 932 880 138 780 595 x11

- 723 521 968 143 975 x9

+

55 655 536 011 075 x7

- 2 429 867 476 575 x5

+ 49 589 132 175 x3

- 300 540 195 xM +

6.42109´10-11 I1 804 857 108 504 066 435 x

33- 14 660 993 127 540 724 272 x

31+

54 106 046 065 924 101 480 x29

- 120 038 550 288 334 345 360 x27

+ 178 531 911 657 649 810 260 x25

-

187 928 328 060 684 010 800 x23

+ 144 078 384 846 524 408 280 x21

-

81 553 802 743 315 702 800 x19

+ 34 180 637 914 477 904 850 x17

- 10 540 967 701 516 995 600 x15

+

2 354 897 039 700 605 400 x13

- 371 074 685 043 731 760 x11

+ 39 552 534 258 537 300 x9

-

2 671 465 728 531 600 x7

+ 102 748 681 866 600 x5

- 1 851 327 601 200 x3

+ 9 917 826 435 xM -

3.1187´10-11 I14 023 284 727 082 855 679 x

35- 120 925 426 269 772 451 145 x

33+ 476 482 276 645 073 538 840 x

31-

1 136 226 967 384 406 131 080 x29

+ 1 830 587 891 897 098 766 740 x27

- 2 106 676 557 560 267 761 068 x25

+

1 785 319 116 576 498 102 600 x23

- 1 132 044 452 365 548 922 200 x21

+ 540 293 943 174 466 531 050 x19

-

193 690 281 515 374 794 150 x17

+ 51 650 741 737 433 278 440 x15

- 10 061 832 805 993 495 800 x13

+

1 391 530 068 913 994 100 x11

- 130 827 613 316 700 300 x9

+ 7 823 578 204 985 400 x7

-

267 146 572 853 160 x5

+ 4 281 195 077 775 x3

- 20 419 054 425 xM + 7.58579´10-12

I218 266 320 541 953 276 229 x37

- 1 991 306 431 245 765 506 418 x35

+ 8 343 854 412 614 299 129 005 x33

-

21 282 875 023 479 951 401 520 x31

+ 36 927 376 439 993 199 260 100 x29

- 46 130 814 875 806 888 921 848 x27

+

42 835 756 670 392 111 141 716 x25

- 30 095 379 393 718 110 872 400 x23

+ 16 131 633 446 209 072 141 350 x21

-

6 603 592 638 799 035 379 500 x19

+ 2 053 116 984 062 972 817 990 x17

- 478 943 241 565 290 400 080 x15

+

82 171 634 582 280 215 700 x13

- 10 061 832 805 993 495 800 x11

+ 841 034 657 035 930 500 x9

-

+ - + M -

Legendre2.nb 5

44 855 181 708 582 960 x7

+ 1 369 126 185 872 445 x5

- 19 643 130 356 850 x3

+ 83 945 001 525 xM -

3.69555´10-12 I1 701 063 429 324 939 500 975 x

39- 16 369 974 040 646 495 717 175 x

37+

72 682 684 740 470 440 984 257 x35

- 197 471 221 098 538 412 719 785 x33

+ 367 129 594 155 029 161 676 220 x31

-

494 826 844 295 908 870 085 340 x29

+ 499 750 494 487 907 963 320 020 x27

- 385 521 810 033 529 000 275 444

x25

+ 229 477 267 877 100 595 402 050 x23

- 105 751 819 258 481 695 148 850 x21

+

37 640 478 041 154 501 663 150 x19

- 10 265 584 920 314 864 089 950 x17

+ 2 115 332 650 246 699 267 020 x15

-

322 365 643 361 253 153 900 x13

+ 35 216 414 820 977 235 300 x11

- 2 635 241 925 379 248 900 x9

+

126 155 198 555 389 575 x7

- 3 463 083 881 912 655 x5

+ 44 742 685 812 825 x3

- 172 308 161 025 xM + 0.5

Aprox@39, xD �� Simplify

-6.28636´109

x39

+ 6.21517´1010

x37

- 2.84145´1011

x35

+ 7.96946´1011

x33

-

1.53402´1012

x31

+ 2.14793´1012

x29

- 2.26246´1012

x27

+ 1.82868´1012

x25

- 1.14675´1012

x23

+

5.60421´1011

x21

- 2.13241´1011

x19

+ 6.27951´1010

x17

- 1.41503´1010

x15

+ 2.39771´109

x13

-

2.97878´108

x11

+ 2.61752´107

x9

- 1.54533´106

x7

+ 56 861.9 x5

- 1170. x3

+ 12.8886 x + 0.5

6 Legendre2.nb