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EJEMPLOS DE CÁLCULO
ESTRUCTURAL EN MADERA
INSTITUTO FORESTAL
2014
Informe Técnico N° 182
2ª
Edición
2
3
Informe Técnico N° 182
INSTITUTO FORESTAL UNIDAD DE TÉCNOLOGÍA E INDUSTRIAS DE LA MADERA
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
Autores
Mario Wagner M.1 Marcelo González R.2
Luís Vásquez V.3 Gonzalo Hernández C. 4
Colaboradora
Javiera Padilla R.5
1 Ingeniero Civil. [email protected]
2 Instituto Forestal. [email protected]
3 Instituto Forestal. [email protected]
4 Instituto Forestal. [email protected]
5 Estudiante Ingeniería Civil. [email protected]
4
INSTITUTO FORESTAL - Chile 2014 Ejemplos de Cálculo Estructural en Madera Informe Técnico N° 182 Primera edición 2011 Segunda edición 2014 Unidad de Tecnología e Industria de la Madera, INFOR, Sede Bio Bio. Publicación financiada por el Contrato de Desempeño INFOR-MINAGRI 2013. ISBN N° 978-956-318-097-8
www.infor.cl www.construccionenmadera.cl
5
PRÓLOGO
Estados Unidos (90/95%), Canadá (80/90%), Suecia, Noruega y Finlandia (75/85%) son los
países que a nivel mundial más emplean la madera en la construcción de sus viviendas. Estos
países promueven su uso en consideración a una serie de aspectos: los bosques contribuyen a
mitigar el cambio climático (captura de carbono); la madera presenta bajos consumos de
energía en su ciclo de vida (producción, transporte, construcción, operación de la vivienda y
demolición); la madera es un material reciclable; biodegradable; presenta un buen
comportamiento frente a los sismos; y los sistemas constructivos permiten fabricar viviendas
en menos tiempo.
La realidad internacional está muy alejada de lo que sucede en Chile, donde las viviendas con
estructura de madera rondan el 19%. El bajo consumo de madera en la construcción de
viviendas en Chile se explica por una serie de factores: (a) La escasa disponibilidad de mano de
obra calificada (carpinteros); (b) Número reducido de profesionales de Arquitectura, Ingeniería
Civil y Construcción Civil con especialización en la especificación, construcción, y diseño de
estructuras de madera (c) Oferta no estandarizada de madera para la construcción, aspecto
que no incentiva su uso por parte de las empresas constructoras; (d) Falta de laboratorios de
control de calidad de materiales de la construcción que certifiquen la calidad estructural de la
madera, (e) Ausencia de un programa de difusión masivo del uso de la madera en la
construcción; (f) Número reducido de empresas PYME dedicadas a la industrialización de
componentes; (g) Falta de material técnico de apoyo para la formación de profesionales de la
construcción en madera.
La publicación “Ejemplos de Cálculo Estructural en Madera”, financiada con recursos del
Convenio de Desempeño 2011 suscrito entre la Corporación de Fomento de la Producción
(CORFO) y el Instituto Forestal (INFOR), cubre una de las falencias detectadas que limitan el
uso de la madera en la construcción, transformándose en un valioso material de apoyo para la
formación de profesionales ligados a la construcción en madera.
El autor principal de esta publicación es el Ingeniero Civil Sr. Mario Wagner Muñoz, quien
también participó en la elaboración de la norma chilena de construcciones en madera. Además
participaron de este estudio los profesionales de la Unidad de Tecnología e Industrias de la
Madera del INFOR, Ingenieros Srs. Gonzalo Hernández, Luis Vásquez y Marcelo González.
Finalmente, esta publicación contó con la colaboración de la Srta. Javiera Padilla, estudiante de
Ingeniería Civil de la Universidad Católica de la Santísima Concepción.
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7
INTRODUCCIÓN
La norma chilena NCh 1198: Madera – Construcciones en madera – Cálculo, establece los
métodos y procedimientos de diseño estructural que determinan las condiciones mínimas que
deben cumplir los elementos y las uniones en las construcciones con madera aserrada,
laminada, y de sección circular.
La presente publicación pone a disposición de los estudiantes y profesionales relacionados con
el diseño de estructuras, ejemplos prácticos de cálculo y diseño estructural en madera. En el
desarrollo de ellos se expone la metodología y procedimientos de diseño basados en la última
versión de la norma chilena de construcciones en madera NCh 1198 oficial 2006, cuyo texto se
requiere para el adecuado desarrollo de los ejemplos.
En algunos ejemplos se incorpora información que no se encuentra contenida en la norma, ya
sea porque considera materiales que a nivel nacional no han sido suficientemente
caracterizados, o bien, porque con posterioridad a la última revisión del documento se dispuso
de información que probablemente se incorporará al texto normativo en su próxima
redacción.
En el caso específico de ejemplos que consideran uso de piezas de madera laminada encolada
de Pino radiata, y con el propósito de no alargar excesivamente el desarrollo de los ejemplos,
sus propiedades admisibles se han estimado en forma conservadora con respecto a la estricta
aplicación de las especificaciones de la norma correspondiente, NCh 2165: Tensiones
admisibles para la madera laminada estructural de Pino radiata. Se ha asumido una
materialización híbrida cuando no se mencione específicamente algo distinto; es decir, láminas
Grado A (NCh 2150) en los sextos extremos de la altura de la sección transversal y láminas
Grado B (NCh 2150) en los dos tercios centrales de la altura. En el Anexo C se entrega un
detalle de las situaciones consignadas.
Para los ejemplos que consideran uso de tableros contrachapados, y dado que los fabricados
en el país no se encuentran aún caracterizados desde el punto de vista de las propiedades
mecánicas requeridas para el cálculo estructural, se hace uso de los resultados obtenidos en el
proyecto desarrollado en 1990 por la Corporación Chilena de la Madera, cofinanciado por
CORFO a través del Fondo de Desarrollo Productivo, y cuyos resultados prácticos se resumen
en el Anexo E.
Finalmente se incorpora en el Anexo K una serie de erratas al texto de la última versión de la
norma de construcciones en madera, las que han sido consideradas en la reciente revisión del
documento próximo a oficializarse como NCh 1198 Of.2014.
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9
ÍNDICE
EJEMPLO 1: Determinación de propiedades mecánicas de diseño .............................................. 1
EJEMPLO 2: Criterio de especificación de especie maderera y grado estructural ........................ 2
EJEMPLO 3: Diseño de pie derecho de tabiquería ........................................................................ 5
EJEMPLO 4: Carga de diseño de columna ..................................................................................... 9
EJEMPLO 5: Pieza Comprimida de sección transversal compuesta no espaciada ...................... 12
EJEMPLO 6: Columna de sección transversal compuesta espaciada .......................................... 18
EJEMPLO 7: Puntal tripartito de columna ................................................................................... 23
EJEMPLO 8: Columna bipartita .................................................................................................... 27
EJEMPLO 9: Capacidad de carga de vigas de piso ....................................................................... 35
EJEMPLO 10: Viga de piso tipo cajón .......................................................................................... 40
EJEMPLO 11: Viga enrejada ......................................................................................................... 46
EJEMPLO 12: Envigado maestro de techo con vigas clavadas de alma llena entablada y cordones de madera laminada encolada. ................................................................................... 54
EJEMPLO 13: Diseño de pie derecho de una tabiquería exterior ............................................... 69
EJEMPLO 14: Sistema de moldaje de muros ............................................................................... 74
EJEMPLO 15: Moldaje losa .......................................................................................................... 82
EJEMPLO 16: Diseño de unión con pasadores ............................................................................ 92
EJEMPLO 17: Diseño de unión con tirafondos ............................................................................ 98
EJEMPLO 18: Diseño de empalme clavado ............................................................................... 104
EJEMPLO 19: Diseño de unión clavada ..................................................................................... 109
EJEMPLO 20: Unión con clavos lanceros ................................................................................... 114
EJEMPLO 21: Diseño de uniones clavadas en una cercha ......................................................... 118
EJEMPLO 22: Diseño de uniones con placas dentadas en una cercha ...................................... 133
EJEMPLO 23: Diseño de uniones con conectores dentados en una cercha .............................. 147
EJEMPLO 24: Diseño de unión de alero de estructura de techo construida con conectores anulares ..................................................................................................................................... 163
EJEMPLO 25: Uniones de contacto: embarbillado .................................................................... 172
EJEMPLO 26: Unión de embarbillado en tracción ..................................................................... 176
EJEMPLO 27: Diseño de sistema de techo con vigas rectas de madera laminada .................... 179
EJEMPLO 28: Sistema de techo a dos aguas con vigas de madera laminada de canto inferior recto .......................................................................................................................................... 184
EJEMPLO 29: Sistema de techo a dos aguas simétrico con vigas de madera laminada con bordes inclinados ...................................................................................................................... 192
EJEMPLO 30: Marco triarticulado de madera laminada ........................................................... 203
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ANEXO A: Propiedades físicas especies madereras comerciales .............................................. 214
ANEXO B: Tensiones Admisibles y Módulos Elásticos madera aserrada de Pino radiata ........ 215
ANEXO C: Tensiones admisibles de piezas homogéneas e híbridas de madera laminada encolada de pino radiata (estimación conservadora) ............................................................... 217
ANEXO D: Expresiones para la estimación de deformaciones verticales en vigas de madera laminada encolada de altura variable. ...................................................................................... 220
ANEXO E: Tensiones admisibles para tableros contrachapados estructurales ......................... 222
ANEXO F: Medios de unión (NCh 1198) .................................................................................... 226
ANEXO G: Especificaciones de diseño y ejecución de uniones con clavos fabricados según norma NCh 1269. ...................................................................................................................... 228
ANEXO H: Propiedades de diseño placas dentadas GN 20 A (Gang Nail) ................................ 230
ANEXO I: Uniones con conectores. De presión Tipo C (EN 1995-1-1) ....................................... 234
ANEXO J: Cargas inducidas por el hormigón fresco sobre los moldajes (American Concrete Institute EEUU) .......................................................................................................................... 245
ANEXO K: Erratas consideradas en la revisión de la norma a oficializarse como NCh 1198.Of 2014 ........................................................................................................................................... 248
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L 1
EJEMPLO 1: Determinación de propiedades mecánicas de diseño
Determinar la tensión de diseño de flexión y el módulo elástico de diseño de vigas de lenga
aserradas en bruto de sección 50 x 150 mm, Grado Estructural N°2 según NCh 1970 Parte 1,
con un contenido de humedad 22 %, para un estado de carga con duración acumulada de 1
año durante la vida útil de la construcción.
Solución:
El contenido de humedad de las vigas es H = 22% ≥ 20 %
De NCh 1198, sección 5.2.4, Tabla 3, dado que H > 20% corresponde considerar condición
verde para la determinación de las tensiones admisibles y del módulo de elasticidad.
Además, de acuerdo con NCh 1198 Anexo A, en condición verde la lenga se asigna al
Agrupamiento E5.
De NCh 1198, sección 5.2.4, Tabla 6, a un Grado estructural N°2 y especies asignadas al
Agrupamiento E5 le corresponde una Clase Estructural F8.
En Tabla 4 de NCh 1198 sección 5.2.4, a la Clase estructural F8 se asigna una tensión admisible
de flexión 𝐹𝑓 = 8,6 𝑀𝑃𝑎 (Aplicable sobre piezas de altura h = 50 mm) y un módulo de
elasticidad E = 6.900 Mpa.
Aplicación de factores de modificación.
i) Por duración de la carga, NCh 1198, sección 6.1.2
𝐷 = 1 𝑎ñ𝑜 = 365 ∗ 24 ∗ 60 ∗ 60 = 31.536.000 𝑠
𝐾𝐷 =1,747
𝐷0,0464+ 0,295 =
1,747
31.536.0000,0464+ 0,295 = 0,784 + 0,295 = 1,08
ii) Por altura, NCh 1198, sección 7.2.2.3
Como h =150 mm
𝑘ℎ𝑓 = √50
ℎ
9
= √50
150
9
= 0,885
Propiedades de diseño:
𝐹𝑓,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑓 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾ℎ𝑓 = 8,6 ∗ 1,08 ∗ 0,885 = 8,2 𝑀𝑃𝑎
𝐸𝑑𝑖𝑠 = 𝐸 = 6.900 𝑀𝑃𝑎
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
2 I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L
EJEMPLO 2: Criterio de especificación de especie maderera y grado
estructural
Determinar una combinación aceptable de especie forestal (NCh 1990) y grado estructural
(NCh 1970) que permita verificar una disposición regular de columnas de 4 m de largo,
escuadría 145 x 145 mm, con un contenido de humedad H = 18 %, dispuestas según un
reticulado en planta, módulo 3 m, y que deben soportar una densidad de carga q = 4,5 kN/m2.
La duración acumulada del estado de carga condicionante del diseño es 6 meses.
Solución:
Área tributaria que descarga sobre cada columna.
𝐴𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑡𝑎𝑟𝑖𝑎 = 3 ∗ 3 = 9 𝑚2
Fuerza de compresión que solicita cada columna.
𝑁 = 𝑞 ∗ 𝐴𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑡𝑎𝑟𝑖𝑎 = 4,5 ∗ 9 = 40,5 𝑘𝑁 = 40.500 𝑁
Tensión de trabajo por compresión paralela.
𝑓𝑐 =𝑁
𝑏𝑥ℎ=
40.500
145 ∗ 145= 1,93 𝑀𝑃𝑎
La condición óptima establece la igualdad de la tensión de trabajo con la tensión de diseño de
compresión paralela (Ver NCh 1198, Sección 7.3.2:
𝑓𝑐 = 𝐹𝑐𝑝,𝜆,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑐𝑝 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾𝐻 ∗ 𝐾𝜆
Factor de modificación por duración de carga, NCh 1198, Sección 6.1.2
𝐷 = 6 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 = 6 ∗ 30,5 ∗ 24 ∗ 60 ∗ 60 = 15811.200 𝑠
𝐾𝐷 =1,747
𝐷0,0464+ 0,295 =
1,747
15.811.2000,0464+ 0,295 = 0,810 + 0,295 = 1,105
Factor de modificación por contenido de humedad. NCh 1198, Sección 6.1.1, Tabla 8.
Gradiente de humedad con respecto a la condición seca
Δ𝐻 = 𝐻 − 12 = 18 − 12 = 6%
𝐾𝐻,𝐹𝑐𝑝 = (1 − Δ𝐻 ∗ Δ𝑅𝑐𝑝) = 1 − 6 ∗ 0,043 = 0,742
𝐾𝐻,𝐸 = (1 − Δ𝐻 ∗ Δ𝐸) = 1 − 6 ∗ 0,0148 = 0,911
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L 3
El factor de modificación por pandeo se estimará tentativamente asumiendo una Clase
Estructural F8.
De NCh 1198, Sección 5.2.4, Tabla 4, para F8, Fcp=6,6 MPa ; E=6.900 MPa y conservadoramente
se asumirá un factor de proporcionalidad c=0,80.
𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑐𝑝 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾𝐻 = 6,6 ∗ 1,105 ∗ 0,742 = 5,41 𝑀𝑃𝑎
𝐸𝑑𝑖𝑠 = 𝐸 ∗ 𝐾𝐻 = 6.900 ∗ 0,911 = 6.287 𝑀𝑃𝑎
Factor de modificación por esbeltez, NCh 1198, Sección 7.3.2.3
Esbeltez reguladora del diseño
𝜆 =𝐿𝑝 ∗ √12
𝑏=4.000 ∗ √12
145= 95,6
Tensión crítica de pandeo para elementos sometidos a compresión
𝐹𝑐𝐸 =3,6 ∗ 𝐸𝑑𝑖𝑠
𝜆2=3,6 ∗ 6.287
95,62= 2,48 𝑀𝑃𝑎
𝐹𝑐𝐸𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠
=2,48
5,41= 0,458
𝐴 =
𝐹𝑐𝐸𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠
∗ (1 +𝜆200
) + 1
2 ∗ 𝑐=0,458 ∗ (1 +
95,6200) + 1
2 ∗ 0,8= 1,048
𝐵 =
𝐹𝑐𝐸𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠
𝑐=0,458
0,8= 0,573
𝐾𝜆 = 𝐴 − √𝐴2 − 𝐵 = 1,048 − √1,0482 − 0,573 = 0,323
Planteando la condición óptima
𝑓𝑐 = 𝐹𝑐𝑝 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾𝐻 ∗ 𝐾𝜆 ⇒ 1,93 = 𝐹𝑐𝑝 ∗ 1,105 ∗ 0,742 ∗ 0,323
⇒𝐹𝑐𝑝 ≥1,93
1,105 ∗ 0,742 ∗ 0,323= 7,28 𝑀𝑃𝑎
Examinando Tabla 4 de NCh 1198, Sección 5.2.4, se requiere una Clase Estructural F11, que
brinda
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
4 I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L
𝐹𝑐𝑝 = 8,3 𝑀𝑃𝑎 > 7,28 𝑀𝑃𝑎 𝑦 𝐸 = 7.900 𝑀𝑃𝑎
Comprobación:
𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑐𝑝 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾𝐻 = 8,3 ∗ 1,105 ∗ 0,742 = 6,8 𝑀𝑃𝑎
𝐸𝑑𝑖𝑠 = 𝐸 ∗ 𝐾𝐻 = 7.900 ∗ 0,911 = 7.198 𝑀𝑃𝑎
𝐹𝑐𝐸 =3,6 ∗ 𝐸𝑑𝑖𝑠
𝜆2=3,6 ∗ 7.198
95,62= 2,84 𝑀𝑃𝑎
𝐹𝑐𝐸𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠
=2,84
6,8= 0,417
𝐴 =
𝐹𝑐𝐸𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠
∗ (1 +𝜆200
) + 1
2 ∗ 𝑐=0,417 ∗ (1 +
95,6200) + 1
2 ∗ 0,8= 1,01
𝐵 =
𝐹𝑐𝐸𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠
𝑐=0,417
0,8= 0,521
𝐾𝜆 = 𝐴 − √𝐴2 − 𝐵 = 1,01 − √1,012 − 0,521 = 0,304
𝐹𝑐𝜆,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠 ∗ 𝐾𝜆 = 6,8 ∗ 0,303 = 2,07 𝑀𝑃𝑎 > 𝑓𝑐 = 1,93 𝑀𝑃𝑎
Para cumplir con la exigencia de F11 en condición seca, de acuerdo con Tabla 7 de NCh 1198,
5.2.6; se requiere un Grado 4 del Agrupamiento de especies ES4, o un Grado 3 del
Agrupamiento ES5. Es alternativa válida con mayor razón un Grado 2 del Agrupamiento ES6.
De NCh 1198, Anexo A y mencionando solo 2 alternativas de especies por agrupamiento:
ES4: coigue, lenga
ES5: Pino oregón, olivillo
ES6: álamo, ciprés de la guaitecas
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L 5
EJEMPLO 3: Diseño de pie derecho de tabiquería
Diseño de pie derecho de tabiquería de pared interior (no expuesta al viento) de una vivienda
de 1 piso que soporta la estructura de techo.
Determinar la escuadría y grado estructural adecuados para un pie derecho de espesor
nominal de 2 pulgadas, asumiendo condiciones de servicio secas (H ≤ 12 %). El pie derecho
tiene un largo de 2,44 m, se encuentra simplemente apoyado en sus extremos y resiste cargas
de peso propio: 2,12 kN y sobrecarga de servicio de techo: 1,18 kN. El revestimiento brinda
apoyo lateral completo a los pies derechos en el plano de la tabiquería. Verifique el
aplastamiento ejercido por los pies derechos sobre la solera basal de la misma escuadría de los
pies derechos.
Solución:
Determinación de la combinación de cargas crítica.
Para la componente de estado de carga de naturaleza permanente KD = 0,90 (ver NCh 1198,
anexo G)
Para la componente de estado de carga de sobrecarga de techo KD = 1,25 (ver NCh 1198, anexo
G)
𝐶𝑝𝑝𝐾𝐷
=2,12
0,9= 2,36 𝑘𝑁
𝐶𝑝𝑝 + 𝐶𝑠𝑐
𝐾𝐷=2,12 + 1,18
1,25= 2,64 𝑘𝑁 ⇒ Combinación de cargas crítica
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
6 I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L
Tanteo con pieza de escuadría nominal 2x3 de Pino radiata Grado G2:
Largo : 2,44 m
Ancho : 65 mm (NCh 2824)
Espesor : 41 mm (NCh 2824)
Área sección (S) = ancho * espesor = 65*41 = 2.665 mm2
Propiedades mecánicas asociadas, NCh 1198, Sección 5.2.4, Tabla 4 b.
𝐹𝑐𝑝 = 6,5 𝑀𝑃𝑎
𝐸 = 8.900 𝑀𝑃𝑎 (Aplicable sobre piezas de altura ≥ 180 mm)
𝐹𝑐𝑛 = 2,5 𝑀𝑃𝑎
𝑐 = 0,80
Factores de modificación:
𝐾𝐻 = 1,0 (Condición de servicio seca H ≤ 12 % , NCh 1198, Sección 6.1.1)
𝐾𝐷 = 1,25 (Factor de duración de la carga, NCh 1198, Anexo G)
𝐾ℎ,𝐸 = √ℎ
180
4= √
65
180
4= 0,775 (NCh 1198, Sección 7.2.4.2)
𝐾𝑐𝑛 = √150
𝑙
4= √
150
41
4= 1,38 (NCh 1198, Sección 7.5.3.2)
Determinación del factor de modificación por esbeltez, NCh 1198, Sección 7.3.2.3:
Tensión de diseño en compresión paralela, NCh 1198, Sección 7.3.2.2
𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑐𝑝 ∗ 𝐾𝐻 ∗ 𝐾𝐷 = 6,5 ∗ 1,0 ∗ 1,25 = 8,13 𝑀𝑃𝑎
Módulo de elasticidad de diseño, NCh 1198 Sección 7.1.1 y 7.2.4.2
𝐸𝑑𝑖𝑠 = 𝐸 ∗ 𝐾𝐻 ∗ 𝐾ℎ,𝐸 = 8.900 ∗ 1,0 ∗ 0,775 = 6.898 𝑀𝑃𝑎
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L 7
Longitud efectiva de pandeo, NCh 1198 Sección 7.3.1.2
𝐿𝑝 = 𝑘 ∗ 𝐿 = 1 ∗ 2,44 = 2,44 𝑚
Esbeltez reguladora del diseño, NCh 1198, Sección 7.3.2.2
𝜆 =𝐿𝑝 ∗ √12
ℎ=2.440 ∗ √12
65= 130
Tensión crítica de pandeo para elementos sometidos a compresión
𝐹𝑐𝐸 =3,6 ∗ 𝐸𝑑𝑖𝑠
𝜆2=3,6 ∗ 6.899
1302= 1,47 𝑀𝑃𝑎
𝐹𝑐𝐸𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠
=1,47
8,13= 0,181
𝐴 =
𝐹𝑐𝐸𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠
∗ (1 +𝜆200
) + 1
2 ∗ 𝑐=0,181 ∗ (1 +
130200) + 1
2 ∗ 0,8= 0,811
𝐵 =
𝐹𝑐𝐸𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠𝑐
=0,181
0,8= 0,226
𝐾𝜆 = 𝐴 − √𝐴2 − 𝐵 = 0,811 − √0,8112 − 0,226 = 0,154
𝐹𝑐𝑝,𝜆,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠 ∗ 𝐾𝜆 = 8,13 ∗ 0,154 = 1,25 𝑀𝑃𝑎
Verificación:
Tensión de trabajo por compresión paralela, NCh 1198, Sección 7.3.2.1
𝑓𝑐𝑝 =𝑁
𝑆=(2,12 + 1,18) ∗ 1.000
2.665= 1,24 𝑀𝑃𝑎 < 𝐹𝑐𝑝,𝜆,𝑑𝑖𝑠
Verificación aplastamiento basal:
Tensión de diseño en compresión normal a la fibra, NCh 1198, Sección 7.5.2
𝐹𝑐𝑛,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑐𝑛 ∗ 𝐾𝐻 ∗ 𝐾𝑐𝑛 = 2,5 ∗ 1,0 ∗ 1,38 = 3,46 𝑀𝑃𝑎
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
8 I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L
Tensión de trabajo por aplastamiento
𝑓𝑐 =𝐶𝑐𝑟𝑖𝑡ℎ ∗ 𝑙
=(2,12 + 1,18) ∗ 1.000
65 ∗ 41= 1,24 𝑀𝑃𝑎 < 𝐹𝑐𝑛,𝑑𝑖𝑠
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L 9
EJEMPLO 4: Carga de diseño de columna
Estimar la carga de diseño máxima que puede soportar un cuartón de escuadría nominal 4 x 4,
y largo 4,20 m, de madera aserrada en bruto de Pino radiata Grado G2. El contenido de
humedad de la pieza es 20 %, y la solicitación que condiciona el diseño la originan el peso
propio del sistema y una sobrecarga de servicio con una duración acumulada de 1 año. Los
extremos del cuartón se encuentran impedidos de desplazarse lateralmente.
Solución:
Condiciones geométricas
Largo : 4,20 m
Ancho : 94 mm (NCh 2824)
Espesor : 94 mm (NCh 2824)
Área Sección (S) = ancho * espesor = 94*94 = 8.836 mm2
Propiedades mecánicas admisibles asociadas al grado G2, NCh 1198, Tabla 4 b
𝐹𝑐𝑝 = 6,5 𝑀𝑃𝑎
𝐸 = 8.900 𝑀𝑃𝑎 (Aplicable sobre piezas de altura ≥ 180 mm)
𝑐 = 0.80
Factor de modificación por contenido de humedad verde (H≥20%), NCh 1198, Sección 6.1.1,
Tabla 9 (Ver anexo B de este publicación)
𝐾𝐻,𝐹𝑐𝑝 =2,75 − 0,0833 ∗ 𝐻
1,75=2,75 − 0,0833 ∗ 22
1,75= 0,524
𝐾𝐻,𝐸 =1,44 − 0,02 ∗ 𝐻
1,2=1,44 − 0,02 ∗ 22
1,2= 0,833
Toda pieza con contenido de humedad H ≥ 20 % se asume en condición verde, la que para la
aplicación de estas correcciones se refleja considerando H = 22 % en las expresiones de los
factores de modificación.
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
10 I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L
Factor de modificación por duración de carga, NCh 1198 Sección 6.1.2
D = 1 año =365*24*60*60 = 31.536.000 s
𝐾𝐷 =1,747
𝐷0,0464+ 0,295 =
1,747
31.536.0000,0464+ 0,295 = 1,08
Factor de modificación por altura para módulo elástico, Nch 1198, Sección 7.2.4.2
𝐾ℎ,𝐸 = √ℎ
180
4
= √94
180
4
= 0,85
Verificación
Determinación del factor de modificación por esbeltez, NCh 1198, Sección 7.3.2.2:
Longitud efectiva de pandeo, NCh 1198, Sección 7.3.1.2, Tabla 16, Caso 4
𝐿𝑝 = 𝑘 ∗ 𝐿 = 1 ∗ 4,20 = 4,20 𝑚
Tensión de diseño en compresión paralela, NCh 1198, Sección 7.3.2.2
𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑐𝑝 ∗ 𝐾𝐻 ∗ 𝐾𝐷 = 6,5 ∗ 0,524 ∗ 1,08 = 3,68 𝑀𝑃𝑎
Módulo elástico de diseño, NCh 1198, Sección 7.1.1 y 7.2.4.2
𝐸𝑑𝑖𝑠 = 𝐸 ∗ 𝐾𝐻 ∗ 𝐾ℎ,𝐸 = 8.900 ∗ 0,833 ∗ 0,85 = 6.305 𝑀𝑃𝑎
NCh 1198 Sección 7.3.2.2
𝜆 =𝐿𝑝 ∗ √12
ℎ=4.200 ∗ √12
94= 154,8
𝐹𝑐𝐸 =3,6 ∗ 𝐸𝑑𝑖𝑠
𝜆2=3,6 ∗ 6.302
154,82= 0,947 𝑀𝑃𝑎
𝐹𝑐𝐸𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠
=0,947
3,678= 0,258
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L 11
𝐴 =
𝐹𝑐𝐸𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠
∗ (1 +𝜆200
) + 1
2 ∗ 𝑐=0,258 ∗ (1 +
154,8200
) + 1
2 ∗ 0,8= 0,911
𝐵 =
𝐹𝑐𝐸𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠𝑐
=0,258
0,8= 0,322
𝐾𝜆 = 𝐴 − √𝐴2 − 𝐵 = 0,911 − √0,9112 − 0,322 = 0,198
Tensión de diseño en compresión paralela considerando inestabilidad lateral, NCh 1198,
Sección 7.3.2.2, parte b.
𝐹𝑐𝜆,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠 ∗ 𝐾𝜆 = 3,68 ∗ 0,198 = 0,73 𝑀𝑃𝑎
𝐶𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑐𝜆,𝑑𝑖𝑠 ∗ 𝑆 = 0,73 ∗ 8.836 = 6.448 𝑁 = 6,448 𝑘𝑁
Por lo tanto, la carga de diseño del cuartón asciende a 6,45 kN.
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
12 I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L
EJEMPLO 5: Pieza Comprimida de sección transversal compuesta no
espaciada
La diagonal interior DF de una cercha de techo de longitud internodal de 1,65 m (en el modelo
reticular análogo), queda solicitada por una fuerza de compresión axial de 15 kN y consiste de
una pieza central de sección 41 x 90 mmm y dos piezas laterales de sección 33 x 65 mm, de
acuerdo con la estructuración indicada en la figura. Se debe diseñar una ligazón por medio de
clavos de calibre 4,3 x 100 mm (4”). Se dispone de piezas de pino Radiata estructural del Grado
C24 acondicionadas a un contenido de humedad H = 12 %.
Solución:
Propiedades mecánicas asociadas, NCh 1198, Sección 5.2.4, Tabla 4 b
𝐹𝑐𝑝 = 8,0 𝑀𝑃𝑎
𝐸 = 10.200 𝑀𝑃𝑎 (Aplicable sobre piezas de altura ≥ 180 mm)
𝑐 = 0,85
Factor de modificación por contenido de humedad
𝐾𝐻 = 1
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L 13
Factor de modificación por duración de carga
Por incorporar el estado de carga la sobrecarga de servicio del techo
𝐾𝐷 = 1,25
Análisis con respecto al eje x-x:
Factor de modificación por altura para módulo elástico
𝐾ℎ,1 = √ℎ1180
4
= √65
180
4
= 0,775 ⇒ 𝐸1,𝑑𝑖𝑠 = 𝐾ℎ,1 ∗ 𝐸 = 0,775 ∗ 10.200 = 7.907 𝑀𝑃𝑎
𝐾ℎ,2 = √ℎ2180
4
= √90
180
4
= 0,841 ⇒ 𝐸2,𝑑𝑖𝑠 = 𝐾ℎ,2 ∗ 𝐸 = 0,841 ∗ 10.200 = 8.577 𝑀𝑃𝑎 = 𝐸𝑟𝑒𝑓
𝑛1 =𝐸1𝐸𝑟𝑒𝑓
=7.907
8.577= 0,922
𝑛2 =𝐸2𝐸𝑟𝑒𝑓
=8.577
8.577= 1,0
Longitud efectiva de pandeo cordón comprimido de estructura reticulada, NCh 1198, Sección
K.2, Anexo K
𝐿𝑝𝑥 = 0,8 ∗ 𝐿 = 0,8 ∗ 1,65 = 1,32 𝑚 = 1.320 𝑚𝑚
Propiedades estáticas de la sección:
𝐴1 = 𝑏1 ∗ ℎ1 = 33 ∗ 65 = 2.145 𝑚𝑚2
𝐴2 = 𝑏2 ∗ ℎ2 = 41 ∗ 90 = 3.690 𝑚𝑚2
𝐴 = 2 ∗ 𝐴1 + 𝐴2 = 2 ∗ 2.145 + 3.690 = 7.980 𝑚𝑚2
𝐼1,𝑥 =𝑏1 ∗ ℎ1
3
12=33 ∗ 653
12= 755.219 𝑚𝑚4
𝐼2,𝑥 =𝑏2 ∗ ℎ2
3
12=41 ∗ 903
12= 2.490.750 𝑚𝑚4
𝐼𝑥 = 2 ∗ 𝐼1 ∗ 𝑛1 + 𝐼2 ∗ 𝑛2 = 2 ∗33 ∗ 653
12∗ 0,922 +
41 ∗ 903
12∗ 1 = 3.883.374 𝑚𝑚4
𝑖𝑥 = √𝐼𝑥𝐴= √
3.883.374
7.980= 22,1 𝑚𝑚 ⇒ 𝜆𝑥 =
𝐿𝑝,𝑥𝑖𝑥
=1.320
22,1= 59,8
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
14 I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L
Análisis con respecto al eje y-y:
Longitud efectiva de pandeo cordón comprimido de estructura reticulada, NCh 1198, Sección
K.2, Anexo K
𝐿𝑝𝑦 = 𝐿 = 1,65 𝑚 = 1.650 𝑚𝑚
𝑎1 =𝑏1 + 𝑏22
=33 + 41
2= 37 𝑚𝑚
Se disponen los clavos en dos hileras espaciados a 100 mm en cada hilera (Clavado de a
mitades desde ambos lados)
Clavos 4,3 x 100 mm:
Penetración efectiva de la punta del clavo en el último madero
𝑝𝑒𝑓 = 𝐼𝑐𝑙 − 𝑏1 − 𝑏2 = 100 − 33 − 41 = 26 𝑚𝑚
𝑝𝑒𝑓
𝑑𝑐𝑙=26
4,3= 6,04 > 4 ⇒ 𝐶𝑖𝑧𝑎𝑙𝑙𝑒 𝑑𝑜𝑏𝑙𝑒 ⇒ 𝐶 = 700
𝑁
𝑚𝑚 (𝑁𝐶ℎ 1198, 𝑇𝑎𝑏𝑙𝑎 14)
𝐾ℎ,1 = √𝑏1180
4
= √33
180
4
= 0,654 ⇒ 𝐸1,𝑑𝑖𝑠 = 𝐾ℎ,1 ∗ 𝐸 = 0,654 ∗ 10.200 = 6.674 𝑀𝑃𝑎
𝐾ℎ,2 = √𝑏2180
4
= √41
180
4
= 0,691 ⇒ 𝐸2,𝑑𝑖𝑠 = 𝐾ℎ,2 ∗ 𝐸 = 0,691 ∗ 10.200 = 7.047 𝑀𝑃𝑎 = 𝐸𝑟𝑒𝑓
Momento de inercia eficaz
𝑛1 =𝐸1𝐸𝑟𝑒𝑓
=6.674
7.047= 0,947
𝑛2 =𝐸2𝐸𝑟𝑒𝑓
=7.047
7.047= 1,0
𝑘1 =𝜋2 ∗ 𝐸1,𝑑𝑖𝑠 ∗ 𝐴1 ∗ (𝑠 𝑛⁄ )
𝐶 ∗ 𝐿𝑝,𝑦2 =
𝜋2 ∗ 6.674 ∗ 2.145 ∗ (100 2⁄ )
700 ∗ 1.6502= 3,707
⇒ 𝛾1 =1
1 + 𝑘=
1
1 + 3,707= 0,212
𝐼1,𝑦 =𝑏13 ∗ ℎ112
=333 ∗ 65
12= 194.659 𝑚𝑚4
𝐼2,𝑦 =𝑏23 ∗ ℎ212
=413 ∗ 90
12= 516.908 𝑚𝑚4
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L 15
𝐼𝑒𝑓,𝑦 = 2 ∗ 𝐼1,𝑦 ∗ 𝑛1 + 𝐼2,𝑦 ∗ 𝑛2 + 2 ∗ 𝛾1 ∗ 𝑛1 ∗ 𝐴1 ∗ 𝑎12
= 2 ∗ 194.659 ∗ 0,947 + 516.908 ∗ 1 + 2 ∗ 0,212 ∗ 0,947 ∗ 2.145 ∗ 372
= 368.754 + 516.908 + 1.181.773 = 2.067.434 𝑚𝑚4
𝑖𝑦,𝑒𝑓 = √2.067.434
7.980= 16,1 𝑚𝑚 ⇒ 𝜆𝑦,𝑒𝑓 =
1.650
16,1= 102,5 > 𝜆𝑥
Factor de modificación por esbeltez, NCh 1198, Sección 7.3.2.2:
𝐹𝑐𝐸𝑦 =3,6 ∗ 𝐸𝑑𝑖𝑠
𝜆2=3,6 ∗ 7.047
102,52= 2,41 𝑀𝑃𝑎
𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑐𝑝 ∗ 𝐾𝐻 ∗ 𝐾𝐷 = 8 ∗ 1,0 ∗ 1,25 = 10,0 𝑀𝑃𝑎
𝐹𝑐𝐸𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠
=2,41
10= 0,241
𝐴 =
𝐹𝑐𝐸𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠
∗ (1 +𝜆200) + 1
2 ∗ 𝑐=0,241 ∗ (1 +
102,5200 ) + 1
2 ∗ 0,85= 0,803
𝐵 =
𝐹𝑐𝐸𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠𝑐
=0,241
0,85= 0,284
𝐾𝜆 = 𝐴 − √𝐴2 − 𝐵 = 0,803 − √0,8032 − 0,284 = 0,202
𝐹𝑐𝜆,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠 ∗ 𝐾𝜆 = 10 ∗ 0,202 = 2,02 𝑀𝑃𝑎
𝑓𝑐 =𝐶
𝐴=15.000
7.980= 1,88 𝑀𝑃𝑎 < 𝐹𝑐𝜆,𝑑𝑖𝑠
Control ligazón elástica, NCh 1198, Sección 7.3.3.2:
𝑄𝑖 =𝐶
𝑘𝜆 ∗ 60=
15.000
0,202 ∗ 60= 1.236 𝑁
⇒ 𝑡𝑐𝑧,𝑒𝑓,𝑚á𝑥 =𝛾 ∗ 𝑄𝑖 ∗ 𝐴1 ∗ 𝑎1
𝐼𝑦,𝑒𝑓=0,212 ∗ 1.236 ∗ 2.145 ∗ 37
2.067.434= 9,54 𝑁/𝑚𝑚
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
16 I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L
Verificación disposición de clavado
NCh 1198, Sección 9.6.1.6, d:
Clavos calibre 4” : 100*4,3 mm
𝑏𝑚í𝑛 = 7 ∗ 𝐷 = 7 ∗ 4,3 = 30,1 𝑚𝑚 < 𝑏𝑒𝑓,𝑚í𝑛 = 33 𝑚𝑚
Se analizará la situación de las uniones entre dos piezas laterales de espesor 33 mm con la
pieza central de 41 mm.
Resistencia al aplastamiento en clavos, NCh 1198, Sección 9.6.3.3.3
𝜌0,𝑝𝑟𝑜𝑚 = 450 𝑘𝑔 𝑚3⁄ en todos los maderos
𝑅𝑎𝑝,𝑐 = 𝑅𝑎𝑝,𝑙 = 115 ∗ (𝜌0,𝑝𝑟𝑜𝑚/1000)1,84 = 115 ∗ (450 1000)⁄ 1,84 = 26,5 Mpa
Tensión de fluencia en los medios de unión, NCh 1198, Sección 9.6.2.3
𝑏1 = 𝑙𝑙 = 33 𝑚𝑚
𝑏𝑐 = 𝑙𝑐 = 41 𝑚𝑚
D = 4,3 mm < 6,4 mm 𝐹𝑓𝑓 = 896 − 58 ∗ 𝐷 = 896 − 58 ∗ 4,3 = 647 𝑀𝑃𝑎
Por tratarse de clavos que trabajan en cizalle doble los modos de fluencia II y IIIc no son
aplicables. La capacidad de carga admisible de los clavos se estimará sobre la base de la
capacidad de carga admisible de un clavo solicitado en cizalle simple.
NCh 1198, sección 9.6.2.1, tabla 36
Kd=2,2 para D < 4,3 mm
Luego, para D < 6,4 mm ⇒ FA=Kd ⇒ FA=2,2
Modos de fluencia:
Modo Ic:
𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 =𝐷 ∗ 𝑙𝑐 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑐
𝐹𝐴=4,3 ∗ 41 ∗ 26,5
2,2= 2.121 𝑁
Modo Il:
𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 = 𝐷 ∗ 𝑙𝑙 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑙
𝐹𝐴= 4,3 ∗ 33 ∗ 26,5
2,2= 1.707 𝑁
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L 17
Modo IIIl:
𝑅𝑒 = 𝑅𝑎𝑝,𝑐 𝑅𝑎𝑝,𝑙⁄ = 26,5 26,5⁄ = 1,0
𝑘3 = −1 + √2 ∗ (1 + 𝑅𝑒)
𝑅𝑒+2 ∗ 𝐹𝑓𝑓 ∗ (2 + 𝑅𝑒) ∗ 𝐷
2
3 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑐 ∗ 𝑙2
= −1 + √2 ∗ (1 + 1)
1+2 ∗ 647 ∗ (2 + 1) ∗ 4,32
3 ∗ 26,5 ∗ 332= 1,198
𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 = 𝑘3 ∗ 𝐷 ∗ 𝑙𝑙 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑐(2 + 𝑅𝑒) ∗ 𝐹𝐴
= 1,198 ∗ 4,3 ∗ 33 ∗ 26,5
(2 + 1) ∗ 2,2= 681 𝑁
Modo IV:
𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 = 𝐷2
𝐹𝐴∗ √
2 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑐 ∗ 𝐹𝑓𝑓
3 ∗ (1 + 𝑅𝑒)= 4,32
2,2∗ √
2 ∗ 26,5 ∗ 647
3 ∗ (1 + 1)= 635 𝑁
∴ 𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 = 𝑚í𝑛(2.121; 1.709; 681; 635) = 635 𝑁
Capacidad de carga admisible de la superficie de cizalle adyacente a la punta del clavo:
Penetración del clavo en el tercer madero
𝑝 = 𝐿 − (𝑏𝑙 + 𝑏𝑐) = 100 − (33 + 41) = 26 𝑚𝑚
De acuerdo con NCh 1198, 9.6.1.6.f):
𝑝𝑚𝑚 = 4 ∗ 𝐷 = 4 ∗ 4,3 = 17,2 𝑚𝑚 < 𝑝 < 8 ∗ 𝐷 = 8 ∗ 4,3 = 34,4 𝑚𝑚 = 𝑝𝑚
⇒ 𝑃′𝑒𝑙,𝑎𝑑 𝑐𝑑 = (0,75 ∗𝑝
𝑃𝑚) ∗ 𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 = (0,75 ∗
26
34,4) ∗ 635 = 360 𝑁
La capacidad de carga admisible promedio en cada junta de contacto asciende a:
𝑃𝑒𝑙,𝑝𝑟𝑜𝑚 = 0,5 ∗ (635 + 360) = 497𝑁
𝑃𝑒𝑙,𝑝𝑟𝑜𝑚,𝑑𝑖𝑠 = 𝑃𝑒𝑙,𝑝𝑟𝑜𝑚 ∗ 𝑘𝐷 = 498 ∗ 1,25 = 622𝑁
Densidad media de clavado requerida para neutralizar el flujo de cizalle (𝑡𝑐𝑧,𝑒𝑓,𝑚á𝑥) inducido
por la ligazón elástica:
𝑒′𝑟𝑒𝑞 =𝑃𝑒𝑙,𝑝𝑟𝑜𝑚,𝑑𝑖𝑠𝑡𝑐𝑧,𝑒𝑓,𝑚á𝑥
= 622
9,54= 65,1 𝑚𝑚 > 𝑒′𝑒𝑓 =
𝑒
2=100
2= 50 𝑚𝑚
La disposición de clavado permite neutralizar el flujo de cizalle.
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
18 I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L
EJEMPLO 6: Columna de sección transversal compuesta espaciada
Columna de sección transversal compuesta espaciada de madera laminada encolada de pino
Radiata (constitución híbrida) con tacos de separación, que recibe una carga de techo de 100
kN. La madera se encuentra en condición seca (H ≤ 15%).
Solución:
𝐿𝑝𝑥 = 𝐿𝑝𝑦 = 4,50 𝑚
𝐴 = 2 ∗ 𝑏1 ∗ ℎ1 = 2 ∗ 65 ∗ 225 = 29.250 𝑚𝑚2
Verificación respecto el eje x-x: La columna funciona como una columna de sección transversal
simple de espesor 130 mm y altura 225 mm.
𝜆𝑥 =𝐿𝑝𝑥 ∗ √12
ℎ1=4.500 ∗ √12
225= 69,3
Verificación respecto del eje y-y:
De Nch 1198, Sección 7.3.3.3 c
𝑏1 = 65 𝑚𝑚 ⇒ 𝐿𝑝1,𝑚á𝑥 = 60 ∗ 𝑖1 = 60 ∗65
√12= 1.126 𝑚𝑚
Número de subdivisiones:
N = 𝐿𝑝𝑦
𝐿𝑝1,𝑚á𝑥=
4.500
1.126= 4 N = 5
Se disponen tacos en los extremos y en los puntos cuartos del largo de columna
Þ
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L 19
Fijación de tacos a piezas mediante pernos PØ1/2” + 2 Conectores de hinca Tipo C, calibre 62
mm + 2 golillas Ø55*5 mm. De Anexo I, para este calibre Sbcp=Sp=120 mm y de acuerdo con
NCh 1198, Tabla 18, el factor de flexibilidad f = 2,5.
Asumiendo se disponen 2 pernos alineados, la longitud de los tacos resulta
𝑙𝑡 = 2 ∗ 𝑠𝑏𝑐𝑝 + 𝑠𝑝 = 2 ∗ 120 + 120 = 360 𝑚𝑚
𝐿𝑝1 =𝐿 − 𝑙𝑡𝑁
=4.500 − 360
5= 828 𝑚𝑚
𝜆1 =𝐿𝑝𝑙 ∗ √12
𝑏1=828 ∗ √12
65= 44,1 < 60
𝐼𝑦 =ℎ1 ∗ ((2 ∗ 𝑏1 + 𝑎)
3 − 𝑎3)
12=225 ∗ ((2 ∗ 65 + 135)3 − 1353)
12= 302.798.438 𝑚𝑚4
𝑖𝑦 = √𝐼𝑦
𝐴= √
302.798.438
29.250= 102 𝑚𝑚
𝜆𝑦 =𝐿𝑝𝑦
𝑖𝑦=4.500
102= 44,2
𝑚 = 2 (n° de piezas individuales que conforman la sección transversal)
𝜆𝑦,𝑒𝑓 = √𝜆𝑦2 + 𝑓 ∗
𝑚
2∗ 𝜆1
2 = √44,22 + 2,5 ∗2
2∗ 44,12 = 82,6 > 𝜆𝑥
Madera laminada de pino Radiata:
Control del pandeo condicionado por laminación vertical. De Anexo C.
𝐹𝑐𝑝 = 8,0 𝑀𝑃𝑎
𝐹𝑐𝑧 = 1,1 𝑀𝑃𝑎
𝐹𝑐𝑛 = 2,5 𝑀𝑃𝑎
𝐸 = 7.700 𝑀𝑃𝑎
𝑐 = 0,9
Estado de carga peso propio + sobrecarga de techo:
𝑘𝐷 = 1,25
𝐸𝑑𝑖𝑠 = 𝐸 ∗ 𝐾𝐻 = 7.700 ∗ 1,0 = 7.700 𝑀𝑃𝑎
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
20 I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L
𝐹𝑐𝐸 =5 ∗ 𝐸𝑑𝑖𝑠𝜆2
=5 ∗ 7.700
82,62= 5,64 𝑀𝑃𝑎
𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑐𝑝 ∗ 𝐾𝐻 ∗ 𝐾𝐷 = 8 ∗ 1,0 ∗ 1,25 = 10,0 𝑀𝑃𝑎
𝐹𝑐𝐸𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠
=5,64
10= 0,564
𝐴 =
𝐹𝑐𝐸𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠
∗ (1 +𝜆300
) + 1
2 ∗ 𝑐=0,564 ∗ (1 +
82,6300
) + 1
2 ∗ 0,9= 0,955
𝐵 =
𝐹𝑐𝐸𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠𝑐
=0,564
0,9= 0,627
𝐾𝜆 = 𝐴 − √𝐴2 − 𝐵 = 0,955 − √0,9552 − 0,627 = 0,421
𝐹𝑐𝜆,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠 ∗ 𝐾𝜆 = 10 ∗ 0,421 = 4,21 𝑀𝑃𝑎
𝑓𝑐 =100.000
29.250= 3,42 𝑀𝑃𝑎 < 𝐹𝑐𝜆,𝑑𝑖𝑠
Diseño fijación tacos de separación, Nch 1198, Sección 7.3.3.2, letra F
𝑄𝑖 =𝐶
𝐾𝜆 ∗ 60=
100.000
0,421 ∗ 60= 3.961 𝑁
2 ∗ 𝑎1 = 65 + 135 = 200 𝑚𝑚
𝑇1 =𝑄𝑖
2 ∗ 𝑎1∗ 𝐿𝑝1 =
3.961
200∗ 828 = 16.399 𝑁
Se disponen 2 conectores Tipo C D62 por junta de contacto: De Anexo I. Para conectores
calibre 62:
𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 = 7.000 𝑁
𝑁𝑑𝑖𝑠 = 𝑛 ∗ 𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 ∗ 𝐾𝐷 = 2 ∗ 7.000 ∗ 1,25 = 17.500 𝑁 > 𝑇1
𝑓𝑐𝑧,𝑡𝑎𝑐𝑜 ≈1,5 ∗ 𝑇1ℎ1 ∗ 𝑙𝑡
= 1,5 ∗ 16.399
225 ∗ 360= 0,30 𝑀𝑝𝑎 < 𝐹𝑐𝑧,𝑑𝑖𝑠
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L 21
En la figura se plantea una distribución triangular de tensiones de compresión normal entre el
taco separador y las piezas individuales. El efecto neto de estos aplastamientos debe
neutralizar el momento inducido por las fuerzas de corrimiento T en los planos de contacto.
Planteando la condición de equilibrio de momentos en el cuerpo libre constituido por el taco y
para la distribución tensional de la figura:
𝑇 ∗ 𝑎 = 𝐶 ∗ 𝑍
Como
𝐶 =1
4∗ 𝑓𝑐𝑛 ∗ ℎ1 ∗ 𝑙𝑡
y
𝑍 =2
3∗ 𝑙𝑡
Despejando la tensión máxima de compresión normal, resulta:
𝑓𝑐𝑛 =6 ∗ 𝑇1 ∗ 𝑎
ℎ1 ∗ 𝑙𝑡2 =
6 ∗ 16.399 ∗ 135
225 ∗ 3602= 0,456 𝑀𝑝𝑎 < 𝐹𝑐𝑛,𝑑𝑖𝑠 = 2,5 𝑀𝑝𝑎
Cada perno queda solicitado por una tracción Ft = C/2.
En los comentarios de la norma alemana de diseño de construcciones de madera DIN 1052 se
recomienda incrementar esta fuerza en el 25% de la fuerza que traspasa cada conector, para
incorporar la neutralización del momento volcante que induce el mecanismo de traspaso de
fuerzas entre el taco y las piezas de madera por parte de los conectores.
Consecuentemente la tracción que solicita cada perno es:
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
22 I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L
𝐹𝑡 = 𝐶
2+ 0,25 ∗
𝑇12= 1
8∗ (𝑓𝑐𝑛 ∗ ℎ1 ∗ 𝑙𝑡 + 𝑇1) =
1
8∗ (0,456 ∗ 225 ∗ 360 + 16.399)
= 6.662 𝑁
𝐴𝑛𝑒𝑡𝑎 = 0,8 ∗𝜋 ∗ 𝐷2
4= 0,8 ∗
𝜋 ∗ 12,72
4= 101 𝑚𝑚2
𝑓𝑡 =𝐹𝑡
𝐴𝑛𝑒𝑡𝑎= 6.662
101= 65,7 𝑀𝑝𝑎 < 𝐹𝑡𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑎𝑐𝑒𝑟𝑜 = 100 𝑀𝑝𝑎
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L 23
EJEMPLO 7: Puntal tripartito de columna
Verificar que el puntal tripartito AD de la columna de marco construido con madera laminada
encolada de Pino radiata (constitución híbrida), esquematizada en la figura, tiene la capacidad
de diseño para las solicitaciones originadas por el estado de carga : peso propio + sobrecarga
de servicio de techo: Ctramo inferior = 140 kN y Ctramo superior = 45,4 kN. El punto C, que divide los dos
tramos del puntal, se encuentra apoyado fuera del plano del marco. La madera se encuentra
en condición seca ( H ≤ 15%)
Solución:
Geometría sección transversal:
𝑏1 = 65 𝑚𝑚
𝑏2 = 115 𝑚𝑚
ℎ1 = ℎ2 = ℎ = 185 𝑚𝑚
𝑎 = 65 𝑚𝑚 (Separación entre piezas)
Verificación con respecto eje x-x:
𝐿𝑝𝑥 = 3,4 𝑚 = 3.400 𝑚𝑚
𝐼𝑥 =(2 ∗ 𝑏1 + 𝑏2) ∗ ℎ
3
12=(2 ∗ 65 + 115) ∗ 1853
12= 129.270.677 𝑚𝑚4
𝐴 = ℎ ∗ (2 ∗ 𝑏1 + 𝑏2) = 185 ∗ (2 ∗ 65 + 115) = 45.325 𝑚𝑚2
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
24 I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L
𝑖𝑥 = √𝐼𝑥𝐴= √
129.270.677
45.325= 53,4 𝑚𝑚
𝜆𝑥 =𝐿𝑝𝑥𝑖𝑥
=3.400
53,4= 63,7
Verificación con respecto eje y-y:
𝐼𝑦 =ℎ
12((2 ∗ (𝑏1 + 𝑎) + 𝑏2)
3 − (2 ∗ 𝑎 + 𝑏2)3 + 𝑏2
3) =185
12(3753 − 2453 + 1153)
= 609.715.677 𝑚𝑚4
𝑖𝑦 = √𝐼𝑦
𝐴= √
609.715.677
45.325= 116 𝑚𝑚
𝜆𝑦 =𝐿𝑝𝑦
𝑖𝑦=3.400
116= 29,3
De Nch 1198, Sección 7.3.3.3 c
𝑏1 = 65 𝑚𝑚 ⇒ 𝐿𝑝1,𝑚á𝑥 = 60 ∗ 𝑖1 = 60 ∗65
√12= 1.126 𝑚𝑚
Número de subdivisiones:
𝑁 =𝐿
𝐿𝑝1,𝑚á𝑥=
3.400
1.126= 3,1 → 5 (se elige el impar inmediatamente mayor)
⇒ 𝐿𝑝1 ≈3.400
5= 680 𝑚𝑚
𝜆1 =𝐿𝑝1 ∗ √12
𝑏1=680 ∗ √12
65= 36,2
Los tacos separadores se fijan mediante P Ø1/2” + conectores Tipo C, calibre D50 (Ver Anexo I)
⇒ 𝑓 = 2,5
Columna tripartita: m = 3
𝜆𝑦,𝑒𝑓 = √𝜆𝑦2 + 2,5 ∗
𝑚
2∗ 𝜆1
2 = √29,32 + 2,5 ∗3
2∗ 36,22 = 76,1 Crítica
(Control del pandeo condicionado por laminación vertical)
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L 25
Madera laminada de pino radiata, fabricada combinando láminas Grado A y B según NCh 2150
(Ver anexo C):
𝐹𝑐𝑝 = 8,0 𝑀𝑃𝑎
𝐹𝑐𝑧 = 1,1 𝑀𝑃𝑎
𝐹𝑐𝑛 = 2,5 𝑀𝑃𝑎
𝐸 = 7.700 𝑀𝑃𝑎
𝑐 = 0,9
Estado de carga peso propio + sobrecarga de techo:
𝑘𝐷 = 1,25
𝐸𝑑𝑖𝑠 = 𝐸 ∗ 𝐾𝐻 = 7.700 ∗ 1,0 = 7.700 𝑀𝑃𝑎
𝐹𝑐𝐸 =5 ∗ 𝐸𝑑𝑖𝑠𝜆2
=5 ∗ 7.700
76,12= 6,66 𝑀𝑃𝑎
𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑐𝑝 ∗ 𝐾𝐻 ∗ 𝐾𝐷 = 8 ∗ 1,0 ∗ 1,25 = 10,0 𝑀𝑃𝑎
𝐹𝑐𝐸𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠
=6,66
10= 0,666
𝐴 =
𝐹𝑐𝐸𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠
∗ (1 +𝜆300
) + 1
2 ∗ 𝑐=0,666 ∗ (1 +
76,1300) + 1
2 ∗ 0,9= 1,019
𝐵 =
𝐹𝑐𝐸𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠𝑐
=0,666
0,9= 0,740
𝐾𝜆 = 𝐴 − √𝐴2 − 𝐵 = 1,019 − √1,0192 − 0,740 = 0,472
𝐹𝑐𝜆,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠 ∗ 𝐾𝜆 = 10 ∗ 0,472 = 4,72 𝑀𝑃𝑎
𝑓𝑐 =140.000
45.325= 3,09 𝑀𝑃𝑎 < 𝐹𝑐𝜆,𝑑𝑖𝑠
Diseño fijación tacos de separación, NCh 1198, sección 7.3.3.2, letra f
𝑄𝑖 =𝐶
𝐾𝜆 ∗ 60=
140.000
0,472 ∗ 60= 4.940 𝑁
2 ∗ 𝑎1 = 65 + 0,5 ∗ (65 + 115) = 155 𝑚𝑚
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
26 I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L
𝑇1 =0,5 ∗ 𝑄𝑖 ∗ 𝐿𝑝1
2 ∗ 𝑎1=0,5 ∗ 4.940 ∗ 680
155= 10.837 𝑁
Se disponen 2 conectores Tipo C D50 por junta de contacto:
𝑃𝑑𝑖𝑠 = 2 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝑃𝑝,𝑎𝑑 = 2 ∗ 1,25 ∗ 5.000 = 12.500 𝑁 < 𝑇1
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L 27
EJEMPLO 8: Columna bipartita
Columna bipartita con ligazón transversal materializada con celosías. Debe resistir una
compresión C = 20 kN, cubriendo una altura de 4,15 m. Sus extremos se encuentran impedidos
de desplazarse lateralmente. La sección transversal consiste de 2 piezas de madera laminada
encolada de pino radiata de sección: 115 x 210 mm. La vinculación estructural de ambas
secciones se materializa con celosías diagonales, también bipartitas de madera aserrada de
pino Radiata, Grados C24, de escuadría: 33 x 115 mm, fijadas con clavos de 3 ½”: 3,9 x 90 mm a
las piezas principales, de acuerdo con el detalle que se indica en las figuras. El contenido de
humedad de la madera durante la construcción y en servicio no supera el nivel H = 15%. El
estado de carga condicionante del diseño tiene una duración acumulada de 10 años.
Solución:
𝐼𝑝𝑥 = 𝐼𝑝𝑦 = 4,15 𝑚
Verificación con respecto al eje x-x:
𝐴1 = 𝑏1 ∗ ℎ1 = 115 ∗ 210 = 24.150 𝑚𝑚2
𝐴 = 2 ∗ 𝐴1 = 2 ∗ 124.150 = 48.300 𝑚𝑚2
𝐼𝑥 =2 ∗ 𝑏1 ∗ ℎ1
3
12=2 ∗ 115 ∗ 2103
12= 177.502.500 𝑚𝑚4
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
28 I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L
𝑖𝑥 = √𝐼𝑥𝐴= √
177.502.500
48.300= 60,6 𝑚𝑚
⇒ 𝜆𝑥 =𝐿𝑝𝑥𝑖𝑥
=4.150
60,6= 68,5
Verificación con respecto al eje y-y:
Esta verificación condiciona para las piezas laminadas una flexión en laminación vertical. Las
piezas se amarran en ambos extremos con 2 piezas de 33 x 115 mm.
De acuerdo con figura:
𝑙𝑝𝑙 ≈𝐿 − 2 ∗ ℎ1
3=4.150 − 2 ∗ 115
3= 1.307 𝑚𝑚
𝐴1 = 𝑏1 ∗ ℎ1 = 115 ∗ 210 = 24.150 𝑚𝑚2
𝐼1 =ℎ1 ∗ 𝑏1
3
12=210 ∗ 1153
12= 26.615.312 𝑚𝑚4
𝑖1 = √𝐼1𝐴1
= √26.615.312
24.150= 33,2 𝑚𝑚 ⇒ 𝜆1 =
𝐿𝑝𝑙𝑖1
=1.307
33,2= 39,4 < 60
𝑎1 =𝐻 − ℎ12
=965 − 115
2= 425 𝑚𝑚
𝛼 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 (965
1.307/2) = 55,9° ⇒ 𝑠𝑒𝑛(55,9) = 0,828
𝑠𝑒𝑛(2 ∗ 55,9) = 0,928
Se disponen en total 12 clavos funcionando en cizalle simple en los extremos de las diagonales,
tal como se aprecia en la figura siguiente:
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L 29
𝑝𝑒𝑓 = 𝐼𝑐𝑙 − 𝑏𝐷 = 90 − 33 = 57 𝑚𝑚
𝐶 = 600 𝑁/𝑚𝑚
𝑚 = 2 (la sección transversal se compone de 2 piezas)
𝐼𝑦 =210
12(9653 − 7353) = 8.777.418.125 𝑚𝑚4
𝑖𝑦 = √𝐼𝑦
𝐴 = √
8.777.418.125
48.300= 426 𝑚𝑚 ⇒ 𝜆𝑦 =
4.150
426= 9,74
𝜆𝑦,𝑒𝑓 = √𝜆𝑦2 +
4 ∗ 𝜋2 ∗ 𝐸𝑦 ∗ 𝐴1
𝑎1 ∗ 𝑛𝑐𝑙 ∗ 𝐶 ∗ 𝑠𝑒𝑛(2𝛼)∗𝑚
2= √9,742 +
4 ∗ 𝜋2 ∗ 7.700 ∗ 24.150
425 ∗ 12 ∗ 600 ∗ 0,928∗2
2
= 51,8 < 𝜆𝑥
Entonces,
𝜆𝑚á𝑥 = 𝜆𝑥 = 68,5
Madera laminada de pino Radiata, fabricada combinando láminas Grado A y B según NCh
2150, considerando laminación horizontal (Ver anexo C):
𝐹𝑐𝑝 = 8 𝑀𝑃𝑎
𝐸 = 9.000 𝑀𝑃𝑎
𝑐 = 0,9
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
30 I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L
𝐾𝐷 = 1,00
𝐾𝐻 = 1,00
𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑐𝑝 ∗ 𝐾𝐻 ∗ 𝐾𝐷 = 8 ∗ 1,0 ∗ 1,0 = 8,0 𝑀𝑃𝑎
𝐸𝑑𝑖𝑠 = 𝐸 ∗ 𝐾𝐻 = 9.000 ∗ 1,0 = 9.000 𝑀𝑃𝑎
𝐹𝑐𝐸 =5 ∗ 𝐸𝑑𝑖𝑠𝜆2
=5 ∗ 9.000
68,52= 9,6 𝑀𝑃𝑎
𝐹𝑐𝐸𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠
=9,6
8,0= 1,20
𝐴 =
𝐹𝑐𝐸𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠
∗ (1 +𝜆300
) + 1
2 ∗ 𝑐=1,2 ∗ (1 +
68,5300
) + 1
2 ∗ 0,9= 1,375
𝐵 =
𝐹𝑐𝐸𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠
𝑐=1,2
0,9= 1,334
𝐾𝜆 = 𝐴 − √𝐴2 − 𝐵 = 1,375 − √1,3752 − 1.334 = 0,629
𝐹𝑐𝜆,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠 ∗ 𝐾𝜆 = 8 ∗ 0,629 = 5,03 𝑀𝑃𝑎
𝑓𝑐 =200.000
48.300= 4,14 𝑀𝑃𝑎 < 𝐹𝑐𝜆,𝑑𝑖𝑠
Diseño uniones celosía:
Las uniones deben neutralizar el esfuerzo de corte Qi, condicionado por 𝜆𝑦,𝑒𝑓 = 51,8. Por lo
que se debe considera las piezas de madera laminada híbrida, considerando laminación
vertical (ver anexo C):
𝐹𝑐𝑝 = 8 𝑀𝑃𝑎
𝐸 = 7.700 𝑀𝑃𝑎
𝑐 = 0,9
Dado que 𝐾𝐷 = 1,00 y 𝐾𝐻 = 1,00
𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑐𝑝 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾𝐻 = 8,0 ∗ 1 ∗ 1 = 8,0 𝑀𝑃𝑎
𝐸𝑑𝑖𝑠 = 𝐸 ∗ 𝐾𝐻 = 7.700 ∗ 1 = 7.700 𝑀𝑃𝑎
𝐹𝑐𝐸 =5 ∗ 𝐸𝑑𝑖𝑠𝜆2
=5 ∗ 7.700
51,82= 14,37 𝑀𝑃𝑎
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L 31
𝐹𝑐𝐸𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠
=14,37
8,0= 1,797
𝐴 =
𝐹𝑐𝐸𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠
∗ (1 +𝜆300
) + 1
2 ∗ 𝑐=1,797 ∗ (1 +
51,8300
) + 1
2 ∗ 0,9= 1,726
𝐵 =
𝐹𝑐𝐸𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠𝑐
=1,797
0,9= 1,996
𝐾𝜆 = 𝐴 − √𝐴2 − 𝐵 = 1,726 − √1,7262 − 1,996 = 0,735
𝑄𝑖 =𝐶
0,735 ∗ 60=
200.000
0,735 ∗ 60= 4.537 𝑁
fuerza que solicita las diagonales:
⇒ 𝐹𝐷 =𝑄𝑖
𝑠𝑒𝑛(55,9°)=4.537
0,828= 5.479 𝑁
Derivación de la capacidad de carga de diseño de clavos 3,9 x 90 mm (3 ½”).
Para pino radiata, de NCh 1198, Anexo E
𝜌0,𝑝𝑟𝑜𝑚 = 450 𝑘𝑔 𝑚3⁄
𝑅𝑎𝑝 = 115 ∗ (𝜌0,𝑝𝑟𝑜𝑚
1000)1,84
= 115 ∗ (450
1000)1,84
= 26,5 MPa
𝐷 = 3,9 𝑚𝑚
𝐼𝑐𝑙 = 90 𝑚𝑚
𝐹𝑓𝑓 = 896 − 58 ∗ 𝐷 = 896 − 58 ∗ 3,9 = 670 𝑀𝑃𝑎
𝑙𝑙 = 𝑏𝐷 = 33 𝑚𝑚
𝑙𝑐 = 𝑝 = 𝑙𝑐𝑙 − 𝑏𝐷 = 90 − 33 = 57 𝑚𝑚 < 𝑒𝑐 = 210 𝑚𝑚
Modos de fluencia:
𝑅𝑒 =𝑅𝑎𝑝,𝑐𝑅𝑎𝑝,𝑙
=26,5
26,5= 1
𝑅𝑡 =𝑙𝑐𝑙𝑙=57
33= 1,727
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
32 I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L
NCh 1198, sección 9.6.2.1, tabla 36
Kd=2,2 para D < 4,3 mm
Luego, para D < 6,4 mm ⇒ FA=Kd ⇒ FA=2,2
𝐾1 =√𝑅𝑒 + 2𝑅𝑒
2 ∗ (1 + 𝑅𝑡 + 𝑅𝑡2) + 𝑅𝑡
2 ∗ 𝑅𝑒3 − 𝑅𝑒 ∗ (1 + 𝑅𝑡)
1 + 𝑅𝑒
=√1 + 2 ∗ 1 ∗ (1 + 1,727 + 1,7272) + 1,7272 ∗ 1 − 1 ∗ (1 + 1,727)
1 + 1= 0,599
𝐾2 = −1 + √2 ∗ (1 + 𝑅𝑒) +2 ∗ 𝐹𝑓𝑓 ∗ (1 + 2 ∗ 𝑅𝑒) ∗ 𝐷
2
3 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑐 ∗ 𝑙𝑐2
= −1 + √2 ∗ (1 + 1) +2 ∗ 670 ∗ (1 + 2 ∗ 1) ∗ 3,92
3 ∗ 26,5 ∗ 572= 1,058
𝐾3 = −1 + √2 ∗ (1 + 𝑅𝑒)
𝑅𝑒+2 ∗ 𝐹𝑓𝑓 ∗ (2 + 𝑅𝑒) ∗ 𝐷
2
3 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑐 ∗ 𝑙𝑙2
= −1 + √2 ∗ (1 + 1)
1+2 ∗ 670 ∗ (2 + 1) ∗ 3,92
3 ∗ 26,5 ∗ 332= 1,17
Modo Ic:
𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 =𝐷 ∗ 𝑙𝑐 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑐
𝐹𝐴=3,9 ∗ 57 ∗ 26,5
2,2= 2.674 𝑁
Modo Il:
𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 =𝐷 ∗ 𝑙𝑙 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑙
𝐹𝐴=3,9 ∗ 33 ∗ 26,5
2,2= 1.548 𝑁
Modo II:
𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 =𝐾1 ∗ 𝐷 ∗ 𝑙𝑙 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑙
𝐹𝐴=0,599 ∗ 3,9 ∗ 33 ∗ 26,5
2,2= 927 𝑁
Modo IIIc:
𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 =𝐾2 ∗ 𝐷 ∗ 𝑙𝑐 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑐(1 + 2 ∗ 𝑅𝑒)𝐹𝐴
=1,058 ∗ 3,9 ∗ 57 ∗ 26,5
(1 + 2 ∗ 1) ∗ 2,2= 943 𝑁
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L 33
Modo IIIl:
𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 =𝐾3 ∗ 𝐷 ∗ 𝑙𝑙 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑐(1 + 2 ∗ 𝑅𝑒)𝐹𝐴
=1,17 ∗ 3,9 ∗ 33 ∗ 26,5
(1 + 2 ∗ 1) ∗ 2,2= 603 𝑁
Modo IV:
𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 =𝐷2
𝐹𝐴∗ √
2 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑐 ∗ 𝐹𝑓𝑓
3 ∗ (1 + 𝑅𝑒)=3,92
2,2∗ √
2 ∗ 26,5 ∗ 670
3 ∗ (1 + 1)= 531 𝑁
𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 = 𝑚í𝑛(2.674; 1.548; 927; 943; 603; 531) = 531 𝑁
𝐾𝐷 = 1,0
𝐾𝐻𝑈 = 1,0
𝑁𝑒𝑙,𝑑𝑖𝑠 = 𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾𝐻𝑈 = 531 ∗ 1 ∗ 1 = 531 𝑘𝑁
Capacidad de carga de diseño fijación de extremos diagonales celosía
𝐷𝑑𝑖𝑠 = 𝑛 ∗ 𝑃𝑒𝑙,𝑑𝑖𝑠 = 12 ∗ 531 = 6.372 𝑁 > 𝐹𝐷 = 5.479 𝑁
Verificación diagonal:
𝑙𝑝 =2 ∗ 𝑎1𝑠𝑒𝑛(𝛼)
=2 ∗ 425
𝑠𝑒𝑛(55,9°)= 1.026 𝑚𝑚
𝐴𝐷 = 𝑏𝐷 ∗ ℎ𝐷 = 33 ∗ 115 = 3.795 𝑚𝑚2
𝐼𝐷,𝑚í𝑛 =ℎ𝐷 ∗ 𝑏𝐷
3
12=115 ∗ 333
12= 344.396 𝑚𝑚4
𝑖𝐷 = √𝐼𝐷,𝑚í𝑛𝐴𝐷
= √344.396
3.795= 9,53 𝑚𝑚
⇒ 𝜆𝐷 =𝑙𝑝,𝐷𝑖𝐷
=1.026
9,53= 107,8
Para pino radiata, grado C24:
𝐹𝑐𝑝 = 8 𝑀𝑃𝑎
𝐸 = 10.200 𝑀𝑃𝑎
𝑐 = 0,85
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
34 I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L
𝐾𝐷 = 1,00
𝐾𝐻 = 1,00
𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑐𝑝 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾𝐻 = 8,0 ∗ 1 ∗ 1 = 8 𝑀𝑃𝑎
𝐾ℎ,𝐸 = √ℎ
180
4
= √33
180
4
= 0,65 ≥ 0,67
𝐸𝑑𝑖𝑠 = 𝐸 ∗ 𝐾ℎ,𝐸 = 10.200 ∗ 0,67 = 6.834 𝑀𝑃𝑎
𝐹𝑐𝐸 =3,6 ∗ 𝐸𝑑𝑖𝑠
𝜆2=3,6 ∗ 6.834
107,82= 2,12 𝑀𝑃𝑎
𝐹𝑐𝐸𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠
=2,12
8,0= 0,265
𝐴 =
𝐹𝑐𝐸𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠
∗ (1 +𝜆200
) + 1
2 ∗ 𝑐=0,265 ∗ (1 +
107,8200
) + 1
2 ∗ 0,85= 0,828
𝐵 =
𝐹𝑐𝐸𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠𝑐
=0,265
0,85= 0,312
𝐾𝜆 = 𝐴 − √𝐴2 − 𝐵 = 0,828 − √0,8282 − 0,312 = 0,216
𝐹𝑐𝜆,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠 ∗ 𝐾𝜆 = 8 ∗ 0,216 = 1,73 𝑀𝑃𝑎
𝑓𝑐 =𝐶𝐷𝐴𝐷
=5.479
3.795= 1,44 𝑀𝑃𝑎 < 𝐹𝑐𝜆,𝑑𝑖𝑠
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L 35
EJEMPLO 9: Capacidad de carga de vigas de piso
Determinar la máxima luz que pueden cubrir vigas de piso de Pino radiata de escuadría
nominal 2 x 8, Grado C24, espaciadas cada 610 mm, que deben resistir una carga de peso
propio de 1,5 kN/m2 y una sobrecarga de servicio de 1,5 kN/m2. Las vigas sirven de apoyo de
la base de piso consistente de tableros contrachapados de espesor 18 mm. Se acepta una
deformación máxima de 1/300 avo de la luz para la acción combinada del peso propio y la
sobrecarga, con un máximo de 15 mm y una deformación máxima inducida por la sobrecarga
de servicio de 1/360 avo de la luz. Para la luz determinada estimar la longitud de apoyo
requerida en los extremos de las vigas.
Solución:
Solicitación de peso propio:
𝑞𝑝𝑝 = 1,5 𝑘𝑁 𝑚2⁄
𝑞𝑝𝑝̅̅ ̅̅ ̅ = 𝑞𝑝𝑝 ∗ 𝑑 = 1,5 ∗ 0,61 = 0,915 𝑘𝑁 𝑚⁄ = 0,915 𝑁 𝑚𝑚⁄
𝐾𝐷 = 0,9
Sobrecarga de servicio:
𝑞𝑠𝑐 = 1,5 𝑘𝑁 𝑚2⁄
𝑞𝑠𝑐̅̅ ̅̅ = 𝑞𝑠𝑐 ∗ 𝑑 = 1,5 ∗ 0,61 = 0,915 𝑘𝑁 𝑚⁄ = 0,915 𝑁 𝑚𝑚⁄
𝐾𝐷 = 1,0
Carga de diseño:
�̅�𝑝𝑝+𝑠𝑐 = 0,915 + 0,915 = 1,83 𝑘𝑁 𝑚⁄ = 1,83 𝑁 𝑚𝑚⁄
𝐾𝐷 = 1,0
Condiciones geométricas:
Ancho: 185 mm (NCh 2824)
Espesor : 41 mm (NCh 2824)
Sección = espesor * ancho = 41*185 = 7.585 mm2
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
36 I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L
𝑊 =𝑒𝑠𝑝𝑒𝑠𝑜𝑟 ∗ 𝑎𝑛𝑐ℎ𝑜2
6=41 ∗ 1852
6= 233.871 𝑚𝑚3
𝐼 =𝑒𝑠𝑝𝑒𝑠𝑜𝑟 ∗ 𝑎𝑛𝑐ℎ𝑜3
12=41 ∗ 1853
12= 21.633.052 𝑚𝑚4
Propiedades mecánicas asociadas al Grado C24, NCh 1198, Sección 5.2.4, Tabla 4 b
𝐹𝑓 = 9,3 𝑀𝑃𝑎 (Aplicable sobre piezas de altura ≤90 mm)
𝐸 = 10.200 𝑀𝑃𝑎 (Aplicable sobre piezas de altura ≥180 mm)
𝐹𝑐𝑧 = 1,1 𝑀𝑃𝑎
𝐹𝑐𝑛 = 2,5 𝑀𝑃𝑎
Factores de modificación:
Factor de modificación por contenido de humedad, NCh 1198, Sección 6.1.1
𝐾𝐻 = 1,0 Condición de servicio seca H ≤ 12 %
𝐾𝐷 = 1,0 Factor de duración de la carga, NCh 1198, Anexo G
Factor de modificación por altura, NCh 1198, Sección 7.2.2.3
𝐾ℎ,𝑓 = √90
ℎ
5
= √90
185
5
= 0,866
Factor de modificación por altura para módulo elástico, NCh 1198, Sección 7.2.4.2
𝐾ℎ,𝐸 = 1,0 h ≥180 mm
Factor de modificación por trabajo conjunto en flexión, NCh 1198, Sección 6.1.3
𝐾𝑐 = 1,15 Espaciamiento ≤ 610 mm y vinculación por medio de placa de piso
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L 37
Factor de modificación por volcamiento, NCh 1198, Sección 7.2.2.4
𝐾𝜆𝑣 = 1,0 Volcamiento impedido por la cubierta de piso
Factor de modificación por longitud de aplastamiento para el extremo de la viga, NCh 1198,
Sección 7.5.3.3
𝐾𝑐𝑛 = 0,8
Factor de modificación por longitud de aplastamiento para solera basal, NCh 1198, Sección
7.5.3.2
𝐾𝑐𝑛 = √150
𝑙
4
= √150
41
4
= 1,383
Capacidad de momento de diseño:
𝐹𝑓,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑓 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾𝐻 ∗ 𝐾ℎ ∗ 𝐾𝑐 = 9,3 ∗ 1 ∗ 1 ∗ 0,866 ∗ 1,15 = 9,26 𝑀𝑃𝑎
𝑀𝑑𝑖𝑠 = 𝑊 ∗ 𝐹𝑓,𝑑𝑖𝑠 = 233.871 ∗ 9,26 = 2.165.645 𝑁 ∗ 𝑚𝑚
𝑀𝑚á𝑥 =�̅�𝑝𝑝+𝑠𝑐 ∗ 𝐿𝑚á𝑥
2
8=1,83 ∗ 𝐿𝑚á𝑥
2
8= 0,2288 ∗ 𝐿𝑚á𝑥
2
En el óptimo,
𝑀𝑑𝑖𝑠 = 𝑀𝑚á𝑥 ⇒ 𝐿𝑚á𝑥 = √2.165.645
0,2288= 3.077 𝑚𝑚
Restricción por deformaciones
𝐸𝑑𝑖𝑠 = 𝐸 ∗ 𝐾𝐻 ∗ 𝐾ℎ = 10.200 ∗ 1 ∗ 1 = 10.200 𝑀𝑃𝑎
𝑔
𝑞=
�̅�𝑝𝑝�̅�𝑝𝑝+𝑠𝑐
=0,915
1,83= 0,5
De acuerdo con NCh 1198, Sección 7.2.4.11, se desprecia efecto del creep en la estimación de
la flecha.
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
38 I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L
Control deformación inducida por la carga total
𝛿 =5
384∗�̅�𝑝𝑝+𝑠𝑐 ∗ 𝐿𝑚á𝑥
4
𝐸𝑑𝑖𝑠 ∗ 𝐼≤𝐿𝑚á𝑥300
⇒ 𝐿𝑚á𝑥 ≤ √384 ∗ 𝐸𝑑𝑖𝑠 ∗ 𝐼
1.500 ∗ �̅�𝑝𝑝+𝑠𝑐
3
= √384 ∗ 10.200 ∗ 21.633.052
1.500 ∗ 1,83
3
= 3.137 𝑚𝑚
Control deformación absoluta
𝛿 =5
384∗�̅�𝑝𝑝+𝑠𝑐 ∗ 𝐿𝑚á𝑥
4
𝐸𝑑𝑖𝑠 ∗ 𝐼≤ 15 𝑚𝑚
⇒ 𝐿𝑚á𝑥 ≤ √384 ∗ 𝐸𝑑𝑖𝑠 ∗ 𝐼 ∗ 15
5 ∗ �̅�𝑝𝑝+𝑠𝑐
4
= √384 ∗ 10.200 ∗ 21.633.052 ∗ 15
5 ∗ 1,83
3
= 3.433 𝑚𝑚
Control deformación inducida por la sobre carga de servicio
𝛿𝑠𝑐 =5
384∗�̅�𝑠𝑐 ∗ 𝐿𝑚á𝑥
4
𝐸𝑑𝑖𝑠 ∗ 𝐼≤𝐿𝑚á𝑥360
⇒ 𝐿𝑚á𝑥 ≤ √384 ∗ 𝐸𝑑𝑖𝑠 ∗ 𝐼
1.800 ∗ �̅�𝑠𝑐
3
= √384 ∗ 10.200 ∗ 21.633.052
1.800 ∗ 0,915
3
= 3.719 𝑚𝑚
Por lo tanto, la máxima luz que se puede cubrir queda condicionada por la tensión de diseño
en flexión y asciende a 3,08 m.
Longitud de apoyo requerida:
Dado que en el caso de apoyo de vigas la superficie de aplastamiento sobre el canto inferior de
las vigas limita con el borde de la pieza, por lo que de acuerdo con NCh 1198 Sección 7.5.3.3
𝐹𝑐𝑛,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑐𝑛 ∗ 𝐾𝐻 ∗ 𝐾𝑐𝑛 = 2,5 ∗ 1,0 ∗ 0,8 = 2,0 𝑀𝑃𝑎
𝑉𝑎𝑝𝑜𝑦𝑜 = 0,5 ∗ �̅�𝑝𝑝+𝑠𝑐 ∗ 𝐿𝑚á𝑥 = 0,5 ∗ 1,83 ∗ 3.080 = 2.815 𝑁
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L 39
𝐴𝑎𝑝,𝑟𝑒𝑞 = 𝑏 ∗ 𝑙𝑟𝑒𝑞 = 41 ∗ 𝑙𝑟𝑒𝑞
𝑓𝑐𝑛 =𝑉𝑎𝑝𝑜𝑦𝑜
𝐴𝑎𝑝,𝑟𝑒𝑞≤ 𝐹𝑐𝑛,𝑑𝑖𝑠 ⇒ 𝑙𝑟𝑒𝑞 =
𝑉𝑎𝑝𝑜𝑦𝑜
𝑏 ∗ 𝐹𝑐𝑛,𝑑𝑖𝑠=2.815
41 ∗ 2= 34,3 𝑚𝑚 ⟶ 35 𝑚𝑚
NOTA: desde el punto de vista de la solera basal, la tensión de diseño en compresión normal es
𝐹𝑐𝑛,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑐𝑛 ∗ 𝐾𝐻 ∗ 𝐾𝑐𝑛 = 2,5 ∗ 1,0 ∗ 1,38 = 3,46 𝑀𝑃𝑎
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
40 I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L
EJEMPLO 10: Viga de piso tipo cajón
Viga de piso de una vivienda, armada mediante clavado según esquema de la figura.
Diseño de la ligazón elástica por medio de clavado y verificación estática de la viga compuesta,
sección cajón, que debe cubrir una luz de 4,20 m y resistir una carga uniformemente
distribuida de 3 kN/m, consistente de las cargas de peso propio y la sobrecarga de servicio. El
descenso máximo de la viga no debe exceder el límite L/300, con L: luz.
Se dispone de piezas de madera aserrada Pino Radiata Grado G1 o mejor, según NCh
1207Of.2006, y clavos 4,3 x 100 mm (calibre 4”) con Pel,ad=635 N.
Solución:
Sección transversal viga armada clavada
𝑄𝑚á𝑥 = 0,5 ∗ 𝑞 ∗ 𝐿 = 0,5 ∗ 3 ∗ 4,2 = 6,3 𝑘𝑁
𝑀𝑚á𝑥 =𝑞 ∗ 𝐿2
8=3 ∗ 4,22
8= 6,615 𝑘𝑁 ∗ 𝑚
Propiedades estáticas
𝐴1 = 𝑏1 ∗ ℎ1 = 138 ∗ 41 = 5.658 𝑚𝑚2
𝑎1 = 0,5 ∗ (ℎ1 + ℎ2) = 0,5 ∗ (41 + 185) = 113 𝑚𝑚
𝐴2 = 2 ∗ 𝑏2 ∗ ℎ2 = 2 ∗ 41 ∗ 185 = 15.170 𝑚𝑚2
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L 41
𝑎2 = 0 𝑚𝑚
𝑆1 = 𝐴1 ∗ 𝑎1 = 5.658 ∗ 113 = 639.354 𝑚𝑚3
𝑆2 =2 ∗ 𝑏2 ∗ ℎ2
2
8=2 ∗ 41 ∗ 1852
8= 350.806 𝑚𝑚3
Propiedades mecánicas asociadas a pino radiata grado G1 o mejor, NCh 1198, Sección 5.2.4,
Tabla 4 b:
𝐹𝑓 = 9,5 𝑀𝑃𝑎 (Aplicable sobre piezas de altura ≤ 90 mm)
𝐹𝑐𝑛 = 1,1 𝑀𝑃𝑎
𝐸 = 10.100 𝑀𝑃𝑎 (Aplicable sobre piezas de altura ≥180 mm)
Factores de modificación
𝐾𝐻 = 1,0 Condición de servicio seca H≤12%
𝐾𝐷 = 1,0 Carga de diseño de 10 años
𝐾ℎ2,𝑓 = √90
ℎ
5
= √90
185
5
= 0,866
𝐾ℎ,𝐸 = 1,0
𝐾𝜆𝑣 = 1,0 Volcamiento impedido por la cubierta de piso
𝐾ℎ,𝐸,𝑝𝑖𝑒𝑧𝑎𝑠 𝑎𝑏𝑎𝑡𝑖𝑑𝑎𝑠 = √ℎ1180
4
= √41
180
4
= 0,691
𝐸1 = 𝐾ℎ,𝐸,í𝑒𝑧𝑎𝑎𝑏𝑎𝑡𝑖𝑑𝑎 ∗ 𝐸 = 0,691 ∗ 10.100 = 6.979 𝑀𝑃𝑎
Verificación tensional:
𝐸𝑟𝑒𝑓 = 𝐸2 = 10.100 𝑀𝑃𝑎
𝑛1 =𝐸1,𝑑𝑖𝑠𝐸2,𝑑𝑖𝑠
=6.979
10.100= 0,691
𝑛2 =𝐸2,𝑑𝑖𝑠𝐸2,𝑑𝑖𝑠
= 1,00
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
42 I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L
Se considera un clavado con espaciamiento 80 mm entre clavos consecutivos.
𝑘 =𝜋2 ∗ 𝐸1,𝑑𝑖𝑠 ∗ 𝐴1 ∗ (𝑠 𝑛⁄ )
𝐶 ∗ 𝐿2=𝜋2 ∗ 6.979 ∗ 5.658 ∗ (80 2⁄ )
600 ∗ 4.2002= 1,473
⇒ 𝛾 =1
1 + 𝑘=
1
1 + 1,473= 0,404
𝐼1 =𝑏1 ∗ ℎ1
3
12=138 ∗ 413
12= 792.592 𝑚𝑚4
𝐼2 =2 ∗ 𝑏2 ∗ ℎ2
3
12=2 ∗ 41 ∗ 1853
12= 43.266.104 𝑚𝑚4
𝐼𝑒𝑓 = 2 ∗ 𝐼1 ∗ 𝑛1 + 𝐼2 ∗ 𝑛2 + 2 ∗ 𝛾 ∗ 𝑛1 ∗ 𝐴1 ∗ 𝑎12
= 2 ∗ 792.592 ∗ 0,691 + 43.266.104 ∗ 1 + 2 ∗ 0,404 ∗ 0,691 ∗ 5.658 ∗ 1132
= 1.095.362 + 43.266.104 + 40.337.524 = 84.733.317 𝑚𝑚4
Tensiones de trabajo:
Dado que el clavado directo no debilita la sección transversal Ii= Iin, entonces:
𝑀𝑚á𝑥
𝐼𝑒𝑓=
6.615.000
84.372.104= 0,0781
𝑓𝑓1 =𝑀𝑚á𝑥
𝐼𝑒𝑓∗ (𝛾 ∗ 𝑎1 +
ℎ12) ∗ 𝑛1 =
= 0,0781 ∗ (0,404 ∗ 113 +41
2) ∗ 0,691 = 3,57 𝑀𝑃𝑎 ≤ 𝐹𝑓,𝑑𝑖𝑠 = 9,5 𝑀𝑃𝑎
𝑓𝑡𝑔1 =𝑀𝑚á𝑥
𝐼𝑒𝑓∗ 𝛾 ∗ 𝑎1 ∗ 𝑛1 = 0,0781 ∗ 0,404 ∗ 113 ∗ 0,691 = 2,46 𝑀𝑃𝑎 < 𝐹𝑡𝑝,𝑑𝑖𝑠 = 5,5 𝑀𝑃𝑎
𝑓𝑓2 = 0,0781 ∗185
2= 7,22 𝑀𝑃𝑎 < 𝐹𝑓,𝑑𝑖𝑠 = 9,5 ∗ √
90
185
5
= 8,2 𝑀𝑃𝑎
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L 43
𝑓𝑐𝑧,𝑚á𝑥 =𝑄𝑚á𝑥
2 ∗ 𝑏2 ∗ 𝐼𝑒𝑓∗ (𝛾 ∗ 𝑛1 ∗ 𝑠1 + 𝑠2)
=6.300
2 ∗ 41 ∗ 84.372.104∗ (0,404 ∗ 0,691 ∗ 639.354 + 350.806)
= 0,48 𝑀𝑃𝑎 < 𝐹𝑐𝑧,𝑑𝑖𝑠 = 1,1 𝑀𝑃𝑎
Capacidad admisible de carga para clavos de 4,3 x 100 mm (4”)
Para el pino radiata, de NCh 1198, Anexo E
𝜌0,𝑝𝑟𝑜𝑚 = 450 𝑘𝑔 𝑚3⁄
𝑅𝑎𝑝 = 115 ∗ (𝜌0,𝑝𝑟𝑜𝑚
1000)1,84
= 115 ∗ (450
1000)1,84
= 26,5 MPa
𝐷 = 4,3 𝑚𝑚
𝐹𝑓𝑓 = 896 − 58 ∗ 𝐷 = 896 − 58 ∗ 4,3 = 647 𝑀𝑃𝑎
𝑙𝑙 = 𝑏1 = 41 𝑚𝑚
𝑙𝑐 = 𝑃 = 𝑙𝑐𝑙 − 𝑏1 = 100 − 41 = 59 𝑚𝑚
𝑏𝑚𝑖𝑛 = 7 ∗ 𝐷 = 7 ∗ 4,3 𝑚𝑚 = 30,1 𝑚𝑚 < 𝑏𝑚𝑖𝑛,𝑒𝑓 = 41 𝑚𝑚
Modos de fluencia:
𝑅𝑒 =𝑅𝑎𝑝,𝑐𝑅𝑎𝑝,𝑙
=26,5
26,5= 1
𝑅𝑡 =𝑙𝑐𝑙𝑙=59
41= 1,439
Nch 1198, sección 9.6.2.1, tabla 36
Kd=2,2 para D < 4,3 mm
Luego, para D < 6,4 mm ⇒ FA=Kd ⇒ FA=2,2
𝐾1 =√𝑅𝑒 + 2𝑅𝑒
2 ∗ (1 + 𝑅𝑡 + 𝑅𝑡2) + 𝑅𝑡
2 ∗ 𝑅𝑒3 − 𝑅𝑒 ∗ (1 + 𝑅𝑡)
1 + 𝑅𝑒
=√1 + 2 ∗ 1 ∗ (1 + 1,439 + 1,4392) + 1,4392 ∗ 1 − 1 ∗ (1 + 1,439)
1 + 1= 0,519
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
44 I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L
𝐾2 = −1 + √2 ∗ (1 + 𝑅𝑒) +2 ∗ 𝐹𝑓𝑓 ∗ (1 + 2 ∗ 𝑅𝑒) ∗ 𝐷
2
3 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑐 ∗ 𝑙𝑐2
= −1 + √2 ∗ (1 + 1) +2 ∗ 647 ∗ (1 + 2 ∗ 1) ∗ 4,32
3 ∗ 26,5 ∗ 592= 1,064
𝐾3 = −1 + √2 ∗ (1 + 𝑅𝑒)
𝑅𝑒+2 ∗ 𝐹𝑓𝑓 ∗ (2 + 𝑅𝑒) ∗ 𝐷
2
3 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑐 ∗ 𝑙𝑙2
= −1 + √2 ∗ (1 + 1)
1+2 ∗ 647 ∗ (2 + 1) ∗ 4,32
3 ∗ 26,5 ∗ 412= 1,130
Modo Ic:
𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 =𝐷 ∗ 𝑙𝑐 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑐
𝐹𝐴=4,3 ∗ 59 ∗ 26,5
2,2= 3.051 𝑁
Modo Il:
𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 =𝐷 ∗ 𝑙𝑙 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑙
𝐹𝐴=4,3 ∗ 41 ∗ 26,5
2,2= 2.121 𝑁
Modo II:
𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 =𝐾1 ∗ 𝐷 ∗ 𝑙𝑙 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑙
𝐹𝐴=0,519 ∗ 4,3 ∗ 41 ∗ 26,5
2,2= 1.101 𝑁
Modo IIIc:
𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 =𝐾2 ∗ 𝐷 ∗ 𝑙𝑐 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑐(1 + 2 ∗ 𝑅𝑒)𝐹𝐴
=1,064 ∗ 4,3 ∗ 59 ∗ 26,5
(1 + 2 ∗ 1) ∗ 2,2= 1.082 𝑁
Modo IIIl:
𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 =𝐾3 ∗ 𝐷 ∗ 𝑙𝑙 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑐(1 + 2 ∗ 𝑅𝑒)𝐹𝐴
=1,130 ∗ 4,3 ∗ 41 ∗ 26,5
(1 + 2 ∗ 1) ∗ 2,2= 799 𝑁
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L 45
Modo IV:
𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 =𝐷2
𝐹𝐴∗ √
2 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑐 ∗ 𝐹𝑓𝑓
3 ∗ (1 + 𝑅𝑒)=4,32
2,2∗ √
2 ∗ 26,5 ∗ 647
3 ∗ (1 + 1)= 635 𝑁
𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 = 𝑚í𝑛(3.051; 2.121; 1.101; 1.082; 799; 635) = 635 𝑁
Control flujo de cizalle
𝑡𝑐𝑧,𝑒𝑓,1 =𝑄𝑚á𝑥𝐼𝑒𝑓
∗ 𝛾 ∗ 𝑛1 ∗ 𝑠1
=6.300
84.733.317 𝑚𝑚4∗ 0,404 ∗ 0,691 ∗ 639.354 = 13,3 𝑁 𝑚𝑚⁄
𝑠′𝑟𝑒𝑞 =𝑛 ∗ 𝑃𝑒𝑙,𝑑𝑖𝑠𝑡𝑐𝑧,𝑒𝑓,1
=2 ∗ 635
13,3= 96 𝑚𝑚 > 𝑠′𝑒𝑓 =
𝑠
𝑛=80
2= 40 𝑚𝑚
Control deformación
𝑘𝛿 =𝜋2 ∗ 𝐸1,𝑑𝑖𝑠 ∗ 𝐴1 ∗ (𝑠 𝑛⁄ )
1,25 ∗ 𝐶 ∗ 𝐿2=𝜋2 ∗ 6.979 ∗ 5.658 ∗ (80 2⁄ )
1,25 ∗ 600 ∗ 4.2002= 1,18
⇒ 𝛾𝛿 =1
1 + 1,18= 0,459
𝐼𝑒𝑓,𝛿 = 2 ∗ 𝐼1 ∗ 𝑛1 + 𝐼2 ∗ 𝑛2 + 2 ∗ 𝛾𝛿 ∗ 𝑛1 ∗ 𝐴1 ∗ 𝑎12
= 2 ∗ 792.592 ∗ 0,691 + 43.266.104 ∗ 1 + 2 ∗ 0,459 ∗ 0,691 ∗ 5.658 ∗ 1132
= 1.095.362 + 43.266.104 + 45.829.019 = 90.192.360 𝑚𝑚4
𝛿𝑓 =5
384∗
𝑞 ∗ 𝐿4
𝐸𝑑𝑖𝑠 ∗ 𝐼𝑒𝑓,𝛿=
5
384∗
3 ∗ 4.2004
10.100 ∗ 90.192.360= 13,3 𝑚𝑚
𝛿𝑄 =𝑀𝑚á𝑥
0,065 ∗ 𝐸𝑑𝑖𝑠 ∗ 𝐴2=
6.615.000
0,065 ∗ 10,100 ∗ 15.170= 0,7 𝑚𝑚
𝛿𝑡𝑜𝑡 = 𝛿𝑓 + 𝛿𝑄 = 13,7 + 0,7 = 14 𝑚𝑚 ≈4.200
300= 14 𝑚𝑚
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
46 I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L
EJEMPLO 11: Viga enrejada
Verificación de la viga enrejada de la figura, que cubre una distancia entre apoyos de 4,64 m y
diseño de las uniones de las diagonales con los cordones. La viga soporta un sistema de techo,
que apoya lateralmente la cuerda superior, y recibe una densidad de carga de 2,5 kN/m. El
descenso máximo se limita a 1/300 avo de la luz. Se dispone de piezas de madera aserrada
estructural de Pino radiata Grado C24 de sección 41*135 mm para los cordones y 33*115 mm
para las diagonales. El contenido de humedad de la madera es 12 %. Las uniones se ejecutan
con clavos de 90 x 3,9 mm (3 ½”).
Solución:
𝑀𝑚á𝑥 =𝑞𝑑𝑖𝑠 ∗ 𝐿
2
8=2,5 ∗ 4,642
8= 6,728 𝑘𝑁 ∗ 𝑚 = 6.728.000 𝑁 ∗ 𝑚𝑚
𝑄𝑚á𝑥 =𝑞𝑑𝑖𝑠 ∗ 𝐿
2=2,5 ∗ 4,64
2= 5,80 𝑘𝑁 = 5.800 𝑁
fueza máxima en diagonales
𝐷𝑚á𝑥 =𝑄𝑚á𝑥𝑠𝑒𝑛 𝛼
=5.800
𝑠𝑒𝑛 45°= 8.202 𝑁
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L 47
fijación mediante clavos de 3 ½” : 90*3,9 mm
Capacidad admisible de carga según Nch 1198, sección 9.6.2.2.3
𝑅𝑎𝑝,𝑐 = 𝑅𝑎𝑝,𝑙 = 115 ∗ (𝜌0 1.000⁄ )1,84 = 115 ∗ (450 1.000⁄ )1,84 = 26,5 𝑀𝑃𝑎
Tensión de fluencia de los clavos, Nch 1198, sección 9.6.2.3.
Como D < 6,4,
⇒ 𝐹𝑓𝑓 = 896 − 58 ∗ 𝐷 = 896 − 58 ∗ 3,9 = 670 𝑀𝑃𝑎
Se analizará la situación de las uniones entre dos piezas laterales de espesor de 41 mm con la
pieza central de 33 mm. Por tratarse de clavos que trabajan en cizalle doble los modos de
fluencia II y IIIc no son aplicables.
La capacidad de carga admisible de los clavos se estimará sobre la base de la capacidad de
carga admisible de un clavo solicitado en cizalle simple.
Modos de fluencia
𝑅𝑒 =𝑅𝑎𝑝,𝑐
𝑅𝑎𝑝,𝑙=26,5
26,5= 1
𝑅𝑡 =𝑙𝑐𝑙𝑙=33
41= 0,805
De NCh 1198, sección 9.6.2.1, tabla 36:
Kd=2,2 para D < 4,3 mm
Luego, para D < 6,4 mm ⇒ FA=Kd ⇒ FA=2,2
𝐾3 = −1 + √2 ∗ (1 + 𝑅𝑒)
𝑅𝑒+2 ∗ 𝐹𝑓𝑓 ∗ (2 + 𝑅𝑒) ∗ 𝐷
2
3 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑐 ∗ 𝑙𝑙2
= −1 + √2 ∗ (1 + 1)
1+2 ∗ 670 ∗ (2 + 1) ∗ 3,92
3 ∗ 26,5 ∗ 412= 1,111
Modo Ic:
𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 =𝐷 ∗ 𝑙𝑐 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑐
𝐹𝐴=3,9 ∗ 33 ∗ 26,5
2,2= 1.548 𝑁
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
48 I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L
Modo Il:
𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 =2 ∗ 𝐷 ∗ 𝑙𝑙 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑙
2 ∗ 𝐹𝐴=3,9 ∗ 41 ∗ 26,5
2,2= 1.923 𝑁
Modo IIIl:
𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 =𝐾3 ∗ 𝐷 ∗ 𝑙𝑙 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑐(2 + 𝑅𝑒)𝐹𝐴
=1,111 ∗ 3,9 ∗ 41 ∗ 26,5
(2 + 1) ∗ 2,2= 713 𝑁
Modo IV:
𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 =𝐷2
𝐹𝐴∗ √
2 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑐 ∗ 𝐹𝑓𝑓
3 ∗ (1 + 𝑅𝑒)=3,92
2,2∗ √
2 ∗ 26,5 ∗ 670
3 ∗ (1 + 1)= 531 𝑁
⇒ 𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 = 𝑀í𝑛(1.548; 1.923; 713; 531) = 531 𝑁
Penetración del clavo en la pieza opuesta del cordón
𝑝 = 𝑙𝑐𝑙 − 𝑏1 − 𝑏𝐷 = 90 − 41 − 33 = 16 𝑚𝑚
4 ≤ 𝑝
𝐷=16
3,9= 4,1 ≤ 8
𝑁𝑒𝑙𝑐𝑑,𝑎𝑑 = 𝑁𝑒𝑙,𝑎𝑑 ∗ (1 + 0,75 ∗𝑝 𝐷⁄
8) = 531 ∗ (1 + 0,75 ∗
4,1
8) = 736 𝑁
Estado de carga incorpora sobrecarga de servicio en techo, NCh1198, Anexo G:
𝐾𝐷 = 1,25
𝑁𝑒𝑙𝑐𝑑,𝑑𝑖𝑠 = 𝑁𝑒𝑙𝑐𝑑,𝑎𝑑 ∗ 𝐾𝐷 = 736 ∗ 1,25 = 920 𝑁
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L 49
𝑛𝑟𝑒𝑞 =𝐷𝑚á𝑥𝑁𝑒𝑙𝑐𝑑,𝑑𝑖𝑠
=8.202
920= 8,9 ⇒ 9
En los cordones se respeta
𝑠𝑝.𝑒𝑓 = 45 𝑚𝑚 > 𝑠𝑝 = 10 ∗ 𝐷 = 10 ∗ 3,9 = 39 𝑚𝑚
𝑠𝑛 𝑚í𝑛,𝑒𝑓 = 30 𝑚𝑚 > 𝑠𝑛 = 5 ∗ 𝐷 = 5 ∗ 3,9 = 19,5 𝑚𝑚
𝑠𝑏𝑐𝑛,𝑒𝑓 = 30 𝑚𝑚 > 𝑠𝑏𝑐𝑛 = 7 ∗ 𝐷 = 7 ∗ 3,9 = 27,3 𝑚𝑚
En las diagonales se respeta
𝑠𝑝,𝑒𝑓 = 30 𝑠𝑒𝑛 45°⁄ = 42,5 𝑚𝑚 > 𝑠𝑝 = 10 ∗ 𝐷 = 10 ∗ 3,9 = 39 𝑚𝑚
𝑠𝑛𝑒𝑓 = 45 ∗ 𝑐𝑜𝑠 45° = 31,8 𝑚𝑚 > 𝑠𝑛 = 5 ∗ 𝐷 = 5 ∗ 3,9 = 19,5 𝑚𝑚
𝑠𝑏𝑐𝑝,𝑒𝑓 = 45 𝑠𝑒𝑛 45°⁄ = 63,6 𝑚𝑚 > 𝑠𝑏𝑐𝑝 = 15 ∗ 𝐷 = 15 ∗ 3,9 = 58,5 𝑚𝑚
𝑠𝑏𝑑𝑛,𝑒𝑓 = 0,5 ∗ (115 − 90 ∗ 𝑠𝑒𝑛45°) = 25,7 𝑚𝑚 > 𝑠𝑏𝑑𝑛 = 5 ∗ 𝐷 = 5 ∗ 3,9 = 19,5 𝑚𝑚
Propiedades mecánicas asociadas a pino radiata grado C24, NCh 1198, Sección 5.2.4, Tabla 4 b
𝐹𝑓 = 9,3 𝑀𝑝𝑎 (Aplicable a piezas de altura ≤ 90 mm)
𝐸 = 10.200 𝑀𝑃𝑎 (Aplicable a piezas de altura ≥ 180 mm)
Propiedades estáticas de la sección transversal
𝑎1 =𝐻 − ℎ12
=450 − 135
2= 157,5 𝑚𝑚
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
50 I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L
𝐸1,𝑑𝑖𝑠 = 10.200 ∗ √ℎ
180
4
= 10.200 ∗ √135
180
4
= 9.492 𝑀𝑃𝑎
𝐴1 = 2 ∗ 𝑏1 ∗ ℎ1 = 2 ∗ 41 ∗ 135 = 11.070 𝑚𝑚2
Propiedades estáticas de la sección diagonal
𝐸𝐷 = 10.200 ∗ √ℎ
180
4
= 10.200 ∗ √115
180
4
= 9.119 𝑀𝑃𝑎
𝐴𝐷 = 𝑏𝐷 ∗ ℎ𝐷 = 33 ∗ 115 = 3.795 𝑚𝑚2
Dado que p=16 mm:
4 ≤𝑝
𝑑𝑐𝑙=16
3,9= 4,1 ≤ 8
𝐶𝑒𝑓 = 𝐶 ∗ (1 + 0,75 ∗𝑝 𝐷⁄
8) = 900 ∗ (1 + 0,75 ∗
4,1
8) = 1.246 𝑁 𝑚𝑚⁄
Para vigas enrejadas con diagonales, NCh 1198, sección 7.2.7.2:
1
𝐶𝑒𝑞=
1
2 ∗ 𝑐𝑜𝑠2𝛼[
𝑎1𝐴𝐷 ∗ 𝐸𝐷 ∗ 𝑠𝑒𝑛𝛼
+1
𝑛𝐷 ∗ 𝐶𝑒𝑓]
1
𝐶𝑒𝑞=
1
2 ∗ 𝑐𝑜𝑠245°⌊
157,5
3.795 ∗ 9.119 ∗ 𝑠𝑒𝑛45°+
1
9 ∗ 1.246⌋ = 9,560 ∗ 10−5
𝐶𝑒𝑞 =1
9,560 ∗ 10−5= 10.460 𝑁 𝑚𝑚⁄
𝑘 =𝜋2 ∗ 𝐸1𝐿2
∗ 𝐴1 ∗𝑙𝑙𝐶𝑒𝑞
=𝜋2 ∗ 9.492
4.6402∗ 11.070 ∗
1.160
10.460= 5,342
𝛾 =1
1 + 𝑘=
1
1 + 5,342= 0,158
𝐼𝑒𝑓 = 2 ∗ 𝑏 ∗ ℎ1 ∗ 𝑎12 ∗ (
ℎ12
12 ∗ 𝑎12 + 𝛾) = 2 ∗ 82 ∗ 135 ∗ 157,52 ∗ (
1352
12 ∗ 157,52+ 0,158)
= 120.226.370 𝑚𝑚4
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L 51
𝑀
𝐼𝑒𝑓=
6.728.000
120.226.370= 0,056
Tensiones axiales en los centroides de los cordones
𝑓𝑐𝑝 𝑡𝑝,𝑔1⁄ = ±𝑀
𝐼𝑒𝑓∗ 𝛾 ∗ 𝑎1 = ±0,056 ∗ 0,158 ∗ 157,5 = ±1,39 MPa ≪ F𝑡𝑝,𝑑𝑖𝑠 ≪ 𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠
Tensiones máximas de flexión en los cordones
𝑓𝑓 = ±𝑀
𝐼𝑒𝑓∗ (𝛾 ∗ 𝑎1 +
ℎ12) = ±0,056 ∗ (0,158 ∗ 157,5 +
135
2) = ±5,17 𝑀𝑃𝑎 < 𝐹𝑓,𝑑𝑖𝑠
Control de deformación máxima
𝐶𝛿 = 1,25 ∗ 𝐶𝑒𝑓 = 1,25 ∗ 1.246 = 1.558 𝑁 𝑚𝑚⁄
1
𝐶𝑒𝑞=
1
2 ∗ 𝑐𝑜𝑠2𝛼[
𝑎1𝐴𝐷 ∗ 𝐸𝐷 ∗ 𝑠𝑒𝑛𝛼
+1
𝑛𝐷 ∗ 𝐶𝑒𝑓]
=1
2 ∗ 𝑐𝑜𝑠245°⌊
157,5
3.795 ∗ 9.119 ∗ 𝑠𝑒𝑛45°+
1
9 ∗ 1.558⌋ = 7,777 ∗ 10−5
=1
7,777 ∗ 10−5= 12.859 𝑁 𝑚𝑚⁄
𝑘 =𝜋2 ∗ 𝐸1𝐿2
∗ 𝐴1 ∗𝑙𝑙𝐶𝑒𝑞
=𝜋2 ∗ 9.492
4.6402∗ 11.070 ∗
1.160
12.859= 4,345
𝛾 =1
1 + 𝑘=
1
1 + 4,345= 0.187
𝐼𝑒𝑓 = 2 ∗ 𝑏 ∗ ℎ1 ∗ 𝑎12 ∗ (
ℎ12
12 ∗ 𝑎12 + 𝛾) = 2 ∗ 82 ∗ 135 ∗ 157,52 ∗ (
1352
12 ∗ 157,52+ 0,187)
= 136.369.783 𝑚𝑚4
𝛿𝑚á𝑥 =5
384∗
𝑞 ∗ 𝐿4
𝐸1,𝑑𝑖𝑠 ∗ 𝐼𝑒𝑓=
5
384∗
2,5 ∗ 4.6404
9.492 ∗ 136.369.783
= 11,7 𝑚𝑚 <𝐿
300=4.640
300= 15,5 𝑚𝑚
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
52 I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L
Verificación diagonal
𝑙𝑝 =2 ∗ 𝑎1𝑠𝑒𝑛(𝛼)
=2 ∗ 157,5
𝑠𝑒𝑛(45°)= 445 𝑚𝑚
⇒ 𝜆 =𝑙𝑝 ∗ √12
𝑏=445 ∗ √12
33= 46,8
Para pino radiata, grado C24:
𝐹𝑐𝑝 = 8 𝑀𝑃𝑎
𝐸 = 10.200 𝑀𝑃𝑎
𝑐 = 0,85
𝐾𝐷 = 1,25
𝐾𝐻 = 1
𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑐𝑝 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾𝐻 = 8,0 ∗ 1,25 ∗ 1 = 10 𝑀𝑃𝑎
𝐾ℎ,𝐸 = √ℎ
180
4
= √33
180
4
= 0,65 ≥ 0,67
𝐸𝑑𝑖𝑠 = 𝐸 ∗ 𝐾ℎ,𝐸 = 10.200 ∗ 0,67 = 6.834 𝑀𝑃𝑎
𝐹𝑐𝐸 =3,6 ∗ 𝐸𝑑𝑖𝑠
𝜆2=3,6 ∗ 6.834
46,82= 11,25 𝑀𝑃𝑎
𝐹𝑐𝐸𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠
=11,25
10= 1,125
𝐴 =
𝐹𝑐𝐸𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠
∗ (1 +𝜆200) + 1
2 ∗ 𝑐=1,125 ∗ (1 +
46,8200) + 1
2 ∗ 0,85= 1,405
𝐵 =
𝐹𝑐𝐸𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠
𝑐=1,125
0,85= 1,324
𝐾𝜆 = 𝐴 − √𝐴2 − 𝐵 = 1,405 − √1,4052 − 1,324 = 0,599
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L 53
𝐹𝑐𝜆,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠 ∗ 𝐾𝜆 = 10 ∗ 0,599 = 5,99 𝑀𝑃𝑎
𝑓𝑐 =𝐶𝐷𝐴𝐷
=8202
3.795= 2,16 𝑀𝑃𝑎 < 𝐹𝑐𝑝,𝜆,𝑑𝑖𝑠
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
54 I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L
EJEMPLO 12: Envigado maestro de techo con vigas clavadas de alma
llena entablada y cordones de madera laminada encolada.
Envigado maestro de techo que recibe tijerales dispuestos cada 80 cm y que apoyan
lateralmente la cuerda superior, materializado como viga de alma llena. Los cordones se
consisten de piezas de madera laminada encolada de Pino radiata (constitución híbrida) de
sección 65 x 115 mm, y el alma se construye disponiendo dos estratos contrapuestos de tablas
de pino radiata grado G2, de escuadría 21 x 118 mm, dispuestas inclinadas en 45° con respecto
al eje de la viga. Cada tijeral descarga 4 kN al apoyarse sobre las vigas y el peso propio
estimado de estas últimas es de 0,5 kN/m. La madera se encuentra al 12% de contenido de
humedad.
Sistema y dimensiones:
𝑃1 = 4 𝑘𝑁
𝑞 = 0,5 𝑘𝑁 𝑚⁄
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L 55
Solución:
Por tratarse de un estado de carga que incorpora cargas permanentes y sobrecarga de servicio
de techo,
𝐾𝐷 = 1,25
Por encontrarse la madera en condición seca (H ≤ 12 %),
𝐾𝐻 = 1,0
Esfuerzos interno del sistema
𝑉𝐴 = 𝑉𝐵 =𝑛 ∗ 𝑃12
+𝑞𝑝𝑝 ∗ 𝐿
2=7 ∗ 4
2+0,5 ∗ 6,4
2= 15,6 𝑘𝑁
𝑀𝑘 =𝑃1 ∗ 𝐿
2∗ 𝑘 ∗
𝑛 + 1 − 𝑘
𝑛 + 1+𝑞 ∗ 𝑥𝑘2
∗ (𝐿 − 𝑥𝑘)
𝑀1 =4 ∗ 6,4
2∗ 1 ∗
8 − 1
8+0,5 ∗ 0,8
2∗ (6,4 − 0,8) = 12,32 𝑘𝑁 ∗ 𝑚
𝑀2 =4 ∗ 6,4
2∗ 2 ∗
8 − 2
8+0,5 ∗ 1,6
2∗ (6,4 − 1,6) = 21,12 𝑘𝑁 ∗ 𝑚
𝑀3 =4 ∗ 6,4
2∗ 3 ∗
8 − 3
8+0,5 ∗ 2,4
2∗ (6,4 − 2,4) = 26,40 𝑘𝑁 ∗ 𝑚
𝑀4 =4 ∗ 6,4
2∗ 4 ∗
8 − 4
8+0,5 ∗ 3,2
2∗ (6,4 − 3,2) = 28,16 𝑘𝑁 ∗ 𝑚
Desarrollo del esfuerzo de corte Q y del momento flector M en las vigas principales
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
56 I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L
Diseño de sección transversal
Viga de alma llena entablada con cordones bipartitos de madera laminada encolada de pino
radiata. Para este tipo de vigas el adecuado control de las deformaciones requiere de una
altura de sección de al menos
𝐻 =𝐿
10=6.400
10= 640 𝑚𝑚
Cordones:
Alma: Entablado de piezas aserradas en bruto 1 x 5: 𝑏𝐷 ∗ ℎ𝐷 = 21 ∗ 118 𝑚𝑚 Pino radiata,
Grado G2 o mejor según NCh1207.
Clavos: 65*3,1 mm (2 ½”) para fijación de las tablas del alma a los cordones
Clavos: 50*2,8 mm (2”) para clavado recíproco de las tablas del alma a nivel del eje neutro
Las vigas se arman de a mitades clavando las tablas del alma contra los cordones, y
posteriormente se ensamblan por medio del clavado de las almas.
Momento de inercia eficaz:
Sólo se considera el aporte de los cordones
Área sección transversal cordones
𝐴1 = 2 ∗ 𝑏1 ∗ ℎ1 = 2 ∗ 65 ∗ 115 = 14.950 𝑚𝑚2
𝑎1 =𝐻 − ℎ12
=640 − 115
2= 262,5 𝑚𝑚
Viga híbrida en laminación horizontal. De anexo C, para alturas de sección transversal no
superiores a 375 m:
𝐹𝑓 = 8,9 𝑀𝑃𝑎
𝐹𝑡𝑝 = 4,0 𝑀𝑃𝑎
𝐹𝑐𝑝 = 8,0 𝑀𝑃𝑎
𝐸1 = 9.000 𝑀𝑃𝑎
2 / b1 *h1 = 2 / 65*115 mm
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L 57
Tensiones de diseño:
𝐹𝑓,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑓 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾𝐻 = 8,9 ∗ 1,25 ∗ 1,0 = 11,1 𝑀𝑃𝑎
𝐹𝑡𝑝,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑡𝑝 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾𝐻 = 4,0 ∗ 1,25 ∗ 1,0 = 5,0 𝑀𝑃𝑎
𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑐𝑝 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾𝐻 = 8,0 ∗ 1,25 ∗ 1,0 = 10,0 𝑀𝑃𝑎
Clavos 65*3,1 mm (2 ½”):
𝑝 = 𝑙𝑐𝑙 − 𝑏𝐷 = 65 − 21 = 44 𝑚𝑚
𝐶 = 900 𝑁 𝑚𝑚⁄
𝑠 = 32 𝑚𝑚
𝑛 = 2⇒ 𝑠′ =𝑠
𝑛=32
2= 16 𝑚𝑚
De NCh 1198, Sección 7.2.5.5
𝑘 =𝜋2 ∗ 𝐸1 ∗ 𝐴1 ∗ 𝑠
′
𝐶 ∗ 𝐿2=𝜋2 ∗ 9.000 ∗ 14.950 ∗ 16
900 ∗ 6.4002= 0,576
⇒ 𝛾 =1
1 + 𝑘=
1
1 + 0,576= 0,634
𝐼1 =𝑏1 ∗ ℎ1
3
12=65 ∗ 1153
12= 8.238.073 𝑚𝑚4
𝐼𝑒𝑓 =∑(𝑛𝑖 ∗ 𝐼𝑖 + 𝛾𝑖∗𝑛𝑖
𝑛
𝑖=1
∗ 𝐴𝑖 ∗ 𝑎𝑖2) = 4 ∗ 8.238.073 + 2 ∗ 0,634 ∗ 14.950 ∗ 262,52
𝐼𝑒𝑓 = 1.339.940.854 𝑚𝑚4
𝑀𝑚á𝑥
𝐼𝑒𝑓=
28.160.000
1.339.940.854= 0,0210
Tensión de flexión máxima en los cordones
𝑓𝑓,1 = ±𝑀
𝐼𝑒𝑓∗ (𝛾 ∗ 𝑎1 ∗
𝐴1𝐴1𝑛
+ℎ12∗𝐼1𝐼1𝑛)
= ±0,021 ∗ (0,634 ∗ 262,5 ∗ 1 +115
2∗ 1) = ±4,71 𝑀𝑃𝑎 < 𝐹𝑓,𝑑𝑖𝑠
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
58 I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L
Tensión axial máxima en el centroide de los cordones
𝑓𝑐 𝑡,𝑔⁄ = ±𝑀
𝐼𝑒𝑓∗ 𝛾 ∗ 𝑎1 ∗
𝐴1𝐴1𝑛
= ±0,021 ∗ 0,634 ∗ 262,5 ∗ 1 = ±3,50 𝑀𝑃𝑎 < 𝐹𝑡𝑝
Diseño del clavado
Se disponen 2 hileras de 4 clavos por tabla, de acuerdo con el esquema de la figura:
En los cordones se respeta:
𝑠𝑝,𝑒𝑓 = 32 𝑚𝑚 > 𝑠𝑝 = 10 ∗ 𝐷 = 10 ∗ 3,1 = 31 𝑚𝑚
𝑠𝑛 𝑚í𝑛,𝑒𝑓 = 35 𝑚𝑚 > 𝑠𝑛 = 5 ∗ 𝐷 = 5 ∗ 3,1 = 15,5 𝑚𝑚
𝑠𝑏𝑐𝑛,𝑒𝑓 = 30 𝑚𝑚 > 𝑠𝑏𝑐𝑛 = 7 ∗ 𝐷 = 7 ∗ 3,1 = 21,7 𝑚𝑚
𝑠𝑏𝑑𝑛,𝑒𝑓 = 50 𝑚𝑚 > 𝑠𝑏𝑑𝑛 = 5 ∗ 𝐷 = 5 ∗ 3,1 = 15,5 𝑚𝑚
En el entablado de alma se respeta:
𝑠𝑝,𝑒𝑓 = 32 𝑠𝑒𝑛 45°⁄ = 45,3 𝑚𝑚 > 𝑠𝑝 = 10 ∗ 𝐷 = 10 ∗ 3,1 = 31 𝑚𝑚
𝑠𝑛 𝑚í𝑛,𝑒𝑓 = 32 ∗ 𝑠𝑒𝑛45° = 22,6 𝑚𝑚 > 𝑠𝑛 = 5 ∗ 𝐷 = 5 ∗ 3,1 = 15,5 𝑚𝑚
𝑠𝑏𝑐𝑝,𝑒𝑓 = 50 𝑠𝑒𝑛45°⁄ = 70,7 𝑚𝑚 > 𝑠𝑏𝑐𝑝 = 15 ∗ 𝐷 = 15 ∗ 3,1 = 46,5 𝑚𝑚
𝑠𝑏𝑑𝑛,𝑒𝑓 = 20 𝑚𝑚 > 𝑠𝑏𝑑𝑛 = 5 ∗ 𝐷 = 5 ∗ 3,1 = 15,5 𝑚𝑚
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L 59
Flujo de cizalle
Cada cordón recibe la mitad del flujo de cizalle
𝑆1 = 𝐴1 ∗ 𝑎1 = 14.950 ∗ 262,5 = 3.924.375 𝑚𝑚3
𝑡𝑒𝑓 =𝑄𝑚á𝑥 ∗ 𝛾 ∗ 𝑆1
𝐼𝑒𝑓=15.600 ∗ 0,634 ∗ 3.924.375
1.339.940.854= 29,0 𝑁 𝑚𝑚⁄
Fuerza de corrimiento desarrollada sobre cada tabla
𝑇1,𝑒𝑓 =𝑡𝑒𝑓
2∗ ℎ𝐷 ∗ √2 =
29,0
2∗ 118 ∗ √2 = 2.418 𝑁
Exigencia de clavado
Capacidad admisible de carga a extracción lateral: clavo 65*3,1 mm.
Para el pino radiata, de NCh 1198, Anexo E
𝜌0 = 450 𝑘𝑔 𝑚3⁄
Luego, según Nch 1198, sección 9.6.2.2.3
𝑅𝑎𝑝,𝑐 = 𝑅𝑎𝑝,𝑙 = 115 ∗ (𝜌0 1.000)⁄ 1,84 = 115 ∗ (450 1.000)⁄ 1,84 = 26,5 𝑀𝑝𝑎
Tensión de fluencia de los clavos, Nch 1198, sección 9.6.2.3:
𝐷 = 3,1 𝑚𝑚
𝑙𝑐𝑙 = 65 𝑚𝑚
Como D < 6,4 mm, entonces:
𝐹𝑓𝑓 = 896 − 58 ∗ 𝐷 = 896 − 58 ∗ 3,1 = 716 𝑀𝑃𝑎
𝑙𝑙 = 𝑏𝑎 = 21 𝑚𝑚
𝑙𝑐 = 𝑝 = 𝑙𝑐𝑙 − 𝑏𝑎 = 65 − 21 = 44 𝑚𝑚 < 𝑏𝑐 = 65 𝑚𝑚
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
60 I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L
Modos de fluencia:
𝑅𝑒 =𝑅𝑎𝑝,𝑐𝑅𝑎𝑝,𝑙
=26,5
26,5= 1
𝑅𝑡 =𝑙𝑐𝑙𝑙=44
21= 2,095
De NCh 1198, sección 9.6.2.1, tabla 36
Kd=2,2 para D < 4,3 mm
Luego, para D < 6,4 mm → FA=Kd ⇒ FA=2,2
𝐾1 =√𝑅𝑒 + 2𝑅𝑒
2 ∗ (1 + 𝑅𝑡 + 𝑅𝑡2) + 𝑅𝑡
2 ∗ 𝑅𝑒3 − 𝑅𝑒 ∗ (1 + 𝑅𝑡)
1 + 𝑅𝑒
=√1 + 2 ∗ 1 ∗ (1 + 2,095 + 2,0952) + 2,0952 ∗ 1 − 1 ∗ (1 + 2,095)
1 + 1= 0,709
𝐾2 = −1 + √2 ∗ (1 + 𝑅𝑒) +2 ∗ 𝐹𝑓𝑓 ∗ (1 + 2 ∗ 𝑅𝑒) ∗ 𝐷
2
3 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑐 ∗ 𝑙𝑐2
= −1 + √2 ∗ (1 + 1) +2 ∗ 716 ∗ (1 + 2 ∗ 1) ∗ 3,12
3 ∗ 26,5 ∗ 442= 1,066
𝐾3 = −1 + √2 ∗ (1 + 𝑅𝑒)
𝑅𝑒+2 ∗ 𝐹𝑓𝑓 ∗ (2 + 𝑅𝑒) ∗ 𝐷
2
3 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑐 ∗ 𝑙𝑙2
= −1 + √2 ∗ (1 + 1)
1+2 ∗ 716 ∗ (2 + 1) ∗ 3,12
3 ∗ 26,5 ∗ 212= 1,276
Modo Ic:
𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 =𝐷 ∗ 𝑙𝑐 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑐
𝐹𝐴=3,1 ∗ 44 ∗ 26,5
2,2= 1.641 𝑁
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L 61
Modo Il:
𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 =𝐷 ∗ 𝑙𝑙 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑙
𝐹𝐴=3,1 ∗ 21 ∗ 26,5
2,2= 783 𝑁
Modo II:
𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 =𝐾1 ∗ 𝐷 ∗ 𝑙𝑙 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑙
𝐹𝐴=0,709 ∗ 3,1 ∗ 21 ∗ 26,5
2,2= 555 𝑁
Modo IIIc:
𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 =𝐾2 ∗ 𝐷 ∗ 𝑙𝑐 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑐(1 + 2 ∗ 𝑅𝑒)𝐹𝐴
=1,066 ∗ 3,1 ∗ 44 ∗ 26,5
(1 + 2 ∗ 1)2,2= 583 𝑁
Modo IIIl:
𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 =𝐾3 ∗ 𝐷 ∗ 𝑙𝑙 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑐(2 + 𝑅𝑒)𝐹𝐴
=1,276 ∗ 3,1 ∗ 21 ∗ 26,5
(2 + 1) ∗ 2,2= 333 𝑁
Modo IV:
𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 =𝐷2
𝐹𝐴∗ √
2 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑐 ∗ 𝐹𝑓𝑓
3 ∗ (1 + 𝑅𝑒)=3,12
2,2∗ √
2 ∗ 26,5 ∗ 716
3 ∗ (1 + 1)= 347 𝑁
𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 = 𝑀í𝑛(1.641; 783; 555; 583; 333; 347) = 333 𝑁
𝑃𝑒𝑙,𝑑𝑖𝑠 = 𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 ∗ 𝑘𝑑 = 333 ∗ 1,25 = 416 𝑁
𝑛𝑟𝑒𝑞 =𝑇1,𝑒𝑓
𝑃𝑒𝑙,𝑑𝑖𝑠=2.420
416= 5,81 < 𝑛𝑒𝑓 = 8
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
62 I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L
Traspaso del flujo de acoplamiento.
La dualidad del flujo de cizalle genera un flujo de cizalle que a su vez induce una fuerza de
acoplamiento que debe ser adecuadamente neutralizada
𝑎 =𝑡𝑒𝑓
2=29,0
2= 14,5 𝑁 𝑚𝑚⁄
Fuerza de acoplamiento
𝑇1,𝑒𝑓 = 𝑎 ∗ ℎ𝐷 ∗ √2 = 14,5 ∗ 118 ∗ √2 = 2.418 𝑁
Las tablas del alma se clavan entre sí mediante 9 clavos de 2” en los cruces inmediatamente
adyacentes a los cordones.
Verificación de la cantidad de clavos requerida, clavo 50 x 2,8 mm,
𝐷 = 2,8 𝑚𝑚
𝑙𝑐𝑙 = 50 𝑚𝑚
𝑙𝑙 = 𝑏𝑎 = 21 𝑚𝑚
lc = mín(p= lcl -ba = 50-21= 29 mm;ba = 21mm) = 21mm
Como D < 6,4 mm, según NCh 1198, sección 9.6.2.3:
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L 63
𝐹𝑓𝑓 = 896 − 58 ∗ 𝐷 = 896 − 58 ∗ 2,8 = 734 𝑀𝑃𝑎
Modos de fluencia:
𝑅𝑒 =𝑅𝑎𝑝,𝑐
𝑅𝑎𝑝,𝑙=26,5
26,5= 1
𝑅𝑡 =𝑙𝑐𝑙𝑙=21
21= 1
De NCh 1198, sección 9.6.2.1, tabla 36
Kd=2,2 para D < 4,3 mm
Luego, para D < 6,4 mm ⇒ FA=Kd ⇒ FA=2,2
𝐾1 =√𝑅𝑒 + 2𝑅𝑒
2 ∗ (1 + 𝑅𝑡 + 𝑅𝑡2) + 𝑅𝑡
2 ∗ 𝑅𝑒3 − 𝑅𝑒 ∗ (1 + 𝑅𝑡)
1 + 𝑅𝑒
=√1 + 2 ∗ 1 ∗ (1 + 1 + 1) + 1 ∗ 1 − 1 ∗ (1 + 1)
1 + 1= 0,414
𝐾2 = −1 + √2 ∗ (1 + 𝑅𝑒) +2 ∗ 𝐹𝑓𝑓 ∗ (1 + 2 ∗ 𝑅𝑒) ∗ 𝐷
2
3 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑐 ∗ 𝑙𝑐2
= −1 + √2 ∗ (1 + 1) +2 ∗ 734 ∗ (1 + 2 ∗ 1) ∗ 2,82
3 ∗ 26,5 ∗ 212= 1,233
𝐾3 = −1 + √2 ∗ (1 + 𝑅𝑒)
𝑅𝑒+2 ∗ 𝐹𝑓𝑓 ∗ (2 + 𝑅𝑒) ∗ 𝐷
2
3 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑐 ∗ 𝑙𝑙2
= −1 + √2 ∗ (1 + 1)
1+2 ∗ 734 ∗ (2 + 1) ∗ 2,82
3 ∗ 26,5 ∗ 212= 1,233
Modo Ic:
𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 =𝐷 ∗ 𝑙𝑐 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑐
𝐹𝐴=2,8 ∗ 21 ∗ 26,5
2,2= 707 𝑁
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
64 I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L
Modo Il:
𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 =𝐷 ∗ 𝑙𝑙 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑙
𝐹𝐴=2,8 ∗ 21 ∗ 26,5
2,2= 707 𝑁
Modo II:
𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 =𝐾1 ∗ 𝐷 ∗ 𝑙𝑙 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑙
𝐹𝐴=0,414 ∗ 2,8 ∗ 21 ∗ 26,5
2,2= 293 𝑁
Modo IIIc:
𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 =𝐾2 ∗ 𝐷 ∗ 𝑙𝑐 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑐(1 + 2 ∗ 𝑅𝑒)𝐹𝐴
=1,233 ∗ 2,8 ∗ 21 ∗ 26,5
(1 + 2 ∗ 1)2,2= 291 𝑁
Modo IIIl:
𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 =𝐾3 ∗ 𝐷 ∗ 𝑙𝑙 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑐(2 + 𝑅𝑒)𝐹𝐴
=1,233 ∗ 2,8 ∗ 21 ∗ 26,5
(2 + 1) ∗ 2,2= 291 𝑁
Modo IV:
𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 =𝐷2
𝐹𝐴∗ √
2 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑐 ∗ 𝐹𝑓𝑓
3 ∗ (1 + 𝑅𝑒)=2,82
2,2∗ √
2 ∗ 26,5 ∗ 734
3 ∗ (1 + 1)= 287 𝑁
𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 = 𝑀í𝑛(707; 707; 293; 291; 291; 287) = 287 𝑁
𝑃𝑒𝑙,𝑑𝑖𝑠 = 𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 ∗ 𝐾𝐷 = 287 ∗ 1,25 = 359 𝑁
𝑛𝑟𝑒𝑞 =𝑇1,𝑒𝑓
𝑃𝑒𝑙,𝑑𝑖𝑠=2.420
359= 6,7 < 𝑛𝑒𝑓 = 9
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L 65
Verificación del entablado del alma
𝑇 = 𝐶 = ±𝑡𝑒𝑓
2 ∗ 𝑐𝑜𝑠𝛼∗
𝑏
𝑠𝑒𝑛𝛼= ±
𝑡𝑒𝑓 ∗ 𝑏
𝑠𝑒𝑛(2 ∗ 𝛼)
Como en este caso 𝛼 = 45°
𝑇 = 𝐶 = ±𝑡𝑒𝑓 ∗ ℎ𝐷 = 29,0 ∗ 118 = 3.420 𝑁
𝑓𝑡 = 𝑓𝑐 =𝐶 ó 𝑇
𝑏 ∗ ℎ=
3.420
21 ∗ 118= 1,38 𝑀𝑃𝑎
Propiedades mecánicas admisibles asociadas al grado G2, NCh 1198, Tabla 4 b
𝐹𝑐𝑝 = 6,5 𝑀𝑃𝑎
𝐹𝑡𝑝 = 4,0 𝑀𝑃𝑎 (Aplicable sobre piezas de altura no superior a 90 mm)
𝐸 = 8.900 𝑀𝑃𝑎 (Aplicable sobre piezas de altura ≥ 180 mm)
𝑐 = 0,80
Verificación diagonales traccionadas
𝐹𝑡𝑝,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑡𝑝 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾𝐻 ∗ 𝐾ℎ = 4,0 ∗ 1,25 ∗ 1 ∗ √90
118
5
= 4,74 𝑀𝑃𝑎 > 𝑓𝑡
Verificación diagonales comprimidas
Determinación del factor de modificación por esbeltez, NCh 1198 Sección 7.3.1.2 Tabla 16,
Caso 4
𝐿𝑝 =𝐻 − 2(ℎ1 + ℎ𝐷 ∗ 𝑠𝑒𝑛𝛼)
𝑠𝑒𝑛𝛼=640 − 2 ∗ (115 + 118 ∗ 𝑠𝑒𝑛45°)
𝑠𝑒𝑛45°= 344 𝑚𝑚
𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑐𝑝 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾𝐻 = 6,5 ∗ 1,25 ∗ 1 = 8,13 𝑀𝑃𝑎
𝐾ℎ,𝐸 = √ℎ
180
4
= √21
180
4
= 0,58 > 0,67
𝐸𝑑𝑖𝑠 = 𝐸 ∗ 𝐾𝐻 ∗ 𝐾ℎ,𝐸 = 8.900 ∗ 1 ∗ 0,67 = 5.963 𝑀𝑝𝑎
𝜆 =𝐿𝑝 ∗ √12
ℎ=344 ∗ √12
21= 56,7
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
66 I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L
𝐹𝑐𝐸 =3,6 ∗ 𝐸𝑑𝑖𝑠
𝜆2=3,6 ∗ 5.963
56,72= 6,67 𝑀𝑝𝑎
𝐹𝑐𝐸𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠
=6,67
8,13= 0,821
𝐴 =
𝐹𝑐𝐸𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠
∗ (1 +𝜆200) + 1
2 ∗ 𝑐=0,821 ∗ (1 +
56,7200) + 1
2 ∗ 0,8= 1,284
𝐵 =
𝐹𝑐𝐸𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠
𝑐=0,821
0,8= 1,027
𝐾𝜆 = 𝐴 − √𝐴2 − 𝐵 = 1,284 − √1,2842 − 1,027 = 0,495
𝐹𝑐𝜆,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠 ∗ 𝐾𝜆 = 8,13 ∗ 0,495 = 4,03 𝑀𝑃𝑎 > 𝑓𝑐 = 1,38 MPa
Control del pandeo fuera del plano del cordón comprimido (Eje y-y)
𝐶 = 600 𝑁 𝑚𝑚⁄
𝑠′ = 16 𝑚𝑚
Viga híbrida en laminación vertical. De Anexo C
𝐸 = 7.700 𝑀𝑃𝑎
𝐹𝑐𝑝 = 8,0 𝑀𝑃𝑎
𝐴1 = 𝑏1 ∗ ℎ1 = 65 ∗ 115 = 7.475 𝑚𝑚2
𝑎1 =𝑏12+ 𝑏𝐷 =
65
2+ 21 = 53,5 𝑚𝑚
𝑘 =𝜋2 ∗ 𝐸1 ∗ 𝐴1 ∗ 𝑠
′
𝐶 ∗ 𝐿2=𝜋2 ∗ 7.700 ∗ 7.475 ∗ 16
600 ∗ 8002= 23,7
⇒ 𝛾 =1
1 + 𝑘=
1
1 + 23,7= 0,041
𝐼1 =𝑏13 ∗ ℎ112
=653 ∗ 115
12= 2.631.823 𝑚𝑚4
𝐼𝑒𝑓 =∑(𝑛𝑖 ∗ 𝐼𝑖 + 𝛾𝑖∗𝑛𝑖
𝑛
𝑖=1
∗ 𝐴𝑖 ∗ 𝑎𝑖2) = 2 ∗ 2.631.823 + 2 ∗ 0,041 ∗ 7.475 ∗ 53,52
= 6.998.197 𝑚𝑚4
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L 67
𝑖𝑦,𝑒𝑓 = √𝐼𝑦,𝑒𝑓
2 ∗ 𝐴1= √
6.998.197
2 ∗ 7.475= 21,6 𝑚𝑚
𝜆𝑦,𝑒𝑓 =𝐿𝑝𝑦
𝑖𝑦,𝑒𝑓=800
21,6= 37
𝐹𝑐𝐸 =5 ∗ 𝐸𝑑𝑖𝑠𝜆2
=5 ∗ 7.700
372= 28,2 𝑀𝑝𝑎
𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑐𝑝 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾𝐻 = 8,0 ∗ 1,25 ∗ 1,0 = 10 𝑀𝑃𝑎
𝐹𝑐𝐸𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠
=28,2
10= 2,816
𝐴 =
𝐹𝑐𝐸𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠
∗ (1 +𝜆300
) + 1
2 ∗ 𝑐=2,816 ∗ (1 +
37300) + 1
2 ∗ 0,9= 2,313
𝐵 =
𝐹𝑐𝐸𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠
𝑐=2,816
0,9= 3,129
𝐾𝜆 = 𝐴 − √𝐴2 − 𝐵 = 2,313 − √2,3132 − 3,129 = 0,823
𝐹𝑐𝜆,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠 ∗ 𝐾𝜆 = 10 ∗ 0,823 = 8,23 𝑀𝑃𝑎 > 𝑓𝑐 = 1,38 𝑀𝑃𝑎
NOTA: el procedimiento aplicado queda levemente por el lado de la inseguridad, dado que no considera
la flexibilidad de la ligazón entre los estratos de tablas que conforman el alma.
Verificación funcionalidad
La flecha máxima no debe exceder el límite L/300.
Momento de inercia eficaz: de acuerdo con NCh 1198, sección 7.2.5.9 para el cálculo de
deformaciones se puede asumir un módulo de corrimiento mayorado.
𝐶𝛿 = 1,25 ∗ 900 = 1.125 𝑁 𝑚𝑚⁄
𝑘 =𝜋2 ∗ 𝐸1 ∗ 𝐴1 ∗ 𝑠
′
𝐶 ∗ 𝐿2=𝜋2 ∗ 9.000 ∗ 14.950 ∗ 16
1.125 ∗ 6.4002= 0,461
⇒ 𝛾 =1
1 + 𝑘=
1
1 + 0,461= 0,684
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
68 I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L
𝐼𝑒𝑓 =∑(𝑛𝑖 ∗ 𝐼𝑖 + 𝛾𝑖∗𝑛𝑖
𝑛
𝑖=1
∗ 𝐴𝑖 ∗ 𝑎𝑖2) = 4 ∗ 8.238.073 + 2 ∗ 0,684 ∗ 14.950 ∗ 262,52
= 1.443.056.396 𝑚𝑚4
Rigidez flexional
𝐸 ∗ 𝐼𝑒𝑓 = 9.000 ∗ 1.443.056.396 = 1,299 ∗ 1013 𝑁 ∗ 𝑚𝑚2
Para la configuración de cargas de la figura, la flecha a mitad de luz asciende a:
𝛿 =𝑃 ∗ 𝑐
24 ∗ 𝐸 ∗ 𝐼∗ (3 ∗ 𝑙2 − 4 ∗ 𝑐2)
Para las disposiciones de tijerales del problema:
𝛿1 =4.000 ∗ 800
24 ∗ 1,299 ∗ 1013∗ (3 ∗ 6.4002 − 4 ∗ 8002) = 1,2 𝑚𝑚
𝛿2 =4.000 ∗ 1.600
24 ∗ 1,299 ∗ 1013∗ (3 ∗ 6.4002 − 4 ∗ 1.6002) = 2,3 𝑚𝑚
𝛿3 =4.000 ∗ 2.400
24 ∗ 1,299 ∗ 1013∗ (3 ∗ 6.4002 − 4 ∗ 2.4002) = 3,1 𝑚𝑚
𝛿4 =4.000 ∗ 6.4003
48 ∗ 1,299 ∗ 1013= 1,7 𝑚𝑚
𝛿5 =5
384∗
50 ∗ 6,44
1,299 ∗ 1013= 0,8 𝑚𝑚
𝛿𝑚á𝑥 = 1,2 + 2,3 + 3,1 + 1,7 + 0,8 = 9,1 𝑚𝑚 <𝐿
300=6.400
300= 21,3 𝑚𝑚
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L 69
EJEMPLO 13: Diseño de pie derecho de una tabiquería exterior
Diseño de pie derecho de una tabiquería de pared exterior de primer piso de una vivienda de 2
pisos.
Determinar la escuadría y grado adecuados de un pie derecho de escuadría nominal de 2
pulgadas de espesor, asumiendo condiciones de servicio secas. El pie derecho tiene un largo de
2,44 m se encuentra simplemente apoyado en sus extremos y resiste cargas de peso propio:
4,8 kN, sobrecarga de servicio de techo: 2,5 kN, sobrecarga de servicio de segundo piso: 1,65
kN y momento flector debido a carga de viento 0,318 kN*m. El revestimiento brinda apoyo
lateral completo a los pies derechos en el plano de la tabiquería. Verifique el aplastamiento
ejercido por los pies derechos sobre la solera basal, construida con la misma sección del pie
derecho.
Solución:
Determinación de la combinación de cargas crítica. De NCh 1198, anexo G:
Para la componente de estado de carga de naturaleza permanente KD = 0,90
Para la componente de estado de carga de sobrecarga de techo KD = 1,25
Para la componente de estado de carga de sobrecarga de piso KD = 1,00
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
70 I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L
𝐶𝑝𝑝𝐾𝐷
=4,8
0,9= 5,33 𝑘𝑁
𝐶𝑝𝑝 + 𝐶𝑠𝑐,𝑡𝑒𝑐ℎ𝑜 + 𝐶𝑠𝑐,𝑝𝑖𝑠𝑜𝐾𝐷
=4,8 + 2,5 + 1,65
1,25= 7,16 𝑘𝑁 Crítica
𝐶𝑝𝑝 + 𝐶𝑠𝑐,𝑝𝑖𝑠𝑜𝐾𝐷
=4,8 + 1,65
1,00= 6,45 𝑘𝑁
Adicionalmente se verifica el estado de carga Cpp + Csc,piso + Mviento considerando KD=1,6
Tanteo con pieza de escuadría nominal 2 x 5 de Pino radiata, Grado C16
Largo : 2,44 m
Ancho : 115 mm (NCh 2824)
Espesor : 41 mm (NCh 2824)
Sección = ancho x espesor = 115 x 41 = 4.715 mm2
Propiedades mecánicas asociadas, NCh 1198, Tabla 4 b
𝐹𝑓 = 5,2 𝑀𝑃𝑎 (Aplicable sobre piezas de altura ≤ 90 mm)
𝐹𝑐𝑝 = 7,5 𝑀𝑃𝑎
𝐹𝑐𝑛 = 2,5 𝑀𝑃𝑎
𝐹𝑐𝑧 = 1,1 𝑀𝑃𝑎
𝐸 = 7.900 𝑀𝑃𝑎 (Aplicable sobre piezas de altura ≥ 180 mm)
𝑐 = 0,80
Factores de modificación:
Verificación de la solicitación axial crítica:
KH=1,0 (Condición de servicio seca H =12 %, NCh 1198, Sección 6.1.1)
KD=1,25 (Factor de duración de la carga, NCh 1198, Anexo G)
𝐾ℎ,𝐸 = √ℎ
180
4
= √115
180
4
= 0,894
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L 71
𝐾𝑐𝑛 = √150
𝑙
4
= √150
41
4
= 1,383
Verificación
Factor de modificación por esbeltez, NCh 1198, Sección 7.3.1.2, Tabla 16
𝐿𝑝 = 𝑘 ∗ 𝐿 = 1 ∗ 2,44 = 2,44 𝑚
NCh 1198 Sección 7.3.2.2
𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑐𝑝 ∗ 𝐾𝐻 ∗ 𝐾𝐷 = 7,5 ∗ 1,0 ∗ 1,25 = 9,38 𝑀𝑃𝑎
NCh 1198 Sección 7.1.1 y 7.2.4.2
𝐸𝑑𝑖𝑠 = 𝐸 ∗ 𝐾𝐻 ∗ 𝐾ℎ,𝐸 = 7.900 ∗ 1,0 ∗ 0,894 = 7.063 𝑀𝑃𝑎
NCh 1198 Sección 7.3.2.2
𝜆 =𝐿𝑝 ∗ √12
ℎ=2.440 ∗ √12
115= 73,5
𝐹𝑐𝐸 =3,6 ∗ 𝐸𝑑𝑖𝑠
𝜆2=3,6 ∗ 7.063
73,52= 4,71 𝑀𝑃𝑎
𝐹𝑐𝐸𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠
=4,71
9,38= 0,502
𝐴 =
𝐹𝑐𝐸𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠
∗ (1 +𝜆200
) + 1
2 ∗ 𝑐=0,502 ∗ (1 +
73,5200) + 1
2 ∗ 0,8= 1,054
𝐵 =
𝐹𝑐𝐸𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠𝑐
=0,502
0,8= 0,628
𝐾𝜆 = 𝐴 − √𝐴2 − 𝐵 = 1,054 − √1,0542 − 0,628 = 0,359
𝐹𝑐𝜆,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠 ∗ 𝐾𝜆 = 9,38 ∗ 0,359 = 3,36 𝑀𝑃𝑎
𝑓𝑐 =𝐶𝑐𝑟í𝑡𝑆
=8.950
4.715= 1,9 𝑀𝑃𝑎 < 𝐹𝑐𝜆,𝑑𝑖𝑠
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
72 I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L
Verificación aplastamiento basal
𝐹𝑐𝑛,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑐𝑛 ∗ 𝐾𝐻 ∗ 𝐾𝑐𝑛 = 2,5 ∗ 1,0 ∗ 1,383 = 3,46 𝑀𝑃𝑎
𝑓𝑐 =𝐶𝑐𝑟í𝑡ℎ ∗ 𝑙
=8.950
115 ∗ 41= 1,9 𝑀𝑃𝑎 < 𝐹𝑐𝑛,𝑑𝑖𝑠
Estado de carga que considera solicitación de viento.
𝐶 = 6,45 𝑘𝑁
𝑀 = 0,318 𝑘𝑁 ∗ 𝑚
Verificación de la solicitación axial crítica:
KH=1,0 Condición de servicio seca H ≤ 12 %, NCh 1198, Sección 6.1.1
KD=1,6 Factor de duración de la carga, NCh 1198, Anexo G
Kc=1,15 NCh 1198, Seción 6.1.3
𝐾ℎ,𝐹𝑓 = √90
115
5
= 0,952
𝐾ℎ,𝐸 = √ℎ
180
4
= √115
180
4
= 0,894
Condiciones geométricas
𝑊 =𝑒𝑠𝑝𝑒𝑠𝑜𝑟 ∗ 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎2
6=41 ∗ 1152
6= 90.371 𝑚𝑚3
𝐼 =𝑒𝑠𝑝𝑒𝑠𝑜𝑟 ∗ 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎3
12=41 ∗ 1153
12= 5.196.323 𝑚𝑚3
NCh 1198 Sección 7. 2.2
𝐹𝑓𝑡,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑓 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾𝐻 ∗ 𝐾ℎ ∗ 𝐾𝑐 = 5,2 ∗ 1,6 ∗ 1 ∗ 0,952 ∗ 1,15 = 9,11 𝑀𝑃𝑎
𝐹𝑓𝑐,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑓 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾𝐻 ∗ 𝐾𝜆𝑣 ∗ 𝐾𝑐 = 5,2 ∗ 1,6 ∗ 1 ∗ 1 ∗ 1,15 = 9,57 𝑀𝑃𝑎
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L 73
NCh 1198 Sección 7.3.2.2
𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑐𝑝 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾𝐻 = 7,5 ∗ 1,6 ∗ 1,0 = 12,0 𝑀𝑃𝑎
NCh 1198 Sección 7.1.1 y 7.2.4.2
𝐸𝑑𝑖𝑠 = 𝐸 ∗ 𝐾𝐻 ∗ 𝐾ℎ,𝐸 = 7.900 ∗ 1,0 ∗ 0,894 = 7.063 𝑀𝑃𝑎
𝜆 = 73,5
𝐹𝑐𝐸 = 4,71 𝑀𝑃𝑎
𝐹𝑐𝐸𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠
=4,71
12= 0,392
𝐴 =
𝐹𝑐𝐸𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠
∗ (1 +𝜆200
) + 1
2 ∗ 𝑐=0,392 ∗ (1 +
73,5200
) + 1
2 ∗ 0,8= 0,96
𝐵 =
𝐹𝑐𝐸𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠𝑐
=0,392
0,8= 0,49
𝐾𝜆 = 𝐴 − √𝐴2 − 𝐵 = 0,96 − √0,962 − 0,49 = 0,303
𝐹𝑐𝜆,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠 ∗ 𝐾𝜆 = 12 ∗ 0,303 = 3,64 𝑀𝑃𝑎
Control de interacción compresión y flexión, NCh 1198, Sección 7.6.2
𝐹𝑐𝐸 = 4,71 𝑀𝑃𝑎
𝑓𝑐 =𝐶𝑝𝑝 + 𝐶𝑠𝑐,𝑝𝑖𝑠𝑜
𝑠𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛=6.450
4.715= 1,37 𝑀𝑃𝑎
𝑓𝑓 =𝑀
𝑊=0,318 ∗ 1.000.000
90.371= 3,52 𝑀𝑃𝑎
(𝑓𝑐
𝐹𝑐𝜆,𝑑𝑖𝑠)
2
+𝑓𝑓
(1 −𝑓𝑐𝐹𝑐𝐸
) ∗ 𝐹𝑓𝑐,𝑑𝑖𝑠
< 1,0
(1,37
3,64)2
+3,52
(1 −1,374,71) ∗ 9,57
< 1,0
0,142 + 0,519 = 0,66 < 1,0
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
74 I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L
EJEMPLO 14: Sistema de moldaje de muros
Un sistema de moldaje de muros se estructura por medio de una disposición abatida de
tableros contrachapados estructurales de Pino radiata, rigidizados por medio de costillas y
largueros de madera aserrada estructural de Pino radiata del Grado C24, según NCh 1207, de
acuerdo con el esquema de la figura. Determinar las separaciones máximas que se deben
respetar entre costillas, largueros y amarras de largueros. Estime la fuerza de tracción que
deben neutralizar las amarras. Las deformaciones laterales máximas aceptadas ascienden a
1/360 avo de la distancia entre ejes de apoyos.
Se considera el vaciado de un hormigón vibrado internamente colocado a razón de 0,91 m/h.
La temperatura del hormigón es 21° C. Para moldajes de uso repetitivo y teniendo presente
que la presión máxima del hormigón fluido es de moderada duración se considera un factor de
modificación por duración de la carga KD=1,25.
Las presiones ejercidas por el hormigón fluido sobre los moldajes se estiman de acuerdo con
las recomendaciones del American Concrete Institute, ACI, que se presentan en el Anexo J.
Los tableros contrachapados se fabrican respetando los procedimientos establecidos en la
norma U.S. Product Standard PS 1, y tienen dimensiones 1.200 x 2.400 mm, se asignan al nivel
tensional S-2 (uso de chapas Grado B en caras y trascaras y Grado C en el interior).
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L 75
Solución:
Presión del hormigón contra las superficies de los tableros (ACI):
𝑝 = 𝑀í𝑛 {7,181 +1.413,3 ∗ 𝑅
1,8 ∗ 𝑇 + 32; 95; 75; 24 ∗ ℎ}
𝑝 = 𝑀í𝑛 {7,181 +1.413,3 ∗ 0,91
1,8 ∗ 21 + 32; 95; 75; 24 ∗ 2,7}
𝑝 = 𝑀í𝑛{25,6; 95; 75; 64,8} = 25,6 𝑘𝑁/𝑚2
Para todos los materiales de madera se asumirán condiciones verdes, esto es, contenidos de
humedad superiores al 19%, dado que se trata de confinar hormigón fluido y las estructuras
quedan expuestas a la intemperie.
Para los tableros contrachapados se considera una condición de servicio verde y una
disposición con la dirección de las fibras de las chapas de cara y trascara normal a las líneas de
apoyo brindadas por las costillas.
De Anexo E, Tabla E1, para un contrachapado de Pino radiata del Grado S-2 en condición
verde:
𝐹𝑓 = 9,2 𝑀𝑃𝑎
𝐹𝑐𝑧,𝑟 = 0,3 𝑀𝑃𝑎
𝐸 = 10.400 𝑀𝑃𝑎
De Anexo E, Tabla E2 para un tablero de espesor 16 mm
𝐴𝑝 = 6.800 𝑚𝑚2 𝑚⁄
𝐼𝑝 = 241.068 𝑚𝑚4 𝑚⁄
𝐾𝑊𝑝 = 25.613 𝑚𝑚3 𝑚⁄
𝐼𝑏 𝑄⁄ = 10.667 𝑚𝑚2 𝑚⁄
Condicionante por flexión:
Se analiza el problema por metro de ancho de tablero
𝑞 = 25,6 𝑘𝑁/𝑚2 ∗ 1 𝑚 = 25,6 𝑘𝑁/𝑚 = 25,6 𝑁/𝑚𝑚
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
76 I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L
Asumiendo continuidad sobre al menos 3 tramos
𝑀 =𝑞 ∗ 𝑙2
10=25,6 ∗ 𝑙2
10= 2,56 ∗ 𝑙2 𝑁 ∗ 𝑚𝑚
𝑓𝑓 =𝑀
𝑊𝑝=2,56 ∗ 𝑙2
25.613= 𝐹𝑓,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑓 ∗ 𝐾𝐷 = 9,2 ∗ 1,25 = 11,5 𝑀𝑃𝑎
⇒ 𝑙 ≤ √25.613 ∗ 11,5
2,56= 339 𝑚𝑚
Condicionante por deformación:
𝛿 =𝑞 ∗ 𝑙4
145,25 ∗ 𝐸 ∗ 𝐼𝑝=
25,6 ∗ 𝑙4
145,25 ∗ 10.400 ∗ 241.068≤
𝑙
360
⇒ 𝑙 ≤ √145,25 ∗ 10.400 ∗ 241.068
360 ∗ 25,6
3
= 341 𝑚𝑚
𝑙𝛿 = 𝑙 − 6,4 + 𝑏 = 341 − 6,4 + 42 = 376 𝑚𝑚
Condicionante por cizalle rodante:
𝑓𝑐𝑧,𝑟 = 0,6 ∗ 𝑞 ∗ 𝑙 ∗𝑄
𝑏𝐼=0,6 ∗ 25,6 ∗ 𝑙
10.667=
𝑙
694,47≤ 𝐹𝑐𝑧𝑟,𝑑𝑖𝑠 = 0,3 ∗ 1,25 = 0,375 𝑀𝑃𝑎
⇒ 𝑙 ≤ 694,47 ∗ 0,375 = 260 𝑚𝑚
⇒ 𝑙𝑐𝑧 ≤ 𝑙 + 𝑏 = 260 + 42 = 302 𝑚𝑚
𝑎 = 𝑀í𝑛(𝑙𝑓; 𝑙𝛿; 𝑙𝑐𝑧) = 𝑀í𝑛(339; 376; 302) = 302 𝑚𝑚
Las costillas se disponen cada 300 mm
𝑎 ≈𝐿𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒𝑟𝑜 + 3
8=2.400 + 3
8= 300,4 𝑚𝑚
NOTA: se considera una separación de 3 mm entre tableros para considerar dilataciones por
humedecimiento.
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L 77
Espaciamiento máximo entre apoyos brindados a las costillas por los largueros. Costillas de
Pino radiata C24 2 x 6: 42 x 138 mm. NCh 1198, Sección 5.2.4, Tabla 4b:
Para G1 y Mejor,
𝐹𝑓 = 9,5 𝑀𝑃𝑎
𝐹𝑐𝑧 = 1,1 𝑀𝑃𝑎
𝐹𝑐𝑛 = 2,5 𝑀𝑃𝑎
𝐸 = 10,100 𝑀𝑃𝑎
Factores de modificación
KD=1,25
𝐾𝑐 = 1,15 (NCh 1198, Sección 6.1.3)
Condición de servicio verde. Considerar H=22% en fórmulas de KH.
𝐾𝐻,𝐹𝑡 =1,75 − 0,0333 ∗ 𝐻
1,35=1,75 − 0,0333 ∗ 22
1,35= 0,754
𝐾𝐻,𝐸 =1,44 − 0,02 ∗ 𝐻
1,2=1,44 − 0,02 ∗ 22
1,2= 0,833
𝐾𝐻,𝑐𝑧 =1,33 − 0,0167 ∗ 𝐻
1,13=1,33 − 0,0167 ∗ 22
1,13= 0,852
𝐾𝐻,𝑐𝑛 =2
3= 0,667
𝐾ℎ,𝐹𝑡 = √90
ℎ
5
= √90
138
5
= 0,918
𝐾ℎ,𝐸 = √ℎ
180
4
= √138
180
4
= 0,936
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
78 I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L
𝐹𝑓,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑓 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾𝐻 ∗ 𝐾ℎ ∗ 𝐾𝑐 = 9,5 ∗ 1,25 ∗ 0,754 ∗ 0,918 ∗ 1,15 = 9,45 𝑀𝑃𝑎
𝐸𝑑𝑖𝑠 = 𝐸 ∗ 𝐾ℎ ∗ 𝐾𝐻,𝐸 = 10.100 ∗ 0,833 ∗ 0,936 = 7.876
𝐹𝑐𝑧,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑐𝑧 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾𝐻 = 1,1 ∗ 1,25 ∗ 0,852 = 1,17 𝑀𝑃𝑎
𝐴 = 𝑏 ∗ ℎ = 42 ∗ 138 = 5.796 𝑚𝑚2
𝑊 =𝑏 ∗ ℎ2
6=42 ∗ 1382
6= 133.308 𝑚𝑚3
𝐼 =𝑏 ∗ ℎ3
12=42 ∗ 1383
12= 9.198.252 𝑚𝑚3
Considerando caso de viga continua sobre tres tramos
Condicionante por flexión
𝑞′ = 𝑞 ∗ 𝑎 = 25,6 ∗ 0,3 = 7,68 𝑘𝑁 𝑚⁄ = 7,68 𝑁 𝑚𝑚⁄
𝑀 =𝑞′ ∗ 𝑙2
10=7,68 ∗ 𝑙2
10= 0,768 ∗ 𝑙2
𝑓𝑓 =𝑀
𝑊=0,768 ∗ 𝑙2
133.308≤ 𝐹𝑓,𝑑𝑖𝑠 = 9,45 𝑀𝑃𝑎
⇒ 𝑙 ≤ √133.308 ∗ 9,45
0,768= 1.280 𝑚𝑚
Condicionante por deformación
𝛿𝑚á𝑥 =𝑞′ ∗ 𝑙4
145,23 ∗ 𝐸𝑑𝑖𝑠 ∗ 𝐼=
7,68 ∗ 𝑙4
145,25 ∗ 7.896 ∗ 9.198.252≤
𝑙
360
⇒ 𝑙 ≤ √145,25 ∗ 7.896 ∗ 9.198.252
7,68 ∗ 360
3
= 1.561 𝑚𝑚
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L 79
Condicionante por corte
𝑄𝑚á𝑥 = 0,6 ∗ 𝑞′ ∗ 𝑙𝑄 = 0,6 ∗ 7,68 ∗ 𝑙𝑄 = 4,61 ∗ 𝑙𝑄
⇒ 𝑓𝑐𝑧 =1,5 ∗ 𝑄𝑚á𝑥
𝐴=1,5 ∗ 4,61 ∗ 𝑙𝑄
5.796=
𝑙𝑄838,3
≤ 𝐹𝑐𝑧,𝑑𝑖𝑠 = 1,17 𝑀𝑃𝑎
𝑙𝑄 = 838,3 ∗ 1,17 = 982 𝑚𝑚
NCh 1198, Sección 7.2.3.2a
⇒ 𝑙 ≤ 𝑙𝑄 + 2 ∗ ℎ + 𝑏 = 982 + 2 ∗ 138 + 42 = 1.300 𝑚𝑚
De Sección 7.2.3.2a
𝑏 = 𝑀í𝑛(𝑙𝑓; 𝑙𝛿; 𝑙𝑄) = 𝑀í𝑛(1.280; 1.561; 1.300) = 1.280 𝑚𝑚
Los largueros horizontales se disponen cada 1,20 m = b
Largueros: 2 piezas de 42 x 138 mm
Verificación aplastamiento entre costillas y largueros.
𝑃𝑎𝑝 = 𝑞 ∗ 𝑎 ∗ 𝑏 = 25,6 ∗ 0,3 ∗ 1,2 = 9,216 𝑘𝑁
𝑆𝑎𝑝𝑙𝑎𝑠𝑡𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 = 𝑏 ∗ 2 ∗ 𝑏 = 42 ∗ 2 ∗ 42 = 3.528 𝑚𝑚2
𝑓𝑎𝑝 =𝑃𝑎𝑝𝑆𝑎𝑝
=9.216
3.528= 2,61 𝑀𝑃𝑎
𝐾𝑐𝑛 = √150
𝑙𝑎𝑝
4
= √150
2 ∗ 42
4
= 1,156
𝐹𝑐𝑛,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑐𝑛 ∗ 𝐾𝐻 ∗ 𝐾𝑐𝑛 = 2,5 ∗ 0,667 ∗ 1,156 = 1,93 𝑀𝑃𝑎
La tensión de aplastamiento excede en 36 % el valor de diseño. Se acepta por tratarse de una
estructura provisoria en la que los aplastamientos no comprometen la seguridad y la
funcionalidad.
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
80 I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L
Aun cuando en estricto rigor la descarga de las costillas sobre los largueros consiste de cargas
concentradas uniformemente espaciadas, para efectos de simplificación se asumirá que estos
últimos reciben el efecto de una carga uniformemente distribuida.
𝐴 = 2 ∗ 𝑏 ∗ ℎ = 2 ∗ 42 ∗ 138 = 11.592 𝑚𝑚2
𝑊 =2 ∗ 𝑏 ∗ ℎ2
6=2 ∗ 42 ∗ 1382
6= 266.616 𝑚𝑚3
𝐼 =2 ∗ 𝑏 ∗ ℎ3
12=2 ∗ 42 ∗ 1383
12= 18.396.504 𝑚𝑚4
Considerando caso de viga continua sobre tres tramos
Condicionante por flexión
𝑞′ = 𝑞 ∗ 𝑏 = 25,6 ∗ 1,20 = 30,7 𝑘𝑁/𝑚 = 30,7 𝑁/𝑚𝑚
⇒ 𝑀 =𝑞′′ ∗ 𝑙2
10=30,7 ∗ 𝑙2
10= 3,07 ∗ 𝑙2
𝐹𝑓,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑓 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾𝐻 ∗ 𝐾ℎ ∗ 𝐾𝑐 = 9,5 ∗ 1,25 ∗ 0,754 ∗ 0,918 ∗ 1,0 = 8,22 𝑀𝑃𝑎
𝑓𝑓 =𝑀
𝑊=3,07 ∗ 𝑙2
266.616≤ 𝐹𝑓,𝑑𝑖𝑠 = 8,22 𝑀𝑃𝑎
⇒ 𝑙 ≤ √266.616 ∗ 8,22
3,07= 844 𝑚𝑚
Condicionante por deformación
𝛿𝑚á𝑥 =𝑞′ ∗ 𝑙4
145,25 ∗ 𝐸𝑑𝑖𝑠 ∗ 𝐼=
30,7 ∗ 𝑙4
145,25 ∗ 7.876 ∗ 18.396.504≤
𝑙
360
⇒ 𝑙 ≤ √145,25 ∗ 7.876 ∗ 18.396.504
30,7 ∗ 360
3
= 1.239 𝑚𝑚
Condicionante por corte
𝑄𝑚á𝑥 = 0,6 ∗ 𝑞′′ ∗ 𝑙𝑄 = 0,6 ∗ 30,7 ∗ 𝑙𝑄 = 18,44 ∗ 𝑙𝑄
⇒ 𝑓𝑐𝑧 =1,5 ∗ 𝑄𝑚á𝑥
𝐴=1,5 ∗ 18,44 ∗ 𝑙𝑄
2 ∗ 5.796=
𝑙𝑄
419,2≤ 𝐹𝑐𝑧,𝑑𝑖𝑠 = 1,17 𝑀𝑃𝑎
𝑙𝑄 = 419,2 ∗ 1,17 = 491 𝑚𝑚
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L 81
⇒ 𝑙 ≤ 𝑙𝑄 + 𝑙𝑝𝑙𝑎𝑐𝑎 𝑎𝑝𝑜𝑦𝑜 = 491 + 150 ∗= 641 𝑚𝑚
*: Longitud de placa supuesta
𝑐 = 𝑀í𝑛(𝑙𝑓; 𝑙𝛿; 𝑙𝑄) = 𝑀í𝑛(844; 1.239; 641) = 641 𝑚𝑚
Se disponen amarras cada 640 mm = c
Fuerza de tracción sobre amarras (estimación conservadora):
𝑃 = 1,20 ∗ 𝑞′′ ∗ 𝑐 = 1,2 ∗ 30,7 ∗ 0,64 = 23,6 𝑘𝑁
Superficie de aplastamiento requerida:
Se considera que el contenido de humedad de la superficie exterior de los largueros es menor
que 20 %, por lo que,
𝐹𝑐𝑛,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑐𝑛 = 2,5 𝑀𝑃𝑎
𝑆 =𝑃
𝐹𝑐𝑛,𝑑𝑖𝑠=23,6 ∗ 103
2,5= 9.440 𝑚𝑚2
Dado que el ancho de aplastamiento asciende a 2 x b = 2 x 42 mm = 84 mm
𝑙𝑝𝑙𝑎𝑐𝑎 𝑎𝑝𝑜𝑦𝑜 ≥𝑆
2 ∗ 𝑏=9.440
2 ∗ 42= 112,4 𝑚𝑚
Se especifica una placa de apoyo de acero de 85 mm x 150 mm x 15 mm.
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
82 I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L
EJEMPLO 15: Moldaje losa
Determinación las separaciones máximas a, b y c que se deben respetar entre costillas (42 x
138 mm), largueros (2 piezas adosadas de 42 x 185 mm) y columnas (94 x 94 mm) para el
moldaje de losa y alzaprimado de la figura. La losa tiene un espesor de 200 mm y corresponde
al segundo nivel de una vivienda. El radier de primer piso aún no se ha hormigonado de
manera que las columnas se deben apoyar sobre tablones (57 x 235 mm) que a su vez se
apoyan sobre un relleno granular compactado de grano fino con una capacidad de soporte de
100 kN/m2, cuya longitud mínima se debe determinar. La distancia desde la superficie de
relleno y el nivel superior de losa es de 3,00 m. Para el hormigonado se contempla el uso de
equipos de transporte no motorizados.
La carga inducida por el hormigón fluido sobre el moldaje se estima de acuerdo con las
recomendaciones del ACI indicadas en el Anexo J y se asume una duración efectiva de la carga
de 7 días por cada uso de los elementos constitutivos del sistema. Para la madera aserrada de
costillas y largueros y para los tableros se consideran 10 usos, mientras que para las columnas
50 usos. Peso de moldajes asumido: 0,50 kN/m2.
Las piezas de madera aserrada estructural de Pino radiata corresponden a piezas cepilladas del
Grado Mecánico C24, excepto los cuartones, que son aserrados en bruto y del Grado G2 según
NCh 1207; Los tableros contrachapados de espesor 18 mm se fabrican también de Pino Radiata
respetando los procedimientos establecidos en la norma U.S. Product Standard PS 1, y tienen
dimensiones 1.200 x 2.400 mm, se asignan al nivel tensional S-2 (uso de chapas Grado B en
caras y trascaras y Grado C en el interior).
La deformación de las componentes que funcionan como vigas no debe exceder 1/360 avo de
la distancia entre apoyos.
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L 83
La solución debe considerar adicionalmente el diseño de un sistema de estabilización
horizontal del enmaderado, el que no se solicita en este ejercicio.
Solución:
Estimación de solicitaciones:
Losa : 𝑞 = 26 ∗ 0,20 + 2,4 = 7,6 𝑘𝑁 𝑚2⁄
Moldajes : 0,5 𝑘𝑁 𝑚2⁄
Carga total : 8,1 𝑘𝑁 𝑚2⁄
Para todos los tableros contrachapados y costillas se asumirán condiciones verdes, esto es,
contenidos de humedad superiores al 19%, mientras que para largueros y cuartones se
considera un contenido de humedad 18%.
Separación máxima entre líneas de apoyo de tableros (costillas de 42 x 90 mm)
Para una franja de moldaje de ancho unitario: 𝑞𝑡𝑜𝑡 𝑚⁄ = 8,1 ∗ 1,0 = 8,1 𝑘𝑁 𝑚⁄
Para los tableros contrachapados se considera una condición de servicio verde y una
disposición con la dirección de las fibras de las chapas de cara y trascara normal a las líneas de
apoyo brindadas por las costillas.
De Anexo E Tabla E1, para tableros de Pino radiata del Grado S-2 en condición verde
𝐹𝑓 = 9,2 𝑀𝑃𝑎
𝐹𝑐𝑧,𝑟 = 0,3 𝑀𝑃𝑎
𝐸 = 10.400 𝑀𝑃𝑎
y para el espesor 18 mm, de anexo E, Tabla E2
𝐾𝑊𝑝 = 32.927 𝑚𝑚3 𝑚⁄
𝐼𝑝 = 348.638 𝑚𝑚4 𝑚⁄
𝐼𝑏 𝑆𝑝⁄ = 12.000 𝑚𝑚2 𝑚⁄
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
84 I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L
Control tensional:
Flexión:
𝐾𝐷: 10 𝑢𝑠𝑜𝑠 ∗ 7 𝑑í𝑎𝑠 = 70 𝑑í𝑎𝑠 = 6.048.000 𝑠
De NCh 1198, Sección 6.1.2
𝐾𝐷 =1,747
6.048.0000,0464+ 0,295 = 1,141
𝐹𝑓,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑓 ∗ 𝐾𝐷 = 9,2 ∗ 1,141 = 10,5 𝑀𝑃𝑎
𝑀𝑑𝑖𝑠 𝑚⁄ = 𝐹𝑓,𝑑𝑖𝑠 ∗ 𝑘𝑊𝑝 = 10,5 ∗ 32.927 = 345.792 𝑁 ∗ 𝑚𝑚
Asumiendo para los tableros funcionamiento de viga continua sobre al menos 3 tramos
𝑀𝑒𝑓 𝑚⁄ =𝑞𝑡𝑜𝑡 ∗ 𝑙
2
10=8,1 ∗ 𝑙2
10= 0,81 ∗ 𝑙2
𝑀𝑑𝑖𝑠 𝑚⁄ = 𝑀𝑒𝑓 𝑚⁄
⇒ 𝑙 = √345.792
0,81= 653 𝑚𝑚
Control funcional:
𝛿𝑚á𝑥 =𝑞 ∗ 𝑙3
4
145,25 ∗ 𝐸𝑑𝑖𝑠 ∗ 𝐼𝑝=
8,1 ∗ 𝑙34
145,25 ∗ 10.400 ∗ 349.638=
𝑙34
65,2 ∗ 109≤
𝑙3360
⇒ 𝑙3 ≤ √65,2 ∗ 109
360
3
= 565 𝑚𝑚
𝑙 = 𝑙3 − 6,4 + 𝑏 = 565 − 6,4 + 42 = 601 𝑚𝑚
Control cizalle rodante
Considerando caso de viga continua sobre tres tramos
𝑄𝑑𝑖𝑠 𝑚⁄ = 0,6 ∗ 𝑞 ∗ 𝑙2 = 0,6 ∗ 8,1 ∗ 𝑙2 = 4,86 ∗ 𝑙2
𝑓𝑐𝑧 𝑚⁄ = (𝑄𝑑𝑖𝑠 𝑚⁄ ) (𝐼 ∗ 𝑏 𝑆⁄ )𝑝⁄ = (4,86 ∗ 𝑙2) 12.000⁄ = 𝑙2 2.469⁄
(𝑓𝑐𝑧 𝑚⁄ ) ≤ 𝐹𝑐𝑧,𝛾,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑐𝑧,𝛾 ∗ 𝐾𝐷 = 0,3 ∗ 1,141 = 0,342 𝑀𝑃𝑎
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L 85
⇒ 𝑙2 ≤ 2.469 ∗ 0,342 = 846 𝑚𝑚
𝑙 = 𝑙2 + 𝑏 = 846 + 42 = 888 𝑚𝑚
𝑎 = 𝑀í𝑛(𝑙𝑓; 𝑙𝛿; 𝑙𝑐𝑧) = 𝑀í𝑛(653; 601; 888) = 601 𝑚𝑚
Las costillas se disponen en los puntos cuartos de la longitud de los tableros, esto es, cada 600
mm,
⇒𝑎 ≈𝐿𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒𝑟𝑜+3
4=
2.400+3
4= 601 𝑚𝑚
NOTA: se considera una separación de 3 mm entre tableros para considerar dilataciones por
humedecimiento.
Separación máxima entre apoyos de costillas (largueros de 2 / 42 x 138 mm)
Para piezas de Pino radiata C24 de escuadría 42 x 138 mm en condición verde:
𝐹𝑓 = 9,3 𝑀𝑃𝑎
𝐹𝑐𝑧 = 1,1 𝑀𝑃𝑎
𝐹𝑐𝑛 = 2,5 𝑀𝑃𝑎
𝐸 = 10.200 𝑀𝑃𝑎
𝐾𝐷 = 1,141
Condición de servicio verde ⇒ considerar H=22% en fórmulas de KH.
𝐾𝐻,𝐹𝑡 =1,75 − 0,0333 ∗ 𝐻
1,35=1,75 − 0,0333 ∗ 22
1,35= 0,754
𝐾𝐻,𝐸 =1,44 − 0,02 ∗ 𝐻
1,2=1,44 − 0,02 ∗ 22
1,2= 0,833
𝐾𝐻,𝑐𝑧 =1,33 − 0,0167 ∗ 𝐻
1,13=1,33 − 0,0167 ∗ 22
1,13= 0,852
𝐾𝐻,𝑐𝑛 =2
3= 0,667
𝐾ℎ,𝐹𝑡 = √90
ℎ
5
= √90
138
5
= 0,918
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
86 I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L
𝐾ℎ,𝐸 = √ℎ
180
4
= √138
180
4
= 0,936
𝐾𝑐 = 1,15 (Las costillas se disponen cada 600 mm < 610 mm y quedan vinculadas entre
sí por los tableros: NCh 1198, Sección 6.1.3)
𝐹𝑓,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑓 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾𝐻 ∗ 𝐾ℎ ∗ 𝐾𝑐 = 9,3 ∗ 1,141 ∗ 0,754 ∗ 0,918 ∗ 1,15 = 8,45 𝑀𝑃𝑎
𝐸𝑑𝑖𝑠 = 𝐸 ∗ 𝐾𝐻 ∗ 𝐾𝐻,𝐸 = 10.200 ∗ 0,833 ∗ 0,936 = 7.954 𝑀𝑃𝑎
𝐹𝑐𝑧,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑐𝑧 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾𝐻 = 1,1 ∗ 1,141 ∗ 0,852 = 1,07 𝑀𝑃𝑎
Considerando caso de viga continua sobre tres tramos
𝐴 = 𝑏 ∗ ℎ = 42 ∗ 138 = 5.796 𝑚𝑚2
𝑊 =𝑏 ∗ ℎ2
6=42 ∗ 1382
6= 133.308 𝑚𝑚3
𝐼 =𝑏 ∗ ℎ3
12=42 ∗ 1383
12= 9.198.252 𝑚𝑚4
𝑞′ = 𝑞 ∗ 𝑎 = 8,1 ∗ 0,601 = 4,87 𝑘𝑁 𝑚⁄ = 4,87 𝑁 𝑚⁄
Condicionante por flexión:
𝑀 =𝑞′ ∗ 𝑙2
10=4,87 ∗ 𝑙2
10= 0,487 ∗ 𝑙2
⇒ 𝑓𝑓 =𝑀
𝑊=0,487 ∗ 𝑙2
133.308=
𝑙2
273.951≤ 𝐹𝑓,𝑑𝑖𝑠 = 8,45 𝑀𝑃𝑎
⇒ 𝑙 ≤ √273.951 ∗ 8,45 = 1.521 𝑚𝑚
Condicionante por deformación
𝛿𝑚á𝑥 =𝑞′ ∗ 𝑙4
145,25 ∗ 𝐸𝑑𝑖𝑠 ∗ 𝐼=
4,87 ∗ 𝑙4
145,25 ∗ 7.954 ∗ 9.198.252=
𝑙4
2,184 ∗ 1012≤
𝑙
360
⇒ 𝑙 ≤ √2,184 ∗ 1012
360
3
= 1.824 𝑚𝑚
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L 87
Condicionante por corte
𝑄𝑚á𝑥 = 0,6 ∗ 𝑞′ ∗ 𝑙𝑄 = 0,6 ∗ 4,87 ∗ 𝑙𝑄 = 2,92 ∗ 𝑙𝑄
⇒ 𝑓𝑐𝑧 =1,5 ∗ 𝑄𝑚á𝑥
𝐴=1,5 ∗ 2,92 ∗ 𝑙𝑄
5.796=
𝑙𝑄1.323
≤ 𝐹𝑐𝑧,𝑑𝑖𝑠 = 1,07 𝑀𝑃𝑎
𝑙𝑄 = 1.323 ∗ 1,07 = 1.416 𝑚𝑚
⇒ 𝑙 ≤ 𝑙𝑄 + 2 ∗ (ℎ + 𝑏) = 1.416 + 2 ∗ (138 + 42) = 1.734 𝑚𝑚
𝑏 = 𝑀í𝑛(𝑙𝑓; 𝑙𝛿; 𝑙𝑄) = 𝑀í𝑛(1.521; 1.824; 1.734) = 1.521 𝑚𝑚
Los largueros se disponen cada 1.500 mm = b
Largueros: 2 piezas de 42*138 mm
Verificación aplastamiento entre costillas y largueros.
𝑃𝑎𝑝 = 𝑞 ∗ 𝑎 ∗ 𝑏 = 8,1 ∗ 0,601 ∗ 1,5 = 7,302 𝑘𝑁
𝑆𝑎𝑝𝑙𝑎𝑠𝑡𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 = 𝑏 ∗ 2 ∗ 𝑏 = 42 ∗ 2 ∗ 42 = 3.528 𝑚𝑚2
𝑓𝑎𝑝 =𝑃𝑎𝑝𝑆𝑎𝑝
=7,302 ∗ 103
3.528= 2,07 𝑀𝑃𝑎
𝐾𝑐𝑛 = √150
𝑙𝑎𝑝
4
= √150
2 ∗ 42
4
= 1,156
𝐹𝑐𝑛,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑐𝑛 ∗ 𝐾𝐻 ∗ 𝐾𝑐𝑛 = 2,5 ∗ 0,667 ∗ 1,156 = 1,93 𝑀𝑃𝑎
La tensión de aplastamiento excede en 7 % el valor de diseño, lo que es aceptable, dado que
en esta aplicación la hipótesis de condición verde para esta superficie resulta excesivamente
conservadora.
Separación máxima entre apoyos de largueros (columnas de 94 x 94 mm).
Se considera un adosamiento de dos piezas de sección 42*185 mm.
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
88 I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L
Considerando caso de viga continua sobre dos tramos:
𝐴 = 2 ∗ 𝑏 ∗ ℎ = 2 ∗ 42 ∗ 185 = 15.540 𝑚𝑚2
𝑊 =2 ∗ 𝑏 ∗ ℎ2
6=2 ∗ 42 ∗ 1852
6= 479.150 𝑚𝑚3
𝐼 =2 ∗ 𝑏 ∗ ℎ3
12=2 ∗ 42 ∗ 1853
12= 44.321.375 𝑚𝑚4
Contenido de humedad H=18%
𝐾𝐻,𝑓 =1,75 − 0,0333 ∗ 𝐻
1,35=1,75 − 0,0333 ∗ 18
1,35= 0,852
𝐾𝐻,𝐸 =1,44 − 0,02 ∗ 𝐻
1,2=1,75 − 0,02 ∗ 18
1,2= 0,9
𝐾𝐻,𝑐𝑧 =1,33 − 0,0167 ∗ 𝐻
1,13=1,33 − 0,0167 ∗ 18
1,13= 0,911
KH ,cn =1
𝐾ℎ,𝐹𝑡 = √90
ℎ
5
= √90
185
5
= 0,866
𝐾ℎ,𝐸 = 1
𝐹𝑓,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑓 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾𝐻 ∗ 𝐾ℎ ∗ 𝐾𝑐 = 9,3 ∗ 1,141 ∗ 0,852 ∗ 0,866 = 7,83 𝑀𝑃𝑎
𝐸𝑑𝑖𝑠 = 𝐸 ∗ 𝐾𝐻 ∗ 𝐾ℎ = 10.200 ∗ 0,9 ∗ 1 = 9.180 𝑀𝑃𝑎
𝐹𝑐𝑧,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑐𝑧 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾𝐻 = 1,1 ∗ 1,141 ∗ 0,911 = 1,14 𝑀𝑃𝑎
Condicionante por flexión
𝑞′′ = 𝑞 ∗ 𝑏 = 8,1 ∗ 1,5 = 12,15 𝑘𝑁 𝑚⁄ = 12,15 𝑁 𝑚𝑚⁄
𝑀 =𝑞′′ ∗ 𝑙2
8=12,15 ∗ 𝑙2
8= 1,519 ∗ 𝑙2
⇒ 𝑓𝑓 =𝑀
𝑊=1,519 ∗ 𝑙2
479.150=
𝑙2
315.490≤ 𝐹𝑓,𝑑𝑖𝑠 = 7,83 𝑀𝑃𝑎
⇒ 𝑙 ≤ √315.490 ∗ 7,83 = 1.572 𝑚𝑚
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L 89
Condicionante por deformación
𝛿𝑚á𝑥 =𝑞′′ ∗ 𝑙4
184,6 ∗ 𝐸𝑑𝑖𝑠 ∗ 𝐼=
12,15 ∗ 𝑙4
184,6 ∗ 9.180 ∗ 44.321.375=
𝑙4
6,182 ∗ 1012≤
𝑙
360
⇒ 𝑙 ≤ √6,182 ∗ 1012
360
3
= 2.580 𝑚𝑚
Condicionante por corte
𝑄𝑚á𝑥 = 0,6 ∗ 𝑞′′ ∗ 𝑙𝑄 = 0,6 ∗ 12,15 ∗ 𝑙𝑄
⇒ 𝑓𝑐𝑧 =1,5 ∗ 𝑄𝑚á𝑥
𝐴=1,5 ∗ 7,29 ∗ 𝑙𝑄
15.540=
𝑙𝑄1.421
≤ 𝐹𝑐𝑧,𝑑𝑖𝑠 = 1,14 𝑀𝑃𝑎
𝑙𝑄 = 1.421 ∗ 1,14 = 1.626 𝑚𝑚
⇒ 𝑙 ≤ 𝑙𝑄 + 2 ∗ ℎ + 𝑏 = 1.626 + 2 ∗ 185 + 42 = 2.038 𝑚𝑚
𝑐 = 𝑀í𝑛(𝑙𝑓; 𝑙𝛿; 𝑙𝑄) = 𝑀í𝑛(1.572; 2.580; 2.038) = 1.572 𝑚𝑚
Los largueros se apoyan cada 1,50 m
Capacidad de carga de columnas 94 x 94 mm
𝑆 = 𝑏 ∗ ℎ = 94 ∗ 94 = 8.836 𝑚𝑚2
Pino radiata Grado G2, NCh 1198, Sección 5.2.4, Tabla 4b
𝐹𝑐𝑝 = 6,5 𝑀𝑃𝑎
𝐸 = 8.900 𝑀𝑃𝑎
𝑐 = 0,8
𝐾ℎ,𝐸 = √ℎ
180
4
= √94
180
4
= 0,850
𝐾𝐻,𝑐𝑝 =2,75 − 0,0833 ∗ 𝐻
1,75=2,75 − 0,0833 ∗ 18
1,75= 0,715
𝐾𝐻,𝐸 =1,44 − 0,02 ∗ 𝐻
1,2=1,44 − 0,02 ∗ 18
1,2= 0,9
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
90 I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L
𝐾𝐻,𝑐𝑛 = 1
𝐾𝐷: 50 usos * 7 días = 350 días = 30.240.000 s
𝐾𝐷 =1,747
30.240.0000,0464+ 0,295 = 1,081
𝐾𝑐𝑛 = √150
𝑙
4
= √150
94
4
= 1,124
𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑐𝑝 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾𝐻 = 6,5 ∗ 1,081 ∗ 0,715 = 5,02 𝑀𝑃𝑎
𝐸𝑑𝑖𝑠 = 𝐸 ∗ 𝐾𝐻 ∗ 𝐾ℎ = 8.900 ∗ 0,9 ∗ 0,85 = 6.809 𝑀𝑃𝑎
𝐹𝑐𝑛,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑐𝑛 ∗ 𝐾𝑐𝑛 = 2,5 ∗ 1 ∗ 1,124 = 2,81 𝑀𝑃𝑎 (En los apoyos contra largueros y tableros
basales)
𝑙𝑝 = 𝑁𝑆𝐿 ∗∗ −(𝑡𝑡𝑎𝑏𝑙ó𝑛 𝑏𝑎𝑠𝑎𝑙 + 𝑡𝑙𝑜𝑠𝑎 + 𝑡𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒𝑟𝑜 + ℎ𝑐𝑜𝑠𝑡𝑖𝑙𝑙𝑎 + ℎ𝑙𝑎𝑟𝑔𝑢𝑒𝑟𝑜)
**: NSL = nivel superior losa
𝑙𝑝 = 3,0 − (0,05 + 0,20 + 0,018 + 0,138 + 0,185) = 2,409 𝑚
𝜆 =𝑙𝑝 ∗ √12
𝑏=2.409 ∗ √12
94= 88,8
𝐹𝑐𝐸 =3,6 ∗ 𝐸𝑑𝑖𝑠
𝜆2=3,6 ∗ 6.809
88,82= 3,11 𝑀𝑃𝑎
𝐹𝑐𝐸𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠
=3,11
5,02= 0,62
𝐴 =
𝐹𝑐𝐸𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠
∗ (1 +𝜆200) + 1
2 ∗ 𝑐=0,62 ∗ (1 +
88,8200) + 1
2 ∗ 0,8= 1,184
𝐵 =
𝐹𝑐𝐸𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠𝑐
=0,62
0,8= 0,775
𝐾𝜆 = 𝐴 − √𝐴2 − 𝐵 = 1,184 − √1,1842 − 0,775 = 0,392
𝐹𝑐𝜆,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠 ∗ 𝐾𝜆 = 5,02 ∗ 0,392 = 1,97 𝑀𝑃𝑎
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L 91
𝐶𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑐𝜆,𝑑𝑖𝑠 ∗ 𝐴 = 1,97 ∗ 8.836 = 17.381 𝑁
por efecto de viga continua se asume
𝐶𝑒𝑓 = 1,2 ∗ 𝑞′′ ∗ 𝑐 = 1,2 ∗ 12,15 ∗ 1,50 = 21,87 𝑘𝑁 > 𝐶𝑑𝑖𝑠
La distancia entre cuartones debe reducirse a
𝑐 =𝐶𝑑𝑖𝑠𝑞′′
=17.381
12,15= 1.431 𝑚𝑚⇒ 1.40 𝑚
Control aplastamiento
En el apoyo de largueros sobre columnas:
𝑆𝑎𝑝 = 𝑏𝑐𝑜𝑙 ∗ (2 ∗ 𝑏𝑙𝑎𝑟𝑔𝑢𝑒𝑟𝑜𝑠) = 94 ∗ 2 ∗ 42 = 7.896 𝑚𝑚2
𝐶𝑎𝑝 = 𝑆𝑎𝑝 ∗ 𝐹𝑐𝑛,𝑑𝑖𝑠 = 7.896 ∗ 2,81 = 22.188 𝑁 = 22,2 𝑘𝑁 > 𝐶𝑑𝑖𝑠
En el tablón de apoyo basal
𝑆𝑎𝑝 = 𝑏𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎2 = 942 = 8.836 𝑚𝑚2 > 𝑆𝑎𝑝,𝑙𝑎𝑟𝑔𝑢𝑒𝑟𝑜𝑠
Longitud requerida de tablones de apoyo de columnas:
𝑏𝑡𝑎𝑏𝑙ó𝑛 = 235 𝑚𝑚 = 0,235 𝑚 ⇒ 𝐿𝑟𝑒𝑞 =𝐶𝑑𝑖𝑠
𝑏𝑡𝑎𝑏𝑙ó𝑛 ∗ 𝐹𝑎𝑝,𝑟𝑒𝑙𝑙𝑒𝑛𝑜=
17,381
0,235 ∗ 100= 0,74 𝑚
Se especifican tablones de 75 cm de largo como bases de apoyo.
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
92 I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L
EJEMPLO 16: Diseño de unión con pasadores
Determinar la carga admisible de la unión con pasadores Ø12*160 mm esquematizada en
Figura considerando las dos disposiciones, a y b.
Considere que la unión consiste de piezas de madera laminada encolada de Pino radiata
elaborada con láminas Grado A con un contenido de humedad H = 12 %.
Solución:
Capacidad de carga de los pasadores
Para el Pino radiata, NCh 1198, Anexo E:
𝜌0 = 450 𝐾𝑔 𝑚3⁄ ⇒ En todos los maderos
NCh 1198, sección 9.6.2.2.1, como D ≥ 6,4mm, se tiene:
Pieza central,
𝑏𝑐 = 𝑙𝑐 = 70 𝑚𝑚
Desangulación solicitación pasadores con respecto a la dirección de la fibra,
𝛼𝑐 = 90°
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L 93
𝑅𝑎𝑝,𝑛 =212 ∗ (𝜌0 1.000⁄ )1,45
√𝐷=212 ∗ (450 1.000⁄ )1,45
√12= 19,2 𝑀𝑃𝑎
Piezas laterales,
𝑏𝑙 = 𝑙𝑙 = 42 𝑚𝑚
Desangulación solicitación pasadores con respecto a la dirección de la fibra,
𝛼𝑐 = 0°
𝑅𝑎𝑝,𝑝 = 77,2 ∗ (𝜌0 1.000⁄ ) = 77,2 ∗ (450 1.000⁄ ) = 34,7 𝑀𝑃𝑎
NOTA: La norma permite un incremento del 20% de las resistencias de aplastamiento cuando se
emplean pasadores. Esta cláusula se eliminará en la nueva redacción de la norma ya que no se ha
justificado experimentalmente a nivel nacional, por lo que dicho incremento no se aplicará en este
problema.
Según NCh 1198, sección 9.6.2.3, se tiene:
D=12 mm > 9,5 mm ⇒ 𝐹𝑓𝑓 = 310 𝑀𝑃𝑎
𝑅𝑒 =𝑅𝑎𝑝,𝑐𝑅𝑎𝑝,𝑙
=19,2
34,7= 0,553
Según NCh 1198, sección 9.6.2.1, tabla 36 se tiene:
Para D ≥ 6,4 mm
⇒ 𝐾𝛼 = 1 +𝛼𝑚á𝑥360
= 1 +90
360= 1,25
Según NCh 1198, sección 9.6.2.1, tabla 35 se tiene:
Por tratarse de pasadores que trabajan en cizalle doble, los modos de fluencia II y IIIc no son
aplicables.
Modo Ic:
4 ∗ 𝐾𝛼 = 𝐹𝐴
𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 =𝐷 ∗ 𝑙𝑐 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑐
4 ∗ 𝐾𝛼=12 ∗ 70 ∗ 19,2
4 ∗ 1,25= 3.230 𝑁
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
94 I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L
Modo Il:
𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 =2 ∗ 𝐷 ∗ 𝑙𝑙 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑙
4 ∗ 𝐾𝛼=2 ∗ 12 ∗ 42 ∗ 34,7
4 ∗ 1,25= 7.004 𝑁
Modo IIIl:
𝑘3 = −1 + √2 ∗ (1 + 𝑅𝑒)
𝑅𝑒+2 ∗ 𝐹𝑓𝑓 ∗ (2 + 𝑅𝑒) ∗ 𝐷
2
3 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑐 ∗ 𝑙𝑙2
= −1 + √2 ∗ (1 + 0,553)
0,553+2 ∗ 310 ∗ (2 + 0,553) ∗ 122
3 ∗ 19,2 ∗ 122= 1,803
𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 =2 ∗ 𝑘3 ∗ 𝐷 ∗ 𝑙𝑙 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑐(2 + 𝑅𝑒) ∗ 3,2 ∗ 𝐾𝛼
=2 ∗ 1,803 ∗ 12 ∗ 42 ∗ 19,2
(2 + 0,553) ∗ 3,2 ∗ 1,25= 3.420 𝑁
Modo IV:
3,2 ∗ 𝐾𝛼 = 𝐹𝐴
𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 =2 ∗ 𝐷2
3,2 ∗ 𝐾𝛼√2 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑐 ∗ 𝐹𝑓𝑓
3 ∗ (1 + 𝑅𝑒)=
2 ∗ 122
3,2 ∗ 1,25√2 ∗ 19,2 ∗ 310
3 ∗ (1 + 0,553)= 3.641 𝑁
𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 = 𝑀í𝑛(3.230; 7.004; 3.420; 3.641) = 3.230 𝑁
Duración acumulada estado de carga de 10 años (NCh 1198, Anexo G),
𝐾𝐷 = 1,0
Madera seca H=12%,
𝐾𝐻 = 1,0
𝑃𝑒𝑙,𝑑𝑖𝑠 = 𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 ∗ 𝐾𝐻 ∗ 𝐾𝐷 = 3.230 ∗ 1 ∗ 1 = 3.230 𝑁
Corrección por espaciamiento:
𝑠𝑏𝑐𝑝,𝑒𝑓 = 𝑠𝑝,𝑒𝑓 = 100 𝑚𝑚 > 𝑠𝑏𝑐𝑝 = 𝑠𝑝 = 7 ∗ 𝐷 = 7 ∗ 12 = 84 𝑚𝑚
𝑠𝑏𝑑𝑛,𝑒𝑓 = 40 𝑚𝑚 > 𝑠𝑏𝑑𝑛 = 3 ∗ 𝑑 = 3 ∗ 12 = 36 𝑚𝑚
𝑠𝑛 = 40 𝑚𝑚 > 𝑠𝑛 = 3 ∗ 𝐷 = 3 ∗ 12 = 36 𝑚𝑚
⇒ No se corrige por espaciamiento
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L 95
n = 2 ⇒ no se corrige por longitud
𝑇𝑑𝑖𝑠,𝑝𝑎𝑠𝑎𝑑𝑜𝑟𝑒𝑠 = 4 ∗ 3.230 = 12.920 𝑁
Verificación madera
Pasadores: NCh 1198, sección 7.4.3, tabla 19,
𝐾𝑐𝑡 = 0,80
𝐾𝐻 = 1,0
𝐾𝐷 = 1,0
Láminas grado A:
𝐹𝑡𝑝 = 5,6 𝑀𝑃𝑎
𝐹𝑐𝑧 = 1,1 𝑀𝑃𝑎
𝐹𝑡𝑝,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑡𝑝 ∗ 𝐾𝐻 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾𝑐𝑡 = 5,6 ∗ 1 ∗ 1 ∗ 0,8 = 4,48 𝑀𝑃𝑎
Área neta maderos laterales, Aneta:
𝐴𝑛𝑒𝑡𝑎 = 2 ∗ 𝑏1 ∗ (ℎ − 2 ∗ 𝐷𝑎𝑔𝑢𝑗) = 2 ∗ 42 ∗ (140 − 2 ∗ 12) = 9.744 𝑚𝑚2
𝑇𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑡𝑝,𝑑𝑖𝑠 ∗ 𝐴𝑛𝑒𝑡𝑎 = 4,48 ∗ 9.744 = 43.653 𝑁 > 𝑇𝑑𝑖𝑠,𝑝𝑎𝑠𝑎𝑑𝑜𝑟𝑒𝑠 = 12.920 𝑁
Desgarro hileras, piezas laterales
𝑠𝑚í𝑛 = 100 𝑚𝑚
𝑡 = 2 ∗ 𝑏𝑙 = 2 ∗ 42 = 84 𝑚𝑚
𝑇𝐷𝐻,𝑑𝑖𝑠 = 𝑛𝑖 ∗ 𝐹𝑐𝑧,𝑑𝑖𝑠 ∗ 𝑡 ∗ 𝑠𝑚í𝑛 = 2 ∗ 1,1 ∗ 84 ∗ 100 = 18.480 𝑁
Para 2 hileras
𝑇𝑑𝑖𝑠 = 2 ∗ 18.480 = 36.960 𝑁 > 𝑇𝑑𝑖𝑠,𝑝𝑎𝑠𝑎𝑑𝑜𝑟𝑒𝑠
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
96 I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L
Desgarro de bloque piezas laterales
𝑇𝑑𝑖𝑠,ℎ𝑖𝑙𝑒𝑟𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑏𝑜𝑟𝑑𝑒 = 2 ∗ 2 ∗𝐹𝑐𝑧,𝑑𝑖𝑠 ∗ 𝑡 ∗ 𝑠𝑚í𝑛
2= 2 ∗ 2 ∗
1,1 ∗ 84 ∗ 100
2= 18.480 𝑁
𝑇á𝑟𝑒𝑎 𝑛𝑒𝑡𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑎𝑙 = 2 ∗ (𝑠𝑛 −𝐷𝑎𝑔𝑢𝑗𝑒𝑟𝑜𝑠) ∗ 𝑏𝑙 ∗ 𝐹𝑡𝑝,𝑑𝑖𝑠 = 2 ∗ (60 − 12) ∗ 42 ∗ 4,48 = 18.063 𝑁
𝑇𝑑𝑖𝑠,𝑑𝑒𝑠𝑔𝑎𝑟𝑟𝑜 𝑏𝑙𝑜𝑞𝑢𝑒 = 18.480 + 18.063 = 36.543 > 𝑇𝑑𝑖𝑠,𝑝𝑎𝑠𝑎𝑞𝑑𝑜𝑟𝑒𝑠 = 12.920 𝑁
Análisis control de desgarro pieza central
Caso a.
𝑎 = 500 − 100 = 400 𝑚𝑚
𝐻 = 450 𝑚𝑚
𝑎 𝐻⁄ = 0,89 > 0,70 ⇒No se requiere esta verificación
∴ 𝑇𝑑𝑖𝑠,𝑢𝑛𝑖ó𝑛 = 𝑇𝑑𝑖𝑠,𝑝𝑎𝑠𝑎𝑑𝑜𝑟𝑒𝑠 = 12.920 𝑁
Caso b.
𝑎 = 250 − 100 = 150 𝑚𝑚
𝑎 𝐻⁄ = 0,333 < 0,70
𝑐 =4
3∗ √
𝑎
𝐻∗ (1 −
𝑎
𝐻)3
=4
3∗ √0,333 ∗ (1 − 0,333)3 = 0,419
𝑤𝑒𝑓 = √𝑤2 + (𝑐 ∗ 𝐻)2 = √602 + (0,419 ∗ 450)2 = 198 𝑚𝑚
𝑏𝑒𝑓 = 2 ∗ 6 ∗ 𝐷 = 12 ∗ 12 = 144 𝑚𝑚 ≤ 𝑏 = 70 𝑚𝑚
𝐴𝑒𝑓 = 𝑤𝑒𝑓 ∗ 𝑏𝑒𝑓 = 198 ∗ 70 = 13.851 𝑚𝑚2
𝐹𝑡𝑛 = 3,33 ∗ 𝐴𝑒𝑓−0,2 = 3,33 ∗ 13.860−0,2 = 0,494 𝑀𝑃𝑎
𝑓1(𝑎 𝐻⁄ ) =1
1 − 3 ∗ (𝑎𝐻
2) + 2 ∗ (
𝑎𝐻)
3 =1
1 − 3 ∗ (0,333)2 + 2 ∗ (0,333)3= 1,35
𝑓2(ℎ𝑖 ℎ⁄ ) =𝑛
∑(ℎ1ℎ𝑖)2 =
2
1 + (300 400⁄ )2= 1,28
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L 97
𝑇𝑑𝑖𝑠 = 𝐴𝑒𝑓 ∗ 𝐹𝑡𝑛 ∗ 𝑓1 (𝑎
𝐻) ∗ 𝑓2 (
ℎ1ℎ𝑖) = 13.851 ∗ 0,494 ∗ 1,35 ∗ 1,28 = 11.835 𝑁
𝑇𝑑𝑖𝑠 = 11.835 𝑁 < 𝑇𝑑𝑖𝑠,𝑝𝑎𝑠𝑎𝑑𝑜𝑟𝑒𝑠 = 12.920 𝑁
∴ 𝑇𝑑𝑖𝑠,𝑢𝑛𝑖ó𝑛 = 11.835 𝑁
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
98 I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L
EJEMPLO 17: Diseño de unión con tirafondos
Determinar la cantidad “n” de tirafondos TF Ø5/8”*6” requeridos para anclar una viga de
madera laminada encolada de Pino radiata de sección 115*480 mm a un muro de hormigón
armado usando un flanche de acero Grado A36-24 de sección 6*100 mm, de acuerdo con el
esquema de la figura. La fuerza de anclaje, de magnitud 20 kN, corresponde a una solicitación
sísmica y su línea de acción se considera orientada paralela al eje de la viga.
Nota: La excentricidad en el traspaso de la fuerza genera efectos de segundo orden que deben
ser analizados debidamente. El propósito del ejemplo se centra en el funcionamiento de los
tirafondos.
Solución:
Tirafondo Ø5/8”*6”, de NCh 1198, Anexo M:
𝑙 = 152,4 𝑚𝑚
𝐷 = 15,9 𝑚𝑚
𝐷𝑟 = 11,9 𝑚𝑚
𝑘 = 9,5 𝑚𝑚
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L 99
Según NCh 1198, sección 9.6.2.3, se tiene:
D=15,9 mm > 9,5 mm ⇒ 𝐹𝑓𝑓 = 310 𝑀𝑃𝑎
Para el pino radiata, de NCh 1198 Anexo E:
𝜌0,𝑝𝑟𝑜𝑚 = 450 𝑘𝑔 𝑚3⁄
De NCh 1198, Tabla 33, para efecto de las uniones, el Pino radiata corresponde al Grupo B.
Colocación de tornillos con perforación guía de diámetro:
𝜙 ≈ 0,65 ∗ 𝐷 = 0,65 ∗ 15,9 = 10,33 ⇒ 10,5 𝑚𝑚
Desangulación fuerza-fibra
NCh 1198, sección 9.6.2.2.1, como D≥6,4mm, se tiene que para solicitaciones paralelas a la
fibra:
𝜃 = 0° ⇒ 𝑅𝑎𝑝,𝑐 = 77,2 ∗ (𝜌0,𝑝𝑟𝑜𝑚 1.000⁄ ) = 77,2 ∗ (450 1.000⁄ ) = 34,7 𝑀𝑃𝑎
𝐾𝛼 = 1
Flanche de acero Grado A37-24 ES:
𝑅𝑎𝑝,𝑙 = 1,375 ∗ 𝑅𝑡𝑢 = 1.375 ∗ 370 = 509 𝑀𝑃𝑎
𝑙𝑡 = 𝑡 = 6 𝑚𝑚
Penetración del tirafondo en la madera.
De acuerdo con NCh 1198, Sección 9.6.1.4 y designaciones de Figura 26.
𝑝 = 𝑙 − 𝑡 − 𝑘 = 152,4 − 6 − 9,5 = 136,9 𝑚𝑚 > 4 ∗ 𝐷 = 4 ∗ 15,9 = 63,6 𝑚𝑚
𝑙𝑐 = min(𝑏𝑐; 𝑝𝑒𝑓) = min(480; 136,9) = 136,9 𝑚𝑚
𝑅𝑒 =𝑅𝑎𝑝,𝑐𝑅𝑎𝑝,𝑙
=34,7
509= 0,068
𝑅𝑡 =𝑙𝑐𝑙𝑙=136,9
6= 22,8
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
100 I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L
Capacidades de carga admisibles:
Los tirafondos trabajan en cizalle simple.
Modos de fluencia:
𝑘1 =√𝑅𝑒 + 2𝑅𝑒
2 ∗ (1 + 𝑅𝑡 + 𝑅𝑡2) + 𝑅𝑡
2 ∗ 𝑅𝑒3 − 𝑅𝑒 ∗ (1 + 𝑅𝑡)
1 + 𝑅𝑒
=√0,068 + 2 ∗ 0,0682 ∗ (1 + 22,8 + 22,82) + 22,82 ∗ 0,0683 − 0,068 ∗ (1 + 22,8)
1 + 0,068
= 0,635
𝑘2 = −1 + √2 ∗ (1 + 𝑅𝑒) +2 ∗ 𝐹𝑓𝑓 ∗ (1 + 2 ∗ 𝑅𝑒) ∗ 𝐷
2
3 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑐 ∗ 𝑙𝑐2
= −1 + √2 ∗ (1 + 0,068) +2 ∗ 310 ∗ (1 + 2 ∗ 0,068) ∗ 11,92
3 ∗ 34,7 ∗ 136,92= 0,479
𝑘3 = −1 + √2 ∗ (1 + 𝑅𝑒)
𝑅𝑒+2 ∗ 𝐹𝑓𝑓 ∗ (2 + 𝑅𝑒) ∗ 𝐷
2
3 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑐 ∗ 𝑙𝑙2
= −1 + √2 ∗ (1 + 0,068)
0,068+2 ∗ 310 ∗ (2 + 0,068) ∗ 11,92
3 ∗ 34,7 ∗ 62= 7,93
Modo Ic:
𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 =𝐷 ∗ 𝑙𝑐 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑐
4 ∗ 𝐾𝛼=11,9 ∗ 136,9 ∗ 34,7
4,0 ∗ 1= 14.149 𝑁
Modo Il:
𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 =𝐷 ∗ 𝑙𝑙 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑙4 ∗ 𝐾𝛼
=11,9 ∗ 6 ∗ 509
4,0 ∗ 1= 9.081 𝑁
Modo II:
𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 =𝑘1 ∗ 𝐷 ∗ 𝑙𝑙 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑙
3,6 ∗ 𝐾𝛼=0,635 ∗ 11,9 ∗ 6 ∗ 509
3,6 ∗ 1= 6.406 𝑁
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L 101
Modo IIIc:
𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 =𝑘2 ∗ 𝐷 ∗ 𝑙𝑐 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑐
(1 + 2 ∗ 𝑅𝑒) ∗ 3,2 ∗ 𝐾𝛼=0,479 ∗ 11,9 ∗ 136,9 ∗ 34,7
(1 + 2 ∗ 0,068) ∗ 3,2 ∗ 1= 7.455 𝑁
Modo IIIl:
3,2 ∗ 𝐾𝛼 = 𝐹𝐴
𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 =𝑘3 ∗ 𝐷 ∗ 𝑙𝑙 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑐(2 + 𝑅𝑒) ∗ 3,2 ∗ 𝐾𝛼
=7,93 ∗ 11,9 ∗ 6 ∗ 34,7
(2 + 0,068) ∗ 3,2 ∗ 1= 2.972 𝑁
Modo IV:
𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 =𝐷2
3,2 ∗ 𝐾𝛼∗ √
2 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑐 ∗ 𝐹𝑓𝑓
3 ∗ (1 + 𝑅𝑒)=11,92
3,2 ∗ 1∗ √
2 ∗ 34,7 ∗ 310
3 ∗ (1 + 0,068)= 3.629 𝑁
𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 = 𝑀í𝑛(14.149; 9.081; 6.406; 7.455; 2.972; 3.629) = 2.972 𝑁
𝑃𝑒𝑙,𝑑𝑖𝑠 = 𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 ∗ 𝐾𝐻𝑈 ∗ 𝐾𝐷 = 2.972 ∗ 1,0 ∗ 1,6 = 4.755 𝑁
Cantidad de tirafondos requerida:
𝑛𝑟𝑒𝑞 =𝐻
𝑃𝑒𝑙,𝑑𝑖𝑠=20.000
4.755= 4,21⇒ 5
Por alinearse más de 2 tirafondos según la dirección de la fuerza, NCh 1198, sección 9.4.5
requiere considerar adicionalmente un factor de modificación por longitud de hilera.
Módulo de corrimiento de tirafondos: 𝐶 = 370 ∗ 𝐷1,5 = 370 ∗ 15,91,5 = 23.458 𝑁/𝑚𝑚
𝐸𝑐 = 9.000 𝑀𝑃𝑎
𝐴𝑐 = 𝑏𝑐 ∗ ℎ𝑐 = 115 ∗ 480 = 55.200 𝑚𝑚2
𝐸𝑐 ∗ 𝐴𝑐 = 9.000 ∗ 55.200 = 496.800.000 𝑁
𝐸𝑙 = 210.000 𝑀𝑃𝑎
𝐴𝑙 = 𝑏𝑙 ∗ ℎ𝑙 = 100 ∗ 6 = 600 𝑚𝑚2
𝐸𝑙 ∗ 𝐴𝑙 = 210.000 ∗ 600 = 126.000.000 𝑁
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
102 I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L
𝐸𝑐 ∗ 𝐴𝑐𝐸𝑙 ∗ 𝐴𝑙
=496.800.000
126.000.000= 3,94
𝐸𝑙 ∗ 𝐴𝑙𝐸𝑐 ∗ 𝐴𝑐
=126.000.000
496.800.000= 0,254
Espaciamiento entre medios de unión
𝑠𝑝 = 5 ∗ 𝐷 = 5 ∗ 15,9 = 79,5 → 80 𝑚𝑚
𝑢 = 1 + 𝐶 ∗𝑠
2∗ [
1
𝐸𝑐 ∗ 𝐴𝑐+
1
𝐸𝑙 ∗ 𝐴𝑙]
= 1 + 23.458 ∗80
2∗ [
1
496.800.000+
1
126.000.000] = 1,009
𝑚 = 𝑢 − √𝑢2 − 1 = 1,009 − √1,0092 − 1 = 0,875
𝑘𝑢 = [𝑚(1 −𝑚2𝑛)
𝑛 ∗ [(1 + 𝑅𝐸𝐴 ∗ 𝑚𝑛) ∗ (1 +𝑚) − 1 +𝑚2𝑛]
] ∗ [1 + 𝑅𝐸𝐴1 −𝑚
]
= [0,875(1 − 0,8752∗5)
5 ∗ [(1 + 0,254 ∗ 0,8755) ∗ (1 + 0,875) − 1 + 0,8752∗5]] ∗ [
1 + 0,254
1 − 0,875] = 0,933
𝑃𝑒𝑙,𝑑𝑖𝑠 = 𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 ∗ 𝐾𝐻𝑈 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝑘𝑢 = 2.972 ∗ 1,0 ∗ 1,6 ∗ 0,936 = 4.437 𝑁
𝐻𝑑𝑖𝑠 = 𝑛 ∗ 𝑃𝑒𝑙,𝑑𝑖𝑠 = 5 ∗ 4.437 = 22.186 𝑁 > 𝐻𝑒𝑓 = 20.000 𝑁
Diseño de unión:
Distancia al borde cargado según la dirección de la fibra
𝑠𝑏𝑐𝑝 = 7 ∗ 𝐷 = 7 ∗ 15,9 = 111,3 → 120 𝑚𝑚
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L 103
Gramil de borde extremo en el flanche (recomendación DIN 18.800)
𝑎 ≥𝐻
2 ∗ 𝑡 ∗ 𝐹𝑡,𝑎𝑐𝑒𝑟𝑜+2
3∗ 𝐷𝑎𝑔𝑢𝑗𝑒𝑟𝑜 =
20.000
2 ∗ 6 ∗ 0,6 ∗ 240+2
3∗ (15,9 + 1) = 22,8 → 30 𝑚𝑚
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
104 I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L
EJEMPLO 18: Diseño de empalme clavado
La estructura de un techo se construye con cerchas según el esquema de figura, dispuestas
cada 1,2 m, utilizando piezas cepilladas de Pino radiata, Grado Estructural G1, cuyo contenido
de humedad H es 15%. Se solicita:
Diseñar el empalme D del cordón inferior, esquematizado en la segunda figura, utilizando
clavos de 4,3*100 mm (4“), optimizando el espacio disponible. Determine la máxima tracción
que puede resistir su diseño, cuando se respetan las especificaciones de la norma NCh 1198.
Solución:
Estimación de la capacidad de carga de diseño del empalme:
Clavos 4,3*100 mm ⇒ d = 4,3 mm; L = 100 mm
Bordes horizontales son bordes descargados
𝑠𝑏𝑑𝑛 = 𝑠𝑛 = 5 ∗ 𝑑 = 5 ∗ 4,3 = 21,5 𝑚𝑚
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L 105
Número de hileras:
𝑛𝐻 = [𝐻 − 2 ∗ 𝑠𝑏𝑑𝑛
𝑠𝑛] + 1 = [
138 − 2 ∗ 21,5
21,5] + 1 = [4,4] + 1 = 5
Bordes verticales son bordes cargados
𝑠𝑏𝑐𝑝 = 15 ∗ 𝑑 = 15 ∗ 4,3 = 64,5 → 65 𝑚𝑚
𝑠𝑝 = 12 ∗ 𝑑 = 12 ∗ 4,3 = 51,6 → 55 𝑚𝑚
Número de filas:
𝑛𝑓 = [𝐿 − 2 ∗ 𝑠𝑏𝑐𝑝
𝑠𝑝] + 1 = [
260 − 2 ∗ 65
55] + 1 = [2,36] + 1 = 3
En consecuencia, respetando los espaciamientos normativos mínimos entre clavos y a los
bordes, a lo más se pueden disponer 3*5 = 15 clavos.
Estimación de la capacidad admisible de carga a extracción lateral de los clavos:
𝑏𝑚í𝑛 = 7 ∗ 𝑑 = 7 ∗ 4,3 = 30,1 𝑚𝑚 < 𝑏𝑒𝑓,𝑚í𝑛 = 33 𝑚𝑚
Resistencia de aplastamiento en las piezas de madera
Para el Pino radiata, NCh 1198, Anexo E:
𝜌0,𝑝𝑟𝑜𝑚 = 450 𝑘𝑔 𝑚3⁄
NCh 1198, sección 9.6.2.2.3, como D<6,4mm, se tiene:
𝑅𝑎𝑝,𝑐 = 𝑅𝑎𝑝,𝑙 = 115 ∗ (𝜌0,𝑝𝑟𝑜𝑚1.000
)1,84
= 115 ∗ (450
1.000)1,84
= 26,5 𝑀𝑃𝑎
Tensión de fluencia de los clavos
Según NCh 1198, sección 9.6.2.3, se tiene:
Como D<6,4 mm, entonces,
𝐹𝑓𝑓 = 896 − 58 ∗ 𝐷 = 896 − 58 ∗ 4,3 = 647 𝑀𝑃𝑎
𝑅𝑒 =𝑅𝑎𝑝,𝑐𝑅𝑎𝑝,𝑙
=26,5
26,5= 1
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
106 I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L
Por tratarse de clavos que trabajan en cizalle doble los modos de fluencia II y IIIc no son
aplicables. La capacidad admisible de carga en cizalle doble se estimará determinando primero
la capacidad admisible de carga en cizalle simple, para aplicar lo especificado en NCh 1198,
sección 9.6.1.6 f) y g).
𝑘3 = −1 + √2 ∗ (1 + 𝑅𝑒)
𝑅𝑒+2 ∗ 𝐹𝑓𝑓 ∗ (2 + 𝑅𝑒) ∗ 𝐷
2
3 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑐 ∗ 𝑙𝑙2
= −1 + √2 ∗ (1 + 1)
1+2 ∗ 647 ∗ (2 + 1) ∗ 4,32
3 ∗ 26,5 ∗ 332= 1,198
De NCh 1198, sección 9.6.2.1, tabla 36
Kd=2,2 para D < 4,3 mm
Luego, para D < 6,4 mm ⇒ FA=Kd ⇒ FA=2,2
Modo Ic:
𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 =𝐷 ∗ 𝑙𝑐 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑐
𝐹𝐴=4,3 ∗ 41 ∗ 26,5
2,2= 2.121 𝑁
Modo Il:
𝑃𝑒 𝑙,𝑎𝑑 =𝐷 ∗ 𝑙𝑙 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑙
2 ∗ 𝐹𝐴=4,3 ∗ 33 ∗ 26,5
2,2= 1.707 𝑁
Modo IIIl:
𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 =𝑘3 ∗ 𝐷 ∗ 𝑙𝑙 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑐(2 + 𝑅𝑒)𝐹𝐴
=1,198 ∗ 4,3 ∗ 33 ∗ 26,5
(2 + 1) ∗ 2,2= 681 𝑁
Modo IV:
𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 =𝐷2
𝐹𝐴∗ √
2 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑐 ∗ 𝐹𝑓𝑓
3 ∗ (1 + 𝑅𝑒)=4,32
2,2∗ √
2 ∗ 26,5 ∗ 647
3 ∗ (1 + 1)= 635 𝑁
𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 = 𝑀í𝑛(2.121; 1.707; 681; 635) = 635 𝑁
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L 107
𝑏𝑙 = 33 𝑚𝑚
𝑏𝑐 = 41 𝑚𝑚
𝑑 = 4,3 𝑚𝑚
La penetración del clavo en la pieza lateral opuesta a la superficie del clavo es
𝑝 = 𝐿 − (𝑏𝑙 − 𝑏𝑐) = 100 − (33 + 41) = 26 𝑚𝑚
Existe cizalle doble parcial, ya que
𝑝𝑚 = 8 ∗ 𝑑 = 8 ∗ 4,3 = 34,4 𝑚𝑚 > 𝑝
[En todo caso: 𝑝 > 𝑝𝑚𝑚 = 4 ∗ 𝑑 = 4 ∗ 4,3 = 17,2 𝑚𝑚]
⇒ 𝑃𝑒𝑙,2,𝑎𝑑 = (1 + 0,75 ∗𝑝
𝑝𝑚) ∗ 𝑃𝑒𝑙 = (1 + 0,75 ∗
26
34,4) ∗ 635 = 995 𝑁
H=15 % ⇒ Condición de servicio seca para la unión
KD = 1,25 Por tratarse de una estructura de techo se considera sobrecarga de servicio para el
techo. NCh 1198, Anexo G KD = 1,25
⇒ 𝑃𝑒𝑙,𝑑𝑖𝑠 = 𝑃𝑒𝑙,2,𝑎𝑑 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾𝐻 = 995 ∗ 1,25 ∗ 1,0 = 1.243 𝑁
Capacidad de carga de la unión:
𝑇𝑑𝑖𝑠,𝑢𝑛𝑖ó𝑛 = 𝑛ℎ ∗ 𝑛𝑓 ∗ 𝑃𝑒𝑙,𝑑𝑖𝑠 = 5 ∗ 3 ∗ 1.243 = 18.647 𝑁
Capacidad de carga de diseño de la madera:
Pino radiata G1:
𝐹𝑡𝑝 = 5,0 𝑀𝑃𝑎
𝐾𝐷 = 1,25
𝐾𝐻 =1,75 − 0,033 ∗ 𝐻
1,35=1,75 − 0,033 ∗ 15
1,35= 0,93
𝐾ℎ = √90
ℎ
5
= √90
138
5
= 0,918
𝐾𝑐𝑡 = 0,80 (perforaciones de clavos, NCh 1198, sección 7.4.3, tabla 19)
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
108 I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L
⇒ 𝐹𝑡𝑝,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑡𝑝 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾𝐻 ∗ 𝐾ℎ ∗ 𝐾𝑐𝑡 = 5,0 ∗ 1,25 ∗ 0,93 ∗ 0,918 ∗ 0,8 = 4,27 𝑀𝑃𝑎
⇒ 𝑇𝑑𝑖𝑠 = 4,27 ∗ 138 ∗ 41 = 24.144 𝑁 = 24,144 𝑘𝑁 > 𝑇𝑑𝑖𝑠,𝑐𝑙𝑎𝑣𝑜𝑠 = 18,647 𝑘𝑁
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L 109
EJEMPLO 19: Diseño de unión clavada
Estimar la capacidad de carga de diseño de la unión de la figura. Las piezas son de madera
aserrada de Pino radiata y se construyen con un contenido de humedad 22 %, secándose hasta
un 18 % una vez puestas en servicio. Se utilizan dos flanches de acero de sección 85*3 mm y
12+12 clavos corrientes de calibre 65*3,1 mm, clavados de a mitades desde ambos lados de la
unión, de acuerdo con el esquema indicado en la figura. La carga es de naturaleza permanente.
Solución:
Clavos 65*3,1 mm: D = 3,1 mm
De NCh 1198, Anexo G, Sección G3
𝐾𝐷 = 0,9
De NCh 1198, sección 9.4.3, Tabla 26, Nota 1
Control de espaciamientos
En el madero horizontal:
𝑠𝑝,𝑒𝑓 = 20 𝑚𝑚 < 𝑠𝑝 = 10 ∗ 𝐷 = 10 ∗ 3,1 = 31 𝑚𝑚 , sin embargo, se acepta ya que no existe
componente de fuerza ejercido por los clavos según la dirección de la fibra.
KUH = 0, 70
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
110 I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L
𝑠𝑛,𝑒𝑓 = 30 𝑚𝑚 > 𝑠𝑛 = 5 ∗ 𝐷 = 5 ∗ 3,1 = 15,5 𝑚𝑚
𝑠𝑏𝑐𝑛,𝑒𝑓 = 70 𝑚𝑚 > 𝑠𝑏𝑐𝑛 = 7 ∗ 𝐷 = 7 ∗ 3,1 = 21,7 𝑚𝑚
𝑠𝑏𝑑𝑛,𝑒𝑓 = 185 − (2 ∗ 30 + 70) = 55 𝑚𝑚 > 𝑠𝑛 = 5 ∗ 𝐷 = 5 ∗ 3,1 = 15,5 𝑚𝑚
En el madero vertical
𝑠𝑝,𝑒𝑓 = 35 𝑚𝑚 > 𝑠𝑝 = 10 ∗ 𝐷 = 10 ∗ 3,1 = 31 𝑚𝑚
𝑠𝑏𝑐𝑝 = 50 𝑚𝑚 > 𝑠𝑝 = 15 ∗ 𝐷 = 15 ∗ 3,1 = 46,5 𝑚𝑚
𝑠𝑛,𝑒𝑓 = 20 𝑚𝑚 > 𝑠𝑛 = 5 ∗ 𝐷 = 5 ∗ 3,1 = 15,5 𝑚𝑚
𝑠𝑏𝑑𝑛,𝑒𝑓 = 0,5 ∗ (115 − 3 ∗ 20) = 27,5 𝑚𝑚 > 𝑠𝑛 = 5 ∗ 𝐷 = 5 ∗ 3,1 = 15,5 𝑚𝑚
Control riesgo de falla por tracción normal borde cargado pieza horizontal
𝑎 = 2 ∗ 30 + 70 = 130 𝑚𝑚 ⇒ (𝑎
ℎ) =
130
185= 0,703 > 0,70
De acuerdo con NCh 1198, sección 9.2.1.5, se obvia este control
Derivación de la capacidad de carga de diseño de los clavos.
Para el acero:
𝑅𝑎𝑝,𝑙 = 1,375 ∗ 𝑅𝑡𝑢 = 1,375 ∗ 370 = 508,8 𝑀𝑃𝑎
Para el pino radiata, de NCh 1198 Anexo E :
𝜌0 = 450 𝑘𝑔 𝑚3⁄
NCh 1198, sección 9.6.2.2.3, como D < 6,4mm, se tiene:
𝑅𝑎𝑝,𝑐 = 115 ∗ (𝜌0 1000⁄ )1,84 = 115 ∗ (450 1000⁄ )1,84 = 26,5 𝑀𝑃𝑎
Clavos 3”:
𝐷 = 3,1 𝑚𝑚
𝑙𝑐𝑙 = 65 𝑚𝑚
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L 111
Según NCh 1198, sección 9.6.2.3, se tiene:
Como D < 6,4 mm, entonces:
𝐹𝑓𝑓 = 896 − 58 ∗ 𝐷 = 896 − 58 ∗ 3,1 = 716 𝑀𝑃𝑎
𝑙𝑙 = 𝑡 = 3 𝑚𝑚
𝑙𝑐 = 𝑝 = 𝑙𝑐𝑙 − 𝑡 = 65 − 3 = 62 𝑚𝑚 < 𝑒𝑐 = 90 𝑚𝑚
Modos de fluencia:
𝑅𝑒 =𝑅𝑎𝑝,𝑐𝑅𝑎𝑝,𝑙
=26,5
508= 0,052
𝑅𝑡 =𝑙𝑐𝑙𝑙=62
3= 20,7
De NCh 1198, sección 9.6.2.1, tabla 36
Kd=2,2 para D < 4,3 mm
Luego, para D < 6,4 mm ⇒ FA=Kd ⇒ FA=2,2
𝑘1 =√𝑅𝑒 + 2𝑅𝑒
2 ∗ (1 + 𝑅𝑡 + 𝑅𝑡2) + 𝑅𝑡
2 ∗ 𝑅𝑒3 − 𝑅𝑒 ∗ (1 + 𝑅𝑡)
1 + 𝑅𝑒
=√0,052 + 2 ∗ 0,0522 ∗ (1 + 20,7 + 20,72 ) + 20,72 ∗ 0,0523 − 0,052 ∗ (1 + 20,7)
1 + 0,052
= 0,444
𝑘2 = −1 + √2 + (1 + 𝑅𝑒) +2 ∗ 𝐹𝑓𝑓 ∗ (1 + 2 ∗ 𝑅𝑒) ∗ 𝐷
2
3 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑐 ∗ 𝑙𝑐2
= −1 + √2 + (1 + 0,052) +2 ∗ 716 ∗ (1 + 2 ∗ 0,052) ∗ 3,12
3 ∗ 26,5 ∗ 622= 0,468
𝑘3 = −1 + √2 ∗ (1 + 𝑅𝑒)
𝑅𝑒+2 ∗ 𝐹𝑓𝑓 ∗ (2 + 𝑅𝑒) ∗ 𝐷
2
3 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑐 ∗ 𝑙𝑙2
= −1 + √2 ∗ (1 + 0,052)
0,052+2 ∗ 716 ∗ (2 + 0,052) ∗ 3,12
3 ∗ 26,5 ∗ 32= 7,94
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
112 I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L
Modo Ic:
𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 =𝐷 ∗ 𝑙𝑐 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑐
𝐹𝐴=3,1 ∗ 62 ∗ 26,5
2,2= 2.312 𝑁
Modo Il:
𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 =𝐷 ∗ 𝑙𝑙 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑙
𝐹𝐴=3,1 ∗ 3 ∗ 508
2,2= 2.151 𝑁
Modo II:
𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 =𝑘1 ∗ 𝐷 ∗ 𝑙𝑙 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑙
𝐹𝐴=0,444 ∗ 3,1 ∗ 3 ∗ 508
2,2= 954 𝑁
Modo IIIc:
𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 =𝑘2 ∗ 𝐷 ∗ 𝑙𝑐 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑐
(1 + 2 ∗ 𝑅𝑒)𝐹𝐴=0,468 ∗ 3,1 ∗ 62 ∗ 26,5
(1 + 2 ∗ 0,052) ∗ 2,2= 979 𝑁
Modo IIIl:
𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 =𝑘3 ∗ 𝐷 ∗ 𝑙𝑙 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑐(2 + 𝑅𝑒)𝐹𝐴
=794 ∗ 3,1 ∗ 3 ∗ 26,5
(2 + 0,052) ∗ 2,2= 433 𝑁
Modo IV:
𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 =𝐷2
𝐹𝐴∗ √
2 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑐 ∗ 𝐹𝑓𝑓
3 ∗ (1 + 𝑅𝑒)=3,12
2,2∗ √
2 ∗ 26,5 ∗ 508
3 ∗ (1 + 0,052)= 479 𝑁
𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 = 𝑚í𝑛(2.312; 2.151; 954; 979; 433; 479) = 433 𝑁
𝑃𝑒𝑙,𝑑𝑖𝑠 = 𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 ∗ 𝐾𝐻 ∗ 𝐾𝐷 = 433 ∗ 0,7 ∗ 0,9 = 273 𝑁
𝑇𝑑𝑖𝑠,𝑢𝑛𝑖ó𝑛 = 𝑛 ∗ 𝑃𝑒𝑙,𝑑𝑖𝑠 = 12 ∗ 273 = 3.274 𝑁
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L 113
Verificación flanche de acero
𝐴𝑛𝑒𝑡𝑎 = (𝑏 − 4 ∗ (𝐷 + 0,2)) ∗ 𝑡 = (90 − 4 ∗ (3,1 + 0,2)) ∗ 3 = 230 𝑚𝑚
𝑓𝑓 =𝑇𝑑𝑖𝑠𝐴𝑛𝑒𝑡𝑎
=3.274
230= 14,2 𝑀𝑃𝑎 ≪ 𝐹𝑡,𝑎𝑐𝑒𝑟𝑜
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
114 I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L
EJEMPLO 20: Unión con clavos lanceros
Una tabiquería de pared exterior expuesta a la acción de una presión de viento de 1,5 kN/m2
se estructura con pies derechos de pino Radiata de escuadría 41 x 138 mm (2 x6) de 3,20 m de
altura espaciados cada 410 mm. Cada pie derecho se fija a la solera basal y a la carrera
superior por medio de 2 clavos lanceros de 3,5x75 mm (3”). Se debe determinar si esta
solución es adecuada.
Solución:
Solicitación por clavo:
Carga de viento de viento sobre pies derechos:
𝑞𝑣 = 𝑣 ∗ 𝑑 = 1.500 ∗ 0,41 = 615 𝑁 𝑚⁄
Reacciones en extremos de pie derecho:
𝐻𝑠𝑜𝑙𝑒𝑟𝑎 = 𝐻𝑐𝑎𝑟𝑟𝑒𝑟𝑎 =𝑞𝑣 ∗ 𝐿
2=615 ∗ 3,2
2= 984 𝑁
Cada clavo lancero debe traspasar una carga
𝑃𝑒𝑙,𝑒𝑓 =𝐻
2=984
2= 492 𝑁
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L 115
Derivación de la capacidad de carga de diseño de los clavos.
𝐾𝐷 = 1,6 (estado de carga que incorpora efectos de viento, NCh 1198, anexo G)
𝐾𝐻 = 1,0 (madera seca durante construcción y servicio)
Para el pino radiata, de NCh 1198 Anexo E
𝜌0 = 450 𝑘𝑔 𝑚3⁄
NCh 1198, sección 9.6.2.2.3, como D<6,4mm, se tiene:
𝑅𝑎𝑝 = 115 ∗ (𝜌0 1.000⁄ )1,84 = 115 ∗ (450 1.000⁄ )1,84 = 26,5 𝑀𝑃𝑎
clavos 3”:
𝐷 = 3,5 𝑚𝑚
𝑙𝑐𝑙 = 75 𝑚𝑚
Según NCh 1198, sección 9.6.2.3, se tiene:
Como D < 6,4 mm, entonces:
𝐹𝑓𝑓 = 896 − 58 ∗ 3,5 = 693 𝑀𝑃𝑎
De NCh 1198, Figura 33
𝑙𝑙 =𝑙𝑐𝑙3=75
3= 25 𝑚𝑚
𝑝 = 𝑙𝑐𝑙 ∗ (cos 30°) − 𝑙𝑙 = 75 ∗ 0,866 − 25 = 40 𝑚𝑚
𝑙𝑐 = 𝑀í𝑛(𝑝; 𝑒𝑐) = 𝑀í𝑛(40; 41) = 40 𝑚𝑚
Clavos lanceros, NCh 1198, Sección 9.6.4.4.2:
𝐾𝑐𝑙,𝑙 = 0,80
Nota: Este factor se reducirá a 0,50 en la nueva redacción de la NCh 1198 como consecuencia
de resultados de un proyecto de investigación desarrollado por el Departamento de Ingeniería
en Obras Civiles de la U. Santiago, por lo que en el siguiente desarrollo se considerará este
último valor.
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
116 I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L
Modos de fluencia:
𝑅𝑒 =𝑅𝑎𝑝,𝑐𝑅𝑎𝑝,𝑙
=26,5
26,5= 1
𝑅𝑡 =𝑙𝑐𝑙𝑙=40
25= 1,6
NCh 1198, sección 9.6.2.1, tabla 36
Kd=2,2 para D < 4,3 mm
Luego, para D < 6,4 mm ⇒ FA=Kd ⇒ FA=2,2
𝑘1 =√𝑅𝑒 + 2𝑅𝑒
2 ∗ (1 + 𝑅𝑡 + 𝑅𝑡2) + 𝑅𝑡
2 ∗ 𝑅𝑒3 ∗ 𝑅𝑒 ∗ (1 + 𝑅𝑡)
1 + 𝑅𝑒
=√1 + 2 ∗ 1 ∗ (1 + 1,6 + 1,62) + 1,62 ∗ 1 − 1 ∗ (1 + 1,6)
1 + 1= 0,563
𝑘2 = −1 + √2 ∗ (1 + 𝑅𝑒) +2 ∗ 𝐹𝑓𝑓 ∗ (1 + 2 ∗ 𝑅𝑒) ∗ 𝐷
2
3 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑐 ∗ 𝑙𝑐2
= −1 + √2 ∗ (1 + 1) +2 ∗ 693 ∗ (1 + 2 ∗ 1) ∗ 3,52
3 ∗ 26,5 ∗ 402= 1,098
𝑘3 = −1 + √2 ∗ (1 + 𝑅𝑒)
𝑅𝑒+2 ∗ 𝐹𝑓𝑓 ∗ (2 + 𝑅𝑒) ∗ 𝐷
2
3 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑐 ∗ 𝑙𝑙2
= −1 + √2 ∗ (1 + 1)
1+2 ∗ 693 ∗ (2 + 1) ∗ 3,52
3 ∗ 26,5 ∗ 252= 1,242
Modo Ic:
𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 =𝐷 ∗ 𝑙𝑐 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑐
𝐹𝐴=3,5 ∗ 40 ∗ 26,5
2,2= 1.682 𝑁
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L 117
Modo Il:
𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 =𝐷 ∗ 𝑙𝑙 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑙
𝐹𝐴=3,5 ∗ 25 ∗ 26,5
2,2= 1.052 𝑁
Modo II:
𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 =𝑘1 ∗ 𝐷 ∗ 𝑙𝑙 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑙
𝐹𝐴=0,563 ∗ 3,5 ∗ 25 ∗ 26,5
2,2= 592 𝑁
Modo IIIc:
𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 =𝑘2 ∗ 𝐷 ∗ 𝑙𝑐 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑐(1 + 2 ∗ 𝑅𝑒) ∗ 𝐹𝐴
=1,098 ∗ 3,5 ∗ 40 ∗ 26,5
(1 + 2 ∗ 1) ∗ 2,2= 616 𝑁
Modo IIIl:
𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 =𝑘3 ∗ 𝐷 ∗ 𝑙𝑙 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑐(2 ∗ 𝑅𝑒) ∗ 𝐹𝐴
=1,242 ∗ 3,5 ∗ 25 ∗ 26,5
(2 ∗ 1) ∗ 2,2= 436 𝑁
Modo IV:
𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 =𝐷2
𝐹𝐴∗ √
2 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑐 ∗ 𝐹𝑓𝑓
3 ∗ (1 + 𝑅𝑒)=3,52
2,2∗ √
2 ∗ 26,5 ∗ 693
3 ∗ (1 + 1)= 435 𝑁
𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 = 𝑚í𝑛(1.682; 1.052; 592; 616; 436; 435) = 435 𝑁
𝑃𝑒𝑙,𝑑𝑖𝑠 = 𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾𝐻 ∗ 𝐾𝑐𝑙,𝑙 = 435 ∗ 1,6 ∗ 1,0 ∗ 0,5 = 348 𝑁
𝑃𝑒𝑙,𝑑𝑖𝑠 < 𝑃𝑒𝑙,𝑒𝑓 = 492 𝑁
Se debe incrementar la cantidad de clavos a 4 en cada extremo.
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
118 I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L
EJEMPLO 21: Diseño de uniones clavadas en una cercha
Diseñar las uniones clavada indicadas en la cercha de la figura solicitada por densidades de
carga 𝑞𝑡 = 1,633 𝑘𝑁 𝑚2⁄ y 𝑞𝑐 = 0,61 𝑘𝑁 𝑚2⁄ que actúan directamente sobre los tijerales
de escuadría nominal 2x6, y la cuerda inferior de escuadría nominal 2x5, respectivamente;
expresadas ambas sobre la superficie de proyección horizontal del techo. Se considera un
espaciamiento entre cerchas de 0,8 m. Se dispone de madera cepillada de pino radiata, grado
C24, en condición seca.
𝑃1 = 𝑙1𝑡 ∗ 𝑎 ∗ 𝑞𝑡 = 2,5 ∗ 0,8 ∗ 1,633 = 3,266 𝑘𝑁
𝑃2 = 𝑙1𝑐 ∗ 𝑎 ∗ 𝑞𝑐 = (10 3⁄ ) ∗ 0,8 ∗ 0,61 = 1,627 𝑘𝑁
𝑃3 = 0,5 ∗ (𝑃1 + 𝑃2) = 1.633 + 813 = 2.446 𝑁
Esfuerzos internos y reacciones:
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L 119
El tijeral y los montantes comprimidos se materializan con piezas de espesor nominal 2’’ (41
mm), la cuerda inferior combina una disposición de dos piezas de espesor nominal 1 ½” (33
mm) y piezas de espesor nominal 2” (41 mm), mientras que para las diagonales traccionadas
se considera dos piezas de espesor nominal 1 ½” (33 mm). Las uniones se construyen usando
clavos de calibre 4”:100x4,3 mm.
Solución:
𝑏𝑚í𝑛 = 7 ∗ 𝐷 = 7 ∗ 4,3 = 30,1 𝑚𝑚 < 𝑏𝑒𝑓,𝑚í𝑛 = 33 𝑚𝑚
Capacidad de carga de diseño de clavos: se analizará la situación de las uniones entre dos
piezas laterales de espesor 33 mm con la pieza central de 41 mm.
𝜌0,𝑝𝑟𝑜𝑚 = 450 𝑘𝑔 𝑚3⁄ En todos los maderos
NCh 1198, sección 9.6.2.2.3, como D < 6,4mm, se tiene:
𝑅𝑎𝑝,𝑐 = 𝑅𝑎𝑝,𝑙 = 115 ∗ (𝜌0,𝑝𝑟𝑜𝑚 1.000⁄ )1,84
= 115 ∗ (450 1.000⁄ )1,84 = 26,5 𝑀𝑃𝑎
𝑏𝑙 = 𝑙𝑙 = 33 𝑚𝑚
𝑏𝑐 = 𝑙𝑐 = 41 𝑚𝑚
Según NCh 1198, sección 9.6.2.3, se tiene:
D = 4,3 mm < 6,4 mm
⇒ 𝐹𝑓𝑓 = 896 − 58 ∗ 𝐷 = 896 − 58 ∗ 4,3 = 647 𝑀𝑃𝑎
Por tratarse de clavos que trabajan en cizalle doble los modos de fluencia II y IIIc no son
aplicables. La capacidad admisible de los clavos se estimará sobre la base de la capacidad de
carga admisible de un clavo solicitado en cizalle simple.
𝑅𝑒 = 𝑅𝑎𝑝,𝑐 𝑅𝑎𝑝,𝑙⁄ = 26,5 26,5⁄ = 1,0
Nch 1198, sección 9.6.2.1, tabla 36
Kd = 2,2 para D < 4,3 mm
Luego, para D < 6,4 mm ⇒ FA=Kd ⇒ FA=2,2
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
120 I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L
Modo Ic:
𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 =𝐷 ∗ 𝑙𝑐 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑐
𝐹𝐴=4,3 ∗ 41 ∗ 26,5
2,2= 2.121 𝑁
Modo Il:
𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 =𝐷 ∗ 𝑙𝑙 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑙2 ∗ 𝐹𝐴
=4,3 ∗ 33 ∗ 26,5
2,2= 1.707 𝑁
Modo IIIl:
𝑘3 = −1 + √2 ∗ (1 + 𝑅𝑒)
𝑅𝑒+2 ∗ 𝐹𝑓𝑓 ∗ (2 + 𝑅𝑒) ∗ 𝐷
2
3 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑐 ∗ 𝑙2
= −1 + √2 ∗ (1 + 1)
1+2 ∗ 647 ∗ (2 + 1) ∗ 4,32
3 ∗ 26,5 ∗ 332= 1,198
𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 =𝑘3 ∗ 𝐷 ∗ 𝑙𝑙 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑐(2 ∗ 𝑅𝑒) ∗ 𝐹𝐴
=1,198 ∗ 4,3 ∗ 33 ∗ 26,5
(2 ∗ 1) ∗ 2,2= 681 𝑁
Modo IV:
𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 =𝐷2
𝐹𝐴∗ √
2 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑐 ∗ 𝐹𝑓𝑓
3 ∗ (1 + 𝑅𝑒)=4,32
2,2∗ √
2 ∗ 26,5 ∗ 647
3 ∗ (1 + 1)= 635 𝑁
𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 = 𝑚í𝑛(2.121; 1.707; 681; 635) = 635 𝑁
Penetración del clavo en el tercer madero
𝑝 = 𝐿 − (𝑏𝑙 + 𝑏𝑐) = 100 − (33 + 41) = 26 𝑚𝑚
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L 121
Existe cizalle doble parcial, ya que
𝑝𝑚𝑚 = 4 ∗ 𝐷 = 4 ∗ 4,3 = 17,2 𝑚𝑚 < 𝑝 < 8 ∗ 𝐷 = 8 ∗ 4,3 = 34,4 𝑚𝑚 = 𝑝𝑚
⇒𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 𝑐𝑑 = (1 + 0,75 ∗𝑃𝑒𝑓
𝑃𝑚𝑚) ∗ 𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 = (1 + 0,75 ∗
26
34,4) ∗ 635 = 995 𝑁
𝑃𝑒𝑙,𝑑𝑖𝑠 = 𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾𝐻 = 995 ∗ 1,25 ∗ 1 = 1.244 𝑁
Nudo A: alero
Esquema de equilibrio estático
Organización de piezas de madera
Determinación fuerza de interfaz F: se analizará la condición de equilibrio estático del cuerpo
libre constituido por la cuerda inferior, considerando las fuerzas externas e internas que
actúan sobre él.
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
122 I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L
Resultante de fuerzas:
𝑅 = √(8.972 − 813)2 + 15.5382 = 17.550 𝑁
𝜙 = 𝑎𝑡𝑎𝑛 (8.971 − 813
15.538) = 27,7°
La orientación de la fuerza de interfaz determina la naturaleza de bordes del extremo del
tirante indicada en la figura
En el tijeral la fuerza de interfaz F actúa en sentido contrario y desangulada en 𝜙1 = 𝜙 − 𝛼 =
27,7 − 22,8 = 4,9° con respecto al eje de la pieza. Su orientación determina la naturaleza de
bordes indicada en la figura
Cantidad de clavos requerida
𝑛𝑟𝑒𝑞 =𝐹
𝑃𝑒𝑙,𝑑𝑖𝑠=17.550
1.244= 14,1 → 16
Con el propósito de materializar una unión compacta los clavos se distribuirán en cuatro
hileras y cuatro columnas en ambos maderos.
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L 123
Espaciamiento normativos mínimos (NCh 1198 Tabla 34)
𝑠𝑝 = 12 ∗ 𝐷 = 12 ∗ 4,3 = 51,6 ⇒ 55 𝑚𝑚
𝑠𝑛 = 𝑠𝑏𝑑𝑛 = 5 ∗ 𝐷 = 5 ∗ 4,3 = 21,5 ⇒ 25 𝑚𝑚
𝑠𝑏𝑐𝑝 = 15 ∗ 𝐷 = 15 ∗ 4,3 = 64,5 ⇒ 65 𝑚𝑚
𝑠𝑏𝑐𝑛(𝛼<30°) = 7 ∗ 𝐷 = 7 ∗ 4,3 = 30,1 ⇒ 35 𝑚𝑚
La desangulación mínima entre la fuerza de interfaz y los maderos se produce con el tijeral, el
que se define como madero solicitante y con respecto a él se organiza la disposición del
clavado.
Para poder disponer 4 hileras en cada madero la altura de la sección, tanto del tijeral como de
la cuerda horizontal debe ascender al menos a:
ℎ𝑚í𝑛 = 𝑠𝑏𝑐𝑛 + 3 ∗ 𝑠𝑛 + 𝑠𝑏𝑑𝑛 = 35 + 3 ∗ 25 + 25 = 135 𝑚𝑚
Se selecciona la altura comercial inmediatamente superior definida para madera cepillada de
Pino radiata en NCh 2824: 138 mm
Diseño del esquema de clavado:
NOTA: La disposición alternada de los clavos con respecto a los gramiles evita que una rajadura a lo
largo de la fibra descarte del trabajo estructural a la totalidad de los clavos alineados según la dirección
de la fibra. Este detalle es responsabilidad del carpintero, pero la ITO debe preocuparse de controlar el
correcto proceso de clavado.
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
124 I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L
Control de espaciamientos:
En el tijeral,
𝑠𝑝,𝑒𝑓 =25
𝑠𝑒𝑛(22,8°)= 64,5 𝑚𝑚 > 𝑠𝑝
En el cordón inferior,
𝑠𝑝,𝑒𝑓 =25
𝑠𝑒𝑛(22,8°)= 64,5 𝑚𝑚 > 𝑠𝑝
𝑠𝑏𝑐𝑝,𝑒𝑓 =35
𝑠𝑒𝑛(22,8°)= 90,3 𝑚𝑚 > 𝑠𝑏𝑐𝑝
Los restantes espaciamientos se impusieron al delimitar las zonas de borde
Nudo B
Esquema de equilibrio estático
Organización de las piezas de madera
En la junta de contacto actúan las componentes de compresión
𝐶 = 3.127 ∗ 𝑠𝑒𝑛(74,3°) = 3.011 𝑁
y de cizalle
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L 125
𝑇 = 3.127 ∗ 𝐶𝑜𝑠(74,3°) = 844 𝑁
Verificación del traspaso de la componente C por contacto entre maderos
𝑙𝑢𝑛𝑖ó𝑛 =ℎ3
𝑠𝑒𝑛(74,3°)=
90
0,963= 93,5 𝑚𝑚
𝑓𝑐𝑛 =𝐶
𝑏 ∗ 𝑙𝑢𝑛𝑖ó𝑛=
3.011
41 ∗ 93,5= 0,79 𝑀𝑃𝑎 < 𝐹𝑐𝑛,𝑑𝑖𝑠 = 2,0 𝑀𝑃𝑎
Traspaso de la fuerza T
Se dispone un taco equivalente a un embarbillado de medio talón, por lo que el extremo de
contacto con el puntal se inclina en:
(180 − 74,3)
2 ≈ 53°
con respecto al canto del tijeral .
Por definición en NCh 1198, Sección 10.2.1:
𝛾 = 90 − 53 = 37
Desangulación de la fuerza normal al plano de embarbillado con respecto a la dirección de la
fibra en el puntal diagonal
𝛿𝑑𝑖𝑎𝑔 = 𝛼𝑑𝑖𝑎𝑔 − 𝛾 = 74,3 − 37 = 37,3
Desangulación fuerza normal al plano de embarbillado con respecto a la dirección de la fibra del
taco
𝛿𝑡𝑎𝑐𝑜 = 90 − 53 = 27
𝛿 = max(𝛿𝑑𝑖𝑎𝑔; 𝛿𝑡𝑎𝑐𝑜) = max(37,3; 27) =37,3
𝐹𝑐,𝛿 =0,75 ∗ 𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠 ∗ 𝐹𝑐𝑛,𝑑𝑖𝑠
0,75 ∗ 𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠 ∗ 𝑠𝑒𝑛2𝛿 + 𝐹𝑐𝑛,𝑑𝑖𝑠 ∗ 𝑐𝑜𝑠
2𝛿
=0,75 ∗ 10 ∗ 2,5
0,75 ∗ 10 ∗ 𝑠𝑒𝑛237,3 + 2,5 ∗ 𝑐𝑜𝑠237,3 = 5,53 𝑀𝑃𝑎
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
126 I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L
Altura de sección requerida para el taco.
De NCh 1198, Sección 9.10.2
𝑡𝑟 = 41 𝑚𝑚 ≥ 𝑃 ∗ cos(𝛼𝑑𝑖𝑎𝑔 − 𝛾)
𝑏 ∗ 𝐹𝑐,𝛿= 3.127 ∗ cos(74,3 − 37)
41 ∗ 5,53= 11,0 𝑚𝑚
El taco se fija con clavos 100*4,3 mm., que funcionan en cizalle simple
NCh 1198, sección 9.6.2.3 Clavos 4”: D = 4,3 mm; 𝑙𝑐𝑙 = 100 𝑚𝑚
Como D<6,4 mm, entonces:
𝐹𝑓𝑓 = 896 − 58 ∗ 𝐷 = 896 − 58 ∗ 4,3 = 647 𝑀𝑃𝑎
𝑙𝑙 = ℎ𝑡𝑎𝑐𝑜 = 41 𝑚𝑚
𝑙𝑐 = min( ℎ𝑡𝑖𝑗𝑒𝑟𝑎𝑙; 𝑝 = 𝑙𝑐𝑙 − ℎ𝑡𝑎𝑐𝑜) = min( 138; 100 − 41) = 59 𝑚𝑚
Para el pino radiata, de NCh 1198, Anexo E
𝜌0 = 450 𝑘𝑔 𝑚3⁄
Luego, según Nch 1198, sección 9.6.2.2.3
𝑅𝑎𝑝,𝑐 = 𝑅𝑎𝑝,𝑙 = 115 ∗ (𝜌0 1.000)⁄ 1,84
𝑅𝑎𝑝,𝑐 = 𝑅𝑎𝑝,𝑙 = 115 ∗ (450 1.000)⁄ 1,84= 26,5 𝑀𝑝𝑎
Modos de fluencia:
𝑅𝑒 =𝑅𝑎𝑝,𝑐𝑅𝑎𝑝,𝑙
=26,5
26,5= 1
𝑅𝑡 =𝑙𝑐𝑙𝑙=59
41= 1,44
De NCh 1198, sección 9.6.2.1, tabla 36
Kd=2,2 para D < 4,3 mm
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L 127
Luego, para D < 6,4 mm → FA=Kd ⇒ FA=2,2
𝐾1 =√𝑅𝑒 + 2𝑅𝑒
2 ∗ (1 + 𝑅𝑡 + 𝑅𝑡2) + 𝑅𝑡
2 ∗ 𝑅𝑒3 − 𝑅𝑒 ∗ (1 + 𝑅𝑡)
1 + 𝑅𝑒
=√1 + 2 ∗ 1 ∗ (1 + 1,44 + 1,442) + 1,442 ∗ 1 − 1 ∗ (1 + 1,44)
1 + 1= 0,519
𝐾2 = −1 + √2 ∗ (1 + 𝑅𝑒) +2 ∗ 𝐹𝑓𝑓 ∗ (1 + 2 ∗ 𝑅𝑒) ∗ 𝐷
2
3 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑐 ∗ 𝑙𝑐2
= −1 + √2 ∗ (1 + 1) +2 ∗ 647 ∗ (1 + 2 ∗ 1) ∗ 4,32
3 ∗ 26,5 ∗ 592= 1,064
𝐾3 = −1 + √2 ∗ (1 + 𝑅𝑒)
𝑅𝑒+2 ∗ 𝐹𝑓𝑓 ∗ (2 + 𝑅𝑒) ∗ 𝐷
2
3 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑐 ∗ 𝑙𝑙2
= −1 + √2 ∗ (1 + 1)
1+2 ∗ 647 ∗ (2 + 1) ∗ 4,32
3 ∗ 26,5 ∗ 412= 1,130
Modo Ic:
𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 =𝐷 ∗ 𝑙𝑐 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑐
𝐹𝐴=4,3 ∗ 59 ∗ 26,5
2,2= 3.051 𝑁
Modo Il:
𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 =𝐷 ∗ 𝑙𝑙 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑙
𝐹𝐴=4,3 ∗ 41 ∗ 26,5
2,2= 2.121 𝑁
Modo II:
𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 =𝐾1 ∗ 𝐷 ∗ 𝑙𝑙 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑙
𝐹𝐴=0,519 ∗ 4,3 ∗ 41 ∗ 26,5
2,2= 1.101 𝑁
Modo IIIc:
𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 =𝐾2 ∗ 𝐷 ∗ 𝑙𝑐 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑐(1 + 2 ∗ 𝑅𝑒) ∗ 𝐹𝐴
=1,064 ∗ 4,3 ∗ 59 ∗ 26,5
(1 + 2 ∗ 1) ∗ 2,2= 1.082 𝑁
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
128 I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L
Modo IIIl:
𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 =𝐾3 ∗ 𝐷 ∗ 𝑙𝑙 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑐(2 + 𝑅𝑒)𝐹𝐴
=1,130 ∗ 4,3 ∗ 41 ∗ 26,5
(2 + 1) ∗ 2,2= 799 𝑁
Modo IV:
𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 =𝐷2
𝐹𝐴∗ √
2 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑐 ∗ 𝐹𝑓𝑓
3 ∗ (1 + 𝑅𝑒)=4,32
2,2∗ √
2 ∗ 26,5 ∗ 647
3 ∗ (1 + 1)= 635 𝑁
𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 = 𝑀í𝑛(3.051; 2.121; 1.101; 1.082; 799; 635) = 635 𝑁
𝑃𝑒𝑙,𝑑𝑖𝑠 = 𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 ∗ 𝑘𝑑 = 635 ∗ 1,25 = 793 𝑁
Cantidad de clavos requerida:
𝑛𝑟𝑒𝑞 =𝑇
𝑃𝑒𝑙,𝑑𝑖𝑠=844
793= 1,1 → 4
La unión se asegura lateralmente con la disposición de sendas cubrejuntas laterales de sección
33*90 mm fijadas por medio de 4 clavos en cada sector.
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L 129
Nudo C
Esquema de equilibrio estático
Organización de las piezas de madera
Se diseñará primero el empalme que permite la transición de la cuerda inferior de sección
bipartita 2/33*138 mm, a sección simple 41*138 mm. La subdivisión de esta en tres tramos
exige materializar el empalme a la izquierda del nudo.
Esquema de cuerpo libre:
Por simple inspección, la fuerza de interfaz es F = 15.538 N, orientada horizontalmente y
solicitando el borde extremo. Los restantes bordes son descargados ya que no existen
componentes de fuerza F que los soliciten.
Cantidad de clavos requerida,
𝑛𝑟𝑒𝑞 =𝐹
𝑃𝑒𝑙,𝑑𝑖𝑠=15.538
1.244= 12,5 → 15
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
130 I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L
Se disponen 5 hileras de 3 clavos
𝑠𝑛,𝑒𝑓 = 𝑠𝑏𝑑𝑛,𝑒𝑓 =ℎ
𝑛ℎ𝑖𝑙𝑒𝑟𝑎𝑠 + 1=
138
5 + 1= 23 𝑚𝑚 > 𝑠𝑛 = 𝑠𝑏𝑑𝑛 = 5 ∗ 𝐷 = 5 ∗ 4,3 = 21,5 𝑚𝑚
Del diseño del nudo A
𝑠𝑝,𝑒𝑓 = 55 𝑚𝑚 > 𝑠𝑝 = 12 ∗ 𝐷 = 51,6 𝑚𝑚
𝑠𝑏𝑐𝑝,𝑒𝑓 = 65 𝑚𝑚 > 𝑠𝑝 = 15 ∗ 𝐷 = 64,5 𝑚𝑚
Diagonal comprimida: 41*90 mm:
En la junta de contacto actúan las componentes de compresión,
𝐶 = 3.127 ∗ 𝑠𝑒𝑛(51,6°) = 2.450 𝑁
Y de cizalle,
𝑇 = 3.127 ∗ cos(51,6°) = 1.942 𝑁
Verificación del traspaso de C por contacto entre maderos.
Longitud efectiva de aplastamiento sobre el canto del tirante
𝑢 =ℎ𝑡𝑎𝑐𝑜
𝑠𝑒𝑛(64°)=
41
0,899= 45,6 𝑚𝑚
𝑣 = 𝑢 ∗ cos(51,6 − (90 − 64)) = 41,2 𝑚𝑚
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L 131
𝑤 = ℎ − 𝑣 = 90 − 40,1 = 48,9 𝑚𝑚
𝑙𝑎𝑝 =𝑤
𝑠𝑒𝑛(51,6°)=
48,9
0,784= 62,4 𝑚𝑚
𝑓𝑐𝑛 =𝐶
𝑏 ∗ 𝑙𝑎𝑝=
2.450
41 ∗ 62,4= 0,96 𝑀𝑃𝑎 < 𝐹𝑐𝑛,𝑑𝑖𝑠 = 2,5 𝑀𝑃𝑎
Traspaso de fuerza T:
Se dispone un taco equivalente a un embarbillado de medio talón, por lo que el extremo de
contacto con el puntal se inclina en,
(180 − 51,6)
2= 64°
Con respecto al canto de la cuerda inferior,
𝛾 = 90 − 64 = 26°
Desangulación fuerza normal con dirección de la fibra en el puntal diagonal,
𝛿𝑑𝑖𝑎𝑔 = 𝛼𝑑𝑖𝑎𝑔 − 𝛾 = 51,6 − 26 = 25,6°
Desangulación fuerza normal con dirección de la fibra taco
𝛿𝑑𝑖𝑎𝑔 = 90 − 64 = 26°
𝛿 = max(𝛿𝑑𝑖𝑎𝑔 ; 𝛿𝑡𝑎𝑐𝑜) = max(25,6; 26) = 26°
𝐹𝑐,𝛿 =0,75 ∗ 𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠 ∗ 𝐹𝑐𝑛,𝑑𝑖𝑠
0,75 ∗ 𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠 ∗ 𝑠𝑒𝑛2𝛿 + 𝐹𝑐𝑛,𝑑𝑖𝑠 ∗ 𝑐𝑜𝑠
2𝛿
=0,75 ∗ 10 ∗ 2,5
0,75 ∗ 10 ∗ 𝑠𝑒𝑛226 + 2,5 ∗ 𝑐𝑜𝑠226 = 5,42 𝑀𝑃𝑎
Altura de sección requerida para el taco.
De NCh 1198, Sección 9.10.2
𝑡𝑟 = 41 𝑚𝑚 ≥ 𝑃 ∗ cos(𝛼𝑑𝑖𝑎𝑔 − 𝛾)
𝑏 ∗ 𝐹𝑐,𝛿= 3.127 ∗ cos(51,6 − 26)
41 ∗ 5,42= 12,6 𝑚𝑚
El taco se fija con clavos 100*4,3 mm., que funcionan en cizalle simple
Cantidad de clavos requerida
𝑛𝑟𝑒𝑞 =𝑇
𝑃𝑒𝑙,𝑑𝑖𝑠=1.942
794= 2,5 ⟶ 4
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
132 I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L
La unión se asegura lateralmente clavándose a las piezas laterales de la diagonal traccionada
que converge al nudo
Diagonal traccionada: 2 / 33 x 90 mm
Cantidad de clavos requerida
𝑛𝑟𝑒𝑞 =𝐹
𝑃𝑒𝑙,𝑑𝑖𝑠=5.204
1.244= 4,2 ⟶ 6
Se disponen 2 hileras de 3 clavos
𝑠𝑛,𝑒𝑓 = 𝑠𝑏𝑑𝑛,𝑒𝑓 =ℎ
𝑛ℎ𝑖𝑙𝑒𝑟𝑎𝑠 + 1=
90
3 + 1= 22,5 𝑚𝑚 > 𝑠𝑛 = 𝑠𝑏𝑑𝑛 = 21,5 𝑚𝑚
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L 133
EJEMPLO 22: Diseño de uniones con placas dentadas en una cercha
Diseñar las uniones y empalme con placa dentada indicadas en la cercha de la figura, solicitada
por densidades de carga 𝑞𝑡 = 1,633 𝑘𝑁 𝑚2⁄ y 𝑞𝑐 = 0,61 𝑘𝑁 𝑚2⁄ que actúan directamente
sobre los tijerales, de escuadría nominal 2 x 6, y la cuerda inferior, de escuadría nominal 2 x 5,
respectivamente, considerando un espaciamiento entre cerchas de 0,80 m. Se dispone de
madera aserrada estructural, cepillada de pino Radiata (NCh 2824), Grado C24, en condición
seca y se utilizan placas GN 20 A Gang Nail (Automated Buildings).
Esfuerzos internos y reacciones:
Solución:
Nudo A: alero.
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
134 I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L
Se selecciona un par de placas 100*225 mm
𝑏𝑝𝑙𝑎𝑐𝑎tan (𝛾)
=100
0,42= 238 𝑚𝑚 > 𝑙𝑝𝑙𝑎𝑐𝑎 = 225 𝑚𝑚
Posición balanceada de placas ⇒ Δ = 0,5 ∗ (238 − 255) = 6,5 𝑚𝑚
𝑑𝐸 = (𝑏𝑝𝑙𝑎𝑐𝑎 − Δ ∗ tan (𝛾)) ∗ cos(𝛾) = (100 − 6,5 ∗ 0,42) ∗ 0,922 = 89,7 𝑚𝑚
𝑏𝑒𝑓 =𝑙𝑝𝑙𝑎𝑐𝑎
cos (𝛾)=
225
0,922= 244 𝑚𝑚 ⇒ 0,55 ∗ 𝑏𝑒𝑓 = 134 𝑚𝑚 > 𝑑𝐸
La totalidad de la superficie de anclaje es efectiva al cizalle
De acuerdo con NCh 1198, Sección 9.9.3.4
𝐴1 = 𝐴2 = 0,5 ∗ 100 ∗ 225 = 11.250 𝑚𝑚2
𝑃3𝑛 = 1.633 ∗ cos(22,8°) = 1.506 𝑁
𝑃3𝑡 = 1.633 ∗ 𝑠𝑒𝑛(22,8°) = 632 𝑁
𝐹𝑛 = 1.506 𝑁
𝐹𝑡 = 𝐶 + 𝑃3𝑡 = 16.853 + 632 = 17.485 𝑁
Solicitación de anclaje sobre el dentado:
De acuerdo con NCh 1198, Sección 9.9.3.3
𝑓𝑎,𝑁 2⁄ =0,5 ∗ 1.506
2 ∗ 11.250= 0,034
𝑁
𝑚𝑚2
𝑓𝑎,𝑐𝑧 =17.485
2 ∗ 11.250= 0,777
𝑁
𝑚𝑚2
𝑓𝑎 = √0,0342 + 0,7772 = 0,778 𝑁 𝑚𝑚2⁄
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L 135
Desangulación respecto a la junta de contacto
𝛿 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(0,034 0,777⁄ ) = 2,5 °
Desangulación fuerza eje axial de placa
𝛼 = 𝛿 + 𝛾 = 2,5 + 22,8 = 25,3°
Desangulación fuerza-fibra tijeral,
𝛽𝑡𝑖𝑗 = 𝛿 = 2,5°
Desangulación fuerza-fibra cuerda inferior,
𝛽𝑐𝑖 = 𝛿 + 𝛾 = 2,5 + 22,8 = 25,3°
Condiciona la capacidad admisible de carga de anclaje
De Anexo H, Tabla H1
𝐹25,3°;0° = 1,1 𝑀𝑃𝑎
𝐹25,3°;90° = 0,74 𝑀𝑃𝑎
Interpolando para 𝛽 = 2,5°
𝐹∝,𝛽 =𝐹𝑎𝑝 ∗ 𝐹𝑎𝑛
𝐹𝑎𝑝 ∗ 𝑠𝑒𝑛2𝛽 + 𝐹𝑎𝑛 ∗ 𝑐𝑜𝑠
2𝛽
𝐹𝑎,𝛼𝛽 =1,1 ∗ 0,74
1,1 ∗ 𝑠𝑒𝑛2(2,5°) + 0,74 ∗ 𝑐𝑜𝑠2(2,5°)= 1,01 𝑀𝑃𝑎
Para el nudo de alero, de acuerdo con NCh 1198, Sección 9.9.4 si
𝛿 = 22,8° ⇒ 𝜂 = 0,85 −12 ∗ 𝑡𝑎𝑛(22,8°) − 2
20= 0,70
𝐹𝑎,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑎 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝜂 = 1,1 ∗ 1,25 ∗ 0,7 = 0,956 𝑀𝑃𝑎 > 𝑓𝑎
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
136 I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L
Verificación placa
𝑓𝑐 =0,5 ∗ 𝐹𝑛2 ∗ 𝑏𝑒𝑓
=0,5 ∗ 1.506
2 ∗ 244= 1,54 𝑁 𝑚𝑚⁄
𝑓𝑐𝑧 =𝐹𝑡
2 ∗ 𝑏𝑒𝑓=17.485
2 ∗ 244= 35,8 𝑁 𝑚𝑚⁄
𝛾 = 22,8°
De Anexo H, Tabla H 2
𝐹𝑝,𝑐 = 36 𝑁 𝑚𝑚⁄
𝐹𝑝,𝑐𝑧 = 𝐹𝑝,𝑐𝑖𝑧,15 + (𝛾 − 15)
15∗ (𝐹𝑝,𝑐𝑖𝑧,30 − 𝐹𝑝.𝑐𝑖𝑧,15)
= 33 + (25,3 − 15)
15∗ (40 − 33) = 36,6 𝑁/𝑚𝑚
Control interacción, NCh 1198, sección 9.9.5.3
(𝑓𝑐𝐹𝑝,𝑡
)
2
+ (𝑓𝑐𝑧𝐹𝑝,𝑐𝑧
)
2
= (1,54
36)2
+ (35,8
36,6)2
= 0,958 < 1
Nudo B
Se selecciona un par de placas 65*150 mm
En la junta de contacto actúan las componentes de compresión,
𝐶 = 𝐶3𝑛 = 3.127 ∗ 𝑠𝑒𝑛(74,3) = 3.011 𝑁
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L 137
Y de cizalle,
𝑇 = 𝐶3𝑡 = 3.127 ∗ 𝑐𝑜𝑠(74,3°) = 844 𝑁
Verificación del traspaso de C por contacto entre maderos
𝑙𝑢𝑛𝑖ó𝑛 =ℎ3
𝑠𝑒𝑛(74,3°)=
90
0,963= 93,5 𝑚𝑚
𝑓𝑐𝑛 =𝐶
𝑏 ∗ 𝑙𝑢𝑛𝑖ó𝑛=
3.011
41 ∗ 93,5= 0,79 𝑀𝑃𝑎 < 𝐹𝑐𝑛,𝑑𝑖𝑠 = 2,0 𝑀𝑃𝑎
Solicitación de anclaje sobre el dentado:
𝑙𝑝𝑙𝑎𝑐𝑎 = 150 𝑚𝑚
𝑏𝑝𝑙𝑎𝑐𝑎 = 65 𝑚𝑚
𝑑𝐸 =𝑙𝑝𝑙𝑎𝑐𝑎2
∗ 𝑠𝑒𝑛(74,3°) = 75 ∗ 0,963 = 72,2 𝑚𝑚
𝑠 = 𝑙𝐸 =𝑏𝑝𝑙𝑎𝑐𝑎
𝑠𝑒𝑛(74,3°)=
65
0,963= 67,5 𝑚𝑚
0,55 ∗ 𝑙𝐸 = 0,55 ∗ 67,5 = 37,1 𝑚𝑚 < 𝑑𝐸
𝐴𝑎 =65 ∗ 150
2− 10 ∗ 67,5 = 4.200 𝑚𝑚2
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
138 I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L
𝐴𝑐𝑧 = 67,5 ∗ (37,1 − 10) = 1.831 𝑚𝑚2
Solicitación de dentado,
De acuerdo con NCh 1198, Sección 9.9.3.3 para la verificación del anclaje de placa se considera
el 50 % de 𝐶3𝑛
𝑓𝑎,𝐶 2⁄ =0,5 ∗ 3.011
2 ∗ 4.200= 0.18 𝑀𝑃𝑎
𝑓𝑎,𝑐𝑧 =844
2 ∗ 1.829= 0,23 𝑀𝑃𝑎
𝑓𝑎 = √0,182 + 0,232 = 0,29 𝑀𝑃𝑎
𝛿 = arctan (0,18 0,23⁄ ) = 37,9°
Fijación al tijeral,
Desangulación fuerza-eje de placa
∝= 74,4 − 37,9 = 36,5°
Desangulación fuerza-fibra
𝛽 = 𝛿 = 37,9°
De Anexo H, Tabla H1
𝐹30°;0° = 1,1 𝑀𝑃𝑎
𝐹30°;90° = 0,74 𝑀𝑃𝑎
𝐹60°;0° = 1,0 𝑀𝑃𝑎
𝐹60°;90° = 0,74 𝑀𝑃𝑎
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L 139
𝐹𝑎36,5;0 = 𝐹𝑎30;0 + (𝛼 − 30)
30∗ (𝐹𝑎60;0 − 𝐹𝑎30;0)
𝐹𝑎36,5;0 = 1,1 + (36,5 − 30)
30∗ (1,1 − 1,0) = 1,08 𝑁/𝑚𝑚2
Interpolando para 𝛼 = 36,5° y 𝛽 = 37,9°
𝐹∝,𝛽 =𝐹𝑎𝑝 ∗ 𝐹𝑎𝑛
𝐹𝑎𝑝 ∗ 𝑠𝑒𝑛2𝛽 + 𝐹𝑎𝑛 ∗ 𝑐𝑜𝑠
2𝛽
𝐹𝑎36,3,38 =1,08 ∗ 0,74
1,08 ∗ 𝑠𝑒𝑛2(37,9°) + 0,74 ∗ 𝑐𝑜𝑠2(37,9°)= 0,92 𝑀𝑃𝑎
𝐹𝑎,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑎 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾𝐻 = 1,25 ∗ 0,92 = 1,15 𝑀𝑃𝑎 ≫ 𝑓𝑎
Fijación a la diagonal
∝= 𝛽 = 74,3 − 37,8 = 36,5°
Interpolando para 𝛼 = 36,3° y 𝛽 = 36,3°
𝐹∝,𝛽 =𝐹𝑎𝑝 ∗ 𝐹𝑎𝑛
𝐹𝑎𝑝 ∗ 𝑠𝑒𝑛2𝛽 + 𝐹𝑎𝑛 ∗ 𝑐𝑜𝑠
2𝛽
=1,08 ∗ 0,74
1,08 ∗ 𝑠𝑒𝑛2(36,3°) + 0,74 ∗ 𝑐𝑜𝑠2(36,3°)= 0,93 𝑀𝑃𝑎
𝐹𝑎,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑎 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾𝐻 ⇒ 𝐹𝑎,𝑑𝑖𝑠 = 1,25 ∗ 0,93 = 1,16 𝑀𝑃𝑎 ≫ 𝑓𝑎
Verificación solicitación de placa:
𝑠 = 𝑙𝑒 = 65 𝑚𝑚
𝑓𝑐 =𝐶 2⁄
2 ∗ 𝑠=
1.506
2 ∗ 67,5= 11,2 𝑁 𝑚𝑚⁄
𝑓𝑐𝑧 =𝑇
2 ∗ 𝑠=
844
2 ∗ 67,5= 6,25 𝑁 𝑚𝑚⁄
𝛾 = 180 − 74,3 = 105,7°
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
140 I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L
De Anexo H, Tabla H2.
𝐹𝑝,𝑐 105,7 = 𝐹𝑝,𝑐 105 + (𝐹𝑝,𝑐 105 − 𝐹𝑝,𝑐 120)
15∗ (105,7 − 105)
= 60 + (60 − 48)
15∗ (105,7 − 105) = 59,5 𝑁/𝑚𝑚
𝐹𝑝,𝑐𝑧 105,7 = 𝐹𝑝,𝑐𝑧 105 + (𝐹𝑝,𝑐𝑧 105 − 𝐹𝑝,𝑐𝑧 120)
15∗ (105,7 − 105)
= 25,5 + (25,5 − 24)
15∗ (105,7 − 105) = 25,4 𝑁/𝑚𝑚
Control interacción, NCh 1198, sección 9.9.5.3
(𝑓𝑐𝐹𝑝,𝑐
)
2
+ (𝑓𝑐𝑧𝐹𝑝,𝑐𝑧
)
2
= (11,2
59,5)2
+ (6,25
25,4)2
= 0,096 < 1
Nudo C
Se selecciona un par de placas 100*175 mm
Solicitaciones de nudo:
Descarga de cielo,
𝑃𝑡𝑛 = 1.627 𝑁
Fuerza axial cuerda inferior,
𝑇 = 15.538 − 10.359 = 5.179 𝑁
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L 141
Detalles de nudo:
Verificación de tensiones de anclaje:
Superficies efectivas de anclaje
Cuerda inferior:
0,55 ∗ 𝑙𝐸 = 0,55 ∗ 175 = 96,25 𝑚𝑚 > 𝑑𝐸 = 40 𝑚𝑚
𝐴𝑎 = (40 − 10) ∗ 175 = 5.250 𝑚𝑚2
𝐴𝑐𝑧 = 𝐴𝑎 = 5.250 𝑚𝑚2
Solicitación dentado:
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
142 I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L
𝑓𝑎,𝑇 =1.627
2 ∗ 5.250= 0,155 𝑀𝑃𝑎
𝑓𝑎,𝑐𝑧 =5.179
2 ∗ 5.250= 0,493 𝑀𝑃𝑎
𝑓𝑎 = √0,1552 + 0,4932 = 0,52 𝑀𝑃𝑎
𝛿 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(0,155 0,493⁄ ) = 17,4°
𝛼 = 𝛽 = 17,4°
De Anexo H, Tabla H1
𝐹17,4°;0° = 1,1 𝑀𝑃𝑎
𝐹17,4°;90° = 0,74 𝑀𝑃𝑎
𝐹∝,𝛽 =𝐹𝑎𝑝 ∗ 𝐹𝑎𝑛
𝐹𝑎𝑝 ∗ 𝑠𝑒𝑛2𝛽 + 𝐹𝑎𝑛 ∗ 𝑐𝑜𝑠
2𝛽
=1,1 ∗ 0,74
1,1 ∗ 𝑠𝑒𝑛2(17,4°) + 0,74 ∗ 𝑐𝑜𝑠2(17,4°)= 1,05 𝑀𝑃𝑎
𝐹𝑎,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑎 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾𝐻 ⇒ 𝐹𝑎,𝑑𝑖𝑠 = 1,25 ∗ 1,05 = 1,31 𝑀𝑃𝑎 ≫ 𝑓𝑎
Diagonal 3
𝐴𝑎,3 = (80 − 10)(60 − 10) − 0,5 ∗ 23 ∗ 29 = 3.167 𝑚𝑚2
𝑓𝑎 =3.127
2 ∗ 3.167= 0,494 𝑀𝑃𝑎
𝛼 = 51,6°
𝛽 = 0°
Por medio de interpolaciones en Tabla H1
𝐹𝑎,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑎 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾𝐻 ⇒ 𝐹𝑎,𝑑𝑖𝑠 = 1,25 ∗ 1,05 = 1,31 𝑀𝑃𝑎 ≫ 𝑓𝑎
𝐹𝑎51,6°;0° = 𝐹𝑎30°;0° − 𝛼 − 30
30∗ (𝐹𝑎60°;0° − 𝐹𝑎30°;0°)
= 1,1 − 51,6−30
30∗ (1,1 − 1,0) = 1,03 𝑁/𝑚𝑚2 > 𝑓𝑎
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L 143
Diagonal 4
𝐴𝑎,3 = (95 − 10)(60 − 10) − 0,5 ∗ 38 ∗ 48 = 3.339 𝑚𝑚2
𝑓𝑎 =5.204
2 ∗ 3.339= 0,78 𝑀𝑃𝑎
𝛼 = 51,6°
𝛽 = 0°
De Anexo H, Tabla H1
𝐹30°;0° = 1,1 𝑀𝑃𝑎
𝐹60°;90° = 1,00 𝑀𝑃𝑎
Interpolando
𝐹𝑎51,6°;0° = 𝐹𝑎30°;0° − 𝛼 − 30
30∗ (𝐹𝑎60°;0° − 𝐹𝑎30°;0°)
= 1,1 − 51,6−30
30∗ (1,1 − 1,0) = 1,03 𝑁/𝑚𝑚2 > 𝑓𝑎
Verificación solicitación de placa:
𝑠 = 175 𝑚𝑚
𝑓𝑡 =𝑃𝑡𝑛2 ∗ 𝑠
=1.627
2 ∗ 175= 4,65 𝑁 𝑚𝑚⁄
𝑓𝑐𝑧 =𝑇
2 ∗ 𝑠=
5.179
2 ∗ 175= 14,8 𝑁 𝑚𝑚⁄
𝛾 = 0°
De Anexo H, Tabla H2
𝐹𝑝,𝑡 = 36 𝑁 𝑚𝑚⁄
𝐹𝑝,𝑐𝑧 = 26 𝑁 𝑚𝑚⁄
Control interacción, NCh 1198, sección 9.9.5.3,
(𝑓𝑡𝐹𝑝,𝑡
)
2
+ (𝑓𝑐𝑧𝐹𝑝,𝑐𝑧
)
2
= (4,65
36)2
+ (14,8
26)2
= 0,341 < 1
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
144 I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L
Verificación contra desgarro de cuerda inferior:
𝑙𝑖 = 𝑙𝑑 = 4 ∗ (𝑑𝐸 − 10) = 4 ∗ (40 − 10) = 120 𝑚𝑚
𝑓𝑡𝑛 =𝑃
𝑏 ∗ (𝑤 + 4(𝑑𝐸 − 𝑐))=
1.627
41 ∗ (175 + 120)= 0,13 𝑀𝑃𝑎 > 𝐹𝑡𝑛,𝑑𝑖𝑠 = 0,1 𝑀𝑃𝑎
Se debe reforzar la cuerda inferior el entorno de la unión por medio de tornillos de costura de
rosca larga, o definir una longitud de placa no inferior a 250 mm, o incrementar
simultáneamente los parámetros 𝑑𝐸 y 𝑙𝑝𝑙𝑎𝑐𝑎 hasta reducir la tensión nominal de tracción
normal a la fibra por debajo del correspondiente valor de diseño.
Empalme cuerda inferior.
Disponiendo la placa con su eje axial paralelo al eje de la cuerda inferior ⇒𝛼 = 0°.
Dado que 𝛽 = 0°, Anexo H, Tabla H1 ⇒ 𝐹𝑎 = 1,1 𝑀𝑃𝑎
𝐹𝑎,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑎 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾𝐻 = 1,1 ∗ 1,25 ∗ 1 = 1,375 𝑀𝑃𝑎
Si se dispone el empalme en el tercio central de la cuerda
𝐴𝑎,𝑟𝑒𝑞 =𝑇
𝐹𝑎,𝑑𝑖𝑠=10,359 ∗ 103
2 ∗ 1,375= 3.767 𝑚𝑚2
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L 145
Se selecciona un par de placas de ancho 100 mm dispuestas centradas con respecto al eje del
cordón.
𝐵𝑒𝑓 = 115 − 2 ∗ 10 = 95 𝑚𝑚 < 𝐵 = 100 𝑚𝑚
𝐼𝑎,𝑟𝑒𝑞 =𝐴𝑎,𝑟𝑒𝑞𝐵𝑒𝑓
=3.767
95= 39,7 ⇒ 40 𝑚𝑚
⇒ 𝐿 = 2 ∗ (𝑙𝑎 + 10) = 2 ∗ (40 + 10) = 100 𝑚𝑚
Verificación placa:
𝛾 = 90° ⇒ 𝐹𝑝,𝑡 = 73 𝑁 𝑚𝑚⁄ Anexo H, Tabla H2
𝑓𝑝,𝑡 =𝑇
2 ∗ 𝐵=10,359 ∗ 103
2 ∗ 100= 51,8 𝑁 𝑚𝑚⁄ < 𝐹𝑝,𝑡
Si se dispone el empalme en el tercio central de la cuerda,
𝐴𝑎,𝑟𝑒𝑞 = 15.537
2 ∗ 1,375= 5.650 𝑚𝑚2
𝑙𝑎,𝑟𝑒𝑞 = 5.650
95= 59,5 𝑚𝑚 → 60 𝑚𝑚 ⇒ 𝐿 = 2 ∗ ( 60 + 10 ) = 140 𝑚𝑚
Verificación placa:
𝛾 = 90° ⇒ 𝐹𝑝,𝑡 = 73 𝑁 𝑚𝑚⁄ Anexo H, Tabla H2
𝑓𝑝,𝑡 =𝑇
2 ∗ 𝐵=15.537
2 ∗ 100= 77,7 𝑁 𝑚𝑚⁄ > 𝐹𝑝,𝑡
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
146 I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L
Se especifican placas de 115 x 140 mm
𝑓𝑝,𝑡 =𝑇
2 ∗ 𝐵=15.537
2 ∗ 115= 67,6 𝑁 𝑚𝑚⁄ < 𝐹𝑝,𝑡
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L 147
EJEMPLO 23: Diseño de uniones con conectores dentados en una cercha
Diseñar las uniones con conectores dentados tipo C indicadas en la cercha de la figura
solicitada por densidades de carga 𝑞𝑡 = 1,633 𝑘𝑁 𝑚2⁄ y 𝑞𝑐 = 0,61 𝑘𝑁 𝑚2⁄ que actúan
directamente sobre los tijerales y la cuerda inferior, respectivamente, considerando un
espaciamiento de 0,80 m. Se dispone de madera aserrada estructural, cepillada 4C de pino
Radiata, Grado C24, en condición seca.
𝑃1 = 𝑙1𝑡 ∗ 𝑎 ∗ 𝑞𝑡 = 2,5 ∗ 0,8 ∗ 1,633 = 3,266 𝑘𝑁
𝑃2 = 𝑙1𝑐 ∗ 𝑎 ∗ 𝑞𝑐 = (10 3⁄ ) ∗ 0,8 ∗ 0,61 = 1,627 𝑘𝑁
𝑃3 = 0,5 ∗ (𝑃1 + 𝑃2) = 1.633 + 813 = 2.446 𝑁
Esfuerzos internos y reacciones:
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
148 I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L
El tijeral y los montantes comprimidos se materializan con piezas de espesor nominal 2” (41
mm), la cuerda inferior combina una disposición de dos piezas de espesor nominal 1 ½” (33
mm) y piezas de espesor nominal 2” (41 mm), mientras que para las diagonales traccionadas
se considera dos piezas de espesor nominal 1 ½” (33 mm). Las uniones se construyen usando
conectores dentados Tipo C.
Solución:
Nudo A: alero
Esquema de equilibrio estático
Organización de piezas de madera
Determinación fuerza de interfaz F:
Se analizará la condición de equilibrio estático del cuerpo libre constituido por la cuerda
inferior, considerando las fuerzas externas e internas que actúan sobre él.
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L 149
Resultante de fuerzas:
𝑅 = √(8.971 − 813)2 + 15.5382 = 17.550 𝑁
𝜙 = 𝑎𝑡𝑎𝑛 (8.971 − 813
15.538) = 27,7°
La orientación de la fuerza de interfaz determina la naturaleza de bordes del extremo del
tirante indicada en la figura,
En el tijeral la fuerza de interfaz F actúa en sentido contrario y desangulada en 𝜙1 = 𝜙 − 𝛼 =
27,7 − 22,8 = 4,9° con respecto al eje de la pieza. Su orientación determina la naturaleza de
bordes indicada en la figura,
En las piezas constituyentes de la cuerda inferior se produce la desangulación máxima entre la
fuerza de interfaz y la dirección de la fibra de las piezas: 27,7°.
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
150 I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L
La unión se diseñará considerando el uso de conectores de hinca tipo C Calibre D 50.
Capacidades admisibles de carga:
Del anexo I, tabla I.1:
𝑃𝑝,𝑎𝑑 = 5 𝑘𝑁
𝑃𝑛,𝑎𝑑 = 4 𝑘𝑁
𝑃27,7°,𝑎𝑑 =𝑃𝑝,𝑎𝑑 ∗ 𝑃𝑛,𝑎𝑑
𝑃𝑝,𝑎𝑑 ∗ 𝑠𝑒𝑛2𝛾 + 𝑃𝑛,𝑎𝑑 ∗ 𝑐𝑜𝑠
2𝛾=
5 ∗ 4
5 ∗ 𝑠𝑒𝑛2(27,7°) + 4 ∗ 𝑐𝑜𝑠2(27,7°)= 4,744 𝐾𝑁
𝑃27,7°,𝑑𝑖𝑠 = 𝑃27,7°,𝑎𝑑 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾𝐻 = 4,744 ∗ 1,25 ∗ 1 = 5,93 𝐾𝑁
La solución mínima considera 1 perno y 2 conectores
𝑃𝑑𝑖𝑠 = 2 ∗ 𝑃27,7°,𝑑𝑖𝑠 = 2 ∗ 5,93 = 11,859 𝑘𝑁
Cantidad de unidades requerida:
𝑛𝑟𝑒𝑞 =𝐹
𝑃22,7°,𝑑𝑖𝑠=15.538
11.859= 1,48 ⇒ 2
Se requiere disponer 2 pares de conectores
Para calibre de conectores se deben respetar los siguientes espaciamientos mínimos:
Al borde, cargado o descargado, según la dirección de la fibra,
𝑠𝑝 = 𝑠𝑏𝑐𝑝 = 120 𝑚𝑚
Al borde cargado normal a la dirección de la fibra,
𝑠𝑏𝑐𝑛 = 50 𝑚𝑚
Al borde descargado normal a la dirección de la fibra,
𝑠𝑏𝑑𝑛 = 45 𝑚𝑚
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L 151
Entre conectores, según la dirección de la fibra,
𝑠𝑝 = 120 𝑚𝑚
Entre conectores, normal a la dirección de la fibra,
𝑠𝑛 = 56 𝑚𝑚
Espesor mínimo de madera,
𝑏𝑚í𝑛 = 40 𝑚𝑚
Se consideran piezas de 65x162 mm para los tijerales, piezas de 65x90 mm para diagonales
comprimidas y 3 piezas de 41x90 mm para las diagonales traccionadas. La cuerda inferior se
materializa con 2 piezas de 41x138 mm en los tercios laterales, y con una pieza de 65x138 mm
en el tercio central.
Diseño de la unión
La verificación tensional en tracción de la cuerda inferior se desarrollará en el empalme del
elemento.
En la cuerda inferior se debe realizar la verificación tensional (tracción normal a la dirección de
la fibra) tijeral, según NCh 1198, Anexo T, ya que la desangulación máxima entre la fuerza de
interfaz de la unión y la fibra de la madera se manifiesta en este elemento.
𝑎
ℎ=
69
138= 0,5
𝑊 =𝑠𝑛
𝑠𝑒𝑛 (22,8)=
62
𝑠𝑒𝑛 (22,8)= 160 𝑚𝑚
𝑐 =4
3∗ √
𝑎
ℎ∗ (1 −
𝑎
ℎ)3
=4
3∗ √0,5 ∗ (1 − 0,5)3 = 0,333
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
152 I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L
𝑊𝑒𝑓 = √𝑊2 + (𝑐 ∗ ℎ)2 = √1602 + (0,333 ∗ 138)2 = 167 𝑚𝑚
𝑏𝑒𝑓 = min(2 ∗ 𝑏𝑙; 2 ∗ 50 ) = min(2 ∗ 41; 2 ∗ 50) = 82 𝑚𝑚
𝐴𝑒𝑓 = 𝑏𝑒𝑓 ∗ 𝑊𝑒𝑓 = 82 ∗ 167 = 13.660 𝑚𝑚2
𝐹𝑡𝑛 = min(3,33 ∗ 𝐴𝑒𝑓−0,2 ; 0,53) = min(3,33 ∗ 13.660−0,2 ; 0,53)
= min(0,50 ; 0,53) = 0,50 𝑀𝑃𝑎
𝑓1(𝑎 ℎ⁄ ) =1
1 − 3 ∗ (𝑎ℎ)2+ 2 ∗ (
𝑎ℎ)3 =
1
1 − 3 ∗ (0,5)2 + 2 ∗ (0,5)3= 2,00
𝑓2(ℎ1 ℎ𝑖⁄ ) =𝑛ℎ𝑖𝑙𝑒𝑟𝑎𝑠
∑(ℎ1ℎ𝑖)2 =
1
1= 1
Para conectores especiales
⇒ 𝑓3(𝑀𝑑𝑈) = 1,1
𝑇𝑛,𝑎𝑑 = 𝐹𝑡𝑛 ∗ 𝐴𝑒𝑓 ∗ 𝑓1(ℎ1 ℎ𝑖⁄ ) ∗ 𝑓2(ℎ1 ℎ𝑖⁄ ) ∗ 𝑓3(𝑀𝑑𝑈)
𝑇𝑛,𝑎𝑑 = 0,5 ∗ 13.660 ∗ 2,0 ∗ 1 ∗ 1,1 = 14.902 𝑁
Componente de tracción orientada normal a la dirección de la fibra,
𝑇𝑛 = 𝑇 ∗ 𝑠𝑒𝑛(27,7) = 17.550 ∗ 0,465 = 8.158 𝑁 < 𝑇𝑛,𝑎𝑑
Control de espaciamientos
En el tijeral
𝑠𝑏𝑛,𝑒𝑓 = 50 𝑚𝑚 > 𝑠𝑏𝑐𝑛,𝑚𝑖𝑛 = 45 𝑚𝑚
𝑠𝑛,𝑒𝑓 = 62 𝑚𝑚 > 𝑠𝑛,𝑚𝑖𝑛 = 56 𝑚𝑚
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L 153
En la cuerda inferior
𝑠𝑏𝑝,𝑒𝑓 =𝑆𝑛,𝑒𝑓,𝑡𝑖𝑗
𝑠𝑒𝑛(22,8°)=
50
0,388= 129 𝑚𝑚 > 𝑠𝑏𝑐𝑝,𝑚𝑖𝑛 = 120 𝑚𝑚
𝑠𝑝,𝑒𝑓 =𝑆𝑏𝑛,𝑒𝑓,𝑡𝑖𝑗
𝑠𝑒𝑛(22,8°)=
62
0,388= 160 𝑚𝑚 > 𝑠𝑝,𝑚𝑖𝑛 = 120 𝑚𝑚
𝑠𝑏𝑛,𝑒𝑓 = 69 𝑚𝑚 > 𝑠𝑏𝑐𝑛,𝑚𝑖𝑛 = 45 𝑚𝑚
Nudo B
Esquema de equilibrio estático
Organización de las piezas de madera
Por traspasarse las fuerzas de compresión por contacto entre maderos, no se requiere del uso
de conectores y la unión se diseñará en forma análoga a la desarrollada en el ejemplo 21 para
una cercha con uniones clavadas.
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
154 I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L
Nudo C
Esquema de equilibrio estático
Organización de las piezas de madera
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L 155
Se diseñará primero el empalme que permite la transición de la cuerda inferior de sección
bipartita 2/41*138 mm, a sección simple 41*138 mm. La subdivisión de esta en tres tramos
exige materializar el empalme a la izquierda del nudo.
Esquema de cuerpo libre:
Por simple inspección, la fuerza de interfaz F = 15.538 N orientada horizontalmente y
solicitando el borde extremo. Los restantes bordes son descargados ya que no existen
componentes de fuerza F que los soliciten.
Conector Tipo C, calibre D62 (anexo I):
𝑃𝑝,𝑎𝑑 = 7 𝑘𝑁
𝑆𝑏𝑐𝑝 = 𝑆𝑏𝑑𝑝 = 120 𝑚𝑚
𝑆𝑏𝑐𝑛 = 55 𝑚𝑚
𝑆𝑏𝑑𝑛 = 45 𝑚𝑚
𝑆𝑝 = 120 𝑚𝑚
𝑆𝑛 = 70 𝑚𝑚
𝑃𝑝,𝑑𝑖𝑠 = 𝑃𝑝,𝑎𝑑 ∗ 𝐾𝐷 = 7 ∗ 1,25 = 8,75 𝑘𝑁
𝑃𝑑𝑖𝑠 = 2 ∗ 𝑃𝑝,𝑑𝑖𝑠 = 2 ∗ 8,75 = 17,5 𝑘𝑁 = 17.500 𝑁
Cantidad de unidades requerida
𝑛𝑟𝑒𝑞 =𝐹
𝑃𝑒𝑙,𝑑𝑖𝑠=15.538
17.500= 0,89 ⇒ 1
𝑠𝑏𝑐𝑝,𝑒𝑓 = 𝑠𝑏𝑐𝑝 = 120 𝑚𝑚
𝑠𝑏𝑐𝑛,𝑒𝑓 = 69 𝑚𝑚 > 𝑠𝑏𝑑𝑛 = 50 𝑚𝑚
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
156 I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L
Verificación tensional madera:
Para madera laminada encolada de Pino radiata híbrida
𝐹𝑡𝑝 = 4,0 𝑀𝑃𝑎
𝐹𝑐𝑧 = 1,1 𝑀𝑃𝑎
En la tabla 19 de la NCh 1198, sección 7.4.3 no se mencionan los conectores de hinca. En la
nueva redacción de la norma se definirán valores de 0,6 y 0,7 para el factor de concentración
de tensiones asociado al uso de conectores de hinca en uniones traccionadas para madera
aserrada y madera laminada encolada, respectivamente.
𝐹𝑡𝑝,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑡𝑝 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾𝐻 ∗ 𝐾𝑐𝑡 = 4,0 ∗ 1,25 ∗ 0,7 = 3,5 𝑀𝑃𝑎
Los conectores de hinca tipo C de calibre D62 se usan con pernos de diámetro ½’’, cuya
colocación exige el vaciado de agujeros con diámetro mayorado. Se considera
conservadoramente un diámetro de agujero de 14 mm. La altura del conector D62 es de 16
mm.
Para cada conector D62 se considera un debilitamiento en sección transversal de la pieza de
madera de 200 mm2.
La sección transversal crítica corresponde a la pieza central de la unión
𝐴𝑛𝑒𝑡𝑎 = 𝑏 ∗ ℎ − 𝑏 ∗ 𝐷𝑎𝑔𝑢𝑗𝑒𝑟𝑜 − 2 ∗ ∆𝐴,𝑐𝑜𝑛𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟
𝐴𝑛𝑒𝑡𝑎 = 65 ∗ 138 − 65 ∗ 14 − 2 ∗ 200 = 7.660 𝑚𝑚2
𝑓𝑡 =𝑇
𝐴𝑛𝑒𝑡𝑎=15.538
7.660= 2,0 𝑀𝑃𝑎 < 𝐹𝑡𝑝,𝑑𝑖𝑠 = 3,5 𝑀𝑃𝑎
Verificación desgarro bloques de madera:
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L 157
Los planos de cizalle de los bloques considerados en el modo de falla se basan en las
dimensiones de los conectores D62 indicadas en el Anexo I. La superficie de cizalle en el borde
cargado se muestra en la figura y se calcula como el área total limitada por la dimensión
exterior del conector menos el área del agujero del perno. Para los planos de cizalle tangentes
al borde del conector se asume un ancho equivalente a la penetración de los dientes del
conector en la madera.
𝐹𝑐𝑧,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑐𝑧 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾𝐻 = 1,1 ∗ 1,25 ∗ 1 = 1,375 𝑀𝑃𝑎
𝐴𝑏𝑜𝑟𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎𝑑𝑜 = 𝑠𝑏 ∗ 𝐷𝑐𝑜𝑛𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 + 0,5 ∗𝜋 ∗ 𝐷𝑐𝑜𝑛𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟
2
4= 120 ∗ 62 + 0,5 ∗
𝜋 ∗ 622
4= 8.950 𝑚𝑚2
𝐴𝑎𝑔𝑢𝑗𝑒𝑟𝑜 =𝜋 ∗ 𝐷𝑎𝑔𝑢𝑗𝑒𝑟𝑜
2
4=𝜋 ∗ 142
4= 154 𝑚𝑚2
𝐴𝑐𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑎 = 𝐴𝑏𝑜𝑟𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎𝑑𝑜 − 𝐴𝑎𝑔𝑢𝑗𝑒𝑟𝑜 = 8.950 − 154 = 8.796 𝑚𝑚2
𝐴𝑠𝑢𝑝.𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 = 2 ∗ 𝑠𝑝 ∗ 0,5 ∗ 𝐻𝑐𝑜𝑛𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 = 2 ∗ 120 ∗ 0,5 ∗ 16 = 1.920 𝑚𝑚2
Cargas de diseño por desgarro de bloque:
𝑇𝑙,𝑑𝑖𝑠 = 0,5 ∗ 𝐹𝑐𝑖𝑧,𝑑𝑖𝑠 ∗ (𝐴𝑐𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑎 + 𝐴𝑠𝑢𝑝.𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙) = 0,5 ∗ 1,375 ∗ (8.796 + 1.920) = 7.367 𝑁
Dado que existen dos bloques potenciales de desgarro
𝑇𝑑𝑖𝑠 = 2 ∗ 𝑇𝑙,𝑑𝑖𝑠 = 2 ∗ 7.367 = 14.734 𝑁 < 𝑇𝑒𝑓 = 15.538 𝑁
Se debe incrementar el espaciamiento al borde a 130 mm.
𝐴𝑏𝑜𝑟𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎𝑑𝑜 = 130 ∗ 62 + 0,5 ∗𝜋 ∗ 622
4= 9.570 𝑚𝑚2
𝐴𝑐𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑎 = 𝐴𝑏𝑜𝑟𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎𝑑𝑜 − 𝐴𝑎𝑔𝑢𝑗𝑒𝑟𝑜 = 9.570 − 154 = 9.416 𝑚𝑚2
𝐴𝑠𝑢𝑝.𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 = 2 ∗ 130 ∗ 0,5 ∗ 16 = 2.080 𝑚𝑚2
𝑇𝑑𝑖𝑠 = 2 ∗ 0,5 ∗ 1,375 ∗ (9.416 + 2.080) = 15.806 𝑁 > 𝑇𝑒𝑓 = 15.538 𝑁
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
158 I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L
Diagonal comprimida: 41*90 mm
La fijación de la diagonal comprimida se diseña en forma análoga a la solución desarrollada
para las uniones clavadas en el ejemplo 21.
Diagonal traccionada: 2/41*115 mm:
Esquema de cuerpo libre del extremo de la diagonal traccionada,
Por simple inspección la fuerza de interfaz F = 5.204 N se orienta según el eje de la diagonal y
solicita el borde extremo condiciona la naturaleza de bordes indicada en la figura.
En la cuerda horizontal la fuerza de interfaz actúa con la misma dirección pero con sentido
opuesto, y condiciona la naturaleza de los bordes que se consigna en la figura,
Desangulación máxima entre la fuerza de interfaz y la dirección de la fibra de los maderos
involucrados en la unión: 51,6°.
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L 159
Conector C50:
𝑃𝑝,𝑎𝑑 = 5 𝑘𝑁
𝑃𝑛,𝑎𝑑 = 4 𝑘𝑁
𝑃𝛽,𝑎𝑑 =𝑃𝑝,𝑎𝑑∗𝑃𝑛,𝑎𝑑
𝑃𝑝,𝑎𝑑∗𝑠𝑒𝑛2𝛽+𝑃𝑛,𝑎𝑑∗𝑐𝑜𝑠
2𝛽=
5∗4
5∗𝑠𝑒𝑛2(51,6°)+4∗𝑐𝑜𝑠2(51,6°)= 4,335 𝑘𝑁
𝑃51,6°,𝑑𝑖𝑠 = 𝑃51,6°,𝑎𝑑 ∗ 𝐾𝐷 = 4,335 ∗ 1,25 = 5,42 𝑘𝑁
La solución mínima considera 1 perno y 2 conectores
𝑃𝑑𝑖𝑠 = 2 ∗ 𝑃51,6°,𝑑𝑖𝑠 = 2 ∗ 5,42 = 10,838 𝑘𝑁 = 10.838 𝑁
Cantidad de unidades requerida
𝑛𝑟𝑒𝑞 =𝐹
𝑃𝑑𝑖𝑠=
5.204
10.838= 0,48 ⇒ 1
Se dispone 1 unidad
Verificación tensional diagonal:
Los conectores de hinca tipo C de calibre D50 se usan con pernos de diámetro ½’’, cuya
instalación exige el vaciado de agujeros con diámetro mayorado. Se considera
conservadoramente un diámetro de agujero de 14 mm. La altura del conector D50 es 12,5 mm.
Para cada conector D50 se considera un debilitamiento en sección transversal de la pieza de
madera de 90 mm2.
Sección transversal crítica de la diagonal,
𝐴𝑛𝑒𝑡𝑎 = 2𝑏 ∗ (ℎ − 𝐷𝑎𝑔𝑢𝑗𝑒𝑟𝑜) − 2 ∗ Δ𝐴𝑐𝑜𝑛𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 = 2 ∗ 41 ∗ (90 − 14) − 2 ∗ 90 = 6.052 𝑚𝑚2
𝑓𝑡 =𝑇
𝐴𝑛𝑒𝑡𝑎=5.204
6.052= 0,86 𝑀𝑃𝑎 < 𝐹𝑡𝑝,𝑑𝑖𝑠 = 3,5 𝑀𝑃𝑎
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
160 I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L
Verificación desgarro bloques madera:
Los planos de cizalle de los bloques considerados en el modo de falla se basan en las
dimensiones de los conectores D62 indicadas en el anexo I. La superficie de cizalle en el borde
cargado se muestra en la figura y se calcula como el área total limitada por la dimensión
exterior del conector menos el área del agujero del perno. Para los planos de cizalle tangentes
al borde del conector se asume un ancho equivalente a la penetración de los dientes del
conector en la madera.
𝐴𝑏𝑜𝑟𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎𝑑𝑜 = 120 ∗ 50 + 0,5 ∗𝜋 ∗ 502
4= 6.982 𝑚𝑚2
𝐴𝑐𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑎 = 𝐴𝑏𝑜𝑟𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎𝑑𝑜 − 𝐴𝑎𝑔𝑢𝑗𝑒𝑟𝑜 = 6.982 − 154 = 6.828 𝑚𝑚2
𝐴𝑠𝑢𝑝.𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 = 2 ∗ 120 ∗ 0,5 ∗ 12,5 = 1.500 𝑚𝑚2
𝑇𝑑𝑖𝑠 = 2 ∗ 0,5 ∗ 1,375 ∗ (6.828 + 1.500) = 11.541 𝑁 > 𝑇𝑒𝑓 = 5.204 𝑁
Verificación tensional (tracción normal a la dirección de la fibra) de la cuerda inferior, según
NCh 1198, anexo T:
𝑎
ℎ=
90
138= 0,652
𝑤 = 0; ya que la unión consta de una fila
𝑐 =4
3∗ √
𝑎
ℎ∗ (1 −
𝑎
ℎ)3
=4
3∗ √0,652 ∗ (1 − 0,652)3 = 0,221
𝑤𝑒𝑓 = √𝑤2 + (𝑐 ∗ ℎ)2 = √0 + (0,221 ∗ 138)2 = 30,5 𝑚𝑚
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L 161
𝑏𝑒𝑓 = min(𝑏 ; 2 ∗ 50) = min(65 ; 100) = 65 𝑚𝑚
𝐴𝑒𝑓 = 𝑏𝑒𝑓 ∗ 𝑤𝑒𝑓 = 65 ∗ 30,5 = 1.981 𝑚𝑚2
𝐹𝑡𝑛 = min(3,33 ∗ 𝐴𝑒𝑓−0,2; 0,53) = min(0,73; 0,53 ) = 0,53 𝑀𝑃𝑎
𝑓1(𝑎 ℎ⁄ ) =1
1 − 3 ∗ (𝑎ℎ)2+ 2 ∗ (
𝑎ℎ)3 =
1
𝑎 − 3 ∗ (0,652)2 + 2 ∗ (0,652)3= 3,59
𝑓2(ℎ1 ℎ𝑖⁄ ) =𝑛
∑(ℎ𝑙ℎ𝑖)2 =
1
1= 1
Para conectores especiales ⇒ 𝑓3(𝑀𝑑𝑈) = 1,1
𝑇𝑛,𝑎𝑑 = 𝐹𝑡𝑛 ∗ 𝐴𝑒𝑓 ∗ 𝑓1(𝑎 ℎ⁄ ) ∗ 𝑓2(ℎ1 ℎ𝑖⁄ ) ∗ 𝑓3(𝑀𝑑𝑈)
𝑇𝑛,𝑎𝑑 = 0,53 ∗ 1.981 ∗ 3,59 ∗ 1 ∗ 1,1 = 4.143 𝑁
Componente de tracción orientada normal a la dirección de la fibra:
𝑇𝑛 = 𝑇 ∗ 𝑠𝑒𝑛(51,6) = 5.204 ∗ 0,784 = 4.078 𝑁 < 𝑇𝑛,𝑎𝑑
El diseño definitivo del empalme y el nudo se presenta en la siguiente figura.
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
162 I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L
Control de espaciamientos:
En el madero diagonal
𝑠𝑏𝑐𝑝,𝑒𝑓 =48 + 50
𝑠𝑒𝑛(51,6°)= 125 𝑚𝑚 > 𝑠𝑏𝑐𝑝 = 120 𝑚𝑚
𝑠𝑏𝑑𝑛,𝑒𝑓 = 45 𝑚𝑚 > 𝑠𝑏𝑑𝑛 = 40 𝑚𝑚
En la cuerda inferior
𝑠𝑏𝑐𝑛,𝑒𝑓 = 90 𝑚𝑚 > 𝑠𝑏𝑐𝑛 = 40 𝑚𝑚
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L 163
EJEMPLO 24: Diseño de unión de alero de estructura de techo construida
con conectores anulares
Determinar la capacidad de carga de diseño de la unión de alero de una estructura de techo
que se esquematiza en la figura, aplicando las especificaciones de NCh1198 Of.2006. Se
dispone de conectores de acero anulares Ø66,5 mm y piezas de madera aserrada en bruto de
Lenga correspondiente al grado estructural N°3 (NCh 1970). La madera tiene un contenido de
humedad de 25 % durante la construcción y se seca hasta un 15 % en servicio. La inclinación
del tijeral es 30°.
Solución:
Determinación de la fuerza de interfaz (fuerza que se traspasa efectivamente en la unión).
Análisis de cuerpo libre del tirante, considerando la totalidad de las fuerzas externas e internas
que actúan sobre él.
∑𝐹ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙 = 0 ⇒ 𝐹 + 𝑇𝑑𝑖𝑠 = 0 ⇒ 𝐹 = −𝑇𝑑𝑖𝑠
Fuerza de interfaz F: Magnitud Tdis ; Dirección: horizontal ; Sentido: apunta a la izquierda.
Designación de bordes (NCh 1198, Secciones 9.1.2.6 y 9.1.2.7):
La orientación de la fuerza de interfaz, que se descompone en el 100% según la dirección de la
fibra del tirante, determina la siguiente naturaleza para los bordes del tirante involucrado en la
unión.
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
164 I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L
bc: Borde cargado; bd: Borde descargado
Carga de diseño de los conectores
En tijeral:
Por el principio de acción y reacción, en este madero la fuerza de interfaz apunta hacia la
derecha. La descomposición de la fuerza según las direcciones paralela y normal a la fibra de la
madera de acuerdo con el siguiente esquema,
Condiciona la designación de bordes, según lo consignado en la siguiente figura:
Geometría disposición de conectores
𝑠𝑐 =65
𝑠𝑒𝑛 30= 130 𝑚𝑚
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L 165
Desangulación fuerza ejercida por conectores con respecto a la dirección de la fibra del madero
𝛼 = 30°
De NCh 1198, Anexo A, Tabla A.1
Lenga ⇒ Agrupamiento ES4
De NCh 1198, sección 9.7.3 Tabla 41
Para un par de conectores anulares Ø66,5, Grupo ES4 y espesor de madero central 50 mm
𝑃𝑐𝑝,𝑎𝑑 = 22,8 𝑘𝑁
𝑃𝑐𝑛,𝑎𝑑 = 8,9 𝑘𝑁
De Sección 9.7.4.2
𝛼 = 30°
𝑃30,𝑎𝑑 =𝑃𝑝,𝑎𝑑 ∗ 𝑃𝑛,𝑎𝑑
𝑃𝑝,𝑎𝑑 ∗ 𝑠𝑒𝑛2(30) + 𝑃𝑛,𝑎𝑑 ∗ 𝑐𝑜𝑠
2(30)=
22,8 ∗ 8,9
22,8 ∗ 0,52 + 8,9 ∗ 0,8662= 16,4 𝑘𝑁
Estructura de techo
⇒ 𝐾𝐷 = 1,25
De Sección 9.4.3, Tabla 26
H > 19% durante la fabricación y H <19 % en servicio ⇒ 𝐾𝑈𝐻 = 0,8
Control de espaciamientos:
a) entre conectores: De Tabla 44
𝛼 = 30° ⟹ 𝑆𝑐𝑝 = 175 − 85 ∗ 𝛼
60= 175 −
85 ∗ 30
60= 132,5 𝑚𝑚
𝑆𝑐𝑛 = 90 + 𝛼
3= 90 +
30
3= 100 𝑚𝑚
De Sección 9.7.5.3
𝜙 = 30°
𝑆𝑐 = 𝑆𝑐𝑝 ∗ 𝑆𝑐𝑛
√𝑆𝑐𝑝2 ∗ 𝑠𝑒𝑛2𝜙 + 𝑆𝑐𝑛
2 ∗ 𝑐𝑜𝑠2𝜙
= 132,5 ∗ 100
√132,52 ∗ 0,250 + 1002 ∗ 0,75= 121,5 𝑚𝑚
𝑆𝑐,𝑒𝑓 = 130 𝑚𝑚 > 𝑆𝑐 ⟹ 𝐾𝑠𝑐 = 1,0
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
166 I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L
b) espaciamiento al borde cargado normal a la dirección de la fibra: De Tabla 43
𝛼 = 30° ⟹ 𝑆𝑏𝑐𝑛 =5 ∗ 𝛼
9+ 45 =
5 ∗ 30
9+ 45 = 61,7 𝑚𝑚
𝑆𝑏𝑐𝑛 > 𝑆𝑏𝑐𝑛,𝑒𝑓 = 55 𝑚𝑚 > 𝑆𝑏𝑐𝑛,𝑚𝑖𝑛 = 45 𝑚𝑚
de sección 9.7.5.4, Tabla 45
𝐾𝑠𝑐 = (1 −𝛼
265) +
𝛼
265∗ (
𝑠𝑐,𝑒𝑓 − 45
𝑠𝑐 − 45) = (1 −
30
265) +
30
265∗ (
55 − 45
61,7 − 45) = 0,955
c) espaciamiento al borde descargado normal a la dirección de la fibra De Tabla 43
𝑆𝑏𝑑𝑛,𝑒𝑓 = 55 𝑚𝑚 > 𝑆𝑏𝑑𝑛 = 45 𝑚𝑚 ⟹ 𝐾𝑠𝑐 = 1,0
𝐾𝑠𝑐,𝑚𝑖𝑛 = 0,955
Capacidad de carga de diseño:
𝑃𝑐30,𝑑𝑖𝑠 = 𝑃𝑐30,𝑎𝑑 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾𝑈𝐻 ∗ 𝐾𝑠𝑐 = 16,4 ∗ 1,25 ∗ 0,8 ∗ 0,955 = 15,66 𝑘𝑁
Maderos tirante:
Desangulación fuerza ejercida por conectores con respecto a la dirección de la fibra del
madero 𝛼 = 0°.
De NCh 1198, sección 9.7.3 Tabla 41
Para un par de conectores anulares Ø66,5, Grupo ES4 y espesor de maderos laterales 38 mm:
𝑃𝑐𝑝,𝑎𝑑 = 27,8 𝑘𝑁
Control de espaciamientos, NCh 1198, Tabla 44
Entre conectores:
𝛼 = 0° ⇒ 𝑠𝑐𝑝 = 175 −85 ∗ 𝛼
60= 175 −
85 ∗ 0
60= 175 𝑚𝑚
𝑠𝑐𝑛 = 90 +𝛼
3= 90 +
0
3= 90 𝑚𝑚
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L 167
De NCh 1198, Sección 9.7.5.4, Tabla 45
𝑠𝑐,𝑒𝑓 = 130 𝑚𝑚 < 𝑆𝑐𝑝
⇒ 𝐾𝑠𝑐 = 0,75 + 0,25 ∗ (𝑠𝑒𝑓 − 90
𝑠𝑐 − 90) = 0,75 + 0,25 ∗ (
130 − 90
175 − 90) = 0,868
Espaciamiento al borde cargado paralelo a la dirección de la fibra
𝑠𝑏𝑐𝑝𝑙,𝑒𝑓 =55
𝑠𝑒𝑛 30°= 110 𝑚𝑚
Por tratarse de un borde inclinado, este valor debe reducirse, de acuerdo con lo especificado
en párrafo 9.7.5.2,
𝐷
4=66,5
4= 16,6 𝑚𝑚
Δ𝑠𝑏𝑝 =16,6
tan 30°= 28,8 𝑚𝑚
De NCh 1198, Sección 9.7.5.2
𝑠𝑏𝑐𝑝,𝑒𝑓 = 110 − 28,8 = 81,2 𝑚𝑚
De NCh 1198, sección 9.7.5.4, Tabla 45
𝑠𝑏𝑐𝑝 = 145 𝑚𝑚 > 𝑠𝑏𝑐𝑝,𝑒𝑓 = 81,2 𝑚𝑚 > 𝑠𝑚í𝑛,𝑏𝑐𝑝 = 70 𝑚𝑚
⇒ 𝐾𝑠𝑐 = 0,25 + 0,75 ∗𝑠𝑐,𝑒𝑓
𝑠𝑐= 0,25 + 0,75 ∗
81,2
145= 0,67
Espaciamiento al borde descargado normal a la dirección de la fibra
𝑠𝑏𝑑𝑛,𝑒𝑓 = 55 𝑚𝑚 > 𝑠𝑏𝑑𝑛 = 45 𝑚𝑚 ⇒ 𝐾𝑠𝑐 = 1,0
𝐾𝑠𝑐,𝑚í𝑛 = 0,67
Capacidad de carga de diseño:
𝑃𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠 = 𝑃𝑐𝑝,𝑎𝑑 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾𝑈𝐻 ∗ 𝐾𝑠𝑐 = 27,8 ∗ 1,25 ∗ 0,8 ∗ 0,67 = 18,626 𝑘𝑁 > 𝑃𝑐30,𝑑𝑖𝑠
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
168 I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L
En consecuencia, desde el punto de vista de los conectores de capacidad de carga de diseño de
la unión asciende a:
𝑇𝑑𝑖𝑠 = 2 ∗ 15,66 = 31,32 𝑘𝑁
Verificaciones tensionales en la madera
Tirantes:
La tensión de diseño en tracción paralela de la lenga Grado estructural N°3 con un contenido
de humedad H=15% se interpolará entre la condición verde y la seca para el mismo grado.
En condición verde la lenga se asigna al Agrupamiento E5
En condición seca la lenga se asigna al Agrupamiento ES4
E5 y Grado 3 ⇒ Clase Estructural F7 ⇒ Ftp = 4,1 MPa ; Fciz =0,72 MPa
ES4 y Grado 3 ⇒ Clase Estructural F14 ⇒ Ftp = 8,4 MPa ; Fciz =1,25 MPa
Por interpolación, a H=15% le corresponden Ftp = 7,68 MPa ; Fciz =1,16 MPa
De NCh 1198, Sección 7.2.2.3
𝐾ℎ𝑓 = (50
ℎ)1 9⁄
= (50
150)1 9⁄
= 0,885
De NCh 1198, Sección 7.4.3, Tabla 19
𝐾𝑐𝑡 = 0,50
𝐹𝑡𝑝,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑡𝑝,15% ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾ℎ ∗ 𝐾𝑐𝑡 = 7,68 ∗ 1,25 ∗ 0,855 ∗ 0,5 = 4,25 𝑀𝑃𝑎
𝐹𝑐𝑖𝑧,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑐𝑖𝑧,15% ∗ 𝐾𝐷 = 1,16 ∗ 1,25 = 1,45 𝑀𝑃𝑎
Condicionante por área neta:
Los conectores Ø66,5 se usan con pernos Ø1/2”
Detalles de la unión,
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L 169
De Sección 9.7.1, Tabla 39
Diámetro externo conector D: 66,5 mm
Altura conector: 19,0 mm
Profundidad de colocación en cada madero: 9,5 mm
De Tabla 40,
Diámetro interior de ranura colocación: 67,5 mm
Ancho de ranura: 4,6 mm
Diámetro interior de ranura colocación: 67,5 + 2*4,6 =7 6,7 mm
Debilitamiento inducido por el conector en cada pieza de madera: 729 mm2
Diámetro de perno, D: 12,7 mm
Diámetro agujero de perno, Da: 14 mm
𝐴𝑛𝑒𝑡𝑎 = 2 ∗ {𝑏 ∗ (ℎ − 𝐷𝑎𝑔𝑢𝑗𝑒𝑟𝑜) − ΔA} = 2 ∗ {38 ∗ (150 − 14) − 729} = 8.878 𝑚𝑚2
𝑇𝑑𝑖𝑠 = 𝐴𝑛𝑒𝑡𝑎 ∗ 𝐹𝑡𝑝,𝑑𝑖𝑠 = 8.878 ∗ 4,25 = 37.734 𝑁 > 𝑇𝑑𝑖𝑠,𝑐𝑜𝑛𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
170 I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L
Capacidad de desgarro conectores superiores, 𝑇𝐷𝐻,𝑑𝑖𝑠:
𝐴𝑐𝑟𝑖𝑡𝑖𝑐𝑎 = 𝐴𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑑𝑒 𝑏𝑜𝑟𝑑𝑒 + 𝐴𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑓𝑜𝑛𝑑𝑜 𝑛𝑒𝑡𝑜
𝑆𝑐𝑟𝑖𝑡 = 𝑆𝑏𝑐𝑝,𝑒𝑓 = 110 𝑚𝑚
𝐴𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑑𝑒 𝑏𝑜𝑟𝑑𝑒 = (2 𝑙í𝑛𝑒𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑐𝑖𝑧𝑎𝑙𝑙𝑒) ∗ (𝑝𝑟𝑜𝑓𝑢𝑛𝑑𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑟𝑎𝑛𝑢𝑟𝑎) ∗ 2 ∗ (𝑠𝑐𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑎)
𝐴𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑑𝑒 𝑏𝑜𝑟𝑑𝑒 = (2 𝑙í𝑛𝑒𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑐𝑖𝑧𝑎𝑙𝑙𝑒) ∗ (9,5) ∗ 2 ∗ (110) = 4.180 𝑚𝑚2
𝐴𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑓𝑜𝑛𝑑𝑜 𝑛𝑒𝑡𝑜 = (𝐴𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑑𝑒 𝑓𝑜𝑛𝑑𝑜) − (𝐴𝑟𝑎𝑛𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑎𝑛𝑢𝑙𝑎𝑟) − (𝐴𝑎𝑔𝑢𝑗𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑒𝑟𝑛𝑜)
𝐴𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑓𝑜𝑛𝑑𝑜 𝑛𝑒𝑡𝑜 = (2 ∗ 𝑆𝑐𝑟𝑖𝑡 ∗ 𝐷𝑒𝑥𝑡,𝑟𝑎𝑛 + 𝜋 ∗𝐷𝑒𝑥𝑡,𝑟𝑎𝑛
2
8) − 2 ∗
𝜋
4∗ (𝐷𝑒𝑥𝑡,𝑟𝑎𝑛
2 − 𝐷𝑖𝑛𝑡,𝑟𝑎𝑛2) − 2
∗𝜋
4∗ 𝐷𝑎𝑔𝑢𝑗,𝑝𝑒𝑟𝑛
2
𝐴𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑓𝑜𝑛𝑑𝑜 𝑛𝑒𝑡𝑜 = (2 ∗ 110 ∗ 76,7 + 𝜋 ∗76,72
8) − 2 ∗
𝜋
4∗ (76,72 − 67,52) − 2 ∗
𝜋
4∗ 142
𝐴𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑓𝑜𝑛𝑑𝑜 𝑛𝑒𝑡𝑜 = 19.103 𝑚𝑚2
𝐴𝑐𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑎 = 𝐴𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑑𝑒 𝑏𝑜𝑟𝑑𝑒 + 𝐴𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑓𝑜𝑛𝑑𝑜 𝑛𝑒𝑡𝑜
𝐴𝑐𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑎 = 4.180 + 19.103 = 23.283 𝑚𝑚2
𝑇𝐷𝐻,𝑑𝑖𝑠 = 𝑛𝑖 ∗𝐹𝑐𝑧,𝑑𝑖𝑠 ∗ 𝐴𝑐𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑎
2= 2 ∗
1,45 ∗ 23.283
2= 33.808 𝑁 > 𝑇𝑑𝑖𝑠,𝑐𝑜𝑛𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠
Condicionante por desgarro del tijeral, según NCh 1198, Anexo T:
Control posibilidad de desgarro borde cargado
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L 171
𝑊 = 𝑠𝑐,𝑒𝑓 ∗ cos(30°) = 130 ∗ 0,866 = 112,6 𝑚𝑚
𝑎
ℎ=55 + 65
175= 0,686
𝐶 =4
3∗ √
𝑎
ℎ∗ (1 −
𝑎
ℎ)3
=4
3∗ √0,686 ∗ (1 − 0,686)3 = 0,195
𝑊𝑒𝑓 = √𝑊2 + (𝑐 ∗ ℎ)2 = √112,62 + (0,195 ∗ 175)2 = 118 𝑚𝑚
Para conectores sobre ambas caras
𝑏𝑒𝑓 = 2 ∗ 50 = 100 𝑚𝑚 ≤ 𝑏 = 50 𝑚𝑚
𝐴𝑒𝑓 = 𝑊𝑒𝑓 ∗ 𝑏𝑒𝑓 = 118 ∗ 50 = 5.880 𝑚𝑚2 < 10.000 𝑚𝑚2
𝐹𝑡𝑛 = 0,32 𝑀𝑃𝑎
𝑓1(𝑎 ℎ⁄ ) =1
1 − 3 ∗ (𝑎 ℎ⁄ )2 + 2 ∗ (𝑎 ℎ⁄ )3=
1
1 − 3 ∗ 0,6862 + 2 ∗ 0,6863= 4,269
𝑓2(ℎ𝑙 ℎ𝑖⁄ ) =𝑛
∑(ℎ𝑙 ℎ𝑖⁄ )2=
2
1 + (55 20⁄ )2= 1,653
Para conectores especiales ⇒ 𝑓3(𝑀𝑑𝑈) = 1,0 (estimación conservadora por tratarse de un
conector “artesanal”)
𝑇𝑛,𝑎𝑑 = 𝐹𝑡𝑛 ∗ 𝐴𝑒𝑓 ∗ 𝑓1(𝑎 ℎ⁄ ) ∗ 𝑓2(ℎ𝑙 ℎ𝑖⁄ ) ∗ 𝑓3(𝑀𝑑𝑈)
𝑇𝑛,𝑎𝑑 = 0,32 ∗ 5.880 ∗ 4,269 ∗ 1,653 ∗ 1,0 = 13.277 𝑁
𝑇𝑑𝑖𝑠 =𝑇𝑛,𝑎𝑑𝑠𝑒𝑛 30°
=13.277
0,5= 26.553 𝑁 < 𝑇𝐷𝐻,𝑑𝑖𝑠
La carga de diseño de la unión queda condicionada por el área neta de los tirantes y asciende a
26,55 kN.
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
172 I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L
EJEMPLO 25: Uniones de contacto: embarbillado
Estime la máxima compresión C que puede traspasar el puntal inclinado, que soporta un
sistema de techo, sobre el madero receptor (ambas piezas de Pino radiata C16 con contenido
de humedad 15%) para las tres formas de materialización de embarbillados esquematizadas en
la figuras a, b y c. Esta última corresponde a un embarbillado de medio talón (corte frontal
según plano bisectriz del ángulo de incidencia del puntal).
Solución:
Pino radiata Grado C16 con un contenido de húmeda H=15%. De NCh 1198 Sección 5.2.4, Tabla
4b:
𝐹𝑐𝑝,12% = 7,5 𝑀𝑃𝑎
𝐹𝑐𝑛,12% = 2,5 𝑀𝑃𝑎
𝐹𝑐𝑧,12% = 1,1 𝑀𝑃𝑎
𝐹𝑡𝑝,12% = 3,5 𝑀𝑃𝑎
𝐹𝑓,12% = 5,2 𝑀𝑃𝑎
Factores de modificación:
Duración de la carga: Por tratarse de cargas de un sistema de techo, de acuerdo con NCh 1198
Anexo G, Sección G3
𝐾𝐷 = 1,25
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L 173
Contenido de humedad: H=15%
𝐾𝐻,𝑓 = 𝐾𝐻,𝑡𝑝 =1,75 − 0,0333 ∗ 𝐻
1,35=1,75 − 0,0333 ∗ 15
1,35= 0,926
𝐾𝐻,𝑐𝑝 =2,75 − 0,0833 ∗ 𝐻
1,75=2,75 − 0,0833 ∗ 15
1,75= 0,857
𝐾𝐻,𝑐𝑛 = 1,0
𝐾𝐻,𝑐𝑧 =1,33 − 0,0176 ∗ 𝐻
1,13=1,33 − 0,0167 ∗ 15
1,13= 0,955
FM por altura:
𝐾ℎ = √90
ℎ − 𝑡𝑣
5
= √90
185 − 45
5
= 0,915
𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑐𝑝 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾𝐻 = 7,5 ∗ 1,25 ∗ 0,857 = 8,04 𝑀𝑃𝑎
𝐹𝑐𝑛,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑐𝑛 ∗ 𝐾𝐻 = 2,5 ∗ 1 = 2,5 𝑀𝑃𝑎
𝐹𝑐𝑧,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑐𝑧 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾𝐻 = 1,1 ∗ 1,25 ∗ 0,955 = 1,31 𝑀𝑃𝑎
𝐹𝑡𝑝,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑡𝑝 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾𝐻 ∗ 𝐾ℎ = 3,5 ∗ 1,25 ∗ 0,926 ∗ 0,915 = 3,71 𝑀𝑃𝑎
𝐹𝑓,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑓 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾𝐻 ∗ 𝐾ℎ = 5,2 ∗ 1,25 ∗ 0,926 ∗ 0,915 = 5,51 𝑀𝑃𝑎
Las tensiones de diseño para las superficies de talón frontal se calcularán respetando la
indicación de Sección 7.3.4.2 de NCh 1198, que limita las componentes paralelas a la dirección
de la fibra de las tensiones de aplastamiento en uniones de contacto al 75% de 𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠.
𝐹𝑐,40° =𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠∗ ∗ 𝐹𝑐𝑛,𝑑𝑖𝑠
𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠∗ ∗ 𝑠𝑒𝑛2(40°) + 𝐹𝑐𝑛,𝑑𝑖𝑠 ∗ 𝑐𝑜𝑠
2(40)=
0,75 ∗ 8,04 ∗ 2,5
0,75 ∗ 8,04 ∗ 0,413 + 2,5 ∗ 0,587
= 3,81 𝑀𝑃𝑎
𝐹𝑐,20° =𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠∗ ∗ 𝐹𝑐𝑛,𝑑𝑖𝑠
𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠∗ ∗ 𝑠𝑒𝑛2(20°) + 𝐹𝑐𝑛,𝑑𝑖𝑠 ∗ 𝑐𝑜𝑠
2(20)=
0,75 ∗ 8,04 ∗ 2,5
0,75 ∗ 8,04 ∗ 0,117 + 2,5 ∗ 0,883
= 5,17 𝑀𝑃𝑎
En los tres casos la profundidad de rebaje tr respeta la condición de NCh 1198 Sección
9.10.2.2, dado que 𝛼 = 40° < 50° y 𝑡𝑟,𝑒𝑓 = 45 𝑚𝑚 <ℎ
4=
185
4= 46,3 𝑚𝑚
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
174 I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L
Caso a)
La desangulación de la fuerza normal, N, de 40° con respecto a la dirección de la fibra del
puntal diagonal condiciona la capacidad de carga de la unión.
𝑁𝑑𝑖𝑠 = 𝑡𝑟 ∗ 𝑏 ∗ 𝐹𝑐,40° = 45 ∗ 41 ∗ 3,81 = 7.026 𝑁
𝐶𝑑𝑖𝑠 =𝑁𝑑𝑖𝑠
cos (40°)=7.026
0,766= 9.171 𝑁
Control del cizalle en el saliente
𝐿𝑠 = 200 𝑚𝑚 ⇒ 𝑓𝑐𝑧 =𝑁𝑑𝑖𝑠𝑏 ∗ 𝐿𝑠
=7.029
41 ∗ 200= 0,86 𝑀𝑃𝑎 < 𝐹𝑐𝑧,𝑑𝑖𝑠
Control de la interacción de la tracción y la flexión en la sección crítica
𝑇 = 𝑁𝑑𝑖𝑠 = 7.029 𝑁
𝐴𝑛𝑒𝑡𝑎 = 𝑏 ∗ (ℎ − 𝑡𝑟) = 41 ∗ (185 − 45) = 5.740 𝑚𝑚2
𝑓𝑡 =𝑇
𝐴𝑛𝑒𝑡𝑎=7.029
5.740= 1,22 𝑀𝑃𝑎
𝑊𝑛𝑒𝑡𝑜 =𝑏 ∗ (ℎ − 𝑡𝑣)
2
6=41 ∗ (185 − 45)2
6= 133.933 𝑚𝑚3
Excentricidad,
𝑒 =ℎ − (ℎ − 𝑡𝑟)
2=185 − (185 − 45)
2= 22,5 𝑚𝑚
𝑀 = 𝑇 ∗ 𝑒 = 7.026 ∗ 22,5 = 158.078 𝑁 ∗ 𝑚𝑚
𝑓𝑓 =𝑀
𝑊𝑛𝑒𝑡𝑜=158.078
133.933= 1,18 𝑀𝑃𝑎
Control de interacción en sección transversal crítica:
𝑓𝑡𝐹𝑡𝑝,𝑑𝑖𝑠
+𝑓𝑓
𝐹𝑓,𝑑𝑖𝑠=1,22
3,71+1,18
5,51= 0,330 + 0,214 = 0,544 < 1,0
Se obviará este control en los restantes casos
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L 175
Caso b)
La desangulación de la fuerza normal, N, de 40° con respecto a la dirección de la fibra de la
pieza receptora condiciona la capacidad de carga de la unión
𝑁𝑑𝑖𝑠 = (𝑡𝑟
cos(20°)) ∗ 𝑏 ∗ 𝐹𝑐,40° = (
45
0,766) ∗ 41 ∗ 3,81 = 9.171 𝑁
𝐶𝑑𝑖𝑠 = 𝑁𝑑𝑖𝑠 = 9.171 𝑁
𝐿𝑠,𝑒𝑓 = 𝐿𝑠 + 𝑡𝑟 ∗ 𝑡𝑎𝑛(40°) = 200 + 45 ∗ 0,839 = 238 𝑚𝑚
𝑓𝑐𝑧 =𝐶𝑑𝑖𝑠 ∗ cos (40°)
𝑏 ∗ 𝐿𝑠,𝑒𝑓=9.171 ∗ 0,766
41 ∗ 238= 0,72 𝑀𝑃𝑎 < 𝐹𝑐𝑧,𝑑𝑖𝑠
Caso c)
Embarbillado de medio talón
El talón frontal se ejecuta según el plano correspondiente a la bisectriz del complemento del
ángulo de incidencia del puntal, 𝛾 =180°−40°
2= 70°, con respecto a la dirección horizontal. En
estas condiciones la desangulación de la fuerza normal con respecto a la dirección de la fibra
de ambos maderos se iguala y asciende a 20°.
𝑁𝑑𝑖𝑠 = (𝑡𝑟
cos (20°)) ∗ 𝑏 ∗ 𝐹𝑐,20° = (
45
0,94) ∗ 41 ∗ 5,17 = 10.159 𝑁
𝐶𝑑𝑖𝑠 =𝑁𝑑𝑖𝑠
cos (20°)=10.159
0,94= 10.812 𝑁
𝐿𝑠,𝑒𝑓 = 𝐿𝑠 + 𝑡𝑟 ∗ 𝑡𝑎𝑛(20°) = 200 + 45 ∗ 0,364 = 216 𝑚𝑚
𝑓𝑐𝑧 =𝐶𝑑𝑖𝑠∗cos (20°)
𝑏∗𝐿𝑠,𝑒𝑓=
10.812∗0,94
41∗216= 1,15 𝑀𝑃𝑎 < 𝐹𝑐𝑧,𝑑𝑖𝑠
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
176 I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L
EJEMPLO 26: Unión de embarbillado en tracción
Determinar la máxima fuerza de tracción que puede resistir la unión de embarbillados
esquematizada en la figura. Las piezas de madera laminada encolada de Pino radiata
fabricadas con láminas Grado B se encuentran en condición seca al aire en un clima normal. El
estado de cargas condicionante del diseño tiene una duración acumulada de 10 años durante
la vida útil de la estructura.
NOTA: las dimensiones se indican en mm
Solución:
Madera laminada encolada de Pino radiata con láminas grado B. De acuerdo con NCh 2165
𝐹𝑐𝑝 = 6,5 𝑀𝑃𝑎
𝐹𝑐𝑛 = 2,5 𝑀𝑃𝑎∗
𝐹𝑡𝑝 = 3,15 𝑀𝑃𝑎
𝐹𝑐𝑧 = 1,1 𝑀𝑃𝑎∗
(Los valores con asterisco son levemente menores a los especificados en NCh 2165)
La eficiencia óptima de los embarbillados de medio talón se alcanza cuando la inclinación del
plano de talón frontal de los puntales con respecto al madero vertical receptor se materializa
según la bisectriz del complemento del ángulo de incidencia, esto es, según un ángulo
𝛾 =180 − 𝛼
2=180 − 45
2= 67,5°
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L 177
Para esta condición la desangulación de la fuerza normal al plano de contacto del talón frontal
con respecto a la dirección fibra madero de ambos maderos se iguala y tiene un valor
𝛿 = 90 − 67,5 = 22,5°
Las tensiones de diseño para las superficies de talón frontal se calcularán respetando la
indicación de Sección 7.3.4.2 de NCh 1198, que limita las componentes paralelas a la dirección
de la fibra de las tensiones de aplastamiento en uniones de contacto al 75% de 𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠
𝐹𝑐,22,5° =0,75 ∗ 𝐹𝑐𝑝 ∗ 𝐹𝑐𝑛
0,75 ∗ 𝐹𝑐𝑝 ∗ 𝑠𝑒𝑛222,5 + 𝐹𝑐𝑛 ∗ 𝑐𝑜𝑠
222,5=
0,75 ∗ 6,5 ∗ 2,5
0,75 ∗ 6,5 ∗ 0,3832 + 2,5 ∗ 0,9242
= 4,28 𝑀𝑃𝑎
La profundidad de los rebajes 𝑡𝑟 respeta la condición de NCh 1198 Sección 9.10.2.2, dado que
existiendo incidencia de barras desde lados opuestos al madero rebajado
𝑡𝑟,𝑒𝑓 = 35 𝑚𝑚 <ℎ
6=225
6= 37,5 𝑚𝑚
De acuerdo con NCh 1198, sección 9.10.2.1 a) la capacidad de carga embarbillados:
𝑃𝑑𝑖𝑠,𝑒𝑚𝑏 =𝑡𝑟 ∗ 𝑏 ∗ 𝐹𝑐,22,5°
𝑐𝑜𝑠2𝛿=35 ∗ 65 ∗ 4,28
0,9242= 11.409 𝑁
Planteando la condición de equilibrio estático según la dirección vertical resulta
𝑇𝑑𝑖𝑠,𝑒𝑚𝑏 = 2 ∗ 𝑃𝑑𝑖𝑠,𝑒𝑚𝑏 ∗ cos(𝛼) = 2 ∗ 11.409 ∗ 0,707 = 16.134 𝑁
Capacidad de carga de los salientes:
𝑙𝑠 = 150 + 𝑡𝑣 ∗ tan(𝛿) = 150 + 35 ∗ tan(22,5°) = 164,5 𝑚𝑚
𝐹𝑐𝑧,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑐𝑧 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾𝐻 = 1,1 ∗ 1 ∗ 1 = 1,1 𝑀𝑃𝑎
𝑇𝑑𝑖𝑠,𝑙𝑠 = 2 ∗ 𝑙𝑠 ∗ 𝑏 ∗ 𝐹𝑐𝑧,𝑑𝑖𝑠 = 2 ∗ 164,5 ∗ 65 ∗ 1,1 = 23.530 𝑁
Capacidad de carga pendolón como elemento traccionado:
𝐴𝑛𝑒𝑡𝑎 = (𝑏 − 𝑑𝑎𝑔𝑢𝑗𝑒𝑟𝑜) ∗ (ℎ − 2 ∗ 𝑡𝑟) = (65 − 14) ∗ (225 − 2 ∗ 35) = 7.905 𝑚𝑚2
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
178 I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L
𝐹𝑡𝑝 = 3,15 𝑀𝑃𝑎
𝐾𝐷 = 1
𝐾ℎ = 1
𝐾𝐻 = √90
ℎ − 2 ∗ 𝑡𝑟
5
= √90
225 − 2 ∗ 35
5
= 0,897
𝐾𝑐𝑡 = 0,7
𝐹𝑡𝑝,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑡 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾𝐻 ∗ 𝐾ℎ ∗ 𝐾𝑐𝑡 = 3,15 ∗ 1 ∗ 1 ∗ 0,897 ∗ 0,7 = 1,98 𝑀𝑃𝑎
𝑇𝑑𝑖𝑠,𝐴𝑛𝑒𝑡𝑎 = 𝐴𝑛𝑒𝑡𝑎 ∗ 𝐹𝑡,𝑑𝑖𝑠 = 7.905 ∗ 1,98 = 15.639 𝑁
𝑇𝑑𝑖𝑠 = 𝑀í𝑛(𝑇𝑑𝑖𝑠,𝑒𝑚𝑏; 𝑇𝑑𝑖𝑠,𝑙𝑠; 𝑇𝑑𝑖𝑠,𝐴𝑛𝑒𝑡𝑎) = 𝑀í𝑛(16.134; 23.530; 15.639) = 15.639 𝑁
La capacidad de carga de diseño de la unión asciende a 15,6 kN.
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L 179
EJEMPLO 27: Diseño de sistema de techo con vigas rectas de madera
laminada
Diseño de un sistema de vigas de techo rectas de madera laminada encolada de Pino radiata
que cubre una luz de 15 m y debe resistir una carga de peso propio de 3 kN/m y una
sobrecarga de servicio de 3 kN/m. Las condiciones de servicio corresponden a un clima normal,
que determina una humedad de equilibrio higroscópico no superior a 15 % para la madera. Las
vigas se fabrican combinando láminas Grado A (NCh 2150) en los sextos extremos de la altura
de la pieza y láminas Grado B (NCh 2150) en los dos tercios centrales. Las vigas sirven de
apoyo a una disposición regular de costaneras, espaciada cada 2,50 m y vinculadas a un
sistema arriostrante, que apoyan a su vez lateralmente el borde superior de las vigas. En los
extremos las vigas se apoyan sobre soleras de escuadría 41*135 mm ancladas a los muros del
recinto.
Para asegurar un buen comportamiento al fuego se considera un espesor de al menos 135
mm.
Solución:
Cálculo de solicitaciones.
𝑞𝑡𝑜𝑡 = 𝑞𝑝𝑝 + 𝑞𝑠𝑐 = 3 + 3 = 6 𝑘𝑁 𝑚⁄ = 6 𝑁 𝑚𝑚⁄
𝑀𝑚á𝑥 =𝑞𝑡𝑜𝑡 ∗ 𝑙
2
8=6 ∗ 15.0002
8= 168.750.000 𝑁 ∗ 𝑚𝑚
𝑄𝑚á𝑥 =𝑞𝑡𝑜𝑡 ∗ 𝑙
2=6 ∗ 15.000
2= 45.000 𝑁
La derivación de la tensión de diseño de flexión de la madera laminada requiere conocer,
aparte de las características de las láminas constituyentes, la naturaleza de las solicitaciones,
las condiciones de servicio, las condiciones de apoyo lateral del borde flexo comprimido, y
otros parámetros geométricos que se pueden definir una vez establecidas las dimensiones de
la viga. Para un primer dimensionamiento tentativo es necesario estimar cuantitativamente
estos efectos y una vez definidas las dimensiones de la sección transversal se debe comprobar
la calidad de las estimaciones.
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
180 I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L
Diseño tentativo:
De las condiciones del problema:
Componente de estructura de techo: NCh 1198, Anexo G ⇒ 𝐾𝐷 = 1,25
Contenido de humedad ≤ 15 % NCh 2165 ⇒ 𝐾𝐻 = 1,00
Se asumirá un factor de modificación por volumen 𝐾𝑉 = 0,85 , que cubre además el efecto del
volcamiento del borde flexo comprimido.
De Anexo C, para vigas híbridas de altura superior a 375 mm
𝐹𝑓 = 7,8 𝑀𝑃𝑎
𝐸 = 9.000 𝑀𝑃𝑎
𝐹𝑐𝑖𝑧 = 1,1 𝑀𝑃𝑎
𝐹𝑐𝑛 = 2,5 𝑀𝑃𝑎
𝐹𝑓,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑓 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾𝐻 ∗ 𝐾𝑉 = 7,8 ∗ 1,25 ∗ 1,0 ∗ 0,85 = 8,29 𝑀𝑃𝑎
Definiendo 𝑏 = 𝑏𝑚í𝑛 = 135 𝑚𝑚
𝑊𝑟𝑒𝑞 =𝑀𝑚á𝑥
𝐹𝑓,𝑑𝑖𝑠=
168.750.000
8,29= 20.361.991 𝑚𝑚3
ℎ𝑟𝑒𝑞 = √𝑊𝑟𝑒𝑞 ∗ 6
𝑏= √
20.361.991 ∗ 6
135= 951 𝑚𝑚
Se define la sección 135*980 mm:
𝐴 = 𝑏 ∗ ℎ = 135 ∗ 980 = 132.000 𝑚𝑚2
𝑊 =𝑏 ∗ ℎ2
6=135 ∗ 9802
6= 21.609.000 𝑚𝑚3
𝐼 =𝑏 ∗ ℎ3
12=135 ∗ 9803
12= 10.588.410.000 𝑚𝑚4
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L 181
Verificaciones:
a. Tensiones de flexión
Factor de modificación por volcamiento:
𝑙𝑎 = 2,5 𝑚 = 2.500 𝑚𝑚
𝑙𝑎ℎ=2.500
980= 2,55 < 7
De NCh 1198, Sección 7.2.1.9, Tabla 10
𝑙𝑣 = 2,06 ∗ 𝑙𝑎 = 2,06 ∗ 2.500 = 5.150 𝑚𝑚
De NCh 1198, Sección 7.2.1.8
𝜆𝑣 = √𝑙𝑣 ∗ ℎ
𝑏2= √
5.150 ∗ 980
1352= 16,6
Para efectos de volcamiento se debe considerar el módulo de elasticidad en laminación
vertical.
De Anexo C, para vigas híbridas
𝐸 = 7.700 𝑀𝑃𝑎
𝐸𝑑𝑖𝑠 = 𝐸 ∗ 𝐾𝐻 = 7.700 ∗ 1,00 = 7.700 𝑀𝑃𝑎
𝐹𝑓,𝑑𝑖𝑠∗ = 𝐹𝑓 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾𝐻 = 7,8 ∗ 1,25 ∗ 1,00 = 9,75 𝑀𝑃𝑎
𝐹𝑓,𝐸 =𝐶𝑓𝐸 ∗ 𝐸𝑑𝑖𝑠
𝜆𝑣2 =
0,61 ∗ 7.700
16,62= 17 𝑀𝑃𝑎
𝐹𝑓,𝐸
𝐹𝑓,𝑑𝑖𝑠∗ =
17
9,75= 1,74
𝐾𝜆𝑣 =
1 + (𝐹𝑓,𝐸𝐹𝑓,𝑑𝑖𝑠∗ )
1,9− √[
1 + 𝐹𝑓,𝐸 𝐹𝑓,𝑑𝑖𝑠∗⁄
1,9]
2
−(𝐹𝑓,𝐸 𝐹𝑓,𝑑𝑖𝑠
∗⁄ )
0,95
𝐾𝜆𝑣 =1 + 1,74
1,9− √[
1 + 1,74
1,9]2
−1,74
0,95= 0,944
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
182 I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L
Factor de modificación por volumen:
De NCh 1198, Sección 10.3.1.4
𝐾𝑣 = (6,4
𝐿)1 10⁄
∗ (300
ℎ)1 10⁄
∗ (135
𝑏)1 10⁄
𝐾𝑣 = (6,4
15)1 10⁄
∗ (300
980)1 10⁄
∗ (135
135)1 10⁄
= 0,816 (𝐶𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑜)
𝑓𝑓 =𝑀𝑚á𝑥
𝑊=168.750.000
21.609.000= 7,81 𝑀𝑃𝑎 < 𝐹𝑓,𝑑𝑖𝑠
b. Deformaciones
𝛿𝑚á𝑥 =5
384∗𝑞𝑡𝑜𝑡 ∗ 𝑙
4
𝐸𝑑𝑖𝑠 ∗ 𝐼=
5
384∗
6 ∗ 15.0004
9.000 ∗ 10.588.410.000= 42 𝑚𝑚 ≈
𝑙
360
Se especifica una contraflecha de desarrollo gradual con un máximo de 1,5 ∗ 𝛿𝑝𝑝.
Dado que:
𝛿𝑝𝑝 = 0,5 ∗ 𝛿𝑚á𝑥
Contraflecha máxima: 1,5*0,5*42≈ 32 mm.
c. Corte
𝐹𝑐𝑖𝑧,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑐𝑖𝑧 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾𝐻 = 1,1 ∗ 1,25 ∗ 1,0 = 1,38 𝑀𝑃𝑎
1,5 ∗ 𝑄𝑚á𝑥𝐴
=1,5 ∗ 45.000
132.300= 0,51 𝑀𝑃𝑎 < 𝐹𝑐𝑖𝑧,𝑑𝑖𝑠
d. Aplastamiento
Se respeta una distancia de 150 mm desde el borde de la zona aplastada hasta el extremo de
la viga
𝑙𝑎𝑝 = 135 𝑚𝑚
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L 183
De NCh 1198, Sección 7.5.3.2
𝐾𝑐𝑛 = (150
𝑙𝑎𝑝)
1 4⁄
= (150
135)1 4⁄
= 1,03
𝐹𝑐𝑛,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑐𝑛 ∗ 𝐾𝐻 ∗ 𝐾𝑐𝑛 = 2,5 ∗ 1,00 ∗ 1,03 = 2,57 𝑀𝑃𝑎
𝑓𝑐𝑛 =𝑉
𝑏 ∗ 𝑙𝑎𝑝=
45.000
135 ∗ 135= 2,47 𝑀𝑃𝑎 < 𝐹𝑐𝑛,𝑑𝑖𝑠
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
184 I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L
EJEMPLO 28: Sistema de techo a dos aguas con vigas de madera
laminada de canto inferior recto
Un sistema de techo consistente de vigas de madera laminada encolada (MLE) de Pino radiata,
de espesor 185 mm, dispuestas cada 6 m y cubre una distancia libre entre apoyos, L, de 19 m.
Las vigas son rectas con borde superior inclinado (pendiente: 8,75 %) a dos aguas simétricas y
borde inferior recto y apoyan costaneras dispuestas cada 2,40 m (en planta), también de MLE
de pino radiata. La base de cubierta de techo se materializa con tableros contrachapados que
estabilizan lateralmente los cantos superiores de las vigas. Las vigas de techo se dimensionarán
asumiendo un armado de calidad híbrida: uso de láminas Grado A, en los sextos externos de la
altura de sección transversal, y láminas Grado B en el interior, verificándose que las tensiones
de trabajo en las zonas críticas de cada pieza no excedan las tensiones de diseño y que el
descenso máximo, 𝛿, no sobrepase el límite L/240.
Como parte de la ingeniería de detalle se estimarán la longitud de aplastamiento requerida en
los apoyos, la contraflecha de fabricación, equivalente a la flecha debido al peso propio, y el
desplazamiento horizontal del apoyo móvil.
Datos:
Peso propio cubierta : 0,26 kN/m2 (s.d.t.)
Peso propio costaneras+cadenetas : 0,09 kN/m2 (s.d.t.)
Peso propio vigas (estimado) : 0,15 kN/m2 (s.d.t.)
Sobrecarga de servicio : 0,40 kN/m2 (s.p.h.)
NOTA: (s.d.t ): Superficie en el plano del techo
(s.p.h): Superficie de proyección horizontal
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L 185
Solución:
Determinación ángulo de inclinación:
𝑡𝑎𝑛−1(0,0875) = 5°
Estimación de solicitaciones: Peso propio + Sobrecarga
Cubierta: 0,26 kN/m2 (s.d.t)
Costaneras+cadenetas 0,09 kN/m2 (s.d.t)
Sub total 0,35 kN/m2 (s.d.t) =0,35/cos(5°) =0,351 kN/m2 (s.p.h)
Vigas (estimado) 0,15 kN/m2 (s.p.h)
Total peso propio 0,501 kN/m2 (s.p.h)
Sobrecarga 0,40 kN/m2 (s.p.h)
Densidad de carga de diseño 0,901 kN/m2 (s.p.h)
D = 6,0 m ⇒ 𝑞𝑑𝑖𝑠 = 0,901 ∗ 6,0 = 5,408 𝑘𝑁 𝑚⁄
Para madera laminada encolada de armado híbrido, de anexo C:
𝐹𝑓 = 7,8 𝑀𝑃𝑎
𝐸 = 9.000 𝑀𝑃𝑎
𝐹𝑐𝑧 = 1,1 𝑀𝑃𝑎
𝐹𝑐𝑛 = 2,5 𝑀𝑃𝑎
𝐹𝑡𝑛 = 0,1 𝑀𝑃𝑎
Por incorporar el estado de carga condicionante del diseño sobrecarga de servicio de techo
𝐾𝐷 = 1,25
𝐾𝑐𝑛 = 1,0 (Hipótesis conservadora)
𝑉𝐴 = 𝑉𝐵 =𝑞𝑑𝑖𝑠 ∗ 𝐿
2=5,408 ∗ 19
2= 51,376 𝑘𝑁
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
186 I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L
𝑀𝑚á𝑥 =𝑞𝑑𝑖𝑠 ∗ 𝐿
2
8=5,408 ∗ 192
8= 244,037 𝑘𝑁 ∗ 𝑚
𝐹𝑐𝑧,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑐𝑧 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾𝐻 = 1,1 ∗ 1,25 ∗ 1 = 1,375 𝑀𝑃𝑎
ℎ𝐴,𝑟𝑒𝑞 =1,5 ∗ 𝑉𝐴𝑏 ∗ 𝐹𝑐𝑧,𝑑𝑖𝑠
=1,5 ∗ 51.376
185 ∗ 1,375= 302 𝑚𝑚
Sea ℎ𝑎 = 450 𝑚𝑚
Longitud de apoyo requerida: Se especifica una saliente de 120 mm del extremo de la viga más
allá del borde de la placa de apoyo
𝐹𝑐𝑛,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑐𝑛 ∗ 𝐾𝐻 ∗ 𝐾𝑐𝑛 = 2,5 ∗ 1 ∗ 1 = 2,5 𝑀𝑃𝑎
𝐿𝑎𝑝,𝑟𝑒𝑞 =𝑉𝐴
𝑏 ∗ 𝐹𝑐𝑛,𝑑𝑖𝑠=
51.376
185 ∗ 2,5= 111 𝑚𝑚
Sea 𝐿𝑎𝑝 = 160 𝑚𝑚
Altura máxima de viga
ℎ𝑚 = ℎ𝐴 + tan(𝜙) ∗ 𝐿 2⁄ = 450 + tan(5°) ∗ (19 ∗ 1.000 2⁄ ) = 1.281 𝑚𝑚
Ubicación de la tensión de flexión máxima
𝑥𝑓,𝑚á𝑥 =𝐿 ∗ ℎ𝐴2 ∗ ℎ𝑚
=19 ∗ 450
2 ∗ 1.281= 3,337 𝑚
𝑀𝑓𝑓.𝑚á𝑥 =𝑞𝑑𝑖𝑠 ∗ 𝑥𝑓,𝑚á𝑥
2∗ (𝐿 − 𝑥𝑓,𝑚á𝑥) =
5,408 ∗ 3,337
2∗ (19 − 3,337) = 141,318 𝑘𝑁 ∗ 𝑚
ℎ𝑥𝑓,𝑚á𝑥 = ℎ𝑎 ∗ (2 −ℎ𝑎ℎ𝑚
) = 450 ∗ (2 −450
1.281) = 742 𝑚𝑚
𝑓𝑓,𝑚á𝑥 =6 ∗ 𝑀𝑓,𝑚á𝑥
𝑏 ∗ ℎ𝑥𝑓,𝑚á𝑥2 =
6 ∗ 141,318 ∗ 106
185 ∗ 7422= 8,33 𝑀𝑃𝑎
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L 187
Tensiones adicionales en el borde inclinado según NCh 1198, Sección 10.7.1.6
𝑓𝑐𝑧 = 𝑓𝑓,𝑚á𝑥 ∗ tan(𝜙) = 8,33 ∗ tan(5°) = 0,729 𝑀𝑃𝑎
𝑓𝑐𝑛 = 𝑓𝑓,𝑚á𝑥 ∗ 𝑡𝑎𝑛2(𝜙) = 8,33 ∗ tan2(5°) = 0,064 𝑀𝑃𝑎
Control interacción tensional borde inclinado:
Tensión admisible de flexión en el borde comprimido.
𝐹𝑓 = 7,8 𝑀𝑃𝑎
𝐾𝐻 = 1,0 (H < 15 %)
𝐾𝜆𝑣 = 1,0 (Volcamiento impedido por diafragma de techo)
Tensión de diseño en el borde flexo comprimido
𝐹𝑓𝑣 = 𝐹𝑓 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾𝐻 ∗ 𝐾𝜆𝑣 = 7,8 ∗ 1,25 ∗ 1 ∗ 1 = 9,75 𝑀𝑃𝑎
(𝑓𝑓
𝐹𝑓𝑣,𝑑𝑖𝑠)
2
+ (𝑓𝑐𝑛
𝐹𝑐𝑛,𝑑𝑖𝑠)
2
+ (𝑓𝑐𝑧
2,66 ∗ 𝐹𝑐𝑧,𝑑𝑖𝑠)
2
≤ 1,0
(8,33
9,75)2
+ (0,064
2,5)2
+ (0,729
2,66 ∗ 1,375)2
= 0,77 < 1,0
En el borde flexo traccionado, de acuerdo con NCH 1198, sección 10.3.1.4
𝐾𝑣 = (6,4
𝐿)1 10⁄
∗ (300
ℎ)1 10⁄
∗ (135
𝑏)1 10⁄
𝐾𝑣 = (6,4
19,0)1 10⁄
∗ (300
742)1 10⁄
∗ (135
185)1 10⁄
= 0,794
𝐹𝑓𝑡 = 𝐹𝑓 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾𝐻 ∗ 𝐾𝑉 = 7,8 ∗ 1,25 ∗ 1 ∗ 0,794 = 7,74 𝑀𝑃𝑎
Como consecuencia de la inclinación del borde superior de la viga la tensión de flexión en el
borde inferior recto se incrementa con respecto a la expresión de Navier, efecto que se
incorpora por medio de la aplicación del factor de amplificación tensional 𝐾𝑓.
Se aplicará el factor que se define para estos efectos en la norma alemana DIN 1052, que
constituye uno de los principales referentes de NCh 1198, pero que se omitió en la actual
redacción de la norma nacional, y que probablemente se incorpore en la próxima redacción.
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
188 I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L
𝐾𝑓 = 1 + 4 ∗ 𝑡𝑎𝑛2(𝜙) = 1 + 4 ∗ 𝑡𝑎𝑛2(5°) = 1,031
𝑓𝑓𝑡,𝑚á𝑥 = 8,33 ∗ 1,031 = 8,58 𝑀𝑃𝑎 > 𝐹𝑓𝑡,𝑑𝑖𝑠 = 7,74 𝑀𝑃𝑎 No verifica
Se incrementa la altura en el apoyo a 500 mm:
ℎ𝐴 = 500 𝑚𝑚
ℎ𝑚 = ℎ𝐴 + tan(∅) ∗ 𝑙 2⁄ = 500 + tan(5) ∗ 19.000 2⁄ = 1.331 𝑚𝑚
𝑥𝑓,𝑚á𝑥 =𝐿 ∗ ℎ𝐴2 ∗ ℎ𝑚
=19 ∗ 500
2 ∗ 1.331= 3,57 𝑚
𝑀𝑓𝑓,𝑚á𝑥 =𝑞𝑑𝑖𝑠 ∗ 𝑥𝑓,𝑚á𝑥
2∗ (𝐿 − 𝑥𝑓.𝑚á𝑥) =
5,408 ∗ 3,57
2∗ (19 − 3,57) = 148,889 𝑘𝑁 ∗ 𝑚
ℎ𝑥𝑓,𝑚á𝑥 = ℎ𝑎 ∗ (2 −ℎ𝑎ℎ𝑚
) = 500 ∗ (2 −500
1.331) = 812 𝑚𝑚
𝑓𝑓,𝑚á𝑥 =6 ∗ 𝑀𝑓,𝑚á𝑥
𝑏 ∗ ℎ𝑥𝑓,𝑚á𝑥2 =
6 ∗ 148,889 ∗ 106
185 ∗ 8122= 7,32 𝑀𝑃𝑎
Se verificará solamente el borde recto flexo traccionado:
𝐾𝑣 = (6,4
𝐿)1 10⁄
∗ (300
ℎ)1 10⁄
∗ (135
𝑏)1 10⁄
𝐾𝑣 = (6,4
19)1 10⁄
∗ (300
812)1 10⁄
∗ (135
185)1 10⁄
= 0,787
𝐹𝑓𝑡 = 𝐹𝑓 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾𝐻 ∗ 𝐾𝑉 = 7,8 ∗ 1,25 ∗ 1 ∗ 0,787 = 7,67 𝑀𝑃𝑎
𝑓𝑓𝑡,𝑚á𝑥 = 7,32 ∗ 1,031 = 7,54 𝑀𝑃𝑎 < 𝐹𝑓𝑡,𝑑𝑖𝑠 = 7,67 𝑀𝑃𝑎 Verifica
Verificación tensional a mitad de luz
𝑓𝑓 =6 ∗𝑀𝑚á𝑥
𝑏 ∗ ℎ𝑚2 =
6 ∗ 244,037 ∗ 106
185 ∗ 1.331= 4,47 𝑀𝑃𝑎
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L 189
Borde flexotraccionado
𝑘𝜃 = 1 + 1,4 ∗ tan(∅) + 5,4 ∗ 𝑡𝑎𝑛2(∅) = 1 + 1,4 ∗ tan(5) + 5,4 ∗ 𝑡𝑎𝑛2(5) = 1,164
𝑓𝑓𝑡 = 𝑘𝜃 ∗ 𝑓𝑓 = 1,164 ∗ 4,47 = 5,20 𝑀𝑃𝑎
ℎ𝑝𝑟𝑜𝑚 = ℎ𝐴 + ℎ𝑚 = 0,5 ∗ (720 + 1.331) = 915,5 𝑚𝑚
𝐾𝑣 = (6,4
19)1 10⁄
∗ (300
915,5)1 10⁄
∗ (135
185)1 10⁄
= 0,777
𝐹𝑓𝑡 = 𝐹𝑓 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾𝐻 ∗ 𝐾𝑉 = 7,8 ∗ 1,25 ∗ 1 ∗ 0,777 = 7,58 𝑀𝑃𝑎 > 𝑓𝑓𝑡
Tracciones normales en el plano del eje neutro
𝑘𝑟 = 0,2 ∗ tan(∅) = 0,2 ∗ tan(5°) = 0,0175
𝑓𝑡𝑛 = 𝑓𝑓 ∗ 𝑘𝑟 = 4,47 ∗ 0,0175 = 0,078 𝑀𝑃𝑎 < 𝐹𝑡𝑛,𝑑𝑖𝑠 = 0,1 𝑀𝑃𝑎
Control flecha
𝑔
𝑞𝑑𝑖𝑠=0,51
0,91= 0,556 > 0,5
NCh 1198, Sección 7.2.4.11 ⇒ Se debe considerar efecto del creep
𝑘𝑝 =3
2−
𝑔
𝑞𝑑𝑖𝑠=3
2− 0,556 = 0,944
⇒ 𝜌 =1
𝑘𝜌− 1 =
1
0,944− 1 = 0,06
𝛿𝑓,𝑓 = 𝛿𝑓,0 ∗ (1 + 𝜌 ∗𝑔
𝑞𝑑𝑖𝑠) = 𝛿𝑓,0 ∗ (1 + 0,06 ∗ 0,556) = 1,033 ∗ 𝛿𝑓,0
𝛿𝑄,𝑓 = 𝛿𝑄,0 ∗ (1 + 2 ∗ 𝜌 ∗𝑔
𝑞𝑑𝑖𝑠) = 𝛿𝑄,0 ∗ (1 + 2 ∗ 0,06 ∗ 0,556) = 1,066 ∗ 𝛿𝑄,0
𝐴𝑎 = 𝑏 ∗ ℎ𝑎 = 185 ∗ 500 = 92.500 𝑚𝑚2
𝐼𝑎 =𝑏 ∗ ℎ𝑎
3
12=185 ∗ 5003
12= 1.927.083.333 𝑚𝑚4
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
190 I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L
𝑘𝑓 =(ℎ𝑎ℎ𝑚
)3
0,15 + 0,85 ∗ (ℎ𝑎ℎ𝑚
)=
(5001.331
)3
0,15 + 0,85 ∗ (5001.331
)= 0,113
𝛿𝑓 =5
384∗𝑞 ∗ 𝐿4
𝐸 ∗ 𝐼𝑎∗ 𝑘𝑓 =
5
584∗
5,408 ∗ 19.0004
9.000 ∗ 1.927.083.333∗ 0,113 = 59,7 𝑚𝑚
𝑘𝑞 =2
1 + (ℎ𝑚ℎ𝑎)
23⁄=
2
1 + (1.331500
)
23⁄= 0,685
𝛿𝑞 =1,2 ∗ 𝑀𝑚á𝑥
𝐺 ∗ 𝐴𝐴∗ 𝑘𝑞 =
1,2 ∗ 244,037 ∗ 106
0,065 ∗ 9.000 ∗ 92.500∗ 0,685 = 3,7 𝑚𝑚
Deformación total, incorporando efecto de creep:
𝛿𝑡𝑜𝑡 = 1,033 ∗ 𝛿𝑜,𝑓 + 1,066 ∗ 𝛿𝑜,𝑞 = 1,033 ∗ 59,7 + 1,066 ∗ 3,7 = 65,7 𝑚𝑚
𝛿𝑎𝑑 =𝐿
240=19.000
240= 79,2 𝑚𝑚 > 𝛿𝑓,𝑡𝑜𝑡
Componente de flecha inducida por peso propio
𝛿𝑔 = 𝛿𝑓 ∗𝑔
𝑞𝑑𝑖𝑠= 65,7 ∗ 0,556 = 36,5 𝑚𝑚
Se recomienda especificar contraflecha de 40 mm, que corresponde aproximadamente a la
magnitud de la flecha por concepto de peso propio, para evitar un impacto visual desagradable
del rasgo inferior de las vigas en el largo plazo.
Desplazamiento horizontal del apoyo móvil.
ℎ1 =ℎ𝑎2=500
2= 250 𝑚𝑚
ℎ2 =ℎ𝑚2=1.331
2= 666 𝑚𝑚
𝛿𝐻,𝐵 ≈4 ∗ (ℎ2 − 1,6 ∗ ℎ1)
𝐿∗ 𝛿𝑓 =
4 ∗ (666 + 1,6 ∗ 250)
19.000∗ 65,7 = 14,7 𝑚𝑚
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L 191
Verificación hipótesis de peso propio del sistema de vigas
Densidad normal del Pino radiata
𝜌12,𝑝𝑟𝑜𝑚 = 476 𝑘𝑔 𝑚3⁄
Asumiendo un coeficiente de variación 0,10 y una distribución de densidades obedeciendo a
un patrón gaussiano normal
𝜌12,𝑝95% = 𝜌12,𝑝𝑟𝑜𝑚 ∗ (1 + 0,1645) = 476 ∗ 1,1645 = 555 𝑘𝑔 𝑚3⁄
Incrementando este valor en un 5% para incluir el peso de herrajes y medios de unión
𝜌12,𝑑𝑖𝑠 = 1,05 ∗ 554 = 582 𝑘𝑔 𝑚3⁄
Volumen viga:
𝑏 ∗ 0,5 ∗ (ℎ𝑎 + ℎ𝑚) ∗ 𝑙 = 0,185 ∗ 0,5 ∗ (0,5 + 1,331) ∗ 19 = 3,218 𝑚3
Área tributaria:
𝐷 ∗ 𝑙 = 6 ∗ 19 = 114 𝑚2
𝑞𝑒𝑞 =𝑉 ∗ 𝜌12,𝑑𝑖𝑠𝐴𝑡𝑟𝑖𝑏
=3,218 ∗ 582
114= 16,4 𝑘𝑔 𝑚2⁄ ≈ 𝑞𝑠𝑢𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 = 0,15 𝑘𝑁 𝑚2⁄
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
192 I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L
EJEMPLO 29: Sistema de techo a dos aguas simétrico con vigas de
madera laminada con bordes inclinados
Un sistema de techo consiste de piezas de madera laminada encolada (MLE) de Pino radiata,
de espesor 185 mm, dispuestas cada 6 m y cubre una distancia libre entre apoyos, L, de 19 m.
Las vigas son rectas a dos aguas simétricas con bordes superior e inferior inclinados
(inclinaciones 17,6 % y 8,7 %, respectivamente) con una transición circular central de 5 m en el
borde inferior. Las vigas apoyan costaneras dispuestas cada 2,40 m (en planta), también de
MLE de pino radiata, que se encuentran vinculadas a sistemas arriostrantes en el plano de
techo. Las vigas de techo se dimensionarán asumiendo un armado de calidad híbrida: uso de
láminas Grado A, en los sextos externos de la altura de sección transversal, y láminas Grado B
en el interior, verificándose que las tensiones de trabajo en las zonas críticas de cada pieza no
excedan las tensiones de diseño y que el descenso máximo, no sobrepase el límite L/240.
Como parte de la ingeniería de detalle se estimarán la longitud de aplastamiento requerida en
los apoyos, la contraflecha de fabricación, equivalente a la flecha debido al peso propio, y el
desplazamiento horizontal del apoyo móvil.
Datos:
Peso propio cubierta : 0,26 kN/m2 (s.d.t.)
Peso propio costaneras : 0,05 kN/m2 (s.d.t.)
Peso propio vigas (estimado) : 0,16 kN/m2 (s.d.t.)
Sobrecarga de servicio : 0,40 kN/m2 (s.p.h.)
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L 193
Solución.
Estimación de solicitaciones: Peso propio + sobrecarga
Cubierta: 0,26 kN/m2 (s.d.t)
Costaneras 0,05 kN/m2 (s.d.t)
Vigas (estimado) 0,16 kN/m2 (s.d.t)
Total peso propio 0,47 kN/m2 (s.d.t) = 0,47/cos(10) =0,477 kN/m2 (s.p.h)
Sobrecarga 0,40 kN/m2 (s.p.h)
Densidad de carga de diseño 0,877 kN/m2 (s.p.h)
𝐷 = 6,0 𝑚 ⇒ 𝑞 = 0,877 ∗ 6,0 = 5,264 𝑘𝑁 𝑚⁄
𝑉𝐴 = 𝑉𝐵 =𝑞𝑑𝑖𝑠 ∗ 𝐿
2=5,264 ∗ 19
2= 50,003 𝑘𝑁
𝑀𝑚á𝑥 =𝑞𝑑𝑖𝑠 ∗ 𝐿
2
8=5,264 ∗ 192
8= 237,516 𝑘𝑁 ∗ 𝑚
Altura requerida en apoyos
𝐹𝑐𝑧,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑐𝑧 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾𝐻 = 1,1 ∗ 1,25 ∗ 1 = 1,375 𝑀𝑃𝑎
ℎ𝐴,𝑟𝑒𝑞 =1,5 ∗ 𝑉𝐴𝑏 ∗ 𝐹𝑐𝑧,𝑑𝑖𝑠
=1,5 ∗ 50,003 ∗ 103
185 ∗ 1,375= 295 𝑚𝑚
Sea ℎ𝐴 = 350 𝑚𝑚
Longitud de apoyos requerida:
Se define una separación de 120 mm entre el extremo de las vigas y el borde de la superficie
de apoyo.
𝐹𝑐𝑛,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑐𝑛 ∗ 𝐾𝐻 ∗ 𝐾𝑐𝑛 = 2,5 ∗ 1 ∗ 1 = 2,5 𝑀𝑃𝑎
𝑙𝑎𝑝,𝑟𝑒𝑞 =𝑉𝐴
𝑏 ∗ 𝐹𝑐𝑛,𝑑𝑖𝑠=49,59 ∗ 103
185 ∗ 2,5= 107 𝑚𝑚
Por razones constructivas se define 𝑙𝑎𝑝 = 185 𝑚𝑚
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
194 I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L
𝑐 = 5,00 𝑚 ⇒ 𝑅 =𝑐
2 ∗ 𝑠𝑒𝑛(𝛿)=
5
2 ∗ 0,087= 28,684 𝑚
ℎ1 = ℎ𝐴 + 0,5 ∗ 𝐿 ∗ (𝑡𝑎𝑛(𝛾) − 𝑡𝑎𝑛(𝛿)) = 350 + 0,5 ∗ 19 ∗ 103 ∗ (𝑡𝑎𝑛(10°) − 𝑡𝑎𝑛(5°))
= 1.194 𝑚𝑚
ℎ𝑚 = ℎ1 + 0,5 ∗ 𝑐 ∗ tan(𝛿) − 𝑅 ∗ (1 − cos(𝛿))
ℎ𝑚 = 1.194 + 0,5 ∗ 5 ∗ 103 ∗ tan(5°) − 28,684 ∗ 103 ∗ (1 − cos(5°)) = 1.304 𝑚𝑚
𝑅𝑚 = 𝑅 + 0,5 ∗ ℎ𝑚 = 26,684 ∗ 103 + 0,5 ∗ 1.304 = 29.336 𝑚𝑚
𝑥𝑓𝑓,𝑚á𝑥=ℎ𝐴 ∗ 𝐿
2 ∗ ℎ1=350 ∗ 19
2 ∗ 1.194= 2,785 𝑚
𝑀𝑓𝑓,𝑚á𝑥=𝑞𝑑𝑖𝑠 ∗ 𝑥𝑓𝑓,𝑚á𝑥
2∗ (𝐿 − 𝑥𝑓𝑓,𝑚á𝑥
) =5,264 ∗ 2,785
2∗ (19 − 2,785) = 118,841 𝑘𝑁 ∗ 𝑚
De acuerdo con NCh 1198, Sección 10.7.1.2
𝜙 = 𝛾 − 𝛿 = 10° − 5° = 5°
ℎ𝑥𝑓𝑓,𝑚á𝑥∗ = ℎ𝐴 + 𝑥𝑓𝑓,𝑚á𝑥
∗ (tan(𝜙)) = 350 + 2,785 ∗ 103 ∗ tan(5°) = 597 𝑚𝑚
ℎ𝑥𝑓𝑓,𝑚á𝑥= ℎ𝑥𝑓𝑓,𝑚á𝑥
∗ ∗ cos(𝜙) = 597 cos ([10 + 5]/2) = 592 𝑚𝑚
𝑊𝑥𝑓,𝑚𝑎𝑥 = 𝑏 ∗ ℎ2
6=185 ∗ 5922
6= 10.816.554 𝑚𝑚4
𝑓𝑓,𝑚á𝑥 =𝑀𝑓𝑓,𝑚á𝑥
𝑊𝑥𝑓,𝑚𝑎𝑥=118,841 ∗ 106
10.816.554 = 11 𝑀𝑃𝑎
Este valor excede considerablemente la tensión de diseño en flexión. Se incrementa la altura
en el apoyo A en 140 mm, por lo que
ℎ𝐴 = 490 𝑚𝑚
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L 195
Consecuentemente las alturas ℎ1 y ℎ𝑚 se incrementan también en 140 mm, por lo que
ℎ1 = 1.194 + 140 = 1.334 𝑚𝑚
ℎ𝑚 = 1.304 + 140 = 1.444 𝑚𝑚
𝑅𝑚 = 𝑅 + 0,5 ∗ ℎ𝑚 = 26,684 ∗ 103 + 0,5 ∗ 1.444 = 29.406 𝑚𝑚
𝑥𝑓𝑓,𝑚á𝑥=ℎ𝐴 ∗ 𝐿
2 ∗ ℎ1=490 ∗ 19
2 ∗ 1.334= 3,49 𝑚
𝑀𝑓𝑓,𝑚á𝑥=𝑞𝑑𝑖𝑠 ∗ 𝑥𝑓𝑓,𝑚á𝑥
2∗ (𝐿 − 𝑥𝑓𝑓,𝑚á𝑥
) =3,49 ∗ 2,785
2∗ (19 − 3,49) = 142,444 𝑘𝑁 ∗ 𝑚
ℎ𝑥𝑓𝑓,𝑚á𝑥∗ = ℎ𝐴 + 𝑥𝑓𝑓,𝑚á𝑥
∗ (tan(𝜙)) = 490 + 3,49 ∗ 103 ∗ tan(5°) = 800 𝑚𝑚
ℎ𝑥𝑓𝑓,𝑚á𝑥= ℎ𝑥𝑓𝑓,𝑚á𝑥
∗ ∗ cos(𝜙) = 800 cos ([10 + 5]/2) = 793 𝑚𝑚
𝑊𝑥𝑓,𝑚𝑎𝑥 = 𝑏 ∗ ℎ2
6=185 ∗ 7932
6= 19.397.626 𝑚𝑚4
𝑓𝑓,𝑚á𝑥 =𝑀𝑓𝑓,𝑚á𝑥
𝑊𝑥𝑓,𝑚𝑎𝑥=142,444 ∗ 106
19.397.626 = 7,34 𝑀𝑃𝑎
De NCh 1198, Sección 10.7.1.6, tensiones adicionales en el borde inclinado.
De acuerdo con NCh 1198, Sección 10.7.1.2
𝜙 = 𝛾 − 𝛿 = 10° − 5° = 5°
𝑓𝑐𝑧 = 𝑓𝑓,𝑚á𝑥 ∗ tan (𝜙) = 7,34 ∗ tan(5°) = 0,644 𝑀𝑃𝑎
𝑓𝑐𝑛 = 𝑓𝑓,𝑚á𝑥 ∗ tan2(𝜙) = 7,34 ∗ tan2(5°) = 0,056 𝑀𝑃𝑎
Control interacción tensional borde inclinado:
Tensión admisible de flexión.
𝐹𝑓 = 7,8 𝑀𝑃𝑎
𝐸𝑙𝑣 = 7.700 𝑀𝑃𝑎
𝐸𝑙𝑣,𝑑𝑖𝑠 = 𝐸𝑙𝑣 ∗ 𝐾𝐻 = 7.700 ∗ 1 = 7.700 𝑀𝑃𝑎
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
196 I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L
En el borde flexo comprimido
Verificación estabilidad lateral
𝑙𝑎 = 2,40 𝑚 : Distancia entre costaneras
De NCh 1198, Sección 7.2.1.9, Tabla 10
𝑙𝑎ℎ=2,4 ∗ 103
793= 3,03 < 7 ⇒ 𝑙𝑣 = 2,06 ∗ 𝑙𝑎 = 2,06 ∗ 2,4 = 4,944 𝑚
𝜆𝑣 = √𝑙𝑣 ∗ ℎ𝑥𝑓𝑓,𝑚á𝑥
𝑏2= √
4,944 ∗ 103 ∗ 794
1852= 10,71
𝐹𝑓,𝐸 =𝐶𝑓𝐸 ∗ 𝐸𝑑𝑖𝑠
𝜆𝑣2 =
0,61 ∗ 7.700
10,712= 41,0 MPa
𝐹𝑓,𝑑𝑖𝑠∗ = 𝐹𝑓 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾𝐻 = 7,8 ∗ 1,25 ∗ 1 = 9,75 𝑀𝑃𝑎
(𝐹𝑓,𝐸
𝐹𝑓,𝑑𝑖𝑠∗ ) =
41,0
9,75= 4,205
𝐾𝜆,𝑣 =
1 + (𝐹𝑓,𝐸𝐹𝑓,𝑑𝑖𝑠∗ )
1,9−
√
(
1+ (
𝐹𝑓,𝐸𝐹𝑓,𝑑𝑖𝑠∗ )
1,9
)
2
−
(𝐹𝑓,𝐸𝐹𝑓,𝑑𝑖𝑠∗ )
0,95
𝐾𝜆,𝑣 =1 + 4,205
1,9− √(
1 + 4,205
1,9)2
−4,205
0,95= 0,985
𝐹𝑓𝑣 = 𝐹𝑓 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾𝐻 ∗ 𝐾𝜆,𝑣 = 7,8 ∗ 1,25 ∗ 1 ∗ 0,985 = 9,60 𝑀𝑃𝑎
Control interacción:
(𝑓𝑓
𝐹𝑓𝑣,𝑑𝑖𝑠)
2
+ (𝑓𝑐𝑛
𝐹𝑐𝑛,𝑑𝑖𝑠)
2
+ (𝑓𝑐𝑧
2,66 ∗ 𝐹𝑐𝑧,𝑑𝑖𝑠)
2
< 1,0
(7,34
9,60)2
+ (0,056
2,5)2
+ (0,644
2,66 ∗ 1,375)2
= 0,616 < 1,0
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L 197
Verificación tensional en el borde flexo traccionado
𝐾𝑣 = (6,4
𝐿)1 10⁄
∗ (300
ℎ)1 10⁄
∗ (135
𝑏)1 10⁄
𝐾𝑣 = (6,4
19)1 10⁄
∗ (300
793)1 10⁄
∗ (135
185)1 10⁄
= 0,789
𝐹𝑓𝑡 = 𝑓𝑓 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾𝐻 ∗ 𝐾𝑉 = 7,8 ∗ 1,25 ∗ 1 ∗ 0,789 = 7,69 𝑀𝑃𝑎
Borde inferior recto ⇒ 𝐾𝑎 = 1 + 4 ∗ 𝑡𝑎𝑛2𝜙 = 1 + 4 ∗ 0,08752 = 1,031
𝑓𝑓𝑡,𝑚á𝑥 = 𝑓𝑓 ∗ 𝐾𝜃 = 7,34 ∗ 1,031 = 7,57 𝑀𝑃𝑎 < 𝐹𝑓𝑡,𝑑𝑖𝑠 = 7,69 𝑀𝑃𝑎 Verifica
Verificación tensional a mitad de luz
𝑓𝑓,𝑚á𝑥 =𝑀𝑚á𝑥 ∗ 6
𝑏 ∗ ℎ𝑚2 =
237,516 ∗ 106 ∗ 6
185 ∗ 1.4442= 3,70 𝑀𝑃𝑎
En la cumbrera 𝜙 = 10°
ℎ𝑚𝑅𝑚
=1.444
29,406 ∗ 103= 0,049
Borde flexotraccionado
𝐾𝜃 = 1 + 1,4 ∗ 𝑡𝑎𝑛(𝜙) + 5,4 ∗ 𝑡𝑎𝑛2(𝜙) + (0,35 − 8 ∗ 𝑡𝑎𝑛(𝜙)) ∗ (ℎ𝑚𝑅𝑚
) + (0,6 + 8,3 ∗ 𝑡𝑎𝑛(𝜙) − 7,8 ∗ 𝑡𝑎𝑛2(𝜙))
∗ (ℎ𝑚𝑅𝑚
)2
+ 6 ∗ 𝑡𝑎𝑛2(𝜙) ∗ (ℎ𝑚𝑅𝑚
)3
𝐾𝜃 = 1 + 1,4 ∗ 0,176 + 5,4 ∗ 0,1762 + (0,35 − 8 ∗ 0,176) ∗ 0,049 + (0,6 + 8,3 ∗ 0,176 − 7,8 ∗ 0,1762) ∗ 0,0492
+ 6 ∗ 0,1762 ∗ 0,0493 = 1,367
𝑓𝑓𝑡 = 𝑓𝑓 ∗ 𝐾𝜃 = 3,70 ∗ 1,367 = 5,07 𝑀𝑃𝑎
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
198 I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L
Altura de viga en el punto del inicio del sector curvo
ℎ𝑐∗ = ℎ𝐴 + 0,5 ∗ (
𝑙 − 𝑐
2) ∗ (tan 𝛾 − tan 𝛿)
ℎ𝑐∗ = 490 + 0,5 ∗ (
19 − 5
2) ∗ (0,176 − 0,087) ∗ 1.000 = 1.112 𝑚𝑚
ℎ𝑐 = ℎ𝑐∗ ∗ 𝑐𝑜𝑠 (
𝛾 + 𝛿
2) = 1.112 ∗ 0,996 = 1.102 𝑚𝑚
ℎ𝑝𝑟𝑜𝑚,𝑐𝑢𝑚𝑏𝑟𝑒𝑟𝑎 = 0,5 ∗ (ℎ𝑐 + ℎ𝑚) = 0,5 ∗ (1.102 + 1.444) = 1.273 𝑚𝑚
𝐾𝑉 = (6,4
19,0)1 10⁄
∗ (300
1.273)1 10⁄
∗ (135
185)1 10⁄
= 0,752
𝐹𝑓𝑡,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑓 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾𝐻 ∗ 𝐾𝑉 = 7,8 ∗ 1,25 ∗ 1 ∗ 0,752 = 7,33 𝑀𝑃𝑎 > 𝑓𝑓𝑡
Control de tensiones de tracción normales a la fibra en el eje neutro
𝐾𝑟 = 0,2 ∗ 𝑡𝑎𝑛(𝜙) + (0,25 − 1,5 ∗ 𝑡𝑎𝑛(𝜙) + 2,6 ∗ 𝑡𝑎𝑛2(𝜙)) ∗ (ℎ𝑚𝑅𝑚
) + (2,1 ∗ 𝑡𝑎𝑛(𝜙) − 4 ∗ 𝑡𝑎𝑛2(𝜙))
∗ (ℎ𝑚𝑅𝑚
)2
+ (2,1 ∗ 𝑡𝑎𝑛(𝜙) − 4 ∗ 𝑡𝑎𝑛2(𝜙)) ∗ (ℎ𝑚𝑅𝑚
)2
𝐾𝑟 = 0,2 ∗ 0,176 + (0,25 − 1,5 ∗ 0,176 + 2,6 ∗ 0,1762) ∗ 0,049 + (2,1 ∗ 𝑡𝑎𝑛(𝜙) − 4 ∗ 0,1762)
∗ 0,0492 + (2,1 ∗ 0,176 − 4 ∗ 0,1762) ∗ 0,0492 = 0,0391
𝑓𝑡𝑛 = 𝑓𝑓 ∗ 𝑘𝑟 = 3,7 ∗ 0,0391 = 0,145 𝑀𝑃𝑎 > 𝐹𝑡𝑛,𝑑𝑖𝑠 = 0,1 𝑀𝑃𝑎
Las tensiones se deben neutralizar por medio de refuerzos.
Control flecha
𝑔
𝑞𝑑𝑖𝑠=0,48
0,88= 0,544 > 0,5
NCh 1198, Sección 7.2.4.11 ⇒ Se debe considerar efecto del creep
𝑘𝑝 = 1,5 −𝑔
𝑞𝑑𝑖𝑠= 1,5 − 0,544 = 0,956
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L 199
⇒ 𝜌 =1
𝑘𝜌− 1 =
1
0,956− 1 = 0,046
𝛿𝑓,𝑓 = 𝛿𝑓,0 ∗ (1 + 𝜌 ∗𝑔
𝑞𝑑𝑖𝑠) = 𝛿𝑓,0 ∗ (1 + 0,046 ∗ 0,544) = 1,025 ∗ 𝛿𝑓,0
𝛿𝑄,𝑓 = 𝛿𝑄,0 ∗ (1 + 2 ∗ 𝜌 ∗𝑔
𝑞𝑑𝑖𝑠) = 𝛿𝑄,0 ∗ (1 + 2 ∗ 0,046 ∗ 0,544) = 1,05 ∗ 𝛿𝑄,0
𝐴𝐴 = 𝑏 ∗ ℎ𝐴 = 185 ∗ 490 = 90.650 𝑚𝑚2
𝐼𝐴 =𝑏 ∗ ℎ𝐴
3
12=185 ∗ 4903
12= 1.813.755.417 𝑚𝑚4
𝑘𝑓 =(ℎ𝐴ℎ𝑚
)3
0,15 + 0,85 ∗ (ℎ𝐴ℎ𝑚
)=
(4901.444)
3
0,15 + 0,85 ∗ (4901.444
)= 0,089
𝛿𝑓 =5
384∗𝑞 ∗ 𝐿4
𝐸 ∗ 𝐼𝐴∗ 𝑘𝑓 =
5
384∗
5,264 ∗ 19.0004
9.000 ∗ 1.813.755.417∗ 0,089 = 48,8 𝑚𝑚
𝑘𝑓 =2
1 + (ℎ𝑚ℎ𝐴)
23⁄=
2
1 + (1.444490
)
23⁄= 0,655
𝛿𝑞 =1,2 ∗ 𝑀𝑚á𝑥
𝐺 ∗ 𝐴𝐴∗ 𝑘𝑓 =
1,2 ∗ 237,516 ∗ 106
(0,065 ∗ 9.000) ∗ 90.650∗ 0,655 = 3,5 𝑚𝑚
Deformación total, incorporando efecto de creep:
𝛿𝑑𝑒𝑓 = 1,025 ∗ 𝛿𝑓 + 1,05 ∗ 𝛿𝑞 = 1,025 ∗ 48,8 + 1,061 ∗ 3,5 = 54 𝑚𝑚
Δ𝑎𝑑 =𝐿
240=19.000
240= 79,2 𝑚𝑚 > 𝛿𝑓
Se recomienda especificar contraflecha de 30 mm, que corresponde aproximadamente a la
magnitud de la flecha por concepto de peso propio.
Desplazamiento horizontal del apoyo móvil.
ℎ1 =ℎ𝐴2=490
2= 245 𝑚𝑚
ℎ2 =ℎ1 − ℎ𝑚 + 𝐿 ∗ tan (𝛽)
2=490 − 1.444 + 19.000 ∗ 0,176
2= 1.198 𝑚𝑚
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
200 I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L
𝛿𝐻,𝐵 ≈4 ∗ (ℎ2 − 1,6 ∗ ℎ1)
𝐿∗ 𝛿𝑓 =
4 ∗ (1.198 + 1,6 ∗ 245)
19.000∗ 54 = 18 𝑚𝑚
Neutralización tensiones de tracción normal a la fibra en el sector curvo.
Se aplican las especificaciones de NCh 1198, Anexo U.
Refuerzo sector curvo por medio de barras con hilo encoladas con adhesivo epóxico o resina
compatible con madera y acero: Se considera refuerzo consistente de barras de acero con hilo
Ø5/8”
Sector curvo central.
Definiendo 𝑎1 como la mitad central de la longitud de la zona curva del entorno de la
cumbrera (5 m),
𝑇𝑡𝑛 =𝑓𝑡𝑛,𝑚á𝑥 ∗ 𝑏 ∗ 𝑎1
𝑛=0,145 ∗ 185 ∗ 0,5 ∗ 5
𝑛=66,876
𝑛 𝑘𝑁/𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎
Con n: número de barras de acero dispuestas en la mitad central del sector curvo.
Se considera el uso de barras de acero con hilo de diámetro nominal Ø5/8” con una capacidad
admisible de anclaje
𝐹𝑎,𝑑𝑖𝑠 = 1,1 𝑀𝑃𝑎
A 1,25 m de la cumbrera, la longitud de anclaje efectiva de las barras de costura asciende a
𝐼𝑎,𝑒𝑓 ≥1
2∗ (ℎ𝐴 + (ℎ1 − ℎ𝐴) ∗
(0,5 ∗ 𝐿 − 0,25 ∗ 𝑐)
0,5 ∗ 𝐿)
𝐼𝑎,𝑒𝑓 =1
2∗ (490 + (1.334 − 490) ∗
(0,5 ∗ 19 ∗ 103 − 0,25 ∗ 5 ∗ 103)
0,5 ∗ 19 ∗ 103) = 611 𝑚𝑚
En consecuencia la cantidad de barras requerida, n, en el tramo central es
𝑛 ≥2 ∗ 𝑇𝑛
𝑙𝑎,𝑒𝑓 ∗ 𝜋 ∗ 𝐷 ∗ 𝐹𝑎,𝑑𝑖𝑠=
2 ∗ 66,876 ∗ 103
622 ∗ 𝜋 ∗ 15,9 ∗ 1,1= 3,9
Se especifican 4 barras de acero con hilo Ø5/8”
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L 201
Su disposición satisface la exigencia
0,75 ∗ ℎ𝑚 = 0,75 ∗ 1.444 = 1.083 𝑚𝑚 < 𝑎1 =2.500
4= 625 𝑚𝑚 > 250 𝑚𝑚
Verificación tracción en área neta barras con hilo:
𝑓𝑡 =𝑇𝑛
𝑛 ∗ 0,8 ∗ 𝜋 ∗ (𝐷2 4⁄ )=
66,876 ∗ 103
6 ∗ 0,8 ∗ 𝜋 ∗ (15,92 4⁄ )= 106 𝑀𝑃𝑎 < 𝐹𝑡,𝑎𝑐𝑒𝑟𝑜 = 120 𝑀𝑃𝑎 𝑂𝐾
Verificación de los cuartos externos del sector curvo.
𝑇𝑡𝑛 =2
3∗𝑓𝑡𝑛,𝑚á𝑥 ∗ 𝑏 ∗ 𝑎1
𝑛=2
3∗0,145 ∗ 185 ∗ 0,25 ∗ 5
𝑛=22,292
𝑛 𝑘𝑁/𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎
A 2,5 m de la cumbrera
𝐼𝑎,𝑒𝑓 ≥1
2∗ (ℎ𝐴 + (ℎ1 − ℎ𝐴) ∗
(𝐿 − 𝑐)
𝐿)
𝐼𝑎,𝑒𝑓 =1
2∗ (490 + (1.334 − 490) ∗
(19 − 5)
19) = 556 𝑚𝑚
𝑛 ≥2 ∗ 𝑇𝑛
𝐼𝑎,𝑒𝑓 ∗ 𝜋 ∗ 𝐷 ∗ 𝐹𝑎,𝑑𝑖𝑠=
2 ∗ 22,292 ∗ 103
556 ∗ 𝜋 ∗ 15,9 ∗ 1,1= 1,5 ⇒ 2
Se especifican 2 barras de acero con hilo Ø5/8”
Verificación tracción en área neta barras con hilo:
𝑓𝑡 =𝑇𝑛
𝑛 ∗ 0,8 ∗ 𝜋 ∗ (𝐷2 4⁄ )=
22,292 ∗ 103
2 ∗ 0,8 ∗ 𝜋 ∗ (15,92 4⁄ )= 70,4 𝑀𝑃𝑎 < 𝐹𝑡,𝑎𝑐𝑒𝑟𝑜 = 120 𝑀𝑃𝑎 𝑜𝑘
Verificación hipótesis de peso propio del sistema de vigas:
Densidad normal del Pino radiata
𝜌12,𝑝𝑟𝑜𝑚 = 476 𝑘𝑔 𝑚3⁄
Asumiendo un coeficiente de variación 0,10 y una distribución de densidades obedeciendo a
un patrón gaussiano normal
𝜌12,𝑝95% = 𝜌12,𝑝𝑟𝑜𝑚 ∗ (1 + 0,1645) = 476 ∗ 1,1645 = 555 𝑘𝑔 𝑚3⁄
Incrementando este valor en un 5% para incluir el peso de herrajes y medios de unión
𝜌12,𝑠𝑖𝑎 = 1,05 ∗ 555 = 582 𝑘𝑔 𝑚3⁄
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
202 I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L
Volumen viga:
𝑉 = 𝑏 ∗ (0,5 ∗ (ℎ𝑎 + ℎ1) ∗ 𝑙 + 𝑅2 ∗ 𝑡𝑎𝑛(𝛿) −
𝛿 ∗ 𝜋 ∗ 𝑅2
180)
𝑉 = 0,185 ∗ ((0,49 + 1,334)
2∗ 19 + 28,6842 ∗ 𝑡𝑎𝑛(5) −
5 ∗ 𝜋 ∗ 28,6842
180) = 3,239 𝑚3
Área tributaria:
𝐷 ∗ 𝑙 = 6 ∗ 19 = 114 𝑚2
𝑞𝑒𝑞 =𝑉 ∗ 𝜌12,𝑑𝑖𝑠𝐴𝑡𝑟𝑖𝑏
=3,239 ∗ 582
114= 16,5 𝑘𝑔 𝑚2⁄ ≈ 𝑞𝑠𝑢𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 = 0,16 𝑘𝑁 𝑚2⁄
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L 203
EJEMPLO 30: Marco triarticulado de madera laminada
Verificación de las dimensiones del marco triarticulado tipo del galpón de madera laminada
encolada de pino Radiata de la figura (armado híbrido; láminas Grado A en los sextos externos
de la sección transversal y láminas Grado B en los 2/3 centrales). Se estructura con columnas
compuestas tipo “cajón” constituidas por dos tapas laterales de altura variable y dos cordones
de borde, a la vez que los tijerales consisten de piezas simples de altura variable que se
empalman “en cepo” con las tapas laterales de las columnas en los aleros, conformando una
unión rígida. La madera se mantiene seca en servicio (H ≤ 15 %). Como sujesor estructural se
considera el uso de conectores de hinca Tipo C (EN 1995-1-1) con pernos y golillas. El diseño de
la unión rígida del alero condiciona una altura de sección de 830 mm tanto para las columnas
como para los travesaños. La esquina interior del encuentro de columnas y tijerales se
encuentra impedido de desplazarse fuera del plano de los marcos mediante la disposición de
puntales diagonales que se apoyan a su vez de una costanera de techo. La estructura se diseña
para una densidad de carga de peso propio de 0,47 kN/m2 (s.d.t) y una sobrecarga de servicio
de 0,4 kN/m2 (s.p.h).
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
204 I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L
2,11 kN/m
Dimensiones en mm
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L 205
Solución:
Geometría y solicitaciones
Diagramas de esfuerzos internos
Verificación columnas:
Por tratarse de piezas híbridas, de acuerdo con Anexo C se considerarán las siguientes
propiedades mecánicas admisibles:
𝐹𝑓 = 7,8 𝑀𝑃𝑎
𝐹𝑐𝑝 = 8 𝑀𝑃𝑎
𝐸 = 9.000 𝑀𝑃𝑎
Por incorporar el estado de carga verificado sobrecargas de servicio de techo, de acuerdo con
NCh 1198, Anexo G, 𝐾𝐷 = 1,25
Por respetarse H ≤ 15 %, 𝐾𝐻 = 1,0
a) Análisis c/r eje x-x
Estimación de la longitud de pandeo de la columna en el plano del marco.
Se aplicará el método presentado en la Sección K6 del Anexo K de NCh 1198.
𝑁𝑝𝑟𝑜𝑚,𝑐𝑜𝑙 = 25,52 𝑘𝑁
𝑁𝑝𝑟𝑜𝑚,𝑡𝑖𝑗𝑒𝑟𝑎𝑙 = 0,5 ∗ (18,12 + 13,12) = 15,62 𝑘𝑁
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
206 I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L
ℎ𝑒𝑞,𝑐𝑜𝑙 = ℎ𝑎𝑝 + 0,65 ∗ (ℎ𝑎𝑙𝑒𝑟𝑜 − ℎ𝑎𝑝𝑜𝑦𝑜) = 400 + 0,65 ∗ (830 − 400) = 679,5 𝑚𝑚
ℎ𝑒𝑞,𝑡𝑟𝑎𝑣 = ℎ𝑐𝑢𝑚𝑏𝑟𝑒𝑟𝑎 + 0,65 ∗ (ℎ𝑎𝑙𝑒𝑟𝑜 − ℎ𝑐𝑢𝑚𝑏𝑟𝑒𝑟𝑎) = 350 + 0,65 ∗ (830 − 350) = 662 𝑚𝑚
Ángulo de inclinación del tijeral en el modelo análogo
𝛼 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(900 6.500⁄ ) = 7,9°
Longitud del tijeral en el modelo análogo
𝑠 =6,5
cos7,9°= 6,56 𝑚
𝐼𝑐𝑜𝑙 =2 ∗ 𝑏1,𝑐𝑜𝑙 ∗ ℎ𝑒𝑞,𝑐𝑜𝑙
3
12=2 ∗ 65 ∗ 679,53
12= 3.398.838.190 𝑚𝑚4
𝐼𝑡𝑖𝑗𝑒𝑟𝑎𝑙 =𝑏𝑡𝑟𝑎𝑣 ∗ ℎ𝑒𝑞,𝑡𝑟𝑎𝑣
3
12=138 ∗ 6623
12= 3.336.351.572 𝑚𝑚4
𝑐 =𝐼𝑐𝑜𝑙 ∗ 2 ∗ 𝑠
𝐼𝑡𝑖𝑗 ∗ 𝐻=3.398.838.190 ∗ 2 ∗ 6,56
3.336.351.572 ∗ 5,3= 2,523
⇒ 𝑙𝑝,𝑥−𝑥 = 2 ∗ 𝐻 ∗ √1 + 0,4 ∗ 𝑐 = 2 ∗ 5,3 ∗ √1 + 0,4 ∗ 2,523 = 15,025 𝑚
𝜆𝑥−𝑥 =𝑙𝑃,𝑥−𝑥 ∗ √12
ℎ𝑒𝑞,𝑐𝑜𝑙=15.021 ∗ √12
679,5= 76,6
𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑐𝑝 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾𝐻 = 8 ∗ 1,25 ∗ 1 = 10 𝑀𝑃𝑎
𝐸𝑑𝑖𝑠 = 𝐸 ∗ 𝐾𝐻 = 9.000 ∗ 1 = 9.000 𝑀𝑃𝑎
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L 207
De NCh 1198, Sección 10.3.1.3
𝐹𝑐𝑥,𝐸 =5 ∗ 𝐸𝑑𝑖𝑠𝜆2
=5 ∗ 9.000
76,62= 7,67 𝑀𝑃𝑎
⇒ 𝐹𝑐𝑥,𝐸𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠
=7,66
10= 0,767
𝐴 =
𝐹𝑐𝑥,𝐸𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠
∗ (1 +𝜆300
) + 1
1,8=0,767 ∗ (1 +
76,7300
) + 1
1,8= 1,09
𝐵 =
𝐹𝑐𝑥,𝐸𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠0,9
=0,767
0,9= 0,852
𝐾𝜆 = 𝐴 − √𝐴2 − 𝐵 = 1,09 − √1,092 − 0,852 = 0,51
⇒ 𝐹𝑐𝜆,𝑑𝑖𝑠 = 𝐾𝜆 ∗ 𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠 = 0,51 ∗ 10 = 5,1 𝑀𝑃𝑎
Verificación interacción tensional en nudo alero:
De diagramas de esfuerzos internos:
𝑀 = 65,551 𝑘𝑁 ∗ 𝑚
𝑁 = 25,52 𝑘𝑁
𝐴𝑐𝑜𝑙,𝑐 = 2 ∗ 𝑏𝑙,𝑐𝑜𝑙 ∗ ℎ𝑐𝑜𝑙,𝑐 = 2 ∗ 65 ∗ 830 = 107.900 𝑚𝑚2
𝑊𝑐𝑜𝑙,𝑐 =2 ∗ 𝑏𝑙,𝑐𝑜𝑙 ∗ ℎ𝑐𝑜𝑙,𝑐
2
6=2 ∗ 65 ∗ 8302
6= 14.926.167 𝑚𝑚3
𝑓𝑐 =𝑁𝑐𝐴𝑐
=25.520
107.900= 0,24 𝑀𝑃𝑎
𝑓𝑓 =𝑀𝑐
𝑊𝑐=65.551.000
14.926.167= 4,39 𝑀𝑃𝑎
Control interacción
Por controlarse el borde flexo comprimido y dado que el volcamiento de la unión se encuentra
impedido
𝐹𝑓,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑓 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾𝐻 = 7,8 ∗ 1,25 ∗ 1 = 9,75 𝑀𝑃𝑎
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
208 I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L
𝑓𝑐𝐹𝑐𝜆,𝑑𝑖𝑠
+𝑓𝑓
𝐹𝑓,𝑑𝑖𝑠=0,24
5,1+4,39
9,75= 0,497 ≪ 1,0
b) Análisis c/r eje y-y
Sección transversal equivalente.
Se verificará de acuerdo con lo especificado en NCh 1189, sección 7.3.3.2
Conceptualmente la sección funciona como una pieza tripartita simétrica con respecto al eje y-
y.
Ligazón elástica: PØ1/2”+2 Co D50 + 2 GoØ55*5 c/500 mm, en 2 hileras
(CoD50: conector Tipo C con endentado bilateral, de diámetro exterior 50 mm, Go Ø55*5:
golilla de acero circular diámetro exterior 55 mm, espesor 5 mm).
De Anexo I para los conectores de diámetro exterior 50 mm
𝑁1𝑝,𝑎𝑑 = 5 𝑘𝑁
𝐾𝐷 = 1,25
𝐶 = 3.333 𝑁 𝑚𝑚⁄
𝑁1𝑝,𝑑𝑖𝑠 = 𝑁1𝑝,𝑎𝑑 ∗ 𝐾𝐷 = 5 ∗ 1,25 = 6,25 𝑘𝑁
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L 209
𝐴1 = 65 ∗ 670 = 43.550 𝑚𝑚2 (Estimación levemente conservadora, ya que h1eq
=679,5 mm)
𝑧 = 0,5 ∗ (𝑏1,𝑐𝑜𝑙 + 𝑏𝑡𝑟𝑎𝑣) = 0,5 ∗ (65 + 138) = 101,5 𝑚𝑚
𝑘 =𝜋2 ∗ 𝐸𝑑𝑖𝑠 ∗ 𝐴1
𝐶 ∗ 𝑙𝑝,𝑦−𝑦2 ∗
𝑠
2=𝜋2 ∗ 9.000 ∗ 43.550
3.333 ∗ 5.3002∗500
2= 10,3
⇒ 𝛾 =1
1 + 𝑘=
1
1 + 10,3= 0,088
𝐼𝑒𝑓,𝑦−𝑦 =2 ∗ (ℎ𝑒𝑞,𝑐𝑜𝑙 ∗ 𝑏1,𝑐𝑜𝑙
3 + ℎ𝑐𝑜𝑟𝑑ó𝑛 ∗ 𝑏𝑡𝑟𝑎𝑣3 )
12+ 2 ∗ 𝛾 ∗ 𝐴1 ∗ 𝑧
2
𝐼𝑒𝑓,𝑦−𝑦 =2 ∗ (670 ∗ 653 + 90 ∗ 1383)
12+ 2 ∗ 0,088 ∗ 43.550 ∗ 101,52 = 149.296.694 𝑚𝑚4
𝐴𝑡𝑜𝑡 = 2 ∗ (𝑏1,𝑐𝑜𝑙 ∗ ℎ𝑒𝑞,𝑐𝑜𝑙 + ℎ𝑐𝑜𝑟𝑑ó𝑛 ∗ 𝑏𝑡𝑟𝑎𝑣) = 2 ∗ (65 ∗ 670 + 90 ∗ 138) = 111.940 𝑚𝑚2
𝑖𝑦−𝑦,𝑒𝑓 = √𝐼𝑒𝑓,𝑦−𝑦
𝐴𝑡𝑜𝑡= √
149.296.694
111.940= 36,5 𝑚𝑚
⇒ 𝜆𝑦−𝑦 =𝑙𝑝,𝑦−𝑦
𝑖𝑦−𝑦,𝑒𝑓=5.300
36,5= 145,1
𝐹𝑐𝑝,𝑙𝑣 = 7,5 𝑀𝑃𝑎
𝐹𝑐𝑝,𝑙𝑣,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑐𝑝,𝑙𝑣 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾𝐻 = 7,5 ∗ 1,25 ∗ 1 = 9,38 𝑀𝑃𝑎
𝐸𝑙𝑣 = 7.700 𝑀𝑃𝑎
𝐸𝑙𝑣,𝑑𝑖𝑠 = 𝐸𝑙𝑣 ∗ 𝐾𝐻 = 7.700 ∗ 1 = 7.700 𝑀𝑃𝑎
𝐹𝑐𝑦,𝐸 =5 ∗ 𝐸𝑑𝑖𝑠
𝜆𝑦−𝑦2 =
5 ∗ 7.700
145,12= 1,83 𝑀𝑃𝑎
⇒ 𝐹𝑐𝑦,𝐸
𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠=1,83
9,38= 0,195
𝐴 =
𝐹𝑐𝑥,𝐸𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠
∗ (1 +𝜆300) + 1
1,8=0,195 ∗ (1 +
145,1300
) + 1
1,8= 0,716
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
210 I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L
𝐵 =
𝐹𝑐𝑦,𝐸𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠0,9
=0,195
0,9= 0,217
𝐾𝜆,𝑒𝑓 = 𝐴 − √𝐴2 − 𝐵 = 0,716 − √0,7162 − 0,217 = 0,172
⇒ 𝐹𝑐𝜆,𝑑𝑖𝑠 = 𝐾𝜆 ∗ 𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠 = 0,172 ∗ 9,38 = 1,61 𝑀𝑃𝑎
Conservadoramente se considerará que la compresión es resistida exclusivamente por las
piezas laterales:
𝑓𝑐 =𝐶
2 ∗ 𝑏1,𝑐𝑜𝑙 ∗ ℎ𝑒𝑞,𝑐𝑜𝑙=
25.520
2 ∗ 65 ∗ 670= 0,29 𝑀𝑃𝑎 ≪ 𝐹𝑐𝜆,𝑑𝑖𝑠
Verificación ligazón elástica:
𝑄𝑖 =𝐶
𝐾𝜆,𝑒𝑓 ∗ 60=
25.520
0,172 ∗ 60= 2.475 𝑁
⇒ 𝑡𝑐𝑖𝑧,𝑒𝑓 =𝛾 ∗ 𝑄𝑖 ∗ 𝐴1 ∗ 𝑧
𝐼𝑒𝑓,𝑦−𝑦=0,088 ∗ 2.475 ∗ 43.550 ∗ 101,5
149.296.694= 6,47 𝑁 𝑚𝑚⁄
𝑒𝑟𝑒𝑞 =𝑛ℎ𝑖𝑙𝑒𝑟𝑎𝑠 ∗ 𝑁1𝑝,𝑑𝑖𝑠
𝑡𝑐𝑖𝑧,𝑒𝑓=2 ∗ 6.250
6,47= 1.932 𝑚𝑚 ≫ 𝑒𝑒𝑓 = 500 𝑚𝑚
Verificación travesaño:
𝑘𝑡 =𝐼𝑡𝑟𝑎𝑣 ∗ 𝑁𝑝𝑟𝑜𝑚,𝑐𝑜𝑙𝐼𝑐𝑜𝑙 ∗ 𝑁𝑝𝑟𝑜𝑚,𝑡𝑟𝑎𝑣
=3.336.351.572 ∗ 25,52
3.398.838.190 ∗ 15,62= 1,604
⇒ 𝑙𝑝,𝑡𝑟𝑎𝑣 = 𝑙𝑝,𝑐𝑜𝑙 ∗ √𝑘𝑡 = 15,02 ∗ √1,6 = 19,03 𝑚
𝜆𝑡𝑟𝑎𝑣 =𝑙𝑝,𝑡𝑟𝑎𝑣 ∗ √12
ℎ𝑒𝑞,𝑡𝑟𝑎𝑣=19.030 ∗ √12
662= 99,6
𝐹𝑐𝑥,𝐸 =5 ∗ 𝐸𝑑𝑖𝑠
𝜆𝑡𝑟𝑎𝑣2 =
5 ∗ 7.700
99,62= 3,88 𝑀𝑃𝑎
⇒ 𝐹𝑐𝑥,𝐸𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠
=3,88
10= 0,388
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L 211
𝐴 =
𝐹𝑐𝑥,𝐸𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠
∗ (1 +𝜆300) + 1
1,8=0,388 ∗ (1 +
99,6300) + 1
1,8= 0,843
𝐵 =
𝐹𝑐𝑥,𝐸𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠0,9
=0,388
0,9= 0,432
𝐾𝜆 = 𝐴 − √𝐴2 − 𝐵 = 0,843 − √0,8432 − 0,432 = 0,315
⇒ 𝐹𝑐𝜆,𝑑𝑖𝑠 = 𝐾𝜆 ∗ 𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠 = 0,315 ∗ 10 = 3,15 𝑀𝑃𝑎
Verificación interacción tensional en el tramo:
Reacciones en la cumbrera.
𝐻𝑐 = 13,38 𝑘𝑁
𝑄𝑐 = 𝐻𝑐 ∗ 𝑠𝑒𝑛 7,9 = 1,835 𝑘𝑁
𝑁𝑐 = 𝐻𝑐 ∗ 𝑐𝑜𝑠 7,9 = 13,254 𝑘𝑁
Sector momento flector positivo.
𝑞𝑛 = 𝑞𝑠𝑐 ∗ 𝑐𝑜𝑠2 7,9 + 𝑞𝑝𝑝 ∗ 𝑐𝑜𝑠 7,9
𝑞𝑛 = 1,80 ∗ 0,981 + 2,11 ∗ 0,991 = 3,86 𝑘𝑁/𝑚
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
212 I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L
Punto de momento nulo
𝑙0 = 2 ∗ 𝑄𝑐𝑞𝑛
= 2 ∗ 1,835
3,86= 0,952 𝑚
ℎ𝑙0 = ℎ𝑐 + (ℎ𝐵 − ℎ𝑐) ∗ 𝑙0
𝑠= 350 +
(830 − 350) ∗ 0,952
6,562= 420 𝑚𝑚
Máximo momento positivo
𝑥 = 𝑙0
1 +ℎ𝑙0
ℎ𝑐⁄
= 0,952
1 + 420350⁄
= 0,433 𝑚
Por simple inspección se descarta la verificación en el tramo de momento positivo,
considerándose la sección correspondiente al 65 % de la longitud del travesaño (en el modelo
análogo).
𝑥 = 0,65 ∗ 6,52 = 4,265 𝑚
ℎ𝑥 = ℎ𝑐 + 0,65 ∗ (ℎ𝐵 − ℎ𝑐) = 350 + 0,65 ∗ (830 − 350) = 662 𝑚𝑚
𝐴 = 𝑏𝑡𝑖𝑗 ∗ ℎ𝑥 = 138 ∗ 662 = 91.356 𝑚𝑚2
𝑊𝑥 =𝑏𝑡𝑖𝑗 ∗ ℎ𝑥
2
6=138 ∗ 6622
6= 10.079.612 𝑚𝑚3
𝑀𝑥 = 𝑄𝑐 ∗ 𝑥 − 𝑞𝑛 ∗𝑥2
2= 1,835 ∗ 4,265 − 3,86 ∗
4,2652
2= 27,250 𝑘𝑁 ∗ 𝑚
𝑁𝑥 = 𝑁𝑐 + 𝑞𝑛 ∗ 𝑠𝑒𝑛 7,9 ∗ 𝑥 = 13,254 + 3,856 ∗ 𝑠𝑒𝑛 7,9 ∗ 4,265 = 15,531 𝑘𝑁
𝑓𝑐 = 𝑁𝑥𝐴𝑥
=15,531 ∗ 1.000
91.356= 0,17 𝑀𝑃𝑎
𝑓𝑓 = 𝑀𝑥
𝑊𝑥=27,250 ∗ 106
10.079.612= 2,70 𝑀𝑃𝑎
Control interacción
(𝑓𝑐
𝐹𝑐𝜆,𝑑𝑖𝑠) +
𝑓𝑓
(1 −𝑓𝑐𝐹𝑐𝑥,𝐸
) ∗ 𝐹𝑓,𝑑𝑖𝑠
= (0,17
3,15) +
2,7
(1 −0,173,88) ∗ 9,75
= 0,293 ≪ 1,0
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L 213
Verificación interacción tensional en nudo alero:
𝑀 = 65,551 𝑘𝑁 ∗ 𝑚
𝑁 = 18,12 𝑘𝑁
𝐴𝑡𝑟𝑎𝑣,𝑐 = 𝑏𝑡𝑟𝑎𝑣 ∗ ℎ𝑡𝑟𝑎𝑣,𝑐 = 138 ∗ 830 = 114.540 𝑚𝑚2
𝑊𝑡𝑟𝑎𝑣,𝑐 =𝑏𝑡𝑟𝑎𝑣 ∗ ℎ𝑡𝑟𝑎𝑣,𝑐
2
6=138 ∗ 8302
6= 15.844.700 𝑚𝑚3
𝑓𝑐 =𝑁𝑐𝐴𝑐
=18.120
114.540= 0,16 𝑀𝑃𝑎
𝑓𝑓 =𝑀𝑐
𝑊𝑐=65.551.000
15.844.700= 4,14 𝑀𝑃𝑎
𝑓𝑐𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠
+𝑓𝑓
𝐹𝑓,𝑑𝑖𝑠=0,16
10+4,14
9,75= 0,440 ≪ 1,0
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
214 I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L
ANEXO A: Propiedades físicas especies madereras comerciales (Anexo E NCh 1198)
especie
densidad anhidra densidad normal
kg/m3 kg/m3
valor medio característico valor medio característico
Álamo 370 357 399 385
Alerce 460 385 492 412
Canelo 470 440 502 470
Ciprés de la Cordillera 470 393 502 420
Pino radiata 450 370 476 391
Pino oregón 410 326 441 350
Coigüe 650 400 691 425
Laurel 510 427 543 455
Lenga 540 476 573 505
Lingue 596 498 629 526
Mañío 520 435 553 463
Olivillo 550 460 583 488
Raulí 510 426 543 454
Tepa 520 442 552 469
Eucalipto 800 543 830 564
Roble 630 527 668 559
Tineo 700 583 736 613
Ulmo 630 525 660 550
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L 215
ANEXO B: Tensiones Admisibles y Módulos Elásticos madera aserrada de
Pino radiata
Valores derivados de los resultados del programa experimental desarrollado por la
Corporación Chilena de la Madera, CORMA y ensayos realizados por W. Santana para su tesis
de título de Ingeniero Civil en la Facultad de CCFF y MM de la U. de Chile (Fcp, Fcn y Fciz)
Grado
estructural
Tensiones admisibles de Módulo de
elasticidad
en flexión
Ef 2
(MPa)
Índice de
aplastamiento
en compresión
normal
Ecn,h
(MPa/mm)
Flexión 1
Ff
(MPa)
Compresión
paralela
Fcp
(MPa)
Tracción1
paralela
Ftp
(MPa)
Compresión
normal
Fcn
(MPa)
Cizalle
Fcz
(MPa)
a. Visual
GS 11,0 8,5 6,0 2,5 1,1 10.500 5,65
G1 7,5 7,5 5,0 2,5 1,1 10.000
G1 y mejor 9,5 7,8 5,5 2,5 1,1 10.100
G2 5,4 6,5 4,0 2,5 1,1 8.900
b. Mecánico
C24 9,3 8,0 4,7 2,5 1,1 10.200 5,65
C16 5,2 7,5 3,5 2,5 1,1 7.900
1) valores aplicables sobre piezas de altura de sección transversal 90 mm
2) Valores aplicables sobre piezas de altura de sección transversal ≥180 mm. El módulo de elasticidad
característico inherente al percentil del 5%, Efk, se puede estimar como 0,60 Ef.
Para escuadrías de altura "h" > 90 mm, considerar
590,,
90*
hFF fhf ;
Ftp,h = Ftp,90 *90
h5
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
216 I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L
Para escuadrías de altura "h" < 180 mm, considerar
E f ,h = E f ,180 *h
1804
Aquí Ff h , Ff 90 y Ftp h , Ftp 90 corresponden a las tensiones admisibles de flexión y tracción
paralela para piezas de altura h [mm] y 90 [mm], respectivamente. Los módulos elásticos deben interpretarse en forma análoga. Las propiedades indicadas se han referido a un contenido de humedad de la madera H = 12%.
Para otros contenidos, la norma incorpora factores de modificación calculados de acuerdo con
las correspondientes expresiones de la norma ASTM D 2915-84, y que se presentan en lo
siguiente:
Tensión admisible de flexión: KH ,Ff=
1, 75- 0,0333* H[ ]1,35
;
Módulo de elasticidad: KH ,E =1, 44 - 0,02* H[ ]
1,2
Tensión admisible de compresión paralela:
KH ,cp =
2, 75- 0,0833* H[ ]1, 75
;
Tensión admisible de tracción paralela: KH , tp =1, 75- 0,0333* H[ ]
1,35;
Tensión admisible de cizalle:
KH ,cz =
1,33- 0,0167* H[ ]1,13
Tensión admisible de compresión normal:
KH ,cn = 0,667 si H >19%
Aquí son: H = contenido de humedad al que se desea referir la propiedad admisible, [ % ]. El subíndice "H" designa la referencia a esta última condición de humedad. Expresiones aplicables sólo si H ≤ 22 %. Para contenidos de humedad superiores, considerar H = 22 %. Para valores H menores que 12%, considerar el valor correspondiente a este último límite.
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L 217
ANEXO C: Tensiones admisibles de piezas homogéneas e híbridas de
madera laminada encolada de pino radiata (estimación conservadora)
Las propiedades mecánicas admisibles que se indican en lo siguiente son aplicables para piezas
de dimensiones normales con contenido de humedad no superior a 15 % y estados de carga con
duración 10 años.
Piezas híbridas de madera laminada encolada de Pino radiata, laminación horizontal
Piezas homogéneas
Láminas Grado A
Ff = 9,3 MPa para vigas de altura no superior a 375 mm. No incorpora efectos de volumen e
inestabilidad lateral.
Ff = 8,2 MPa para vigas de altura superior a 375 mm. No incorpora efectos de volumen e
inestabilidad lateral.
Fcp = 9,5 MPa
Ftp = 5,6 MPa
Fcz =1,1 MPa
Fcn = 2,5 MPa
Ftn = 0,1 MPa
E = 10.000 MPa
Láminas Grado B
Ff = 7,2 MPa para vigas de altura no superior a 375 mm. No incorpora efectos de volumen e
inestabilidad lateral.
Ff = 6, 4 MPa para vigas de altura superior a 375 mm. No incorpora efectos de volumen e
inestabilidad lateral.
Fcp = 6,5 MPa
Ftp = 3,15 MPa (No incorpora efectos de volumen)
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
218 I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L
Fcz =1,1 MPa
Fcn = 2,5 MPa
Ftn = 0,1 MPa
E = 8.000 MPa
Piezas híbridas
Excepto cuando indique expresamente en el enunciado del problema, para piezas de madera
laminada encolada se asume el uso de vigas de pino radiata que en su fabricación combinan
láminas Grado A (NCh 2150) en los sextos extremos de la altura y láminas Grado B (NCh 2150) en
los dos tercios centrales de la altura de la sección transversal.
Laminación horizontal.
Ff = 8,9 MPa para vigas de altura no superior a 375 mm. No incorpora efectos de volumen y de
inestabilidad lateral.
Ff = 7,8 MPa para vigas de altura superior a 375 mm. No incorpora efectos de volumen y de
inestabilidad lateral.
Fcp = 8,0 MPa
Ftp = 4,0 MPa (No incorpora efectos de volumen)
E = 9.000 MPa
Fcz =1,1 MPa
Fcn = 2,5 MPa
Ftn = 0,1 MPa
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L 219
Piezas híbridas de madera laminada encolada de Pino radiata, laminación vertical. Vigas
constituidas de al menos 4 láminas.
Piezas homogéneas
Láminas Grado A
Ff = 9,5 MPa para vigas de altura no superior a 90 mm. No incorpora efectos de altura e
inestabilidad lateral.
Fcp = 9,0 MPa
E = 9.000 MPa
Láminas Grado B
Ff = 5,8 MPa para vigas de altura no superior a 90 mm. No incorpora efectos de altura e
inestabilidad lateral.
Fcp = 6,7 MPa
E = 7.000 MPa
Piezas híbridas
Ff = 6,2 MPa para vigas de altura no superior a 90 mm. No incorpora efectos de altura e
Inestabilidad general
Fcp = 7,2 MPa
E = 7.700 MPa
Fcz = 0,9 MPa
Fcn = 2,5 MPa
Ftn = 0,1 MPa
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
220 I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L
ANEXO D: Expresiones para la estimación de deformaciones verticales en
vigas de madera laminada encolada de altura variable.
Para la estimación de los descensos verticales de este tipo de estructuras se aplican las
expresiones que se considera en la literatura técnica alemana para el cálculo de las componentes
de flecha por concepto de flexión y de corte.
Para vigas de bordes rectos y altura variable según los desarrollos geométricos de la figura D1.
La deformación vertical consta de una componente debida a la flexión, f, y una componente
debida al corte, q . Por exigencias de funcionalidad se debe verificar que:
= f + q ≤ ad.
Figura D1: Desarrollo de tensiones axiales y transversales en vigas de altura variable
En forma simplificada se puede considerar
f =Mmáx * l2
9,6*E * Ia
*k f
con Ia =b* ha
3
12 y k f =
ha
hm
æ
èç
ö
ø÷
3
0,15+ 0,85*ha
hm
q =1,2*Mmáx
G*Aa
*kq
con Aa = b*ha y kq =
2
1+hm
ha
æ
èç
ö
ø÷
2 3
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L 221
En las expresiones anteriores ha corresponde a la altura de sección en el apoyo y hm a la altura
máxima. En vigas con borde inferior inclinado según el segundo esquema de la Figura 1, en lugar
de hm se debe considerar
h1 = ha + 0,5*L (tg(øt) – tg(øb))
Aunque no resulta evidente, en vigas de altura variable los descensos verticales inducen empujes
horizontales inherentes al efecto de arco que alcanza a generarse. Por ello resulta necesario
materializar uno de los apoyos con posibilidades de desplazamiento horizontal, de manera de
evitar la generación de fuerzas de compresión axial que podrían llegar a comprometer la
estabilidad lateral de la viga. Por medio de una modelación simplificada del desarrollo
geométrico de la viga y aplicando el principio de trabajos virtuales es posible estimar el
desplazamiento horizontal H del apoyo móvil como un ponderado del descenso vertical. La
expresión resultante es
dH =4*(H2 +1,6*H1)
L*d
Dónde: H1 = 0,5*ha y H2 = 0,5*ha + 0,5*L*tg(øt) – 0,5*hm
Figura D 2: Desplazamiento del apoyo móvil asociado al descenso vertical
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
222 I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L
ANEXO E: Tensiones admisibles para tableros contrachapados
estructurales E.1 Tensiones Admisibles para tableros contrachapados estructurales (MPa). Proposición
sobre la base de resultados obtenidos en Proyecto CORFO-CORMA 1990
Propiedad
Especie cara
Nivel tensional del Grado (1)
S-1 S-2 S-3
verde seca verde seca sólo
seca
FLEXION DE LA FIBRA
EXTREMA
Ff
GE1 y PR
GE2
10,0
7,5
14,0
10,5
9,0
6,0
13,0
8,5
13,0
8,5
TRACCIÓN Ft
Fibra de la cara
paralela o
perpendicular a la
luz. (a 45° c/r a
la fibra de la cara Use
Ft /6)
GE1 y PR
GE2
9,0
4,6
13,0
6,5
7,5
3,7
11,0
5,2
11,0
5,2
COMPRESIÓN EN EL
PLANO DE LAS
CHAPAS Fc
Paralela o
perpendicular a la
fibra de la cara (a 45°
de la fibra de cara,
Use Fc/3 )
GE1
PR
GE2
8,5
8,5
6,0
15,0
15,0
10,5
8,0
7,5
5,5
14,0
13,0
10,0
14,0
13,0
10,0
CIZALLE Fcz
Paralelo o
perpendicular a la
fibra de cara (a 45°
de la fibra de cara,
Use 2 Fv)
GE1
PR
GE2
1,05
0,95
0,75
1,3
1,20
0,95
1,05
0,95
0,75
1,3
1,20
0,95
1,1
1,0
0,80
CIZALLE RODANTE
Fcz,r
Paralelo o normal a la
chapa de cara (a 45°
de la chapa de cara
use 1-1/3 Fs)
ESTRUCTURAL
I
Otros (2)
0,4
0,3
0,5
0,35
0,4
0,3
0,5
0,35
-
0,33
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L 223
Propiedad
Especie cara
Nivel tensional del Grado (1)
S-1 S-2 S-3
verde seca verde seca sólo
seca
APLASTAMIENTO
Fcn
Perpendicular al
plano de las chapas
GE1
GE2 y PR
1,5
1,25
2,5
2,0
1,5
1,25
2,5
2,0
2,5
2,0
MÓDULO DE
CORTE G
GE1 y PR
GE2
500
360
625
450
500
360
625
450
565
450
MÓDULO DE
ELASTICIDAD EN FLEXIÓN
E
Fibra de cara paralela
o perpendicular a la
luz
GE1
PR
GE2
10.400
7.500
7.500
12.5000
9.000
9.000
10.400
7.500
7.500
12.5000
9.000
9.000
12.5000
9.000
9.000
(1) Para calificar en el nivel tensional S-1, las líneas de cola deben ser de tipo exterior permitiéndose sólo el
empleo de chapas grado N, A, y C (naturales, sin reparaciones) en las caras y trascaras. Para nivel tensional
S-2, las líneas de encolado deben ser de tipo exterior, permitiéndose chapas de Grado B, C tapón y D en las
caras y trascaras.El nivel tensional S-3 incluye todos los tableros con líneas de encolado interior o
intermedio (IMG).
(2) Reducir las tensiones en un 25% para tableros de 3 capas (4 o 5 chapas) de espesor superior a 5/8".
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
224 I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L
E.2 Propiedades estáticas efectivas de tableros contrachapados elaborados de acuerdo con
especificaciones de armado de norma APA PS 1-95. Proposición sobre la base de resultados
obtenidos en Proyecto CORFO-CORMA 1990
GE1 : Roble, Ulmo
Espesor
nominal
Solicitación paralela a la fibra de la cara Solicitación normal a la fibra de la cara
A I KW Ib/Q A I KW Ib/Q
Sección Momento
de Inercia
Módulo
resistente
eficaz
Constante
de cizalle
rodante
Sección Momento
de Inercia
Módulo
resistente
eficaz
Constante
de cizalle
rodante
mm mm2/m mm4/m mm3/m mm2/m mm2/m mm4/m mm3/m mm2/m
12 4.800 89.723 12.711 8.000 3.200 21.744 3.478 4.133
16 6.800 241.908 25.703 10.667 5.000 61.893 6.890 5.733
18 8.800 349.563 33.014 12.000 5.000 76.707 8.076 6.267
PR : Pino radiata
Espesor
nominal
Solicitación paralela a la fibra de la cara Solicitación normal a la fibra de la cara
A I KW Ib/Q A I KW Ib/Q
Sección Momento
de Inercia
Módulo
resistent
e eficaz
Constante
de cizalle
rodante
Sección Momento
de Inercia
Módulo
resistente
eficaz
Constant
e de
cizalle
rodante
mm mm2/m mm4/m mm3/m mm2/m mm2/m mm4/m mm3/m mm2/m
12 4.800 89.373 12.661 8.000 3.200 20.960 3.400 4.133
16 6.800 241.068 25.613 10.667 5.000 60.081 6.757 5.733
18 8.800 348.638 32.927 12.000 5.000 74.078 7.901 6.267
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L 225
GE2 : Tepa, Coigue, Olivillo, Lenga
Espesor
nominal
Solicitación paralela a la fibra de la cara Solicitación normal a la fibra de la cara
A I KW Ib/Q A I KW Ib/Q
Sección Momento
de Inercia
Módulo
resistente
eficaz
Constante
de cizalle
rodante
Sección Momento
de Inercia
Módulo
resistente
eficaz
Constante
de cizalle
rodante
mm mm2/m mm4/m mm3/m mm2/m mm2/m mm4/m mm3/m mm2/m
12 4.352 89.020 12.611 8.378 2.304 16.992 2.623 4.133
16 6.352 240.354 25.538 11.174 3.600 47.668 5.161 5.733
18 8.016 347.445 32.814 12.569 3.600 59.718 6.078 6.267
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
226 I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L
ANEXO F: Medios de unión (NCh 1198)
I. Factores de modificación por contenido de humedad de la madera, KUH.
Medio de unión Condición de la madera1 Factor de modificación
durante la fabricación en servicio KUH
Extracción lateral
Pernos, tirafondos,
pasadores y clavos
≤ 19 % ≤ 19 % 1,00
> 19 % ≤ 19 % 0,40 1)
cualquiera > 19 % 0,70
Placas metálicas
dentadas
≤ 19 % ≤ 19 % 1,00
> 19 % ≤ 19 % 0,80
cualquiera > 19 % 0,70
Conectores 2)
≤ 19 % ≤ 19 % 1,00
> 19 % ≤ 19 % 0,80
cualquiera > 19 % 0,70
Extracción directa
Tirafondos y tornillos Cualquiera ≤ 19 % 1,0
Cualquiera > 19 % 0,7
Clavos
≤ 19 % ≤ 19 % 1,0
> 19 % ≤ 19 % 0,25
≤ 19 % > 19 % 0,25
> 19 % > 19 % 1,0
NOTAS:
1) KUH = 0,7 para medios de unión con diámetro, D, menor que 6,3 mm.
KUH = 1,0 para uniones consistentes de:
- un único medio de unión, o
- dos o más medios de unión dispuestos en una única hilera paralela a la dirección de la fibra, o
- medios de unión dispuestos en dos o más hileras paralelas a la fibra, con cubrejuntas individuales
para cada hilera
2) En uniones con conectores, las restricciones de humedad rigen hasta 20 mm de la superficie.
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L 227
II. Factores de modificación por temperatura, KUt
Condición de servicio KUt
T ≤ 38 °C 38°C < T ≤ 52°C 52°C < T ≤ 66°C
Seca 1) 1,0 0,8 0,7
Húmeda 1,0 0,7 0,5
1) Uniones en madera con contenido de humedad ≤ 19%, y usada en condiciones permanentemente secas, como es el caso de la mayoría de las construcciones cubiertas
2) Madera no secada, o parcialmente secada o uniones expuestas a condiciones de servicio húmedas.
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
228 I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L
ANEXO G: Especificaciones de diseño y ejecución de uniones con clavos
fabricados según norma NCh 1269.
ESPESORES DE MADERA, PENETRACIONES MÍNIMAS Y CAPACIDADES ADMISIBLES DE CARGA POR SUPERFICIE DE
CIZALLE DE CLAVO EN UNIONES CON MADERA DE PINO RADIATA SECA: H ≤ 19%.
designación del clavo espesor
mínimo de
madero
penetración mínima del clavo cantidad de
clavos por
kilo
Tradicional NCh 1269 cizalle simple cizalle múltiple
lcl lcl*dcl a mín sm smm sm smm
pulgadas mm*mm mm mm mm mm mm
2 50*2,8 20 33,6 16,8 22,4 11,2 362
2 1/2 65*3,1 22 37,2 18,6 24,8 12,4 222
3 75*3,5 25 42 21 28 14 145
3 1/2 90*3,9 28 46,8 23,4 31,2 15,6 103
4 100*4,3 31 51,6 25,8 34,4 17,2 66
5 125*5,1 36 61,2 30,6 40,8 20,4 37
6 150*5,6 40 67,2 33,6 44,8 22,4 24
SEPARACIONES MÍNIMAS ENTRE CLAVOS Y A LOS BORDES, REFERIDAS A LA DIRECCIÓN DE LA FUERZA
Espaciamiento mínimo de
clavos
Método de hinca
Clavado directo 1
perforación guía 2
Desangulación fuerza-fibra para cualquier
0˚ ≤ α < 30˚ 30˚ ≤α< 90˚ Desangulación
diámetro de clavo, d para cualquier
diámetro ≤ 4 mm > 4 mm ≤ 4 mm > 4 mm
entre sí paralela a la
fibra
sp 10*d 12*d 10*d 12*d 5*d
normal a la
fibra
sn 5*d 5*d 5*d 5*d 5*d
al borde
cargado
paralela a la
fibra
sbcp 15*d 15*d 15*d 15*d 10*d
normal a la
fibra
sbcn 5*d 7*d 7*d 10*d 5*d
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L 229
Espaciamiento mínimo de
clavos
Método de hinca
Clavado directo 1
perforación guía 2
Desangulación fuerza-fibra para cualquier
0˚ ≤ α < 30˚ 30˚ ≤α< 90˚ Desangulación
diámetro de clavo, d para cualquier
diámetro al borde
descarga
do
paralela a la
fibra
sbdp 7*d 10*d 7*d 10*d 5*d
normal a la
fibra
sbdn 5*d 5*d 5*d 5*d 3*d
Notas: 1: Si durante la construcción H > 25%, incrementar sp, sbcp, sbdp en un 50%
2: De diámetro aproximado 0,85*d
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
230 I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L
ANEXO H: Propiedades de diseño placas dentadas GN 20 A (Gang Nail)
Designaciones:
c: espaciamiento mínimo de clavos “efectivos” a los bordes de madero, c ≥ 10 mm
lpl : longitud de anclaje
bef :longitud nominal efectiva de placa en la sección más desfavorable
de : profundidad de anclaje; de ≥ 50 mm
Aa : área de anclaje efectiva para el cálculo de la tensión de anclaje
Aciz: área de anclaje efectiva para el cálculo de tensiones de anclaje de cizalle. Se consideran
efectivos solo los clavos ubicados a no más de 0,55*de la junta de cizalle
α : ángulo entre la fuerza y el eje axial de placa
β : ángulo entre fuerza y fibra de la madera
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L 231
Diseño y verificación
a) Control de la tensión de anclaje de los clavos
disaa Ff , con HDadisa KKFF ,
b) Control de la tensión en las placas
cizctpcizctp Ff ////
En solicitaciones combinadas de tracción o compresión con cizalle
1
22
/
/
cizp
cizp
ctp
ctp
F
f
F
f
TABLA H1
Capacidades admisibles de anclaje para placas GN 20A en uniones traccionadas, comprimidas y
en cizalle con piezas madera de Pino radiata
Desangulación
fuerza-eje axial
placa:
α
Desangulación
fuerza – fibra:
β
Para 0° < b < 90°
22,
cos
anap
anap
aFsenF
FFF
en unión de alero: aa FF
85,0
20
21285,065,0
tg
0° 90°
Fap Fan
MPa MPa
0° a 30° 1,1 0,74
60° 1,0 0,74
90° 0,95 0,74
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
232 I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L
Tabla H2. Capacidades admisibles de carga para placas GN 20A en tracción, Fp t,
(Compresión, Fp c) y cizalle, Fp ciz
Desangulación Fpt (Fpc) Fpciz
N/mm N/mm
0°
36
26
15° 33
30° 40
45° 50
60° 48 60
75° 60 44
90° 73 27
105° 60 25,5
120° 48 24
135°
36
24,5
150 25
165° 25,5
180° 26
Criterio para determinar la naturaleza del ángulo g en le estimación de la tensión admisible de
cizalle de placas , czpF ,
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L 233
TABLA H3 Designaciones verificación de placa.
Solicitación de anclaje de placa, fa, para distintos tipos de solicitación.
Solicitación de anclaje caso de aplicación
a
aA
TbienoCf
2
En uniones de piezas comprimidas (C) o traccionadas
(T)
a
aA
Cf
2
2
En uniones comprimidas de tope rectas y normales
cuando la totalidad de la fuerza se traspasa por
contacto directo entre maderos
ciz
aA
Sf
2
En el traspaso de una fuerza de cizalle S
22
22
ciza
aA
S
A
Tf
En una combinación de solicitaciones de tracción y
cizalle
22
22
2
ciza
aA
S
A
Cf
En una combinación de solicitaciones de compresión y
cizalle, donde la totalidad de la fuerza de compresión
se traspasa por contacto directo entre maderos
Solicitación de placa, fpt,c,ciz , para distintos tipos de solicitación
Solicitación de placa Caso de aplicación
fp,t/c/ciz =T o bienC o bien S
2*bef
En uniones que transmiten fuerzas de tracción,
compresión o cizalle
ef
cpb
Cf
2
2,
En uniones comprimidas de tope rectas y normales
cuando la totalidad de la fuerza se traspasa por contacto
directo entre maderos
ef
cizp
ef
cp
b
Sf
b
Cf
2
2
2
)1
,
,
En solicitaciones combinadas de compresión y cizalle; se
debe verificar adicionalmente que la totalidad de la
componente de compresión, C, se puede traspasar por
contacto directo entre los maderos
bef: longitud nominal efectiva de una placa, en mm, en la sección transversal mas desfavorable
1) componente de fuerza de cizalle
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
234 I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L
ANEXO I: Uniones con conectores. De presión Tipo C (EN 1995-1-1)
Aun cuando en la norma se considera una sección dedicada a las uniones con conectores, esta se
refiere únicamente conectores de precisión que se fabrican recortando tubos de acero y que se
deben colocar en vaciados materializados previamente en los maderos de la unión, que en
nuestro país prácticamente no se han utilizado. Por otra parte existe en el país una experiencia
de más de tres décadas con el uso de conectores importados desde Europa, designados en la
categoría C, cuya colocación no requiere de un trabajo de vaciado previo en la madera y cuya
capacidad de carga ha sido verificada en estudios realizados en el INFOR y en las universidades de
Chile, Santiago y de Concepción. Por esta razón los problemas de uniones con conectores
consideran el uso de este tipo de conectores, cuyas características se presentan en lo siguiente.
La nueva redacción de la norma incorporará especificaciones relativas a Conectores Tipo C,
similares a las que se presentan en lo siguiente.
Metodología de diseño de uniones.
En lo siguiente se presenta una metodología sistematizada de diseño de uniones con conectores
de presión Tipo C , consistente de 12 pasos y que permite solucionar las situaciones de ocurrencia
habitual.
1. Resolver la estructura y definir la disposición de las piezas de madera que convergen en cada
una de las uniones y empalmes.
2. En función de las cargas exteriores aplicadas sobre la unión y de las fuerzas interiores de las
barras convergentes, resolver estáticamente la unión, determinando claramente en magnitud,
dirección y sentido, las fuerzas de interfaz para cada uno de los planos de contacto entre
maderos. Para estos efectos se debe decidir primeramente sobre qué maderos actuarán las
fuerzas exteriores, para posteriormente descomponer la unión en cuerpos libres y plantear sobre
éstos, las condiciones de equilibrio estático. Las fuerzas equilibrantes de cuerpo libre
corresponden a las fuerzas de interfaz entre maderos, y son las fuerzas que deben ser
transferidas por los conectores.
3. Determinar para cada madero la desangulación entre la fuerza de interfaz y la dirección de la
fibra, identificando a continuación la naturaleza ( cargada o descargada ) de los bordes de
madero comprometidos en la unión (ver Sección 9.1.2 de NCh1198).
4. Atendiendo a la magnitud de las fuerzas a traspasar y a las dimensiones de los maderos
convergentes a la unión, seleccionar el calibre de conector más adecuado. En la tabla 1 se
entrega, para los distintos calibres de conectores, información relativa a las dimensiones
transversales mínimas exigidas para los maderos y a las capacidades básicas de carga según la
dirección de la fibra y normal a la dirección de la fibra, N1p y N1n . Las capacidades básicas de
carga se asimilan a condiciones normales de servicio, esto es, madera con un contenido de
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L 235
humedad no superior a 19% y duración acumulada de 10 años para el estado de carga
condicionante del diseño (ver Secciones 9.3 y 9.4 de NCh 1198)
5. Adecuar la capacidad de carga básica N1 a las condiciones específicas de diseño, a través de la
incorporación de los efectos del contenido de humedad de los maderos y de la duración
acumulada del estado de carga que condiciona el diseño de la unión o empalme, por medio de la
aplicación de los factores de modificación correspondientes (ver Secciones 9.4.2 y 9.4.3 de NCh
1198). Conservadoramente el factor de modificación por duración de la carga se aplica solo sobre
la capacidad N1p. Se obtiene así la capacidad de carga de diseño N1,dis . Eventualmente cuando
la desangulación fuerza-fibra en algún madero corresponda a un ángulo α, distinto de 0° y 90°,
determinar la capacidad de carga aplicando la fórmula de Hankinson
N =
Tabla I.1
Características básicas de conectores Tipo C
Tipo
de
conector
diámetro
exterior
dimensiones transversales
mínimas de maderos ante una
disposición unilineal de
conectores y desangulación
fuerza-fibra
capacidad básica de carga
D 0° a 30°
sobre 30° a 90° Paralela a la
fibra
Normal a la
fibra
h/b h/b N1p N1n
mm mm / mm mm / mm kN kN
Circular 48 o 50 100/40 100/40 5,0 4,0
62 100/40 110/40 7,0 6,0
75 120/50 120/50 9,0 8,0
95 120/50 140/50 12,0 10,5
117 150/80 180/80 16,0 14,0
140 170/80 200/100 22,0 18,5
165 190/80 230/110 30,0 24,0
Cuadrado 100 130/60 160/60 17,0 14,5
130 160/60 190/80 23,0 19,0
N1p * N1n
N1p * sen2a + N1n *cos2 a
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
236 I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L
6. Establecer, para cada plano de contacto entre maderos adyacentes, los que designaremos como
"c" y "d", el mayor valor entre los dos cuocientes nc y nd de la fuerza de interfaz Fcd y la capacidad
de carga de diseño del conector en cada madero, N1c,dis y N1d,dis. El número de conectores
efectivamente requeridos por cada plano de contacto, ncd,ef , se determina como el número
entero inmediatamente superior al mayor valor entre nc y nd .
7. Distribuir uniformemente los conectores en los planos de contacto entre maderos, respetando
los espaciamientos mínimos entre conectores vecinos, sc, y los espaciamientos mínimos sb entre
los conectores perimetrales y los bordes de madero vecinos, tomando debida consideración en
este último caso de la naturaleza del borde. En la tabla I.2 se indican los valores de los
espaciamientos mínimos básicos, sp y Sbp que se deben respetar según la dirección de la fibra,
entre conectores vecinos y al borde, respectivamente, cuando los conectores se disponen en una
única hilera y los espaciamientos mínimos a los bordes medidos normal a la dirección de la fibra
Sbn.
Tabla I.2
Tipo diámetro
conectores
bilaterales
conectores
unilaterales
espaciamientos
mínimos
D
altura
H
espesor
t
altura
H
espesor
t
diámetro
Di
Sp= Sbp
Sbn
mm mm mm mm mm mm mm mm
Circular 48 o 50 12,5 1,00 6,6 1,00 12,9 120 50
62 16 1,20 8,7 1,20 12,2 120 50
75 19,5 1,25 10,3 1,25 16,2 140 70
95 24 1,35 12,8 1,35 16,2 140 70
117 29,5 1,50 16,0 1,50 20,2 170 75
140 31 1,65 200 85
Cuadrado 100 16 1,35 170 65
130 20 1,50 200 80
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L 237
a) disposición sin alternación
b) disposición alternada
Figura I.1: Espaciamientos mínimos en uniones con más de una hilera de conectores
Para uniones con varias hileras (ver figura I.1), los espaciamientos entre conectores vecinos según
la dirección de la fibra, scp, las separaciones mínimas entre hileras, scn, y los espaciamientos
entre las hileras exteriores y los bordes de madero, sbn, deben respetar las exigencias adicionales
establecidas en la tabla I.3. Las restricciones se deben respetar simultáneamente en todos los
maderos que convergen en la unión o empalme.
El espaciamiento al borde medido según la dirección de la fibra, sp, puede ser reducido a la
mitad, cuando dicho borde es de naturaleza descargada. No será aplicable, en este caso, la
reducción adicional de espaciamientos planteada en el punto 10 de esta metodología.
Los espaciamientos mínimos entre hileras, medidos normal a la dirección de la fibra, scn,
indicados en Tabla I.3, rigen también en uniones perpendiculares según el esquema de la figura
I.2.
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
238 I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L
Para esta última situación resulta prudente verificar adicionalmente, en el madero solicitado, la
capacidad de tracción perpendicular a la dirección de la fibra (Ver Sección 9.2.1.5 de NCh 1198).
Esta verificación podrá obviarse cuando la altura de la pieza solicitada, según la dirección
perpendicular a la fibra, no excede de 300 mm y el centroide "G", de la disposición de
conectores, se desplaza del borde cargado en al menos la mitad de la altura de la pieza.
Tabla I.3
Espaciamientos mínimos entre conectores y al borde
disposición de los
conectores
espaciamiento
mínimo
scn
espaciamiento
mínimo
scp
espaciamiento
mínimo al borde
sbn
Alineada D + Z sp h/2
D + Z sp
Alternada * D 1,1* sp h/2
0,5*(D + Z) 1,8* sp
*) las situaciones intermedias se pueden interpolar linealmente
En la tabla anterior, D corresponde al diámetro exterior del conector, y Z , a la penetración
efectiva de los dientes en cada madero, valor que se puede estimar en función de la altura, H, y
del espesor, t, del conector, especificadas en tabla I.2.
Figura I.2: Espaciamientos mínimos en uniones perpendiculares
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L 239
8. Cuando se alinean varios unidades individuales de conexión (perno y conectores) según la
dirección de la fuerza se debe considerar una cantidad efectiva de unidades
nef < n, tal que
Pn,dis = nef* P1 ad
La cantidad efectiva de conectores alineados según la dirección de la fuerza se debe estimar
como
nef = 2 + 1-n
20
æ
èç
ö
ø÷* n- 2( )
é
ëê
ù
ûú*
90 -q( )90
+ n*q
90
Aquí son:
n :cantidad de unidades de conección alineadas según la dirección de la fibra
(n > 2)- Para efectos de cálculo n ≤ 10.
q : desangulación entre la fuerza que cada conector ejerce sobre la madera y la
dirección de la fibra de la madera.
Como consecuencia de la corrección anterior, podría resultar necesario incrementar la cantidad
de conectores, debiendo rediseñarse la disposición de éstos en la unión.
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
240 I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L
9. Los espaciamientos al borde medidos según la dirección de la fibra en maderos con
extremos inclinados, deben medirse sobre un eje desplazado en D/4 del eje de alineamiento de
conectores, a la vez que la distancia desde el borde inclinado al eje del conector debe ascender
al menos a h/2 , con h definido en Tabla I.1 (Ver Sección 9.7.5 y Figura 42 de NCh 1198).
Como una forma de agilizar la determinación de los espaciamientos, en la siguiente tabla se
presentan los valores redondeados que resultan de aplicar las restricciones señaladas
anteriormente.
Tabla I.4
Valores numéricos de D+Z , scp y sbn
Diámetro exterior espaciamiento entre conectores espaciamientos al borde
D scn =D+Z scp Sbn
mm mm mm mm
48 o 50 54 120 50
62 70 120 50
75 84 140 70
95 106 140 70
117 132 170 90
140 154 200 100
165 180 230 115
100*100 108 170 80
130*130 140 200 95
* espaciamientos al borde para espesores de madero no inferiores a 60 mm
En uniones desanguladas los espaciamientos mínimos, medidos según la dirección de la fibra de
los maderos, pueden estimarse por medio de un proceso de interpolación entre los valores
correspondientes de scp y scn.
La figura I.3 indica los espaciamientos mínimos entre conectores y al extremo "E", para una unión
inclinada entre un tijeral y vinculada por medio de piezas de acero a una columna, en función de
la desangulación α entre tijeral y la columna.
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L 241
Figura I.3: Espaciamientos mínimos en uniones desanguladas
En lo siguiente se desarrollan las expresiones analíticas de los espaciamientos mínimos s1 y s2,
medidos según la dirección de la fibra, según las designaciones de la figura 3.
columna de acero traccionada: columna de acero comprimida:
s1 = sp s1 = sp - 0,5* sp *
s2 = scn + (sp - scn)* s2 = scn + (sp - scn)*
Casos especiales:
α Columna de acero traccionada Columna de acero comprimida
S1 S2 S1 S2
90° Sp scn sp scn
135° Sp 0,5*(scn + sp) 0,75*sp 0,5*(scn + sp)
180° Sp sp 0,5*sp sp
a - 90
90
a - 90
90
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
242 I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L
10. Cuando la capacidad de carga de diseño no se aprovecha completamente, se pueden
reducir proporcionalmente los espaciamientos medidos según la dirección de la fibra. La forma
más rápida de calcular el grado de aprovechamiento de la capacidad de carga de diseño es
evaluando el cuociente entre la cantidad de conectores requerida, nij,req , (habitualmente un
número fraccionado), y la cantidad de conectores efectivamente decidida, nij,ef, (un número
entero). En ningún caso las reducciones de espaciamientos pueden ser superiores al 25%.
11. Especificar los diámetros de pernos y dimensiones de arandelas correspondientes al
calibre de conector utilizado, respetando las indicaciones de la Tabla I.5.
Tabla I.5
Tipo diámetro
conector
diámetro
perno
lado
arandela
(cuadrada)
diámetro
arandela
(circular)
espesor
arandela
debilitamiento
transversal
D d a da ta A
mm pulgada mm mm mm cm2
circular 48 o 50 1/2 50 55 5 0,9
62 1/2 50 55 5 2,0
75 5/8 60 65 6 2,6
95 5/8 60 65 6 4,7
117 3/4 70 80 8 6,9
140 7/8 95 105 8 8,7
165 7/8 95 105 8 11,0
cuadrado 100 3/4 70 80 8 2,7
130 7/8 95 105 8 4,5
12. En las piezas de madera traccionadas cabe verificar la tensión efectiva de tracción,
considerando la fuerza solicitante, la sección transversal bruta que resulta de deducir los
conectores (ver Tabla 5), y el factor de concentración de tensiones kct definido en Tabla 19 de la
Sección 7.4.3 de NCh 1198 modificado para el caso de conectores de hinca ( 0,60 para madera
aserrada y 0,70 para madera laminada encolada ), aplicable sobre la tensión admisible de
tracción paralela a la fibra de la madera.
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L 243
UTILIZACION DE CONECTORES Tipo C UNILATERALES
Los conectores unilaterales se emplean preferentemente para uniones de madera con piezas de
acero, sean estas planchas o cubrejuntas. Es necesario verificar que el espesor de las piezas de
acero asegure una rigidez flexional suficiente como para evitar efectos de volcamiento. En la
tabla 6 se indican espesores mínimos, que al ser respetados aseguran el cumplimiento de la
exigencia anterior. Las piezas de acero deben cubrir completamente la superficie del conector.
Tabla I. 6
Espesor mínimo para cubrejuntas de acero en uniones con conectores de hinca Tipo C
unilaterales.
Diámetro o lado del conector (mm) espesor mínimo (mm)
48 o 50; 62 5
75 y 95 6
110 y 117 8
130; 140 y 165 10
Los agujeros en las cubrejuntas se deben perforar con el diámetro Di de Tabla I.2. Para piezas que
se galvanizan con posterioridad a la perforación se acepta un agujero equivalente al diámetro de
perno incrementado en 1 mm.
La zona roscada del perno puede quedar incorporada en la cubrejunta, en la medida que la
proyección de la zona lisa del vástago no sea inferior a 4 mm, para los conectores de diámetro o
lado no superior a 117 mm, o a 6 mm, para los calibres superiores.
Si por alguna razón excepcional no se cumpliera la restricción anterior y con el propósito de
controlar la posibilidad de deformaciones excesivas, las capacidades admisibles de carga de los
conectores se deben reducir en un 50%.
Referencias:
NCh 1198. OF 2006. Madera - Construcciones en madera - Cálculo
DIN 1052 Teil 2, “Holzbauwerke; Mechanische Verbindungen". Brüninghoff et Al. "Eine
ausführliche Erläuterung zu DIN 1052 Teil 1 bis Teil 3.Ausgabe April 1988" Beuth. Bauverlag 1.
Auflage 1989.
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
244 I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L
Figura I.4: Conectores Tipo C bilaterales
Figura I.5: Conectores Tipo C unilaterales
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L 245
ANEXO J: Cargas inducidas por el hormigón fresco sobre los moldajes
(American Concrete Institute EEUU)
Presiones sobre columnas, p [kN/m2]
p = min 7,181+1.413,3* R
1,8*T + 32
æ
è ç
ö
ø ÷ ;144; 24 * h
ì í î
ü ý þ
R velocidad de vaciado [ m/h ]
T temperatura hormigón [ ° C ]
h altura de hormigón fresco sobre el punto considerado [ m ]
(para velocidades de vaciado de hasta 2,1 m/h considerar h=2,70 m; para velocidades de
vaciado superiores considerar
h = 1,5* R[m] )
Presiones sobre paredes, p [kN/m2]
R ≤ 2,13 m/h
p = min 7,181+1.413,3* R
1,8*T + 32
æ
è ç
ö
ø ÷ ; 95,75;24 * h
ì í î
ü ý þ
2,13< R ≤ 3,05 m/h
p = min 7,181+2.078
1,8*T + 32+
439,7* R
1,8*T + 32
æ
è ç
ö
ø ÷ ; 95,75;24 * h
ì í î
ü ý þ
R > 3,05 m/h
p= 24 * h
Peso de diseño para el hormigón (incluye enfierraduras) en el diseño de moldajes de losas, q
[kN/m2]
q= 26* t + 2,4 uso de equipos de transporte no motorizados
q= 26* t + 3,6 uso de equipos de transporte motorizados
t: espesor de losa [ m ]
Control de deformación (asume condición de viga continua sobre dos tramos)
d =q* L4
184,6* E * I£
L
360£ 6,4 mm
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
246 I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L
Fórmulas para diseño de moldajes:
tensiones de flexión:
viga continua sobre 2 tramos : f f =q* L2
8* KW
viga continua sobre 3 tramos : f f =q* L2
10* KW
L: distancia entre ejes de apoyos
tension de cizalle interlaminar : fcz =Vap, i *Q
b* I
viga continua sobre 2 tramos
Vap, i = 0,5*1,25*q*L2
fcz = 0,625*q* L2 *Q
b* I
viga continua sobre 3 tramos
fcz = 0,6*q* L2 *Q
b* I
L2: separación libre entre apoyos
Control flecha:
viga continua sobre 2 tramos
viga continua sobre 3 tramos
L3 = separación libre + 6,5 mm b = 41 mm
L3 = separación libre + 16 mm b = 90 mm
dQ =C*q* t2 * L2
2
105,833*0,91* E* I
C = 120 para tableros dispuestos con fibra cara normal a líneas de apoyo
C = 60 para tableros dispuestos con fibra cara paralela a líneas de apoyo
d £ L 360
d f =q* L3
4
145,25* E* I
h =1,5 kN / m
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L 247
Moldajes de muros
Exigencia ACI: Para h ≥ 2,40 m, considerar la situación más desfavorable entre:
- h =1,5 kN / m actuando en el borde superior, normal al muro en ambos sentidos,
- presión de viento: 0,5 kPA normal al muro
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
248 I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L
ANEXO K: Erratas consideradas en la revisión de la norma a oficializarse
como NCh 1198.Of 2014
Página 22
Línea 20
Dice: CVE ¾ ≤ 0,11
Debe decir: CVE ≤ 0,11
Línea 22
Dice: lV =lV *h
b2
Debe decir: lV =lV *h
b2£ 50
Página 38
Última línea
Dice: Tabla 53
Debe decir: Tabla 46
Página 53
Línea 14
Dice: lef se puede calcular
Debe decir: lef se debe calcular
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L 249
Página 80
Tabla 26
Línea 3
Dice: Pernos, tirafondos, pasadores y clavos
Debe decir: Pernos, tirafondos, pasadores, tornillos y clavos
Página 83
Línea 1
Dice: Am y As
Debe decir: Ac y Al
Eliminar último párrafo: “En el extremo de las piezas traccionadas, unidas mediante pernos …
… en los extremos de piezas traccionadas.”
Página 84
Figura 22 (inferior)
En el gramil horizontal
Dice: g
Debe decir: sp
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
250 I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L
Página 86
Figura 23
Dice:
Debe decir:
Página 90
Sección d) Eliminar desde “La penetración mínima de la zona roscada del vástago……, hasta se
debe reducir mediante el factor de modificación, Kpct, de expresión:
Kcpt =p
8* D”
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L 251
Página 92
Sección f) Eliminar desde “La penetración de atornillado p, en mm, ……, hasta se debe reducir
mediante el factor de modificación, Kpct, de expresión:
Kcpt =p
8* D”
Página 95
Sección f) Reemplazarla por:
Para efectos de cálculo no se aceptan penetraciones efectivas, p, inferiores a 6*D, en uniones de
cizalle simple o inferiores a 4*D en uniones de cizalle múltiple.
Si p < 8*D en uniones de cizalle múltiple, la capacidad admisible de carga de la sección de clavo
adyacente a la punta se debe reducir mediante el factor de modificación, Kpct, de expresión:
Kcpt =p
8* D.
Página 107
Tabla 35
Fila 3, Columna 2
Dice: Modo Il
Debe decir: Modo Il:
Línea 7
Dice: longitud de apoyo del pasador en la pieza principal, mm
Pel =2*D* l l *Rap,l
2*Ka
Pel =2*D* l l *Rap,l
FA
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
252 I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L
Debe decir: longitud de apoyo del medio de unión en la pieza principal, mm
Línea 8
Dice: longitud de apoyo del pasador en la pieza lateral, mm
Debe decir: longitud de apoyo del medio de unión en la pieza lateral, mm
Página 109
Párrafo 9.6.2.2.1
Línea 8:
Eliminar la frase: Para pasadores se acepta incrementar el valor de Rap en un 20 %.
Página 112
Párrafo 9.6.2.7.2
Agregar: Para se considera la proyección de la penetración de la punta del clavo en el madero
basal:
Página 119
Tabla 41
Línea 3
Dice: Grupos ES 6 y ES 5
Debe decir: Grupos ES 6 y ES 5 y Pino radiata
lc
p*cos30
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L 253
Página 172
Línea 4
Dice:
Debe decir
Página 133
Párrafo 9.10.13, Línea 5
Dice: respectivamente:
Fca,dis =Fcp,dis * Fcn,dis
Fcp,dis *sen2a + Fcn,dis *cos2 a
Debe decir: respectivamente, debiendo reducirse el primero de ellos, de acuerdo con lo
especificado en 7.3.4.2, en un 25 %:
Fca,dis =0, 75* Fcp,dis *Fcn,dis
0, 75* Fcp,dis *sen2a + Fcn,dis *cos2 a
Página 150
Anexo A
Eliminar e los Grupos E6 y ES5 la especie Pino Insigne
lp
c = 2* h*1 1+ 0,4 *c
lp
c = 2* h* 1+ 0,4 *c
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
254 I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L
Página 172
Sección K.6, línea 4
Dice: lp
c = 2*h*1 1+ 0, 4*c
Debe decir: lp
c = 2*h* 1+ 0, 4*c
Página 199
Párrafo 5, Línea 4
Dice: 330 MPa ¾ Ff ¾ 956 MPa
Debe decir: 330 MPa ≤ Ff ≤ 956 MPa
Página 206
Línea 15
Dice: ancho efectivo de unión, en cm
Debe decir: ancho efectivo de unión, en mm
Página 208
Línea 21
Dice: f1(a/H)
Debe decir: f1(a/h)
EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA
I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L 255
Página 164
Anexo H
Actualizar párrafos y tabla H.1
Factor de modificación por temperatura.
Los valores admisibles deben multiplicarse por los factores de modificación por temperatura,TK ,
en Tabla H.1 para piezas estructurales de madera que experimentarán una exposición sostenida a
temperaturas elevadas de hasta 66°C.
Tabla H.1: Factor de modificación por temperatura, tK (NDS for Wood Construction 2006)
Propiedad CH de servicio T £ 38°C 38°C< T £ 52°C 52 < T £ 66°C
Ft, E, Ek Seco o verde 1 0,9 0,9
Ff , Fciz, Fcp y Fcn Seco (H≤19%) 1 0,8 0,7
Verde (H>19%) 1 0,7 0,5
OFICINA DIAGUITAS
Km 5 costado aeródromo La Florida, La Serena
Fono / Fax: (56-51) 543627
SEDE METROPOLITANA
Sucre 2397, Ñuñoa, Santiago
Fono: (56-2) 23667100. Fax: (56-2) 23667131
SEDE BIO BIO
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