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Primeros ejercicios de modeladoSección 2
Simulación Mental de Realimentaciones Positivas Simples
Nivel
Flujo
Factor de crecimiento
Preparado para elProyecto de Educación de Dinámica de Sistemas del MIT
Bajo la Supervisión del Dr. Jay W. Forrester
AutorJoseph G. Whelan
25 de marzo de 1996Traducción
L. Gustavo Sala Espiell (Buenos Aires, Argentina)[email protected]
RevisiónJuan Martín García (Barcelona, Spain)
Derechos de autor © 1995 de la edición original en inglés y © 2000 de la traducción bythe Massachusetts Institute of Technology
Permitida la distribución con propósitos educativos, sin fines de lucro
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Introducción
Los bucles de realimentación son los elementos estructurales primarios de lossistemas. La realimentación en los sistemas es la causa de casi todos los comportamientosdinámicos. Para poder utilizar la dinámica de sistemas como una herramienta deaprendizaje, deberá comprender los efectos de los bucles de realimentación en los sistemasdinámicos. Una forma de usar la dinámica de sistemas para comprender la realimentaciónes utilizando programas de computadora1. Las simulaciones por computadora son unaherramienta muy útil para analizar los sistemas.Sin embargo, es crucial que además sea capaz de usar otra herramienta de simulación delos sistemas dinámicos: la simulación mental. Una buena capacidad para la simulaciónmental mejora la habilidad para validar, depurar y comprender los sistemas dinámicos y losmodelos.Este artículo comienza con la revisión de algunos conceptos claves de los sistemas simplescon realimentación. Se incluye un conjunto de ejercicios para reforzar la comprensión dela dinámica de los sistemas simples, con bucles de realimentación positiva. Las solucionesa los ejercicios están incluidas en el apéndice.
1 Hay muchos programas comerciales para la simulación de sistemas dinámicos, disponibles para Windows y
Macintosh. Las Hojas de Ruta fueron realizadas utilizando STELLA II que está disponible en High Performance
Systems. (603) 643-9636
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Realimentación Positiva
Una de las formas más simples de realimentación en los sistemas es el bucle derealimentación positiva. La realimentación positiva se puede asimilar a una bola de nieverodando por una colina. A medida que la bola va cayendo, va acumulando más nieve.Cuanto más grande sea la bola, más nieve acumula y más rápido crece. La realimentaciónpositiva ocurre cuando un cambio que se propaga en un sistema produce más cambio en lamisma dirección. Este es el tipo de realimentación que produce crecimiento.
Se pueden ver realimentaciones positivas todos los días en el mundo que nosrodea. Todos conocemos la habilidad que tienen los conejos para multiplicarse en formaalarmante. Este es un buen ejemplo de la realimentación positiva. Cada vez que nace unapareja de conejos, contribuyen con sus capacidades reproductoras a la población total.Cuando la población crece, también crece la tasa a la que los conejos van naciendo,haciendo que la población crezca aun más rápido.
Otro ejemplo cotidiano de realimentación positiva es el caso de las cuentas deahorro. Digamos que uno deposita $10 y gana 10% por año (Es solo un ejemplo ?).Después de un año, tendría $11 en el banco. En el primer año, habrá ganado $1.00 deinterés. Sin embargo, en el segundo año, los intereses ganados son 10% de $11, es decir,$1.10, recibiendo $12.10 al final del segundo año. Cada año mientras su cuenta crece,también crecen los intereses, causando que la cuenta bancaria crezca aun más rápido. Estesencillo ejemplo puede ser modelado con STELLA, tal como se muestra en la Figura 1.
Saldo de la Cuenta
Pago de Intereses
Tasa de Interés
Figura 1: Modelo en STELLA de una cuenta de ahorro
El pago de intereses de cada año es igual al saldo de la cuenta multiplicado por latasa de interés.
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La Tabla 1 muestra los primeros cuatro años de la simulación del modelo de lacuenta de ahorro.
Años Saldo de la Cuenta Pago de intereses Tasa de interés1996 $10.00 1.00 0.101997 $11.00 1.10 0.101998 $12.10 1.21 0.101999 $13.31 1.33 0.102000 $14.64 1.46 0.10
Tabla 1: Resultados del modelo de la cuenta de ahorro
Hacer los cálculos del modelo manualmente hubiera sido una tarea tediosa, y no esla única forma de obtener el comportamiento del modelo. Si necesita un resultado precisodel comportamiento del modelo, habría que construirlo en la computadora y ejecutar lasimulación. Sin embargo, muchas veces solo deseamos conocer los patrones decomportamiento del modelo o cómo ese comportamiento cambia si se altera el modelo.Para esto, hay varias formas de simulación mental que le permitirán predecir elcomportamiento del modelo, sin siquiera tocar una tecla de la computadora. En esteartículo, aprenderá las bases de la simulación mental utilizando el modelo de la cuenta deahorro descrito anteriormente.
El primer paso en la predicción del comportamiento es determinar el punto departida. En general, los valores iniciales de los acumuladores (niveles) nos vienen dados.Si no fuera así, puede suponer un valor razonable. Si está trabajando con un modelo depoblación de conejos, podría comenzar con 100 conejos. Si se está trabajando con unmodelo de deuda interna, podría tomar unos pocos billones. Puede calcular los valoresiniciales para todos los flujos usando los valores iniciales de los acumuladores (niveles).
En el modelo de la cuenta de ahorro, le dimos el valor inicial $10 al acumuldor(nivel) del saldo de la cuenta. Como la ecuación para Pago de intereses es:
Pago de intereses = Saldo de la cuenta × Tasa de Interés
Podemos calcular que el primer valor del flujo del Pago de intereses es $1.00.
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Puede tomar la información que tiene y comenzar a dibujar el gráfico delcomportamiento del modelo, como se muestra en la Figura 2. Preste atención a que lapendiente del acumulador (nivel) es igual a la entrada neta. Esto significa que la pendienteinicial del acumulador Saldo de cuenta es igual al primer valor de Pago de intereses, esdecir uno.
Saldo Inicial deCuenta = $10
0.00 1.00 2.00 3.00 4.00
Años
0.00
10.00
20.00
1:
1
Pendiente Inicial = 1
Saldo de cuenta
Figura 2: Comportamiento Inicial del Saldo de la cuenta
Ahora que sabemos como el modelo comienza a comportarse, necesitamos darnoscuenta hacia donde irá. Sabemos que el modelo Saldo de cuenta es un ejemplo derealimentación positiva, de tal forma que el acumulador (nivel) continúa incrementándose.Pero, ¿qué pasaría si no supiéramos que el modelo tiene realimentación positiva? ¿Cómonos daríamos cuenta? Aquí va una buena prueba:
Imagine que se encuentra frente a un sistema simple y quiere saber si tiene unarealimentación positiva. Usted sabe que la realimentación positiva ocurre cuando elcambio se propaga a través de un sistema para producir más cambio en la mismadirección. Hagamos una prueba sobre el sistema y veamos que pasa. Asumamos que lacuenta en el banco tiene $10, esto significa que el pago de interés para ese año es $1. Siahora depositamos $5 en la cuenta (un cambio en el sistema). ¿Qué pasa? Este depósitoprovocará que aumenten los intereses pagados (propagándose a través del sistema) desde$1 a $1.50. Ahora el saldo de la cuenta comenzará a crecer más rápidamente, porque elpago de intereses es mayor. De esta forma un cambio se propaga a lo largo del sistema yproduce más cambios en la misma dirección. ¡Es un bucle realimentación positiva!
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De esta forma, se ha determinado el punto de partida para el modelo y hemosdefinido que el bucle contiene realimentación positiva. La característica delcomportamiento de un bucle de realimentación positiva es el crecimiento exponencial. Elcrecimiento exponencial de un acumulador (nivel) está caracterizado por el hecho que elnivel tiene un tiempo de duplicación, constante. Esto significa que el saldo de la cuenta seduplica de $10 a $20 en 5 años, y se duplicará de $20 a $40 en los siguientes cinco años, yde $40 a $80 en los cinco años que sigan.
La siguiente pregunta es, “¿Cuán rápido es el crecimiento?” El tiempo paraduplicar su valor para un bucle de realimentación positiva simple puede aproximarse comosigue:
Tiempo de duplicación = 0.7/tasa de interésEl tiempo para duplicar el valor para este modelo es:
Tiempo de duplicación = 0.7/.10 ? ?7 añosEl gráfico de la Figura 3 muestra el crecimiento exponencial generado en el modelo de lacuenta de ahorro.
7 Años 7 Años 7 Años 7 Años 7 Años
$10 $20 $40
$320
1990.00 2000.00 2010.00 2020.00 2030.00
Años
0.00
200.00
400.00
1:
11
1
1
$80
$160
Saldo de la cuenta
Figura 3: Gráfico del comportamiento para el Modelo Saldo de la cuentaLa misma ecuación del tiempo de duplicación del valor se puede usar para otros
sistemas. Si la ecuación de la tasa es formulada como sigue:Alimentación = Nivel ? ?factor de crecimiento
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simplemente substituya el factor de crecimiento por la tasa de interés, en la ecuación deltiempo para duplicar su valor.
Hay otra cosa más respecto a la realimentación positiva que debe ser tratada antesde ir a los ejercicios: la realimentación positiva no puede continuar sin límite. En todos lossistema hay un factor o factores que van a limitar el crecimiento de sus componentes. Enun sistema de población los recursos limitantes serán la comida y la bebida; en el caso dela bola de nieve, llegará al final de la colina y en el caso de la cuenta bancaria, llevaríamucho tiempo para que la cuenta de ahorro comience a competir en tamaño con la deudainterna. La presencia de factores limitantes en un sistema que tiene realimentación positivaes conocida como límites al crecimiento.
Repaso:
A continuación hay una lista de los conceptos que ha aprendido. Si no se sienteseguro de alguno de los conceptos mencionados a continuación, debería consultar lasección correspondiente del artículo, antes de continuar con los ejercicios que siguen.
1. Un punto de partida:? Valores iniciales de los acumuladores (niveles)? Valores iniciales de los flujos
2. Desde allí:? identificar la realimentación? realimentación positiva
3. Como crece el acumulador:? crecimiento exponencial
? ? Tiempo de duplicación
Los ejercicios que siguen lo ayudarán a repasar los conocimientos que haaprendido y le darán cierta práctica al usarlas. Las soluciones a los ejercicios comienzan enla página 12.
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Ejercicios:
#1: Todo proceso de crecimiento tiene algún tipo de realimentación positiva subyacente.Nombre algunos ejemplos de realimentación positiva en el mundo que nos rodea:________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
#2: : Un amigo viene con el siguiente modelo de población de células. Él esnuevo en la dinámica de sistemas y quiere que lo ayude a chequear si este modelo tienerealimentación positiva como él cree. Usando los conocimientos de la realimentaciónpositiva, verifique o refute la idea de su amigo.
Ecuaciones del Modelo:
factor de crecimiento = 0.2(UNIDADES = 1/días)tasa de división celular =población de células * factor decrecimiento
población Inicial de células = 40
¿El modelo de su amigo es un ejemplo de realimentación positiva? _________¿Por qué o por qué no? ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Población de células
tasa de división celular
Factor de crecimiento
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#3: La figura muestra un modelo simple del crecimiento de los conocimientos en unacivilización desarrollada. La tasa de aprendizaje es proporcional al nivel actual de losconocimientos.
Ecuaciones del Modelo:Capacidad para aprender = .02Tasa de Aprendizaje =Conocimiento *?Capacidad para AprenderConocimiento inicial = 1
¿Cuál es tiempo de duplicación para el conocimiento en este modelo? (tiempo deduplicación = 0.7/factor de crecimiento) _________
Use el tiempo de duplicación del conocimiento para calcular el valor delacumulador (nivel) después de 100 años. Ahora fije una escala adecuada en el gráfico.
En el gráfico de abajo, dibuje el comportamiento del acumulador (nivel)Conocimiento en 100 años.
0.00 25.00 50.00 75.00 100.00
Años
0.00
1: Conocimiento
Conocimiento
Tasa de Aprendizaje
Capacidad paraAprender
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#4: El modelo de la cuenta de ahorro usado en este artículo puede ser empleado tambiénpara un modelo de deuda. La única diferencia es que el saldo, en vez de ser positivo tomasolo valores negativos, que representan la deuda. El pago de intereses representa laacumulación de intereses y la tasa de interés representa la tasa de interés que se le carga asu deuda. (Fíjese que ahora la alimentación tiene valores negativos, es decir que es lomismo que una salida.)
Podremos usar este modelo para estudiar la acumulación de deuda en una tarjetade crédito. Asumiendo que debe $100 por una tarjeta de crédito que le carga con el 18%anualmente. ¿Qué pasaría con la cantidad que debe si no hace pagos durante 10 años?.(No es una buena idea, pero es posible.)
Saldo
acumulación de intereses
Tasa de Interés
Verifique que este nuevo uso del modelo es todavía un bucle de realimentación positiva.
Asuma que debe $100, de tal forma que el valor inicial para el Saldo es -$100. Si latasa de interés es 18%, ¿cuál es el primer valor de la acumulación de intereses? _______________
Crecerá o disminuirá el saldo? ________________Crecerá o disminuirá su deuda? ________________Cual es el tiempo para duplicar la deuda en este escenario? ________________
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Dibuje en el gráfico como cree que será el comportamiento del saldo a lo largo de lospróximos 10 años.
0.00 2.50 5.00 7.50 10.00
Años
1: Saldo
#5: ¿Qué pasaría si el Saldo de cuenta comenzara en cero? (por ej.: si abre una cuenta deahorro pero nunca deposita nada en ella.) ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
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Soluciones:
#1: Hay infinidad de ejemplos de realimentación positiva en el mundo que nos rodea. Aquíse muestran algunos
• división celular: Cuando la población crece, también crece el número dedivisiones celulares por hora.
• expansión de la población: Similar a la población celular. Cuanto más grande seala población, mayor será el número de nacimientos por año.
• difusión de un rumor: cuando el número de gente que conoce el rumor crece,más gente está disponible para difundir el rumor.
• contagio de las enfermedades: este bucle de realimentación funciona igual que ladifusión de los rumores.
• crecimiento de las empresas: cuando el tamaño de las empresas crece, los fondosdisponibles para la expansión también crecen, permitiendo que crezcan a unatasa mayor.
• propagación de los fuegos en el bosque: un fuego en el bosque tiene lacapacidad de prender lo que se encuentra a su lado, incrementado el tamaño delfuego.
Recuerde la definición dada para realimentación positiva: existe realimentación positiva enun sistema cuando un cambio se propaga a través del mismo, produciendo más cambio enla misma dirección.
#2: Su amigo está en lo cierto. Este modelo producirá realimentación positiva. De hecho,este modelo tiene exactamente la misma estructura que el modelo de Saldo de cuenta. Laúnica diferencia son los nombres de los elementos del modelo, el valor del parámetrofactor de crecimiento y el valor inicial de la población de células.
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#3: El tiempo de duplicación el valor se calcula como se indica:
tiempo de duplicación = .7/factor de crecimiento ? ?0.7/.02 ? ?35 años
100 años es un poco menor que 3 tiempos para duplicar el crecimiento. Es decirque después de 100 años el acumulador (nivel) Conocimiento es aproximadamente igual a1*2*2*2 = 8. Por lo que una escala apropiada es aquella que va de 0 a 8. Usted puedeusar el tiempo de duplicación para encontrar más puntos en el gráfico y dibujar la curva amano.
El comportamiento del modelo de aprendizaje en un periodo de 100 años es elmostrado a continuación.
0.00 25.00 50.00 75.00 100.00
Años
0.00
4.00
8.00
1: Conocimiento
1
1
1
1
Años Conocim.
03570
105
1248
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#4: este sistema contiene un bucle de realimentación positiva porque cuando el saldo sehace más negativo, sucede los mismo con la tasa de acumulación de los intereses que lecausa al saldo una disminución aun más rápida, lo cual resulta en una aun mayoracumulación de intereses.
Asumiendo que deba $100 y está pagando una tasa de interés del 18%, laacumulación de interés del primer año es de $18. Después de 1 año, el Saldo de cuentadisminuirá hasta -$118, haciendo su deuda igual a $118. El saldo continuará disminuyendoexponencialmente. El tiempo para duplicar el valor es calculado como sigue:
tiempo de duplicación = .7/factor de crecimiento ? ?0.7/.18 ? ?3.9 años
Como 10 años está entre 2 y 3 tiempos para duplicar el valor, la escala en elgráfico puede ser fijada en -$800: el saldo después de 3 tiempos para duplicar. El tiempode duplicación puede ser usado para dibujar algunos puntos más para completar las curva.El gráfico abajo muestra el comportamiento de los saldos en un periodo de 10 años.
0.00 2.50 5.00 7.50 10.00
Años
-800.00
-400.00
0.00
1: Saldo
1
1
1
1Años.8
Saldo ($)
03.97.8
11.7
-100-200-400-800
#6: Si el Saldo de cuenta comenzara en cero, provocaría que el valor de los interesespagados fuera también cero. Como el único flujo que afecta al acumulador (nivel) Saldode la cuenta es igual cero, el acumulador (nivel) nunca cambia y tampoco lo hará el Saldode la cuenta. Este estado se llama equilibrio. Es un tipo especial de los equilibriosllamados equilibrio inestable. La razón para este nombre es porque con un pequeñocambio en el acumulador (nivel) para crecer o disminuir, iniciará un comportamientoexponencial. Esto puede ser relacionado con una pelota en un alfiler. Si la pelota estáexactamente centrada sobre el alfiler, no se moverá, pero cualquier pequeña variaciónprovocará que la pelota se caiga, perdiendo completamente el equilibrio.
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Bibliografía
Kauffman, D. L., Jr. (1980). Sistemas 1: Una Introducción al Pensamiento Sistémico.Versión en inglés: Minneapolis: Future Systems. Versión en castellano de próximaaparición
Forrester, J. W. (1968). Principles of Systems. Cambridge MA: Productivity Press.
Goodman, M. R. (1974). Study Notes in System Dynamics. Cambridge MA: ProductivityPress.
