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ANLISIS MATEMTICO DE FUNCIONES REALES DE
UNA Y VARIAS VARIABLES REALES
EJERCICIO DE AUTOEVALUACIN
TEMAS 1 A 5 - EJERCICIO 1
1. Sean f(x) y g(x) dos funiones deni-das en el intervalo [a,
b].
a) Enontrar la relain que existe
entre el valor medio de f(x)g(x)y el de f (x)g(x).
b) Supongamos que [a, b] = [0, 1] yque la gura adjunta muestra
la
gra de la funin f(x)g(x).Utilizando esta gra, alula de forma
aproximada, razonadamente,
el valor medio de la funin f(x)g(x).
) Supongamos que g(0) = 0, g(1) = 1 y f(1) = 0. 8. Utiliza
losapartados a) y b) para alular de forma aproximada el valor medio
de
la funin f (x)g(x).
2. Se sabe que dos funiones F (z) y G(z) verianlas siguientes
ondiiones:
F (z) +G(z) = ez + z2
F (z) +G(z) = ez + 2z
F (0) = 1, G(0) = 0
a) Calular el polinomio de MLaurin de F (z)de orden 3. Utilizar
este polinomio para
alular de forma aproximada el valor de
F (0. 2).
b) Sabiendo que la gura adjunta muestra la
gra de la funin H(z) = ez d3G/dz3,emplear el teorema de Taylor
para alular
una ota del error ometido en la aproxima-
in del apartado anterior.
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3. Queremos onstruir on hapa metlia de
0. 5 m de grosor un depsito ilndrio abier-to por la parte
superior, que tenga una apa-
idad de 1 m
3. Naturalmente, nos interesa
utilizar la menor antidad posible de hapa
para fabriarlo. El problema es que el depsi-
to tiene que instalarse en un hueo de 80x80
m de base y 215 m de altura (ver gura).
Se trata de enontrar las dimensiones que de-
be tener el depsito y el preio de la hapa
neesaria para fabriarlo.
4. Supongamos que h(x) es una funin ontinua en [0, 2] y que para
alu-lar su integral I hemos apliado el ambio de variable de
integrainx = x(z) (ver la gra de x(z) en la gura). De este modo
obten-dremos una nueva funin F (z) que deberemos integrar en un
nuevointervalo [p, q]:
a) India mo habra que obtener la funin F (z).
b) Calula los nuevos lmites de integrain p y q. Hay varias
formasde elegirlos?
) Hemos alulado una primitivaH(z) de la funin F (z) y la
hemosrepresentado gramente (ver gura). A partir de esta gra,
alula aproximadamente el valor I de la integral.
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5. Denir el lmite de una suesin {xn}. Apliando la deniin,
demos-trar que el lmite de la la suesin xn =
2n
n+ 1es 2.
6. La gura adjunta representa la forma de una vasija a la que
ehamos
agua a ritmo onstante, de modo que en ada instante t el agua
alanza
ierta altura h(t). Esboza de forma razonada una posible gra de
h(t)(disute la ontinuidad, derivabilidad, reimiento, onavidad de
h(t)).
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RESPUESTAS
1. Apliando el mtodo de integrain por partes:
a)
baf (x)g(x) dx = f(x)g(x)
x=bx=a b
af(x)g(x) dx
1b a
baf (x)g(x) dx =
f(b)g(b) f(a)g(a)b a
1
b a b
af(x)g(x) dx
y1 = f(b)g(b) f(a)g(a)b a y2
b) Ambas reas deben ser iguales
y2 0. 27
) y1 = 0. 8 y2 y1 0. 8 0. 27 = 0. 53
2. F (z) = F (0) + F (0) z +F (0)
2!z2 +
F (0)
3!z3 +
F (u)
4!z4 u (0, z)
Hiptesis: F (z) y G(z) son derivables de orden suiente.
F (z)+G(z) = ez + z2 F +G = ez +2z F +G = ez +2
F +G = ez F = ez G
F (0) = 1 G(0) = 0F +G = ez + z2
F +G = ez + 2zF +G = ez + 2z
F (0) +G(0) = 1 F (0) = 1F (0) +G(0) = 1 G(0) = 1 1 = 0F (0)
+G(0) = 1 F (0) = 1F (0) +G(0) = 3 G(0) = 3 1 = 2F (0) +G(0) = 3 F
(0) = 3 2 = 1
P3(z) = 1+z+z2
2;
F(u)
4!0. 24
u(0,0.2)
GRFICA 1. 34!
(0. 2)4 COTA
APROX = P3(0. 2) = 1 + 0. 2 +(0. 2)2
2
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3. Volumen V = x2h = 1 h = 1x2
Superie S = x2 + 2xh = x2 +2
x
S (x) = 2x 2x2
; S = 0 x = 13 0. 68
h =1
1
32
=1
3 0. 68 m
S = 2 + 4x3; S (13) > 0 Mnimo
El problema es que no entra en el hueo ya que 68 2 + 2 0. 5
grosor hapa
> 80
m
Tomemos el valor de x ms prximo a 80 m que entre en el hueo:
2x+ 2 0. 5 = 80 x = 39. 5 mVeamos ahora si hay altura
suiente:
h =1
(0. 395)2= 2. 04 m < 2. 15
4. a) F (z) = y(x(z)) x(z) suponiendo que x(z) es ontinuab) x
[0, 2] x = 0 z = 1, 2
x = 2 z = 0, 3Por tanto, hay varias formas de elegir p y q
I =
01
F (z) dz =
31
F (z) dz =
02
F (z) dz =
32
F (z) dz
) I = H(q)H(p) = H(0)H(1) = H(3)H(1) = H(0)H(2) =H(3)H(2) 2. 4
1. 5 = 0. 9
5.
lmn
xn = l > 0 n0 N | n n0 xn (l , l + )
l = 2 xn =2n
n + 1; 2 < 2n
n+ 1< 2 +
< 2nn+ 1
2 < < 2n + 1
<
-
Entones, dado un > 0 ualquiera, tomamos n tal que:
< 2n + 1
> 2n+ 1
2< n+ 1 n > 2
1
Por ejemplo:
Si = 0. 01, tomamos n > 20.01 1 = 200 10199
Si = 0. 001, tomamos n > 20.001 1 = 2000 1 = 1999
6. h es reienteen (0, t4)
t (0, t1) veloidad dereiente h < 0 h onvexat (t1, t2)
veloidad reiente h > 0 h navat (t2, t3) veloidad dereiente h
< 0 h onvexat (t3, t4) veloidad reiente h > 0 h navaPuntos de
Inexin en t1, t2, t3; ontinua en [0, t4]
