Ejercicio 1 - Topologa
Daniel Daro Fula Argello
2016 02 05
Encuentre una mtrica d en un conjunto X tal que dada una bola,
cualquiera de sus puntos (de labola) es su centro (con el mismo
radio), es decir: Bd (a) = Bd (b) para todo a, b Bd (a) y a 6=
b.Solucin:Sea p un nmero primo. Cada nmero racional x diferente de
cero puede ser expresado como pkr/s paraun nico valor de k Z, donde
r Z, s Z+ y ni r ni s es divisible por p. Definimos | x |p como pk
y| 0 |p como 0. La mtrica p-dica en Q se define como d(x, y) =| x y
|p. Veamos que d es mtrica
1 d(x, y) 0 para todo x, y Q : De la definicin de d se deduce
que d(x, y) es siempre positiva.2 d(x, y) = 0 si y solo si x = y :
Supongamos por contradiccin que x y 6= 0 y que d(x, y) = 0
entonces pk = d(x, y) para algn k en Z, pero pk 6= 0 = d(x, y)
para todo k en Z. Si x = y,entonces x y = 0 y por lo tanto d(x y)
=| 0 |p= 0.
3 d(x, y) = d(y, x) para todo x y y en Q: Consideremos los casos
para los que x y = 0 y x y 6= 0.Si x y = 0, entonces d(x, y) =| x y
|p=| yx |p= d(y, x). Ahora tomemos el otro caso, es decir,x y 6= 0,
luego d(x, y) =| x y |p por lo cual existen r Z, s N que no son
divisibles por py un nico k en Z tales que x y = pkr/s. Pero pk
siempre es un nmero positivo, por lo quey x = (x y) = pk(r/s). Es
decir que k es el mismo tanto para x y como para y x. Asentonces
por definicin d(x, y) =| x y |p= pk =| y x |p= d(y, x).
4 d(x, z) d(x, y) + d(y, z) para cualesquiera x, y y z en Q: Si
x = y = z el resultado se tienetrivialmente, pues 0 0 + 0.
Supongamos que x 6= z y sin prdida de generalidad que x =
y,entonces d(x, y) + d(y, z) = 0 + d(y, z) y como x = y entonces
d(y, z) = d(x, z), es decir qued(x, y) + d(y, z) d(x, z). Por ltimo
supongamos que x 6= y 6= z, entonces x y = pmr1/s1 yyz = pnr2/s2
dondem,n, r1 y r2 estn en Z, s1, s2 estn en Z+,m y n son nicos y ni
r1, r2,s1 ni s2dividen a p. As, xz = xy+yz = pmr1/s1+pnr2/s2 =
(pmr1s2+pnr2s1)/(s1s2). Supongamosque m > n, entonces xz =
pn(pmnr1s2+r2s1)/(s1s2). pmnr1s2+r2s1 no es divisible por p puesel
primer trmino lo es, pero el segundo no, por lo tanto la suma no
puede serlo. s1 y s2 no dividena p, por lo que s1s2 tampoco divide
a p. Luego n es el nico entero para el cual xz se escribe de
laforma pkr/s y as d(x, z) = pn = d(y, z). Por lo tanto d(x,
y)+d(y, z) = pm+pn > pn = d(x, z)pues pm > 0 y por lo tanto
d(x, y) + d(y, z) > d(x, z). Razonando similarmente se obtiene
que sin m, entonces d(x, y) = d(x, z) y por lo tanto se tiene d(x,
y) + d(y, z) > d(x, z). De lo anteriorse puede deducir que d(x,
z) = mx{d(x, y), d(y, z)} para todo x, y y z en Q.
Hemos mostrado que la funcin definida anteriormente es una
mtrica, veamos que satisface la condicinque pide el ejercicio. Sea
> 0, x Q y y B(x). Si z B(x) entonces d(x, z) < . Comoy B(x)
entonces d(x, y) < . Por lo visto en la demostracin de la
transitividad de d, d(y, z) =mx{d(x, z), d(x, y)}, pero en
cualquier caso d(y, z) < , por lo tanto z B(y), es decir B(x)
B(y).Supongamos ahora que z B(y). Entonces d(y, z) < y como y
B(x) entonces d(x, y) < . Por lovisto en la demostracin de la
transitividad de d, d(x, z) = mx{d(y, z), d(x, y)}, pero en
cualquier casod(x, z) < , por lo tanto z B(x), es decir B(y)
B(x). As concluimos que B(x) = B(y) que eralo que se quera.
