Tarea 2 - Topologa General
Daniel Daro Fula Argello
2016 02 17
1. Muestre que en un espacio X, U X es abierto si y slo si es
vecindad de cada uno de sus puntos.2. Muestre que en un espacio T1
los conjuntos unitarios {x} son cerrados.3. Cules espacios de los
que hemos definido son T1?
4. Cules de los espacio topolgicos que hemos definido son
Hausdorff?
5. B = {(a, b) : b a 1} es base para la topologa usual de R.6.
En (R2, verticales) quines forman a V((0, 0))?
7. Muestre la unicidad en el teorema 1.13.
8. Lexicogrfico. En R2 definamos el orden lexicogrfico de la
manera siguiente: (a, b) < (c, d) sia < c, o para el caso en
que a = c tenemos b < d. Los intervalos abiertos y acotados ((a,
b), (c, d))en este espacio, resultan ser rectngulos infinitos hacia
arriba y hacia abajo, con parte de los ladosverticales incluidos,
segn sea el caso.Luego un abierto para la topologa generada ser
todo lo que logremos expresar como unin deestos elementos bsicos.
Ntese que esta definicin puede extenderse a Rn y coincide con la
maneracomo ordenamos un diccionario.
a) Dibuje al menos tres vecindades del punto (0, 0) para la
topologa inducida por este orden.
b) Cmo es geomtricamente el intervalo ((0, 0), (2, 3))?
c) Qu relacin existe entre la topologa usual y la topologa de
orden asociada al lexicogrfico?
d) Cmo puede usted generalizar esta topologa a cualquier
conjunto ordenado?
e) Trate de observar cmo es esta topologa si el conjunto X es el
cuadrado unidad I I.9. Muestre que B = {((a, b), (a, c)) : b <
c} es tambin una base para la topologa del orden lexi-
cogrfico.
10. La topologa del orden para N es la topologa discreta.
11. La topologa del orden para N N con el orden lexicogrfico no
es la topologa discreta.12. La topologa del orden para Z Z con el
orden lexicogrfico es la topologa discreta.
13. Sea (X,T) un espacio. Muestre que la topologa T es de
Alexandroff o A-topologa si y solo si cadapunto x X posee una
vecindad Ax mnima, i. e., Ax est contenida en cualquier otra
Vx.
14. Muestre que toda topologa finita es de Alexandroff.
15. Sea X un conjunto. En los siguientes numerales definimos
para cada x X un conjunto V(x).En qu casos la coleccin de las V(x)
constituye un sistema de vecindades? Cul es la topologagenerada por
este sistema?
a) V(x) = {A X : x A}.b) V(x) = {{x}}.c) V(x) = {X}.d) Sea X = N
{} donde / N. Por cada n N definamos
1) V(n) = {A X : n A}.2) V() = {A X : A y Ac es finito }.
e) Sea X = (N N) {} donde / N N. Por cada (m,n) N N definamos:1)
V((m,n)) = {A X : (m,n) A}.2) V() = {A X : A donde A contiene casi
todos los puntos de casi todas las filas }.En otras palabras, a
cualquier fila le pueden faltar finitos nmeros, y solo a un nmero
finitode filas le pueden faltar infinitos nmeros. La fila k-sima es
por definicin el subconjuntoN{k} la cual notamos Nk. A V () si A y
existe m N tal que NkA es finito paratodo m < k.La topologa
generada es la de Arens-Fort: un abierto contiene a si nicamente un
nmerofinito de filas contienen huecos significativos.
