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Álgebra Manuel Hervás Curso 2011-2012
1
EJERCICIOS DE AUTOVALORES Y AUTOVECTORES
EJERCICIO 1. MATRIZ DIAGONAL
La matriz de un endomorfismo en 2R es 3 1
2 0A
1. Calcular los autovalores y su multiplicidad algebraica
2. Calcular los autovectores y su multiplicidad geométrica
3. Indicar de forma razonada si es diagonalizable la matriz y hallar una base en
la que la matriz resulta diagonal. Expresar esta matriz diagonal.
SOLUCIÓN: La ecuación característica es 0A I .
23 1
3 2 02
,
2( 1)( 2) 0
1
Autovalor M.A. M.G.
2 1 1
1 1 1
Por tanto al tener las raíces reales y coincidir la multiplicidad algebraica y la
geométrica para cada autovalor la matriz SI es diagonalizable.
Para 1 1 0 1
2; 0 ;2 2 0 1
xx y u
y
vector propio
Para 2 1 0 1
1; 2 0 ;2 2 0 2
xx y v
y
vector propio
Tomando como nueva base la formada por los autovectores ' , :B u v
1 2
1 1
1 2u v e e
siendo la matriz de cambio de base
1 1
1 2P
Haciendo 1
2 1 3 1 1 1 2 0
1 1 2 0 1 2 0 1P AP
Los autovalores van situados en la diagonal principal.
Álgebra Manuel Hervás Curso 2011-2012
2
EJERCICIO 2: MATRIZ DIAGONAL
1. Calcula los autovalores y autovectores de la matriz 1 1
1 1A
2. Calcula el núcleo y la imagen
3. ¿En qué base la matriz es diagonal? ¿Cuál es la matriz diagonal?
Solución
Expresión matricial
1 1
2 2
1 1
1 1
y x
y x
Como el ( ) 1rg A se verifica que dim(ker ) 2 1 1f n r .
La ecuación implícita del núcleo es 1 2 0x x
Las ecuaciones paramétricas del núcleo son 1
2
x
x
Una base del núcleo es ker
1
1f
u
B
1 2u e e
Una base del subespacio imagen: Im
1
1fB
que es una columna de la
matriz A . 1 2v e e
Se verifica
dim(ker ) dim(Im ) dim( )f f E
n r r n
Para calcular los autovalores
21 1
2 ( 2) 01 1
A I
Para los autovalores 1
2
0 ; (1, 1)
2 ; (1,1)
t
t
u
v
En una base formada por autovectores 11 1 0 0
;1 1 0 2
P P A P
Es posible diagonaluzar la matriz ya que coinciden M.A. y M.G.
Autovalor M.A. M.G.
0 1 1
2 1 1
Álgebra Manuel Hervás Curso 2011-2012
3
EJERCICIO 3. NO DIAGONALIZABLE
En R2 se da el endomorfismo definido 1 2 2 1 2( , ) 2 , 2 4f x x x x x
Expresión matricial. Núcleo e Imagen. ¿Se puede diagonalizar la matriz?
SOLUCIÓN
La matriz del un endomorfismo en 2R es 0 2
2 4A
1. Calcular los autovalores y su multiplicidad algebraica
2. Calcular los autovectores y su multiplicidad geométrica
3. Indicar de forma razonada si es diagonalizable la matriz.
SOLUCIÓN: La ecuación característica es 0A I .
Por tanto el polinomio característico tiene la raíz real 2 de multiplicidad
algebraica 2.
Para 2 2 0 1
2; 0 ;2 2 0 1
xx y u
y
vector propio
Al calcular la multiplicidad geométrica para el autovalor 2 resulta
2 2
22 2
A I
con rango 1. Por tanto M.G.= 2 1 1n r que no
coincide con la M.A. luego NO es diagonalizable.
Autovalor M.A. M.G.
2 2 1
EJERCICIO 4. NO DIAGONALIZABLE
Sea el endomorfismo en 2R
1 2
1 2
( )2 1 ( )
0 1
1 0f e f e
f e eA
f e e
Indicar de forma razonada si es diagonalizable la matriz. Calcular Imagen y
núcleo.
2 22
4 4 0 ( 2) 02 4
Álgebra Manuel Hervás Curso 2011-2012
4
SOLUCIÓN: La ecuación característica es 20 ; 1 0A I que no
tiene raíces reales por tanto NO es diagonalizable en .
La Imagen es 2 ya que dim(Im ) ( ) 2f rg A . Aplicación sobreyectiva
El núcleo es por tanto ker 0f Aplicación inyectiva
La aplicación es por tanto biyectiva
EJERCICIO 5. DIAGONALIZABLE
La matriz de un endomorfismo en 3R es
3 1 1
0 2 0
1 1 3
A
1. Calcular los autovalores y su multiplicidad algebraica
2. Calcular los autovectores y su multiplicidad geométrica
3. Indicar de forma razonada si es diagonalizable la matriz y hallar la base en la
que la matriz resulta diagonal. Expresar esta matriz diagonal.
SOLUCIÓN: La ecuación característica es 0A I .
2
3 1 13 1
0 2 0 2 2 6 8 01 3
1 1 3
A I
El polinomio característico es 3 2 28 20 16 ( 2) ( 4)
Por tanto el polinomio característico 2( 2) ( 4) 0 tiene las raíces:
2 de multiplicidad algebraica 2 ; 4 de multiplicidad algebraica 1
Para 4
1
1 2 3
2
2
3
3 4 1 1 00
0 2 4 0 00
1 1 3 4 0
xx x x
xx
x
1
2
3
0
x a
x
x a
Para 4 , M.A. =1. Autovector 1 (1,0,1)tu . M. G.= 3 2n r =1.
Para 2 1
2 1 2 3
3
3 2 1 1 0
0 2 2 0 0 0
1 1 3 2 0
x
x x x x
x
1
2
3
x
x
x
Álgebra Manuel Hervás Curso 2011-2012
5
Para 2 , M.A.=2. Autovectores 2
3
(1,1,0)
(0,1,1)
t
t
u
u
M.G.= 3 1n r =2.
Autovalor M.A. M.G.
2 2 2
4 1 1
Por tanto como las raíces del polinomio característico están en R y la suma de
multiplicidades algebraicas coincide con la dimensión del espacio vectorial que
es 3, además para cada autovalor la multiplicidad algebraica y geométrica
coinciden, el endomorfismo es diagonalizable.
Tomando como matriz P de cambio de base la formada por los autovectores
escritas sus coordenadas por columnas, al hacer el cambio de base, resulta
una matriz diagonal, figurando en la diagonal principal los autovalores repetidos
tantas veces como indica su multiplicidad algebraica y en el orden en que se
eligieron los autovectores.
1 32
1
1 2 3 1 2 3
1 1 1
2 2 21 1 0 1 1 01 1 1
0 1 1 ; 0 1 1 ;2 2 2
1 0 1 1 0 11 1 1
2 2 2
u uu
u u u e e e P P
1
1 1 1
2 2 2 3 1 1 1 1 0 4 0 01 1 1
0 2 0 0 1 1 0 2 02 2 2
1 1 3 1 0 1 0 0 21 1 1
2 2 2
P A P
EJERCICIO 6:
La matriz de un endomorfismo de R3 es
4 2 1
2 0 1
1 1 1
A
Calcula los autovalores y autovectores. ¿Es diagonalizable la matriz?
SOLUCIÓN: La ecuación característica es 0A I
Álgebra Manuel Hervás Curso 2011-2012
6
2
4 2 1
2 1 ( 1)( 2) 0
1 1 1
A I
Autovalores:1 ; de multiplicidad algebraica 1
2 ; de multiplicidad algebraica 2
1
1
1
3 2 1 0 10
2 1 1 0 ; 12 0
1 1 0 0 1
. . dim( ) 3 2 1
x xx y
A I y y B ux y z
z z
M G S n r
2
2
2
2 2 1 0 10
2 2 2 1 0 12 2 0
1 1 1 0 0 0
. . dim( ) 3 2 1
x xx y z
A I y y B ux y z
z z
M G S n r
Autovectores 1
2
1; ( 1,1,1) de multiplicidad geometrica 1
2 ; (1, 1,0) de multiplicidad geometrica 1
u
u
Autovalor M.A. M.G.
1 1 1
2 2 1
Como para el autovalor 2 , la multiplicidad geométrica es 1, no coincide
con la multiplicidad algebraica que es 2, la matriz A NO es diagonalizable. Si no es posible encontrar una base del espacio vectorial en la que la matriz del endomorfismo sea diagonal, al menos sí se puede conseguir una base en la que la matriz del endomorfismo sea triangular, figurando los autovalores en la diagonal principal de la matriz. La condición necesaria y suficiente es que las n raíces del polinomio característico pertenezcan al cuerpo K. Esto siempre es posible en el cuerpo de los números complejos. En este ejercicio si se elige como nueva base del endomorfismo los dos
vectores propios 1 2,u u y otro vector cualquiera la matriz asociada a esta nueva
base resulta triangular. Si se elige como tercer vector 3 (3, 1, 2)u La matriz
asociada a esta base 1 2 3, ,B u u u será A’ que tiene forma de Jordan
1 1 3
1 1 1
1 0 2
P
Se obtiene 1
1 0 0
' 0 2 1
0 0 2
A P A P
EJERCICIO 7
Álgebra Manuel Hervás Curso 2011-2012
7
La matriz de un endomorfismo de R3 es
1 1 0
0 4 2
0 0 2
A
Calcula los autovalores y autovectores. ¿Es diagonalizable la matriz?
SOLUCIÓN:
La ecuación característica: 0A I
1 1 0
0 4 2 (1 )( 4 )( 2 ) 0
0 0 2
A I
El polinomio característico es ( 1)( 4)( 2) 0
Los 3 autovalores son de multiplicidad algebraica 1. Por tanto es
diagonalizable
1
1
0 1 0 0 1
0 5 2 0 0 0
0 0 3 0 0 0
. . ( ) 3 2 1
x x
A I y y B
z z
M G Dim S n r
2
1
3 1 0 0 1
2 0 2 2 0 3 3
0 0 0 0 3 3
. . ( ) 3 2 1
x x
A I y y B
z z
M G Dim S n r
4
1
5 1 0 0 1
4 0 0 2 0 5 5
0 0 2 0 0 0
. . ( ) 3 2 1
x x
A I y y B
z z
M G Dim S n r
1 (1,0,0) ; 2 (1,3,3) ; 4 (1,5,0)t t t
Álgebra Manuel Hervás Curso 2011-2012
8
EJERCICIO 8.
Sea A es la matriz de un endomorfismo de R4 . ¿Es A diagonalizable?
2 0 0 0
0 0 0 0
0 2 2 3
0 0 0 1
A
SOLUCIÓN: La ecuación característica es 0A I
2
2 0 0 0
0 0 01 2 0
0 2 2 3
0 0 0 1
A I
El polinomio característico es 2( 1)( 2) 0
Los autovectores son:
11
22
3 30
ker4 4
1
02 0 0 0 0
0 0 0 0 1
0 2 2 3 1
0 0 0 1 00
. . dim( ) 4 3 1
f
xx
xxA B
x x
x x
M G S n r
11
22
3 31
4 4
1
03 0 0 0 0
00 1 0 0 0
0 2 3 3 1
0 0 0 0 1
. . dim( ) 4 3 1
xx
xxA I B
x x
x x
M G S n r
11
22
3 32
4 4
1
0 0 0 0 1 0
00 2 0 0 0 02
0 2 0 3 0 1
0 0 0 3 0 00
. . dim( ) 4 2 2
xx
xxA I B
x x
x x
M G S n r
1 (0,0, 1,1) ; 0 (0, 1,1,0)
2 (1,0,0,0) , (0,0,1,0)
t t
t t
Álgebra Manuel Hervás Curso 2011-2012
9
Por tanto es diagonalizable ya que en el caso del autovalor 2 coinciden
la multiplicidad algebraica y la geométrica. Eligiendo como nueva base la
formada por los autovectores la matriz resulta diagonal con los autovalores
situados en la diagonal principal.
0 1 0 0
1 0 0 0
1 0 1 1
0 0 0 1
P
1
0 0 0 0
0 2 0 0
0 0 2 0
0 0 0 1
P A P
EJERCICIO 9: ENUNCIADO ESPECIAL
Se considera el endomorfismo de 4R referido a la base canónica 1 2 3 4, , ,e e e e
definido mediante
a) 0
ker : , , ,0
x y zf x y z t R
t
b) 4 4( )f e e
c) (1,1,1,0) (3,3,3,0)f
HALLAR:
1. Expresión matricial. Base del núcleo y de la Imagen.
2. Autovalores y Autovectores. ¿Es diagonalizable la matriz? ¿En qué base?
SOLUCIÓN
Expresión matricial
ker
1 0
0 1ker : ;
1 1
0 00
f
x
yf B
z
t
3 1 3
4 2 3
u e e
u e e
3 1 3 1 3 1 3( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( )f u f e e f e f e f e f e
4 2 3 2 3 2 3( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( )f u f e e f e f e f e f e
4 4( ) (0,0,0,1)f e e
1 2 3 1 2 3 3( ) ( ) ( ) ( ) 3 ( ) 3(1,1,1,0)f e e e f e f e f e f e
Álgebra Manuel Hervás Curso 2011-2012
10
1 2 3( ) ( ) ( ) 1,1,1,0f e f e f e ; 4 4( ) (0,0,0,1)f e e
Expresión matricial :
41 2 3 ( )( ) ( ) ( )
1 1 1 0'
1 1 1 0'
1 1 1 0'
0 0 0 1'f ef e f e f e
x x
y y
z z
t t
Base de la IMAGEN y NÚCLEO
Imagen: Im 1 2
1 0
1 0
1 0
0 1
fB u u
Núcleo: ker 3 4
1 0
0 1
1 1
0 0
fB u u
Autovalores y Autovectores. ¿Es diagonalizable la matriz? ¿En qué base?
2
1 1 1 0
1 1 1 00 1 3
1 1 1 0
0 0 0 1
A I
3 40 (1,0, 1,0) , =(0,1,-1,0) autovectores del núcleot tu u
21 (0,0,0,1) autovectoru ya que 4 4( )f e e
13 (1,1,1,0) autovectoru ya que (1,1,1,1) 3(1,1,1,1)f
1 0 1 0
1 0 0 1
1 0 1 1
0 1 0 0
P
; 1
3 0 0 0
0 1 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
P AP
Ejercicio 10. Propiedad Dos matrices semejantes tienen el mismo determinante que se denomina determinante del endomorfismo. Demostración
En efecto ya que si y 'A A son semejantes verifican 1'A P A P 1 1det( ') det( ) det( )det( )det( )A P AP P A P
Como el determinante de la inversa es el inverso del determinante se verifica
1det( ') det( )det( ) det( )
det( )A P A A
P
Álgebra Manuel Hervás Curso 2011-2012
11
Ejercicio 11. En R3 referido a la base canónica se da el endomorfismo definido por la matriz
4 0 4
0 3 0
1 0 1
A
1. Expresión matricial. Calcula 2( )f e . ¿Es autovector 2e ?
2. Núcleo e Imagen 3. Calcula los autovalores y su multiplicidad algebraica 4. Calcula los autovectores y la multiplicidad geométrica 5. ¿En qué base la matriz es diagonal? ¿Cuál es la matriz diagonal? SOLUCIÓN
1. Expresión matricial:
11
22
3 3
4 0 4
0 3 0 ; , 0..3
1 0 1
i i
A
xy
xy y A x i
y x
0 4 0 4 0
3 0 3 0 1
0 1 0 1 0
Al calcular 2 2( ) 3f e e Por tanto el autovalor es 3.
2. Núcleo e Imagen Una base de la Imagen son las columnas de la matriz linealmente independientes
Im
4 0
0 3
1 0
fB
ya que 3 1C C
Para obtener una base del núcleo
11
1 3
2 2 ker
2
3 3
0 4 0 4 10
0 0 3 0 0 00
0 1 0 1 1
f
A
xxx x
x x Bx
x x
3. Calcula los autovalores y su multiplicidad algebraica
Ecuación característica: 0A I
Álgebra Manuel Hervás Curso 2011-2012
12
4 0 44 4
0 3 0 (3 ) ( 3)(3 ) 01 1
1 0 1
2( 3) 0A I
Los autovalores son :
0 de multiplicidad algebraica 1 y 3 de multiplicidad algebraica 2. 4. Calcula los autovectores y la multiplicidad geométrica
Autovalores M. A. M.G.
1 0
1 1
2 3
2 2
Autovectores:
11
1 3
1 2 2Base
2Implícitas3 3
Paramétricas
4 0 4 0 10
0 : 0 3 0 0 0 00
1 0 1 0 1
x axx x
x x Bx
x x a
La multiplicidad geométrica es 0M.G. dim( ) 3 2 1S n r
11
2 2 1 3 2Base
Implícitas
3 3
Paramétricas
41 0 4 0 4 0
3: 0 0 0 0 4 0 0 , 1
1 0 4 0 1 0
xx
x x x x B
x x
La multiplicidad geométrica es 3M.G. dim( ) 3 1 2S n r
Los autovectores son
1 1
2 2 3
1 4 00 ; (1,0,1)
0 0 13 ; (4,0,1) ; (0,1,0)
1 1 0
t
t t
uP
u u
La matriz diagonal es 1
0 0 0
0 3 0
0 0 3
P A P
Álgebra Manuel Hervás Curso 2011-2012
13
EJERCICIO 12.
En el espacio vectorial R4 referido a la base canónica 1 2 3 4, , ,B e e e e se da
el endomorfismo 4 4:f R R definido por la matriz
2 1 0 0
0 2 1 0
0 0 2 0
0 0 0 0
A
a) Expresión matricial.
b) Calcula 4( )f e . ¿Es autovector 4e ? ¿Cuál es su autovalor?
c) Base del Núcleo y de la Imagen d) Calcula los autovalores y su multiplicidad algebraica e) Calcula los autovectores y la multiplicidad geométrica f) ¿En diagonalizable la matriz A? Justifica la respuesta. En caso afirmativo encuentra la matriz diagonal y una base en la que la matriz resulta diagonal.
g) Halla una base de ( )f V , imagen del subespacio 1 2 30 , 0V x x x e
interpreta el resultado obtenido. SOLUCIÓN
a) Expresión matricial
1 1
2 2
3 3
4 4
2 1 0 0
0 2 1 0
0 0 2 0
0 0 0 0
y x
y x
y x
y x
b) Calcula 4( )f e . ¿Es autovector 4e ? ¿Cuál es su autovalor?
0 2 1 0 0 0
0 0 2 1 0 0
0 0 0 2 0 0
0 0 0 0 0 1
Es por tanto 4e autovector ya que 4 4
0
0( ) 0
0
0
f e e
0
Álgebra Manuel Hervás Curso 2011-2012
14
c) Base del Núcleo y de la Imagen La dimensión de la imagen es el rango de la matriz A. dim(Im ) ( ) 3f rg A r
1 2 3
Im
2 1 0
0 2 1
0 0 2
0 0 0
f
u u u
B
Las columnas de la matriz linealmente independientes
La dimensión del núcleo es:
dim( ) 4 3 1Kerf n r
11
1 2
22
2 3
3 3
3
4 4
00 2 1 0 0 02 0
00 0 2 1 0 02 0
00 0 0 2 0 02 0
0 0 0 0 0 1
Kerf
xxx x
xxx x B
x xx
x x t
d) Calcula los autovalores y su multiplicidad algebraica
3
2 1 0 0
0 2 1 0 0. simple(2 ) 0
0 0 2 0 2. triple
0 0 0
A I
e) Calcula los autovectores y la multiplicidad geométrica
Autovectores:
11
1 2
22
1 2 3 4Base
3 3
3Implícitas4 4
Paramétricas
02 1 0 0 0 02 0
00 2 1 0 0 00 : 2 0
00 0 2 0 0 02 0
0 0 0 0 0 1
xxx x
xxx x B e
x xx
x x t
La multiplicidad geométrica es 0M.G. dim( ) 4 3 1S n r
Se trata del vector del núcleo
11
2
22
2 3 1Base
3 3
4Implícitas4 4
Paramétricas
0 1 0 0 0 10
00 0 1 0 0 02 : 0
00 0 0 0 0 02 0
0 0 0 2 0 00
xxx
xxx B e
x xx
x x
La multiplicidad geométrica es 3M.G. dim( ) 4 3 1S n r
Álgebra Manuel Hervás Curso 2011-2012
15
Autovalores M. A. M.G.
1 0
1 1
2 2
3 1
f) ¿En diagonalizable la matriz A? Justifica la respuesta. En caso afirmativo encuentra la matriz diagonal y una base en la que la matriz resulta diagonal. No es diagonalizable la matriz A porque no coincide la multiplicidad algebraica
con la geométrica en el caso del autovalor 2 2 .
g) Halla una base de ( )f V , imagen del subespacio 1 2 30 , 0V x x x
interpreta el resultado obtenido.
El subespacio V se puede expresar en ecuaciones paramétricas
1
2
Base3
4Paramétricas
1 0
1 0,
0 0 0
0 1
x
xV B
x
x
; Se halla la imagen de cada vector
2 1 0 0 1 1 2 1 0 0 0 0
0 2 1 0 1 2 0 2 1 0 0 0;
0 0 2 0 0 0 0 0 2 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0
( )
1 1 2 1
2 2 0 2Im ya que
0 0 0 0
0 0 0 0
f VB f
El segundo vector al ser del núcleo tiene por imagen el vector nulo.
Álgebra Manuel Hervás Curso 2011-2012
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EJERCICIO 13.
Dada la matriz
2 0 1
0 1 0
1 0 0
A
asociada a un endomorfismo de 3R .
Obtener los autovalores y su multiplicidad algebraica. Obtener los autovectores y la multiplicidad geométrica. ¿Es diagonalizable la matriz? SOLUCIÓN
Ecuación característica 0A I
3
2 0 1
0 1 0 ( 1) 0
1 0
A I
. M.A.=3
Autovectores:
1 2
1 0 1 0 0 1
1; 0 0 0 0 0 ; 1 ; 0
1 0 1 0 0 1
x x a
y x z y b v v
z z a
1dim( ) 3 1 2S n r ; M.G.=2 (2 autovectores)
Como la multiplicidad algebraica. no coincide con la geométrica la matriz no es
diagonalizable.