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hector-narvaez-vergara
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Ejercicios de distribución normal
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1. Una población normal tiene una media de 80 una desviación estándar de
14.0
a) Calcule la probabilidad de un valor localizado entre 75.0 y 90.0
p (75 ≤ x ≤ 90)
z = 90 − 80
14 =
10
14 = 0.71 =
z = 75 − 80
14 =
−5
14 = −0.36 =
p (75 ≤ x ≤ 90) = 0.7611 – 0.3594 = 0.4017
b) Calcule la probabilidad de un valor de 75.0 ó menor.
p(x ≤ 75)
z = 75 − 80
14 =
−5
14 = −0.36 =
p(x ≤ 75) = 0.3594
c) Calcule la probabilidad de un valor localizado entre 55.0 y 70.0
p (55 ≤ x ≤ 70)
z = 70 − 80
14 =
−10
14 = −0.71 =
z = 55 − 80
14 =
−25
14 = −1.79 =
p (55 ≤ x ≤ 70) = 0.2389 – 0.0367= 0.2022
2. Los montos de dinero que se piden en las solicitudes de préstamos en Down
River Federal Savings tiene una distribución normal, una media de $70,000
y una desviación estándar de $20,000. Esta mañana se recibió una solicitud
de préstamo. ¿Cuál es la probabilidad de que:
EJERCICIOS DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD NORMAL ESTÁNDAR
µ = 80
σ = 14 z =
x − 𝜇
𝜎
Probabilidad acumulada.
0.7611
0.3594
Probabilidad acumulada.
0.3594
Probabilidad acumulada.
0.2389
0.0367
µ = $70,00 σ = $20,00
z = x − 𝜇
𝜎
75 80 90 μ
75 80 μ
55 70 80 μ
a) El monto solicitado sea de $80,000 o superior
p(x ≥ 80,000)
z = 80,000 – 70,000
20,000 =
10,000
20,000 = 0.50 =
p(x ≥ 80,000) = 1 – 0.6915= 0.3085
b) El monto solicitado oscile entre $65,000 y $80,000
p (65,000 ≤ x ≤ 80,000)
z = 80,000 – 70,000
20,000 =
10,000
20,000 = 0.50 =
z = 65,000 – 70,000
20,000 =
−5,000
20,000= −0.25 =
p (65,000 ≤ x ≤ 80,000) = 0.6915 – 0.4013 = 0.2902
c) El monto solicitado sea de $65,000 o superior.
p(x ≥ 65,000)
z = 65,000 – 70,000
20,000 =
−5,000
20,000 = −0.25 =
p(x ≥ 65,000) = 1 –0.4013 = 0.5987
3. Entre las ciudades de Estados Unidos con una población de más de
250,000 habitantes, la media del tiempo de viaje de ida al trabajo es de
24.3 minutos. El tiempo de viaje más largo pertenece a la ciudad de Nueva
York, donde el tiempo medio es de 38.3 minutos. Suponga que la
distribución de los tiempos de viaje en la ciudad de Nueva York tiene una
distribución de probabilidad normal y la desviación estándar es de 7.5
minutos.
Probabilidad acumulada.
0.6915
Probabilidad acumulada.
0.6915
0.4013
Probabilidad acumulada.
0.4013
µ = 38.3 min. σ = 7.5 min.
z = x − 𝜇
𝜎
EJERCICIOS DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD NORMAL ESTÁNDAR
70000 80000 μ
65000 70000 80000 μ
65000 70000 μ
a) ¿Qué porcentaje de viajes en la ciudad de Nueva York consumen
menos de 30 minutos?
p(x ≤ 30)
z = 30 – 38.3
7.5 =
− 8.3
7.5 = −1.11 =
p(x ≤ 30) = 0.1335 = 13.35%
b) ¿Qué porcentaje de viajes consumen entre 30 y 35 minutos?
p (30 ≤ x ≤ 35)
z = 35 – 38.3
7.5 =
−3.3
7.5 = −0.44 =
z = 30 – 38.3
7.5 =
− 8.3
7.5 = −1.11 =
p(30 ≤ x ≤ 35) = 0.3300 – 0.1335 = 0.1965 = 19.65%
c) ¿Qué porcentaje de viajes consumen entre 30 y 40 minutos?
p (30 ≤ x ≤ 40)
z = 40 – 38.3
7.5 =
1.7
7.5 = 0.23 =
z = 30 – 38.3
7.5 =
−8.3
7.5 = −1.11 =
p (30 ≤ x ≤ 40) = 0.5910 – 0.1335 = 0.4575 = 45.75%
4. Una distribución normal tiene una media de 80 y una desviación estándar
de 14. Determine el valor por encima del cual se presentará 80% de las
observaciones.
Probabilidad acumulada.
0.1335
Probabilidad acumulada.
0.3300
0.1335
Probabilidad acumulada.
0.5910
0.1335
µ = 80 σ = 14
Probabilidad acumulada.
80% = .8000
z = x − 𝜇
𝜎
EJERCICIOS DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD NORMAL ESTÁNDAR
EJERCICIOS DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD NORMAL ESTÁNDAR
30 38.3 μ
30 35 38.3 μ
30 38.3 μ
En este ejemplo ya no se tiene que calcular la probabilidad (área) entre valores
dados de x, sino que se tiene que calcular el o los valores de x a partir de
porcentajes ó probabilidades que representan el valor de z.
Y para encontrar el valor de x, tenemos que sustituir el valor de z en la formula y
después despejar x.
Al conocerse el porcentaje del cual queremos obtener un valor x, en este caso 80%,
se debe tomar en cuenta que este 80% también
representa una probabilidad de .8000, esta
probabilidad se la vamos a restar a 1 porque lo
que queremos saber es a partir de qué valor de x
empieza ese 80% de observaciones, es decir por
encima de ese valor.
Entonces tenemos que: 1 – 0.8000 = 0.2000.
Este resultado que también es una probabilidad
la tenemos que localizar en una tabla de
probabilidades acumuladas de la distribución
normal estándar, y así encontraremos el valor z
que le corresponde, al ubicar este valor lo
podemos sustituir en la formula y encontrar x.
a) Buscar en la tabla de probabilidades de la
distribución normal estándar, el valor de z que tenga la probabilidad .2000 o la
probabilidad que más se le acerque a esta.
b) El valor de z que corresponde a esta probabilidad es -0.84.
c) Ahora ya se puede sustituir z en la
formula y encontrar el valor de x.
-0.84 = x − 80
14
-0.84 × 14 = x – 80
-11.76 = x – 80
-11.76 + 80 = x
z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06
… … … … … … … … … … … … … … … …
− 0.9 0.1841 0.1814 0.1788 0.1762 0.1736 0.1711 0.1685 − 0.8 0.2119 0.2090 0.2061 0.2033 0.2005 0.1977 0.1949 − 0.7 0.2420 0.2389 0.2358 0.2327 0.2296 0.2266 0.2236 − 0.6 0.2743 0.2709 0.2676 0.2643 0.2611 0.2578 0.2546 − 0.5 0.3085 0.3050 0.3015 0.2981 0.2946 0.2912 0.2877
… … … … … … … …
80% ó 0.8000
20% ó 0.2000
X
X
z = x − 𝜇
𝜎
x = 68.24
5. Las ventas mensuales de silenciadores en el área de Richmond, Virginia,
tiene una distribución normal, con una media de $1,200 y una desviación
estándar de $225. Al fabricante le gustaría establecer niveles de
inventario de manera que solo haya 5% de probabilidad de que se agoten
las existencias. ¿Dónde se
deben establecer los niveles
de inventario?
1 - 0.0500 = 0.9500 Valor z = 1.65
1.65 = x – 1,200
225
1.65 × 225 = x − 1,200
371.25 = x − 1,200
x = 1,200 + 371.25
x = 1,571.25
6. En 2004 y 2005, el costo medio anual para asistir a una universidad
privada en Estados Unidos era de $20,082. Suponga que la distribución de
los costos anuales se rigen
por una distribución de
probabilidad
normal y que la
desviación estándar es de
$4,500. El 95% de los
estudiantes de
universidades privadas paga menos de ¿Qué cantidad?
X = 68.24
EJERCICIOS DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD NORMAL ESTÁNDAR
µ = 1,200 σ = 225
Probabilidad acumulada.
5% = .0500
z = x − 𝜇
𝜎
z = x − 𝜇
𝜎
5% ó 0.0500
µ = 20,082 σ = 4,500
Probabilidad Valor acumulada. de z
95% = .9500 = 1.64
z = x − 𝜇
𝜎
X = 1,571.25
1.64 = x – 20,082
4,500
1.64 × 4,500 = x − 20,082
7,380 = x − 20,082
x = 20,082 + 7,380
x = 27,462.
7. El fabricante de una impresora láser informa que la cantidad media de
páginas que imprime un
cartucho antes de
reemplazarlo
es de 12,200. La
distribución de
páginas impresas por
cartucho se aproxima a la
distribución de probabilidad normal y la
desviación estándar es de 820 páginas.
El fabricante desea proporcionar
lineamientos a los posibles clientes
sobre el tiempo que deben esperar que
les dure un cartucho. ¿Cuántas páginas
debe indicar el fabricante por cartucho
si desea obtener 99% de certeza en todo momento?
1 -0.99 = 0.01
Valor z = - 2.33
- 2.33 = x – 12,200
820
−2.33 × 820 = x − 12,200
− 1,910.6 = x − 12,200
z = x − 𝜇
𝜎
X = 27,46275
95% ó 0.9500
EJERCICIOS DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD NORMAL ESTÁNDAR
z = x − 𝜇
𝜎
99% ó 0.9900
µ = 12,200 σ = 820
Probabilidad acumulada.
99% = .9900
z = x − 𝜇
𝜎
x = 12,200 − 1,910.6
x = 10,289.4
Lind, D. A., W. G. Marchal, y S. A. Wathen. (2008). Estadística aplicada a los
negocios y a la economía. (13a Ed). México: McGraw-Hill. 239 - 242.
BIBLIOGRAFÍA
X = 14,110.6