Ejercicios Intervalos de Confianza_2012

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    Probabilidad y Estadstica Mayo, 2012

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    EJERCICIOS PROPUESTOS PARA INTERVALOS DE

    CONFIANZA Y TAMAO MNIMO DE MUESTRA

    INTERVALOS DE CONFIANZA PARA LA MEDIA CON VARIANZA POBLACIONAL CONOCIDA

    1. Un fabricante produce anillos para los pistones de un motor de automvil. Se sabe que eldimetro del anillo est distribuido aproximadamente de manera normal, y que tiene una

    desviacin estndar = 0.001 mm. Una muestra aleatoria de 15 anillos tiene un dimetro

    promedio de = 74.036 mm.

    a. Construya un intervalo de confianza bilateral del 99% para el dimetro promediodel anillo.

    b. Construya un lmite inferior de confianza del 95% para el dimetro promedio delanillo.

    2. Se sabe que la duracin, en horas, de un foco de 75 watts tiene una distribucin aproxima-damente normal, con una desviacin estndar de = 25 horas. Se toma una muestra

    aleatoria de 20 focos, la cual resulta tener una duracin promedio de = 1014 horas.

    Construya un intervalo de confianza bilateral del 95% para la duracin promedio.

    3. Un ingeniero civil analiza la resistencia a la comprensin del concreto. La resistencia estdistribuida aproximadamente de manera normal, con una varianza = 1000 (psi)2. Al tomar

    una muestra aleatoria de 12 especmenes, se tiene que = 3250 psi.

    a. Construya un intervalo de confianza bilateral del 95% para la resistencia a la com-presin promedio.

    b. Construya un intervalo de confianza bilateral del 99% para la resistencia a la com-presin promedio. Compare el ancho de este intervalo de confianza con el ancho

    encontrado en el inciso a.

    4. En un estudio hecho para determinar el tiempo medio necesario para el montaje de ciertapieza de una maquina, 40 trabajadores hicieron un promedio de 42.5 minutos con una

    desviacin tpica de 3.8 minutos.

    Usar los datos para construir un intervalo de confianza de 98% de tiempo promedio

    verdadero necesario para montar la maquina.

    5. Se encuentra que la concentracin promedio de zinc que se saca del agua a partir de unmuestra de mediciones de zinc en 36 sitios diferentes es de 2.6 gramos por mililitro.

    Encuentre los intervalos de confianza de 95% y 99% para la concentracin media de zinc

    en el ro. Suponga que la desviacin estndar de la poblacin es 0.3.

    6. En un experimento de laboratorio 50 estudiantes de ingeniera midieron por separado elcalor especfico del aluminio, obteniendo una media de 0.2210 caloras/C/g. Se sabe que

    la desviacin estndar de la poblacin es 0.0240 Qu podemos asegurar, con una

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    probabilidad de 0.95, con respecto a la posible magnitud de error, si la media de la

    muestra se utiliza para estimar el verdadero valor especfico del aluminio?

    7. Para tratar de estimar la media de consumo por cliente, en un gran restaurante, sereunieron datos de una muestra de 49 clientes durante un periodo de tres semanas. Si la

    media de la muestra es de $ 22.60 dlares, Cul es el intervalo de confianza de 95% para

    la media de la poblacin? Considere la desv. Estndar poblacional = $5.60 dlares.

    8. Una muestra aleatoria de 100 propietarios de automvil en la ciudad de Bogot indica quelos automviles recorren anualmente en promedio 25 000 kilmetros. Si la desviacin

    estndar poblacional es de 4000 kilmetros. Calcule e interprete un intervalo de confianza

    del 95% para el verdadero recorrido promedio anual.

    INTERVALOS DE CONFIANZA PARA LA MEDIA CON VARIANZA POBLACIONAL

    DESCONOCIDA

    1. Una mquina produce piezas metlicas de forma cilndrica. Se toma una muestra depiezas cuyos dimetros son 1.01, 0.97, 1.03, 1.04, 0.99, 0.98, 0.99, 1.01, 1.03

    centmetros. Encuentre un intervalo de confianza del 99% para el dimetro promedio de

    piezas de esta mquina, si supone una distribucin aproximadamente normal.

    2. Una muestra aleatoria de 8 cigarrillos de una marca determinada tiene un contenidopromedio de nicotina de 2.6 miligramos y una desviacin estndar de 0.9 miligramos.

    Determine un intervalo de confianza del 99% para el contenido promedio real de nicotina

    de esta marca de cigarros en particular, asumiendo que la distribucin de los contenidos

    de nicotina es aproximadamente normal.

    3. Se toma una muestra aleatoria de 12 agujas de tejer en un estudio de la dureza Rockwellde la cabeza de las agujas. Se realizan las mediciones de la dureza para cada una de las 12

    piezas, de lo que se obtiene un valor promedio 48.50 con una desviacin estndar de 1.5.

    Suponiendo que las mediciones estn normalmente distribuidas, determine un intervalo

    de confianza del 90% para la dureza Rockwell promedio.

    4. Una muestra aleatoria de 12 alumnas graduadas de una escuela secretarial mecanografiun promedio de 79.3 palabras por minuto con una desviacin estndar de 7.8 palabras

    por minuto. Suponiendo que las palabras estn normalmente distribuidas, determine un

    intervalo de confianza del 95% para el nmero promedio de palabras mecanografiadas

    por todas las graduadas de esa escuela.

    5. Los datos que a continuacin se le dan son los pesos en gramos del contenido de 16 cajasde cereal que se seleccionaron de un proceso de llenado con el propsito de verificar el

    peso promedio:

    506 508 499 503 504 510 497 512

    514 505 493 496 506 502 509 496

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    a. Si el peso de cada caja es una variable aleatoria normal, obtenga un intervalo deconfianza de 90% para la verdadera media de llenado de este proceso.

    b. Calcule al mismo nivel de confianza el invervalo de confianza de la desviacinestndar del llenado de cereal.

    6. Para determinar el rendimiento anual de ciertos valores, un grupo de inversionistastom una muestra de n =10 de esta clase de valores. La media y desviacin estndar

    resultaron: = 8.71% y s = 2.1%. Estime el verdadero rendimiento anual promedio para

    esta clase de valores usando un intervalo de confianza del 95%.

    7. Un muestreo aleatorio de n =24 artculos en un supermercado presenta una diferenciaentre el valor marcado del artculo y el valor real de ste. La media y la desviacin

    estndar de las diferencias entre el precio marcado y el real en los 24 artculos son $37.14

    y $6.42 respectivamente. Encuentre un intervalo de confianza del 95% para la diferencia

    media entre el valor marcado y el real por artculo en ese supermercado.

    8. Un contratista ha construido un gran nmero de casas aproximadamente del mismotamao y del mismo precio. El contratista afirma que el valor promedio de estas casas no

    excede de $35,000 dlares. Un corredor de bienes races selecciona aleatoria mente 5 de

    las casas construidas recientemente por el contratista y averigua los precios que resultan

    ser: $34,500, $37,000, $36,000, $35,000 y $35,500. Contradicen estas cinco

    observaciones la afirmacin del contratista acerca del valor promedio de sus casas?. Use

    =0.05

    9. Los siguientes datos corresponden a los pesos en Kg de 15 hombres escogidos al azar: 72,68, 63, 75, 84, 91, 66, 75, 86, 90, 62, 87, 77, 70, 69. Obtenga e interprete un intervalo de

    confianza del 95% para el verdadero peso promedio.

    10.Se obtiene una muestra de 16 estudiantes con una = 68 y una varianza de s2= 9 en unexamen de estadstica. Suponga que las calificaciones tienen una distribucin normal;

    determine un intervalo de confianza del 98% para la media poblacional.

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    INTERVALOS DE CONFIANZA PARA PROPORCIONES

    1. Tomada, al azar, una muestra de 120 estudiantes de una Universidad, se encontr que 54de ellos hablaban ingls. Halle, con un nivel de confianza del 90%, un intervalo de

    confianza para estimar la proporcin de estudiantes que hablan el idioma ingls entre losestudiantes de esa Universidad.

    2. Tomada una muestra aleatoria de 300 personas mayores de edad de una gran ciudad, seobtuvo que 105 haban votado a un determinado partido X. Halle, con un nivel de

    confianza del 90%, un intervalo de confianza que permita estimar la proporcin de

    votantes del partido X en esa ciudad.

    3. Para estimar, por medio de un intervalo de confianza, la proporcin p de individuosmiopes de una poblacin, se ha tomado una muestra de 80 individuos con la que se ha

    obtenido un porcentaje de individuos miopes del 35%. Determine, usando un nivel de

    confianza del 99%, el correspondiente intervalo de confianza para la proporcin de miopes

    de toda la poblacin.4. En una encuesta realizada a 500 mujeres adultas de una poblacin se encontr que 300 de

    ellas estn casadas actualmente. Construya con estos datos un intervalo de confianza, con

    un nivel del 90%, para la proporcin de mujeres adultas actualmente casadas en esa

    poblacin.

    5. Una muestra aleatoria de automviles tomada en una zona turstica ha permitido obtenerun intervalo de confianza, al nivel del 95%, para estimar de la proporcin de matrculas

    extranjeras de esa zona, siendo sus extremos 0,232 y 0,368.

    a. Determine el valor de la proporcin estimada a travs de esa muestra y una cotadel error de estimacin a este nivel de confianza.

    b. Utilizando el mismo nivel de confianza, cul sera la cota de error, si esa mismaproporcin se hubiera observado en una muestra de 696 matrculas.

    6. Para conocer la audiencia de uno de sus programas (proporcin de televidentes que loprefieren), una cadena de TV ha encuestado a 1000 personas elegidas al azar obteniendo

    una proporcin muestral del 33% de personas favorables a ese programa. Calcule una cota

    del error de estimacin, por medio de un intervalo de confianza, con un nivel del 92%.

    7. En una muestra aleatoria de 600 coches de una ciudad, 120 son de color blanco. Construyaun intervalo de confianza de la proporcin de coches de color blanco con un nivel de

    confianza del 98%.

    8. Se estima la proporcin de varones adultos, residentes en una poblacin, con obesidadsevera 40IMC30 , mediante una muestra aleatoria de tamao 500. Se obtiene unaestimacin de varones con obesidad severa del 18%. Utilizando un nivel de confianza del

    98%, cul es el error mximo que se cometer al estimar, por medio de un intervalo de

    confianza, esa proporcin?.

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    INVERVALOS DE CONFIANZA PARA LA VARIANZA Y DESVIACIN ESTNDAR

    En los ejercicios 1 a 4 calcula el intervalo de confianza para varianza y la desviacin estndar con

    los siguientes datos.

    1. Estatura de mujeres: confianza 95%; n=10; =63.4 pulg; s=2.4 pulg.2. Promedio de calificaciones: confianza 99%; n=15; =2.76; s=0.88.3. Puntajes en una prueba: confianza 90%; n=16; =77.6; s=14.2.4. Salarios de policas: confianza 95%; n=19; =$23 228; s=$8 779.5. Un fabricante de bateras para automvil asegura que las bateras que produce duran en

    promedio 2 aos, con una desviacin tpica de 0.5 aos. Si 5 de estas bateras tienen

    duracin 1.5, 2.5, 2.9, 3.2, 4 aos, determine un intervalo de confianza del 95% para la

    varianza e indique si es vlida la afirmacin del fabricante.

    6. Se extrajo una muestra aleatoria de 16 plantas para estimar la varianza en la conoce lasplantas halladas en el Ro Tinto. Se quemaron las plantas, se analizaron sus ceniza

    siguientes observaciones con respecto a X , concentracin de cobre (en partes por mi X

    est normalmente distribuida):

    { 5, 3, 34, 18, 27, 14, 8, 50, 38, 43, 35, 20, 70, 25, 60,19}

    Calcular el intervalo de confianza del 90 % de la desviacin tpica poblacional.

    7. En una muestra de tabletas de aspirinas, de las cuales observamos su peso expresado engramos, obtenemos: 1,19; 1,23; 1,18; 1,21; 1,27; 1,17; 1,15; 1,14; 1,19; 1,2. Suponiendo la

    normalidad para esta distribucin de pesos, determinar un intervalo al 80% de confianzapara la varianza.

    8. La panificadora de Soriana produce bizcochos que se empacan en cajas cuyos rtulosdicen que contienen 12 bizcochos con un peso total de 42 oz. Si la variacin entre los

    bizcochos es demasiado grande, algunas cajas pesaran menos de lo debido y otras ms. El

    supervisor de control de calidad determin que se puede evitar problemas si los bizcochos

    tienen una media de 3.50 oz y una desviacin estndar de 0.06 oz o menos.

    Se seleccionan aleatoriamente 12 bizcochos de la lnea de produccin y se pesan.

    Construya un intervalo de confianza al 95% de nivel de confianza para 2 y , y luego

    concluya si el supervisor de control de calidad est en problemas.

    3.43 3.37 3.58 3.50 3.68 3.61

    3.42 3.52 3.66 3.50 3.36 3.42

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    TAMAO MNIMO DE MUESTRA

    1. En una muestra aleatoria de 300 personas mayores de edad de una gran ciudad seencontr que 105 lean un determinado peridico X. A la vista de esos datos se pretende

    seleccionar una nueva muestra para conseguir un de error de 3 centsimas como mximo,

    con un nivel de confianza del 95%, para la estimacin de la proporcin de lectores de eseperidico por medio de un intervalo de confianza. Deduzca el nmero de individuos de la

    poblacin que, como mnimo, debe tener la muestra.

    2. Se desea estimar, por medio de un intervalo de confianza, la proporcin p de individuosdaltnicos de una poblacin a travs del porcentaje observado en una muestra aleatoria

    de individuos de tamao n . Si el porcentaje de individuos daltnicos en una muestra

    aleatoria es igual al 30%, calcule el valor mnimo de n para que, con un nivel de confianza

    del 95%, el error que se cometa en la estimacin sea inferior a 0,031.

    3. Se desea conocer el peso promedio de una determinada clase de pescado con un error deestimacin de 0.02 y con un nivel de confianza del 99%. Por datos anteriores se sabe que

    el peso mnimo es 1.48 libras y el mximo es de 2.47 libras. De qu tamao debe escoger

    la muestra? Suponga que los pesos de estos pescados se distribuyen normalmente.

    4. Para estimar la proporcin de familias con un solo hijo en una ciudad, se ha tomado unamuestra de familias al azar, de las cuales el 30% tiene un solo hijo. Cul es el mnimo

    tamao muestral necesario para que, con esos datos, un intervalo de confianza de esa

    proporcin a un nivel del 95% tenga una cota de error de 0.06, como mximo?

    5. Una cadena de TV quiere saber si la audiencia de uno de sus programas siguemantenindose en el 25% de los espectadores. Cuntos espectadores se deberanencuestar al azar, como mnimo, para tener un nivel de confianza del 90% de que el error

    en la estimacin de la proporcin actual sea igual o inferior a 0,03?

    6. Calcule el tamao mnimo de una muestra aleatoria de jvenes entre 18 y 25 aos paratener una confianza del 95% de que el error que se cometer al estimar la proporcin de

    fumadores entre esas edades no sea superior a 0.05, sabiendo que en una encuesta previa

    se ha encontrado un 32% de fumadores entre estos jvenes.

    7. Una mquina llena cajas con cierto cereal. El supervisor desea conocer con un error deestimacin de mximo 0.1 y un nivel de confianza del 90%, una media estimada del peso.

    Como la varianza era desconocida se procedi a escoger una muestra piloto. Los

    resultados fueron los siguientes: 11.02, 11.14, 10.78, 11.59, 11.58, 11.19, 11.71, 11.27,

    10.93, 10.94. Cuntas cajas debe escoger para que se cumplan los requisitos propuestos?

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    SOLUCIONESINTERVALOS DE CONFIANZA Y TAMAO MNIMO DE MUESTRA

    INTERVALOS DE CONFIANZA PARA LA MEDIA CON VARIANZA POBLACIONAL CONOCIDA

    1a. E=0.00067; (74.0353, 74.0367)

    2a. E=0.0005; (74.0355, 74.0365)

    2. E=10.9565; (1003.0435, 1024.9565)

    3a. E=17.8904; (3232.1096, 3267.8904)

    3b. E=23.5119; (3226.4881, 3273.5119)

    4. E=1.46; (41.04, 43.96) Distribucin t

    5a. E=0.0980; (2.5020, 2.6980)

    5b. E=0.1288; (2.4712, 2.7288)

    6. E=0.0067; (0.2143, 0.2277)

    7. E=1.5680; (21.0320, 24.1680)

    8. E=783.9856; (24216.0144, 25783.9856)

    INTERVALOS DE CONFIANZA PARA LA MEDIA CON VARIANZA POBLACIONAL

    DESCONOCIDA

    1. E=0.0280; (0.9776, 1.0336)2. E=1.1135; (1.4865, 3.7135)

    3. E=0.7776; (47.7224, 49.2776)

    4. E=4.9559; (74.3441, 84.2559)

    5a. E=3.3037; (500.45, 507.05)

    5b. (4.803, 8.911)

    6. E=1.5022; (7.2078, 10.2122)

    7. E=2.7109; (34.4291, 39.8509)

    8. E=1194.195; (34405.80, 36794.20)

    9. E=5.4104; (70.2566, 81.0774)

    10. E=1.9519; (66.0481, 69.9519)

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    INTERVALOS DE CONFIANZA PARA PROPORCIONES

    1. E=0.0747; (0.3753, 0.5247)

    2. E=0.0453; (0.3047, 0.3953)

    3. E=0.1374; (0.2126, 0.4874)4. E=0.0360; (0.5640, 0.6360)

    5a. E=0.068; =0.3

    5b. E=0.0341; (0.2662, 0.3343)

    6. E=0.0260; (0.3040, 0.3560)

    7. E=0.0380; (0.1620, 0.2380)

    8. E=0.0400; (0.1400, 0.2200)

    INVERVALOS DE CONFIANZA PARA LA VARIANZA Y DESVIACIN ESTNDAR

    1. 2

    =(18.187, 128.115); =(4.265, 11.319)2. 2=(0.346, 2.661) ; =(0.588, 1.631)

    3. 2=(121.004, 416.557) ; =(11.000, 20.410)

    4. 2=(44003631.453, 168547917.692) ; =(6633.523, 12982.601)

    5. 2=(0.304, 6.989) ; =(0.551, 2.644)

    6. 2=(226.320, 779.106) ; =(15.044, 27.912)

    7. 2=(0.001, 0.003) ; =(0.030, 0.056)

    8 2=(0.006, 0.034) ; =(0.077, 0.185)