Ejercicios Ley de Seno y Coseno

Elaborado por: IQI Juan A. Trejo Peña LE. Enrique Rodríguez Tut

TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS La ley de Senos.

En todo triángulo, cada lado es proporcional al seno

trigonométrico de su ángulo opuesto.

Basándonos en el triángulo dibujado a continuación y en las nomenclaturas de sus elementos,

podemos escribir la ley de senos de la siguiente manera: A

CSen

c

BSen

b

ASen

a ==

c b B a C Aplicaremos esta ley a la solución de triángulos oblicuángulos cuando se dé alguno de los siguientes casos: Caso I. Dado un lado y dos ángulos cualesquiera. Caso II. Dados dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos. (Caso ambiguo)

La ley de cosenos

En todo triángulo, el cuadrado de un lado es igual a la suma de los

cuadrados de los otros dos lados menos el doble producto de esos

lados multiplicado por el coseno del ángulo comprendido entre dichos

lados

Basándonos en un triángulo oblicuángulo como el utilizado en los casos anteriores, podemos escribir la ley de cosenos de la siguiente forma: A

c b

B a C a CASO III. Dados dos lados y el ángulo comprendido entre ellos Caso IV. Dados los tres lados

CCosabbac

BCosaccab

ACosbccba

2

2

2

222

222

222

−+=−+=−+=


EJERCICIOS RESUELTOS I. Resuelve los siguientes triángulos oblicuángulos (ABC) cuyos datos son:

1. <A = 80º 2. <A = 55º

3. <B = 35º 4. <C = 42,1

5. <A = 110º20'

6. <A = 100º30'

7. <B = 39º

8. a = 4 cm

9. a = 24.5 cm 10. a = 29.3 Km

<B= 8º15' <C= 61º30' <C= 44º25' a= 3.6 a= 8.5

b= 25 cm

a= 15 cm

b= 5 cm

b= 18.6 cm

b= 40.6 Km

Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y

b= 81 cm a= 63.3 cm a= 8.00 cm c= 3.13 cm c= 6.10 cm c= 45 cm c= 8 cm c= 8 cm

c= 25.2 cm

c= 34.1 Km

1.- < A = 80º, < B= 8º15' Y b= 81 cm

Solución: A 80º 81 cm 8º15’ C B < C = 180º - (80º+8º15’) => 179º60’ – 88º15’ = 91º 45’ 81 / Sen 8º 15’ = a / Sen 80º �� a = (81 x .9848) / .1435 = 555.88 cm c / Sen 91º 45’ = 81 / Sen 8º 15’ �� c = ( 81 x .9997) / .1435 = 564.28 cm 2.- <A = 55º, <C= 61º30' Y a= 63.3 cm Solución: B 63.3 cm 61º30’ 55º C A < B = 179º 60’ - ( 55º + 61º 30’) = 63º 30’ b / Sen 63º 30’ = 63.3 / Sen 55º �� b = ( 63.3 x .8949) / .8191 = 69.16 cm. c / Sen 61º 30’ = 63.3 / Sen 55º �� c = (63.3 x .8788) / .8191 = 67.91 cm.


3.- <B = 35º <C= 44º25' Y a= 8.00 cm Solución: A 44º25’ 35º C B 8 cm < A = 179º 60’ - (35º + 44º 25’) = 100º 35’ b/ Sen 35º = 8 / Sen 100º 35’ �� b = ( 8 x .5736) / .9830 = 4. 67 cm. c /Sen 44º 25’ = 8 / Sen 100º 35’ �� c = ( 8 x .6999) / .9830 = 5.70 cm 4.- <C = 42,1 a= 3.6 Y c= 3.13 cm Solución: B 3.13 cm 3.6 cm 44º 10’ A C 3.13 / Sen 42º = 3.6 / Sen A �� < Sen A = ( 3.6 x Sen 42º ) / 3.13 = 0.7696 < A = 50º 19’ < B = 179º 60’ – ( 42º + 50º 19’) = 87º 41’ b / Sen 87º41’ = 3.13 / Sen 42º �� b = ( 3.13 x .9992) / .6691 = 4.67 5.- <A = 110º20' a= 8.5 Y c= 6.10 cm Solución: B 8.5cm 6.1 cm 110º 20’ A C 8.5 / Sen 110º 20’ = 6.1 / Sen C �� Sen C = ( 6.1 x .9377) / 8.5 = .6729 < C = 42º 18’ < B = 179º 60’ – ( 110º20’ + 42º18’) = 27º 22’ b / Sen 27º 22’ = 8.5 / 110º 20’ �� b = ( 8.5 x .9377) / 8.5 = 4.17


6.- <A = 100º30' b= 25 cm Y c= 45 cm Solución: C 25 cm 100º 30’ A 45 B a2 = 252 + 452 – 2 (25)(45) Cos 110º 30’ = 625+2025 –(-410) = 3060 a =3060= 55.32 55.32 / Sen 110º 30’ = 25 / Sen B �� Sen B = (25x .9833) / 55.32 = .4443 < B = Sen –1 .4443 = 26º 23’ < C = 179º 60’ – (100º 30’ + 26º 23’) = 53º 7’ 7.- <B = 39º a= 15 cm Y c= 8 cm Y c= 8 cm Solución: B 39º 8cm 15cm

A C

b2 = 82 + 152 - 2 (8)(15) Cos 39º b2 = 64 + 225 - 240 x .7771 �� = 289- 186.50 = 102.5 �� b = 10.12 10.12 / Sen 39º = 15 / Sen A �� Sen A = (15xSen 39º)/10.12 = .9328 < A = Sen-1 .9328 �� <A = 111º 8' < C= 179º 60' - ( 39º+111º 8') =29º 52' 8.- a = 4 cm b= 5 cm Y c= 8 cm Solución: C 5 cm 4 cm

A B 8 cm c2 = a2 + b2 - 2ab Cos C �� Cos C = (a2 +b2-c2)/ 2ab Cos C = (16 + 25 -64)/ 40 = - 0.575 �� < C = Cos-1-.575 = 125º 6' 8 / Sen125º 6' = 4 / Sen A �� Sen A = ( 4 x Sen 125º 6')/ 8 Sen A = .4091 �� <A = 24º 9' y < B =179º60'-(24º9'+125º6')=30º 45'


9.- a = 24.5 cm b= 18.6 cm Y c= 25.2 cm Solución: C

18.6 cm 24.5 cm A B 25.2 cm 25.22 = 18.62 + 24.52 - 2(18.6)(24.5)Cos C �� Cos C= (600.25+345.96-635.04)/911.4=.3414 �� <C= Cos-1 .3414 = 70º2' 24.5/ Sen A = 25.2 / Sen 70º 2' �� Sen A = .9138 �� <A= 66º 2' < B = 179º 60' - ( 66º2'+ 70º 2') = 43º56'

10.- a = 29.3 Km b= 40.6 Km Y c= 34.1 Km Solución: C 40.6 km 29.3 km A B 34.1 km ( 40.6)2= (29.3)2 + (34.1)2 - 2(29.3)(34.1) Cos B �� Cos B= (1648.36-858.49-1190.25)/2021.7 = .1980 �� < B= 78º 35' 40.6 / Sen 78º 35' = 29.3 / Sen A �� Sen A = (29.3x Sen 78º 35') / 40.6 = .707 < A = 45º 1' y < C = 179º 60' - ( 45º 1'+ 78º35') = 56º 25' II. Resuelve los siguientes problemas 11. - Dos hombres que están en el campo en un llano, separados 3000 mts. uno del otro,

observan un helicóptero. Sus ángulos de elevación respecto al objeto volador son 60º y 75º. Determinar la altura a que se encuentra en ese momento el helicóptero.

Solución: ' ' ' ' ' ' A 60º ' 75º B 3000 mts < C = 180º - (60º+ 75º) = 45º 3000/ Sen 45º = b / sen 75º �� b = (3000x.9659)/.7071 = 409.8 Sen 60º = h / 409.80 �� h = 409.80 x .866 = 3549 mts.


12.- Un puente de 24 metros de largo une 2 colinas cuyas laderas forman con el horizonte ángulos de 23º y 32º. Cuál es la altura del puente con respecto al vértice del ángulo formado por las dos laderas.

Solución: A 24 B 24 mts 23º 32º 23º 32º < C = 180º - ( 32º+ 23º) = 125º 24 / Sen 125 = a / Sen 32º �� a = (24x .5299)/ .8192 = 15.52 Sen 23º = h / 15.52 �� h = 15.52x .3907 = 6.06 mts. 13.- Los lados paralelos de un trapecio miden 78.23 y 106 cm. respectivamente, y los ángulos

en los extremos del último de dichos lados son 57º30'y 69º40'. Cuánto miden los lados no paralelos del trapecio.

Solución: 78.23 cm ' b ' ' a ' h h ' 57º 3'0’ ' 69º 40º ' ' x 106 cm 27.77-x Tan 69º 40' = h / x y Tan 57º 30' = h /(27.77-x) h=h �� x Tan 60º 40' = (27.77-x) Tan 57º 30' 2.70 x = 43.59 - 1.57 x 2.70x+ 1.57x =43.59 �� x= 10.20 Cos 69º 40' = 10.20/a �� a = 10.20x Cos 69º40'= 29.35 cm. Cos 57º 30' = (27.77-10.20)/b �� b= 17.57/.5373 = 32.70 cm. 14.- Para calcular la anchura BC de una bahía se miden, desde un punto A, las distancias

AB=8 Km y AC=9 Km, y el ángulo BAC=65º30'. ¿Cuál es el ancho de la bahía ? Solución: B C B a C

8 9

65º 30’ A A a2= 64+ 81 - 2(8)(9) Cos 65º 30' = 145 - (144 x .4147) = 145-59.72=85.28 a = 9.23 km.


51º 40’

38º 20’

15.- Sobre un peñasco situado en la ribera de un río se levanta una torre de 125 metros de altura. Desde el extremo superior de la torre el ángulo de depresión de un punto situado en la orilla opuesta es de 28º40'y desde la base de la torre el ángulo de depresión del mismo punto es 18º20'. Encontrar el ancho del río y la altura del peñasco.

T 28º 40’ 125 mts B 18º 20’ ' ' t ' h ' ' A C '

x Considerando el Triángulo ABT < ATB= 61º20' y < TBC = (18º20'+90º)=108º20' y <TAB= 10º20' 125 / Sen 10º 20 ' = t / Sen 61º 20' �� b= (125xSen 61º20')= 611.37 mts. Ahora trabajando con el triángulo rectángulo ABC. < ABC = 71º40'. Cos 71º 40' = h / 611.37 �� h = 611.37 x .3145 =192.30 mts. Sen 71º 40' = x/611.37 �� x = 611.37 x .9492 = 580.34 mts. 16.- Un piloto sale de A y vuela 125 millas en dirección N–38º20'–O. Trata entonces de regresar al punto de partida, pero por un error, vuela 125 millas en dirección S–51º40'–E. Calcular a que distancia se encuentra de A y cual ha de ser la dirección que ha de tomar ahora para llegar a A Solución: O E S N O E A S d2= 1252+1252-2(125)(125)Cos13º20'�� d2 = 31,250-31,250x.9730= 842.3 �� d= 29.2 km y dirección Suroeste.


17.- Se va construir un túnel a través de una montaña desde A hasta B. Un punto C que es visible desde A y B se encuentra a 384. 8 mts. de A y 555.6 mts. de B. Cuál es la longitud del túnel si < ABC=35º40'.

Solución: C

A B 555.6 / Sen A = 384.8 / sen 35º 40' �� Sen A = (555.6 Sen 35º 40')/384.8 = .8419 < A = 57º 20' y < ACB = 179º 60' - ( 57º20'+35º40') = 87º d / Sen 87º = 384.8 / Sen 35º 40' �� d = (384.8 x Sen 87º)/ Sen 35º 40' => d= 384.27/.5831= 659.06 mts. 18.- Un navío sale exactamente hacia el este a una velocidad uniforme. A las 7 horas se

observa un faro exactamente hacia el norte a 10.32 millas y a las 7:30 hrs. el faro está a 18º10' al oeste del norte. Hallar la velocidad a que salió el barco y el rumbo a las 10 horas.

Solución: N

Tan 18º 10' = d / 10.32 �� d = 3.39 millas . v = d / t �� v = 3.39 mi/.5 h = 6.77 mi/h Distancia de A hasta C = 6.77mi/hrx 3 hr = 20.32 millas. �� Tan C = 10.32/20.32=.5078 < C = 26º 55' �� Rumbo es N-63º5'-O


EJERCICIOS PROPUESTOS

1 El navegante de un barco visualiza dos faros separados tres millas entre sí a lo largo de un tramo recto de la costa. Determina que los ángulos formados entre las dos líneas visuales a los faros y la visual perpendicular a la costa miden 15º y 35º respectivamente. ¿Qué tan lejos está el barco de la costa?

2. Para medir la altura de una montaña, un topógrafo toma dos visuales de la cima desde dos posiciones separadas entre sí 900 metros sobre una línea directa a la montaña. La primera inclinación da un ángulo de elevación de 47º y la segunda inclinación da un ángulo de 35º Si el tránsito está a dos metros del suelo, ¿cuál es la altura de la montaña?


3. La estación Able está situada a 150 millas al sur de la estación Baker. Un barco envía una llamada de auxilio que es recibida por las dos estaciones. La llamada a la estación Able indica que el barco se encuentra a 35º al nordeste; la llamada a la estación Baker indica que el barco está a 30º al sureste. Calcula la distancia del barco a cada estación y su distancia a la costa.

4. La famosa torre inclinada de Pisa tenía originalmente 184.5 pies de altura. Si nos alejamos 123 pies de la base de la torre, encontramos que el ángulo de elevación a la parte superior de la torre es de 60º Calcula el ángulo de inclinación de la torre. Con respecto al suelo


LEY DE SENOS 1.- Dos hombres que están en el campo en un llano, separados 3,000 metros uno del otro,

observan un helicóptero. Sus ángulos de elevación con respecto al objeto volador son 60º y 75º. Determina la altura a que se encuentra en ese momento el helicóptero.

h = 3,549.038 m 2.- Un puente de 24 metros de largo une dos colinas cuyas laderas forman con el horizonte

ángulos de 23º y 32º . ¿Cuál es la altura del puente con respecto al vértice del ángulo formado por las dos laderas. h = 8.066 m

3.- Los lados paralelos de un trapecio miden 78.23 y 106 centímetros respectivamente; los

ángulos en los extremos del último de dichos lados son 57º 30’ y 69º 40’. ¿Cuánto miden los lados no paralelos del trapecio? a = 32.6768 cm b = 29.3908 cm

4.- Sobre un peñasco situado en la ribera de un río se levanta una torre de 125 metros de altura.

Desde el extremo superior de la torre el ángulo de depresión de un punto situado en la orilla opuesta es de 28º40’ y desde la base de la torre el ángulo de depresión del mismo punto es 18º 20’. Encuentra el ancho del río y la altura del peñasco. h = 192.3277 m

5.- Dos lados de un paralelogramo son 83 y 140 cms. y una de las diagonales mide 189 cms.

calcula los ángulos internos del paralelogramo. A = 113º 24’ 22” B = 66º 35’ 38”

6.- Calcula el perímetro y el área de un paralelogramo si una de sus diagonales mide 18 metros y

los ángulos que forma ésta con los lados del paralelogramo son de 35º y 49º. P = 48. 0816 cm. A = 141.026 cm2 7.- La torre inclinada de Pisa forma un ángulo de 8.3º con la vertical. El ángulo de elevación a la

parte superior de la torre desde un punto situado a 298 metros de la base de la torre es de 42º . Calcula la altura perpendicular sobre el piso de la parte superior de la misma. h = 237.1673 m

............................................................................................................................................

LEY DE COSENOS 8.- Dos barcos zarpan simultáneamente del mismo punto; uno navega hacia el Norte con una

velocidad de 32 Km/h y el otro hacia el Noreste a 20 Km/h. ¿Qué distancia habrá entre ellos al cabo de 45 minutos de viaje? d = 17.08 km.

9.- Calcula la longitud de cada diagonal de un pentágono regular cuyos lados miden seis cms.

diagonal = 9.7082 cm


10.- Dos trenes parten simultáneamente de la misma estación en vías férreas rectilíneas que se

cortan formando un ángulo de 57º 20’. Sus velocidades son de 45 y 60 km/h, respectivamente. ¿A qué distancia se encontrarán entre sí al cabo de 36 minutos de viaje? d = 31.2366 km

11.- Las diagonales de un paralelogramo miden 24 cms. y 16 cms. respectivamente; formando un

ángulo de 140º; calcula los lados del paralelogramo. L 1 = 18.84 cm L2 = 7.8 cm 12.- Dos lados de un paralelogramo miden 9 cms. y 12 cms. y uno de sus ángulos es de 128º.

Calcula las medidas de las diagonales. d1 = 18.9204 cm d2 = 9.5926 cm

................................................................................................................................................. EJERCICIOS MISCELÁNEOS 1.- A 75 metros de la base de una antena el ángulo de elevación a su parte más alta es de 34º20’;

calcula la altura de esta torre, si la altura del aparato con que se midió el ángulo es de 11.5 metros h = 62.7255 m

2.- Se inscribe un decágono regular en una circunferencia de cinco centímetros de radio, calcula

la longitud del lado de dicho polígono l = 3.09017 cm 3.- ¿Cuál es el radio de una circunferencia inscrita en un pentágono regular de dos centímetros

de lado? r = 1.3764 cm 4.- Calcula el perímetro y el área de un octágono regular inscrito en una circunferencia cuyo

diámetro es de 5 centímetros. l = 1.91342 cm 5.- Un buque B está navegando hacia el Sur con una velocidad de 36 Km/h. A las 12 I.M. un

faro se ve hacia el Este; y a las 12:30 P.M. se le ve en dirección Norte-Noreste. Halla la distancia del buque al faro en el momento de la primera observación.

d = 7.4558 km 6.- Un observador halla que el ángulo de elevación a la cima de una torre vista desde cierto

punto A es de 28º ; adelanta 30 metros hacia la torre y entonces el ángulo de elevación es de 47º . ¿Cuál es la altura de la torre? h = 31.6385 m

7.- El propietario de un terreno triangular construyó un muro de 42 metros de largo con

dirección S – 48º 10’ – O sobre una de las líneas limítrofes del terreno. Los otros dos lados limítrofes tienen dirección Norte-Sur y Este-Oeste. ¿Cuál es el área del terreno?

A = 438.3086 m2 8.- El copiloto de un aeroplano vuela a una altura de 8,000 metros de altura sobre el nivel del

mar. Descubre una isla y observa que el ángulo de depresión al punto donde se inicia la isla es de 39º; el punto donde termina la isla tiene un ángulo de depresión de 27º. Calcula la anchura de la isla. d = 5,821.7086 m


9.- Debido a un accidente en una industria química, se tuvo que desalojar todas las casas que estuvieran dentro de un radio de 402 metros de distancia con respecto a la fábrica.. Un hombre vivía a 200 metros al Este y a 288 metros al Sur de la fábrica. Se desea saber si tuvo que desalojar su casa o no. Tienes que obtener la distancia de la casa a la industria. d = 350.63 m Sí tiene que desalojar

10.- Una escalera de doce metros de longitud puede colocarse de tal manera que alcance una

ventana de diez metros de altura de un lado de la calle y, haciendo girar la escalera sin mover su base, puede alcanzar una ventana que está a seis metros de altura en el otro lado de la calle. Halla el ancho de la calle. d = 17.0255 m

11.- Un hombre observa desde un globo que las visuales a las bases de dos torres que están

apartadas por una distancia de un kilómetro medido sobre el plano horizontal forman un ángulo de 70º . Si el observador está exactamente sobre la vertical del punto medio de la distancia entre las dos torres, calcula la altura del globo. h = 714.074 m

12.- Al aproximarse una patrulla de reconocimiento a un fuerte situado en una llanura encuentra

que desde cierto lugar el fuerte se ve bajo un ángulo de 10º, y que desde otro lugar, 200 metros más cerca del fuerte., éste se ve bajo un ángulo de 15º. ¿Cuál es la altura del fuerte? h = 103.1337 m

13.- Un asta-bandera de seis metros de longitud se alza sobre la azotea de una casa. Desde un

punto del plano de la base de la casa los ángulos de elevación de la punta y base del asta son respectivamente 60º y 50º. Halla la altura de la casa. h = 17.01385 m

14.- Si el diámetro de un círculo es de 3,268 metros, calcula el ángulo central correspondiente a

un arco cuya cuerda mide 1,027 metros. αααα = 36º 37’ 56” 15.- Desde el techo de un edificio de 90 metros de altura se ve que el ángulo de depresión a la

parte superior de un asta bandera es de 62º 15’; desde la base del mismo edificio, el ángulo de elevación al tope de la misma asta es de 32º 10’. Calcula la altura del asta.

h = 22.3762 m. 16.- Una colina tiene una inclinación de 5º 12’ respecto de la horizontal., en su cima hay un poste

de 18 metros de alto, ¿A qué distancia se encuentra un punto desde el cual el ángulo de elevación del poste es de 12º 46’? d = 133.315 m

17.- En una colina cuya inclinación es de 21º se levanta una torre. Desde dos puntos: N y G de

la ladera y en línea con la torre, los ángulos de elevación al remate de la torre son de 37º y 52º , respectivamente. Si N y G distan 60 metros entre sí, determina la altura de la torre.

h = 35.2517 m 18.- Se desea tender un cable eléctrico entre dos postes, uno de los cuales se encuentra en la parte

superior de un cero de pendiente uniforme. El ángulo de elevación del poste sobre el cero respecto al otro es de 28º 30’. La distancia de un poste a otro se midió como 75.6 metros en terreno en nivel horizontal y además 120 metros sobre la pendiente del cerro. ¿Cuál es la distancia que cubre el cable de poste a poste? d = 180.8882m


19.- Dos observadores, distantes 200 metros entre sí en un plano horizontal, miden los ángulos de elevación a un globo cautivo y hallan que son de 33º 30’ y 42º, Calcula la altura del globo. h = 76.29 m.

20.-Una pasarela horizontal de veinte metros de largo uno los extremos superiores de dos planos

inclinados que se apoyan en un mismo punto del suelo; si los ángulos que forman con la pasarela son de 32º y 41º 50’, respectivamente. Calcula la altura de la pasarela. h = 7.35 m

21.- Desde el extremo de un edificio se observa otro, de 30 metros de altura; los ángulos de

depresión a los puntos más alto y más bajo de éste son de 20º y 38º 40’ respectivamente. ¿Cuál es la altura del primer edificio? h = 55.031 m

22.- Las bases de un trapecio miden 24 cm. y 40 cm; los ángulos en los extremos de la base

mayor son 53º y 67º . Calcula el área del trapecio. A = 434.62432cm2 23.- Un asta-bandera de doce metros de altura está sobre una torre. Desde un punto A cercano a

ésta los ángulos de elevación al pie y al tope del asta son respectivamente de 21º y 39º. Calcula la distancia A a la torre y la altura de ésta. h = 10.8151 m

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Ejercicios Ley de Seno y Coseno