Ejercicios Propuestos de Dinamica de Sistemas

7/16/2019 Ejercicios Propuestos de Dinamica de Sistemas

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EJERCICIOS PROPUESTOS DE

DINÁMICA DE SISTEMASEJERCICIO 1En el mítico reino de Xanadu, nacenexactamente 100 niños cada año ynadie muere. En el último censo (esteaño) la población es de 5510personas. uponiendo !ue losnacimientos no "ariaran en el #uturo.El reino de Xanadu desea tener unmodelo de simulación !ue estime lapoblación del reino los próximos 10años.Solución

a) Diagrama de influencia!

") Diagrama #orre$er!$oblacion

%acimiento

c) D%namo&&ariables'$oblación' $ob, nacimiento' %ac $ob(t) $ob(t * dt) + (%ac) dt% $ob 5510- %ac.(t) 100a"e pob, nacpec dt1, lent/ 10, sa"per 1

d) Ta"la!

$oblación %acimiento0 5,510.00 100.001 5,10.00 100.002 5,310.00 100.004 5,10.00 100.006 5,710.00 100.005 ,010.00 100.00 ,110.00 100.003 ,210.00 100.00

,410.00 100.007 ,610.00 100.008inal ,510.00

e) 'rafica de la (aria"leNi(el*#lu+o)

11'02 $9 9i:, 07 de %o" de 2005

;ntitled

$ae 1

0.00 2.50 5.00 3.50 10.00

<ears

1'

1'

1'

2'

2'

2'

77

100

101

5500

500

3500

1' %acimiento 2' $oblacion

1 1 1 1

2

2

2

2

EJERCICIO 2

En el modelo anterior, los nacimientosse consideraban constantes, pero elcrecimiento de la población no esconstante. e tiene !ue la población/a crecido en un 2= en el pasadoreciente. Esto sini#ica !ue una tasade 0.02 personas>año se enera por cada persona de la población, o me?or dic/o 2 nacimientos por año se

eneran por cada 100 miembros de lapoblación. @onstruya el modelo conestas modi#icaciones.Solucion

Diagrama de influencia!

") Di

agr

ama #orre$er!

D%namo&

1

$oblacion

%acimientos

0asa



&ariables'$oblación' $ob, nacimiento' %ac,asa ' as $ob.A $ob.?+ (%ac.?A) dt% $ob 5510- %ac.Al 100

@ tas0.02a"e pob, nacpec dt1, lent/ 10, sa"per 1

d) Ta"la! $oblación %acimiento0 5,510.00 110.201 5,20.20 112.602 5,342.0 116.54 5,63.2 11.756 5,76.20 117.25 ,04.67 121.3 ,205.15 126.103 ,427.2 12.57 ,655.6 127.127 ,56.7 141.308inal ,31.

e)'rafica

Ni(el* #lu+o)

0'45 B9 Cue, 10 de %o" de 2005

$oblacion

$ae 1

0.00 2.00 6.00 .00 .00 10.00

<ears

1'

1'

1'

2'

2'

2'

5500

500

3500

110

125

160

1' $oblacion 2' %acimientos

1

1

1

1

1

2

2

2

2

2

EJERCICIOS 3;na c:lula de le"adura tiene untiempo de "ida promedio de 20 /oras.Despu:s de 0 /oras cuantas c:lulasse tendrn. i inicialmente se tienen10 c:lulas.

Soluciona) Diagrama de influencia

")

Diagrama de #orre$er

D%namo

&ariables!@elulas' @el, Decrecimiento' deciempo de "ida' t" @el.A @el.? + (* Dec) dt% @el 10- Dec.Al @el.A>t"@ t" 20a"e @el, Decpec dt1, lent/ 0, sa"per 1

d) Ta"la @el Dec0 10.00 0.501 7.50 0.632 7.04 0.654 .53 0.646 .15 0.615 3.36 0.47. . .. . .. . .. . .3 0.1 0.0137 0.13 0.018inal 0.13

'raficani(el* flu+o)

2

@elulas

Decrecimiento

iempo de &ida



;ntitled

$ae 1

0.00 20.00 60.00 0.00 0.00

Fours

1'

1'

1'

2'

2'

2'

0

5

10

0

0

1

1' @elulas 2' Decrecimiento

1

1

1

1

2

2

2

2

EJERCICIO 48rancisco es un #ilóso#o !ue ama lalectura. u opulento tío 9idas intentadarle bastantes libros para mantenerloocupado todos los meses. Bl tío 9idas

le ustaría !ue 8rancisco tu"iera 15libros no leídos en todo momento. Blcomprar los libros, el tío 9idas /aceuna lista de nue"os libros para8rancisco y compra los libros de sulista !ue se estn "endiendo en lalibrería local. Blunos de los libros !ueel tío 9idas selecciona son raros y ela menudo sólo encuentra el 35= de

ellos. Bun así :l planea mantener unbuen #lu?o de libros para su sobrino.8rancisco, determinado a disminuir eleo de su tío por las contribuciones,/a decidido !ue :l leer la mitad delos libros cada mes, no importacuntos sean. B!uí el modelo delnúmero de libros no leídos por 8rancisco.

Soluciona) Diagrama de influencia!")

Diagrama #orre$er!

%

%

8@

DG8

HIC

8

D%namo&&ariables'ibros no leidos' %,%ue"os libros ' %,8recuencia de compra ' 8@ibros leidos' , #raccion de lectura' 8Di#erencia' Di#, Hb?eti"o' HIC

%.A %.?+ (%.?A J .?A) dt% % 20- % .Al DG8.A8@- .Al %.A8

B DG8.A HIC*%.A@ 8@ 0.35@ 8 .5@ HIC 15a"e %, %.pec dt1, lent/ 10, sa"per 1

Ta"la! % %0 20.00 10.00 0.001 10.00 5.00 4.352 .35 6.4 6.74 7.0 6.54 6.656 .7 6.67 6.515 7.00 6.50 6.508inal 7.00

'rafica Ni(el* #lu+o)

EJERCICIO 5 upona !ue ;d. deposita K500 enuna cuenta bancaria obteniendo el10= de inter:s compuesto anual

Solucióna) Diagrama de influencia!

4



") Diagr

ama #orre$er!

cuenta

interes

0asa interes

c) D%namo!&ariables'@uenta'@uen, Gnteres' int,asa inter:s ' as cuen.A cuen.?+ (int.?A) dt% cuen 500- int.Al tascuen.A@ tas0.01a"e cuen, intpec dt1, lent/ 10, sa"per 1

d) Ta"la! @uec int0 500.00 50.001 550.00 55.002 05.00 0.504 5.50 .556 342.05 34.205 05.2 0.54 5.3 .5

, -,.&/0 -,&.. 1,031.37 103.17 1,13.73 113.7010 1,27.3 127.711 1,62.5 162.12 1,57.21 15.7214 1,32.16 132.116 1,7.35 17.315 2,0.2 20.1 2,273.67 227.3513 2,523.26 252.321 2,337.7 23.0017 4,053.75 405.08inal 4,44.35

El tiempo para tener el montoduplicado es un poco ms de 3 años

iempo de dobla?e

0.7 / 0.1 7años=


cuenta

$ae 1

0.00 5.00 10.00 15.00 20.00

<ears

1'

1'

1'

2'

2'

2'

0

2000

6000

0

200

600

1' cuenta 2' interes

1

1

1

1

2

2

2

2

EJERCICIO 6 En la primera parte de este problema;d. depositó K 500 en el banco y lode?a anado inter:s. upona !uetodo es como antes, pero usted retiraconstantemente K 50 cada año de lacuenta.

Solución


") Di

agr am

a #orre$er!

6



cuenta

interes

asa interes

-etiro

c) D%namo!

&ariables'@uenta'@uen, Gnteres' int,asa inter:s ' as, retiro'ret @uen.A cuen.?+ (int.?A*ret.?A) dt% @uen 500- int.Al tascuen.A- -et.Al50@ tas0.01a"e cuen, int, retpec dt1, lent/ 10, sa"per 1

d) Ta"la!

$ara 500

cuenta int ret0 500.00 50.00 50.001 500.00 50.00 50.002 500.00 50.00 50.008inal 500.00

e aprecia en la tabla la cuenta noaumenta es constante. a di#erenciaes !ue en la parte 1 aumenta.

$ara 00

cuenta int ret0 00.00 0.00 50.001 10.00 1.00 50.002 21.00 2.10 50.00. . . .. . . .

15 713.32 71.33 50.00

$ara 600 @uenta int ret

0 600.00 60.00 50.001 470.00 47.00 50.002 437.00 43.70 50.00. . . .. . . .1 60.50 6.05 66.558inal 0.00

@omo se aprecia en la tabla en el año13 la cuenta desaparece. El punto de e!uilibrio se da cuando latasa de inreso es 10= y y el retirotambi:n es de 10= para una cuentade 500. en caso !ue es menor disminuye la cuenta.


cuenta

$ae 1

0.00 5.00 10.00 15.00 20.00

<ears

1'

1'

1'

2'

2'

2'

4'

4'

4'

0

200

600

0

20

60

0

25

50

1' cuenta 2' interes 4' -etiro

1

1

1

1

2

2

2

2

4 4 4

4

La siguiente grafica es para unacuenta de 400 inicial.

EJERCICIO 7 @alculo de "alores de e!uilibrio'

a) upona !ue retira K0 por añode una cuenta de a/orros dondese ana un 100= de inter:s.Lcualseria el depósito !ue e!uilibraeste sistemaM

b) upona !ue retira K50 por añode una cuenta de a/orros dondese ana un = de inter:s.Lcualseria !ue e!uilibra este sistemaM

Solucion'a)

5



Re

* 60

0.1* 60

$600

FlujoInteres Flujo tiro

tasa Nivel

Cuenta

Cuenta

=

=

=

=

") similarmente para = de inter:scon retiro de K50 la cuenta esK25

a) Diagrama de influencia!") Diagrama #orre$er!

os diaramas son las mismas

c) D%namo!&ariables'@uenta'@uen, Gnt' int,asa inter:s ' as, retiro'ret @uen.A cuen.?+ (int.?A*ret.?A) dt% @uen 500- int.Al tascuen.AR Re$&1l2345$e673*3)88 $e6974*/)@ tas0.01a"e cuen, int, retpec dt1, lent/ 10, sa"per 1

Para retirar $ 75 en el año 5 soloagregar la función step en el flujo deretiro como se muestra en laecuación.

d) Ta"la!Aumen$a a :,3 en el a;o 3

cuenta int ret

0 500.00 50.00 50.001 500.00 50.00 50.002 500.00 50.00 50.004 500.00 50.00 50.006 500.00 50.00 50.005 500.00 50.00 35.00. . . .. . . .1 4.32 4.3 60.47

13 0.00 0.00 0.00En el año 13 la cuenta es ceroDiminu%e a :/4 en el a;o /

cuenta int ret0 500.00 50.00 50.001 500.00 50.00 50.002 500.00 50.00 50.004 500.00 50.00 40.006 520.00 52.00 40.00. . . .. . . .15 723.7 72.33 40.001 770.65 77.05 40.0013 1,057.50 105.75 40.001 1,145.65 114.56 40.0017 1,21.77 121.70 40.008inal 1,410.7

'rafica Ni(el* #lu+o)Para :,3 en a;o 3

cuenta

$ae 1

0.00 5.00 10.00 15.00 20.00

<ears

1'

1'

1'

2'

2'

2'

4'

4'

4'

0

250

500

0

25

50

0

60

0


1 1

1

1

2

2

2

2

4

4 4

4

En el año 13 la cuenta es cero

Para :/4 a;o /

cuenta

$ae 1

0.00 5.00 10.00 15.00 20.00

<ears

1'

1'

1'

2'

2'

2'

4'

4'

4'

500

750

1600

50

75

160

40

60

50


1

1

1

1

2

2

2

24

4 4 4

En el año 4 empieNa crecer



EJERCICIO 8 ;na empresa distribuidora decomputadoras desea mantener suin"entario a un ni"el de 20computadoras. os pedidos se /acenen #unción de la discrepancia(di#erencia entre el in"entario deseadoy el in"entario actual) y el #actor deentrea, de la siuiente manera.

* FlujoPedidos Discrepancia FactorEntrega

Discrepacia Inventariodeseado InventarioActual

=

= −

Determine el #actor de entrea

adecuada en unidades >semana para!ue la empresa cumpla con suob?eti"o, si el in"entario inicial es de 0unidades y las "entas semanales sonde 25 computadoras.

Solución!


") Diagrama #orre$er!in"entario

actual

# lu?o

pedidos"enta

semanal

#actor

entreadiscrepancia

in"entario

deseado

c) D%namo!

&ariables'Gn"entario Bctual' Gn"Bc,#lu?o de pedidos'8$ed,

&enta semanal' &enem,#actor de entrea' 8acEnt,Discrepancia'Dis,

Gn"entario Deseado' Gn"Des, Gn"Bc.AGn"Bc.?+ (8ped.?A*&enem.?A)dt% Gn"Bc 0- 8ped.Al 8acEntDis.A- &enem.Al25

B Dis.A in"Des*Gn"Bc.A

@ 8acEnt 1,25a"e Gn"Bc, 8ped, &enempec dt1, lent/ 20, sa"per 1

Ta"la0 10.00 12.50 22.501 0.00 25.00 25.002 0.00 25.00 25.004 0.00 25.00 25.006 0.00 25.00 25.005 0.00 25.00 25.00 0.00 25.00 25.003 0.00 25.00 25.00 0.00 25.00 25.007 0.00 25.00 25.008inal 0.00'rafica Ni(el* #lu+o)

Gn"entario

$ae 1

0.00 2.50 5.00 3.50 10.00

OeeAs

1'

1'

1'

2'

2'

2'

4'

4'

4'

0

5

10

10

20

40

22

26

25

1' in"entario actual 2' # lu?o pedidos 4' "enta semanal

1

1 1 1

2

2 2 2

4 4 4 4

El #actor de entrea se calcula a partir

de' * ( )

* (20 0) 25

25/20

1.25

FacEnt Dis InvAc Vensem

FacEnt

FacEnt

FacEnt

− =

− =

=

=

Hbser"ación' con los datos dados en

el e?ercicio la ra#ica es constante'

Ejercicio 10

3



Elabore el diarama de ni"eles #lu?ospara los siuientes ecuaciones.tocA1(t) tocA1(t*dt)+(Entrada1 *alida1) dtG%G tocA1 10G%8HO'Entrada1 tocA2$roducti"idad1H;8HO'alida1 10tocA2(t) tocA2(t*dt) +(Entrada2 *alida2) dtG%G tocA2 15G%8HO'Entrada2 10H;8HO'alida2 tocA1$roducti"idad2$roducti"idad1 1$roducti"idad2 1

Solución


")

Diagrama #orre$er !

tocA1

Entrada1 alida1

tocA2

Entrada2 alida2

$roducti" idad2

$roducti" idad1

c) Ta"la tocA1 tocA2 Ent1 al2

0 10.00 15.00 10.00 15.00

1 15.00 15.00 15.00 15.00

2 20.00 10.00 20.00 10.00

4 20.00 0.00 10.00 0.00

. . . .

. . . .20 40.00 40.00 40.00 40.00


;ntitled

$ae 1

0.00 .25 12.50 1.35 25.00

ime

1'

1'

1'

2'

2'

2'

0

25

50

0

15

40

1' tocA1 2' tocA2

1

1

1

12

2

2

2

;ntitled

$ae 1

0.00 .25 12.50 1.35 25.00

ime

1'

1'

1'

2'

2'

2'

0

15

40

1' Entrada1 2' alida2

1

1

1

1

2

22

2

Ejercicio 11.

El siuiente diarama de #lu?o y ni"eles

de /iNo para experimentar un sistema

idealiNado de banda elstica para saltos al

"ació (puentin), !ue es un deporte muy

peliroso. a banda elstica esta

idealiNada y no se tiene en cuenta la

#ricción del aire.• Bltura' Esto es cuan alto el deportista

esta en la plata#orma.

• &elocidad 'Es la "elocidad del deportista

. si es neati"o es descendente.

&elocidad momento>masa

• 9omento' es momento debido a la

#uerNa !ue lle"a el deportista

inicialmente es iual a cero.



• 8uerNa de Pra"edad' es le cambio en el

momento debido a la #uerNa de

ra"edad.

8uerNaQdeQra"edadmasaaceleracion

• 8uerNa restauradora' es el cambio de la

banda elastica !ue tira del deportista. a

ley de FooAe es'

F kx= −

. a

dirección de la #uerNa restauradora es

mane?ada por la dirección del #lu?o.

8uerNaQrestauradora

@onstanteQdeQ/ooAedesplaNamientoQde

sdeQplata#orma.

• Bceleración' es la aceleraciónra"itatoria de la tierra !ue para nuestro

caso consideramos *7. metros por

seundo.

• B/ora de la plata#orma' es la altura a la

!ue se encuentra la plata#orma desde la

!ue salta los deportistas y !ue esta a

100 metros del suelo.

•

@onstante de FooAe' determina la#ortaleNa de la banda elstica en un

sistema masa*resorte. $ara nuestro

e?emplo emplearemos una banda muy

#uerte con constante de FooAe de 20.

• DesplaNamiento desde la plata#orma'

esta determina cuan le?os esta el

deportista con la relación a la plata#orma.

DesplaNamiento desde plata#ormaaltura*

de plata#orma

• 9asa' es el peso !ue tiene el deportista.

uponamos !ue el deportista tiene una

masa de 35.

• e podría probar este modelo con

di"ersas masa de personas !ue saltan,,

tambi:n podríamos probar con

ra"edades de di#erentes luares, y con

constantes de FooAe para di#erentes

bandas elsticas.

a) Dibu?e el diarama causal de este

sistema.

") Escriba las ecuaciones. Gndi!ue el

sini#icado de cada elemento. Rue est:

creando para emplearlo en sus

ecuaciones por e?emplo' 9 sini#icamasa.

Solución!


") Diagr ama

#orre$er!

Blt

&el

9om

8P

Bcel

8-

@Foo

Blt$

9as

DesB$

D%namo!&ariables'

Bltura' Blt, &elocidad'&el, 9asa'9as, Bceleracion'Bcel, 9omento' 9om,@onstante FooAe' @/oo,DesplaNamiento $lata#orma' DesB$,

Bltuta de $lata#orma' Blt$,8uerNa de Pa"edad' 8P,8uerNa -estauradora' 8-, Blt.A Blt.? + (&el.?A) dt

% Blt 0

- &el.Al 9om.A>9as

9om.A 9om.? + (8P.?A J 8-.?A) dt% 9om 0

- 8P.Al Bcel9as

7



- 8-,Al @FooDesB$.A

B DesB$.A Blt.A*Blt$

@ Bcel 7.

@ Blt$ 100

@ @Foo 20

@ 9as 35a"e Blt,9om,8-,8P,&el

pec dt1,lent/10,sa"per1

d) Ta"la Blt 9om 8- &el0 0.00 0.0 0.0 0.001 0.00 345.0 0.0 7.02 7.0 1,630.0 0.0 17.0

4 27.60 2,205.0 0.0 27.606 5.0 2,760.0 0.0 47.205 7.00 4,35.0 0.0 67.00 163.0 6,610.0 760.00 5.03 205.0 6,205.0 2,11.0 5.03 21.3 2,26.0 4,243.4 43.57 277.52 421.3 1,05.3 6.278inal 404.1 0.00 345.00 0.00

e) 'rafica Ni(el* #lu+o)

;ntitled

$ae 1

0.00 2.50 5.00 3.50 10.00

ime

1'

1'

1'

2'

2'

2'

4'

4'

4'

6'

6'

6'

5'

5'

5'

0

150

400

0

2000

6000

346

345

34

0

1500

4000

0

40

0

1' Blt 2' 9om 4' 8P 6' 8- 5' &el

1

1

1

1

2

2

2

2

4 4 4 4

6 6

6

6

5

5

5

5

EJERCICIO 12 a propaación de en#ermedades

in#ecciosas ba?o ciertas condiciones

ex/ibe crecimiento simoidal. Epidemias

típicas tales como las in#ecciones del

tracto respiratorio superior, catarro, ripe,

res#rió y "irus menores.

;n modelo de un solo ni"el replica el

crecimiento de una epidemia con lossiuientes suposiciones'

• $oblación constante, no se permite la

miración

• a población in#ectada no es curada

durante el curso de la epidemia y

contribuye en la tasa de contaio.

• Hcurre aceptable meNcla de la población

susceptible con la población in#ectada.

a población susceptible de ser

contaiada es la población no in#ectada.

• e tienen 2 constantes' in#ecciones por

contaio al 10=(sin dimensión), #racción

de contactos normal iual al 2=

( 8racción >persona>día)

• e tiene !ue'

* *

*

TasaContagio InfeccionesContacto FraccionContactosNormal

polacionInfectada Polacion!usceptile

=

• a población total es de 100

personas, la población in#ectada

inicialmente es de 5=

a) dibu?e el diarama causal para el

sistema.

b) dibu?e el diarama de #lu?o y de ni"els

para el sistema.

c) dibu?e las cur"as a tra":s del tiempo(en

días) para' $oblación susceptible,

población in#ectada, tasa de contaio.

olución '

Diagrama de influencia!") Diagrama #orre$er!

10



c) D%namo!&ariables'$oblacion in#ectada' $obGn# $oblacion otal' $ob ot,

$oblacion usceptible' $obusasa de contaio' as@on,Gn#eccion $or contaio ' Gn#@on8racion de @ontacto%ormal'8@%or $obGn#.A $obGn#.? + (as@on.?A) dt

% $obGn# 5

- [email protected]#@on8c%or$obus.A $obGn#.A

B $obsus.A $obot*$obGn#.A

@ Gn#@on 0.1

@ 8@%or 0.02a"e $obGn#,$obus,as@on

pec dt1,lent/10,sa"per1

d) Ta"la pobGn# as@on $obus0 5.00 0.75 75.001 5.75 1.12 76.052 3.03 1.41 72.744 .4 1.56 71.2

6 7.72 1.37 70.0S. S.. S. S..S. S.. S. S..6 77.72 0.02 0.067 77.74 0.01 0.038inal 77.75 0.05

e) 'rafica Ni(el* #lu+o)

EJERCICIO 13

10 personas buscando sacar pro"ec/o

esta corriendo un rumor sobre el sistema

bancario en una ciudad cuya población es

de

20000 /abitantes y donde no existe

miración. os rumores se propaan

mediante las relaciones interpersonales y

los medios de comunicación no

contribuyen a su propaación. aestimación diaria de los contactos

interpersonales para la ciudad es de 0=.

En las relaciones interpersonales sólo el

60= de las personas !ue conoce el rumor

lo comunica a otras personas !ue la

desconocen.

1. Elabore el diarama causal.

2. Elabore el diarama de 8orrester.

4. Elabore su modelo en Dynamo. En un

mismo r#ico utiliNando una misma

escala muestre la población !ue

conoce el rumor & tiempo, la

población !ue desconoce el rumor &

tiempo.

6. Elabore su modelo en EB. En unmismo r#ico utiliNando una misma

escala muestre la población !ue

conoce el rumor & tiempo, la

población !ue desconoce el rumor &

tiempo.

5. -ealice una interpretación del modelo.

olución'


11

$obGn#

0as@on

Gn#@on

8@%or

$ob0ot

$obus



") Diagrama #orre$er&c)

D%namo!&ariables$oblación@onoce-umor'$cr,

-elaciones interpersonales' -G@ontactos Diarios' @d$oblación no conoce rumor' $ncr @omunica' @om, $oblación total' $

pcr.Apcr.?+dt(-i.?A)% pcr10- -i.Alcd$ncr.A

B pncr.A(pt*pcr.A)com@ com0.6@ pt 20000@ cd0.

a"e $cr, pncr,pec dt1,lent/10,sa"per1

d) Ta"la $cr $ncr 0 10.00 3,77.001 6,03.0 ,03.72 ,654.3 6,1.674 11,226.3 4,510.05

S. S.. S. S..S. S.. S. S..41 17,775.7 1.18inal 17,77.74 1.24

e)

'rafica Ni(el* #lu+o)Ejercicio 14

;n terreno es in"adido por 100 #amilias

para construir un asentamiento /umano, laconstrucción de casas es proporcional a la

cantidad de #amilias !ue toda"ía no tienen

casa cuya constante de proporcionalidad

es de I10.. Elabore su diarama causal,

su modelo en stella y dynamo para el

sistema. En cada uno de los modelos

muestre en un mismo r#ico y en una

misma escala muestre el #lu?o de

construcción de casas "s tiempo y el ni"el

casas construidas "s tiempo.

olución


")Di

agrama #orre$er&c) D%namo&

&ariables'

8amilias con casa' #c.@onstrucción' const.8amilias sin casas' #sc.

12

;ntitled

0.00 12.50 25.00 43.50 50.00

Days

0

50

100

0

4

5

0

50

100

$obGn# 2' as@on 4' $obus

1

1

1

1

2

2

2

2

4

4

44

$oblacion

@onoce-umor

-elaciones

Gnterpersonales

@ontactos Diarios

$oblacion otal

$oblacion

%o conoce

-umor

@omunican solo

el 60=

;ntitled

$ae 1

0.00 .00 1.00 26.00 42.00

Days

1'

1'

1'

2'

2'

2'

0

10000

20000

0

6000

000

1' $oblacion @onoce-umor 2' $oblacion %o conoce -umor

1

1

1 1

2

22 2

8amilias con casa

@onstruccion

@onstante'I1 8amilias sin casa

8amilias otales



8amilias totales' #t.@onstante' cte.

#c.A #c.?+dt(const.?A)% #c0- const.Al cte#sc.Al

B #sc #t*#c.Aa"e #c, const.pec dt1, lent/12, sa"per1.

d) Ta"la&

T fc con$&0 0.00 0.001 0.00 1.002 7.00 4.20

4 77.20 0.66 77.6 0.145 77.73 0.04 77.77 0.018inal 100.00

e) 'raficaNi(el* #lu+o)&

;ntitled

$ae 1

0.00 1.35 4.50 5.25 3.00

<ears

1'

1'

1'

2'

2'

2'

0

50

100

0

60

0

1' 8amilias con casa 2' @onstruccion

1

1

1 1

2

22 2

EJERCICIO 15 En las casas construidas de un

asentamiento /umano, cuya población es

100, se

desea

instalar un

tel:#ono. a

"elocidad

deinstalación

de

tel:#onos es

proporcional a la cantidad de casas !ue

/abiendo sido construidas toda"ía no

tienen tel:#ono. a cantidad de casas

construidas es de 100 #amilias y al inicioninuna tiene tel:#ono.

En nuestro caso la instalación de los

tel:#onos (uso de tel:#onos) es la

inno"ación y para la di#usión de la

inno"ación se presentan las siuientes

modelos'

9odelo de @olleman

eún @olleman'

a) a población de usuarios esta

limitado a la población y se

mantiene constante en el tiempoT

b) odos los miembros de la población

e"entualmente usan la inno"aciónT

c) El proceso de di#usión (instalación)procede de una #uente constante e

independiente de la cantidad de

usuariosT

d) El impacto de esta #uente constante

e impersonal en todos los usuarios

no es la misma.

Iasndose en esas suposiciones la

tasa de uso (#lu?o de instalación) conrespecto al tiempo esta dada por'

14



[ ])()(

1 t a N "dt

t da−=

donde I1 es una constante, a(t) es la

cantidad de usuarios en el tiempo t y %

es la población. Este modelo da una

cur"a exponencial creciente con un

limite superior para el comportamiento

temporal de a(t).

;tiliNando I10.07. Elabore el

diarama causal y su modelo en stella.

olucion'

A) Diagrama de influencia

<) Diagrama de #orre$er

casas @on ele#ono

poblacion total

&elocidad

Gnstalacion

@asas in

tele#onoI1

@) D%namo

D) Ta"laE) 'raficoNi(el* #lu+o)

;ntitled

$ae 1

0.00 5.00 10.00 15.00 20.00

ime

1'

1'

1'

2'

2'

2'

0

65

70

1

5

7

1' casas @on ele# ono 2' &elocidad Gnstalacion

1

1

1

12

2

2

2

9odelo de Dodd'

;na de las limitaciones del modelo de

@oleman es !ue no considera el e#ecto

de imitación. Esto lo supera Dood!uien propone, en adición a las dos

primeras suposiciones del modelo de

@olleman, !ue'

a) odos los usuarios son imitadores y

usan la inno"ación (tel:#ono) sólo

despu:s de "er a otro usando la

inno"aciónT

b) a tasa de uso depende no sólo de

la cantidad de los !ue /an usado,

sino tambi:n de la proporción de la

mxima cantidad de usuarios !ue

aún no /an usadoT

c) a probabilidad de !ue cual!uier

par de indi"iduos se encuentre

(usuario * usuario, usuario * no

usuario, no usuario * usuario) es la

misma.

Iasndose en estas suposiciones, la

tasa de uso est dada por'

)()()(

2 t a N

t a N "

dt

t da −=

donde I2 es una constante, a(t) es la

cantidad de usuarios en el tiempo t y %

es la población. Este modelo da un

patrón de di#usión en #orma de .

;tiliNando I10.07. Elabore el

diarama causal y su modelo en stella.

olucion

Diagrama de Influencia

16



<) Diagrama de #orre$er

8amilias @on

0ele# ono

&elocidad de

instalacion

poblacion total

in tele#onotasa de ;soI2

C) D%namo

&ariables'

8amilias tele#ono(imitación)' 8t,

&elocidad instalacion(imitacion)' &i

$oblacion total'pt, asa de uso' s, I2,

in ele#ono' st#

#t.A #t.?+dt(&i.?A)% #t1- &i.Al I2st#.Alts

B st# pt*#t.A B ts.A#t.A>pt@ I20.07@ pt100a"e #t, st#, "ipec dt1, lent/40, sa"per1.

D) Ta"la #t &i st#

0 10.00 0.1 70.00

1 10.1 0.3 7.17

2 11. 0.74 .42

S.. SS S.. S..27 57.10 2.1 60.70

8inal 1.23 4.34

'rafico (%i"el, 8lu?o)

Gmitacion

$ae 1

0.00 15.00 40.00 65.00 0.00

Days

1'

1'

1'

2'

2'

2'

4'

4'

4'

10.0

55.0

100.0

0

2

4

0

65

70

1 ' 8 am ili as @o n e le # on o 2 ' &e lo ci dad de i ns ta la cio n 4 ' i n t el e# o no

1

1

1

1

2

2

2

2

4

4

4

4

9odelo de c/oeman'

Este modelo es una "ersión

eneraliNada de los modelos de

@oleman y Dodd debido a !uereconoce el /ec/o de !ue las

decisiones de uso se toman en parte

por imitación y en parte a tra":s de

#uentes impersonales. $or lo tanto

propone'

[ ] )()(

)()(

21 t a N

t a N "t a N "

dt

t da −+−=

donde I1 y I2 son constantes, a(t) es

la cantidad de usuarios en el tiempo t y

% es la población. Este modelo

tambi:n da un patrón de di#usión en

#orma de .

;tiliNando I10.07 y I20.03. Elabore

el diarama causal y su modelo en

stella.

olucion'

A) Diagrama de influencia

15



<)

Diagrama #orre$er

0ele#ono

Gnstalados

&elocidad

Gnstalacion

I1

I2

$oblacion

0otal

0ele#onos

%o Gnstalados

C) D%namo&ariable'ele#ono Gnstalados'G, $oblación otal'$

ele#onos %o instalados' %G, I1,I2&elocidad de instalacion'&G G.A l.? + (&G) dt% G 1- &G.Al I1%G+I2(%G>$)G

B %G $*G@ I1 0.07@ I2 0.03@ $ 100a"e G,%G,&G

pec dt1,lent/ 0,sa"per1D) Ta"la G &G %G0 1.00 .7 77.001 7.7 .34 70.022 1.31 .4 1.274 23.07 3.76 32.71S.. SS S.. SS23 7.2 0.2 1.36S. SS SS S.

66 77.71 0.01 0.078inal 77.77 0.01

E) 'raficoni(el* #lu+o)

Gmitacion* Estimacion

$ae 1

0.00 15.00 40.00 65.00 0.00

Days

1'

1'

1'

2'

2'

2'

0

50

100

0

5

7

1' ele# ono Gnstalados 2' &elocidad Gnstalacion

1

1

1 1

2

2

2 2

Ejercicio 16

;n terreno es in"adido por 100 #amilias

para construir un asentamiento /umano, la

construcción de casas es proporcional a la

cantidad de #amilias !ue toda"ía no tienencasa cuya constante de proporcionalidad

es de U10..

Bsimismo, en cada casa construida desea

instalar un tel:#ono. a "elocidad de

instalación de tel:#onos esta de#inido por

el modelo de c/oeman. as constantes

son I120= y I215=.

Elabore el diarama causal y su modelo

en stella.

olucion'

A) Diagrama de Influencia&

<) Diagrama de #orre$er&

C) D%namo&

D) Ta"la&

E) 'rafica.

Ejercicio 17

-atas1



En sus experimentos con ratas norueas,obser"ó el e#ecto de /acinamiento en lamortalidad de ratas in#antes'

e con#inó una población de ratasnorueas sal"a?es en un rea cerrada, conabundancia de alimentos y luares para"i"ir, con las en#ermedades y predacioneseliminadas o minimiNadasT sólo laconducta de los animales con respectocon ellos mismos permaneció como un#actor !ue podía a#ectar el incremento ensu número. %o podría /aber escape de lasconsecuencias de conducta al aumentar ladensidad de la población. @onsider: losiuiente'

• El rea de 11000 pies cuadradoscon#inado no permite la miración, ni lapredación. Gnicialmente se tienen 10ratas. Existe disponibilidad amplia ysu#iciente de alimentos. El espaciocon#inado tiene un entorno constante(es decir no /ay cambios anormalesen el tiempo, ni en la temperatura). edescarta los e#ectos de la edad en la

capacidad de reproducción. a "idapromedio de una rata es de 22 meses

• a relación de sexo mac/os>/embrasde la población es 0.5 (sin dimensión)

• asa de nacimientos de ratas #ertilidad normal de ratas poblaciónde ratas /embras multiplicador desuper"i"encia in#antil (ratas>mes)

•

8ertilidad normal de ratas 0.6(-atas>/embra>mes)

• $oblación de ratas /embras $oblación de ratas -elación de sexomac/o>/embra

• El multiplicador de super"i"enciain#antil (9G) esta relacionado con ladensidad de población de ratas (D$-)de la siuiente manera'

9G 1.00 1.00 0.7 0.72 0.20.30 0.52 0.46 0.20 0.16 0.10D$- 0.000 0.0025 0.0050 0.0035 0.0100

0.0125 0.0150 0.0135 0.0200 0.0225 0.0250

• Densidad de población de ratas población de ratas>rea (ratas>piecuadrado). olución'

Diagrama de Influencia!

Tasa

mortalidad

Población

Vida promedio

Población de

ratas !embras

Relación de se"os#rea

Tasa de

nacimientos

$PR

%&'

(ertilidad

normal

))

)

)

*

*

*

*

)*

*

*

)

))

Diagrama de #orre$er !

D%namo!

&ariables'$oblación' pob, relación de sexos'rs,asa de nacimientos' tnac, area' area,asa de muerte' tmuerte, msi, D$-,8ertilidad normal' #nr, "ida promedio' "pr,población de ratas /embras' pr/, pob.Apob.?+(dt)(tnac.?A*tmuerte.?A)

% pob10

- tnac.Al#nrpr/.Amsi.A

@ #nr0.6- tmuerte.Alpob.A>"pr

B pr/.Arspob.A

13

poblacion

%acimiento 9uertes

" ida $romedio

$oblacion

de ratas

/embras relcaion de

sexo

# ertilida

normal

Brea

V

9G

D$-



B msi.Atable(tmsi,dpr.A,0,0.025,0.0025)

tmsi1>1>.7>.72>.2>.30>.52>.46>.20>.16>.1

B dpr.Apob.A>a

@ #nr0.6

@ "pr22

@ a11000@ rs.5

sa"e tmuerte,pob,tnac

spec sa"per1,lent/50,dt1

D) Ta"la!

pob tnac tmuerte0 10.00 0.65 2.001 11.55 0.52 2.41

2 14.44 0.1 2.3S.. S.. S.. S.. 41.53 1.66 .2S.. S.. S.. S..

13 10.7 6.5 13.35S.. S.. S.. S..42 207.7 7.56 10.55S.. S.. S.. S..6 216.55 7.35 7.3367 216.53 7.35 7.33

8inal 216.57 'rafica ( %i"el, 8lu?o)'

ratas

$ae 1

0.00 12.50 25.00 43.50 50.00

<ears

1'

1'

1'

2'

2'

2'

4'

4'

4'

0

150

400

0

5

10

0

10

20

1' poblacion 2' 9uertes 4' %acimiento

1

1

1

1

2

2

2

2

4

4

44

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Ejercicios Propuestos de Dinamica de Sistemas