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Ejercicios resueltos
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS
Antes de comenzar debes tener en cuenta los siguientes consejos:1. Organiza tu lugar de trabajo. Éste debe ser un lugar despejado,
limpio y con buena iluminación.2. Evita las distracciones: televisor, messenger abierto, facebook…
la novia o el novio.3. A medida que desarrolles tus ejercicios, anota en una columna
las dificultades que vas teniendo. Un truco es que no mires el siguiente paso hasta que definitivamente no encuentres el camino a seguir.
4. Identifica si tu dificultad es sobre factorización, racionalización, operaciones con fraccionarios u otros.
5. Analiza el ejercicio, especialmente donde tuviste la dificultad. No memorices el paso puesto que para cada ejercicio es diferente. ANALIZA LOS CASOS Y CUÁNDO SE APLICAN.
6. Es importante estar sereno y tranquilo. Tomarse el tiempo para estudiar, respirar profundamente y nunca darse por vencido.
coscot csc
1 cos
senx xx x senx
x
Primer ejercicio:
Establece si la siguiente expresión es o no es identidad
cos cos 1
1 cos
senx x xsenx
x senx senx
2 2cos cos 1 cos 1
1 cos
sen x x x x sen x
x senx senx
2 2 2cos cos cos cos
1 cos
sen x x x x x
x senx senx
2 2 2cos cos cos cos
1 cos
sen x x x x x
x senx senx
2 2 2cos 1 cos cos
1 cos
x sen x x x
x senx senx
Cambiamos cotx y cscx por sus respectivas equivalencias
Realizamos suma de fraccionarios a ambos lados de la igualdad.
Efectuamos propiedad distributiva en cos 1 cosx x
¡Cuidado con el signo!
Analizando el numerador, se debe buscar un modo de eliminar la expresión . 2sen x
Esta es una forma, pero pueden existen otras maneras de hacerlo. Aquí agrupamos los dos primeros términos.
¡Se factoriza!, pues existe un FACTOR COMÚN en la expresión del paréntesis arriba. 2 cos cossen x x x
2 2cos 1 cos cos
1 cos
x x x
x senx senx
2 2cos cosx x
senx senx
3 2 2cos cos cos
1 cos
x x x
x senx senx
2 3 2cos cos cos
1 cos
x x x
x senx senx
2 2 2cos cos cos cos
1 cos
x x x x
x senx senx
¿Sabes porq
ué?
Cambiamos la expresión por 2 1sen x 2cos x
Multiplicamos los dos primeros términos 2cos cosx x
Ordenamos o cambiamos el orden para ver las cosas mejor…
Nuevamente factorizamos el numerador de la izquierda
Y simplificando la expresión anterior, finalmente concluimos que
!!!ES IDENTIDAD¡¡¡
Segundo ejercicio:
Establece si la siguiente expresión es o no es identidad
cos tan2 tan
cos
senx x xx
x
cos1 1 cos 2 tan
cos
senx x senxx x
x
2 tancos
senx senxx
x
22 tan
cos
senxx
x
2 tan 2 tanx x
Cambiamos la expresión tanx por su equivalente
Simplicando la expresión nos queda senx.cos1 cos
x senxx
Sumando…
!!!ES IDENTIDAD¡¡¡
Tercer ejercicio.
Resuelve la siguiente ecuación trigonométrica:
2 23cos 2x sen x
2 23 1 2sen x sen x
2 23 3 2sen x sen x
23 2 2sen x
22 2 3sen x
22 1sen x
22 1sen x
Aplicamos la propiedad fundamental2 2cos 1sen x x
Propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma
Simplificación de términos semejantes
Propiedad uniforme. Tratamos de dejar sola la expresión2sen x
Simplificación…
Multiplicando por (-1) a ambos lados de la igualdad
2 1
2sen x
2 1
2sen x
1
2senx
2
2senx
1 2
2x sen
3 5 7, , ,
4 4 4 4x
Despejando…
Sacamos raíz cuadrada a ambos lados de la igualdad
Y nos queda…
Racionalizando…
Recordemos que la incógnita es el ángulo x. Aplicamos la inversa…
Como las raíces son positivas y negativas, ¡¡¡éstas sonlas soluciones!!!
Cuarto ejercicio.
Resuelve la siguiente ecuación trigonométrica:
24cos cos 0x x
cos 4cos 1 0x x
cos 0 4cos 1 0x x
Factorizando: ¡FACTOR COMÚN!
Y nos quedan dos soluciones:
Despejando en ángulo x en cada una, nos darán:
Recuerda poner tu calculadora en
Radianes
1cos 0
3,
2 2
x
x
1
1cos
41
cos4
1.3181
x
x
x rad
Quinto ejercicio.
Resuelve la siguiente ecuación trigonométrica:
2 cos 0senx x
2 cossenx x
2 22 1sen x sen x
2 24 1sen x sen x
222 22 1sen x sen x
2 24 1sen x sen x
25 1sen x
Despejamos 2senx
Aplicamos la propiedad fundamental. Pues:2 2
2 2
2
cos 1
cos 1
cos 1
x sen x
x sen x
x sen x
Elevamos al cuadrado a ambos lados de la igualdad
Y nos queda…
Juntamos términos semejantes
Y simplificamos…
2 1
5sen x
1 1
5x sen
1
5senx
0.46 , 0.46x rad rad
Despejando…
Raíz cuadrada a ambos miembros de la igualdad
Despejando la incógnita, es decir, en ángulo x
En este caso, no hay un ángulo notable por lo que necesitamos la ayuda de la calculadora en modo radianes
¡¡¡SOLUCIONES!!!