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UNET, Dpto. Electrónica, Nuc. Inst. y Control. Tito González, [email protected], 15 Oct 2009.Ejercicios Resueltos de Transformada Inversa de Laplace. 1 / 10
Universidad Nacional Experimental del Táchira. Departamento de Ingeniería Electrónica. Núcleo de Instrumentación y Control. Profesor: Tito González. San Cristóbal, Jueves 15 de Octubre del 2009.
EJERCICIOS RESUELTOS DE TRANSFORMADA INVERSADE LAPLACE
INTRODUCCION.
A continuación, se desarrolla la solución de tres problemas simples pero característicosdesde el punto de vista operativo de la Transformada Inversa de Laplace con el objeto de establecer las trestécnicas básicas para la aplicación de esta clase de transformación, que se desprenden de la necesariadescomposición en fracciones parciales, sin olvidar por parte del estudiante que hay problemas dondepuede ser imprescindible aplicarlas todas para poder llegar a la solución final.
Por otra parte, cada uno de los ejercicios se acompaña de sus respectivas gráficas tanto en eldominio de la frecuencia compleja “S” o mapa de polos y ceros, como en el dominio del tiempo o respuestadel sistema, para mostrar la relación que hay entre la ubicación de los polos y la forma de la respuesta entiempo
Estos gráficos, se realizaron por medio de scripts en Matlab versión 5.3, los cuales están adisposición del publico en otro apartado, para que el interesado en el área experimente y modifique losparámetros que se encuentran identificados para tal fin al inicio del script.
Cada ejercicio se encuentra identificado en su inicio con un nombre código como: TILE01, el cualsignifica: Transformada Inversa de Laplace Ejercicio 01, de manera tal de no perder el enlace entre elejercicio resuelto y la codificación en Matlab.
UNET, Dpto. Electrónica, Nuc. Inst. y Control. Tito González, [email protected], 15 Oct 2009.Ejercicios Resueltos de Transformada Inversa de Laplace. 2 / 10
( ) ( )( )( )( )
( ){ } ( )( )( )( )
( ){ } ( ) ( ) ( )
( ){ } ( )
( ) ( )( )( )( )
F sS
S S SSolución
F sS
S S S
F s kS
kS
kS
F s f t k k k
k SS
S S S
DescomposiciónFraccionesParciales
para b c
t t tformade la
respuestae e e
=+
+ + +
=+
+ + +⎧⎨⎩
⎫⎬⎭
=+
++
++
⎧⎨⎩
⎫⎬⎭
= = + +
= + ⋅+
+ + +
− −
− −= = =
− − − −
23 1 5
23 1 5
3 1 5
32
3 1 5
1 1
1 1 1 2 37
3 1 5
11
32 3
5
1
:
L L
L L
Ldeterminacón de los coeficientes
( )( )( )
( )( )( )
( )( )( )
( ) ( )( )( )( )
( )( )( )
( )( )( )
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥ =
++ +
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥ =
− +− + − +
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
=−
−⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥ = −
−⎡⎣⎢
⎤⎦⎥
= = =
= + ⋅+
+ + +⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥ =
++ +
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥ =
− +− + − +
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
= − = −
= − = −
S S
S S
SS S
k k
k SS
S S SS
S S
k
3 3
1 1
21 1
21 5
3 23 1 3 5
12 2
14
14 0 25
12
3 1 52
3 51 2
1 3 1 5
.
( )( )( )
( ) ( )( )( )( )
( )( )( )
( )( )( )
( )( )( )
( ){ } ( )
2 2
35 5
3 3
1
12 4
18
18 0125
52
3 1 52
3 15 2
5 3 5 1
32 4
38
38 0 375
14
=⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥ = ⎡
⎣⎢⎤⎦⎥
= = =
= + ⋅+
+ + +⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥ =
++ +
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥ =
− +− + − +
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
=−
− −⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥ = −⎡
⎣⎢⎤⎦⎥
= − = − =
= =
= − = −
− −
.
.
:
k
k SS
S S SS
S S
k k
Sustituyendo Tenemos
F s f t
S S
eL 3 518
38
t t te e+ −− −
Ejercicio: TILE01
Obtenga la Transformada Inversa de Laplace, , para la siguiente función haciendo uso( ){ } ( )L - F s f t1 =de tablas y propiedades.
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( ) ( )
( ){ } ( )
( ){ } ( )
( ){ } ( ) ( )
( ) ( )
G sS S
Solución
G sS S
G s AS
AS
AS
kS
G s g t A t A t A u t k e
A ddS
SS S
DescomposiciónFraccionesParciales
parpar
tformade la
respuesta
S
=+
=+
⎧⎨⎩
⎫⎬⎭
= + + ++
⎧⎨⎩
⎫⎬⎭
= = + + +
=−
⋅+
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
− −
− −
− −
−
−=
64
64
4
11 1
64
3
1 13
1 1 13
22
3 167
11
22 3 1
4
1
1 1
1 13
30
:
!
L L
L L
Ldetreminación de los coeficientes
( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( )[ ] ( )[ ]
( ) ( )
( )
=+
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥ = = =
=−
⋅+
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥ =
+⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
=+ −
+
⎧⎨⎪
⎩⎪
⎫⎬⎪
⎭⎪= −
+
⎧⎨⎪
⎩⎪
⎫⎬⎪
⎭⎪= − = − = − =
=−
=
−
−= =
= =
−
1 1 64
32
15
12 1
64
1 64
0 4 1 6
464
64
38 0 375
13 1
01
2
2 1
2 13
30 0
2 20
20
2 2
3
3 1
SA
A ddS
SS S
ddS S
AS
S SA
A d
S
S S
S S
.
!
.
! ( ) ( ) ( )
( )( )[ ] ( )( )[ ]( )
( )
dSS
S SddS S
ddS
ddS S
A ddS S
S S
SS
S S S
S S
3 13
30
2
20 0
3 20
2
40
64
12
64
12
64
12
64
12
0 4 2 4 1 6
41
212
−= = =
= =
⋅+
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥ =
+⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥ =
+⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥
⎧⎨⎪
⎩⎪
⎫⎬⎪
⎭⎪
= −+
⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥
⎧⎨⎪
⎩⎪
⎫⎬⎪
⎭⎪=
+ − + −
+
⎧⎨⎪
⎩⎪
⎫⎬⎪
⎭⎪=
+( )( )
( )
( ) ( ) ( )
( ){ }
44
12
124
12
124
12
316
332 0 09375
4 64
6 64
664
332 0 09375
40
3 30
3 3
1 34
34
3 1
1
S
AS
A
k SS S S
k
Sustituyendo tenemos
G s g
S
S
S S
+
⎧⎨⎪
⎩⎪
⎫⎬⎪
⎭⎪
=+
⎧⎨⎪
⎩⎪
⎫⎬⎪
⎭⎪= ⎧
⎨⎩
⎫⎬⎭
= ⎧⎨⎩
⎫⎬⎭
= = =
= + ⋅+
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥ = ⎡
⎣⎢⎤⎦⎥
=−
⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥
=−
= − = − =
=
=
=
= − = −
−
.
.
:
L ( ) ( )t t t u t e t= − + − −32
38
332
332
2 4
Ejercicio: TILE02
Obtenga la Transformada Inversa de Laplace, , para la siguiente función haciendo uso( ){ } ( )L - F s f t1 =de tablas y propiedades.
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( ) ( )( )( )
( ){ } ( )( ) ( )[ ]
( ){ } ( ) ( )[ ]( ){ } ( ) ( )
( ) ( )( )
H sS
S S S
Solución
H sS
S S
H s kS
MS
H s h t k M sen t
k SS
S S
DescomposiciónFraccionesParciales
parpar
t tformade la
respuestae e
=+
+ + +
=+
+ + +
⎧⎨⎪
⎩⎪
⎫⎬⎪
⎭⎪
=+
+ ∠+ +
⎧⎨⎪
⎩⎪
⎫⎬⎪
⎭⎪
= = + +
= + ⋅+
+
− −
− −
− − −
7 12 6 73
7 1
2 3 8
2 3 8
88
21
2
2
1 12 2
1 1 12 2
714
11
2 3
1
:
L L
L L
L
ϕ
ϕ
determinación de los coeficientes
7
( )[ ]( )
( )[ ]( )[ ] ( )
( ) ( )[ ]( )
( )( )
( )
+ +
⎧⎨⎪
⎩⎪
⎫⎬⎪
⎭⎪=
− +
− + +
⎧⎨⎪
⎩⎪
⎫⎬⎪
⎭⎪= −⎧⎨⎩
⎫⎬⎭
= − = − =
∠ = + + ⋅+
+ + +
⎧⎨⎪
⎩⎪
⎫⎬⎪
⎭⎪=
++
⎧⎨⎩
⎫⎬⎭
=− + +
− + +
∠ =− +
= −
= − + = − +
3 8
2 1
2 3 64 657
65 01077
3 81
2 3 8
7 12
7 3 8 13 8 2
7 2
2 2 22 1
2 22 2 3 8 3 8
S
S j S j
k
M SS
S S
SS
jj
M
7 7
7
.
ϕ
ϕ ( )( )
( )( )
( ){ } ( ) ( )
jj
jj
rad M
Sustituyendo tenemos
H s h t sen te et t
81 8
14 561 8
716 6 91 716 012
765
7168
8 0121 2 3
− +=
− +− +
= ∠ ° = ∠ = ∠
= = − + +− − −
. . . .
:
. .
ϕ
L
Ejercicio: TILE03
Obtenga la Transformada Inversa de Laplace, , para la siguiente función haciendo uso( ){ } ( )L - F s f t1 =de tablas y propiedades.
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