Ejercicios Resueltos Kassimali Grupo 231

DINÁMICAIC - 244

UNVIERSIDAD NACIONAL DE SAN CRISTÓBAL DE HUAMANGAINGENIERÍACIVIL

MECÁNICA VECTORIAL PARA INGENIEROS

SOLUCIONARIO DE EJERCICIOS

RESPONSABLES

GÓMEZ CHUCHÓN, ESTEBAN

CORONADO SAAVEDRA, JUAN CARLOS

DAS / KASSIMALI / SAMI

AYACUCHO - PERÚ

II PRÁCTICA DOMICILIARIA

Indice

1. Cinetica de las partıculas: 2

1.1. Segunda ley del movimiento de Newton . . . . . . . . . . . . 2

2. Cinetica de las partıculas: 5

2.1. Trabajo y energıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3. Cinematica de los cuerpos rıgidos 7

3.1. Velocidades absoluta y relativa . . . . . . . . . . . . . . . . 7

4. Cinematica de los cuerpos rıgidos 10

4.1. Ecuacion del trabajo y energıa para un sistema de partıculas 10

5. Cinetica plana de un cuerpo rıgido 12

5.1. Impulso y cantidad de movimiento . . . . . . . . . . . . . . 12

6. Cinetica de las partıculas 15

6.1. Trabajo y energıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15




8.1. Impulso y momentum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20



Ingenierıa Civil

1. Cinetica de las partıculas:

1.1. Segunda ley del movimiento de Newton

Ejercicio 1.

Un grupo de dos carros y remolcador, que estan inicialmente enreposo, comienzan a moverse hacia abajo de un plano inclinado a100 como se ilustra. Despreciando la friccion entre las ruedas de loscarros y la superficie, determine:

1 La aceleracion de los carros.

2 Las tensiones en los coples que unen los carros.

10º

325kg

200kg

450kg

Solucion

1 La aceleracion de los carros.

i. Haciendo el diagrama de cuerpo libre (D.C.L.) en los carros yremolque.

DINAMICA IC-244Pag.2 de 23

Ingenierıa Civil

10º

carros

remolque

ii. Para que los carros se pongan en marcha, el remolcador debe desa-rrollar una fuerza F = m3g sin θ, entonces hallamos la aceleracionde los carros: ∑

F = mTa (1)

Donde : mT

= m1 +m2 +m3

iii. Reemplazando datos:∑F = m

Ta

(450)(9.81) sin 10 = (200 + 225 + 450)a

a =766.570

875

a = 0.876 [m

s2]

2 Las tensiones en los coples que unen los carros.

i. Calculamos las tensiones con∑F = F − T

i= ma (2)

ii. Para T1 .


Ingenierıa Civil

m3g sin θ − T1 = 450(0.875)

T1 = 372.37 [N ]

iii. Para T1 .

T2 = m1a

T2 = 200(0.876)

T2 = 175.2 [N ]


Ingenierıa Civil

2. Cinetica de las partıculas:

2.1. Trabajo y energıa

Ejercicio 2.

En un carro carbonero que pesa 60 toneladas parte del reposoen la posicion que se ilustra y se mueve en descenso sobre unapendiente de 20. La resistencia de las ruedas al rodamiento es de0.001 por la componente normal del peso. Determine la constantede resorte que se requiere en el, parachoques para detener el carrodespues de un desplazamiento de 15 pulg.

100pies

k

2º

Solucion

i. Se ilustra el diagrama de cuerpo libre del tren.

100pies

2º

ii. Suponemos que en el punto B el tren se detiene, entonces: VBFINAL= 0

iii. Entonces utilizaremos la relacion Trabajo y Energıa, es decir∑UA→B = TB − TA (3)


Ingenierıa Civil

DondeTB =: Energıa cinetica en B.TA =: Energıa cinetica en A.

iv. Como el bloque parte del seporo en el punto A y llega tambien al reposoen el punto B. Por tanto la energıa cinetica es cero.

TB − TA = 0 (4)

Entonces la expresion sera:∑UA→BTOTAL

= 0

UA→BFRICCION+ UA→BRESORTE

+ UA→BNORMAL= 0

NOTA a. El trabajo que realiza la friccion es negativo, porque es opuesto almovimiento.

b. De igual forma el trabajo que realiza la fuerza elastica.

c. El trabajo que realiza la normal es cero, puesto que es perpendicularal movimiento.

v. Entonces tenemos:

mg sin θ(10 + 1.25)− µmg cos θ(10 + 1.25) =1

2κ(1.25)2

Con:

θ = 20, mg = w = 60, µ = 0.001

Reemplazando los datos, tenemos:

60 · sin 20(10 + 1.25)− (0.001)(6)(cos 20)(100 + 1.25) =1

2κ(1.25)2

Resolviendo y despejando κ, se tiene:

κ = 193.71 [ton

pies]


Ingenierıa Civil

3. Cinematica de los cuerpos rıgidos

3.1. Velocidades absoluta y relativa

Ejercicio 3.

Un eslabon CD esta guiado por dos bloques A y B que se muevenen ranuras, como se muestra. El bloque A se muestra hacia aladerecha a 5 m/s. Determine la velocidad de la punta C del eslabonen el instante en que θ = 350.

8m

2m

1m

35º

Solucion

i. Como el movimiento del bloque A esta definido completamente comoVA = 5i, la velocidad del punto C puede expresarse con la ecuacion:

VC = VA + VC/A

VC = 5i+ ω · rC/A (5)

En donde rC/A = (10 cos 350)i+ (10 sin 350)j


Ingenierıa Civil

ii. Para hallar la velocidad angular ω necesitamos hallar VB, entoncespodemos escribir ası:

VB = VA + VB/A

VB = VA + ω × rB/A

VBj = 5i+ ωk × [(8 cos 350)i+ (8 sin 350)j]

VBj = (5− 8ω sin 350)i+ (8ω cos 350)j (6)

Como la velocidad del bloque B no tiene componente x, se tiene porlas componentes y

5− 8ω sin 350

Y resolciendo para la velocidad angular ω

ω =5

8 sin 350= 1.09

rad

s

ω = 1.09rad

s

A

D

BC

iii. Sustituyendo ω en la ecuacion (5) se obtiene la velocidad del punto Ccomo:


Ingenierıa Civil

VC = 5i+ 1.09k × [(10 cos 350)i+ (10 sin 350)j]

VC = 5i+ (8.93j − 6.25i)

VC = −1.25i+ 8.93j

iv. Ası, la magnitud de la velocidad en el punto C es

VC = (1.252 + 8.932)1/2

VC = 9.02 [m

s]


Ingenierıa Civil

4. Cinematica de los cuerpos rıgidos

4.1. Ecuacion del trabajo y energıa para un sistema de partıculas

Ejercicio 4.

Un tren de seis carros de la montana rusa se mueve a lo largode un tramo de vıa horizontal. Cada carro pesa 500 lb. Determinela altura h de elevacion del punto A al punto B que el tren puedeascender si transita en el punto A a una velocidad de 50 pies/s.

1 Si es despreciable la friccion en la vıa.

2 Si las perdidas debidas a la friccion de rodamiento y tiro, entre

A y B, son aproximadamente iguales a 10000 pies · lb.

MONTAÑA RUSA CIVIL #1

MONTAÑA RUSA CIVIL

#1


MONTAÑA RUSA CIVIL

#2


MONTAÑA RUSA CIVIL#3







50pies/sA

B

Solucion

1 Si es despreciable la friccion en la vıa.

i. El tren llegara a pasar por el punto B si la velocidad de su sucentro de masa llega al valor cero en B, ası, VB = 0. Por lo tanto,la energıa cinetica del sistema de seis carros es, en A.

TA =1

2

6∑i=1

miv2i


Ingenierıa Civil

TA =1

2

6∑i=1

Wi

gv2A

y en B (vB

= 0),

TB = 0

ii. el trabajo efectuado por el peso total del sistema es.

UA→B = −(1

2

6∑i=1

Wi)h = −6Wh

La ecuacion de trabajo-energıa cinetica (TA +UA→B = TB) para elsistema se convierte en

1

2[6W

g]v2

A− 6Wh = 0

Eliminando W y resolviendo para h,

h =v2A

2g=

502

2(32.2)

h = 38.8 [pies]

2 Si las perdidas debidas a la friccion de rodamiento y tiro, entre A y B,

son aproximadamente iguales a 10000 pies · lb.

i. El trabajo efectuado entre A y B incluira tambien al trabajo delas fuerzas de friccion que se oponen al movimiento, Ası,

UA→B = −6Wg − 10000

ii. y la ecuacion del trabajo-energıa cinetica se convierte en

1

2[6W

g]v2

A− 6Wh− 1000 = 0

ii. y se encuentra que

h =v2A

2g− 10000

6W=

502

2(32.29− 10000

6(500)

h = 35.5 [pies]


Ingenierıa Civil

5. Cinetica plana de un cuerpo rıgido

5.1. Impulso y cantidad de movimiento

Ejercicio 5.

La barra de 10 lb esta colgada de pasador en A, Tal como semuestra. Si se lanza una bola B de 2 lb contra la barra y chocacon su centro a una velocidad de 30 pies/s, determine la velocidadangular de la barra justo despues del impacto. El coeficiente derestitucion es e = 0.4.

1.5pies

A

30pies/s

1.5pies

Solucioni. Por conservacion de la cantidad de movimiento angular, considerando

la bola y la barra como un sistema como en la Figura (b). Sabemos quela cantidad de movimiento en el punto A se conserva, porque la fuerzaimpulsadora es interna, entonces haciendo


Ingenierıa Civil

Ay

A

10lb

Ax

1.5pies

2lb

(b)

(HA)1 = (HA)2

mB(vB)1(1.5pies) = mB(vB)2(1.5pies) +mR(vG)2(1.5pies) + IGω2

(2lb

32.2pies/s2)(30pies/s)(1.5pies) = (

2lb

32.2pies/s2)(vB)2(1.5pies)+

10lb

32.2pies/s2(vG)2(1.5pies) + [

1

2

10lb

32.2pies/s2(3pies)2]

ii. Como (vG)2(1.5ω2) entonces

2.795 = 0.09317(vB)2 + 0.9317ω2 (7)

iii. Hallando el coeficiente de restitucion de la Figura (c), despues del cho-que tenemos.


Ingenierıa Civil

e =(vG)2 − (vB)2(vB)1 − (vG)1

0.4 =(1.5pies)ω2 − (vB)2

90pies/s− 0

12.0 = 1.5ω2 − (vB)2

1.5pies

A

=30pies/s

2

GB

(vB)1

(vB)2

(vG)2

(c)

iv. Al resolver, tenemos

(vB)2 = −6.52pies/s = 6.52pies/s

ω2 = 3.65[rad

s]


Ingenierıa Civil

6. Cinetica de las partıculas

6.1. Trabajo y energıa

Ejercicio 6.

Una caja de carton con peso W se separa de una banda trans-portadora con una velocidad v y para sobre una transicion lisa dearco circular a una superficie lisa inclinada 450, como se muestra.Determine la velocidad v que se requiere en el transportador paraque se mueva la caja hacia arriba de la superficie inclinada unadistancia H. La velocidad v debera expresarse en funcion de H, Ry g.

Solucion

i. Hallando A:

A = Rsin 450

sin 67.50


Ingenierıa Civil

ii. Aplicando la conservacion de la energıa mecanica en M y N :

EMM = EMN

1

2mv2 = mg(

H√2

+ A sin 22.50)

v2 = 2 · g(H√

2+

sin 450

sin 67.50R sin 22.50)

v2 = 2 · g(H√

2+R sin 450 tan 22.50)

v =

√2g(

H√2+R · 0.293)[ m

s]


Ingenierıa Civil



Ejercicio 7.

Determine el angulo α de la inclinacion del banco de una carre-tera curva de 180 m de radio que se necesita para que un vehıculopueda transitar a velocidad constante de 100 km/h sin tendencia adeslizarse lateralmente .

r

ra a

Solucion


Ingenierıa Civil

R

i. Aplicando∑

Fy = 0

N cos θ −mg = 0

N =mg

cosα(8)

ii. Aplicando la segunda ley de Newton para el movimiento:

∑F = ma

N sinα = mv2

R(9)

iii. Reemplazando, tenemos

mg

cosαsinα = m

v2

R


Ingenierıa Civil

tanα =v2

gR

α = arctan(v2

gR)

α = arctan(1002

9.8 · 180)

α = 79.9960


Ingenierıa Civil


8.1. Impulso y momentum

Ejercicio 8.

Un automovil de 2000 lb que viaja hacia el este choco con otroauto de 3000 lb que iba hacia el norte. El choque de los dos autosocurrio a una velocidad que da la expresion v = 30i + 20j (pies/s).Determine la velocidad de cada uno de los autos antes del choque.

Solucion


Ingenierıa Civil

i. Por propiedad de choques2000vxi+ 3000vyj = 5000 · (30i+ 20j)

ii. Igualando miembro a miembro

vx · 2000 = 5000 · 30i

vx = 75i

iii. Resolviendo para vy

vy · 3000 = 5000 · 20j

vy =100

3j

∴

vA = 75i [pies

s]

vAB = 733.333j [pies

s]


Ingenierıa Civil



Ejercicio 9.

El remolque B se esta subiendo por un plano inclinado a 100 pormedio de la camioneta A a la velocidad de constante de 65 km/h,cuando se rompe subitamente el cable de tiro. Determine la velo-cidad del remolque despues de 5 s. Desprecie la friccion.

10º

AB

Solucion

i. En primer lugar tenemos

∑F = ma⇒ a =

−w sin 100

m=−mg sin 100

m

a = −g sin 100 [m

s]


Ingenierıa Civil

10º

AB

10º

ii. Aplicando ecuaciones diferenciales para encontrar la velocidad de los 5soportes

x =

∫f(t)

mdt

x =

∫ 5

0

−g sin 100dt

x = −g sin 100

∫ 5

0

dt

x = −g sin 100[t]|50

x = −g sin 100[5− 0]

x = −g sin 100[5]

x = −9.98(0.174)(5)

x = −8.683 [m

s]

x = −31.25 [km

h]


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