Instituto Politecnico Nacional

Escuela Superior de Fısica y Matematicas

Ejercicios para el tercer parcial de Algebra III

E 1 . Enuncie todas las condiciones que son equivalentes para decir que un operador T sobre un C−e.v.de dimension finita es unitario.

E 2 . Sea T un operador lineal sobre un espacio unitario V y sea T∗ su adjunta. Demuestre lo siguiente

ker T ∗ = (Im T )⊥ Rank T = Rank T ∗.

E 3 . ¿Cuales son las posibilidades para el determinante de una matriz ortogonal?

E 4 . Diga cuales de las siguientes matrices son unitarias 1/√

2 −1/√

2 0

1/√

6 1/√

6 −2/√

6

1/√

3 1/√

3 1/√

3

1 0 11 0 −10 1 0

1+i√3

1+i√6

i√3

−2i√6

E 5 . Encuentre todas las matrices 3×3 que son diagonales y ortogonales. Encuentre todas las matricesn×n que son diagonales y ortogonales. Encuentre todas las matrices n×n que son diagonales y unitarias.

E 6 . Bajo que condiciones para los α, β ∈ R la matriz A1 es ortogonal y A2 es unitaria con

A1 =

(α+ β β − αα− β β + α

)A2 =

0 α 0 iβα 0 iβ 00 iβ 0 αiβ 0 α 0

E 7 . Si A y B son matrices ortogonales (resp. unitarias), explique porque AB es ortogonal (resp.unitaria), pero A+B no lo es necesariamente.

E 8 . Sea V es un espacio vectorial unitario de dimension finita. Si T es un operador lineal de V, entoncesencuentre U1 y U2 operadores hermitianos tales que T= U1 + iU2. Justifique si los operadores U1 y U2

son unicos o no.

E 9 . Sea T un operador normal en un espacio unitario de dimension finita V . Demuestre que:

a) Si Wi y Wj son eigenespacios asociados a distintos eigenvalores, entonces: Wi ⊥Wj .

b) c es un eigenvector de T si y solo si c es un eigenvector de T ∗.

c) Por ultimo muestre que el producto de dos operadores autoadjuntos es autoadjunto si y solo si losoperadores conmutan.

d) ‖T (u)‖ = ‖T ∗(u)‖ para todo u ∈ V .

E 10 . Sean A1, A2 ∈M3×3[C] de la siguiente forma:

A1 =

1 1 11 1 11 1 1

A2 =

1 2 22 1 22 2 1

diga si las matrices son normales, en caso de ser ası con la ayuda de una base ortonormal encuentre Pi yDi ∈M3×3[C] tal que Di = P ∗i AiPi.

E 11 .

1

a) Demuestre que el unico operador normal y nilpotente es el operador cero.

b) Sea V un espacio unitario y sea T un operador lineal, demuestre que T es auto-adjunto si y solo si(Tu, u) es real para todo u ∈ V .

c) Demuestre que un operador T en un espacio euclideano es ortogonal si y solo si T es invertible yT ∗ = T−1.

E 12 .Encuentre de dos clases diferentes de matrices en R que sean normales pero no simetricas.

E 13 .Pruebe que los eigenvalores de matrices reales sesqui-simetricas o complejas sesqui-hermitianasson puramente imaginarias, o sea multiplos de i.

E 14 .Muestre que una matriz triangular es normal si y solo si es diagonal.

E 15 . Sean V un R−espacio vectorial de dimension finita y ρ : V ×V → R una forma bilineal simetrica.Para cada subespacio W ⊆ V definimos W⊥ = {v ∈ V | ρ(v, w) = 0 para todo w ∈W}. Demuestre que:

a)W⊥ es subespacio de V. b)V = {0}⊥

c) V ⊥ = {0} ⇐⇒ ρ es no degenerada.

E 16 . Sea P4(R) el conjunto de polinomios con coeficientes en los reales de grado menor o igual que 4,definamos ϕi : P4(R)× P4(R)→ R de la siguiente manera:

a) ϕ1(f, g) = f(0)− g(0) b)ϕ2(f, g) = f(1)g′(1), donde g′ es la derivada de g

c) ϕ3(f, g) = f(1)− g(0) d)ϕ4(f, g) = f(1)g′(1)donde g′ es la derivada de g

e)ϕ5(f, g) = (∫ 1

0f(t)dt)(

∫ 1

0g(t)dt) f)ϕ6(f, g) = (

∫ 2

0f(t)dt)(

∫ 2

0g(t)dt)

encuentre cuales ϕi son formas bilineales y cuales son simetricas. Elija las ϕi que hayan sido formasbilineales y encuentre su matriz asociada en la base canonica.

E 17 . Las siguientes expresiones definen formas cuadraticas sobre R3:

q1(x) = x21 + 2x22 + x23 + k1x1x2 + 6x1x3 + 2x2x3 con x = (x1, x2, x3)

q2(x) = 2x21 + 2x22 + x23 + 2k2x1x2 + 6x1x3 + 2x2x3 con x = (x1, x2, x3)

encuentre la forma bilinear simetrica ϕi que correspode a qi, ası como su matriz asociada en la basecanonica y por ultimo encuentre los valores de ki para que la forma cuadratica qi sea positiva.

E 18 . Sean A1, A2 ∈M2×2[R] de la siguiente forma:

A1 =

(2 22 3

)A2 =

(1 22 5

)muestre que cada Ai es positiva, y luego con el proceso de Gram-Schmidt aplicado a la base canonica delas matrices 2× 1, encuentre Pi ∈M2×2[R] invertible tal que: Ai = P t

iPi

2