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Desarrollo de ejercicios sobre el teorema de pitágoras y razones trigonométircas.
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EJERCICIO RESUELTOS TEOREMA DE PITÁGORAS Y RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
Calcular el lado que le falta al triangulo
1)
5 cm ʔ
12 cm
H2 = a²+b²
H²=(5cm )2+(12cm )2
H²=25cm² + 144 cm²
H²= 169 cm²=
H=√169cm2
H=13 cm
2) 24cm
7cm ʔ
H²= a²+b²
H²¿ (7cm )2+(24cm )2
H²= 49 cm² + 576 cm²
H² = 625 cm²
H =√625cm ²
H =25 cm
3) 8 cm
ʔ 15 cm
H²= a²+b²
H²¿ (8cm )2+(15cm )2
H²= 64 cm² + 225 cm²
H² = 289 cm²
H =√289cm ²
H = 17 cm
4)
12cm ʔ
35 cm
H²= a²+b²
H²¿ (12cm )2+ (35cm )2
H²= 144 cm² + 1225 cm²
H²= 1369 cm²
H=√1369cm2
H=37 cm
5)
11cm 61cm
ʔ
H²= a²+b²
(61cm )2=(11cm )2+b ²
3721 cm² = 121cm² + b²
3721c m2−121c m2=b2
3600c m2=b2
b=√3600cm2
b=60cm
6)
21cm 29 cm
ʔ
H²= a²+b²
(29cm )2=(21cm )2+b ²
841c m2−441cm2=b2
400 cm2=b2
b=√400c m2
b=20cm
7. Formula x = √r2− y2
9 cm
41cm
X = √(41cm)2−(9cm)2 = x = √1681cm2−81cm2 = x = √1600cm2 = 40 cm
8.
6 cm
8 cm
A2 + B2 = H2
(6 cm)2 + (8cm)2 = H2
36 cm2 + 64 cm2 = H2
100 cm2 = H2
√100cm2 = 10 cm = H
El valor de la Hipotenusa es 10 cm
9.
53 cm 28 cm
Formula: x = √r2− y2
X = √ (53cm )2 – (28cm )2
X = √2809cm2−784cm2
X = √2025cm2 = x = 45 cm
10. En un rectángulo de 35mm ×120mm se traza una diagonal ¿Cuánto mide esta diagonal?
35 mm ?
120mm
h²= a²+b²
h²¿ (35mm )2+(120mm )2
h²= 1225 mm² + 14400 mm²
h= 15625 mm²
h=√15625mm2=125mm
h= 125 mm
R/ La diagonal mide 125 mm
11.En un rectángulo de 55 mm de base se traza su diagonal. La diagonal trazada mide 305 mm. ¿Cuánto mide la altura del rectángulo?
? 305 mm
55mm
h²= a²+b²
(305mm )2= (55mm )2+b ²
93025 mm² - 3025 mm² =b²
90000 mm² =b²
b=√90000mm2=300mm
La altura del rectángulo mide 300mm.
12.Desde la punta de un faro, una persona ata una cuerda de 91m de largo y la ubica a 35 m de distancia del faro. Calcular la altura del faro.
91 m
35m
h²= a²+b²
(91m )2=(35m )2+b ²
8281 m² - 1225 m² =b²
7056 m² = b²
b=√7056m2
¿84 m
La altura del faro es de 84m.
13. Mario apoya una escalera de 8,2 metros en una pared, separada a 1,8 metros de la misma ¿a qué altura del piso estará el escalafón más alto de la escalera?
8,2m
1,8m
h²= a²+b²
(8,2m )2=(1,8m )2+b ²
67,24 m² - 3,24 m² = b²
64 m² = b²
b=√64m2
b=8m
R/ El escalón más alto de la escalera estará a 8 m de altura del piso.
En los siguientes triángulos rectángulos hallar A y B.
1)
A B
B sena =coh
Sen 600= 12cm
h ipotenusa
600
Sen 600 × 12 cm= hipotenusa0,866 .12cm=hipotenusa
10,392cm=hipotenusa
B=10,392cm
A
Cos a = c ah
cos60 °=cah
cos60 °=cateto adyacente10,392cm
cos60 ° .10,392cm=catetoadyacente
0,5 .10,392cm=catetody
5,196=catetoayacente
A=5,196
2)
A
3cm B
sen a = catetoopuestohipotenusa
sen36 °= catetoopuesto3cm
sen36 ° .3cm=catetoopesto
0,587 .3cm=cateto opuesto
1,763=catetoopuesto
B=1,763cm
cos a= cateto adyacentehipotenusa
36°
cos36 °= catetoadyacente3cm
cos36 ° .3cm=cateto adyacente
0,819 .3cm=cateto adyacente
2,457cm=catetoadyacente
A=2,457cm
3)
A 29 cm
B
sen40 °cateto opuesto
hipotenusa
sen40 °= cateto opuesto29cm
sen40 ° .29cm=catetoopesto
sen40 ° .29cm=catetoopuesto
18,640cm=catetoopuesto
A=18,640cm
cos a= cateto adyacentehipotenusa
cos 40 °= catetoadyacente29cm
cos 40 ° .29cm=catetoadyacente
0,766 .29cm=cateto adyacente
22,215cm=catetoadyacente
B=22,215cm
4)
40°
10 cm B
A
senacatetoopuestohipotenusa
sen45 °= 10cmhipotenusa
sen45 ° .10cm=hipotenusa
7,071=hipotenusa
B=7,07 cm
cos a= cateto adyacentehipotenusa
cos 45 °= catetoadyacente7,07 cm
cos 45 ° .7,07cm=catetoadyacente
4,999 cm=catetoadyacente
A=4,999cm
15.
15.9m
8.4mt
15.9mt 2−8.4 mt 2=c t2
45°
42 cm
252.81mt−70.56 mt=c t2
182.25mt 2=c t 2
√182.25mt 2=ct13.52mt=ct
152+362
225 fos + 1296 fos = 1521 fósforos√1521 = 39 fos
Rta 17) = ¿= 5476cm−144 cm=5332cm2
= √5332=73.02cm
Rta 18) = ¿= 3364 cm−1764cm=1600c m2
= √1600=40cm
Rta 19) = 4 c m2+7.5c m2
= 16cm+56.25cm=72.25c m2
36 Fósforos
15 Fósforos ?
24 cm
74 cm
?
58 cm
?
?
7,5cm
4cm
= √72.25=8.5 cm
A=h (BM+bm )
2 A2+B2=H 2
352=212+b2
1225−441=b2
√784=b
28=b
h^2 = a^2+b^2 √64 = b(17)^2 = (15)^2+b^2 8 = b289 = 225 +b^2 h = b+b289-225 = b^2 h = 8+8 = 16Sen60° = 12/BCos60° = A/13,95B = 12/sen60° A = Cos60*13,95B = 13,95 A = 6,975
Sen50° = 24/A Tg50° = 24/B000000000000000000000000000000000000000000000000A = 24/Sen50° B = 24/Tg50°A = 31.32 cm B = 20.13 cm
100cm
142cm
35cm
17cm
15cm
?
A = P*a/2 Tg54° = CO/CA = a
Tg54° = a/6cm6*Tg54° = a8.25 cm = a
Sen24° = X/9.56cm Cos24° = A/9.56 Tg24° = Y/Base9.56cm*Sen24° = X 9.56*Cos24° = A 10.2*Tg24° = Y3.8 = X 8.7 = A 4.54 = YA+B = Base 8.7 + 1.5 = 10.2 cm
h^2 = C^2+C^2 ht = 2x(5)^2 = (2.5)^2+C^2 ht = 2(4.3)25-6.25 = C^2 ht = 8.66 cm√18.75 = C4.3 = C(x)
Dado el siguiente triángulo. Hallar los lados y/o ángulos que faltan.
C B
A
a
b c
a
6cm
c
54°
55
5
5
2.5
X
1)
A = 3m
B = 2m
B = 400
Asen (a)
= Bsen (b)
= Csen (c)
Angulo “a”
Asen ( a )
= Bsen (b )
= 3msen (a )
= 2msen (40 ° )
3m .sen (40 ° )=2m .sen (a)
1,92m=2m.sen (a )
sen (a )=1,92m2m
=0,96msen (a )=0,96
a=Arco sen (0,96 )=73° 44 �̍ 23
Angulo “c”
a=73 ° 44' b=40 ° c?
a+b+c=180 °
73 ° 44'+40°+c=180°
c=180 °−73° 44 '−40 °=66 °16 '
c=66° 16
Lado C=
Asen ( a )
= Csen (c )
3m
sen (73 ° 44 ' )= c
sen (66 ° 16' )=¿
sen (66 °16 ' ). 3m
sen (73 ° 44 ' )=c
c=2,86 m
2) A=12m
B=10m
C=30 °
Lado C
C2=A2+B2−2. A .B .cos (c )
c2=(12m )2+ (10m)2−2.12m.10m.cos30 °
c2=144 m2+100m2−240m2 .cos30 °
c2=144 m2+100m2−240m2 .0,866
c2=144 m2+100m2−207,84 m2
c2=36,16m2 c=√36,16m2=6,013m❑
Angulo “a”
A2=B2+C2−2.B .C .cos ( a )
(12m )2+(10m )2+(6 ,O13m )2−2 .10m.6,013. cos (a )
144m2=100m2+36,156m ²−60,13m2 .cos (a )
cos (a )=144m2−100m2−36,156m2
−60,13m2
cos (a )=−0,130
a=Arc cos (−0,130 )=a=97 °28 ' 10,56
Angulo “b”
a+b+c=180 °
97 ° 28' 10,56 +b+30°=180
b=180 °−97 ° 28' 10,56 -30
b=52° 31' ,44
3) A=15m
c=10m
b=60 °
Lado “B”
B2=A2+C2−2. A .C .cos (b )
B2=(15m )2+ (10m )2−2.15m.10m .cos (60° )
B2=225m2+100m2−300m2 .cos (60 ° )
B2=225m2+100m2−300m2 .0,5
B2=225m2+100m2−150m2
B2=175m2
B2=√175m2=13,22m
Angulo a
A2=B2+C2−2.B .C .cos ( a )
(15m )2=(13,22m )2+(10m )2−2 .13,22m .10m.cos (a )
225m2=174,7684m2+100m2−264,4m2 .cos (a )
cos (a )=225m2=174,7684m2−100m2
−264,4m2 =0,0188
cos (a )=0,0188
a=Arcocos (0,0188 )=88 ° 55' 21,99
Angulo “b”
a+b+c=180 °
88 ° 55' 21,99 +60°+c=180
c=180 °−88° 55 ' 21,99 -60
c=31 ° 4 ' 38,01
4) A=18m
C=16m
c=58 °
Angulo “a”
Asen ( a )
= Csen (c )
= 18msen (a )
= 16msen (58 ° )
18m. sen (58 ° )=16m .sen (a )
15,26m=16m .sen ( a )
sen (a )=15,26m16m
=0,95msen ( a )=0,95
a=Arcoseno ( 0,95 )=71 ° 48' 18,46
Angulo “b”
a+b+c=180 °
71 ° 48' 18,46 +b+58°=180
b=180 °−71 ° 48' 18,46 -58°=50° 11’ 41,54
Lado “B”
Asen ( a )
= Bsen (b )
= 18msen¿¿
B=(50 ° 11’41,54″ ) . 18msen ¿¿
B=14,55m
5) A=21cm
B=20Cm
b=70 °
Angulo “a”
Asen ( a )
= Bsen (b )
= 21cmsen (a )
= 20cmsen (70° )
21cm . sen (70 ° )=20 ° cm. sen (a )
19,7cm=20cm. sen (a )
sen (a )=19,7cm20cm
=0,98 cm sen (a )=0,98
a=Arcoseno ( 0,98 )=78 °31 ’17,97″
a=78 °31 ’17,97″
Angulo “b”
a+b+c=180 °
78 °31 ’17,97″+70 °+c=180 °
c=180 °−78° 31’ 17,97″−70 °=31 °28 ’ 42,03″
c=31 ° 28’ 42,03″
Lado “C”
Asen ( a )
= Csen (c )
= 21cm
sen ( 78° 31’ 17,97″ )= C
sen (31 °28 ’ 42,03″ )
C=sen (31° 28 ’ 42,03″ ) . 21cm
sen (78 ° 31’ 17,97″ )
C=11,18cm
6) B=51m
C=45 m
b=65 °
Angulo “c”
Bsen (b )
= Csen (c )
= 51msen (65 ° )
= 45msen (c )
45 m.sen (65 ° )=51m (sen c )
40,7 m=51msen (c )
sen= 40,7m51m
=0,79m
sen=0,79m
c=Arcoseno (0,79m )=52 °11’7″
c=52 ° 11’ 7″
Angulo “a”
a+b+c=180 °
a+65°+52 °11’ 7″=180 °
a=180 °−52 °11’7″−65 °
a=62 ° 48’ 53″
Lado A
Asen ( a )
= Bsen (b )
= A
sen (62 ° 48 ’53″ )= 51m
sen (65 ° )
A=sen ( 62° 48 ’53″ ) . 51msen (65 ° )
=50,05m
A=50,05m
7) A=5m
C=2m
b=45 °
Lado B
B2=A2+C2−2 . A .C .Coseno (b )
B2=(5m )2+ (2m)2−2 .5m.2m.cos ( 45 ° )
B2=25m2+4 m2−20m.0,7
B2=25m2+4 m2−14 m
B2=15m2
B=√15m2=3,87m
B=3,87m
Angulo “a”
A2=B2+C2−2 .B .C .cos (a )
(5m )2=(3,87m )2+(2m)2−2 (3,87m ) . (2m ) .cos (a )
25m2=14,97m2+4 m2−2 (3,87m ) . (2m ) .cos (a )
25m2=14,97m2+4 m2−15,48m .cos (a )
cos (a )=25m2−14,97m2−4 m2
−15,48m=−0,38
cos (a )=−0,389
a=Arc cos (−0,389 )=¿
a=112°53 ' 32″
Angulo “c”
a+b+c=180 °
112° 53' 32″+45 °+c=180 °
c=180 °−112° 53' 32″−45 °
c=22 ° 6' 28″
8) C=14cm
a=30 °
b=96 °
Angulo “c”
a+b+c=180 °
30 °+96 °+c=180 °
c=180 °−30°−96 °
c=54 °
Lado “A”
Asen ( a )
= Csen (c )
= Asen (30 ° )
= 14 cmsen (54 ° )
A=sen (30 ° ) . 14cmsen (54 ° )
=8,65cm
A=8,65cm
Lado “B”
Bsen (b )
= Csen (c )
= Bsen ( 96 ° )
= 14cmsen (54 ° )
B=sen (96 ° ) . 14cmsen (54 ° )
=17,2cm
9) A=3m
B=2m
C=4 m
Angulo “a”
A2=B2+C2−2 .B .C .cos (a )
(3m )2=(2m )2+ (4m )2−2 .2m.4m .cos (a )
9m2=4m2+16m2−16m2 .cos (a )
cos (a )=9m2−4m2−16m2
−16 m2 =0,68m2
cos (a )=0,68 m2
a=Arcocos (0,68 )=47 °9 ' 22,89″
a=47 ° 9' 22,89″
Angulo “b”
B2=A2+C2−2 . A .C .cos (b )
(2m )2=(3m )2+ (4m )2−2 .3m.4 m.cos (b )
4 m2=9m2+16m2−24m2 .cos ( b )
cos (b )=4 m2−9m2−16m2
−24 m2 =0,875m
b=Arccos (¿0,875)=28° 57' 18,09″ ¿
b=28 °57 ' 18,09 ″
Angulo “c”
a+b+c=180 °
47 °+9' 22,89″+28 °57 ' 18,09″+c=180 °
c=180 °−47 9' 22 ,89″−28° 57' 18 ,09 ″
c=103 ° 53 ' 19″
10) A=3m
B=5m
c=120 °
Lado C =
C2=A2+B2−2 . A . B .cos (c )
C2=(3m )2+ (5m )2−2 .3m2 .5m2 .cos (120 ° )
C2=9m2+25m2−30m2 .cos (120 ° )
C2=9m2+25m2−30m2 .−0,5
C2=9m2+25m2+15m ²
c2=√49m2=7 m
C2=7m
Angulo “a”
A2=B2+C2−2 .B .C .cos (a )
(3m )2=(5m )2+ (7m )2−2.5m .7m .cos (a )
9m2=25m2+49m2−70m2 .cos (a )
cos (a )=9m2−25m2−49m2
−70m=0,92m2
cos (a )=0,92m2
a=Arcocos (0,92 )=23 ° 4' 26,11″
a=23 ° 4' 26,11″
Angulo “b”
a+b+c=180 °
23 ° 4' 26,11″+b+120 °=180 °
b=180 °−23 ° 4' 26,11″−120=36 °55' 33,89″
b=36 °55 ' 33,89″
11) A=9cm
B=12cm
C=15cm
Angulo “a”
A2=B2+C2−2 .B .C .cos (a )
(9cm )2=(12cm )2+(15cm )2−2 .12cm .15 cm.cos (a )
81c m2=144cm2+225cm2−360cm .cos (a )
cos (a )=81c m2−144 cm2−225c m2
−360 cm2 =0,8cm2
cos (a )=0,8
a=Arcocos (0,8 )=36 ° 52' 11,63″
a=36 °52' 11,63″
Angulo “b”
B2=A2+C2−2 . A .C .cos (b )
(12cm )2=(9cm )2+(15cm )2−2 .9cm.15cm .cos (b )
144c m2=81c m2+225c m2−270c m2 .cos (b )
cos (b )=144c m2−81cm2−225 cm2
−270cm2 =0,875m=0,6
cos (b )=0,6
b=Arccos (¿0,6)=53° 7' 48,37 ″ ¿
b=53 °7 ' 48,37 ″
Angulo “c”
a+b+c=180 °
36 °+52' 11,63″+53 ° 7' 48,37 ″+c=180 °
c=180 °−36°+52' 11,63″−53 ° 7' 48,37″
c=90°
12)
C2=A2+B2−2 ∙ A ∙B ∙cos (c)
C2=(7 m)2+(6m)2−2 ∙7m ∙6 m∙cos300
C2=49m2+36m2−84 m2 ∙0,866
C2=49m2+36m2−72,24m2
C2=77,73m2
C=√77,73m2
C=8,81m
A2=B2+C2−2 ∙B ∙C ∙cos (a)
(7m)2=(6 m)2+(8 ,81m)2−2∙6m∙8,81m∙cos (a)
49m2=12m2+77,61m2−105,72m2 ∙cos (a)
49m2−12m2+77,61m2
−105,72m2 =cos(a)
cos (a )=−0,384
a=Arc cos(−0,38) = a=112° 34 ´51´ ´
a=112° 34 ´51° y C= 30°
a+b+c=180°
112° 34 ´51´ ´+b+30°=180°
b=180°−112° 34´ 51´ ´−30°
b=98° 2´ 24´ ´
13)
sen30°= 2mAC
AC= 2m
sen30°=4 = c
cos30°= AB4
AB=4 ∙cos 30°=AB=3,46=b
Para hallar la medida del ángulo faltante hacemos lo siguiente:
m∡A+m∡B+m∡C=180°
30°+m∡B+60°=180°
180°−90°=90°
REFERENCIAS
Ediciones Lógicamente, Libro de Matemática a Media, Tema 52: Trigonometría nivel I. Recuperado de
http://www.logikamente.com.ar/?page=Recursos::Los_84_temas
Ediciones Lógicamente, Libro de Matemática a Media, Tema 53: Trigonometría nivel II. Recuperado de
http://www.logikamente.com.ar/?page=Recursos::Los_84_temas