Upload
jermaine-holcomb
View
76
Download
2
Embed Size (px)
DESCRIPTION
EKONOMİK DEĞİŞKENLER ARASINDAKİ İLİŞKİLERİN TAHMİNİNDE BAYES YAKLAŞIMI BAYESYEN REGRESYON. [1] Bu konu Griffiths ve diğerleri, Learning and Practicing Econometrics, Bölüm 25’den alınmıştır. BÖLÜM 6. EKONOMİK DEĞİŞKENLER ARASINDAKİ İLİŞKİLERİN TAHMİNİNDE BAYES YAKLAŞIMI - PowerPoint PPT Presentation
Citation preview
1
EKONOMİK DEĞİŞKENLER ARASINDAKİ İLİŞKİLERİN
TAHMİNİNDE BAYES YAKLAŞIMIBAYESYEN REGRESYON
[1] Bu konu Griffiths ve diğerleri, Learning and Practicing Econometrics, Bölüm 25’den alınmıştır.
2
BÖLÜM 6. EKONOMİK DEĞİŞKENLER ARASINDAKİ İLİŞKİLERİN TAHMİNİNDE BAYES YAKLAŞIMI
1. Toplam Tüketim İçin Ekonomik Model 2. İstatistiksel Model Ve Veri3. Örnekleme Teorisi Yöntemine Dayalı Tahmin Ve Yorumlama
3. 1 İstatistiksel Model Ve Tahminler3.2 Örnekleme Teorisi Sonuçlarını Yorumlama
4. Varyansın Bilinmesi ve Ön Bilginin Olmadığı Durumda Tüketim Fonksiyonu Parametrelerine Ait Belirsizliğin İfade Edilmesi
4.1 Örnek Sonrası Yoğunluk Fonksiyonlarından Bilginin Özetlenmesi 5. Tüketim Fonksiyonu Parametrelerine Ön Bilgiyi Dahil Etme
5.1 Marjinal Tüketim Eğilimi İle İlgili Ön Bilgi5.2 2’nin Örnek Alındıktan Sonraki Yoğunluk Fonksiyonu5.2.a Kesikli Normal Dağılımdan Elde Edilen Olasılık İfadeleri5.2.b 2’nin Nokta Tahmini5.2c Aralık Tahmini5.3 1 ve 2’deki Bilgi Nasıl İlişkilendirilir?5.4 Her İki Parametreye Ön Bilgiyi Dahil Etme
6. İleriye Yönelik Tahminleme
3
Bayesyen yaklaşımda, deneme yapılmadan önce parametreye
ilişkin sahip olunan ön bilgi, ön bilgiye dayalı olasılık yoğunluk
fonksiyonu ile analize dahil edilir.
Aslında ön bilgi her araştırmada mevcut olmayabilir veya farklı
seviyelerde ön bilgi olabilir.
Regresyonda önemli bir aşamayı teşkil eden ön bilgi dağılımın
oluşturulması bilgi veren ve bilgi vermeyen olasılık yoğunluk
fonksiyonu şeklinde iki başlıkta oluşturulmaktadır.
BAYESYEN REGRESYON…
4
değişken P(/) örnek sonrası yoğunluk fonksiyonudur:
…BAYESYEN REGRESYON…
Bayesyen yaklaşımda klasik regresyonun aksine bilinmeyen; bir sabit
tah min N , 2 değildir. Bayesyen regresyonda bir rastsal
P N tah min, 2
1, 2,……, k ve 2 parametreleri birer rastsal değişkendir ve
olasılık dağılımları vardır.
Bu bölümünde, Bayes kuralıyla değişkenler arasındaki ilişkide
bilinmeyen parametrelere ait ön eşitsizlik bilgisini içeren
yöntemler incelenecektir.
5
…BAYESYEN REGRESYON…
Ekonomik teoriden, ekonomik ilişkideki parametrelerin işaretleri
hakkında çoğu şey bilinir.
Bir malın fiyatı arttığı zaman, talep edilen miktarın düşeceğini;
Gelir arttığında tüketimin artacağını;
Üretim faktörlerinin fiyatları arttığında, çıktının azalacağı
bilinmektedir.
Örneğin aşağıdaki gibi iki ekonomik değişken arasındaki
ilişkide yer alan bir parametrenin işareti hakkında ön bilgi vardır:
6
…BAYESYEN REGRESYON…
X açıklayıcı değişkeni ile Y bağımlı değişkeni arasındaki ilişkiyi
açıklayan 1 ve 2 parametreleri aşağıdaki gibidir:
1 2 Y X e
X’deki artışın Y’de azalmaya sebep olduğunu, 2’nin negatif olduğu
bilindiği varsayılsın.
Bu bilgi, 2 < 0 olarak gösterilebildiği için, 2 ile ilgili eşitsizlik
bilgisi olarak da ifade edilebilir.
Ayrıca bu bilgi, örnekleme sürecinden önce bilindiği için “ön
bilgi” veya “örnek dışı eşitsizlik bilgisi” olarak adlandırılır.
7
…BAYESYEN REGRESYON…
Bu bölümün temel amacı, 2’nin büyüklüğü hakkında bilgi elde etmek
için kullanılan yöntemlere ön eşitsizlik bilgisini biçimsel olarak dahil
etmektir.
Diğer bir deyişle, 2<0 eşitsizliği bilindiğinde 2’nin büyüklüğü
hakkındaki bilginin elde edilişi ve ifade edilişi incelenecektir.
8
…BAYESYEN REGRESYON…
Toplam tüketim fonksiyonunun parametrelerinin tahmin problemi
ele alınsın:
1 2 DC Y
C: Tüketim,
YD:harcanabilir gelir
tüketim fonksiyonunun bilinmeyen parametreleridir. ve 1 2
parametresi, otonom tüketimdir, harcanabilir gelir sıfır1
2 marjinal tüketim eğilimidir
(1)
oldugunda tüketilen miktardır.
9
…BAYESYEN REGRESYON…
Bu bölümdeki amaç, bilinmeyen parametreler hakkında tahmin ve
yorum yapmaktır. Bu amaç için ilk adım,
(1) nolu denkleme ait gözlenmiş örnek verileriyle tutarlı istatistiksel
modeli tanımlamaktır.
Ekonomik teori tarafından önerilen eşitsizlik bilgisi
Buna göre, ön eşitsizlik bilgisini, tahmin ve yorum sürecine
sistematik bir şekilde eklemek gereklidir.
1 0
20 1 dir.
ve
10
Bayesyen ve Klasik Yaklaşım Arasındaki Farklar…2
İstatistiksel birçok yöntemin uygulanmasında Bayesyen yaklaşım ile
klasik yaklaşım arasında farklılıklar gözlenir.
İki yaklaşım arasında en önemli farklılık parametrelerin
tanımlanmasında ortaya çıkar:
Bayesyen yaklaşımda parametreler raslantı değişkenleri olarak
tanımlanırken, klasik yaklaşımda parametreler sabit ancak
bilinmeyen değerler olarak tanımlanır.
Klasik yaklaşımda yorumlamalar için sadece veriden elde edilen
bilgi (olabilirlik fonksiyonu) kullanılırken, Bayesyen yaklaşımda ön
bilgi ile veriden elde edilen bilginin birleştirilmesiyle elde edilen
örnek sonrası dağılım kullanılır.2 İki Düzeyli Logit ve Probit Modellerde Parametre Tahminlerine Bayesci Yaklaşım, Derya Tektaş, Hacettepe Üniversitesi
11
Başka bir farklılık nokta tahminlerinde ortaya çıkar.
Klasik yaklaşımda tahmin değerinin gerçek değerden farklılığı hatanın
doğrusal ya da karesel kayıp fonksiyonu ile ölçülürken, Bayesyen
yaklaşımda, her bir tahmin edici için beklenen riskler hesaplanır ve
beklenen riski en küçük olan tahmin edici en iyi tahmin edici olur. Örnek
sonrası dağılımın tepe değeri, Bayesyen yaklaşımda nokta tahminidir.
Klasik yaklaşımda aralık tahminleri aralığın parametreyi içermesi
olasılığı üzerinden yorumlanırken, Bayesyen yaklaşımda parametrenin
aralığa düşme olasılığı üzerinden yorumlanır.
Bayesyen istatistikte ön bilgiye ait dağılımların kullanılmasından dolayı
varyanslar klasik istatistikte elde edilen varyanslara göre daha küçüktür ve
aralık tahminleri daha dar elde edilir
…Bayesyen ve Klasik Yaklaşım Arasındaki Farklar2…
2 İki Düzeyli Logit ve Probit Modellerde Parametre Tahminlerine Bayesci Yaklaşım, Derya Tektaş, Hacettepe Üniversitesi
12
Bayesyen Yaklaşımın Zorlukları ve Üstünlükleri2...Bayesyen yaklaşımda en çok karşılaşılan zorluklar, Ön bilgiye ait dağılımın oluşturulması ve örnek sonrası dağılımın elde edilmesidir. Ön bilgiye ait dağılımın elde edilmesinde, parametre hakkında kesin olmayan bilgilerin önsel dağılıma dönüştürülmesinde ortaya çıkar. Çok değişkenli modeller söz konusu olduğunda, özellikle parametreler arasında ön bilgiye ait ilişkiler varsa, dağılımların belirlenmesi zor olur. Bayesyen yaklaşımın üstünlükleri Klasik istatistikte çözüm bulunamayan problemlere Bayesyen yaklaşım ile çözüm bulur. Bayesyen istatistiğin başka bir üstünlüğü, yorumlama yapmak için örneklem büyüklüğü için bir kısıt olmaması, küçük örneklemlerde de geçerli çıkarsamalar yapılabilmesidir. Ayrıca, Bayesyen yorumlama ile parametreler üzerindeki belirsizlik de azaltılır. Bu üstünlükler, temel olarak Bayesyen yorumlamanın ardışık yapısından kaynaklanır
2 İki Düzeyli Logit ve Probit Modellerde Parametre Tahminlerine Bayesci Yaklaşım, Derya Tektaş, Hacettepe Üniversitesi
13
İstatistiksel Model ve Veri…
(1) nolu eşitlikteki tüketim fonksiyonu için ekonomik model
istatistiksel modele dönüştürülürse;
1 2t t tY X e (2)
Burada
Yt dönemindeki toplam tüketimi;
Xt dönemindeki kullanılabilir geliri;
et sıfır ortalamalı ve 2 varyanslı normal dağılımlı T sayıda
gözlenemeyen eşitlik hatalarının bağımsız çekilişlerini
göstermektedir.
Çekilişlerin bağımsız olduğu varsayıldığı için hata çiftleri arasındaki
kovaryans sıfırdır. t s[ , ] 0t sE e e
14
… İstatistiksel Model ve Veri…Aşağıdaki tabloda 1969-1978 dönemine ait kişisel harcanabilir gelir ve kişisel tüketim harcamaları verileri verilmiştir.
Yıl Kişi Başına YıllıkKullanılabilir Gelir
Kişi başına Tüketim
1969 7891 71851970 8134 72751971 8322 74091972 8562 77261973 9042 79721974 8867 78261975 8944 79261976 9175 82721977 9381 85511978 9735 8808
15
İstatistiksel Model ve Tahminler …
1 ve 2 ye ait bilginin örnekleme teorisi sonuçları verilmeden önce,
istatistiksel modeli oluşturulsun:
1 1 2 2Y X X e X e (3)
2(0, )Te N I
ve
İlk örnekleme teorisi sonuçları, en küçük kareler yöntemi nokta tahminleri;
1
2
128.9411
0.91126
bb
b
(4)
16
2 ˆ ˆ( ) ' ( ) ' 87312.9310,914.12
2 2 8
Y Xb Y Xb e e
T T
b için tahmin edilen kovaryans matrisi
2 1 284020.3 32.132ˆ ˆ( ) ( ' )
32.132 0.0036491cov b X X
b1 ve b2’nin standart hataları ,bu matrisin köşegen elemanlarının
karekökleridir.
1( ) 284020.3 532.94 s b
2( ) 0.0036491 0.060408 s b
(5)
(6)
(7)
(8)
…İstatistiksel Model ve Tahminler …
17
Tahmin modeli
ˆ 128.94 0.9113 t tY X
s(bi ) (532.94) (0.0604)
(9)
(9) eşitliğindeki tahminler, her parametre için aralık tahmini oluşturmada standart hatalarıyla birlikte kullanılabilir.
1 için %95aralık tahmini;
1128.94 (2.306) (532.94) 128.94 (2.306) (532.94)
2.306ct n-k=10-8
11358 1100 (10)
1 için yapılan aralık tahmini, gelirden bağımsız olarak otonom
tüketimin en yüksek 1100$ olduğunu ifade etmektedir. En düşük
olarak ise -1358$ dır
…İstatistiksel Model ve Tahminler …
18
2 için %95aralık tahmini;
20.9113 (2.306) (0.0604) 0.9113 (2.306) (0.0604)
20.772 1.051 (11)
Bu aralık, marjinal tüketim eğiliminin 0.772 ile 1.051 arasında
olduğunu gösterir.
…İstatistiksel Model ve Tahminler …
19
Kamu harcama çarpanının 10’dan daha büyük olup olmadığını
öğrenmek isteyelim;
21/ (1 ) 10 2 0.9
Böylece, ilgili hipotez çifti;
0 2: 0.9H 1 2: 0.9H
(12)
0H ’nın doğru olduğu varsayılırsa t- istatistiği için hesaplanan değer
0.91126 0.90.186
0.060408t
(13)
…İstatistiksel Model ve Tahminler …
çarpanı, marjinal tüketim eğilimi
olduğunda ortaya çıkar.
Slayt 17
20
%5 önem seviyesinde, tek taraflı test için kritik değer, dır.
1.860ct
0186 1.860 ct t
olduğu için hipotezi reddedilemez.0H
…İstatistiksel Model ve Tahminler …
21
Otonom tüketim için;
Örnekleme Teorisi Sonuçlarını Yorumlama…
Örnekleme teorisi sonuçlarına dayanılarak elde edilen nokta ve
aralık tahminleri tekrar incelenirse;
1 128.94b
1( 1358 1100) aralık tahmini
nokta tahmini
Yaklaşık olarak -129 olan bu negatif değer anlamsızdır; çünkü
gelir sıfır olsa bile tüketim negatif olamaz
ˆ 128.94 0.9113 t tY X
22
…Örnekleme Teorisi Sonuçlarını Yorumlama…
Marjinal tüketim eğilimi 2;
aralık tahmini
nokta tahmini 2 0.91b
2(0.772 1.051)
Bulunan 0.91 nokta tahmini marjinal tüketim eğilimi için uygun bir
tahmindir.
Ancak elde edilen (0.772; 1.051) aralık tahmini bilgi verici değildir.
Aralığın alt limiti oldukça düşük olup, üst limit ise 1’den büyük
olduğundan mümkün bir sonuç değildir.
ˆ 128.94 0.9113 t tY X
23
Bu sonuçları analiz etmek için, Bölüm 5’de anlatılan Bayesyen yapısına
dönülmelidir.
İki ekonomik değişken arasındaki ilişki araştırıldığında ve
1 >0 ile 0<2 < 1 eşitsizlikleri hakkındaön bilgiye dayalı örnek dışı
bilgiye sahip olunduğunda, Bayesyen yapı kullanılan model için
genişletilebilir.
İlk olarak belirsizlik durumunda ön bilgi bir kenara bırakılarak, 1
ve 2 için örnek sonrası yoğunluk fonksiyonlarının yapısı
incelenecektir.
…Örnekleme Teorisi Sonuçlarını Yorumlama…
24
Varyansın Bilinmesi ve Ön Bilginin Olmadığı Durumda Tüketim Fonksiyonu Parametrelerine Ait Belirsizliğin İfade Edilmesi…
1 >0 ile 0<2 < 1 ön bilgiye dayalı eşitsizlik bilgisi hesaba
katılmasın.
Belirsizlik altında 1 ve 2 için örnek alındıktan sonraki
yoğunluk fonksiyonlarını elde etmek yararlı olacaktır.
Bu durumda ön eşitsizlik bilgisinin örnek alındıktan sonraki
yoğunluk fonksiyonlarına nasıl uyarlandığı incelenecektir.
İlk olarak
25
…Varyansın Bilinmesi ve Ön Bilginin Olmadığı Durumda Tüketim Fonksiyonu Parametrelerine Ait Belirsizliğin İfade Edilmesi…
Tüketim fonksiyonu parametreleri hakkında:
• bir belirsizliğin olduğu (1 >0 ile 0<2 < 1 ön eşitsizlikleri
kullanılmamaktadır) 2’nin bilindiği varsayımıyla çalışmaya başlansın.
1 ve 2 için aşağıdaki tanımlamalar elde edilir:
2 21 1
1 1
1
(0,1) var( )( )var( )
t
t
Xbz N b
T x xb
22 2
2 2 22
(0,1) var( )( )var( )
t
bz N b
x xb
(14)
(15)
b1 ve b2 normal şans değişkenleri olduğu için z1 ve z2 de standart normal şans değişkenleridir.
Örnek alınmadan önce
26
…Varyansın Bilinmesi ve Ön Bilginin Olmadığı Durumda Tüketim Fonksiyonu Parametrelerine Ait Belirsizliğin İfade Edilmesi…
Örnek alınmadan önce 2’nin bilindiği durumda standart normal dağılım z1 ve z2 ile ilgili olasılık hesapları kullanılabilir.
0 2H : 0
1 2H : 0
Testi yapılırken; örnek alınmadan önce H0 doğru ise, b2 için
olma olasılığı %5’dir 2 2b var b 1.96
Örnekten önce z2 için normal dağılım kullanılırsa 0.95 olasılıkla 2
2 2 2 2b 1.96 var b ,b 1.96 var b aralığında olacaktır.
27
…Varyansın Bilinmesi ve Ön Bilginin Olmadığı Durumda Tüketim Fonksiyonu Parametrelerine Ait Belirsizliğin İfade Edilmesi…
Örnek aldıktan sonra 1 ve 2 hakkındaki belirsizliği veya bilgiyi
ifade etmek amacıyla olasılık yoğunluk fonksiyonu kullanılmaktadır.
Örnek gözlenmiş olsa bile standart normal şans değişkenleri olarak
z1 ve z2 ele alınır. Bu nedenle b1 ve b2 sabit rastsal olmayan sayılardır
(Örnek ile çalıştık b1 ve b2 yi bilyoruz). 2 için bu işlemler gerçekleştirilsin. 2 bilindiğinde Var(b2)’de bilinmektedir.
Bu nedenle sabit bir sayı olarak b2 ’yi ele almak, z2 için tek
rastgelelik kaynağının 2 parametresi hakkındaki belirsizlik olduğu
anlamına gelir.
28
…Varyansın Bilinmesi ve Ön Bilginin Olmadığı Durumda Tüketim Fonksiyonu Parametrelerine Ait Belirsizliğin İfade Edilmesi…z2 değişkeni, örnek gözlendikten sonra standart normal dağılımlı
olmayı sürdürürse, 2 bir şans değişkeniymiş gibi ele alınır.
Aslında 2 bir şans değişkeni değil, yapılan deneyin bir sonucudur.
2’nin gerçek değeri hakkındaki belirsizliği tanımlayan subjektif
olasılık fonksiyonunun 2’ye atanabilmesiyle 2 rastsal değişken
olarak ele alınabilir. Bu subjektif olasılık fonksiyonunu bulmak
için, (15) eşitliğinden,
2 2 2 2var( )b z b (16)
22 2
2 2 22
(0,1) var( )( )var( )
t
bz N b
x xb
(15)
29
…Varyansın Bilinmesi ve Ön Bilginin Olmadığı Durumda Tüketim Fonksiyonu Parametrelerine Ait Belirsizliğin İfade Edilmesi…
b2 ve sabitleri ve standart normal dağılış değişkeni z2
verildiğinde 2 ye göre olasılık yoğunluk fonksiyonunu bulmak için
(16) eşitliği nasıl kullanlır?
2var( )b
2 2 2 2var( )b z b (16)
’nin doğrusal bir fonksiyonu ve normal dağıldığı için, normal dağılır.
nin örnek sonrası yoğunluk fonksiyonu da normal dağılmaktadır. 2
2 2, z2z 2
30
…Varyansın Bilinmesi ve Ön Bilginin Olmadığı Durumda Tüketim Fonksiyonu Parametrelerine Ait Belirsizliğin İfade Edilmesi…
2 2 2 2var( )b z b (16)
Ortalaması
2 2 2 2 2var( )E b b E z b
Varyansı
2
22
2 2 2 2var( ) var( ) var( ) var( )b z b
(17)
(18)
(16) nolu eşitlikten
31
…Varyansın Bilinmesi ve Ön Bilginin Olmadığı Durumda Tüketim Fonksiyonu Parametrelerine Ait Belirsizliğin İfade Edilmesi…
(18) Eşitliğinde örnek sonrası normal yoğunluk fonksiyonunun
varyans ifadesi, en küçük kareler tahmincisinin varyans ifadesinin
aynısıdır.
Örnek aldıktan sonraki yoğunluk fonksiyonunun varyansı için
notasyon olarak kullanılır,22
2
22
2 2var( )
( )
tx x
Tüm bu bilgileri kullanarak 2 için örnek sonrası yoğunluk fonksiyonu
2
22 2( , )N b (20)
(19)
32
…Varyansın Bilinmesi ve Ön Bilginin Olmadığı Durumda Tüketim Fonksiyonu Parametrelerine Ait Belirsizliğin İfade Edilmesi…
Benzer şekilde, 1 için
1 1 1 1b z Var b
1 1 1 1 1E b Var b .E z b
1
2 22t
1 1 2t
xVar Var b
T x x
1
21 1,( )N b (21)
Tüm bu bilgileri kullanarak 1 için örnek sonrası yoğunluk fonksiyonu
1
2 22
2( )
t
t
x
T x x (22)
33
…Varyansın Bilinmesi ve Ön Bilginin Olmadığı Durumda Tüketim Fonksiyonu Parametrelerine Ait Belirsizliğin İfade Edilmesi…
2
22 2( , )N b (20)
1
21 1,( )N b
(21)
(20) ve (21) eşitlikleri, örnek alındıktan sonra parametreler
hakkındaki bilgi ve belirsizlik durumunu ifade eden olasılık
dağılışlarıdır.
1 ve 2 için örnek alındıktan sonraki yoğunluk fonksiyonları-
nı gösterir.
34
…Varyansın Bilinmesi ve Ön Bilginin Olmadığı Durumda Tüketim Fonksiyonu Parametrelerine Ait Belirsizliğin İfade Edilmesi…
Ancak örnek sonrası yoğunluk fonksiyonları anlamlı olmalıdır.
Bunun için, örnek alınmadan önce 1 ve 2’ye ilişkin bilgi durumunun
ne olduğu sorulmalıdır.
Örnek bilgisini kullanarak ön bilginin güncellenmesinin ardından,
örnek sonrası yoğunluk fonksiyonu parametreler hakkındaki bilgiyi
tanımlar.
Ön bilgi x Veri Örnek alındıktan sonraki bilgi (23)
Örnek sonrası yoğunluk fonksiyonunun oluşumunda nasıl bir ön bilginin gerekli olduğu sorusunun yanıtı eşitlik (23) dür. Bu da Bayes kuralını ifade etmektedir.
35
Tüketim fonksiyonu örneği kapsamında (20) ve (21) eşitliklerinden
örnek alındıktan sonraki yoğunluk fonksiyonları incelensin.
2 =11000 olduğu varsayılsın. Tablo 1’deki verilerle
…Varyansın Bilinmesi ve Ön Bilginin Olmadığı Durumda Tüketim Fonksiyonu Parametrelerine Ait Belirsizliğin İfade Edilmesi…
1 2128.94 0.9113b b
1
(11.000) (778,239,650)535.03
(10) (2,990,884) 2
11.0000.06065
2,990,884
1 ve 2 için örnek sonrası normal yoğunluk fonksiyonları2
1 128.94, (535.03)N
22 0.9113, (0.06065)N
(24)
36
…Varyansın Bilinmesi ve Ön Bilginin Olmadığı Durumda Tüketim Fonksiyonu Parametrelerine Ait Belirsizliğin İfade Edilmesi…
1535.03
20.006065
1( ) 532.94s b
2( ) 0.006041s b
Beyesyen den gelen standart sapmalar
örneklem teorisindeki standart hatalara çok yakındır.
Bu yakınlığın nedeni, örneklem teorisindeki varyans tahmini
2ˆ 10914 değerinin 2 =11000 değerine yakın olmasıdır.
(25)
Örneklem teorisi
37
…Varyansın Bilinmesi ve Ön Bilginin Olmadığı Durumda Tüketim Fonksiyonu Parametrelerine Ait Belirsizliğin İfade Edilmesi…
Sonuç olarak, 1 ve 2 için örnek sonrası yoğunluk fonksiyonları
şeklen en küçük kareler tahmincileri b1ve b2 için tahminlenen
olasılık yoğunluk fonksiyonlarına benzerdir.
Aynı ortalamalara ve hemen hemen aynı standart hatalara
sahiptir.
BU DURUM BAYESYEN YORUMLAMA İLE ÖRNEKLEME
YÖNTEMLERİNE DAYALI TAHMİN VE YORUMLAMALAR
AÇISINDAN KARŞILAŞTIRMA YAPMAYI SAĞLAR.
38
Örnek Sonrası Yoğunluk Fonksiyonlarından Bilginin Özetlenmesi …
Örnek sonrası yoğunluk fonksiyonundan özet ölçüler hakkında bilgi
vermek, tüm örnek sonrası yoğunluk fonksiyonunun kendisi
hakkında bilgi vermekten daha uygundur.
Üç yararlı özet ölçüsü:
1)Parametreler ,
2)aralık tahminleri ve
3)hipotezlerin karşılaştırılması ile ilgili olasılık hesaplarıdır
39
İki olasılık ifadesi ilgilenilsin.
1 2( 0) ( 1)P ve P
1
1 11 1
0 128.94( 0) ( 0.241) 0.595
535.03
bP P P z
2
2 22 2
1 0.9113( 1) ( 1.463) 0.072
0.06065
bP P P z
(26a)
(26b)
Böylece, verilen model ve tahminlerle marjinal tüketim eğiliminin birden büyük olması ihtimali vardır. (yaklaşık olarak %7). Benzer şekilde, otonom tüketimin negatif olma olasılığı 0.6’dır.
Örnek Sonrası Yoğunluk Fonksiyonlarından Bilginin Özetlenmesi …
Otonom tüketimin negatif olması ve marjinal tüketim eğiliminin birden büyük çıkması imkansızdır. Örnek sonrası yoğunluk fonksiyon bilgileri ile
1 1( 0) ( 0.241) 0.50 0.0948 0.59P P z
2 2( 1) ( 1.463) 0.50 0.4279 0.072P P z
Parametreler:
40
…Örnek Sonrası Yoğunluk Fonksiyonlarından Bilginin Özetlenmesi …
2 22 2 21.96 1.96 0.95P b b
20.9113 1.96 0.06065 0.9113 1.96 0.06065 0.95 P
2(0.792 1.030) 0.95P
1( 1178 920) 0.95P
Örnek sonrası yoğunluk fonksiyonlarıyla yapılan 1 ve 2 için olasılık hesapları:
2 için,
1 için,
(27)
(28)
%95 aralık tahminlerini bulmak için 3. kısımdaki yöntemler kullanılsın.
2 bilinmektedir. Dağılım z ye daha uygundur.
2. Aralık tahminleri
41
…Örnek Sonrası Yoğunluk Fonksiyonlarından Bilginin Özetlenmesi …
En küçük kareler sonuçlarında olduğu gibi, bayesyen ile ilgili aralık
sonuçları da uygun olmayan alanlarda ortaya çıkmıştır.
( 1 <0 ve 2 >1).
Bu durumun ortaya çıkmasının nedeni, 1 ve 2 üzerine hiçbir
koşul konmadığı ve tamamıyla bilgi olmamasından
kaynaklanmaktadır.
42
…Örnek Sonrası Yoğunluk Fonksiyonlarından Bilginin Özetlenmesi …
Son olarak, fark oranı üzerine kurulan iki hipotez karşılaştırılsın. 2>0.9 olup olmadığıyla ilgilenilsin.
0 2
1 2
: 0.9
: 0.9
H
H
H1 hipotezi lehine fark oranı,
210
2
( 0.9) 0.5751.35
( 0.9) 0.4247
PK
P
2’nin 0.9 dan büyük olması, 2’nin 0.9’dan küçük olmasına göre 1.35
kat daha fazla olasılığa sahiptir.
3. Hipotezlerin karşılaştırılması
43
…Örnek Sonrası Yoğunluk Fonksiyonlarından Bilginin Özetlenmesi …
H0 hipotezi lehine fark oranı,
0110
1 10.74
1.35K
K
2 2 2
2 2
1
ˆ b 0.9 b 0.9 0.9113P P z P z 0.19 0.575
ˆ ˆ 0.06065s s
'in
=0.50+0.0753=0.575
H kabul edilme olasılığı
2
0
P z 0.19 P 0.9 0.50 0.0753 0.4247
'in
=H kabul edilme olasılığı
44
Tüketim Fonksiyonu Parametrelerine Ön Bilgiyi Dahil Etme…
Tüketim fonksiyonu parametreleri için örnek alındıktan sonraki
yoğunluk fonksiyonunu incelerken sadece örnek bilgisi bu yoğunluk
fonksiyonuna dahil edilmiştir.
Ön ve örnek eşitsizlik bilgisinin her ikisinden de bilgi edinme süreci
içerisinde problem dâhilinde yararlanılmaktadır.
Bu kısımda ön ve örnek eşitsizlik bilgileri dahil edilecektir.
Otonom tüketim 1 ve marjinal tüketim eğilimi 2 aşağıdadır:
1 2t t tY X e (29)
Hata varyansı 2’nin bilindiği varsayılmaktadır.
45
…Tüketim Fonksiyonu Parametrelerine Ön Bilgiyi Dahil Etme…
Kısım 5.1’den 5.3’e kadar ki bölümlerde, aşağıdaki sorular araştırılacaktır.
(1) Ön olasılık yoğunluk fonksiyonuna göre 0<2 <1 olan ön bilgi nasıl ifade edilir?
(2) Ön olasılık yoğunluk fonksiyonunu örnek bilgisiyle birleştirmek için Bayes kuralını kullandıktan sonra, 2 için örnek sonrası yoğunluk fonksiyonunun niteliği nedir? Örnek gözlemlendikten sonra bilgi nasıl ifade edilir?
(3) Nokta ve aralık tahminlerini bulmak ve olasılık ifadelerini oluşturmak için, ön eşitsizlik bilgisini içeren 2’nin yeni örnek sonrası yoğunluk fonksiyonu nasıl kullanılır?
(4) 2’nin ön eşitsizlik bilgisi, 2’in örnek alındıktan sonraki bilgisini etkiler mi?
46
Marjinal Tüketim Eğilimi ile İlgili Ön Bilgi…
İlk olarak birinci soru ele alınırsa;
0<2 <1 ön eşitsizlik bilgisi, ön olasılık yoğunluk fonksiyonu
yönünden nasıl ifade edilecektir.
Eğer 0<2 <1 olduğu bilinirse, fakat 2’nin (0,1) aralığında nerede
olduğu bilinmiyorsa, o zaman eşit olasılıkla 0 ile 1 arasındaki bütün
değerleri öneren bir olasılık yoğunluk fonksiyonu uygun bir fonksiyon
olacaktır.
Bu özellikteki bir olasılık yoğunluk fonksiyonu, uniform yoğunluk fonksiyonudur:
22
1 0 1( )
0
isef
diğerdurumlarda
(30)
47
…Marjinal Tüketim Eğilimi ile İlgili Ön Bilgi…
Bu fonksiyonla (0,1) aralığında bulunan bir aralıkta uzanan 2’nin olasılığı, sadece o aralığın uzunluğuna bağlıdır.
10
1
2
2f
2 2(0.9 1) 0.1 (0.8 0.9)P P
2 2(0 0.5) (0.5 1) 0.5P P
Şekil 2: (0,1) aralığındaki 2’nin ön uniform olasılık yoğunluk fonksiyonu
48
2’nin Örnek Alındıktan Sonraki Yoğunluk Fonksiyonu…
2=11000 olduğu varsayıldığında ve tam olarak ön eşitsizlik durumuna
karşılık 2 için örnek sonrası yoğunluk fonksiyonu incelediğinde
aşağıdaki sonuçlar bulunmuştu:
2
22 2( , )N b (31)
2 0.9113b 2
0.06065
%95 aralık tahmini,
2(0.792 1.030) 0.95P
(0,1) aralığı dışında olma olasılığı
(32)
(33)
(34)
(0,1) aralığı dışında olma olasılığı
2( 1) 0.50 0.4279 0.07P
(Bayes sonuçları)
(Bayes güven aralığı sonuçları)
49
…2’nin Örnek Alındıktan Sonraki Yoğunluk Fonksiyonu…
1/22 22
2 2 22 1/2 2
( ) ( )( | ) exp ( )
(2 ) 2
t tN
x x x xf y b
(35)
’nin altında yer alan N, normal dağılım simgesini
göstermektedir.
Ayrıca, /y ise örnek bilgisi üzerindeki koşulu ifade etmektedir.
Örnek “y” gözlendikten sonra 2 hakkındaki bilgi veya belirsizliği
ifade eden normal bir dağılışı ifade etmektedir.
N 2f / y
50
…2’nin Örnek Alındıktan Sonraki Yoğunluk Fonksiyonu…
0.072
2
2f | y
0.8 0.911 1.00
Şekil 3 Örnek sonrası normal yoğunluk fonksiyonu
(0,1) aralığı dışında olma olasılığı
2( 1) 0.50 0.4279 0.07P
51
…2’nin Örnek Alındıktan Sonraki Yoğunluk Fonksiyonu…
Eğer (0,1) aralığı dışında değerleri için örnek öncesi yoğunluk
fonksiyonu sıfır olasılık veriyorsa, o zaman bu bilgiyi içeren
ve örnekle sağlanan ek bilgili örnek sonrası yoğunluk fonksiyonu
(0,1) aralığı dışındaki değerlere sıfır olasılığını vermelidir.
2)( 2f
0)0()1( 22 PP olması için (35) eşitliğindeki
fonksiyonunun nasıl değiştirilebileceği araştırılsın. Şekil
3’deki tüm durumlar için olduğu açıkça
görülmektedir.
2( | )Nf y
2( 0) 0P
1/22 22
2 2 22 1/2 2
( ) ( )( | ) exp ( )
(2 ) 2
t tN
x x x xf y b
(35)
52
…2’nin Örnek Alındıktan Sonraki Yoğunluk Fonksiyonu…
kısıtını incelemek için sadece fonksiyonunu
değiştirerek incelemek gerekir.
Böyle bir değişiklik örnek sonrası yoğunluk fonksiyonunu 1’de
kesmektir.
Yoğunluk fonksiyonunu 1’de kesmek, olasılık yoğunluk
fonksiyonu altında 1’in sağındaki taralı bölgeyi çıkartıp,
yoğunluk fonksiyonun tamamı üzerine oransal olarak dağıtmak
anlamına gelir. Elde edilen olasılık yoğunluk fonksiyonu kesikli
normal dağılım dır.
2( 1)P 2( | )Nf y
2 2 22
2 2
2
( | ) ( | ) ( | )( | )
1 ( 1) ( 1) 0.928
Toplam alan =
( 1) olduğu alan
N N NTN
N N
f y f y f yf y
P P
2( | )Nf y
53
…2’nin Örnek Alındıktan Sonraki Yoğunluk Fonksiyonu…Bu yoğunluk fonksiyonu 2( | )TNf y dur.
2f ( | y)
N 2f ( | y)
2TNf y
2
Şekil 4. için normal ve kesikli normal örnek sonrası yoğunluk fonksiyonları
Bu fonksiyon, Şekil 4’de normal dağılış boyunca çizilmiştir.
Yeni kesikli normal yoğunluk fonksiyonu (0,1) aralığı dışında bir
alana sahip değildir. Ayrıca daha önceki normal dağılıştan biraz
daha yüksektir.
N 2f ( | y)
1.00
54
…2’nin Örnek Alındıktan Sonraki Yoğunluk Fonksiyonu…
Çünkü (0,1) aralığı dışındaki olasılıklar (0,1) aralığı içerine
aktarılmaktadır. Yani (0,1) dışındaki gölgeli alan,
2 2( | ) ( | )N TNAlan f y f y
Kesikli normal dağılım fonksiyonu örnek sonrası
yoğunluk fonksiyonudur.
(0,1) aralığında uniform bilgisi ve Bayes kuralının birleştirilmesi
ile elde edilmektedir.
2( | )TNf y=Toplam alan- kesikli alan
55
…2’nin Örnek Alındıktan Sonraki Yoğunluk Fonksiyonu…
2( | )Nf y yoğunluk fonksiyonu eşitliğinden 2( | )TNf y
yoğunluk fonksiyonu eşitliği nasıl elde edilebilir?
Normal dağılımdan hesaplanan olasılıklar için NP
Kesikli normal dağılış olasılıkları için TNPkullanılsın .
2( 1) 0.072NP 2( 1) 0TNP ve olasılıkları bilinmektedir.
(0,1) aralığı içinde örnek sonrası kesikli normal dağılım için yoğunluk
fonksiyonu;
56
…2’nin Örnek Alındıktan Sonraki Yoğunluk Fonksiyonu…
2 2 22
2 2
( | ) ( | ) ( | )( | )
1 ( 1) ( 1) 0.928N N N
TNN N
f y f y f yf y
P P
1/22
2 1/2
( )
0.928(2 )tx x
2
22 22
( )exp ( )
2tx x
b
(0,1) aralığında, ’nin bölünmesi
ile fonksiyonu elde edilir.
Bir başka ifadeyle aralık içerisinde normal dağılım eşitliğini,
olasılığı ile böleriz.
olasılığı (36 nolu ifadedeki payda), 1’den
küçük olduğu için yoğunluk fonksiyonunun yüksekliği artar.
)/( 2 yf N )1(1 2 NP
2( | )TNf y
2
2 21 ( 1) 1P P
(36)
57
…2’nin Örnek Alındıktan Sonraki Yoğunluk Fonksiyonu…
Kesikli normal dağılım fonksiyonu örnek sonrası yoğunluk
fonksiyonudur ve ön eşitsizlik bilgisi ve 2 ye ilişkin örneklem
bilgisini birleştirmektedir.
Kesikli normal yoğunluk fonksiyonu örnek alındıktan sonra 2
hakkındaki bütün bilgiyi (önceki eşitsizlik ve örnek bilgisini)
temsil eder.
Bu durum 2 hakkındaki bilginin tam ifadesi olduğu için marjinal
tüketim eğilimi araştırma sonuçları hakkında bilgi vermenin uygun
bir yoludur. Bununla birlikte, olasılık ifadeleri ve nokta-aralık
tahminleri gibi (36) eşitliğinden türetilen bazı özet ölçüler verebilir.
Normal dağılımdan elde edilen aralık, bir yoğunluk fonksiyonundan başka bir yoğunluk fonksiyonuna dönüşümde kullanılan aynı olasılık sabitine karşılık gelen olasılığa bölünür. (0,1) aralığı dışındaki c ve d noktaları için olduğu bilinmektedir.
58
Kesikli normal dağılıştan elde edilen olasılık ifadelerini hesaplamak
için aşağıdaki ifade yazılır: Eğer c ve d noktaları (0,1) aralığındaysa,
22
2
( )( )
1 ( 1)N
TNN
P c dP c d
P
(37)
2( 0) 0TNP 2( 1) 0 TNP ve
…Kesikli Normal Dağılımdan Elde Edilen Olasılık İfadeleri…
59
…Kesikli Normal Dağılımdan Elde Edilen Olasılık İfadeleri…
2( 0.9)P 2( 0.9)P ve olsun.
Normal dağılımdan elde edilen sonuçlar:
2( 0.9) 0.426P 2( 0.9) 0.574NP ve
olasılıkları bulunmuştu.
2 nin 1’den daha büyük olamadığı bilindiğinde ve kesikli normal
dağılım kullanıldığında;
2 2( 0.9) (0 0.9)TN TNP P
2
2
(0 0.9)
1 ( 1)N
N
P
P
0.4260.459
0.928 olasılığı bulunur. (38)
22
2
( )( )
1 ( 1)N
TNN
P c dP c d
P
60
…Kesikli Normal Dağılımdan Elde Edilen Olasılık İfadeleri…
2( | )Nf y ’den ’ye giderken 0.9’un sol tarafındaki2( | )TNf y
yoğunluk fonksiyonu altında kalan alan 0.426’dan 0.459’a artar.
2 2( 0.9) (0.9 1)TN TNP P
2
2
(0.9 1)
1 ( 1)N
N
P
P
0.5020.541
0.928
(39)
(38) ve (39) denklemlerinin olasılıklarının toplamının bir olması beklenmektedir.
1
2
2
0.9 0.91130.18
0.06051 0.9113
1.460.0605
(0.9 1) 0.0714 0.4279 0.50N
z
z
P
61
…Kesikli Normal Dağılımdan Elde Edilen Olasılık İfadeleri…
0.9’un sağındaki bölgede, 2’nin 0.9 ve 1 arasında olma
olasılığı 0.502’den 0.541’e çıkmıştır.
fonksiyonunun sağ kuyruğundan gelen 0.072 olasılık
değerine dikkat etmek gerekir.
0.072’nin bir bölümü 0.9’un sol tarafında kalan alandan
(0.459-0.426=0.033)
ve diğer bir bölümü
0.9’un sağ tarafında kalan alandan
(0.541-0.502=0.039)
aktarılarak bulunmuştur.
2( | )Nf y
62
…Kesikli Normal Dağılımdan Elde Edilen Olasılık İfadeleri…
(38) ve (39) eşitliklerindeki gibi olasılıkları elde etmenin veya
“tahmin etmenin” başka yolu daha vardır. Bu yöntemi tanıtmak
için bir oranı tahmin etmenin problemi incelensin. 50.000$’dan
daha yüksek gelirli San Francisco hanehalkının oranı için bir
hanehalkı şans örneği alınıp ve 50.000$’dan daha fazla gelirli olan
hanehalkı sayısı bulunur. Oran tahmini, örnekteki 50.000$’dan
daha yüksek gelirli hanehalkı sayısının örnekteki toplam
hanehalkı sayısına bölümüyle verilir. Bu oranı tahmin etmek
ile bir olasılığı tahmin etmek aynıdır. Açık olarak, rastgele
seçilen bir San Francisco hanehalkının 50.000$’dan daha
yüksek gelire sahip olma olasılığı tahmin edilecektir.
63
…Kesikli Normal Dağılımdan Elde Edilen Olasılık İfadeleri…Benzer bir strateji, (38) ve (39) eşitliklerindeki olasılıkları tahmin
etmek için uygulanabilir.
(38) ve (39)’deki hesaplamaları yapmak olanaksız ise bilgisayar
kullanmak yararlı bir yöntemdir.
Bilgisayardan rastgele sayılar türeterek yapay bir şekilde ortalaması
b2=0.9113ve standart sapması 0.0605 olan normal bir dağılımdan
istenilen büyüklükte bir örnek oluşturulabilir. Daha sonra (0,1)
aralığı dışındaki gözlemler çıkarılır. Kalan gözlemler kesikli
normal dağılıştan gelen rastgele bir örneği oluşturur. 0.9’un
altında olan bu kalan gözlemlerin oranı, ’nın bir
tahminidir. (39) nolu ifade de bulunan gözlemlerin oranı ,
için bir tahmindir.
2( 0.9)TNP
2( 0.9)TNP
64
…Kesikli Normal Dağılımdan Elde Edilen Olasılık İfadeleri…
Atılan orijinal gözlemlerin oranının, için bir tahmin
olduğuna dikkat edilmelidir.
Bu yaklaşımı örneklemek için 0.9113 ortalamalı ve 0.06065 standart
sapmalı normal dağılıştan 5000 rastgele sayı türetilsin. Elde edilen
sonuçlar Tablo 2’de.
2( 1)NP
65
…Kesikli Normal Dağılımdan Elde Edilen Olasılık İfadeleri…
Tahmin edilen olasılıklar, normal dağılımdan doğrudan hesaplanan
olasılıklara çok yakındır.
5000’den daha fazla gözlem alınırsa daha yakın tahminler elde etme
şansı vardır.
Gözlem sayısı arttığında sonuçlar birbirine daha da yakınlaşacaktır.
66
N 2P ( 1) 385
0.0775000
TN 2P ( 0.9) 21630.469
4615
TN 2P ( 0.9) 24520.531
4615
Tablo2.Yapay olarak üretilen örneğe ilişkin gözlenen ve tahminlenen olasılıklar
Gerçek Olasılık
67
2’nin Nokta Tahmini…
Kayıp fonksiyonu karesel olduğunda, örnek sonrası yoğunluk fonksiyonu ortalaması, beklenen kaybı minimize eden parametre tahminidir.
Karesel kayıp fonksiyonunun konuyla bağlantılı olduğunu ve bu nedenle 2 için bir nokta tahmini olarak kesikli normal dağılışın ortalamasına ihtiyaç olduğu varsayılsın.
Elde edilecek nokta tahmini ortalama, her zamanki normal dağılıştan elde edilen ortalama ile aynı olmayacaktır.
Nedenini anlamak için normal dağılım ortalamasının tanımını incelemek gerekmektedir.
2( | )Nf y
68
…2’nin Nokta Tahmini…
2 2 2 2( | )N NE f y d
(40)
Eşitlik (40), 2 için olasılık yoğunluk fonksiyonu ile verilen
ağırlıklarla, tüm değerlerinin ağırlıklı ortalaması alınır.
Birden büyük değerleri içeren değerleri ile
ağırlıklandırılır
Kesikli normal dağılış kullanıldığında , (0,1) aralığı
dışındaki ağırlıklar 0 ve (0,1) aralığı içindeki ağırlıklar da normal
dağılım ile sağlanan ağırlıklardan daha büyüktür.
2 < 0 olduğunda her iki dağılımdaki ağırlıklar 0’dır.
2( | )TNf y
2( | )Nf y
69
…2’nin Nokta Tahmini…
Sonuçta, ve ortalamalarını karşılaştırırken
sadece 2 , 0 ile 1 arasında ve 2’nın 1’den büyük olduğunda ortaya
çıkan ağırlıkları incelemek gerekir.
2( | )TNf y2( | )Nf y
(Kesikli normal dağılım) ortalaması için önemli farklılıklar
şunlardır,
1’den büyük 2 değerleri artık ortalamaya katılmaz
1’den küçük değerler daha fazla katkı yapmaktadır.
2( | )TNf y
Bu şartlar altında,.
2( | )Nf y2( | )TNf y ortalaması < ortalaması
70
…2’nin Nokta Tahmini…
1
2 2 2 20( | )TN TNE f y d (41)
Kesikli normal dağılımın ortalamasını ifade eden (41) eşitliğindeki
integral hesaplamak için
1.Bilgisayar tabanlı sayısal bir integrasyonu kullanmak veya
2.Yapay olarak oluşturulan örneği kullanarak ortalamayı tahmin
etmek gerekir.
71
olduğu fonksiyonundan
gözlemler üretmek için bilgisayar kullanıp birden büyük gözlemler
atılabilir.
22 (0.9113, (0.06065)N 2( | )Nf y
…2’nin Nokta Tahmini…
Kalan gözlemler kesikli normal dağılımdan bir şans örneği
oluşturur.
2( | )TNf y
Bu kalan gözlemlerden elde edilen örnek ortalaması, (41) eşitliğinde
verilen (kesikli normal dağılımın) ortalamasının bir
tahminidir.
2( | )TNf y
72
…2’nin Nokta Tahmini…
Yapay olarak üretilen örnekte, 2 < 1 olduğu 4615 gözlem alınıp 385
gözlem atılmıştır.
22
2
β ' 1'den küçük olduğu tüm gözlemlerin toplamıˆβ ' 1'den küçük olduğu özlemlerin ayısı TN
ninE
nin g s
4160.860.9016
4615 (42)
4160.8 değeri; 2 için 1’den küçük 4615 tane sayının sayısal değerlerin toplamıdır. Bütün 2’ lerin değeri 1den küçük olduğu için 4615 sayının toplamı da 4615den küçük olacaktır.
Beklendiği gibi marjinal tüketim eğilimi için 0.9016 tahmini, 0.9113
tahmininden daha düşüktür. 0.9113 değeri 2 için uygun alan üzerindeki
ön bilgiyi hesaba katmaz.
73
Kesikli normal dağılışın dağılım ölçüsü de elde edilebilir.
Kalan gözlemlerden elde edilen 2 ’nin örnek varyansı
varyansının bir tahminidir.
Tahmin edilen varyans için notasyonu kullanılarak, 4615
gözlemden,
2( | )TNf y
2ˆvar ( )TN
…2’nin Nokta Tahmini…
22
ˆvar ( ) (0.05283)TN (43)
Kesikli dağılışın standart sapması (0.05283), ön bilgi
kullanıldığında ve sadece 0 ile 1 arasındaki 2 değerleri mümkün
olduğunda oluşan dağılımdaki azalmayı yansıtarak, normal
dağılım standart sapmasından (0.06065) daha azdır.
74
…Aralık Tahmini…
Belirsizlik Altında
Ön Bilgi
Ön Eşitsizlik
Bilgisi
Ortalama 0.9113 0.9016
Standart Hata 0.06065 0.05283
Tablo 3: 2 için Örnek Sonrası Yoğunluk Fonksiyonunun Ortalamaları ve Standart Sapmaları
10 2
75
Aralık Tahmini…
Geriye kalan özet ölçü kesikli normal örnek sonrası yoğunluk
fonksiyonunda aralık tahminidir.
%95 olasılıkla bir aralık tahmini a1 ve a2 değerlerini bulma problemi
olmaktadır:
1 2 2( ) 0.95TNP a a (44)
Ön bilgi olmadığında aralık tahmini (0.792, 1.030) idi.( 33 eşitliğinde)
olarak verildiğinde ve ’den ortak olasılığın büyük kısmı
sadece 1’in altında toplandığında, aralığın üst limitini a2=1 almak
uygundur.
O zaman problem, a1 ’i elde etme problemi olur:
2( | )TNf y
76
…Aralık Tahmini…
1 2( 1) 0.95TNP a (45)
a1 değeri; kesikli normal dağılım olasılıkları ile normal dağılım
olasılıkları arasındaki ilişkiyi kullanarak bulunabilir:1 2
1 22
( 1)( 1) 0.95
1 ( 1)N
TNN
P aP a
P
veya
1 2( 1)0.95
0.928NP a
1 2( 1) 0.882NP a
Sonuçta kesikli normal dağılımdan %95 olasılıkla bir aralık tahmini bulma problemi, normal dağılımdan 0.882 olasılıkla bir aralık tahmini bulma açısından yazılabilir:
2
1 0.9113( 1) ( 1.46) 0.928
0.06065
NP P z
77
…Aralık Tahmini…
1 2 2 2 1
1
1
( 1) ( 1) ( ) 0.882
0.91131 0.9113 =P P 0.882
0.06065 0.06065
0.9113 =0.928 P 0.882
0.06065
N NP a P P a
az z
az
ve
Standart normal dağılım tablosundan z değeri kullanılarak a1 = 0.809 değeri elde edilir.
1
1
0.9113P 0.046
0.06065
( ?) 0.046
0.50 0.046 0.4545 1.69 z değerine karşılık gelir
P 1.69 0.046
0.91131.69
0.06065
az
P z
z
a
1 0.809a
78
…Aralık Tahmini…
2 ’nin aralığı hakkında ön bilgiyi vermeden önce, uygun
aralık tahmini
(0.793, 1.030)
Ön bilginin verilmesi
(0.809, 1)
Ön bilginin verilmesi ile daha dar, daha bilgilendirici aralık
tahmini elde edilmiştir.
79
1 ve 2’deki Bilgi Nasıl İlişkilendirilir?...
2 ye ilişkin ön eşitsizlik bilgisi, 1’e ilişkin örnek sonrası
bilgiyi değiştirir mi?
Bir başka ifadeyle, marjinal tüketim eğilimi hakkındaki ön
eşitsizlik bilgisi otonom tüketim hakkındaki örnek sonrası
bilgiyi değiştirebilir mi?
80
…1 ve 2’deki Bilgi Nasıl İlişkilendirilir?...
İlk olarak vektörü üzerinde ön bilgi olmadığı varsayılacaktır.
En küçük kareler tahmincisi
1( ' ) 'b X X X Y
2 1, ( ' )b N X X
için
(47)
Tüketim problemi için, b tahmincisi ortalama vektörü ve kovaryans
matrisi olan iki değişkenli normal dağılıma sahiptir.2 1( ' )X X
81
…1 ve 2’deki Bilgi Nasıl İlişkilendirilir?...
Örneği gözlemledikten sonra hakkındaki belirsizliği ifade etmek için
bir olasılık yoğunluk fonksiyonu kullanılır:
2 1, ( ' )N b X X (48)
için örnek sonrası yoğunluk fonksiyonu, b ortalamalı ve
kovaryans matrisi olan iki değişkenli normal dağılımdır.
2 1( ' )X X
Örnek sonrası yoğunluk fonksiyonu, 2 bilindiği zaman uygun bir
fonksiyondur ve burada üzerinde ön bilgi bulunmamaktadır.
82
…1 ve 2’deki Bilgi Nasıl İlişkilendirilir?...
Araştırmayı ilerletmek için ifadesini tam olarak yazılırsa; 2 1( ' )X X
1 1 2
1 2 2
2
2 1
2( ) ( ' )Cov X X
2 2 2
2 2
2 2
2 2
( ) ( )
( ) ( )
t
t t
t t
x x
T x x x x
x
x x x x
(49)
1 ve 2 hakkındaki örnek sonrası bilgi:
1
21 1( , )N b
2
22 2( , )N b
83
…1 ve 2’deki Bilgi Nasıl İlişkilendirilir?...
1 2
2
2( )t
x
x x
(50)
Kovaryans terimi 1 ve 2 ye ilişkin bilginin nasıl ilişkili olduğunu
tanımlamaktadır
Bu değer sıfırdan farklı olduğu zaman, iki parametre arasında
ilişki söz konusu olup bir parametreye ilişkin bilinenler diğer
parametre ile ilgili ne bilindiğini de ortaya çıkarmaktadır.
Sadece 1 ile ilgileniliyorsa;
1
21 1( , )N b
Sadece 2 ile ilgileniliyorsa;
2
22 2( , )N b
olarak ayırmak yeterlidir.
84
…1 ve 2’deki Bilgi Nasıl İlişkilendirilir?...
1 ve 2 hakkındaki bütün bilgiyi özellikle de 1 ve 2 ’in ilişki olduğu
bilgisini elde etmek için, her iki parametre için ortak örnek sonrası
yoğunluk fonksiyonunu belirtmek gerekir.'
1 2( , )
vektörü için örnek sonrası yoğunluk fonksiyonuna ihtiyaç vardır. Bu
ortak örnek sonrası yoğunluk fonksiyonu (48) eşitliğinde verilen iki
değişkenli normal dağılımdır.
2 1, ( ' )N b X X (48)
85
…1 ve 2’deki Bilgi Nasıl İlişkilendirilir?...
0<2<1 bilgisi, 1 hakkındaki bilgiyi nasıl değiştirir?
0x olduğunda olur. 1 2
0
2 ’nin daha küçük değerleri karşısında, 1 ’in daha büyük değere sahip olması (veya tam tersi) beklenir. (Ek Bilgi)
1 ’e ait bilginin, 0<2 <1 ön eşitsizliğin verilmesi ile nasıl değiştiğini daha iyi belirlemek için bilgisayar kullanılabilir.
için iki değişkenli normal dağılımdan yapay olarak gözlemler türetilebilir.
İki değişkenli kesikli normal dağılıştan elde edilen bir şans örneği (0<2<1 dışında kalan) 2>1 veya 2<0 olduğu değerleri atarak elde edilir.
1 2
2
2( )t
x
x x
86
…1 ve 2’deki Bilgi Nasıl İlişkilendirilir?...
Kalan gözlemler 1 ’e ilişkin olasılık hesaplamalarının yanı sıra 1’in varyans ve ortalamasının tahmini için kullanılmaktadır.
5000 şans örneğini kullanarak aşağıdaki bilgi elde edilmiştir:
Kalan gözlemler: 4615
0 ve (varsayalım ki) 750 arasındaki 1 için kalan gözlemlerin
sayısı: 1832
1 ilişkin kalan gözlemlerin örneklem ortalaması: -46.17
1 ilişkin kalan gözlemlerin örneklem standart sapması: 467.26
87
…1 ve 2’deki Bilgi Nasıl İlişkilendirilir?...
Tablo 4. 1 üzerindeki örnek sonrası bilgi
Kesin olmayan
ön bilgi
Eşitsizlik ön
bilgisi
.355 1832/4615=.397
Ortalama -128.94 -44.17
Standart Sapma 535.03 467.26
1(0 750)P
20 1
Standart normal dağılımdan (z)
Bu durumda, iki değişkenli kesikli normal dağılıştan bir şans örneği elde etmek
için 1>0 veya 0<2 <1 veya her ikisi de kendi eşitsizliklerini yerine
getirmezse, o gözlem çifti atılır. Bu durumu sağlayan gözlem sayısı 1832 dir.
88
…1 ve 2’deki Bilgi Nasıl İlişkilendirilir?...
Pozitif değer aralığında (0,750) bulunan 1 ’in olasılığı az da
olsa artmıştır.
Örnek sonrası yoğunluk ortalaması (karesel kayıp altındaki 1
için bir nokta tahmini) hala negatif olduğu halde artmışdır
Örnek sonrası yoğunluk fonksiyonunun standart sapması, 2
aralığı sınırlı olduğunda oluşan dağılımdaki azalmayı yansıtarak
düşmektedir
89
Her İki Parametreye Ön Bilgiyi Dahil Etme…
Bu bölümden önce 1 ve 2 parametreleri için iki ön eşitsizlik
sınırlaması olduğu gösterilmiştir.
Birinci kısıtlama, marjinal tüketim eğiliminin 0 ile1 arasında olduğudur.
İkinci kısıtlama, otonom tüketim 1 pozitiftir, toplam tüketim
fonksiyonuyla, gelir asla sıfıra yakın değildir.
Bununla beraber iki kısıt üzerine 1>0 ön eşitsizliği de eklenir.
90
…Her İki Parametreye Ön Bilgiyi Dahil Etme…
Daha önceki bölümlerde olduğu gibi 1>0 ve 0<2<1 eşitsizlik
sınırları konduğunda ayrı ayrı parametreleri incelemek mümkün
değildir.
2 üzerindeki sınırın 1 hakkındaki bilgiyi nasıl değiştirdiğini
görmek için iki parametreyi birlikte incelemeye ihtiyaç vardır.
Her iki parametre üzerindeki kısıtların var olduğu yerde, 1
üzerindeki ön bilgi, 2 örnek sonrası bilgiyi karşılıklı olarak
etkileyecektir.
Bu nedenle, iki parametre ortak olarak incelenmelidir ve
için iki değişkenli normal dağılımdan yapay bir örnek çekmek
gerekmektedir
1 2( , )
91
…Her İki Parametreye Ön Bilgiyi Dahil Etme…
Bu durumda, iki değişkenli kesikli normal dağılıştan bir şans örneği
elde etmek için 1 veya 2 veya her ikisi de kendi eşitsizliklerini
yerine getirmezse, o gözlem çifti atılır.
1 için ön olasılık yoğunluk fonksiyonu, 1’in pozitif değerleri için
1’e ve negatif değerleri için 0’a eşit olan uniform bir fonksiyondur.
92
Adımları aşağıdaki gibi özetlenebilir:
…Her İki Parametreye Ön Bilgiyi Dahil Etme…
1. b ortalama ve kovaryans matrisi ile iki değişkenli
normal dağılımdan 5000 gözlem türetilir. Bu gözlemler ile
ilgili gözlemlerden oluşmakta ve rastgele örneği ifade etmektedir. Ön
eşitsizlik bilgisi olmadan örnek sonrası yoğunluk fonksiyonundan
elde edilmiştir.
1'2 )( XX'
21 ),(
93
…Her İki Parametreye Ön Bilgiyi Dahil Etme…
1>0 , 2<0 veya 2>1 olan gözlemler çıkarılmıştır. ile
ilgili kalan gözlemler kesikli iki değişkenli normal dağılımdan
rastgele örneklemi oluşturmaktadır. Örnek sonrası yoğunluk
fonksiyonu ön eşitsizlik bilgisi içermektedir.
'21 ),(
3. Kesikli örnek sonrası yoğunluk fonksiyonu ile ilgili standart
sapma, ortalama ve olasılıkları tahmin etmek için kalan gözlemler
kullanılmaktadır. Örneğin belli bir aralıktaki 2 gözlemlerinin oranı o
aralıktaki 2 olasılığının bir tahminidir. 1 ve 2’nin ortalama ve standart
sapma tahminleri kalan gözlemlerin örnek ortalamaları ve standart
sapmalarıyla verilir.
94
20 1 2
1
0 1
ve 0
1E
1P(0 750)
2E
2P(0.82 0.95)
2P(0.82 0.90)
2 0.9 2 0.9
…Her İki Parametreye Ön Bilgiyi Dahil Etme…
Belirsizlik
95
…Her İki Parametreye Ön Bilgiyi Dahil Etme…
Otonom tüketim için, her iki sınırlamanın da olduğu nokta tahmini
382.31$ ve marjinal tüketim eğilimi 0.85,
Sadece 0<2 <1 sınırlamasının olduğu durumda ise bu değer -44.17 ve
0.90 dır.
1 >0 eşitsizliği eklendiğinde sonuçların etkilendiği görülmektedir.
Çünkü bu sınırlama eklendiğinde, 5000 gözlem değerinden 2937 gözlem
çıkarılmıştır. Oysa, 0< 2 <1 sınırlaması olduğu durumda 385 gözlem
çıkarılmıştı.
2 >0.9’a karşılık 2 ≤ 0.9 fark oranı son derece büyük olup, bu değer
tüm ön bilgilerin dahil olduğu durumlara göre farklılık göstermektedir
96
…Her İki Parametreye Ön Bilgiyi Dahil Etme…
Her iki kısıtla, 2 için hemen hemen tüm olasılık 0.9’un altında yer alır.
Aksi takdirde, 0.9’dan daha büyük olan fark oranı, 0.9’un altındaki fark
oranından daha az büyüktür.
Tablo 5’deki çeşitli olasılık ifadeleri aynı farklılıkları yansıtır.
Ön bilgi kullanımının kamu harcaması çarpanı üzerinde bir etkiye sahip
olduğuna dikkat edilmelidir.
Ön bilgi olmadan bu çarpan yaklaşık olarak 11 ve her iki kısıt kabul
edildiğinde, yaklaşık olarak 7 olmaktadır.