Eksperimenti i Nastani

SLUQAJNI NASTANIEksperimenti i nastani

Mnoestvo elementarni nastani

Eksperimenti i nastani Mnoestvo elementarni nastani Sluqajni nastani

Eksperiment

Sekoja realizacija na mnoestvo uslovi S senarekuva opit ili eksperiment.

Vakvoto opredeluvaǌe na poimot eksperiment na-polno odgovara i za takanareqenite pasivni eks-perimenti (vo koi qovekot ne vlijae) i za taka-nareqenite aktivni eksperimenti (koi qovekotgi organizira i sproveduva so odredena cel).

Sluqajni nastani


Primeri na eksperimenti

Da gi razgledame slednite primeri naeksperimenti.a) Edna moneta se frla vo vozduh i po nejzinoto

pagaǌe na zemja, na gornata strana od monetatamoe da se pojavi ”petka” ili ”glava”. So fr-laǌeto na monetata sme izvrxile eden eksperi-ment i kako rezultat na toj eksperiment moe dase dobie eden od slednite ishodi: ”na gornatastrana od monetata se pojavi petka” ili ”na gor-nata strana od monetata se pojavi glava”.

b) Ako voda se zagreva na 100C, togax taa ke poqneda vrie. Ovde e izvrxen eden eksperiment (za-grevaǌe na voda) i kako rezultat na toj ekspe-riment se javuva ishodot ”vodata vrie”.

Sluqajni nastani


Primeri na eksperimenti

v) Ako se proveruva ispravnosta na proizvodite voedna fabrika, togax se zema po eden proizvod,se proveruva negoviot kvalitet i se utvrduvadali e ispraven ili ne. Znaqi, eksperimentote proverka na kvalitetot, a moni ishodi se:”proizvodot e ispraven” i ”proizvodot ne e is-praven”.

g) Se sproveduva test za da se proveri znaeǌetona uqenicite. Ocenuvaǌeto na testot se praviso poeni od 0 do 100. Togax eksperimentot eocenuvaǌe na eden uqenik, a moni ishodi se”uqenikot osvoi i poeni”, kade xto i = 0, 1, . . . , 100.

Sluqajni nastani


Nastani

Sekoj rezultat (ishod) od eksperimentot S senarekuva nastan vo vrska so eksperimentot S.

Nastanite se obeleuvaat so golemi peqatni bukviod latinicata: A, B, C, . . .Eden eksperiment moe da bide deterministiqkii nedeterministiqki. Ako ishodot na eden eks-periment e odnapred poznat, togax toj eksperi-ment e deterministiqki, vo sprotivno, ako is-hodot ne moe so sigurnost da se znae odnapred,toj eksperiment e nedeterministiqki.

Eksperimentot so zagrevaǌe na voda e determinis-tiqki.Ostanatite eksperimenti od prethodnite primeri senedeterministiqki.

Sluqajni nastani


Celi na teorijata na verojatnost

Pri podlaboko prouquvaǌe na prirodnite i opx-testvenite pojavi se zabeleuva deka postojatsosema malku zakoni koi se strogo determinis-tiqki.

Najgolem del od eksperimentite vo sebe go vklu-quvaat elementot na sluqajnost.

Vo teorijata na verojatnosta se naogaat zakoni-tostite za nastanite koi se rezultat na eksper-imentite koi imaat neednoznaqen ishod.

Imeno, i kaj eksperimentite so neednoznaqen is-hod se vooquvaat odredeni zakonitosti.

Sluqajni nastani


Primer

Da go razgledame povtorno

eksperimentot frlaǌe moneta

i nastanot A: ”padna petka”.

Ako eksperimentot se izveduva

ednax, togax ne moe so si-

gurnost da se kae koj ke bide

negoviot ishod. Zatoa, neka

se izvedeni 8 serii od po

1000 eksperimenti pod ednakvi

uslovi. So ni(A) se oznaquva

brojot na eksperimentite od i -

tata serija vo koi se pojavil

nastanot A. Rezultatite od

ovie osum serii se pretstaveni

vo slednatata tabela.

i ni(A)ni(A)

n1 502 0.5022 504 0.5043 492 0.4924 500 0.5005 510 0.5106 490 0.4907 493 0.4938 509 0.509

Sluqajni nastani


Sluqaen nastan

Nastanot A vo vrska so eksperimentot S senarekuva sluqaen nastan, ako se ispolnetislednite dva uslova:

1 Eksperimentot S moe da se povtori pri istiuslovi kolku xto sakame pati;

2 Relativnite frekvencii na nastanot A, vo sekojaod poveke izvedeni serii eksperimenti, se bro-evi koi se priblino ednakvi. Toa znaqi dekaako se izvedat serii od po n1, n2,. . . , nk eksperi-menti, togax:

n1(A)

n1

≈n2(A)

n2

≈ · · · ≈nk(A)

nk

.

Sluqajni nastani


Statistiqka verojatnost

Relativnata frekvencijan(A)

nvo edna serija eks-

perimenti e priblina objektivna merka za mo-nosta za pojavuvaǌe na nastanot A.

Megutoa, relativnite frekvencii za razliqniserii eksperimenti se razlikuvaat pomegu sebe.

No, sepak tie se natrupuvaat okolu nekoj realenbroj.

Realniot broj okolu koj se natrupuvaat rela-tivnite frekvencii na nastanot A se narekuvastatistiqka (ili empiriska) verojatnost na nas-tanot A.

Sluqajni nastani


Statistiqka verojatnost

Vo definicijata na sluqaen nastan, uslovot 2

obezbeduva statistiqka stabilnost (nepromen-livost) na relativnite frekvencii, a uslovot1 obezbeduva proverka na uslovot 2.

Vo praktikata, sluqajni nastani se nastaniteza koi se ispolneti uslovite 1 i 2, a nivniteverojatnosti se opredeluvaat, vo opxt sluqaj,so statistiqki metodi.

Postojat mnogu malku vidovi na eksperimentikoi ovozmouvaat opredeluvaǌe na verojatnostaso strogo matematiqki metodi.

Sluqajni nastani


Siguren i nevozmoen nastan

Za sekoj eksperiment S moe da se razgledaat dvaspecijalni nastani.

Siguren nastan vo vrska so daden eksperiment enastanot koj se pojavuva pri sekoja realizacijana toj eksperiment.

Nevozmoen nastan vo vrska so daden eksperi-ment e nastan xto ne se pojavuva nikogax prirealizacija na dadeniot eksperiment.

Sluqajni nastani


Primeri za siguren i nemozmoen nastan

Primer 1

Neka eksperimentot efrlaǌe kocka. Serazgleduvaat nastanite:A1: padna broj od 1 do 6A2: padna brojot 7.

Primer 2

Eksperimentot eizvlekuvaǌe na topqe odkutija vo koja ima 5 belitopqiǌa. Serazgleduvaat nastanite:B1: izvleqeno e belotopqe,B2: izvleqeno e crnotopqe.

A1, B1 - sigurni nastaniA2, B2 - nevozmoni nastani

Sluqajni nastani


Sigurniot i nevozmoniot nastan se sluqajni

Ako eksperimentot S se izveduva n pati, togaxsigurniot nastan ke se pojavi n pati, a nevoz-moniot se pojavuva 0 pati.

Relativnata zaqestenost na sigurniot nastan en

n= 1, a na nevozmoniot nastan

0

n= 0.

Ova vai za sekoja serija eksperimenti S.

Taka, sigurniot i nevozmoniot nastan gi zado-voluvaat uslovite 1 i 2, pa tie se sluqajninastani.

Sluqajni nastani


Primer

Da go razgledame eksperimentot frlaǌe kocka.Nekoi od monite nastani vo vrska so ovojeksperiment se slednite:A: padna paren broj; E3: padna brojot 3;

B: padna broj deliv so 3; E4: padna brojot 4;

E1: padna brojot 1; E5: padna brojot 5;

E2: padna brojot 2; E6: padna brojot 6.

Da vooqime deka nastanot A se pojavuva ako sepojavi eden od nastanite E2, E4 ili E6, a nas-tanot B se pojavuva ako se pojavi nastanot E3

ili ako se pojavi E6.Znaqi, nastanot A moe da se razloi na nasta-nite E2, E4 i E6, a nastanot B moe da se razloina nastanite E3 i E6.

Sluqajni nastani


Primer

Da go razgledame eksperimentot frlaǌe kocka.Nekoi od monite nastani vo vrska so ovojeksperiment se slednite:A: padna paren broj; E3: padna brojot 3;

B: padna broj deliv so 3; E4: padna brojot 4;

E1: padna brojot 1; E5: padna brojot 5;

E2: padna brojot 2; E6: padna brojot 6.

Od druga strana, nastanite E1, E2, E3, E4, E5 iE6 ne moe da se razloat na drugi nastani.

Zatoa, tie nastani gi narekuvame elementarninastani.

Elementarnite nastani ke gi oznaquvame so sim-bolot E so indeks 1,2,...

Sluqajni nastani



Definicija

i) Elementaren nastan vo vrska so daden eksperi-ment e sekoj logiqki ishod koj ne moe da serazloi na drugi nastani. Pritoa, pri sekojarealizacija na eksperimentot se pojavuva eden isamo eden elementaren nastan.

ii) Mnoestvoto od site vakvi nastani vo vrska soeden eksperiment se narekuva mnoestvo ele-mentarni nastani i se oznaquva so Ω.

Sluqajni nastani


Primer 1

Eksperimentot se sostoi vo frlaǌe kocka. Prisekoja realizacija na eksperimentot se pojavuvaeden i samo eden od nastanite E1, E2, E3, E4, E5

i E6.

Zatoa mnoestvoto elementarni nastani vo vrskaso ovoj eksperiment e

Ω = E1, E2, E3, E4, E5, E6.

Sluqajni nastani


Primer 2

Eksperimentot se sostoi vo frlaǌe na dve mo-neti.

Pri frlaǌe na edna moneta, moen ishod e ”padnapetka” ili ”padna glava” (ke pixuvame kratko”petka” ili ”glava”).

No, eksperimentot se sostoi od frlaǌe na dvetemoneti zaedno, pa monite ishodi ke bidat po-dredeni parovi, kade xto prviot element ke gooznaquva ishodot na prvata moneta, a vtoriotelement ishodot na vtorata.

Mnoestvoto elementarni nastani e slednoto:

Ω = (glava, glava), (glava, petka), (petka, glava), (petka, petka).

Sluqajni nastani


Primer 3

Neka eksperimentot e frlaǌe moneta se dodekane se pojavi petka.

Mnoestvoto elementarni nastani e od oblikΩ = E1, E2, . . . , kade xto

E1 = (petka),E2 = (glava, petka),itn.

Sluqajni nastani


Primer 3

Vo opxt sluqaj, za fiksno i = 2, 3, . . . , elemen-tarniot nastan

Ei = (glava, glava,. . . , glava︸︷︷︸

i−1

,petka)

i toj se pojavuva ako vo prvite i − 1 frlaǌa namonetata se pojavi glava, a vo i-toto frlaǌe sepojavi petka.

Vo ovoj sluqaj, mnoestvoto elementarni nas-tani e beskoneqno prebroivo mnoestvo, bidejkiteoretski eksperimentot moe nikogax da ne za-vrxi.

Sluqajni nastani


Primer 4

Se nabǉuduva vremeto na neprekinata rabota nanekoja maxina.Elementani nastani za ovoj eksperiment se:

Et : maxinata raboti vreme t, t ∈ [0, T ],

kade T e maksimalniot (garantiran) vek na rab-ota na nabǉuduvanata maxina.Ottuka, mnoestvoto elementarni nastani za ovojeksperiment e:

Ω = Et|t ∈ [0, T ].

Vo ovoj sluqaj, Ω e interval, t.e. e beskoneqnoneprebroivo mnoestvo.

Sluqajni nastani



Od prethodnite primeri moeme da vooqime dekazavisno od eksperimentot, mnoestvoto elemen-tarni nastani moe da bide koneqno, beskoneqnoprebroivo ili beskoneqno neprebroivo mnoestvo.

Sluqajni nastani


Primer 4

Vo primerot so frlaǌe kocka zakluqivme dekanastanot A: padna paren broj, se pojavuva akose pojavi eden od nastanite E2, E4 ili E6, a nas-tanot B:padna broj deliv so tri, se pojavuva akose pojavi eden od nastanite E3 ili E6.

Ottuka, nastanite A i B moe da se zapixatna sledniot naqin A = E2, E4, E6, B = E3, E6.Da vooqime deka nastanite A i B se pretstavenikako podmnoestva od mnoestvoto elementarninastani Ω.

Sluqajni nastani


Definicija na sluqaen nastan

Definicija

Sluqaen nastan e proizvolno podmnoestvo od mno-estvoto elementarni nastani Ω.

Ke velime deka se pojavil nastanot A, ako se po-javil nekoj od elementarnite nastani koi pripagaatna podmnoestvoto elementarni nastani soodvetnona nastanot A.

Sluqajni nastani


Primer 5

Neka eksperimentot e frlaǌe na dve moneti. Dase opixe nastanot C: barem ednax padna petka.

Nastanot C ke se pojavi ako na edna od monetitepadne petka, a na drugata glava ili ako na dvetemoneti padne petka, t.e.

C = (glava, petka), (petka, glava), (petka, petka).

Sluqajni nastani


Primer 6

Eksperimentot se sostoi vo frlaǌe na dve kocki.Da se opixe mnoestvoto elementarni nastani islednite sluqajni nastani:A: na dvete kocki padna paren broj;B: na prvata kocka padna paren, a na vtorata ne-paren broj.

Ω = (x, y)|x, y ∈ 1, 2, 3, 4, 5, 6.

A = (x, y)|x, y ∈ 2, 4, 6= (2, 2), (2, 4), (2, 6), (4, 2), (4, 4), (4, 6), (6, 2), (6, 4), (6, 6)

B = (x, y)|x ∈ 2, 4, 6, y ∈ 1, 3, 5= (2, 1), (2, 3), (2, 5), (4, 1), (4, 3), (4, 5), (6, 1), (6, 3), (6, 5).

Sluqajni nastani


Siguren i nevozmoen nastan

Sigurniot nastan se pojavuva sekogax koga serealizira eksperimentot, t.e. sekoj elementarennastan doveduva do negovo pojavuvaǌe. Zatoa,toj se oznaquva so Ω.

Nevozmoniot nastan, pak, ne se pojavuva niko-gax koga se realizira eksperimentot, odnosnonieden elementaren nastan ne doveduva do negovopojavuvaǌe. Ottuka, nevozmoniot nastan ke gooznaquvame so ∅.

Sluqajni nastani


Proizvod na nastani

Definicija

Proizvod na nastanite A i B e nastan koj se pojavuvatogax i samo togax koga ke se pojavat i dvata nas-tani A i B.Toj nastan e opredelen so mnoestvo elementarninastani xto e presek od mnoestvata elementarninastani na nastanot A i nastanot B.Proizvodot na dva nastani A i B se oznaquva so A∩Bili AB.

Sluqajni nastani


Primer 7 za proizvod na nastani

Neka eksperimentot e frlaǌe kocka. Gi razgledu-vame nastanite: A: padna broj pomal ili ednakov na3;B: padna broj deliv so 3;C: padna broj pogolem od 4.Da se opredeli proizvodot na nastanite A i B iproizvodot na nastanite A i C.

Sluqajni nastani


Disjunktni nastani

Definicija

Ako dva nastani A i B ne moe da se pojavat is-tovremeno togax tie se narekuvaat disjunktni nas-tani ili nesoglasni nastani ili iskluquvaqki nas-tani. Nivniot proizvod e nevozmoen nastan, t.e.A ∩B = ∅.

Sluqajni nastani


Zbir na nastani

Definicija

Zbir na nastanite A i B e nastan koj se pojavuvatogax i samo togax koga ke se pojavi barem eden odnastanite A ili B.Toj nastan e opredelen so mnoestvo elementarninastani xto e unija od mnoestvata elementarninastani na nastanot A i nastanot B.Zbirot na dva nastani A i B, vo opxt sluqaj, seoznaquva so A ∪B. Dokolku nastanite A i B se dis-junktni, togax nivniot zbir ke go oznaquvame soA+B.

Sluqajni nastani


Zbir na nastani

Koga se veli deka se pojavil barem eden od nas-tanite A ili B, togax se podrazbira deka sepojavil ili samo nastanot A ili samo nastanotB ili i dvata nastani istovremeno.

Ako nastanite A i B se disjunktni, togax is-tovremeno pojavuvaǌe na dvata nastani e nevoz-mono, pa pojavuvaǌe na nastanot A ∪ B podraz-bira da se pojavi ili samo nastanot A, ili samonastanot B.

Zatoa, vo ovoj sluqaj, za zbir na dva nastani sekoristi oznakata A + B. Znaqi, A + B = A ∪ B ,ako AB = ∅.

Sluqajni nastani


Primer 8 za zbir na dva nastani

Neka eksperimentot e frlaǌe kocka. Gi razgledu-vame nastanite: A: padna broj pomal ili ednakov na3;B: padna broj deliv so 3;C: padna broj pogolem od 4.Da se opredeli zbirot na nastanite A i B i zbirotna nastanite A i C.

Sluqajni nastani


Sprotiven nastan

Definicija

Sprotiven nastan na nastanot A e nastanot koj sepojavuva togax i samo togax koga ne se pojavuva nas-tanot A.Ovoj nastan se oznaquva so A.Mnoestvoto elementarni nastani na nastanot A

e komplement na mnoestvoto elementarni nastanisoodvetni na nastanot A vo odnos na Ω.

Za sekoj nastan A vai:

A ∩A = ∅, A ∪A = Ω.

Sluqajni nastani


Primer 9 za sprotiven nastan

Neka eksperimentot e frlaǌe kocka. Gi razgledu-vame nastanite: A: padna broj pomal ili ednakov na3;B: padna broj deliv so 3;C: padna broj pogolem od 4.Da se opredeli sprotivnite nastani na nastaniteA, B i C.

Sluqajni nastani


Razlika na nastani

Definicija

Razlika na nastanite A i B e nastan koj se pojavuvatogax i samo togax koga ke se pojavi nastanot A, ane se pojavuva nastanot B.Toj nastan e opredelen so mnoestvo elementarninastani xto e razlika od mnoestvata elementarninastani na nastanot A i nastanot B.

Da vooqime deka soglasno so prethodnite oznaki,razlikata na nastanite A i B e, vsuxnost, nastanotAB.

Sluqajni nastani


Nastanot A go povlekuva nastanot B

Definicija

Nastanot A go povlekuva nastanot B (pixuvame A ⊆B), ako sekogax koga se pojavuva nastanot A se po-javuva i nastanot B.

Primer 10. Da go razgledame povtorno eksperimen-tot frlaǌe dve moneti. Neka

A : padna toqno edna glava

B : padna barem edna glava.

Moe da se vooqi deka sekogax koga ke se pojavinastanot A se pojavuva i nastanot B, t.e. A ⊆ B.

Sluqajni nastani


Ednakvi nastani

Definicija

Ako A ⊆ B i B ⊆ A, togax za nastanite A i B velimedeka se ednakvi.

Sluqajni nastani


Zakoni za operacii so nastani

Bidejki sluqajnite nastani se podmnoestva odmnoestvoto elementarni nastani vo vrska soeden eksperiment, za operaciite so nastani vaatistite zakoni kako za operaciite so mnoestva.

Nekoi od niv, koi ke gi koristime vo ponata-moxnite izlagaǌa se slednite.

Distributivnite zakoni: De Morganovite zakoni:A(B ∪ C) = AB ∪AC A ∪B = A ∩B

(A ∪B)C = AC ∪BC A ∩B = A ∪B

Sluqajni nastani


Zbir na poveke nastani

Definicija

Zbir na nastanite A1, A2,. . . , An e nastanot koj sepojavuva togax i samo togax koga ke se pojavi baremeden od nastanite A1, A2,. . . , An.Ovoj nastan se oznaquva so A1 ∪A2 ∪ · · · ∪An, a negov-oto mnoestvo elementarni nastani e unija od mno-estvata elementarni nastani soodvetni na sekoj odnastanite A1, A2,. . . , An.

Sluqajni nastani


Proizvod na poveke nastani

Definicija

Proizvod na nastanite A1, A2,. . . , An e nastanot kojse pojavuva togax i samo togax koga ke se pojavatistovremeno site nastani A1, A2,. . . , An.Ovoj nastan se oznaquva so A1 ∩ A2 ∩ · · · ∩ An (iliA1A2 . . . An), a negovoto mnoestvo elementarni nas-tani e presek od mnoestvata elementarni nastanisoodvetni na sekoj od nastanite A1, A2,. . . , An.

Sluqajni nastani


Obopxtuvaǌe

Zabelexka

Definiciite za zbir i proizvod na nastani moe dase obopxtat i za prebroivo mnogu nastani. Imeno,zbir na nastanite A1, A2,. . . e nastanot koj se po-javuva togax i samo togax koga ke se pojavi baremeden od nastanite A1, A2,. . . , a niven proizvod e nas-tanot koj se pojavuva togax i samo togax koga ke sepojavat istovremeno site nastani A1, A2,. . .

Sluqajni nastani


Primer 12

Vo cel se strela tri pati. Se razgleduvaat nasta-nite A1, A2 i A3 koi oznaquvaat pogoduvaǌe na celtavo prvoto, vtoroto i tretoto strelaǌe, soodvetno.So pomox na ovie nastani, da se opixat slednitesluqajni nastani:

B: postignati se tri pogodoci;C: celta e tri pati promaxena;D: postignat e barem eden pogodok;E: postignato e barem edno promaxuvaǌe;F : postignati se ne poveke od dva pogodoci;G: do tretoto strelaǌe nemalo pogodok.

Sluqajni nastani


Primer 13

Eksperiment se sostoi vo frlaǌe moneta se dodekane padne petka. Neka

An : vo n-toto po red frlaǌe padna petka, n ∈ N.

So pomox na nastanite An, da se opixat slednitenastani:

B5: eksperimentot se izveduva toqno 5 pati;C: eksperimentot zavrxi;D: eksperimentot nema da zavrxi.

Sluqajni nastani


Disjunktno razlouvaǌe na Ω

Definicija

Neka A1, A2,. . . , An se nastani vo vrska so eden ekspe-

riment taka xto Ai ∩ Aj = ∅, i 6= j in∑

i=1

Ai = Ω. Togax

za nastanite A1, A2,. . . , An velime deka se disjunk-tno razlouvaǌe na Ω, t.e. Ω e disjunktna suma nanastanite A1, A2,. . . , An.

Zabelexka

Ω moe da se pretstavi i kako disjunktna suma naprebroivo mnogu nastani A1, A2,. . . , ako Ai ∩ Aj = ∅,

i 6= j i+∞∑

i=1

Ai = Ω

Sluqajni nastani


Primer 14

Eksperimentot se sostoi vo trikratno frlaǌe na moneta. Ako

so 0 se oznaqi ishodot ”padna petka”, a so 1 - ishodot ”padna

glava”, togax mnoestvoto elementarni nastani za ovoj ekspe-

riment e

Ω = (x, y, z)|x, y, z ∈ 0, 1.

So Ai go oznaquvame nastanot ”glava padna i pati”, i = 0, 1, 2, 3.Togax

A0 = (0, 0, 0)A1 = (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)A2 = (1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1)A3 = (1, 1, 1)

Jasno e deka nastanite Ai, i = 0, 1, 2, 3 se disjunktni i

A0 +A1 +A2 +A3 = Ω, t.e. A0, A1, A2 i A3 se disjunktno

razlouvaǌe na Ω.

Sluqajni nastani

Documents

Eksperimenti i Nastani