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CALCULO
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7/18/2019 El Concepto de Diferencial
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EL CONCEPTO DE DIFERENCIAL
Existen muchas situaciones, dentro y fuera de las matemáticas, en que necesitamos
estimar una diferencia, como por ejemplo en las aproximaciones de valores de funciones,en el cálculo de errores al efectuar mediciones (Valor real menos valor aproximado) o
simplemente al calcular variaciones de la variable dependiente cuando la variableindependiente varía "un poco", etc !tiliando a la recta tan#ente como la mejoraproximaci$n lineal a la funci$n en las cercanías del punto de tan#encia, aproximaremos
esta DIFERENCIA con la diferencia sobre la recta tan#ente, a la que llamaremos EL
DIFERENCIAL de la funci$n en el punto
DEFINICION Y EJEMPLOS
%onsideremos la si#uiente ilustraci$n en donde aproximamos a la funci$n f por su recta
tan#ente
%onsiderando que la recta tangente es la mejor aproximación lineal a la gráfica de f en
las cercanías del punto de tangencia PT, si le llamamos a la
variaci$n de f cuando x varía de xo a xo & h y a la variaci$n de la recta tan#ente en elmismo ran#o de variaci$n en x, podemos afirmar que para valores de h "cercanos" a ',
estas dos variaciones son muy parecidas, es decir, f R T
odemos expresar a ∆ * en t+rminos de h y el án#ulo θ que forma la recta tan#ente con
el eje de las abscisas En el trián#ulo de la fi#ura, que extraemos a continuaci$n, se
observa lo si#uiente
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En virtud de que R T es un apr!i"adr de #a DIFERENCIA f, # definire"s
$" EL DIFERENCIAL DE f en e# punt !, $n respe$t a# in$re"ent % & #
dentare"s pr df, es de$ir,
df ' f ()!*%
O+serva$in- El diferencial, en #eneral depende de h y del punto xo or ejemplo eldiferencial de f(x) - x. es
df - f / (xo)h - (.xo)h
que tambi+n lo podemos expresar como
d(x.) - (.xo)h
0i especificamos el punto xo, el diferencial dependerá 1nicamente de h, como se aprecia
en los si#uientes ejemplos
a) El diferencial de f(x) - x. en xo -2 es d(x.) - 3h
b) El diferencial de f(x) - x. en xo -4 es d(x.) - 56h
c) El diferencial de f(x) - x2 en xo -. es d(x2) - 5.h
En el caso de la funci$n identidad f(x) - x, como f /(xo) - 5 para todo xo, su diferencial
nos queda como df - f /(xo)h - h o bien d! ' %
C" % es e# diferen$ia# de #a fun$in identidad, pde"s re.es$ri+ir e# diferen$ia#
de una fun$in f deriva+#e en !, $"-
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d) ara f(x) - se cumple que ∆ f ≅ df en xo - ; y h - '.
S#u$in-
∆ f - f(;.) 7 f(;) - .'53<.: 7 . - 1/13;<28
df - f / (;)dx -( 8x-; )('.) - (5=5.)('.) - 1/13;;;;
9a variaci$n real difiere de la aproximada en una die6"i#4si"a
e) ara f(x) - se cumple que ∆ f ≅ df en xo - 36, h - '.
S#u$in-
∆ f - f(36.) 7 f(36) - 6''653.226 7 6 - 1/1193;2::9
df - f / (36:)dx -( 8x-36 )('.) - (5=6;)('.) - 1/1193;;;;
9a variaci$n real difiere de la aproximada en $uatr "i##n4si"as
f) ara f(x) - sen(x) se cumple que ∆ f ≅ df en xo - π =2, h - '5
S#u$in-
∆ f - f(π =2 & '5) 7 f(π =2) - ':5535<< 7 ';33'.<6 - 1/19<<8
df - f / (π =2)dx -(cos(x)8x-π =2 )('5) - ('<)('5) - 1/1<1
9a variaci$n real difiere de la aproximada en $in$ "i#4si"as
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O+serva$in- En tds #s e0e"p#s anterires $"pr+a"s que f df en e#
punt e in$re"ent dads, sin e"+ar7 tant f $" df sn "u& peque=s, $asi
i7ua#es a $er, & de$ir que 4sts sn "u& pare$ids pare$e trivia#/ En rea#idad 4sts
ds n>"ers sn "u& pare$ids en e# sentid de que
$" se puede apre$iar en e# si7uiente desarr##
# $ua# si7nifi$a que, para va#res "u& peque=s de %, #a fra$$in es pr?$ti$a"ente
i7ua# a 3 +ien que f es pr?$ti$a"ente i7ua# a df/
APLICACIONES DEL DIFERENCIAL
PRO@LEMAS DEL TIPO I/
A continuación desarrollaremos algunos ejemplos de aplicación práctica en los que,
por medio del diferencial, estimaremos un aumento ó una disminución en alguna
función.
E0e"p# 3/ >l calentar una placa cuadrada metálica de 5< cm de lon#itud, su ladoaumenta ''6 cm ?%uánto aument$ aproximadamente su área@
S#u$in- %on el fin de ilustrar una situaci$n que se presentará en todos los demás
problemas y por la simplicidad de +ste en particular, s$lo en este caso calcularemos la
diferencia de áreas ∆ > y la compararemos con d>
A$tese que ori#inalmente teníamos una placa de 5< x 5<, despu+s de calentarla tenemos
la placa de 5<'6 x 5<'6, como se muestra en la fi#ura
En este caso la funci$n es >(9) - 9. y por lo tanto ∆ > en 9 - 5< y h - ''6 es
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>(5<''6) 7 >(5<) - ..3.'53 7 ..< - 5.'53
0i ahora calculamos el diferencial de área para >(9) - 9. en 9 - 5< y d9 - ''6,
obtenemos
d> - >/ (9)d9 - (.9)d9 -(.989-5<)('''6) - (2')('''6) - 5.
En consecuencia, cuando el lado se incrementa en '6 cm, el área aumenta
aproximadamente 5. cm. (El valor exacto del incremento es 5.'53)
Beneralmente este tipo de variaciones se miden en porcentajes, es decir, como ''6 es el
'.333C de 5< y 5. es el '<222C de ..< - (5<)., decimos que si el lado de la placa seincrementa en un '.33C, el área se incrementará aproximadamente en un '<222C
O+serva$in Si e# pr+#e"a es de una p#a$a "et?#i$a de# "is" ta"a= que seenfra 1/19 $", entn$es % ' .1/19 & e# diferen$ia# resu#tara e# "is" s# que $n
si7n $ntrari, es de$ir dA ' .3/2/ C" esta"s usand #a re$ta tan7ente para
esti"ar #a diferen$ia, #a #inea#idad %a$e que e# $atet puest en a"+s tri?n7u#s de
#a fi7ura, sean i7ua#es
esolvamos ahora el mismo problema con otros datos expresados porcentualmente
E0e"p# 2/ >l enfriar una placa cuadrada metálica de .' cm de lon#itud, su lado
disminuye un ''2C ?%uánto disminuirá porcentualmente su área@
S#u$in- El ''2C de .' es , por lo que en este caso
>(9) - 9. , 9o - .' y d9 - 7'''3
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∆ >≅ d> - .9d9 - .(.')(7'''3) - (6')(7'''3) - 7'.6
odemos calcular que '.6 representa el ''3C de (.')., por lo que, cuando el lado
disminuye un ''2C, el área disminuye aproximadamente un ''3C, es decir se duplica porcentualmente
Este 1ltimo resultado lo podemos obtener directamente de la si#uiente manera
∆ >≅ d> - .9d9 - .(.')D -
que representa el ''3C del área ori#inal (.').
En #eneral se da esta situaci$n, como se aprecia en el si#uiente ejemplo que se deja como
ejercicio para el estudiante
E0e"p# :/ ruebe que si al calentar (enfriar) una placa cuadrada metálica de lado 9, su
lado se incrementa (disminuye) un pC, entonces el área se incrementa (disminuye) un .pC
E0e"p# 9 9a pared lateral de un dep$sito cilíndrico de radio <' cm y altura 5 m, debe
revestirse con una capa de concreto de 2 cm de espesor ?%uál es aproximadamente la
cantidad de concreto que se requiere@
S#u$in- 9a cantidad de concreto requerida es la diferencia ∆ V entre el volumen
del cilindro exterior y el cilindro interior
Estimaremos ∆ V por medio de dV, donde V(r) - 5''π r ., r - <', dr -2
dV - (.''π r8r-<')(2) -2','''π - :6.6444: cm2
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PRO@LEMAS DEL TIPO II/
En los siguientes ejemplos utilizaremos el diferencial para estimar errores en la
medición de algunas magnitudes.
E0e"p# 3/ >l calcular la altura de un cerro se encuentra que desde un punto situado a5''m de la proyecci$n en el suelo de la parte más alta del cerro, esta 1ltima se ve con un
án#ulo de elevaci$n de 2'F Encuentre aproximadamente el mayor error que se comete al
calcular la altura, sabiendo que la medici$n del án#ulo se hace con un posible error de'2F
S#u$in- 9lam+mosle G a la altura del cerro
En la fi#ura de abajo, , por lo que G -(5'') tan2'F
A$tese que si el án#ulo se mide con un posible error de '2F, estamos diciendo que elvalor real del án#ulo estará entre .:4F y 2'2F, es decir el error en la medici$n del án#ulo
sería de '2F
En este caso consideraríamos a G como funci$n de θ , es decir
G(θ ) - (5'')tanθ con θ variando entre .:4F y 2'2F
ara estimar el error ∆ G - G(θ ) 7 G(2'F), calcularemos , pues θ puede tomar
valores menores o mayores que 2'F
En este caso θ - π =3 y dθ - π ('2)=5;' - '''<.2<:;4 (%onvertimos #rados a radianes)
∆ G ≅ dG - (5'')G/(θ )dθ - (5'')sec.θ dθ -(5'')(52222)('''<.2<:;4) - '3:;5254
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%omo el punto 532 está "muy pr$ximo" a 53, en ve de evaluar f (532), evaluamos
*(532), obteniendo
>sí pues
A$tese que si comparamos con el valor que nos da la calculadora, ' 6'242 ,
nuestra aproximaci$n es buena hasta dos diemil+simas, lo cual puede resultar suficiente para cientos fines prácticos %uando estudiemos El *eorema de *aylor, seremos capaces
de obtener la aproximaci$n con el #rado de precisi$n deseado
O+serva$in- En #a e$ua$in de #a re$ta tan7ente en e# punt )! , f)!**
R T)!* ' f )! * 5 f ( )! * )!.! *
Si t"a"s ! ' ! 5 %, tendre"s #a e!presin-
R T)!* ' f )! * 5 f ( )! * %
Y si sustitui"s f ()!*% ' df, +tendre"s-
R T)!* ' f )! * 5 df/
C" sa+e"s que para va#res de ! $er$ans a !, f)!* R T)!*, +tene"s-
f)!* f )! * 5 df
Este resultado lo podemos expresar de la si#uiente manera
Podemos estimar el valor de f en x, cercano a x o , agregándole a f x o ! el diferencial
correspondiente.
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O+serva$in/ A$tese que es necesario conocer el valor de f y de su derivada en el punto
x'
En el ejemplo anterior tendríamos los si#uiente datos
a)
b) xo - 53
c) x - 532
d) dx - '2
%on estos datos, df - ( 8x-53) ('2) - ''24<, y por lo tanto
& ''24< - 6'24<
Bráficamente lo que estamos haciendo es evaluar a 532 en la recta tan#ente, como se
aprecia en la #ráfica anterior que aquí presentamos amplificada
E0e"p# 2/ !tiliando diferenciales, encuentre un valor aproximado para
S#u$in- esumiendo lo anteriormente expuesto
≅ & df
donde
a)
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b) xo - 2.
c) x - 2.;
d) dx -';
f / (x) - , por lo que f / (2.) - 5=;' - ''5.<
y por lo tanto df - (''5.<)(';) - ''5
>sí pues ≅ .'5
E0e"p# :/ !tiliando diferenciales, encuentre un valor aproximado para sen25<F
S#u$in-
0en25<F ≅ sen2'F & df
Ionde
a) f(x) - senx
b) xo - π =3 medida en radianes de 25F
c) x - π =3 & 5<(π =5;') medida en radianes de 25<F
d) dx - 5<(π =5;') medida en radianes de 5<F
f /(x) - cosx, por lo que f /(π =3) - cos(π =3) - ';333'.<6
y por lo tanto df - (';33'.<6)(5<)(π =5;') - (';33'.<6)(''.354:) - ''..34
>sí pues sen(25<F) ≅ '< & ''..34 - '<..34
0en(25<F) ≅ '<..34
PRO@LEMAS DEL TIPO IB/
"tilización del diferencial para estimar cambios de una variable con respecto a otra
sin explicitar las variables dependiente e independiente.
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E0e"p# 3 9a 9ey de Joyle para la expansi$n de un #as encerrado es V - %, donde
es la presi$n expresada como el n1mero de libras por unidad de área, V es el volumen del
#as y % es una constante Iemuestre que si la ley de Joyle se cumplen entonces Vd &dV - '
S#u$in/ En este tipo de situaciones tenemos dos posibilidades para establecer unafunci$n a como funci$n de V $ a V como funci$n de
0upondremos que $ V son diferentes de cero, ya que en caso contrario trivialmente secumple lo que queremos probar
a) Forma 1 0upon#amos que V ≠ ' y consideremos a como funci$n de V
Ie la ley de Joyle, despejamos en t+rminos de V
$ bien ,
calculamos el Iiferencial de en el punto V con un incremento dV y obtenemos
de nuevo de la 9ey de Joyle sabemos que y si lo sustituimos en la expresi$n para
d, obtenemos
pasamos multiplicando a V de la 1ltima a la primera expresi$n de la i#ualdad anterior,
obteniendo
Vd - 7dV $ bien Vd & dV - '
b) Forma 2 0upon#amos que ≠ ' y consideremos a V como funci$n de
Ie la ley de Joyle, despejamos V en t+rminos de
(no hacemos explícita a la variable independiente)
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calculamos el Iiferencial de V en el punto con un incremento d y obtenemos
de nuevo de la 9ey de Joyle sabemos que y si lo sustituimos en la expresi$n para
d, obtenemos
obteniendo tambi+n la expresi$n deseada dV & Vd - '
E0e"p# 2 9a resistencia el+ctrica de un conductor (cable) es directamente
proporcional a su lon#itud e inversamente proporcional al cuadrado de su diámetro0uponiendo que la lon#itud es constante, ?con qu+ precisi$n debe medirse el diámetro (en
t+rminos del error porcentual) para mantener el error porcentual de entre 72C y 2C@
S#u$in
Aos piden calcular dI sabiendo que d - (''2)
despejando dI, obtenemos
como
En consecuencia el diámetro debe medirse con una precisi$n del 5<C
E0e"p# :/ 0i el error posible en la medici$n del volumen de un #as es de '5 pie2 y el
error permitido en la presi$n es de ('''5)% lb=pie., determine el tamaKo del recipiente
más pequeKo para el cual se cumple la ley de Joyle
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S#u$in/ 0i la ley de Joyle ha de cumplirse, debe pasar que Vd & dV - ', de donde
despejando V, obtenemos
Ie acuerdo a los datos d varía de 7('''5)% lb=pie. a ('''5)% lb=pie. y dV varía de 7
('5) pie2 a '5 pie2
9a expresi$n dentro del radical, fuera a que uno de los dos diferenciales sea ne#ativo y para que la fracci$n sea lo más pequeKa posible, el numerador debe ser lo más pequeKo y
el denominador lo más #rande posible, consi#ui+ndose esto con dV - 7'5 y d -
('''5)%
V -
or lo que el recipiente debe ser de 5' pie2
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