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CAPÍTULO VII 1
CAPÍTULO VII
EL METODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS 7.1 Introducción En capítulos anteriores se presentó el problema elástico y las soluciones de Navier (planteamiento en desplazamientos). Se comentó que la integración de estas ecuaciones lleva aparejado la aparición de una serie de constantes que se determinan aplicando las condiciones de contorno, y que su solución, salvo casos especiales, era prácticamente imposible. Ante esta situación y en la necesidad de dar solución a los distintos problemas que se presentan en la ingeniería surgen con potencia los métodos numéricos o aproximados de cálculo, siendo unos de los más empleados: el Método de los Elementos Finitos Desde un punto de vista formal el problema elástico se plantea genéricamente de la siguiente forma: Un sistema de ecuaciones diferenciales que describe el comportamiento del cuerpo (Ω) sometido a una serie de condiciones en el contorno (δΩ).
A u f enB u g en
=
=
Ω
Ωδ
Donde A y B son operadores diferenciales; u es la variable natural y f y g son funciones conocidas datos del problema, Ω representa al dominio y δΩ a su contorno. Manuel Doblaré en su libro "Fundamentos de la elasticidad lineal" comenta que: un planteamiento diferencial implica, en ocasiones, exigencias excesivas sobre la variable u, y con ello la imposibilidad de encontrar alguna función que cumpla con los requisitos exigidos, por ello cabe pensar en la posibilidad de algunas alternativas. Tales son: - Minimización de un funcional a través de un proceso variacional. - Planteamiento débil del problema. El segundo planteamiento incluye al primero pero no al revés, por lo que se tiende a emplearlo. Este capítulo presenta en primer lugar la formulación débil con el conocido Teorema de los Trabajos Virtuales, para luego entrar en lo que se denomina Método de los Elementos Finitos, herramienta hoy en día fundamental y que cualquier alumno de ingeniería debería conocer.
CAPÍTULO VII 2
7.2 Teorema de los Trabajos Virtuales. Este teorema parte de considerar un cuerpo que está sometido a unas fuerzas por unidad de volumen y a unas cargas externas que están en equilibrio con unas condiciones de contorno geométricas prescritas. Se cumplirá que:
( )
tijiji
iVjij
entnT
enF
Ω∂==
Ω=+
σ
σ 0, 7-1
Donde ti son las condiciones de contorno conocidas en una porción de contorno (del contorno total δΩ)
tΩ∂
, y Ω es el dominio. Sea un campo de desplazamientos compatible sobre el mismo dominio Ω. Las deformaciones se escriben:
( )
uii
ijjiij
enuu
enuu
Ω∂=
Ω+=
**
*,
*,
*
21ε
7-2
uΩ∂ es la porción de contorno (del contorno total Ω∂ ) donde los desplazamientos
están prescritos, y ui representa al desplazamiento conocido. Cumpliéndose en definitiva que: Ω=Ω∂∪Ω δδ ut 7-3 Para demostrar el teorema se multiplican las ecuaciones de equilibrio por el campo de desplazamiento compatible, y se integra, obteniendo: ( ) 0**
, =⋅+⋅ ∫∫ΩΩ
VduFVdu iiVijijσ 7-4
Teniendo en cuenta que: ( ) ∫∫∫
ΩΩΩ
⋅−⋅=⋅ VduVduVdu jiijjijijijij*,,
*,
*, σσσ 7-5
sustituyendo en 6-5 en 6-4 se obtiene: ( ) ( )∫∫∫
ΩΩΩ
=⋅+⋅−⋅ 0**,,
*, VduFVduVdu iiVjiijjijij σσ 7-6
Aplicando el teorema de la divergencia a la primera de las integrales:
CAPÍTULO VII 3
( ) ∫∫∫∫ΩΩΩΩ
⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅δδδ
σσσ SduTSdunSdnuVdu iiijijjiijjijij***
,*
, 7-7
donde nj es la normal al contorno. Sustituyendo 7-7 en 7-6: ( )∫∫∫
ΩΩΩ
=⋅+⋅−⋅ 0**,
* VduFVdudSuT iiVjiijii σδ
7-8
descomponiendo la segunda integral de 7-8 de la siguiente forma:
( ) ( )∫∫∫ΩΩΩ
−⋅++⋅=⋅ VduuVduuVdu ijjiijijjiijjiij ,,,,, 21
21 σσσ 7-9
y teniendo en cuenta la definición de tensor de deformaciones y de rotación resulta: 7-10 ∫∫∫
ΩΩΩ
⋅+⋅=⋅ VdVdVdu ijijijijjiij ωσεσσ ,
Puesto que el tensor de rotación es antisimétrico, implica que su producto por un tensor simétrico σij es nulo, por tanto: 7-11 ∫∫
ΩΩ
⋅=⋅ VdVdu ijijjiij εσσ ,
Efectivamente si se desarrolla el producto:
333332323131
232322222121131312121111
ωσωσωσ
ωσωσωσωσωσωσωσ
++
++++++=ijij
teniendo en cuenta la simetría del tensor de tensiones y que la diagonal principal de tensor de rotación es nula quedaría:
( ) ( ) ( ) 0322323311313211212 =+++++= ωωσωωσωωσωσ ijij y evidentemente los paréntesis son todos nulos pues ωij = - ωji . Sustituyendo 7-11 en 7-8 queda: ( )∫∫∫
ΩΩΩ
=⋅+⋅−⋅ 0*** VduFVddSuT iiVijijii εσδ
7-12
o bien: 7-13 ( )∫∫∫
ΩΩΩ
⋅+⋅=⋅ VduFdSuTVd iiViiijij***
δεσ
Si se descompone el contorno en dos subcontornos de tal forma que en uno de ellos el vector tensión es dato (y por tanto el desplazamiento es incógnita), y en el otro el
CAPÍTULO VII 4
desplazamiento es dato pero nulo (desplazamiento restringido y las tensiones son incógnitas), se cumplirá que: Ω=Ω∂∪Ω δδ ut 7-14
a b
F1 F2
F3
Figura 6-1
Clarifiquemos este punto apoyándonos en la figura 6-1: en ella δΩu se reduciría exclusivamente a los puntos a y b y δΩt sería el resto del contorno. Las cargas externas Fi crean unas tensiones que están en equilibrio. Si se aplica un campo de desplazamientos (cuyas deformaciones son compatibles) causado bien por las misma fuerzas Fi bien por otras, bien por un aumento de temperatura, etc. Lo único que se exige es que dicho campo de desplazamientos sea compatible con las restricciones al desplazamiento del sólido (puntos a y b) y que su aplicación no viole el equilibrio del campo de fuerzas Fi. Retomando 7-13 y escribiendo el dominio total en dos subdominios resulta: ( )∫∫∫∫
ΩΩΩΩ
⋅+⋅=⋅+⋅ VduFVddSuTdSuT iiVijijiiiitu
**** εσδδ
7-15
Si se supone que el desplazamiento está restringido en δΩu (lo que implica que ui=0) queda finalmente: ( )∫∫∫
ΩΩΩ
⋅+⋅=⋅ VduFdSuTVd iiViiijijt
***
δ
εσ 7-16
Que es la expresión definitiva del teorema de los trabajos virtuales, cuya lectura podría ser: Si un cuerpo está en equilibrio y permanece en equilibrio mientras se somete a una distorsión virtual compatible con las restricciones geométricas en desplazamientos, el trabajo virtual realizado por las fuerzas externas es igual al trabajo virtual realizado por las fuerzas internas. Es interesante ahora hacer algunas consideraciones sobre este importante teorema: a) Para el cumplimiento del teorema sólo se exige que exista un campo de
tensiones que esté en equilibrio y un campo de desplazamientos que sea compatible.
CAPÍTULO VII 5
b) No se exige el cumplimiento de la ley de comportamiento, resultando que el teorema puede ser aplicado a cuerpos cuya ley de comportamiento sea distinta a la ley de Hooke.
c) El teorema se sigue cumpliendo si el campo de tensiones y de desplazamientos es el provocado por un único estado de cargas.
d) Es importante para el cumplimiento del teorema que no se violen las condiciones de contorno iniciales del problema en cuanto a restricciones del desplazamiento se refiere.
Es conveniente hacer notar que en el teorema se emplean varias palabras que requieren su explicación, a saber: Trabajo, virtual, y débil. Las dos primeras se siguen usando por tradición, ya que inicialmente el teorema se denominaba " Principio de los Trabajos Virtuales" y se aplicaba, y se sigue aplicando, a estructuras de barras. Para ello se considera una estructura sometida a unas cargas y a unas restricciones de desplazamiento. A partir de la configuración de equilibrio de la estructura suponemos que se ejecuta un desplazamiento infinitesimal virtual sin violar las restricciones en desplazamiento de la estructura original. A tal desplazamiento infinitesimal se le denomina " virtual " y de ahí su nombre. La palabra " trabajo " no tiene que entenderse en el sentido tradicional (Fuerza x desplazamiento que origina la aplicación de la fuerza) sino el producto de una fuerza por unidad de área por una deformación provocada bien por la aplicación de esa fuerza por unidad de área, bien por la aplicación de otra distinta. Se denominan condiciones de contorno esenciales aquellas que se aplican sobre la variable básica del problema (el desplazamiento en Elasticidad ya que las tensiones pueden obtenerse por derivación de los desplazamientos y posterior aplicación de la ley de comportamiento; la presión en un problema propagación de ondas, etc), y condiciones de contorno naturales cuando se aplican a las tensiones. Es de destacar que las condiciones de contorno en tensiones aparecen de una forma natural en la formulación no siendo necesaria su posterior comprobación ni su posterior obligación de cumplir porque están incluidas en la formulación, sin embargo las condiciones de contorno sobre la variable desplazamiento, esencial, no aparecen directamente sino que es necesario su comprobación, o cumplimiento a posteriori. Por último la denominación de formulación débil se debe a que se parte de una ecuación de equilibrio en tensiones:
( ) 0, =+ iVjij Fσ en la que las exigencias son sobre la derivada de la variable “tensiones”. Tras posteriores manipulaciones se llega a la expresión 7-16 donde la variable “tensiones” está sin derivar. En contrapartida se parte de un campo de desplazamientos compatible (variable “desplazamiento”) y se llega a 7-16 donde figuran las derivadas de la variable “desplazamientos” (deformaciones). Conclusión: Se ha descargado en un grado las exigencias sobre la variable tensiones para aumentar en un grado las exigencias sobre la variable desplazamiento. En general se denominan planteamientos débiles de un problema, todos aquellos que tienen como objetivo descargar la exigencia sobre una de las variables del problema, y aumentarla en otra.
CAPÍTULO VII 6
Por último si se considera a las fuerzas por unidad de volumen como si de una carga externa se tratase, entonces se puede plantear la siguiente igualdad energética: WU δδ = 7-17 donde: ( )∫∫∫
ΩΩΩ
⋅+⋅=⋅= VduFdSuTWyVdU iiViiijijt
***
δ
δεσδ 7-18
Que se puede leer así: la energía interna generada por el sistema debe ser igual a la energía externa suministrada al sistema (primer principio de la termodinámica). Con lo que el teorema de los trabajos virtuales también es una igualdad energética. En definitiva el Teorema de los Trabajos Virtuales se puede expresar de la siguiente forma:
COMPATIBILIDAD
EQUILIBRIO
( )∫∫∫ΩΩΩ
⋅+⋅=⋅ VduFdSuTVd iiViiijijt
***
δ
εσ
Siendo posible elegir como virtual cualquiera de ambos sistemas (tensiones o deformaciones) resultando pues cuatro posibilidades:
Sistema de fuerzas enequilibrio
REAL
REAL
VIRTUAL
VIRTUAL
Sistema de deformacionescompatible
REAL
VIRTUAL
REAL
VIRTUAL
La primera de ellas no produce ecuaciones adicionales que ayuden a resolver el problema pues precisamente lo que se intenta es resolver el problema Real. Las interesantes son las combinaciones 2º y 3º. La última no conduce absolutamente a nada, ya que, aunque se cumpla el T.T.V. no produce ecuaciones que tengan sentido real para nuestro problema en particular. La segunda pareja recibe el nombre de Teorema de los Desplazamientos Virtuales, y la tercera pareja Teorema de las Fuerzas Virtuales.
CAPÍTULO VII 7
7.3 El Método de los Elementos Finitos Como es sabido una ecuación diferencial es la descripción matemática de un problema físico. Concretamente en la asignatura que se está estudiando, las ecuaciones de Navier modelan el comportamiento de un cuerpo elástico ante un estado de cargas cualquiera. Desgraciadamente, y en la actualidad, la Ciencia sólo ha podido plantearlas pero no ha podido resolverlas. Ante esta tesitura surgen con potencia los métodos numéricos pues constituyen, en la actualidad, la única alternativa que dispone la ingeniería para dar solución a los problemas cada vez más complicados con que se enfrenta el ingeniero. El Método de los Elementos Finitos fue desarrollado por los ingenieros Turner – Clough – Martín – y Topp en 1956 tratando de desarrollar un método de cálculo que permitiera resolver problemas de medios continuos a partir de las ideas de medios discretos. Siguiendo las ideas de sus creadores quizás lo mas razonable sería, desde el punto de vista pedagógico, plantear en primer lugar el Cálculo Matricial de Estructuras y luego el Método de los Elementos Finitos pues fue así como ocurrió el proceso. Sin embargo, tiene dos grandes inconvenientes: - Puede hacer creer al alumno que el M.E.F. es un método exclusivo del Cálculo de
Estructuras - Sería necesario impartirlo después de un curso de Cálculo Matricial. Efectivamente, en la actualidad existen varios caminos para plantear el M.E.F. y el elegido en estas notas ha sido quizás el más potente de ellos: la formulación débil. Este camino tiene la ventaja de la generalidad y los alumnos rápidamente intuirán la posible potencia del mismo. El M.E.F. experimentó un espectacular avance cuando los investigadores se percataron de que no solo servía para resolver problemas de Estructuras sino también para resolver ecuaciones diferenciales y cualquier problema que permitiese un planteamiento débil, variacional, o en residuos ponderados. Hoy en día constituye un campo de trabajo e investigación en las Matemáticas, (aunque como dice Zienkiewicz en su libro “Desafortunadamente muchos de sus trabajos están escritos en un lenguaje que es bastante difícil de seguir”), en la Física y por supuesto en casi todas las ramas de la Ingeniería. En general el M.E.F. hace uso de tres conceptos que es necesario desglosar y estudiar aparte: - La idea de Aproximación - La idea de Discretización - Ensamblaje En el contexto que nos movemos aproximación consiste en obtener una solución, lo mas cercana posible a la exacta, a un problema complicado mediante el uso de funciones sencillas. La idea de discretización es dividir el dominio completo en un número determinado de subdominios o elementos de tamaño finito, y aplicar a cada uno de ellos las ideas de aproximación de tal forma que sean lo más repetitivas posibles.
CAPÍTULO VII 8
La idea de ensamblaje es construir una matriz global que incluya a todas las elementales y que conduce a la resolución de un sistema de ecuaciones algebraicas de la forma:. [ ] FuK =⋅ 7-19 Dependiendo de la complejidad del problema será preciso emplear mas o menos elementos y por tanto mas o menos ecuaciones o lo que es lo mismo mayor o menor será el tamaño de la matriz K. La matriz K se denomina de Matriz de Rigidez (en clara alusión a la matriz de Rigidez del Cálculo Matricial) y representa la contribución de los distintos elementos a la resolución del problema global. 7.3.1 La idea de Aproximación Supóngase un sólido que ocupa un dominio Ω que está regido por una ecuación diferencial: ( ) ( ) Ω=+℘= enpA 0φφ 7-20 la solución necesariamente debe cumplir unos requisitos o condiciones de contorno en Γ, que en general puede expresarse como: ( ) ( ) φφφ Γ=+= enrB 0h 7-21 Las condiciones de contorno pueden ser de tipo Dirichlet o Neumann según el dato sea la variable esencial (desplazamiento) o natural (tensión) y en general se expresan:
( )
( ) qenn
krn
k
enr
Γ
∂∂
−=∂∂
−=
Γ−==
φφφ
φφφ φ
;
;
h
h
7-22
El objetivo es construir una solución , aproximada de la exacta φ, de la siguiente forma:
∧φ
7-23 ∑=
=
∧+Ψ=≈
Mm
mmm Na
1φφ
En esta aproximación Ψ es una función cualquiera cuyo único requisito es elegirla de tal forma que cumpla las condiciones de contorno. Las funciones Nm pueden ser cualesquiera con la única condición de que sean nulas en el contorno; los parámetros am se calculan para obtener la máxima aproximación. Si las funciones Nm se definen en una parte del dominio se denominan funciones de pequeño; si se definen en gran parte del dominio se denominan funciones de gran soporte; y si se definen en todo el dominio funciones de soporte completo. Suele ser bastante difícil construir funciones de gran
CAPÍTULO VII 9
soporte o de soporte completo en dominios complicados, por lo que se tiende a emplear las de pequeño soporte. Las funciones Nm se suelen denominar “funciones de forma” y lo normal es elegirlas de pequeño soporte, y matemáticamente hablando deben cumplir una serie de requisitos: - La forma en que Ψ y Nm se definan deben asegurar automáticamente que la
aproximación tiene la propiedad de que independientemente de los valores
de a
ΓΓ
∧= φφ
m, es decir ≡ (φ aproximada) exactamente igual a φ en el contorno. Γ
∧φ
- Las funciones de forma deben cumplir la “complitud” es decir se deben elegir de tal
forma que aseguren que la aproximación mejora cuando se incrementa el número m de funciones, o lo que es lo mismo:
∞→+Ψ== ∑=
=
∧McuandoNa
Mm
mmm
1φφ
Matemáticamente hablando las restricciones a las funciones Ψ y Nm son tales que:
Γ=Γ−=Ψ sobreNysobrer m 0hh y de esta forma automáticamente aseguran la condición 7-21 pues sustituyendo: ( ) [ ] [ ] φφ Γ=++Ψ=+Ψ≈ ∑∑ enraNaNBB mmmm 0h 7-24 Una vez visto las restricciones a la elección de las funciones Ψ y Nm, las derivadas se aproximan de la siguiente forma:
etcxN
axxx
xN
axxx
Mm
m
mm
Mm
m
mm
∑
∑
=
=
=
=
∂
∂+
∂
Ψ∂=
∂
∂≈
∂
∂
∂∂
+∂Ψ∂
=∂∂
≈∂∂
12
2
2
2
2
^2
2
2
1
^
φφ
φφ
y tanto Ψ como Nm deben ser continuas y derivables.
CAPÍTULO VII 10
7.3.2 Aplicación de la idea de Aproximación al T.T.V. Retomando la ecuación 7-13, el Teorema de los Trabajos Virtuales se escribía: 7-25 ( )∫∫∫
ΩΩΩ
⋅+⋅=⋅ VduFdSuTVd iiViiijij***
σδεσ
o bien:
7-26 ( ) ( )∫∫∫ΩΩΩ
⋅+⋅=⋅ VduFdSuTVd iiViiijT
ij***
σδσε
Si las tensiones y deformaciones se ven como vectores las relaciones entre ellas (ecuaciones de Hooke y de Lamé) se pueden expresar en forma matricial. Los coeficientes de dichas matrices son coeficientes elásticos, así: [ ] [ ] σCεεDσ == ; 7-27 Efectivamente, en deformación plana:
( )
( )( )
[ ] σCε =⇒
+−−−−−−
=
12
22
112
2
12
22
11
1200011011
1
σσσ
εεε
vvvv
vvv
E 7-28
( )( ) ( )
( )
[ ] εDσ =⇒
−−
−
−
−+−
=
12
22
11
12
22
11
122100
011
01
1
2111
εεε
σσσ
vv
vv
vv
vvvE 7-29
En tensión plana:
( )
[ ] σCε =⇒
+−
−=
12
22
11
12
22
11
12000101
1
σσσ
εεε
vv
v
E 7-30
[ ] εDσ =⇒
−−=
12
22
11
212
22
11
2100
0101
1 εεε
σσσ
vv
v
vE 7-31
y en el caso general tridimensional:
CAPÍTULO VII 11
( )( ) ( )
( )
( )
( )
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−+−
=
23
13
12
33
22
11
23
13
12
313
22
11
122100000
012
210000
0012
21000
000111
0001
11
00011
1
2111
εεεεεε
σσσσσσ
vv
vv
vv
vv
vv
vv
vv
vv
vv
vvvE 7-32
Si se sustituye esta relación en el teorema de los Trabajos Virtuales (dependiendo del caso) resulta:
[ ] ( )∫∫∫ΩΩΩ
⋅+⋅=⋅⋅ VduFdSuTVd iiViiT **
σδεDε* 7-33
Por otra parte la relación matricial entre las deformaciones y los desplazamientos es: [ ] uBε = 7-34 efectivamente en tres dimensiones es:
[ ] uBε =⇒
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
=
3
2
1
23
13
12
3
2
1
23
13
12
33
22
11
0
0
0
00
00
00
uuu
xx
xx
xx
x
x
x
εεεεεε
7-35
y en dos dimensiones:
CAPÍTULO VII 12
[ ] uBε =⇒
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
=
2
1
12
1
1
12
2
10
0
uu
xx
x
x
εεε
7-36
Sustituyendo en 7-33 resulta:
[ ] ( ) [ ] [ ] ( )∫∫∫ΩΩΩ
⋅+⋅=⋅⋅⋅⋅ VduFdSuTVd iiVii**
σδuBDuB
T* 7-37
y aplicando una propiedad de la transposición de matrices:
7-38 [ ] [ ] [ ] ( )∫∫∫ΩΩΩ
⋅+⋅=⋅⋅⋅⋅ VduFdSuTVd iiVii**
σδuBDBu TT*
Esta última ecuación interesa verla escrita de la forma siguiente:
[ ] [ ] [ ] ∫∫∫ ⋅+⋅⋅=⋅⋅⋅⋅Ω Ω
VT*
Ωδ
T*TT* VdFudSTuuBDBuσ
Vd 7-39
En esta ecuación las incógnitas son los desplazamientos ui. Usando la idea de aproximación del apartado anterior de la siguiente forma: [ ] ΨaNu +⋅= 7-40 y sustituyendo en 7-39 resulta:
[ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] ∫
∫∫∫
Ω
Ω
⋅⋅⋅⋅
−⋅+⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅
Vd
Vd
ΨBDBu
VdFudSTuaNBDBu
TT*
ΩV
T*
Ωδ
T*TT*
σ 7-41
En esta última ecuación el vector de términos a puede salir fuera de la integral resultando:
7-42
[ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] ∫
∫∫∫
Ω
Ω
⋅⋅⋅⋅
−⋅+⋅⋅=⋅⋅
⋅⋅⋅⋅⋅
Vd
Vd
ΨBDBu
VdFudSTuaNBDBu
TT*
ΩV
T*
Ωδ
T*TT*
σ
CAPÍTULO VII 13
El vector de desplazamientos virtuales *u es arbitrario por lo que sin perdida de generalidad puede elegirse de la forma siguiente:
[ ] ll* δWu ⋅=
Donde son cantidades de desplazamientos fijas y arbitrarias. Sustituyendo resulta: lδ
7-43 [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ∫∫
∫∫
Ω
Ω
⋅⋅⋅⋅−⋅
+⋅⋅=⋅⋅
⋅⋅⋅⋅⋅
Vd
Vd
TT
TT
ΨBDBWδVdFWδ
dSTWδaNBDBWδ
TTll
ΩV
Tll
Ωδ
Tll
TTll
σ
Eliminando la cantidad : Tlδ
7-44 [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ] ∫
∫∫∫
Ω
Ω
⋅⋅⋅⋅−
⋅+⋅⋅=⋅⋅
⋅⋅⋅⋅⋅
Vd
Vd
ΨBDBW
VdFWdSTWaNBDBW
TTl
ΩV
Tl
Ωδ
Tl
TTl
σ
La ecuación de dimensiones para el caso tridimensional es la siguiente (m = número de nodos por elemento) :
7-45
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
[ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
[ ][ ][ ][ ][ ]1336666333
13331333133336666333
xxxxmx
Vd
xmxxmxmxmxxxxmx
Vd
∫
∫∫∫
Ω
Ω
⋅⋅⋅⋅−
⋅⋅⋅⋅
⋅+⋅⋅=⋅⋅
⋅⋅⋅⋅⋅
ΨBDBW
VdFWdSTWaNBDBW
TTl
ΩV
Tl
Ωδ
Tl
TTl
σ
La ecuación de dimensiones para el caso plano consiste simplemente en sustituir: [3 x 3m] -> [2 x 2 m] ; [6 x 6] -> [3 x 3] ; [6 x 3] - > [3 x 2] ; 3m x 1->2m x 1 La expresión 7-44 representa a un sistema de ecuaciones que escrito condensadamente conduce a: [ ] faK = 7-46 Donde la matriz K es de 3m x 3m en el caso tridimensional y de 2m x 2m en el caso plano. Si se emplea el Método de Galerkin las funciones Wl se toman iguales a las Nm quedando la expresión 7-44 así:
CAPÍTULO VII 14
7-47 [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ∫∫
∫∫
Ω
Ω
⋅⋅⋅⋅−⋅
+⋅⋅=⋅⋅
⋅⋅⋅⋅⋅
Vd
Vd
ΨBDBNVdFN
dSTNaNBDBN
TT
ΩV
TΩδ
TTT
σ
y los términos de la matriz K son: [ ] [ ] [ ] [ ]∫
Ω
⋅⋅⋅⋅⋅= ΩdNBDNB mT
llmK 7-48
y el vector de términos independientes es:
[ ]
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ∫∫
∫
⋅⋅⋅⋅−⋅
+⋅⋅=
Ω
TTl
ΩV
Tl
Ωδ
Tll
VdΨBDBNVdFN
dSTNfσ 7-49
y el vector coincide con los desplazamientos de los nodos de los elementos. a Ejemplo bidimensional: Sea una placa cuadrada de Módulo de Elasticidad E y de Poisson v = 0.25 de
dimensiones 2 x 2 sometida a una presión ( )vyE
x +−
=11 2
T y sujeta tal y como se indica.
Hallar una solución aproximada para el vector desplazamiento.
2 X
Y
u1 = 0 u2 = 0
u1 = 0 u2 = 0
Tx
2
Se eligen como funciones de forma las siguientes:
CAPÍTULO VII 15
−−−−−−=
)1(0)1(0)1(00)1(0)1(0)1(
23222
22232
yyyyxyyyxyyxyxN
(Obsérvese que las funciones de forma se han tomado diferentes en ambas filas, en el M.E.F. se toman iguales)
De tal forma que: [ ]
=
6
5
4
3
2
aaaaaa
Nv
u
1
^
^
Se puede observar que las funciones de forma cumplen la condición de desplazamiento nulo en las rectas y = ±1 y una función del tipo Ψ = 0 cumple la condición de contorno. El método de los residuos ponderados o la formulación débil establecen que:
[ ] [ ] [ ] [ ] ∫ ∫∫∫∫−
−
−=−
=Γ−
⋅⋅−⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅⋅1
1
1
11
1
11
1
1
^dyTwdyTwdyTwdydxNB T
xlTxl
Tl
Tl
σ
σ
Es necesario darse cuenta que las dos últimas integrales es la consecuencia de una integración de línea a lo largo del contorno de la placa:
X
Y
Tx
a
b c
d dy = +
dy = -
2
Es decir desde a hasta b (límites de integración –1 , 1) luego desde b a c (la integral es nula), desde c hasta d (límites desde 1 hasta –1 ) y por último desde d hasta a en que la integral es nula.
La sustitución de en la ecuación conduce a: ^σ
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ∫∫∫∫−
−=−
=−−
⋅⋅−⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅1
11
1
11
1
1
1
1dyTwdyTwadydxNBDNB T
xlTxlm
Tl
CAPÍTULO VII 16
El producto de las matrices [ ] [ ] [ ]mNBD ⋅⋅ conduce a:
[ ]
−−=
2100
0101
1 2 vv
v
vED [ ]
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
=
xy
y
x
B 0
0
[ ] [ ] [ ]mNBD ⋅⋅ =
( )
( )
−−−−−−−
−−−⋅
−− 0)21(2)1(2202)3(0130130
0)1(01301
2100
0101
1 323
22222
22222
2yxyyxyyxyx
yyyxyyyyxy
vv
v
vE
Y el producto de [ es: ]TlNB ⋅
[ ]TlNB ⋅ = ( )
−−−−−−
−−+−
−−
0)53(0)21(20)1(
)12)13(020)1(30130201
22
222
222
322
2
2
yyyxyyy
yxyyxyxyx
yyxy
Realizando el producto de ambas e integrando conduce a una matriz de 6 x 6. El vector de términos independientes es :
−−
⋅
−−−
−−−
−+−
−
−−
⋅
−−
−−
−−
∫∫−− 0
1)1(
)1(00)1(
)1(00)1(
)1(001
01
)1(
)1(00)1(
)1(00)1(
)1(001
21
1
23
22
2
2
2
2
21
1
23
22
2
2
2
2
vyE
yyyy
yyy
yyy
vyE
yyyy
yyy
yyy
En definitiva se obtiene un sistema de 6 ecuaciones con 6 incógnitas, cuya resolución provee los valores de los coeficientes ai :
( )003.0,368.0,177.0,07.0,052.0,574.0 −−=a Por tanto el vector desplazamiento aproximado es:
CAPÍTULO VII 17
−−
−−−−−−=
003.0368.0177.007.0
052.0574.0
)1(0)1(0)1(00)1(0)1(0)1(
23222
22232
^
^
yyyyxyyyxyyxyx
v
u
Por último, antes de exponer el Método de los Elementos Finitos es necesario exponer someramente unas ideas sobre lo que se entiende por: 7.3.3 Continuidad de una Función. Para entender este concepto se incluyen los siguientes gráficos que muestran tres funciones y sus derivadas:
N1
A
A
∞ 22
2
xd
Nd
N2 N3
AA
A
xdNd 3
A
xdNd 2
A
23
2
xd
Nd
xdNd 1
A
∞
33
3
xd
Nd
A
∞
N1 es discontinua en valor => la derivada es indeterminada
N2 es continua en valor ; xd
Nd 2 es discontinua en valor ; 2
22
xd
Nd es indeterminada
N3 es continua en valor; xd
Nd 3 es continua en valor; 2
32
xd
Nd es discontinua en valor
Es importante recordar que si una función es discontinua en valor su integral existe y tiene un valor único (la integral no es divergente), así:
CAPÍTULO VII 18
1 2 3
y=3
y=5
2 - ε 2 + ε
la integral de esta función es:
( ) ( ) ( ) 153)23(5225223123
55333
2
2
2
2
2
2
1+=−−+−+++−⋅+−−⋅
=+++ ∫∫∫∫+
+
−
−
εεεεε
ε
ε
εxdxdxdxd
Es decir que es independiente de ε y en caso de que lo sea tiende a cero cuando ε tiende a cero (la discontinuidad tiende a cero con ε). Por tanto se concluye que si una función es discontinua en valor su integral es convergente y está definida. Sea la integral de una función φ afectada de un operador diferencial ℜ de orden s:
( )∫ Ωℜ dφ Entonces para que la integral exista la función φ debe ser tal que la derivada de orden (s-1) es continua ( si la derivada de orden (s-1) es continua implica que la derivada de orden s puede ser discontinua sin embargo la integral es única). En matemáticas se dice que la función φ tiene como mínimo continuidad . 1−sC En el caso de Elasticidad los operadores diferenciales [ ]B son de orden 1 [ ] [ ] [ ] [ ]∫
Ω
⋅⋅⋅⋅⋅= ΩdNBDNB mT
llmK 7-50
por tanto matemáticamente hablando las funciones N son de continuidad C0 que quiere decir que pueden ser como mínimo continuas en valor y sus derivadas primeras pueden ser (como mínimo) discontinuas.
CAPÍTULO VII 19
7.3.4 La idea de discretización en El Método de los Elementos Finitos Hasta ahora se ha hablado de aproximación; del Método de Residuos Ponderados; de su aplicación a problemas de Elasticidad; de continuidad. Por tanto se está en disposición de dar el último paso para plantear el Método de los Elementos Finitos. En primer lugar es necesario presentar un esquema de una placa en dos dimensiones y una discretización en elementos y nodos:
Nodos 2 y 3
Elementos 3 y 7
1 2 3
4 5
6 7 8
1 2
3
4
5 6
7
Dominio Ω
Figura
Como puede observarse el dominio Ω ha sido “ discretizado” en 7 elementos, y cada elemento contiene a una serie de nodos ( 3 en este caso) por ejemplo el elemento 5 contiene a los nodos 4 – 7 - 5. El Método de los Elementos Finitos (M.E.F. en adelante) hace uso de las siguientes grandes ideas: - La integral sobre el dominio completo se realiza por trozos o elementos de tal forma
que se cumple que:
7-51
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ] ∫∑∫∑
∫∑∫∑
Ω
Ω
⋅⋅⋅⋅−⋅
+⋅⋅=⋅⋅
⋅⋅⋅⋅⋅
ee
ee
eelemNum
eElemNum
eeNumCont
eElemNum
Vd
Vd
ΨBDNBVdFN
dSTNaNBDNB
T
ΩV
T
Ωδ
TT
..
1
.
1
1
.
1 σ
- Sobre cada elemento se define una aproximación del tipo:
CAPÍTULO VII 20
∑=
=
∧=≈
NodosNumm
m
me
meee Nuuu
1 7-52
- Para lograr ello es necesario que en cada elemento se definan un número
determinado de nodos m; ue representa el desplazamiento de un punto cualquiera del elemento e ; u representaría al desplazamiento del nodo m m
e- Sustituir el vector de incógnitas a por el vector real de incógnitas eu
7-53
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ] ∫∫
∫∫
Ω
Ω
⋅⋅⋅⋅−⋅
+⋅⋅=⋅⋅
⋅⋅⋅⋅⋅
Vd
Vd e
ΨBDNBVdFN
dSTNuNBDNB
T
ΩV
TΩδ
TT
σ
- La complitud sobre cada elemento se asegura razonando que cuando el número de
funciones de forma tienda a infinito entonces . La complitud global (la ee uu →^
exactitud de los valores nodales de los desplazamientos) se segura razonando que
cuando el número de elementos tienda a infinito entonces u nodalnodal u→^
- Las funciones de forma se toman de pequeño soporte siendo precisamente el soporte
el elemento e. Esto quiere decir que las funciones de forma tienen únicamente sentido en el elemento e que se está tratando definiéndose nulas en el resto de los elementos.
meN
- Cada elemento las funciones de forma se definen asi: en el nodo i del elemento e y cero en todos los demás o bien: 1=i
eN
ijnodoelsiN ie ≠= 0
- Puesto que todos los elementos tienen el mismo número de nodos significa que en cada elemento la definición de las funciones de forma es la misma por lo que el proceso es totalmente repetitivo
- Cuando las condiciones de contorno son homogéneas (desplazamiento conocido e igual a cero) la función Ψ carece de sentido tomándose igual a cero. Cuando el desplazamiento de una serie de nodos está prescrito y es distinto de cero la función Ψ es precisamente el valor de esos desplazamientos nodales. Esto es en virtud de la definición de función de forma (1 en un nodo y cero en los demás) que hace se cumpla la condición de contorno esencial en una serie de nodos, y sea aproximada entre ellos.
7-54
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ] ∫∑∫∑
∫∫∑
Ω
Ω
⋅⋅⋅⋅−⋅
+⋅⋅=⋅⋅
⋅⋅⋅⋅⋅
ee
e
edatoselemNum
eElemNum
eElemNum
Vd
Vd
uBDNBVdFN
dSTNuNBDNB
T
ΩV
T
Ωδ
TT
..
1
.
1
.
1 σ
CAPÍTULO VII 21
Donde s
sedatos uNu ⋅=
- En definitiva la ecuación constituyente del M.E.F. aplicado a Elasticidad y
condiciones de contorno esenciales homogéneas es:
7-55
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] ∫∑
∫∫∑
⋅
+⋅⋅=⋅⋅
⋅⋅⋅⋅⋅
Ω
e
e
eElemNum
eElemNum
Vd
ΩV
T
Ωδ
TT
VdFN
dSTNuNBDNB
.
1
.
1 σ
donde el vector desplazamiento es de dimensión 3 x (Num Nodos) u- El hecho de que haya nodos comunes a varios elementos (por ejemplo el nodo 5 de
la figura anterior es común a los elementos 2, 3, 5, 6, 7) hace que exista un proceso que se denomina Ensamblaje. Consiste es colocar adecuadamente en la matriz global los términos resultantes de la integración. La llave para ello es observar la incógnita a la que van a multiplicar (lo que proporciona el número de la columna) y el elemento de donde proviene (lo que proporciona la fila).
- Es absurdo pensar en resolver un problema mediante el M.E.F. si no dispone de una herramienta como el Ordenador. Ello significa que en el M.E.F. (al igual que en cualquier método de cálculo) se hacen una serie de consideraciones orientadas hacia la automatización y repetición. Así es necesario definir un: a) Vector de coordenadas: Vector que almacena las coordenadas de cada nodo b) Vector de conectividades: Vector en el que se almacena los número de los nodos
que conforman cada elemento c) Los números de los nodos que conforman cada elemento se introducen de tal
forma que giran en sentido contrario a las agujas del reloj por ejemplo los nodos del elemento 6 se introducirían 5 7 8; o bien 7 8 5; o bien 8 7 5. Al primero de ellos se le asigna el índice i al segundo el j y al tercero el k
d) Con estos datos más las propiedades del material se calcula la matriz de rigidez elemental de cada elemento
e) La matriz de rigidez elemental se ensambla en la matriz global para construir la matriz K
f) Al mismo tiempo que se calcula la matriz de rigidez elemental se calcula el vector de términos independientes al que sólo contribuyen los elementos que tienen algún lado en el contorno.
Una vez concluido el proceso se obtiene un sistema de ecuaciones del estilo:
[ ] uKP = Que una vez resuelto proporciona los desplazamientos de todos los nodos. Todo este proceso se representa en el siguiente ejemplo:
CAPÍTULO VII 22
Ejemplo:
Sea una placa de 2 x 2 cm2 de superficie y 0.5 cm de espesor sometida a las cargas que se indican. El módulo de elasticidad es 100000 N/cm2 y el Módulo de Poisson 0.30. Hallar una solución aproximada del vector desplazamiento
P = 3.0 KN/cm2
P = 3.0 KN/cm2
X
Y
2 cm
2 cm
En primer lugar se procede a subdividir la placa en elementos, numerar los nodos y multiplicar la presión por el espesor, así:
P = 3.0 KN/cm2
1
2 3
4
1
2
P = 3.0 KN/cm2
El vector de coordenadas sería:
1 ( -1, 1 ) 2 (-1, -1 ) 3 ( 1, -1 ) 4 ( 1, 1 )
El vector de conectividades sería: Ele 1 . 1 2 4
CAPÍTULO VII 23
Ele 2 : 2 3 4 En general un triángulo se representaría como:
X
Y
i (xi , yi )
j (xj , yj )
k (xk , yk )
El grado mínimo que debe tener una función de forma es uno, así se cumple el requisito de continuidad C0. Por otra parte, teniendo en cuenta que cada nodo aporta tres ecuaciones, significa que el número máximo de parámetros de las funciones de forma deben ser 9, con ello en mente resulta: - las funciones de forma son tres (una por nodo) - El número máximo de parámetros de las tres funciones de forma es 9 Por tanto, las funciones de forma pueden ser del tipo:
yxNknodoelPara
yxNjnodoelParayxNinodoelPara
kkkk
jjjj
iiii
⋅+⋅+=
⋅+⋅+=⋅+⋅+=
γβα
γβαγβα
:
::
Para calcular los parámetros de la función de forma del nodo i, se obliga que cumpla los tres requisitos siguientes: - la función de forma i debe cumplir valer 1 en el nodo i - la función de forma i debe valer cero en el nodo j - la función de forma i debe valer cero en el nodo k
kikii
jijii
iiiii
yx
yxyx
⋅+⋅+=
⋅+⋅+=⋅+⋅+=
γβα
γβαγβα
0
01
Resolviendo:
∆⋅
−=
∆⋅
−=
∆⋅
−=
222jk
ikj
ijkkj
ixxyyyxyx
γβα
CAPÍTULO VII 24
donde:
2 ∆ = ( )( ) ( )( )kjkikjki
kk
jj
iixxyyyyxx
yxyxyx
−−−−−=111
que se corresponde con dos veces el área del triángulo. Por tanto:
yxN iiii ⋅+⋅+= γβα La función de forma del nodo j se calcularía de igual forma:
kjkjj
jjjjj
ijijj
yx
yx
yx
⋅+⋅+=
⋅+⋅+=
⋅+⋅+=
γβα
γβα
γβα
0
1
0
Resolviendo:
∆⋅−
=∆⋅−
=∆⋅−
=222
kij
ikj
ikkij
xxyyyxyx γβα
Luego: yxN jjjj ⋅+⋅+= γβα y por último para el nodo k:
kkkkk
jkjkk
ikikk
yx
yxyx
⋅+⋅+=
⋅+⋅+=⋅+⋅+=
γβα
γβαγβα
1
00
Resolviendo:
∆⋅
−=
∆⋅
−=
∆⋅
−=
222ij
kji
kijji
kxxyyyxyx
γβα
yxN kkkk ⋅+⋅+= γβα
Una vez obtenidas las funciones de forma, el vector desplazamiento (aproximado) de un punto m cualquiera de coordenadas (xm, ym) perteneciente al elemento es:
( )( )
mm
mm
yyxxkkjjiim
yyxxkkjjiim
vNvNvNv
uNuNuNu
==
==
++=
++=
;
;
a continuación se plantea la ecuación de partida, del M.E.F:
CAPÍTULO VII 25
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] ∫∑
∫∫∑
⋅
+⋅⋅=⋅⋅
⋅⋅⋅⋅⋅
Ω
e
e
eElemNum
eElemNum
Vd
ΩV
T
Ωδ
TT
VdFN
dSTNuNBDNB
.
1
.
1 σ
y se halla para cada elemento la integral siguiente:
[ ] [ ] [ ] [ ]
⋅⋅⋅⋅⋅∫Ω
ke
ke
je
je
ie
ie
e
vuvuvu
Vde
NBDNB T
- Expresión de [ B ] [ N ]
−−−−−−−−−
−−−
∆
=
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
jiijikkikjjk
ijkijk
jiikkj
kji
kji
yyxxyyxxyyxxxxxxxx
yyyyyy
NNNNNN
xx
x
x
000000
21
000000
0
0
12
1
1
- Expresión de ( [ B ] [ N ] )T :
−−−−−−−−−−−−
∆
jiij
ijji
ikki
kiik
kjjk
jkkj
yyxxxxyyyyxx
xxyyyyxxxxyy
00
00
00
21
- Matriz de rigidez elemental [ Kel ]= ( [ B ] [ N ] )T [ D ] [ B ] [ N ] en el caso de
tensión plana:
CAPÍTULO VII 26
[ ]
−−−−−−−−−
−−−
−−∆
⋅
−−−−−−−−−−−−
∆=
jiijikkikjjk
ijkijk
jiikkj
jiij
ijji
ikki
kiik
kjjk
jkkj
yyxxyyxxyyxxxxxxxx
yyyyyy
vv
v
vE
yyxxxxyyyyxxxxyyyyxxxxyy
000000
2100
0101
121
00
00
00
21
2
elK
puesto que todos los elementos de la matriz de rigidez elemental Kel no dependen ni de x ni de y, implica que la integral se reduce únicamente al diferencial de área
x el espesor (ya que el espesor es constante), entonces:
∫ ⋅V
el VdK
∆⋅=⋅==⋅ ∫∫∫−
espesoráreaespesordydxzdAdzdárea
espesor
espesorV
2
2
Para el caso que nos ocupa, algunos elementos de la matriz [ Kel ] son:
( ) ( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( ) ( )[ ]
⋅⋅
∆−⋅−+−⋅−⋅=
∆−⋅−+−⋅−⋅=
∆−⋅−+−⋅−⋅=
∆−⋅−+−⋅−⋅=
∆−⋅−+−⋅−⋅=
∆−⋅−+−⋅−⋅=
4
4
4
4
4
4
331216
331115
331214
331113
331212
331111
espesoryyxxDyyxxDK
espesorxxxxDyyyyDK
espesoryyxxDyyxxDK
espesorxxxxDyyyyDK
espesoryyxxDyyxxDK
espesorxxxxDyyyyDK
jijkkjij
jkijkjji
ikjkkjki
kijkikkj
kjjkkjjk
jkjkkjkj
Realizadas las operaciones anteriores, la matriz de rigidez elemental de cada elemento es:
CAPÍTULO VII 27
Elemento 1: 37087.914 -17857.144 -9615.384 8241.758 -27472.527 9615.384 -17857.144 37087.914 9615.384 -27472.527 8241.758 -9615.384 - 9615.384 9615.384 9615.384 0.0 0.0 -9615.384 8241.758 -27472.527 0.0 27472.527 -8241.758 0.0 -27472.527 8241.758 0.0 -8241.758 27472.527 0.0 9615.384 -9615.384 -9615.384 0.0 0.0 9615.384 Elemento 2: 27472.527 0.0 -27472.527 8241.758 0.0 -8241.758 0.0 9615.384 9615.384 -9615.384 -9615.384 0.0 -27472.527 9615.384 37087.914 -17857.144 -9615.384 8241.758 8241.758 -9615.384 -17857.144 37087.914 9615.384 -27472.527 0.0 -9615.384 -9615.384 9615.384 9615.384 0.0 -8241.758 0.0 8241.758 -27472.527 0.0 27472.527 ENSAMBLAJE Este paso consiste en ensamblar ambas matrices en una única global del problema completo. Para ello es menester seguir los siguientes pasos: - Plantear la ecuación matricial de cada elemento - En una matriz global sumar contribuciones que multipliquen a la misma incógnita Matriz elemental elemento 1:
=
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
u
uu
uu
u
P
PP
PP
P
4
4
2
2
1
1
4
4
2
2
1
1
9615.3027472.508241.7-27472.5
9615.3-009615.39615.3-8241.727472.5-9615.337087.9
9816.327472.5-8241.79615.3-17857.1- 37087.9
Matriz elemental elemento 2
−−−−−
−−
=
y
x
y
x
x
x
y
x
y
x
y
x
uuuuuu
PPPPPP
4
4
3
3
2
2
4
4
3
3
2
2
5.2747203.9615
5.274723.96159.370877.82413.96151.179579.37087
03.96153.96153.96153.96157.824107.82415.2747205.27472
CAPÍTULO VII 28
CAPÍTULO VII 1
Matriz global [ K ]:
++
−−−
−−−+−−−+
−−−−−
=
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
uuuuuuuu
PPPPPPPP
4
4
3
3
2
2
1
1
4
4
3
3
2
2
1
1
5.274723.961503.96155.27472
5.274723.96159.370877.82413.96151.179579.37087
03.96157.82413.96153.96153.96155.274727.82413.961507.82415.2747205.274723.9615
3.96157.8241005.274723.96159.370893.98165.27472007.82413.96151.178577.37087
CAPÍTULO VII 28
CONSTRUCCIÓN DEL VECTOR DE TÉRMINOS INDEPENDIENTES En este paso se construye el vector P del sistema global planteado:
[ ] PuK = Para ello es menester tener en cuenta las condiciones de contorno en tensiones del problema en mano. La aplicación de tales condiciones se realiza de acuerdo con las siguientes integrales de la ecuación 8-55:
[ ] [ ] ∫∑∫ ⋅+⋅⋅e
e
ElemNum
ΩV
T
Ωδ
T VdFNdSTN.
1σ
La primera de ellas es para las presiones aplicadas en el contorno del problema, y la segunda tiene en cuenta la existencia de fuerzas por unidad de volumen. Es importante darse cuenta que la primera integral se extiende únicamente al contorno δΩσ, es decir a la parte del contorno sometido a presiones externas (en un caso general sólo intervendrían los elementos en contacto con el contorno). En el caso que nos ocupa se corresponde con las líneas que unen los nodos 1 – 4 y los nodos 3 – 4. La segunda integral se extiende a todo el volumen, por lo que intervienen todos los elementos y en el caso que nos ocupa esta integral es nula pues se supone que no existen fuerzas por unidad de volumen. - Cálculo de [ ] ∫ ⋅⋅
σΩδ
T dSTN
Elemento 1 ( i = 1 ; j = 2 ; k = 4 ) Ecuación de la línea 1 – 4 => y = 1
≡
⋅=
+
+
−
−
⋅=−
⋅ ∫ ∫−=
= −
=4
4
2
2
1
1
1
1
1
1
1 1500000
15000
5.01500
0
210
02
100002
10
02
1
)(1500
0
00
00
00
y
x
y
x
y
x
x
x
yk
k
j
j
i
i
PP
PP
PP
x
x
x
x
espesdx
NN
NN
NN
espesor
Obsérvese: - La función de forma Nj es nula pues el nodo j ≡ 2 no interviene en el contorno - El resultado es un vector de fuerzas equivalentes aplicadas en los nodos que
pertenecen al contorno Elemento 2 ( i = 2 ; j = 3 ; k = 4 ) Ecuación de la línea 3 – 4 => x = 1
CAPÍTULO VII 29
≡
⋅=
+
+
−
−
⋅=
⋅ ∫ ∫=
−= −
=4
4
3
3
2
2
1
1
1
1
1 01500
01500
00
5.00
1500
210
02
12
10
02
10000
)(0
1500
00
00
00
y
x
y
x
y
x
y
y
xk
k
j
j
i
i
PP
PP
PP
y
y
y
y
espesdy
NN
NN
NN
espesor
por tanto el vector de fuerzas equivalentes es:
==
==
==
==
7507500
750
00
7500
4
4
3
3
2
2
1
1
y
x
y
x
y
x
y
x
PP
PP
PP
PP
Resolución del sistema de ecuaciones Es el último paso para obtener la solución al problema planteado, pero no se puede realizar directamente pues el sistema de ecuaciones tal como está estructurado es singular. El motivo es que existen ecuaciones redundantes que hacen que la matriz contenga filas o columnas proporcionales que hacen que el sistema sea singular (el determinante igual a cero). Para evitar este tema existen dos técnicas: - Eliminación de filas y columnas correspondientes a las incógnitas conocidas.
Proceso que consiste en eliminar columnas (y filas correspondientes) que van a multiplicar a desplazamientos datos (nodos con desplazamientos restringidos)
- Multiplicar (penalizar) por una cantidad exageradamente elevada el término de la diagonal principal que se corresponde con un desplazamiento restringido.
En el programa de cálculo que se ha elaborado, se ha seguido el segundo procedimiento simplemente porque, desde el punto de vista de la programación, es el más sencillo. No obstante, a continuación se exponen ambos métodos: - Eliminación de filas y columnas:
CAPÍTULO VII 1
Matriz global [ K ]:
=
==
=
++
−−−
−−−+−−−+
−−−−−
=
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
uu
uu
uu
uu
PPPPPPPP
4
4
3
3
2
2
1
1
4
4
3
3
2
2
1
1
0
00
0
5.274723.961503.96155.27472
5.274723.96159.370877.82413.96151.179579.37087
03.96157.82413.96153.96153.96155.274727.82413.961507.82415.2747205.274723.9615
3.96157.8241005.274723.96159.370893.98165.27472007.82413.96151.178577.37087
Eliminando la primera fila y columna, se obtiene:
=
==
++
−−−
−−−+−−−+
−−
=
y
x
y
x
y
x
y
y
x
y
x
y
y
x
uu
uu
uu
u
PPPPPPP
4
4
3
3
2
2
1
4
4
3
3
2
2
1
0
00
5.274723.961503.96155.27472
5.274723.96159.370877.82413.96151.179579.37087
03.96157.82413.96153.96153.96155.274727.82413.961507.82415.2747205.274723.9615
3.96157.8241005.274723.96159.37087
Eliminando la segunda y tercera fila y columna de la nueva matriz, resulta:
CAPÍTULO VII 2
==
++
−−−
−
=
y
x
y
x
y
y
x
y
x
y
uu
uuu
PPPPP
4
4
3
3
1
4
4
3
3
1
0
5.274723.961503.96155.27472
5.274723.96159.370877.82413.96151.179579.370873.96157.8241009.37087
Por último, eliminando la tercera fila y columna de esta matriz queda definitivamente:
++
−−
=
=
y
x
x
y
y
x
x
y
uuuu
PPPP
4
4
3
1
4
4
3
1
5.274723.961503.96155.27472
7.82413.96159.370873.96157.824109.37087
750750750750
Y resolviendo:
021.0;021.0;021.0;021.0 4431 ==== yxxy uuuu
CAPÍTULO VII 2
- Penalización de la matriz Tal y como se comentó anteriormente consiste en multiplicar por una cantidad exageradamente alta los términos de la diagonal principal de las filas en que el desplazamiento es dato. Así, la matriz quedaría:
( )( )
=
==
=
++
−−−
−−−+−−−+
−−−−−
=
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
uu
uu
uu
uu
K
KK
K
PPPPPPPP
4
4
3
3
2
2
1
1
4
4
3
3
2
2
1
1
0
00
0
5.274723.961503.96155.27472
5.274723.9615*9.370877.82413.96151.179579.37087
03.96157.82413.96153.9615*5.274723.96157.82413.961507.82415.274720*5.274723.9615
3.96157.8241005.274723.96159.370893.98165.27472007.82413.96151.17857*7.37087
Tomando K=2.71017 y resolviendo resulta: u1
x = 0 u1y = 0.021 u2
x = 0.0 u2y = 0.0 u3
x = 0.021 u3y = 0.0 u4
x = 0.021 u2y = 0.021
Efectivamente, si se despeja u1
x se obtendría:
010
3.98165.274727.82413.96151785720
44221
11 ≈
+++++=
yxyxy
xx uuuuuP
u
Ya que los desplazamientos multiplicados por los términos de la matriz de rigidez global son números pequeños, y al dividirlos por una cantidad exageradamente alta daría un número cercano a cero
CAPÍTULO VII 3
CAPÍTULO VII 36
Cálculo de tensiones y deformaciones Debido a la sencillez del elemento finito que se está utilizando las tensiones y deformaciones de un elemento son las tensiones y deformaciones de cualquier punto de ese elemento. Rápidamente el alumno puede inferir que este tipo de elemento tan sencillo sólo es valido para problemas es que las tensiones y/o deformaciones tengan muy poca o nula variación de un punto a otro. En caso de que el problema en mano tenga una fuerte variación de tensiones existen dos alternativas: Emplear elementos con un mayor número de nodos, o emplear una malla muy tupida de elementos. Para calcular las tensiones y deformaciones se hace uso de que en este instante todos los desplazamientos (incógnitas del problema) son conocidos, y por tanto se puede volver al inicio del método y plantear:
[ ] uBε =⇒
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
=
2
1
12
1
1
12
2
10
0
uu
xx
x
x
εεε
[ ] εDσ =⇒
−−=
12
22
11
212
22
11
2100
0101
1 εεε
σσσ
vv
v
vE
y como: [ ] [ ] [ ] 0+⋅=+⋅=+⋅= nodalnodal uNΨuNΨaNu Resulta que para cada elemento se puede plantear:
−−−−−−−−−
−−−
∆
=
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
=
elemtoknodoy
elemtoknodox
elemtojnodoy
elemtojnodox
elemtoinodoy
elemtoinodox
jiijikkikjjk
ijkijk
jiikkj
elemtoknodoy
elemtoknodox
elemtojnodoy
elemtojnodox
elemtoinodoy
elemtoinodox
kji
kjielemxy
elemy
elemx
uu
uu
uu
yyxxyyxxyyxxxxxxxx
yyyyyy
uu
uu
uu
NNNNNN
xx
x
x
000000
21
000000
0
0
12
1
1
ε
εε
Donde todo es dato.
CAPÍTULO VII 37
A modo de ejemplo se halla para el elemento 1 las tensiones y deformaciones:
=
=
−−−
−
⋅
=
−−−−−−−−−
−−−
∆=
00105.00105.0
0042.0042.0
41
021.0021.000021.00
200222002020020002
221
000000
21
1
1
1
knodoy
knodox
jnodoy
jnodox
inodoy
inodox
jiijikkikjjk
ijkijk
jiikkj
elemxy
elemy
elemx
uu
uu
uu
yyxxyyxxyyxxxxxxxx
yyyyyy
ε
εε
Una vez calculadas las deformaciones, las tensiones serán:
=
−=
−−=
015001500
00105.00105.0
35.000013.003.01
3.01100000
2100
0101
1 22xy
y
x
xy
y
x
vv
v
vE
εεε
σσσ
