El pueblo contra Collins

La falacia del fiscal

THE PEOPLE, Plaintiff and Respondentv.

MALCOLM RICARDO COLLINS, Defendant and AppellantDocket No. Crim. 11176

Supreme Court of CaliforniaIn Bank

March 11, 196868 Cal. 2d 319, 438 P.2d 33, 66 Cal.Rptr. 497 (1968)

APPEAL from a judgment of the Superior Court of Los Angeles County. Maurice C. Sparling, Judge. Reversed.

Rex K. DeGeorge, under appointment by the Supreme Court, for Defendant and Appellant.

Thomas C. Lynch, Attorney General, William E. James, Assistant Attorney General, and Nicholas C. Yost, Deputy Attorney General, for

Plaintiff and Respondent.

En 1964, se produjo en Los Ángeles un asalto con robo a una mujer; la ladrona, una joven rubia con coleta, fue vista huir, a bordo de un coche amarillo, en compañía de un varón negro con barba y bigote.Unos días después, es detenida una tal Janet Collins, rubia, con coleta, que al parecer anda en tratos con un hombre negro con barga y bigote, y que posee un coche amarillo.El fiscal estima las probabilidades de cada una de esas características y, suponiendo independencia entre ellas, llega la conclusión de que la probabilidad de reunir todas ellas es de una entre 12 millones. El veredicto parece claro.

La Corte Superior del Condado de Los Ángeles declara a Janet Collins culpable.

El caso fue recurrido y la Corte Suprema de California, cuatro años después, anuló la sentencia de culpabilidad, con un razonamiento matemático por parte de la defensa que arrojó unas conclusiones tajantes. Razonemos, por nuestra cuenta, el susodicho problema.

Probabilidades consideradas

A. Partly yellow automobile 1/10 B. Man with mustache 1/4 C. Girl with ponytail 1/10 D. Girl with blond hair 1/3 E. Negro man with beard 1/10 F. Interracial couple in car 1/1000  

Producto p(i): 1/12 000 000 ~ 0!!!

Universo de nuestro problema

En adelante, llamaremos N al número de parejas de nuestro universo (nº de parejas residentes en LA Ciudad, en el Condado, o en el Área Metropolitana). Consultando los datos, conocemos el número de habitantes, pero no el número de parejas (pues aunque el número de matrimonios se encuentre registrado, ni todos los matrimonios siguen siendo pareja, ni todas las parejas están casadas, ¡alíviense ustedes!). Así, introducimos el factor R, definido como el número de parejas por cada habitante, de modo que N = 3 800 000 * R (ciudad), 9 800 000 * R (condado) ó 21 000 000 * R (área metropolitana), siendo los números que anteceden a R las poblaciones de las regiones especificadas.

Universo de nuestro problema

La probabilidad de que una persona tenga pareja (nótese que en la estimación se están considerando también niños y ancianos viudos) anda en torno al 56%. Supongamos la existencia exclusiva de parejas heterosexuales monógamas (y supongamos que no es mucho suponer...). Entonces, si un 50% de la población es varón, el número de parejas coincide con el número de varones emparentados: nº habitantes x 0,5 x 0,56 = 0,28 x nº habitantes (luego es R=0,28).

Número de parejas

  nº habitantes

N (nº parejas)

ciudad 3800000 1064000

condado 9800000 2744000

área metropolitana 21000000 5880000

     

¡A la cárcel esa rubia!

Sabemos que la ladrona ha de residir en la ciudad de LA. Dado que allí sólo viven algo más de 1 millón de parejas y la probabilidad de que una pareja cumpla con los datos conocidos de la culpable (es decir, que sea sospechosa) es de 1 entre 12 millones, parecería que no vamos a encontrar ninguna pareja tal en LA; sin embargo, sabemos que la culpable cumple esas características, luego sí que existirá al menos una. Aun así, la probabilidad de que existieran dos parejas sospechosas puede seguir pareciendo prácticamente nula (¡LA ciudad habría de tener 12 millones de habitantes para que le correspondiera, en promedio, una pareja tan singular, y 24 millones para que le correspondieran dos!).

¿Dónde está entonces la falacia?

Primero, en que no es en realidad tan insospechado encontrar entre 1 millón de parejas a dos que sean sospechosas (lo veremos a continuación mediante cálculos)

segundo, en que de existir dos parejas sospechosas, si consideramos a una de las dos culpable, correremos un 50% de posibilidades de equivocarnos, y ese es un riesgo muy alto; análogamente, si existieran 3 parejas sospechosas, lo cual sería aún más raro, tendríamos un 66% de posibilidades de condenar a un inocente, etc. (no obstante, adelantamos ya que el caso realmente notorio es el de que existan 2 parejas sospechosas, ya que las probabilidades de encontrar a más de 2 parejas sospechosas en LA se reducen drásticamente).

Resolución del problema

Si no se hubiera cometido ningún robo, para estimar la probabilidad de que en LA hubiese x sospechosos, podríamos utilizar una distribución binomial: el éxito es que una pareja cumpla las condiciones del culpable (esto es, sea sospechosa); n=N, p=1/12 000 000 y q = 1 - p. Además, por ser n » 1 y p « 1, la distribución tenderá a una de Poisson, con λ = n · p = 1 064 000 · 1/12 000 000; λ = 0.0887. A continuación se muestran la distribución binomial y la de Poisson para distintos valores de x (podemos comprobar, en efecto, la clara validez de la distribución de Poisson en nuestro caso):

Tabla de valores

x Binomial Poisson P( x | >0 ) P equivocación producto

0 0,91515057 0,91515057      

1 0,08114336 0,08114335 0,95632173 0 0

2 0,00359735 0,00359736 0,04239693 0,5 0,02119846

3 0,00010632 0,00010632 0,00125306 0,666666667 0,00083538

4 2,3568E-06 2,3568E-06 2,7776E-05 0,75 2,0832E-05

5 4,1794E-08 4,1794E-08 4,9257E-07 0,8 3,9405E-07

6 6,1761E-10 6,1762E-10 7,279E-09 0,833333333 6,0659E-09

7 7,8231E-12 7,8232E-12 9,2201E-11 0,857142857 7,9029E-11

8 8,6705E-14 8,6707E-14 1,0219E-12 0,875 8,9416E-13

9 8,542E-16 8,5423E-16 1,0068E-14 0,888888889 8,9489E-15

10 7,5738E-18 7,5741E-18 8,9266E-17 0,9 8,0339E-17           

        SUMA: 0,02205507

        %P(acus. inoc.): 2,20550739

¡Es un problema condicionado!

Al principio del trabajo, ya advertimos sobre el hecho clave de que se trataba de un problema de probabilidad condicionada. Así es que, si bien la probabilidad de encontrar a dos parejas sospechosas en LA (sin ningún dato previo) es de sólo 0,00359736, la probabilidad de encontrar a dos parejas sospechosas, sabiendo que existe al menos una (probabilidad condicionada, ¡pues ha habido un robo!) es ya del 0,04239693, que es muchísimo mayor que la anterior.

La columna P ( x | >0)

 

haciendo, P(x | >0) = P(x ∩ >0) / P(>0) = P(x) / P(>0) para todo x>0.

P(B)

) AP(B |B) P(A i

i

En particular, la columna P( x | >0 ) se ha calculado mediante el Teorema de Bayes

La columna P(equivocación)

Por otra parte, la columna probabilidad de equivocación (P equivocación) se ha calculado haciendo (x – 1) / x, en tanto que la columna ‘producto’ es la multiplicación de las dos anteriores columnas, de suerte que la suma de todas las filas de ‘producto’ nos da la probabilidad total de juzgar a un inocente (o lo que es lo mismo, la probabilidad de que el sospechoso al que estamos defendiendo no sea en realidad culpable).

Un riesgo demasiado alto...

En otras palabras, la Corte Superior del Condado de LA declaró a Janet Collins ‘culpable’ corriendo un riesgo del 2,21% de estar llevando a la cárcel a una inocente, riesgo inadmisible en un país donde existe la presunción de inocencia. Conviene destacar una vez más que el bajísimo valor de p = 1/12 000 000 = 8,33·10–8 nos lleva a una P(condenar a un inocente) = 0,022, valor seis órdenes de magnitud mayor, insospechado inicialmente.

Repitiendo los cálculos para el Condado y el Área Metropolitana, obtenemos:

 nº habitantes nº parejas P(condenar inocente)

ciudad 3800000 1064000 0,02205507

condado 9800000 2744000 0,05639979

área metropolitana 21000000 5880000 0,1187763

Razonamiento alternativo I

X x Binomial Poisson P equivocación producto

0 1 0,91515057 0,91515057 0 0

1 2 0,08114336 0,08114335 0,5 0,04057168

2 3 0,00359735 0,00359736 0,666666667 0,00239824

3 4 0,00010632 0,00010632 0,75 7,9741E-05

4 5 2,3568E-06 2,3568E-06 0,8 1,8854E-06

5 6 4,1794E-08 4,1794E-08 0,833333333 3,4828E-08

6 7 6,1761E-10 6,1762E-10 0,857142857 5,2939E-10

7 8 7,8231E-12 7,8232E-12 0,875 6,8453E-12

8 9 8,6705E-14 8,6707E-14 0,888888889 7,7073E-14

9 10 8,542E-16 8,5423E-16 0,9 7,688E-16

                   SUMA: 0,04305157

        %P(acus. inoc.): 4,30515744

Razonamiento alternativo I

 nº habitantes

nº parejas

P(condenar inocente)

ciudad 3800000 1064000 0,04305157

condado 9800000 2744000 0,10609484

área metropolitana 21000000 5880000 0,20944162

Razonamiento alternativo II

Sea ‘+’ el suceso: reunir todas las características del culpable (ser sospechoso). Sea X la probabilidad de que una pareja cualquiera (tomada pues aleatoriamente de entre el universo concerniente) reúna todas las características que sin ninguna duda posee la culpable (en nuestro caso, 1 entre 12 millones). Es decir, P(+)=X. Sea N el número de parejas de nuestro universo.

Es importante reseñar que en la determinación de X no se está teniendo en cuenta que existe un culpable, y por ende al menos un individuo en nuestro universo que cumpla + (en nuestro caso, lo más probable es que entre las N parejas, ninguna de ellas cumpla +, ya que la probabilidad es de X=1/12 000 000). Por lo tanto X, la probabilidad de que una persona cualquiera reúna las características del culpable, es en realidad la probabilidad de que uno de los (N – 1) inocentes reúna las características del culpable, pues no hemos tenido en cuenta al determinar X que existe al menos un culpable. Esto es, X es en realidad: P(+|inocente)=X.

Razonamiento alternativo II

Razonamiento alternativo II

P(culpable | +) = P(culpable ∩ +) / P(+) = (1/N) / (1/N + (1 – 1/N)·X) = 1/(1 + X·(N–1)).Esto es, la probabilidad de que un sospechoso sea realmente

culpable es de: 

1/(1 + X·(N–1))

Razonamiento alternativo II

  nº habitantes

N (nº parejas) P (culpable |+)

P (condenar inocente)

ciudad 3800000 1064000 0,918554877 0,081445123

condado 9800000 2744000 0,813890451 0,186109549

área metropolitana

21000000 5880000 0,671140977 0,328859023

         

         

    X = 8,33333E-08  

Conclusiones

En cualquier caso, la conclusión evidente del presente estudio es que, en temas tan sensibles como el judicial, donde probabilidades de culpar a un inocente del entorno del 1% ya han de ser consideradas como muy altas, la mera coincidencia de características entre el sospechoso y el presunto criminal, no podrá justificar nunca, y por sí sola, la culpabilidad del acusado. Hemos visto, en este caso, como aun siendo no raras, sino rarísimas (1/12 000 000), las confluencias de caracteres en nuestra criminal, emprender el rastreo por todo LA y culpar a las parejas encontradas sería poco menos que una caza de brujas. Si a esto le añadimos la posibilidad de que quizás el coche no fuera amarillo, o la mujer no llevara coleta, o el hombre fuese latino y no negro, o no llevase bigote, etc. el procedimiento se convierte definitivamente en una búsqueda a ciegas.

Conclusiones

Pero es que aún en el caso de utilizar análisis genéticos en un caso judicial (donde se identifican caracteres que sólo poseen uno de cada millón de individuos), aún así, donde está claro que esa genética pertenece al verdadero culpable, de nada serviría encontrar en la región a un hombre poseedor de ellos en su genoma, pues posiblemente se trataría de un inocente.

 Sólo reduciendo el universo de los potenciales culpables (N), el

método de búsqueda de caracteres comunes puede resultar seguro, escapando así de lo que ya se conoce, desde el caso Collins, como la ‘falacia del fiscal’.

The END

Carlos B.