El sistema de numeros reales*

David Abel Barraza Salguero

david.barraza@pucp.pe

18 de enero de 2014

1. El sistema de numeros reales

Es un conjunto R con dos operaciones: suma y multiplicacion denominadas Ley de ComposicionInterna y Leyes de Relacion de Orden “<” que se lee “menor que...”.

1.1. Ley de Composicion Interna (Operaciones)

Se satisfacen los siguientes axiomas:

A1. Ley de clausura o cerradura: ∀ a, b ∈ R: a + b ∈ R

A2. Ley conmutativa: ∀ a, b ∈ R: a + b = b + a

A3. Ley asociativa: ∀ a, b, c ∈ R: (a + b) + c = a + (b + c)

A4. Axioma de existencia y unicidad del elemento neutro aditivo:

. Existe un elemento y solo uno denotado por “0”, tal que ∀ a ∈ R: a + 0 = a = 0 + a

A5. Axioma de existencia y unicidad del elemento inverso aditivo:

. Para cada a ∈ R, existe un elemento y solo uno denotado por “−a”, que satisface lasiguiente relacion: a + (−a) = 0 = (−a) + a

M1. Ley de clausura o cerradura: ∀ a, b ∈ R: ab ∈ R

M2. Ley conmutativa: ∀ a, b ∈ R: ab = ba

M3. Ley asociativa: ∀ a, b, c ∈ R: (ab) c = a (bc)

M4. Axioma de existencia y unicidad del elemento neutro multiplicativo:

. Existe un elemento y solo uno denotado por “1”, diferente de 0, tal que a · 1 = a = 1 · a

M5. Axioma de existencia y unicidad del elemento inverso multiplicativo:

. Para cada a 6= 0 en R, existe un elemento y solamente uno en R, denotado por “a−1”,tal que a · a−1 = 1 = a−1 · a

D. Axiomas de distributividad (leyes distributivas):

∀ a, b, c ∈ R : a (b + c) = ab + ac

(a + b) c = ac + bc

*Extraıdo de J. Armando Venero, Introduccion al analisis matematico (1995).

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1.2. Leyes de Relacion de Orden

O1. Ley de tricotomıa:

. Dados a y b en R, entonces una y solo una de las siguientes relaciones se cumple1: a < b,a = b, o b < a

O2. Ley transitiva:

. Si a < b y b < c entonces a < c.

O3. Si a < b entonces a + c < b + c, ∀ c ∈ R.

O4. Si a < b y 0 < c, entonces ac < bc.

S. Axioma del supremo o de completitud (Axioma de la mınima cota superior):

. Todo conjunto no vacıo de numeros reales, acotado superiormente, tiene una MINIMACOTA SUPERIOR (O SUPREMO) en R.

2. Ejercicios propuestos

Problema 1. Demostrar que: −0 = 0.

Problema 2. Si a + b = a, demostrar que b = 0.

Problema 3. Demostrar que: a · 0 = 0.

Problema 4. Demostrar que: −a = (−1) · a.

Problema 5. ∀ a, b ∈ R: a (−b) = − (ab) = (−a) b:

Problema 6. ∀ a ∈ R: − (−a) = a:

Problema 7. ∀ a, b ∈ R: (−a) (−b) = ab:

Problema 8. Probar que 1−1 = 1. Es decir, que el inverso multiplicativo de 1 es el mismo 1.

Problema 9. Si a 6= 0, demostrar que: a−1 6= 0.

Problema 10. Si a 6= 0, entonces(a−1

)−1= a:

1Recordemos el principio de dualidad de los sımbolos.

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