El teorema fundamental de la hidrostática

¿Por qué las paredes de un dique van aumentando su espesor hacia el fondo del

lago? ¿Por qué aparecen las várices en las piernas?

Es un hecho experimental conocido que la presión en el seno de un líquido aumenta

con la profundidad. Busquemos una expresión matemática que nos permita

calcularla. Para ello, consideremos una superficie imaginaria horizontal S, ubicada a

una profundidad h como se muestra en la figura de la derecha.

 

La presión que ejerce la columna de líquido sobre la

superficie amarilla será: 

p = Peso del líquido/Area de la base

Con matemática se escribe: p = P/S = (d . V)/S=(d . S .

h)/S= d . h (porque la S se simplifican)

donde p es el peso específico del líquido y V es el

volumen de la columna de fluido que descansa sobre la superficie S.

Es decir que la presión que ejerce un líquido en reposo depende del peso específico

(p) del líquido y de la distancia (h) a la superficie libre de éste.

Si ahora consideramos dos puntos A y B a diferentes

profundidades de una columna de líquido en equilibrio, el

mismo razonamiento nos permite afirmar que la diferencia de

presión será: 

PA —PB = p . hA— d . hB

 Este resultado constituye el llamado teorema fundamental de la hidrostática: 

La diferencia de presión entre dos puntos dentro de una misma masa líquida es el

producto del peso específico del líquido por la distancia vertical que los separa.

Ésta es la razón por la cual dos puntos de un fluido a igual profundidad estarán a

igual presión. Por el contrario, si la presión en ambos puntos no fuera la misma,

existiría una fuerza horizontal desequilibrada y el líquido fluiría hasta hacer que la

presión se igualara, alcanzando una situación de equilibrio.

Hasta aquí sólo hemos encontrado la expresión de la presión que ejerce el líquido

sobre un cuerpo —imaginario o no— sumergido en una determinada profundidad h.

Ahora bien, ¿cuál es la presión total ejercida en el cuerpo? Si tenemos en cuenta

que, probablemente, por encima del líquido hay aire (que también es un fluido),

podemos afirmar que la presión total ejercida sobre el cuerpo es debida a la presión

de la columna del líquido más la presión que ejerce el aire sobre la columna. Es

decir: 

P = Paire + Plíquido = Patmosférica +  d . h 

Este resultado tiene generalidad y puede ser deducido del teorema fundamental de

la hidrostática. Veamos cómo. Si consideramos que el punto B se encuentra

exactamente en la superficie del líquido, la presión en A es: 

PA= PB+ d . Ah = Psuperficie + P. (hA-hB) = Patmosférica + d . h

Los vasos comunicantes son recipientes comunicados entre sí, generalmente por su base. No importa cuál sea

la forma y el tamaño de los recipientes; en todos ellos, el líquido alcanza la misma altura.

Cuando tenemos un recipiente vertical conteniendo un liquido y le hacemos perforaciones en sus paredes, las

emisiones del liquido de los agujeros de la base tendrán mayor alcance que las emisiones de arriba, ya que a

mayor profundidad hay mayor presión.

EL EMPUJE: PRINCIPIO DE ARQUIMEDES  

Resulta evidente que cada vez que un cuerpo se sumerge en un líquido es

empujado de alguna manera por el fluido. A veces esa fuerza es capaz de sacarlo a

flote y otras sólo logra provocar una aparente pérdida de peso. Pero, ¿cuál es el

origen de esa fuerza de empuje? ¿De qué depende su intensidad?

Sabemos que la presión hidrostática aumenta con la profundidad y conocemos

también que se manifiesta mediante fuerzas perpendiculares a las superficies

sólidas que contacta. Esas fuerzas no sólo se ejercen sobre las paredes del

contenedor del líquido sino también sobre las paredes de cualquier cuerpo

sumergido en él.

Distribución de las fuerzas sobre un cuerpo sumergido

Imaginemos diferentes cuerpos sumergidos en agua y representemos la

distribución de fuerzas sobre sus superficies teniendo en cuenta el teorema general

de la hidrostática. La simetría de la distribución de las fuerzas permite deducir que

la resultante de todas ellas en la dirección horizontal será cero. Pero en la dirección

vertical las fuerzas no se compensan: sobre la parte superior de los cuerpos actúa

una fuerza neta hacia abajo, mientras que sobre la parte inferior, una fuerza neta

hacia arriba. Como la presión crece con la profundidad, resulta más intensa la

fuerza sobre la superficie inferior. Concluimos entonces que: sobre el cuerpo actúa

una resultante vertical hacia arriba que llamamos empuje.

¿Cuál es el valor de dicho empuje?

 

Tomemos el caso del cubo: la fuerza es el peso de la columna de agua ubicada por

arriba de la cara superior (de altura h1). Análogamente, F2 corresponde al peso de

la columna que va hasta la cara inferior del cubo (h2). El empuje resulta ser la

diferencia de peso entre estas dos columnas, es decir el peso de una columna de

líquido idéntica en volumen al cubo sumergido. Concluimos entonces que el módulo

del empuje es igual al peso del líquido desplazado por el cuerpo sumergido.

Con un ejercicio de abstracción podremos generalizar este concepto para un cuerpo

cualquiera. Concentremos nuestra atención en una porción de agua en reposo

dentro de una pileta llena. ¿Por qué nuestra porción de agua no cae al fondo de la

pileta bajo la acción de su propio peso? Evidentemente su entorno la está

sosteniendo ejerciéndole una fuerza equilibrante hacia arriba igual a su propio peso

(el empuje).

Ahora imaginemos que “sacamos” nuestra porción de agua para hacerle lugar a un

cuerpo sólido que ocupa exactamente el mismo volumen. El entorno no se ha

modificado en absoluto, por lo tanto, ejercerá sobre el cuerpo intruso la misma

fuerza que recibía la porción de agua desalojada. Es decir:

Un cuerpo sumergido recibe un empuje vertical y hacia arriba igual al peso del

volumen de líquido desplazado.

E = Peso del líquido desplazado = dlíq . g . Vliq desplazado = dliq . g . Vcuerpo

Es importante señalar que es el volumen del cuerpo, y no su peso, lo que determina

el empuje cuando está totalmente sumergido. Un cuerpo grande sumergido recibirá

un gran empuje; un cuerpo pequeño, un empuje pequeño.

Como hace un barco para flotar?

Pues bien, el mismo está diseñado de tal manera para que la parte sumergida  desplace un volumen de agua

igual al peso del barco, a la vez, el barco es hueco (no macizo), por lo que se logra una densidad media

pequeña. En el caso de los submarinos, tienen un sistema que le permite incorporar agua y de esta manera

consiguen regular a sus necesidades la densidad media de la nave.

EL PROBLEMA DE LA CORONA DEL REY

El rey Hierón le entregó 2,5 kg de oro a su joyero para la construcción de la corona

real. Si bien ése fue el peso de la corona terminada, el rey sospechó que el artesano

lo había estafado sustituyendo oro por plata en el oculto interior de la corona. Le

encomendó entonces a Arquímedes que dilucidara la cuestión sin dañar la corona.

Con sólo tres experiencias el sabio pudo determinar que al monarca le habían

robado casi un kilo de oro. Veamos cómo lo hizo.

En primer lugar, Arquímedes sumergió una barra de medio kilo de oro puro y

comprobó que desplazaba 25,9 cm3. Por lo tanto, el peso específico del oro es:

Poro = 500 gr/25.3 cm3 =19.3 gr/cm3 

Si el joyero hubiera hecho las cosas como le habían indicado, el volumen de líquido

desplazado por la corona real, que pesaba 2,5 kilogramos, debería haber sido:

Vcorona = 2.500 gr/19.3 gr/cm3=129.5 cm3

A continuación, sumergió la corona real y midió que el volumen de agua desplazado

era de 166 cm3, o sea, mayor del esperado. ¡Hierón había sido estafado! ¿En

cuánto? Para saber qué cantidad de oro había sido reemplazado por plata,

Arquímedes repitió la primera experiencia sumergiendo una barra de un kilo de

plata para conocer su peso específico. Como el volumen desplazado resultó 95,2

cm3, se tiene que:

Pplata=1000 gr/95.2 gr/cm3=10.5 gr/cm3

Sabemos que el peso total de la corona es 2.500 gr. (el joyero tuvo la precaución de

que así fuera) y su volumen total, de 166 cm3. Entonces:

Vcorona=Voro+Vplata=166 cm3

Vplata=166-Voro

Pcorona=Poro+Pplata=2500 gr.

Si reescribimos la última ecuación en función del peso específico y el volumen, nos

queda que:

19.3 gr/cm3 . Voro + 10.5 gr/cm3 . Vplata = 2500 gr

Tenemos dos ecuaciones con dos incógnitas (Voro y Vplata). Sustituyendo una

ecuación con la otra, se tiene que:

19,3 gr/cm3. Voro + 10.5 gr/cm3. (166 cm3-Voro) = 2.500 g

de donde se despeja la incógnita:

Voro =86cm3

con lo que se deduce que:

Poro =Poro Voro = 19,3 gr/cm3 .  86 cm3 = 1.660 gr

Pplata=Pcorona - Poro =2.500gr -1.660 gr =840 gr

De esta manera, Arquímedes pudo comprobar que al rey le habían cambiado 840

gr. de oro por plata. Cuenta la leyenda que el joyero no pudo disfrutar del oro mal

habido.