EL TRIÁNGULO DE PASCAL Y SUS APLICACIONESmatematicas.uis.edu.co/sites/default/files/paginas/archivos/triangulo... · EL TRIANGULO DE PASCAL Y SUS APLICACIONES Joaqu n Luna Torres

EL TRIANGULODE PASCAL Y

SUSAPLICACIONES

Joaquın LunaTorres

EL TRIANGULO DE PASCAL Y SUSAPLICACIONES

Joaquın Luna Torres

DIPLOMADO EN ALGEBRA LINEALUNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDER

junio de 2018


SUSAPLICACIONES

Joaquın LunaTorres

Contenido

I EL TRIANGULO DE PASCAL

I FORMA COMBINATORIA DEL TRIANGULO DEPASCAL

I OTRAS PRESENTACIONES DEL TRIANGULO DEPASCAL

I MATRICES DE PASCAL

I PIRAMIDES DE PASCAL

I EL TRIANGULO DE PASCAL Y LA ENSENANZA DELAS MATEMATICAS

I INVESTIGACION MATEMATICA CERCANAS ALTRIANGULO DE PASCAL


SUSAPLICACIONES

Joaquın LunaTorres

Contenido









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Contenido









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Contenido









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Joaquın LunaTorres

Parte I

EL TRIANGULO DE PASCAL


SUSAPLICACIONES

Joaquın LunaTorres

Presentacion usual

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

...


SUSAPLICACIONES

Joaquın LunaTorres

Presentacion usual

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

...


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Joaquın LunaTorres

Presentacion usual

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

...


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Joaquın LunaTorres

Presentacion usual

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

...


SUSAPLICACIONES

Joaquın LunaTorres

Presentacion usual

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

...


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Joaquın LunaTorres

Presentacion usual

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

...


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Joaquın LunaTorres

Presentacion usual

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

...


SUSAPLICACIONES

Joaquın LunaTorres

Es natural que nos preguntemos:

¿De donde salen los numeros que forman el triangulo dePascal?,

¿Como podemos utilizar el triangulo de Pascal paraestudiar otras areas de las matematicas?

En esta charla nos proponemos analizar algunas respuestas aestos interrogantes.


SUSAPLICACIONES

Joaquın LunaTorres






SUSAPLICACIONES

Joaquın LunaTorres






SUSAPLICACIONES

Joaquın LunaTorres

Para empezar, vamos a llenar 5 casillas con dos sımbolosdistintos digamos a y b:

Las posibilidades (sin tener en cuenta el orden en queaparecen) son:

1. a a a a a

2. a a a a b

3. a a a b b

4. a a b b b

5. a b b b b

6. b b b b b


SUSAPLICACIONES

Joaquın LunaTorres



1. a a a a a

2. a a a a b

3. a a a b b

4. a a b b b

5. a b b b b

6. b b b b b


SUSAPLICACIONES

Joaquın LunaTorres



1. a a a a a

2. a a a a b

3. a a a b b

4. a a b b b

5. a b b b b

6. b b b b b


SUSAPLICACIONES

Joaquın LunaTorres



1. a a a a a

2. a a a a b

3. a a a b b

4. a a b b b

5. a b b b b

6. b b b b b


SUSAPLICACIONES

Joaquın LunaTorres



1. a a a a a

2. a a a a b

3. a a a b b

4. a a b b b

5. a b b b b

6. b b b b b


SUSAPLICACIONES

Joaquın LunaTorres



1. a a a a a

2. a a a a b

3. a a a b b

4. a a b b b

5. a b b b b

6. b b b b b


SUSAPLICACIONES

Joaquın LunaTorres



1. a a a a a

2. a a a a b

3. a a a b b

4. a a b b b

5. a b b b b

6. b b b b b


SUSAPLICACIONES

Joaquın LunaTorres



1. a a a a a

2. a a a a b

3. a a a b b

4. a a b b b

5. a b b b b

6. b b b b b


SUSAPLICACIONES

Joaquın LunaTorres



1. a a a a a

2. a a a a b

3. a a a b b

4. a a b b b

5. a b b b b

6. b b b b b


SUSAPLICACIONES

Joaquın LunaTorres



1. a a a a a

2. a a a a b

3. a a a b b

4. a a b b b

5. a b b b b

6. b b b b b


SUSAPLICACIONES

Joaquın LunaTorres

¿De cuantas maneras se puede hacer cada eleccion?

En el primer caso hay que elegir cinco a-es y esto se puedehacer de una sola manera.En el segundo caso hay que elegir cuatro a-es y una b: parala primera casilla disponemos de cinco a-es, para la segundade cuatro, para la tercera de tres y para la cuarta de dos;entonces hay 5× 4× 3× 2 = 120 maneras de hacerlo; perocomo no interesa el orden y cuatro elementos se ordenan de1× 2× 3× 4 = 4! = 24 maneras, el resltado final es

5× 4× 3× 2

1× 2× 3× 4=

5× 4× 3× 2× 1

(1× 2× 3× 4)× (1)=

5!

4!1!= 5 =

(5

4

)(1)


SUSAPLICACIONES

Joaquın LunaTorres

¿De cuantas maneras se puede hacer cada eleccion?En el primer caso hay que elegir cinco a-es y esto se puedehacer de una sola manera.

En el segundo caso hay que elegir cuatro a-es y una b: parala primera casilla disponemos de cinco a-es, para la segundade cuatro, para la tercera de tres y para la cuarta de dos;entonces hay 5× 4× 3× 2 = 120 maneras de hacerlo; perocomo no interesa el orden y cuatro elementos se ordenan de1× 2× 3× 4 = 4! = 24 maneras, el resltado final es

5× 4× 3× 2

1× 2× 3× 4=

5× 4× 3× 2× 1

(1× 2× 3× 4)× (1)=

5!

4!1!= 5 =

(5

4

)(1)


SUSAPLICACIONES

Joaquın LunaTorres

¿De cuantas maneras se puede hacer cada eleccion?En el primer caso hay que elegir cinco a-es y esto se puedehacer de una sola manera.En el segundo caso hay que elegir cuatro a-es y una b: parala primera casilla disponemos de cinco a-es, para la segundade cuatro, para la tercera de tres y para la cuarta de dos;entonces hay 5× 4× 3× 2 = 120 maneras de hacerlo; perocomo no interesa el orden y cuatro elementos se ordenan de1× 2× 3× 4 = 4! = 24 maneras, el resltado final es

5× 4× 3× 2

1× 2× 3× 4=

5× 4× 3× 2× 1

(1× 2× 3× 4)× (1)=

5!

4!1!= 5 =

(5

4

)(1)


SUSAPLICACIONES

Joaquın LunaTorres


5× 4× 3× 2

1× 2× 3× 4

=5× 4× 3× 2× 1

(1× 2× 3× 4)× (1)=

5!

4!1!= 5 =

(5

4

)(1)


SUSAPLICACIONES

Joaquın LunaTorres


5× 4× 3× 2

1× 2× 3× 4=

5× 4× 3× 2× 1

(1× 2× 3× 4)× (1)

=5!

4!1!= 5 =

(5

4

)(1)


SUSAPLICACIONES

Joaquın LunaTorres


5× 4× 3× 2

1× 2× 3× 4=

5× 4× 3× 2× 1

(1× 2× 3× 4)× (1)=

5!

4!1!= 5

=

(5

4

)(1)


SUSAPLICACIONES

Joaquın LunaTorres


5× 4× 3× 2

1× 2× 3× 4=

5× 4× 3× 2× 1

(1× 2× 3× 4)× (1)=

5!

4!1!= 5 =

(5

4

)(1)


SUSAPLICACIONES

Joaquın LunaTorres

En el tercer caso se eligen tres a-es: para la primera casilladisponemos de cinco a-es, para la segunda de cuatro y parala tercera de tres; entonces hay 5× 4× 3 = 60 maneras dehacerlo; como no interesa el orden y tres elementos seordenan de 1× 2× 3 = 3! = 6 maneras, el resltado final es

5× 4× 3

1× 2× 3=

5× 4× 3× 2× 1

(1× 2× 3)× (2× 1)=

5!

3! 2!= 10 =

(5

3

)(2)


SUSAPLICACIONES

Joaquın LunaTorres


5× 4× 3

1× 2× 3

=5× 4× 3× 2× 1

(1× 2× 3)× (2× 1)=

5!

3! 2!= 10 =

(5

3

)(2)


SUSAPLICACIONES

Joaquın LunaTorres


5× 4× 3

1× 2× 3=

5× 4× 3× 2× 1

(1× 2× 3)× (2× 1)

=5!

3! 2!= 10 =

(5

3

)(2)


SUSAPLICACIONES

Joaquın LunaTorres


5× 4× 3

1× 2× 3=

5× 4× 3× 2× 1

(1× 2× 3)× (2× 1)=

5!

3! 2!= 10

=

(5

3

)(2)


SUSAPLICACIONES

Joaquın LunaTorres


5× 4× 3

1× 2× 3=

5× 4× 3× 2× 1

(1× 2× 3)× (2× 1)=

5!

3! 2!= 10 =

(5

3

)(2)


SUSAPLICACIONES

Joaquın LunaTorres

En el cuarto, se eligen dos a-es: para la primera casilladisponemos de cinco a-es y para la segunda de cuatro;entonces hay 5× 4 = 20 maneras de hacerlo; de nuevo, nointeresa el orden y dos elementos se ordenan de1× 2 = 2! = 2 maneras, el resltado final es

5× 4

1× 2

=5× 4× 3× 2× 1

(1× 2)× (3× 2× 1)=

5!

2! 3!=

120

12= 10 =

(5

2

)(3)

En el quinto, se elige una a: entonces hay 5 maneras dehacerlo; el resltado final es

5

1=

5× 4× 3× 2× 1

(1)× (4× 3× 2× 1)=

5!

1! 4!=

120

24= 5 =

(5

1

)(4)

Finalmente, hay una sola manera de no elegir a-es, lo queequivale a escoger cinco b-es.


SUSAPLICACIONES

Joaquın LunaTorres


5× 4

1× 2=

5× 4× 3× 2× 1

(1× 2)× (3× 2× 1)

=5!

2! 3!=

120

12= 10 =

(5

2

)(3)


5

1=

5× 4× 3× 2× 1

(1)× (4× 3× 2× 1)=

5!

1! 4!=

120

24= 5 =

(5

1

)(4)



SUSAPLICACIONES

Joaquın LunaTorres


5× 4

1× 2=

5× 4× 3× 2× 1

(1× 2)× (3× 2× 1)=

5!

2! 3!=

120

12= 10

=

(5

2

)(3)


5

1=

5× 4× 3× 2× 1

(1)× (4× 3× 2× 1)=

5!

1! 4!=

120

24= 5 =

(5

1

)(4)



SUSAPLICACIONES

Joaquın LunaTorres


5× 4

1× 2=

5× 4× 3× 2× 1

(1× 2)× (3× 2× 1)=

5!

2! 3!=

120

12= 10 =

(5

2

)(3)


5

1=

5× 4× 3× 2× 1

(1)× (4× 3× 2× 1)=

5!

1! 4!=

120

24= 5 =

(5

1

)(4)



SUSAPLICACIONES

Joaquın LunaTorres


5× 4

1× 2=

5× 4× 3× 2× 1

(1× 2)× (3× 2× 1)=

5!

2! 3!=

120

12= 10 =

(5

2

)(3)


5

1=

5× 4× 3× 2× 1

(1)× (4× 3× 2× 1)=

5!

1! 4!=

120

24= 5 =

(5

1

)(4)



SUSAPLICACIONES

Joaquın LunaTorres


5× 4

1× 2=

5× 4× 3× 2× 1

(1× 2)× (3× 2× 1)=

5!

2! 3!=

120

12= 10 =

(5

2

)(3)


5

1

=5× 4× 3× 2× 1

(1)× (4× 3× 2× 1)=

5!

1! 4!=

120

24= 5 =

(5

1

)(4)



SUSAPLICACIONES

Joaquın LunaTorres


5× 4

1× 2=

5× 4× 3× 2× 1

(1× 2)× (3× 2× 1)=

5!

2! 3!=

120

12= 10 =

(5

2

)(3)


5

1=

5× 4× 3× 2× 1

(1)× (4× 3× 2× 1)

=5!

1! 4!=

120

24= 5 =

(5

1

)(4)



SUSAPLICACIONES

Joaquın LunaTorres


5× 4

1× 2=

5× 4× 3× 2× 1

(1× 2)× (3× 2× 1)=

5!

2! 3!=

120

12= 10 =

(5

2

)(3)


5

1=

5× 4× 3× 2× 1

(1)× (4× 3× 2× 1)=

5!

1! 4!=

120

24= 5

=

(5

1

)(4)



SUSAPLICACIONES

Joaquın LunaTorres


5× 4

1× 2=

5× 4× 3× 2× 1

(1× 2)× (3× 2× 1)=

5!

2! 3!=

120

12= 10 =

(5

2

)(3)


5

1=

5× 4× 3× 2× 1

(1)× (4× 3× 2× 1)=

5!

1! 4!=

120

24= 5 =

(5

1

)(4)



SUSAPLICACIONES

Joaquın LunaTorres


5× 4

1× 2=

5× 4× 3× 2× 1

(1× 2)× (3× 2× 1)=

5!

2! 3!=

120

12= 10 =

(5

2

)(3)


5

1=

5× 4× 3× 2× 1

(1)× (4× 3× 2× 1)=

5!

1! 4!=

120

24= 5 =

(5

1

)(4)



SUSAPLICACIONES

Joaquın LunaTorresLos resultados anteriores se resumen diciendo que

(a+b)5 = 1 a5+5 a4 b+10 a3 b2+10 a2 b3+5 a b4+1 b5 (5)

o, equivalentemente

(a+b)5 =(5

5

)a5 +

(5

4

)a4 b +

(5

3

)a3 b2 +

(5

2

)a2 b3 +

(5

1

)a b4 +

(5

0

)b5

(6)

Estos coeficientes constituyen la sexta fila del triangulo dePascalEntonces el triangulo de Pascal se puede reescribir ası:


SUSAPLICACIONES


(a+b)5 = 1 a5+5 a4 b+10 a3 b2+10 a2 b3+5 a b4+1 b5 (5)

o, equivalentemente

(a+b)5 =(5

5

)a5 +

(5

4

)a4 b +

(5

3

)a3 b2 +

(5

2

)a2 b3 +

(5

1

)a b4 +

(5

0

)b5

(6)



SUSAPLICACIONES


(a+b)5 = 1 a5+5 a4 b+10 a3 b2+10 a2 b3+5 a b4+1 b5 (5)

o, equivalentemente

(a+b)5 =(5

5

)a5 +

(5

4

)a4 b +

(5

3

)a3 b2 +

(5

2

)a2 b3 +

(5

1

)a b4 +

(5

0

)b5

(6)



SUSAPLICACIONES


(a+b)5 = 1 a5+5 a4 b+10 a3 b2+10 a2 b3+5 a b4+1 b5 (5)

o, equivalentemente

(a+b)5 =(5

5

)a5 +

(5

4

)a4 b +

(5

3

)a3 b2 +

(5

2

)a2 b3 +

(5

1

)a b4 +

(5

0

)b5

(6)

Estos coeficientes constituyen la sexta fila del triangulo dePascal

Entonces el triangulo de Pascal se puede reescribir ası:


SUSAPLICACIONES


(a+b)5 = 1 a5+5 a4 b+10 a3 b2+10 a2 b3+5 a b4+1 b5 (5)

o, equivalentemente

(a+b)5 =(5

5

)a5 +

(5

4

)a4 b +

(5

3

)a3 b2 +

(5

2

)a2 b3 +

(5

1

)a b4 +

(5

0

)b5

(6)



SUSAPLICACIONES

Joaquın LunaTorres

Presentacion combinatoria

(00

)

(10

) (11

)(2

0

) (21

) (22

)(3

0

) (31

) (32

) (33

)(4

0

) (41

) (42

) (43

) (44

)(5

0

) (51

) (52

) (53

) (54

) (55

)...


SUSAPLICACIONES

Joaquın LunaTorres


(00

)(1

0

) (11

)

(20

) (21

) (22

)(3

0

) (31

) (32

) (33

)(4

0

) (41

) (42

) (43

) (44

)(5

0

) (51

) (52

) (53

) (54

) (55

)...


SUSAPLICACIONES

Joaquın LunaTorres


(00

)(1

0

) (11

)(2

0

) (21

) (22

)

(30

) (31

) (32

) (33

)(4

0

) (41

) (42

) (43

) (44

)(5

0

) (51

) (52

) (53

) (54

) (55

)...


SUSAPLICACIONES

Joaquın LunaTorres


(00

)(1

0

) (11

)(2

0

) (21

) (22

)(3

0

) (31

) (32

) (33

)

(40

) (41

) (42

) (43

) (44

)(5

0

) (51

) (52

) (53

) (54

) (55

)...


SUSAPLICACIONES

Joaquın LunaTorres


(00

)(1

0

) (11

)(2

0

) (21

) (22

)(3

0

) (31

) (32

) (33

)(4

0

) (41

) (42

) (43

) (44

)

(50

) (51

) (52

) (53

) (54

) (55

)...


SUSAPLICACIONES

Joaquın LunaTorres


(00

)(1

0

) (11

)(2

0

) (21

) (22

)(3

0

) (31

) (32

) (33

)(4

0

) (41

) (42

) (43

) (44

)(5

0

) (51

) (52

) (53

) (54

) (55

)

...


SUSAPLICACIONES

Joaquın LunaTorres


(00

)(1

0

) (11

)(2

0

) (21

) (22

)(3

0

) (31

) (32

) (33

)(4

0

) (41

) (42

) (43

) (44

)(5

0

) (51

) (52

) (53

) (54

) (55

)...


SUSAPLICACIONES

Joaquın LunaTorres

Propiedades de las combinatorias

Observando las presentaciones del triangulo de Pascal sepuede deducir que:

I(nk

)= n!

k! (n−k)! .

I La simetrıa del ultimo triangulo implica que(nk

)=( nn−k).

I La relacion entre la suma de dos elementos consecutivosen la misma fila con el elemento debajo de ellos en lafila siguiente permite afirmar que

(nk

)+( nk+1

)=(n+1k+1

).


SUSAPLICACIONES

Joaquın LunaTorres



I(nk

)= n!

k! (n−k)! .


)=( nn−k).


(nk

)+( nk+1

)=(n+1k+1

).


SUSAPLICACIONES

Joaquın LunaTorres



I(nk

)= n!

k! (n−k)! .


)=( nn−k).


(nk

)+( nk+1

)=(n+1k+1

).


SUSAPLICACIONES

Joaquın LunaTorres



I(nk

)= n!

k! (n−k)! .


)=( nn−k).


(nk

)+( nk+1

)=(n+1k+1

).


SUSAPLICACIONES

Joaquın LunaTorres

Formula binomial

Usando esta forma, y conmutatividad de la suma, se tieneque

(a + b)3 =(3

0

)b3 +

(3

1

)b2 a +

(3

2

)b a2 +

(3

3

)a3 =

3∑k=0

(3

k

)ak b3−k . (7)

En forma general

(a + b)n =n∑

k=0

(nk

)ak bn−k


SUSAPLICACIONES

Joaquın LunaTorres

Formula binomial

Usando esta forma, y conmutatividad de la suma, se tieneque

(a + b)3 =(3

0

)b3 +

(3

1

)b2 a +

(3

2

)b a2 +

(3

3

)a3 =

3∑k=0

(3

k

)ak b3−k . (7)

En forma general

(a + b)n =n∑

k=0

(nk

)ak bn−k


SUSAPLICACIONES

Joaquın LunaTorres

Parte II

Matrices de Pascal


SUSAPLICACIONES

Joaquın LunaTorres

Presentacion rectangular

Otras formas alternativas de presentar el triangulo de Pascalson las siguientes:

1

1

1

1

2

1

1

3

3

1

1

4

6

4

1

1

1

5

5

10

10

. . .


SUSAPLICACIONES

Joaquın LunaTorres



1

1

1

1

2

1

1

3

3

1

1

4

6

4

1

1

1

5

5

10

10

. . .


SUSAPLICACIONES

Joaquın LunaTorres



1

1

1

1

2

1

1

3

3

1

1

4

6

4

1

1

1

5

5

10

10

. . .


SUSAPLICACIONES

Joaquın LunaTorres



1

1

1

1

2

1

1

3

3

1

1

4

6

4

1

1

1

5

5

10

10

. . .


SUSAPLICACIONES

Joaquın LunaTorres



1

1

1

1

2

1

1

3

3

1

1

4

6

4

1

1

1

5

5

10

10

. . .


SUSAPLICACIONES

Joaquın LunaTorres



1

1

1

1

2

1

1

3

3

1

1

4

6

4

1

1

1

5

5

10

10

. . .


SUSAPLICACIONES

Joaquın LunaTorres



1

1

1

1

2

1

1

3

3

1

1

4

6

4

1

1

1

5

5

10

10

. . .


SUSAPLICACIONES

Joaquın LunaTorres



1

1

1

1

2

1

1

3

3

1

1

4

6

4

1

1

1

5

5

10

10

. . .


SUSAPLICACIONES

Joaquın LunaTorres



1

1

1

1

2

1

1

3

3

1

1

4

6

4

1

1

1

5

5

10

10

. . .


SUSAPLICACIONES

Joaquın LunaTorres

Presentacion triangular inferior

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 15 510 10

...


SUSAPLICACIONES

Joaquın LunaTorres


1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 15 510 10

...


SUSAPLICACIONES

Joaquın LunaTorres


1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 15 510 10

...


SUSAPLICACIONES

Joaquın LunaTorres


1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 15 510 10

...


SUSAPLICACIONES

Joaquın LunaTorres


1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 15 510 10

...


SUSAPLICACIONES

Joaquın LunaTorres


1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 15 510 10

...


SUSAPLICACIONES

Joaquın LunaTorres


1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 15 510 10

...


SUSAPLICACIONES

Joaquın LunaTorres


1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 15 510 10

...


SUSAPLICACIONES

Joaquın LunaTorres

Presentacion triangular superior

1

1

1

1

2

1

1

3

3

1

1

4

6

4

1

1

5

10

10

5

1

. . .

¿Para que los cortes en estos triangulos?


SUSAPLICACIONES

Joaquın LunaTorres


1 1

1

1

2

1

1

3

3

1

1

4

6

4

1

1

5

10

10

5

1

. . .



SUSAPLICACIONES

Joaquın LunaTorres


1 1

1

1

2

1

1

3

3

1

1

4

6

4

1

1

5

10

10

5

1

. . .



SUSAPLICACIONES

Joaquın LunaTorres


1 1

1

1

2

1

1

3

3

1

1

4

6

4

1

1

5

10

10

5

1

. . .



SUSAPLICACIONES

Joaquın LunaTorres


1 1

1

1

2

1

1

3

3

1

1

4

6

4

1

1

5

10

10

5

1

. . .



SUSAPLICACIONES

Joaquın LunaTorres


1 1

1

1

2

1

1

3

3

1

1

4

6

4

1

1

5

10

10

5

1

. . .



SUSAPLICACIONES

Joaquın LunaTorres


1 1

1

1

2

1

1

3

3

1

1

4

6

4

1

1

5

10

10

5

1

. . .



SUSAPLICACIONES

Joaquın LunaTorres


1 1

1

1

2

1

1

3

3

1

1

4

6

4

1

1

5

10

10

5

1

. . .



SUSAPLICACIONES

Joaquın LunaTorres


1 1

1

1

2

1

1

3

3

1

1

4

6

4

1

1

5

10

10

5

1

. . .



SUSAPLICACIONES

Joaquın LunaTorres

Pongamos los cortes de los triangulos anteriores dentro dematrices apropiadas de orden n × n.

Para n = 4 tenemos

S4 =

1 1 1 11 2 3 41 3 6 101 4 10 20

L4 =

1 0 0 01 1 0 01 2 1 01 3 3 1

U4 =

1 1 1 10 1 2 30 0 1 30 0 0 1

Sn = Ln · Un


SUSAPLICACIONES

Joaquın LunaTorres

Pongamos los cortes de los triangulos anteriores dentro dematrices apropiadas de orden n × n. Para n = 4 tenemos

S4 =

1 1 1 11 2 3 41 3 6 101 4 10 20

L4 =

1 0 0 01 1 0 01 2 1 01 3 3 1

U4 =

1 1 1 10 1 2 30 0 1 30 0 0 1

Sn = Ln · Un


SUSAPLICACIONES

Joaquın LunaTorres


S4 =

1 1 1 11 2 3 41 3 6 101 4 10 20

L4 =

1 0 0 01 1 0 01 2 1 01 3 3 1

U4 =

1 1 1 10 1 2 30 0 1 30 0 0 1

Sn = Ln · Un


SUSAPLICACIONES

Joaquın LunaTorres


S4 =

1 1 1 11 2 3 41 3 6 101 4 10 20

L4 =

1 0 0 01 1 0 01 2 1 01 3 3 1

U4 =

1 1 1 10 1 2 30 0 1 30 0 0 1

Sn = Ln · Un


SUSAPLICACIONES

Joaquın LunaTorres

Luego

det(Sn) = det(Ln) · det(Un) = 1

En consecuencia, tanto las matrices como el triangulo dePascal tienen inversos:

L4 =

1 0 0 01 1 0 01 2 1 01 3 3 1

L−14 =

1 0 0 0−1 1 0 01 −2 1 0−1 3 −3 1

U4 =

1 1 1 10 1 2 30 0 1 30 0 0 1

U−14 =

1 −1 1 −10 1 −2 30 0 1 −30 0 0 1


SUSAPLICACIONES

Joaquın LunaTorres

Luego



L4 =

1 0 0 01 1 0 01 2 1 01 3 3 1

L−14 =

1 0 0 0−1 1 0 01 −2 1 0−1 3 −3 1

U4 =

1 1 1 10 1 2 30 0 1 30 0 0 1

U−14 =

1 −1 1 −10 1 −2 30 0 1 −30 0 0 1


SUSAPLICACIONES

Joaquın LunaTorres

Luego



L4 =

1 0 0 01 1 0 01 2 1 01 3 3 1

L−14 =

1 0 0 0−1 1 0 01 −2 1 0−1 3 −3 1

U4 =

1 1 1 10 1 2 30 0 1 30 0 0 1

U−14 =

1 −1 1 −10 1 −2 30 0 1 −30 0 0 1


SUSAPLICACIONES

Joaquın LunaTorres

Triangulo inverso de Pascal

−1

1

−1

1

−1

1

1

1

1

1

1

−2

3 −3

−4 −46

5 −5−10 10

...


SUSAPLICACIONES

Joaquın LunaTorres

Parte III

Exponenciales y ecuaciones

diferenciales


SUSAPLICACIONES

Joaquın LunaTorres

Matriz de creacion

Iniciamos con lo que en mecanica cuantica llaman matriz decreacion o generacion

Hn =

01 0

2 0. . .

. . .

. . .. . .

n − 1 0

en la que las casillas en blanco corresponden a ceros.

¡Los numeros enteros positivos estan ubicados en lasubdiagonal principal!.


SUSAPLICACIONES

Joaquın LunaTorres

Matriz de creacion


Hn =

01 0

2 0. . .

. . .

. . .. . .

n − 1 0




SUSAPLICACIONES

Joaquın LunaTorres

Matriz de creacion


Hn =

01 0

2 0. . .

. . .

. . .. . .

n − 1 0




SUSAPLICACIONES

Joaquın LunaTorres

Matriz de creacion


Hn =

01 0

2 0. . .

. . .

. . .. . .

n − 1 0




SUSAPLICACIONES

Joaquın LunaTorres

Potencias de Hn

Iniciemos con H4:

H4 =

0 0 0 01 0 0 00 2 0 00 0 3 0

Las potencias de H4 son:

H24 =

0 0 0 00 0 0 02 0 0 00 6 0 0


SUSAPLICACIONES

Joaquın LunaTorres

Potencias de Hn

Iniciemos con H4:

H4 =

0 0 0 01 0 0 00 2 0 00 0 3 0


H24 =

0 0 0 00 0 0 02 0 0 00 6 0 0


SUSAPLICACIONES

Joaquın LunaTorres

Potencias de Hn

Iniciemos con H4:

H4 =

0 0 0 01 0 0 00 2 0 00 0 3 0


H24 =

0 0 0 00 0 0 02 0 0 00 6 0 0


SUSAPLICACIONES

Joaquın LunaTorres

Potencias de Hn

Iniciemos con H4:

H4 =

0 0 0 01 0 0 00 2 0 00 0 3 0


H24 =

0 0 0 00 0 0 02 0 0 00 6 0 0


SUSAPLICACIONES

Joaquın LunaTorres

Potencias de Hn

Iniciemos con H4:

H4 =

0 0 0 01 0 0 00 2 0 00 0 3 0


H24 =

0 0 0 00 0 0 02 0 0 00 6 0 0


SUSAPLICACIONES

Joaquın LunaTorresH3

4 =

0 0 0 00 0 0 00 0 0 03! 0 0 0

Hk4 = 0 para k > 3

Luego

3∑k=0

1

k!Hk

4 =

1 0 0 01 1 0 01 2 1 01 3 3 1

(4×4)

= L4


SUSAPLICACIONES


4 =

0 0 0 00 0 0 00 0 0 03! 0 0 0

Hk4 = 0 para k > 3

Luego

3∑k=0

1

k!Hk

4 =

1 0 0 01 1 0 01 2 1 01 3 3 1

(4×4)

= L4


SUSAPLICACIONES


4 =

0 0 0 00 0 0 00 0 0 03! 0 0 0

Hk4 = 0 para k > 3

Luego

3∑k=0

1

k!Hk

4 =

1 0 0 01 1 0 01 2 1 01 3 3 1

(4×4)

= L4


SUSAPLICACIONES


4 =

0 0 0 00 0 0 00 0 0 03! 0 0 0

Hk4 = 0 para k > 3

Luego

3∑k=0

1

k!Hk

4 =

1 0 0 01 1 0 01 2 1 01 3 3 1

(4×4)

= L4


SUSAPLICACIONES

Joaquın LunaTorres

Potencias de Hn

En general

H(n−1)n =

0

. . .

n!

Hnn = 0


SUSAPLICACIONES

Joaquın LunaTorres

Potencias de Hn

En general

H(n−1)n =

0

. . .

n!

Hnn = 0


SUSAPLICACIONES

Joaquın LunaTorres

Potencias de Hn

En general

H(n−1)n =

0

. . .

n!

Hnn = 0


SUSAPLICACIONES

Joaquın LunaTorresLuego

n−1∑k=0

1

k!Hkn =

11 11 2 11 3 3 1

. . .

(n×n)

= Ln

En consecuencia

∞∑k=1

1

k!Hk = L∞ ¡el triangulo inferior de Pascal!


SUSAPLICACIONES


n−1∑k=0

1

k!Hkn =

11 11 2 11 3 3 1

. . .

(n×n)

= Ln

En consecuencia

∞∑k=1

1



SUSAPLICACIONES


n−1∑k=0

1

k!Hkn =

11 11 2 11 3 3 1

. . .

(n×n)

= Ln

En consecuencia

∞∑k=1

1



SUSAPLICACIONES

Joaquın LunaTorres

Logaritmo natural del triangulo de Pascal

Recuerde que

ex = 1 + x +1

2!x2 +

1

3!x3 + · · · =

∞∑k=1

1

k!xk

Esta expresion para una matriz cuadrada A de orden n× n es

eA = In + A +1

2!A2 +

1

3!A3 + · · · =

∞∑k=1

1

k!Ak

Entonces

∞∑k=1

1

k!Hk = L∞ = eH . Por lo tanto H = ln L∞.


SUSAPLICACIONES

Joaquın LunaTorres


Recuerde que

ex = 1 + x +1

2!x2 +

1

3!x3 + · · · =

∞∑k=1

1

k!xk


eA = In + A +1

2!A2 +

1

3!A3 + · · · =

∞∑k=1

1

k!Ak

Entonces

∞∑k=1

1



SUSAPLICACIONES

Joaquın LunaTorres


Recuerde que

ex = 1 + x +1

2!x2 +

1

3!x3 + · · · =

∞∑k=1

1

k!xk


eA = In + A +1

2!A2 +

1

3!A3 + · · · =

∞∑k=1

1

k!Ak

Entonces

∞∑k=1

1



SUSAPLICACIONES

Joaquın LunaTorres


Recuerde que

ex = 1 + x +1

2!x2 +

1

3!x3 + · · · =

∞∑k=1

1

k!xk


eA = In + A +1

2!A2 +

1

3!A3 + · · · =

∞∑k=1

1

k!Ak

Entonces

∞∑k=1

1

k!Hk = L∞ = eH .

Por lo tanto H = ln L∞.


SUSAPLICACIONES

Joaquın LunaTorres


Recuerde que

ex = 1 + x +1

2!x2 +

1

3!x3 + · · · =

∞∑k=1

1

k!xk


eA = In + A +1

2!A2 +

1

3!A3 + · · · =

∞∑k=1

1

k!Ak

Entonces

∞∑k=1

1



SUSAPLICACIONES

Joaquın LunaTorres

Ecuacion diferencial de Pascal

Consideremos ahora la ecuacion diferencial con condicionesiniciales en Rn.

d

dty(t) = Hy(t), y(0) = y0, −∞ < t <∞

Su unica solucion es y(t) = eHty0, donde la matrizexponencial L(t) = eHty0 esta determinada por

L(t) =∞∑k=1

tk

k!Hk .


SUSAPLICACIONES

Joaquın LunaTorres



d

dty(t) = Hy(t), y(0) = y0, −∞ < t <∞


L(t) =∞∑k=1

tk

k!Hk .


SUSAPLICACIONES

Joaquın LunaTorres



d

dty(t) = Hy(t), y(0) = y0, −∞ < t <∞

Su unica solucion es y(t) = eHty0,

donde la matrizexponencial L(t) = eHty0 esta determinada por

L(t) =∞∑k=1

tk

k!Hk .


SUSAPLICACIONES

Joaquın LunaTorres



d

dty(t) = Hy(t), y(0) = y0, −∞ < t <∞


L(t) =∞∑k=1

tk

k!Hk .


SUSAPLICACIONES

Joaquın LunaTorres

ComoH

(m)n = 0 para todo m > n

la solucion del problema de valores iniciales es

L(t) =n−1∑k=1

tk

k!Hk .

Es facil deducir que

I L(0) = In.

I L(1) = Ln, ¡el n-esimo triangulo inferior de Pascal!.

I L(s + t) = L(s)L(t).

I Lk1 = L(k).

I L(j/k)k = Lj1.


SUSAPLICACIONES

Joaquın LunaTorres

ComoH



L(t) =n−1∑k=1

tk

k!Hk .


I L(0) = In.


I L(s + t) = L(s)L(t).

I Lk1 = L(k).

I L(j/k)k = Lj1.


SUSAPLICACIONES

Joaquın LunaTorres

ComoH



L(t) =n−1∑k=1

tk

k!Hk .


I L(0) = In.


I L(s + t) = L(s)L(t).

I Lk1 = L(k).

I L(j/k)k = Lj1.


SUSAPLICACIONES

Joaquın LunaTorres

ComoH



L(t) =n−1∑k=1

tk

k!Hk .


I L(0) = In.


I L(s + t) = L(s)L(t).

I Lk1 = L(k).

I L(j/k)k = Lj1.


SUSAPLICACIONES

Joaquın LunaTorres

ComoH



L(t) =n−1∑k=1

tk

k!Hk .


I L(0) = In.


I L(s + t) = L(s)L(t).

I Lk1 = L(k).

I L(j/k)k = Lj1.


SUSAPLICACIONES

Joaquın LunaTorres

ComoH



L(t) =n−1∑k=1

tk

k!Hk .


I L(0) = In.


I L(s + t) = L(s)L(t).

I Lk1 = L(k).

I L(j/k)k = Lj1.


SUSAPLICACIONES

Joaquın LunaTorres

ComoH



L(t) =n−1∑k=1

tk

k!Hk .


I L(0) = In.


I L(s + t) = L(s)L(t).

I Lk1 = L(k).

I L(j/k)k = Lj1.


SUSAPLICACIONES

Joaquın LunaTorres

Triangulos generalizados de Pascal

Observe que, para n = 4,

L4(x) =

1 0 0 0x 1 0 0x2 2x 1 0x3 3x2 3x 1

Por consiguiente

L4(1

2) =

1 0 0 012 1 0 014 1 1 018

34

32 1


SUSAPLICACIONES

Joaquın LunaTorres



L4(x) =

1 0 0 0x 1 0 0x2 2x 1 0x3 3x2 3x 1

Por consiguiente

L4(1

2) =

1 0 0 012 1 0 014 1 1 018

34

32 1


SUSAPLICACIONES

Joaquın LunaTorres



L4(x) =

1 0 0 0x 1 0 0x2 2x 1 0x3 3x2 3x 1

Por consiguiente

L4(1

2) =

1 0 0 012 1 0 014 1 1 018

34

32 1


SUSAPLICACIONES

Joaquın LunaTorres


Tambien

L4(1

3) =

1 0 0 013 1 0 019

23 1 0

127

13 1 1

¿Que significado tiene L(x) cuando x es un numeroirracional?.


SUSAPLICACIONES

Joaquın LunaTorres

Parte IV

Piramides de Pascal


SUSAPLICACIONES

Joaquın LunaTorres

Coeficientes trinomiales

El plano de Pascal, formado por coeficientes binomiales, sepuede generalizar al espacio de Pascal formado porcoeficientes trinomiales

(n

r s t

)=

n!

r ! s! t!, donde r + s + t = n, r , s, t, n ∈ N,

los cuales aparecen en la expansion de (a + b + c)n.


SUSAPLICACIONES

Joaquın LunaTorres



(n

r s t

)=

n!




SUSAPLICACIONES

Joaquın LunaTorres



(n

r s t

)=

n!




SUSAPLICACIONES

Joaquın LunaTorres

Piramide de Pascal

1

1 1

1 1

1 1

1 1

1

1

1

1

2 2

33 3 36

2

3 3

a bc


SUSAPLICACIONES

Joaquın LunaTorres

El cubo de un trinomio

El tercer nivel de la piramide corresponde a

(a+b+ c)3 = a3 +b3 + c3 + 3a2b+ 3ab3 + 3a2c + 3ac2 + 3b2c + 3bc2 + 6abc

Note que el coeficiente de abc, es decir el 6, es el numeroque aparece en el interior de la piramide


SUSAPLICACIONES

Joaquın LunaTorres






SUSAPLICACIONES

Joaquın LunaTorres






SUSAPLICACIONES

Joaquın LunaTorres

Parte V

Relacion con la ensenanza de las

matematicas


SUSAPLICACIONES

Joaquın LunaTorres

Relacion con la ensenanza de las matematicas

(De M. Falk) Todo nino, nina y joven muestra suoriginalidad y creatividad por fuera del aula de matematicas;

¿como debemos establecer nuestras metas y construir laposibilidad de su realizacion en nuestras escuelas de modoque ellos tengan la oportunidad de mostrar su creatividadtambien dentro de los confines del salon de clase dematematicas?

Nuestra respuesta es darle la oportunidad de desarrollar‘pensamiento a traves de un currıculo mas retador, darle loselementos para pensar problemas que no son copias encarbon de lo ya practicado, abrir las puertas para que elgenere sus propias ideas siempre con criterio de autocrıtica,respetar sus iniciativas e idear formas productivas de orientaro enderezar su lınea de pensamiento cuando sea necesario.


SUSAPLICACIONES

Joaquın LunaTorres






SUSAPLICACIONES

Joaquın LunaTorres






SUSAPLICACIONES

Joaquın LunaTorres

Citamos cuatro razones fundamentales con el fin de quetodos los que estamos trabajando en educacion matematicademos un impulso renovado a la evolucion de esta ciencia.

1.Las necesidades de una sociedad de conocimientoDesde hace ya quizas 16 a nos estamos en medio de latransicion hacia sociedades de conocimiento (knowledgesocieties). Ello ha dado lugar a dos grandes reunionesinternacionales impulsadas por la ONU, en el 2003 y el 2006,que han producido una toma de posicion.“El logro de nuestros propositos compartidos, en particularpara los paıses en desarrollo y para paıses cuyas economıasesten en transicion, para incorporarse plenamente en laSociedad de la Informacion, y su integracion positiva en laeconomıa del conocimiento, depende en gran medida en laconstruccion de una capacidad creciente en las areas deeducacion, del saber hacer tecnologico y en el acceso a lainformacion, que son los principales factores que determinanel desarrollo y la competitividad.”


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Citamos cuatro razones fundamentales con el fin de quetodos los que estamos trabajando en educacion matematicademos un impulso renovado a la evolucion de esta ciencia.1.Las necesidades de una sociedad de conocimiento

Desde hace ya quizas 16 a nos estamos en medio de latransicion hacia sociedades de conocimiento (knowledgesocieties). Ello ha dado lugar a dos grandes reunionesinternacionales impulsadas por la ONU, en el 2003 y el 2006,que han producido una toma de posicion.“El logro de nuestros propositos compartidos, en particularpara los paıses en desarrollo y para paıses cuyas economıasesten en transicion, para incorporarse plenamente en laSociedad de la Informacion, y su integracion positiva en laeconomıa del conocimiento, depende en gran medida en laconstruccion de una capacidad creciente en las areas deeducacion, del saber hacer tecnologico y en el acceso a lainformacion, que son los principales factores que determinanel desarrollo y la competitividad.”


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Citamos cuatro razones fundamentales con el fin de quetodos los que estamos trabajando en educacion matematicademos un impulso renovado a la evolucion de esta ciencia.1.Las necesidades de una sociedad de conocimientoDesde hace ya quizas 16 a nos estamos en medio de latransicion hacia sociedades de conocimiento (knowledgesocieties). Ello ha dado lugar a dos grandes reunionesinternacionales impulsadas por la ONU, en el 2003 y el 2006,que han producido una toma de posicion.

“El logro de nuestros propositos compartidos, en particularpara los paıses en desarrollo y para paıses cuyas economıasesten en transicion, para incorporarse plenamente en laSociedad de la Informacion, y su integracion positiva en laeconomıa del conocimiento, depende en gran medida en laconstruccion de una capacidad creciente en las areas deeducacion, del saber hacer tecnologico y en el acceso a lainformacion, que son los principales factores que determinanel desarrollo y la competitividad.”


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Citamos cuatro razones fundamentales con el fin de quetodos los que estamos trabajando en educacion matematicademos un impulso renovado a la evolucion de esta ciencia.1.Las necesidades de una sociedad de conocimientoDesde hace ya quizas 16 a nos estamos en medio de latransicion hacia sociedades de conocimiento (knowledgesocieties). Ello ha dado lugar a dos grandes reunionesinternacionales impulsadas por la ONU, en el 2003 y el 2006,que han producido una toma de posicion.“El logro de nuestros propositos compartidos, en particularpara los paıses en desarrollo y para paıses cuyas economıasesten en transicion, para incorporarse plenamente en laSociedad de la Informacion, y su integracion positiva en laeconomıa del conocimiento, depende en gran medida en laconstruccion de una capacidad creciente en las areas deeducacion, del saber hacer tecnologico y en el acceso a lainformacion, que son los principales factores que determinanel desarrollo y la competitividad.”


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Un ejemplo de un intento por construir el soporte educativopara una sociedad de conocimiento es el caso de Singapur.

Allı el Ministerio de Educacion ha pedido a los maestros queensenen menos para que los estudiantes puedan aprendermas.2- La tecnologıa y la formacion en matematicas.Si miramos la tecnologıa que concierne directamente laforma en que se ensena y se aprende matematicas, porejemplo, el software dinamico en geometrıa, no estamosusandolo para que el estudiante aprenda mas o desarrollemejor su pensamiento matematico, sino apenas para dibujarmejor las mismas tareas.Nuestra apreciacion tomando en cuenta exposicionesrecientes en el CIAEM de Recife o el CCM de Bucaramanga,es que no se esta haciendo mucho que se parece amatematicas y el modelo pedagogico que se emplea es muyparecido al conductismo.


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Un ejemplo de un intento por construir el soporte educativopara una sociedad de conocimiento es el caso de Singapur.Allı el Ministerio de Educacion ha pedido a los maestros queensenen menos para que los estudiantes puedan aprendermas.2- La tecnologıa y la formacion en matematicas.

Si miramos la tecnologıa que concierne directamente laforma en que se ensena y se aprende matematicas, porejemplo, el software dinamico en geometrıa, no estamosusandolo para que el estudiante aprenda mas o desarrollemejor su pensamiento matematico, sino apenas para dibujarmejor las mismas tareas.Nuestra apreciacion tomando en cuenta exposicionesrecientes en el CIAEM de Recife o el CCM de Bucaramanga,es que no se esta haciendo mucho que se parece amatematicas y el modelo pedagogico que se emplea es muyparecido al conductismo.


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Un ejemplo de un intento por construir el soporte educativopara una sociedad de conocimiento es el caso de Singapur.Allı el Ministerio de Educacion ha pedido a los maestros queensenen menos para que los estudiantes puedan aprendermas.2- La tecnologıa y la formacion en matematicas.Si miramos la tecnologıa que concierne directamente laforma en que se ensena y se aprende matematicas, porejemplo, el software dinamico en geometrıa, no estamosusandolo para que el estudiante aprenda mas o desarrollemejor su pensamiento matematico, sino apenas para dibujarmejor las mismas tareas.

Nuestra apreciacion tomando en cuenta exposicionesrecientes en el CIAEM de Recife o el CCM de Bucaramanga,es que no se esta haciendo mucho que se parece amatematicas y el modelo pedagogico que se emplea es muyparecido al conductismo.


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Un ejemplo de un intento por construir el soporte educativopara una sociedad de conocimiento es el caso de Singapur.Allı el Ministerio de Educacion ha pedido a los maestros queensenen menos para que los estudiantes puedan aprendermas.2- La tecnologıa y la formacion en matematicas.Si miramos la tecnologıa que concierne directamente laforma en que se ensena y se aprende matematicas, porejemplo, el software dinamico en geometrıa, no estamosusandolo para que el estudiante aprenda mas o desarrollemejor su pensamiento matematico, sino apenas para dibujarmejor las mismas tareas.Nuestra apreciacion tomando en cuenta exposicionesrecientes en el CIAEM de Recife o el CCM de Bucaramanga,es que no se esta haciendo mucho que se parece amatematicas y el modelo pedagogico que se emplea es muyparecido al conductismo.


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3. La naturaleza de las matematicas mismas.

No solo se investiga en las fronteras de las matematicas, sinotambien es dable e importante la investigacion en cada unode los sistemas matematicos abiertos.Dentro de este panorama, las matematicas elementales(como el caso del triangulo de Pascal) son una ciencia vivaabierta y fecunda para la investigacion; ano tras ano somostestigos de la creacion de problemas nuevos y originales enareas que incluyen teorıa de numeros, geometrıa euclidiana,matematica discreta, con diferentes niveles de dificultad ycomplejidad.En contraste, por lo general las matematicas escolaresintentan aproximarse a una parte paralizada - no muerta sinoparalizada - de esas matematicas elementales vivas, unaparte trajinada y aparentemente util, una parte programable,matematicas que puede hacer algo tan predecible que lopuede hacer con un computador con software que puedevenderse en mercados de escala.


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3. La naturaleza de las matematicas mismas.No solo se investiga en las fronteras de las matematicas, sinotambien es dable e importante la investigacion en cada unode los sistemas matematicos abiertos.

Dentro de este panorama, las matematicas elementales(como el caso del triangulo de Pascal) son una ciencia vivaabierta y fecunda para la investigacion; ano tras ano somostestigos de la creacion de problemas nuevos y originales enareas que incluyen teorıa de numeros, geometrıa euclidiana,matematica discreta, con diferentes niveles de dificultad ycomplejidad.En contraste, por lo general las matematicas escolaresintentan aproximarse a una parte paralizada - no muerta sinoparalizada - de esas matematicas elementales vivas, unaparte trajinada y aparentemente util, una parte programable,matematicas que puede hacer algo tan predecible que lopuede hacer con un computador con software que puedevenderse en mercados de escala.


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3. La naturaleza de las matematicas mismas.No solo se investiga en las fronteras de las matematicas, sinotambien es dable e importante la investigacion en cada unode los sistemas matematicos abiertos.Dentro de este panorama, las matematicas elementales(como el caso del triangulo de Pascal) son una ciencia vivaabierta y fecunda para la investigacion; ano tras ano somostestigos de la creacion de problemas nuevos y originales enareas que incluyen teorıa de numeros, geometrıa euclidiana,matematica discreta, con diferentes niveles de dificultad ycomplejidad.

En contraste, por lo general las matematicas escolaresintentan aproximarse a una parte paralizada - no muerta sinoparalizada - de esas matematicas elementales vivas, unaparte trajinada y aparentemente util, una parte programable,matematicas que puede hacer algo tan predecible que lopuede hacer con un computador con software que puedevenderse en mercados de escala.


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3. La naturaleza de las matematicas mismas.No solo se investiga en las fronteras de las matematicas, sinotambien es dable e importante la investigacion en cada unode los sistemas matematicos abiertos.Dentro de este panorama, las matematicas elementales(como el caso del triangulo de Pascal) son una ciencia vivaabierta y fecunda para la investigacion; ano tras ano somostestigos de la creacion de problemas nuevos y originales enareas que incluyen teorıa de numeros, geometrıa euclidiana,matematica discreta, con diferentes niveles de dificultad ycomplejidad.En contraste, por lo general las matematicas escolaresintentan aproximarse a una parte paralizada - no muerta sinoparalizada - de esas matematicas elementales vivas, unaparte trajinada y aparentemente util, una parte programable,matematicas que puede hacer algo tan predecible que lopuede hacer con un computador con software que puedevenderse en mercados de escala.


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4. Los derechos del estudiante.

Usualmente nuestros objetivos en las matematicas escolaresson bien distintos a los de proporcionar retos nuevos anuestros estudiantes.Se puede observar que en la escuela, elcolegio y la universidad buscamos llevar a nuestrosestudiantes a conocer y dominar las matematicas hechas porotros, los problemas que otros pudieron resolver, lastecnicas, las herramientas, las estrategias, los metodos queotros desarrollaron.No permite al estudiante realmente ejercer su propiopensamiento matematico, sino lo limita a observar elpensamiento de los demas e imitarlo.Varios paıses comienzan a tomar conciencia del deseo deestructurar un currıculo mas retador, como el de Singapur,que hemos mencionado; en el para se plantean al menos un25 % de problemas retadores en todas las evaluaciones dematematicas que se hacen, incluyendo los oficiales que sonsimilares a las pruebas saber.


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4. Los derechos del estudiante.Usualmente nuestros objetivos en las matematicas escolaresson bien distintos a los de proporcionar retos nuevos anuestros estudiantes.Se puede observar que en la escuela, elcolegio y la universidad buscamos llevar a nuestrosestudiantes a conocer y dominar las matematicas hechas porotros, los problemas que otros pudieron resolver, lastecnicas, las herramientas, las estrategias, los metodos queotros desarrollaron.

No permite al estudiante realmente ejercer su propiopensamiento matematico, sino lo limita a observar elpensamiento de los demas e imitarlo.Varios paıses comienzan a tomar conciencia del deseo deestructurar un currıculo mas retador, como el de Singapur,que hemos mencionado; en el para se plantean al menos un25 % de problemas retadores en todas las evaluaciones dematematicas que se hacen, incluyendo los oficiales que sonsimilares a las pruebas saber.


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4. Los derechos del estudiante.Usualmente nuestros objetivos en las matematicas escolaresson bien distintos a los de proporcionar retos nuevos anuestros estudiantes.Se puede observar que en la escuela, elcolegio y la universidad buscamos llevar a nuestrosestudiantes a conocer y dominar las matematicas hechas porotros, los problemas que otros pudieron resolver, lastecnicas, las herramientas, las estrategias, los metodos queotros desarrollaron.No permite al estudiante realmente ejercer su propiopensamiento matematico, sino lo limita a observar elpensamiento de los demas e imitarlo.

Varios paıses comienzan a tomar conciencia del deseo deestructurar un currıculo mas retador, como el de Singapur,que hemos mencionado; en el para se plantean al menos un25 % de problemas retadores en todas las evaluaciones dematematicas que se hacen, incluyendo los oficiales que sonsimilares a las pruebas saber.


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4. Los derechos del estudiante.Usualmente nuestros objetivos en las matematicas escolaresson bien distintos a los de proporcionar retos nuevos anuestros estudiantes.Se puede observar que en la escuela, elcolegio y la universidad buscamos llevar a nuestrosestudiantes a conocer y dominar las matematicas hechas porotros, los problemas que otros pudieron resolver, lastecnicas, las herramientas, las estrategias, los metodos queotros desarrollaron.No permite al estudiante realmente ejercer su propiopensamiento matematico, sino lo limita a observar elpensamiento de los demas e imitarlo.Varios paıses comienzan a tomar conciencia del deseo deestructurar un currıculo mas retador, como el de Singapur,que hemos mencionado; en el para se plantean al menos un25 % de problemas retadores en todas las evaluaciones dematematicas que se hacen, incluyendo los oficiales que sonsimilares a las pruebas saber.


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Estos retos deben calibrarse: si estan bien disenados incitantanto el desarrollo del pensamiento matematico como lacreatividad del estudiante.

¡Este ha sido nuestro proposito en esta actividad con eltriangulo de Pascal!


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Estos retos deben calibrarse: si estan bien disenados incitantanto el desarrollo del pensamiento matematico como lacreatividad del estudiante.

¡Este ha sido nuestro proposito en esta actividad con eltriangulo de Pascal!


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Parte VI

INVESTIGACION MATEMATICA

CERCANAS AL TRIANGULO DE

PASCAL


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Joaquın LunaTorresAlgunas opciones interesantes para realizar trabajos son:

I Describir todo lo hecho en el caso binomial en laspiramides para el trinomio.

I Desarrollar los hiperespacios y los coeficentespolinomiales para (a1 + a2 + · · ·+ ak)n cuando k > 3.

I Encontrar los valores y vectores propios de las matricesde Pascal y estudiar sus propiedades.

I Desarrollar las teorıas asociadas a triangulos y piramidesde Pascal en bases distintas de 10.

I Establecer relaciones entre el triangulo de Pascal, lasucesion de Fibonacci y el triangulo de Sierpinski de lageometrıa fractal


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Joaquın LunaTorres

Parte VII

Referencias bibliograficas


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Joaquın LunaTorres

L. Aceto; D. Trigiante, The Matrices of Pascal andOther Greats,The American Mathematical Monthly, Vol.108, No. 3. (Mar., 2001), pp. 232-245.

R. Aggarwala; M. P. Lamoureux, Inverting thePascal Matrix Plus One, The American MathematicalMonthly, Vol. 109, No. 4, pp. 371-377(Apr., 2002).

R. Bacher, Matrices related to the Pascal triangle,arXiv:math/0109013v2 [math.CO] 19 Oct 2001.

R. Bacher; R. Chapman, Symmetric Pascal matricesmodulo p, arXiv:math.NT/0212144 v2, 31 Jan 2003.

G. S. Call; D. J. Velleman, Pascal’s Matrices, TheAmerican Mathematical Monthly, Vol. 100, No. 4, pp.372-376 (Apr., 1993).

D. Callan, The Eigenvectors of the Right-JustifiedPascal Triangle, arXiv:math.CO/0011081 v1 13 Nov2000.


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Joaquın LunaTorres

A. Edelman; G. Strang, Pascal Matrices,Department of Mathematics, Massachusetts Institute ofTechnology.

M. E. Horn, Pascal Pyramids, Pascal Hyper-Pyramidsand a Bilateral Multinomial Theorem, University ofPotsdam Am Neuen Palais 10, D - 14469 Potsdam,Germany.

M. A. Kuhlmann, Generalizations of Pascal’sTriangle: A Construction Based Approach, MasterThesis, University of Nevada, Las Vegas (2013).

H. Walser, The Pascal Pyramid,The CollegeMathematics Journal, Vol. 31, No. 5. (Nov., 2000), pp.383-392.

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EL TRIÁNGULO DE PASCAL Y SUS APLICACIONESmatematicas.uis.edu.co/sites/default/files/paginas/archivos/triangulo... · EL TRIANGULO DE PASCAL Y SUS APLICACIONES Joaqu n Luna Torres