ELASTICIDAD

Introducción

Hasta ahora en nuestro estudio de mecánica hemos asumido que los cuerposson indeformables; esto no es cierto, aunque se justifica cuando los efectos de las deformaciones carecen de importancia. En este capítulo trataremos sobre los cambios de forma producidos en un cuerpo cuando está bajo la acción de una fuerza, esto es, en el sentido del comportamiento de los materiales bajo la acción de diversos esfuerzos, iniciándonos en la técnica del diseño.

Propiedades Mecánicas de los Materiales

Muchos materiales cuando están en servicio están sujetos a fuerzas o cargas. En tales condiciones es necesario conocer las características del material para diseñar el instrumento donde va a usarse de tal forma que los esfuerzos a los que vaya a estar sometido no sean excesivos y el material no se fracture. El comportamiento mecánico de un material es el reflejo de la relación entre su respuesta o deformación ante una fuerza o carga aplicada. Hay tres formas principales en las cuales podemos aplicar cargas: Tensión, Compresión y Cizalladura.

Alargamiento (l)

Fuerza (N)

Elasticidad

• En física e ingeniería, el término elasticidad designa la propiedad mecánica de ciertos materiales de sufrir deformaciones reversibles cuando se encuentran sujetos a la acción de fuerzas exteriores y de recuperar la forma original si estas fuerzas exteriores se eliminan.

• En muchos materiales, entre ellos los metales y los minerales, la deformación es directamente proporcional al esfuerzo. Esta relación se conoce como ley de Hooke. No obstante, si la fuerza externa supera un determinado valor, el material puede quedar deformado permanentemente, y la ley de Hooke ya no es válida.

• El máximo esfuerzo que un material puede soportar antes de quedar permanentemente deformado se denomina límite de elasticidad.

Límite de elasticidad

Es necesario tener presente los siguientes conceptos:

Esfuerzo (). Es la magnitud de la fuerza por unidad de área de la sección transversal que actúa sobre el objeto, se puede representar como Y o E, el esfuerzo es:

A

F

Unidades: aPm

N 2

Esfuerzo Normal (n) El esfuerzo

normal (esfuerzo axil o axial) es el esfuerzo interno o resultante de las tensiones perpendiculares (normales) a la sección transversal de un prisma mecánico. Este tipo de solicitación formado por tensiones paralelas está directamente asociado a la tensión normal

La figura muestra dos pedazos de la barra después de haber hecho un corte imaginario.

La fuerza se reparte en todos los puntos de la sección transversal A. Por lo tanto en cada punto de la sección transversal existe una fuerza por unidad de área a la cual se le denomina esfuerzo normal de tensión porque FA

El resultado es un cambio o estiramiento en la longitud del mismo denominado L

L = L - L0

• Si L > 0, la longitud final es mayor que la longitud inicial y es producida por fuerzas de tensión.

• Si L < 0, la longitud final es menor que la longitud inicial y es producida por fuerzas de compresión.

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Esfuerzo

Módulo de elasticidadDeformacion

Esfuerzo, tensión y módulos de elasticidad

• Esfuerzo: Es de la fuerza por unidad de árela magnitud a que causa la deformación de los cuerpos.

• Deformación: Es el cambio que sufre el cuerpo por acción del esfuerzo.• Si el esfuerzo y la deformación son pequeños, entonces serán directamente

proporcionales y la constante de proporcionalidad recibe el nombre de Módulo de elasticidad.

La deformación producida dependerá de la tensión por unidad de área transversal sobre la que se aplica la fuerza.Deformación (ε) Es el cociente entre la variación de longitud producida y la longitud inicial del cuerpo. ε = ΔL/Lo sin unidades

Si el esfuerzo aplicado sobre el cuerpo no es demasiado grande (reversible), experimentalmente se encuentra que el esfuerzo aplicado es proporcional a la deformación producida   Ley de Hooke σ = E ε  E módulo de Young (N/m2) ----- característico del material

Cuerpos perfectamente elásticos: Son aquellos que recuperan su forma original una vez que cesa el esfuerzo aplicadoCuerpos perfectamente inelásticos: Son aquellos que no recobran su forma original una vez que cesa el esfuerzo aplicado. Todo cuerpo tiene intervalos de esfuerzos donde se comporta como elástico e intervalos de esfuerzos mayores donde es inelásticoCoeficiente de seguridad: cociente entre el esfuerzo aplicado y el esfuerzo de ruptura.  S < 1 el cuerpo no se rompe  S = σ/σC

S ≥ 1 el cuerpo se rompe

a = límite de proporcionalidad (desde O – a) σ ~ ε Hookeb = límite de elasticidad (desde O – b) zona elástica a partir de b hasta d zona inelástica o plástica

d = punto de ruptura o límite de ruptura

Límite de ruptura o esfuerzo de ruptura: Es la mínima fuerza por unidad de

sección capaz de producir la ruptura del cuerpo.

Coeficiente de seguridad: es el cociente entre la fuerza máxima por unidad de

sección y el esfuerzo de ruptura.

• La fuerza neta que actúa sobre el sólido es cero, pero el objeto se deforma.

• Se define el esfuerzo como el cociente de la fuerza perpendicular al área y el área

• Unidades en el SI:– 1 pascal = 1Pa = 1 N/m2

• Unidades en el Sistema Británico:– Lb/pulg2 = 1 psi

• Conversiones– 1 psi = 6 895 Pa

FEsfuerzo de tensión

A

T

FE

A

Esfuerzo de Tensión

• Debido a la acción de la fuerza el sólido sufre una deformación l-l0

• Definimos la deformación por tensión

• La deformación por tensión es el estiramiento por unidad de longitud y es una cantidad adimensional.

• Experimentalmente se comprueba que si el esfuerzo de tensión es pequeño, entonces el esfuerzo y la deformación son proporcionales, y la constante de proporcionalidad se denomina Módulo de Young

0

0

l - lDeformacion por tensión

l

0T

0 0

l - l lD

l l

Esfuerzo de Tensión

T 0

T 0

E F / A F lY

D l / l A l

Esfuerzo de Compresión

• Si las fuerzas empujan en lugar de tirar en los extremos del sólido, el cuerpo se contraerá y el esfuerzo es un esfuerzo de compresión, y la deformación producida será por compresión.

• El módulo de Young para muchos materiales tienen el mismo valor para esfuerzos de tensión y compresión; los materiales compuestos como el hormigón y concreto son una excepción

C 0

C 0

E F / A F lY

D l / l A l

Esfuerzo = 1,8 x 108 PaDeformación = 9,0 x 10 – 4

Alargamiento = 1,8 x 10 – 3 = 1, 8 mm

• Un cable de acero de 2,0 m de longitud tiene un área transversal de 0,30 cm2. El cable se cuelga por un extremo de una estructura de soporte y después un torno de 550 kg se cuelga del extremo inferior del cable, determine el esfuerzo, la deformación, y alargamiento del cable.

Esfuerzo y deformación de tensión y compresión

Fp

A

Presión en el fluido

Esfuerzo y tensión por volumen

• Si un objeto se sumerge en un fluido (liquido o gas) en reposo, el fluido ejerce una fuerza sobre todas las partes de la superficie del objeto. Esta fuerza es perpendicular a la superficie. La fuerza por unidad de área que el fluido ejerce sobre la superficie de un objeto sumergido es la presión p en el fluido.

• La presión dentro de un fluido aumenta con la profundidad, pero si el objeto sumergido es suficientemente pequeño, podremos asumir que la presión tiene el mismo valor para todos los puntos en la superficie del objeto.

• La presión desempeña el papel del esfuerzo en un cambio de volumen. La deformación correspondiente es el cambio fraccionario del volumen.

Esfuerzo y deformación por Volumen

• Experimentalmente se comprueba que si el esfuerzo de volumen es pequeño entonces el esfuerzo y la deformación son proporcionales, y la constante de proporcionalidad se denomina Módulo de volumen B.

• En el caso de cambios de presión pequeños en un sólido o un liquido, consideramos B constante. El módulo de volumen de un gas, sin embargo depende de la presión inicial p0

0

Deformación de volumen V

VD

V

V

VD

V

0/

pB

V V

Módulos de Elasticidad de algunos materiales

MATERIAL Módulo de Young (E) (N/m2)

Módulo de rigidez (G) (N/m2)

Módulo de compresibilidad (B)

(N/m2)

Carga de rotura por tracción.

(N/m2)

Carga de rotura por tracción. (N/mm2)

Acero 1,96 *1011 7,84 *1010 1,56 *1011 1,47 *109 1470

Aluminio 6,86 *1010 2,45 *1010 6,86 *1010 - -

Cobre 11,76 *1010 3,92 *1010 1,17 *1011 2,94 *108 294

Hierro fundido 8,82 *1010 - 9,4 *1010 3,92 *108 392

Plomo 1,47 *1010 4,9 *109 7,8 *109 19,6 *106 19,6

Plata 7,84 *1010 2,94 *1010 - 1,96 *107 196

Oro 8,04 *1010 2,94 *1010 - 1,47 *108 147

Agua - - 1,96 *109 - -

Glicerina - - 4,4 *109 - -

Mercurio - - 2,54 *1010 - -

Coeficiente de Poisson ()El coeficiente de Poisson (denotado mediante la letra griega u ) es una constante elástica que proporciona una medida del estrechamiento de sección de un prisma de material elástico lineal e isótropo cuando se estira longitudinalmente y se adelgaza en las direcciones perpendiculares a la de estiramiento.

0L

L

R

R

m es el coeficiente de Poisson que es una cantidad adimensional, que depende del material, se utiliza para hallar cambio de volumen ,debido al estiramiento o disminución de la longitud.

R/R disminución característica de la sección trasversal por ejemplo el caso de una sección circular.

El signo ( – ) significa que cuando L aumenta la sección transversal disminuye. En los metales esta entre 0.25 y 0.45.

• El coeficiente de Poisson y es una cantidad adimensional. • El signo negativo indica la disminución de las dimensiones laterales cuando aumenta

la longitud del cuerpo.• El módulo de Young (E) como el de Poisson (P) dependen de la naturaleza del material

con que está hecho el cuerpo. • El área transversal del cuerpo se modifica al realizar sobre ella un esfuerzo de tracción

o compresión.• Esfuerzo de tracción disminución del área transversal.• Esfuerzo de compresión aumento del área transversal.Relación entre esfuerzo Normal n y deformación Unitaria

n = Y

U es una constante de proporcionalidad entre el esfuerzo normal y la deformación unitaria. A esta relación lineal se le llama Ley de Hooke, donde:

Y es el modulo de Young que mide la resistencia de un sólido a un cambio en su longitud ya sea por fuerza de tensión o fuerza de compresión, su unidad es la misma que la de esfuerzo.

0

,L

L

A

Fn

2mN

Relación entre Modulo de Young y Coeficiente de Poisson

)21(0

A

F

V

V

La siguiente figura muestra el grafico experimental de esfuerzo vs deformación unitaria ( vs ) para un sólido elástico. El Modulo de Young es la pendiente del segmento OA.

Punto A: Limite de Linealidad (desde 0 – A) Hooke

Punto B: Limite de Elasticidad (desde 0 – B)Zona elástica

Punto C: Punto de ruptura.

• Limite de Proporcionalidad es el máximo valor de esfuerzo que el sólido puede soportar para que el esfuerzo aplicado y la deformación producida sean proporcionales.

• Limite de Elasticidad es el máximo esfuerzo que el sólido puede soportar comportándose como elástico. Partir de dicho valor las deformaciones son permanentes y el cuerpo tiene comportamiento plástico.

• Esfuerzo de Ruptura es el mínimo esfuerzo capaz de producir la ruptura del cuerpo.

En la figura, se ilustra el comportamiento típico de esfuerzo - deformación unitaria de un material como el caucho. El esfuerzo no es proporcional a la deformación unitaria (curva de color rojo), sin embargo, la sustancia es elástica en el sentido que si se suprime la fuerza sobre el material, el caucho recupera su longitud inicial. Al disminuir el esfuerzo la curva de retorno (en color azul) no es recorrida en sentido contrario.

La falta de coincidencia de las curvas de aumento y disminución del esfuerzo se denomina histéresis elástica. Puede apreciarse que el área encerrada por ambas curvas es proporcional a la energía disipada en el interior del material elástico. La gran histéresis elástica de algunas gomas las hace especialmente apropiadas para absorber las vibraciones.

Energía Potencial elástica que almacena un cuerpo sometido a deformaciónEn un resorte estirado una distancia x su energía potencial elástica es:

2

21

KxU

0L

L

A

F L

L

AF

0

0LA

2

021

LLA

U

LL

LA

02

1

LFU 21

Donde F = Kx obedece a la Ley de HookeSi un abarra esta estirada en L, la fuerza F que lo estira viene dada por:

de donde

Siendo la constante elástica K en términos de modulo de Young.

=

Entonces

La energía elástica que almacena la barra es:

También se puede considerar esfuerzos para punto situados en secciones no transversales como se muestra en la figura 5.

En este caso existen dos clases de esfuerzo Esfuerzo normal ´A

Fnn

Esfuerzo Tangencial´A

Ftt

Donde Fn y Ft son

Fn= F cos

Ft = F sen

Fig. 6

AA

A cos

´

Esfuerzos de Ruptura

Material De tensión (x108Pa) De compresión (x108Pa) De corte(x108Pa)

Aluminio 2,0 2,0 2,0

Latón 2,5 2,5 3,0

Acero 5,0 5,0 2,5

Relación entre el Modulo Volumétrico y Coeficiente de Poisson

)21(3

Para cambios de presión pequeños en sólidos o un líquido, consideremos que es constante. El volumen de un gas, sin embargo, depende de la presión inicial p0. La Tabla da valores del modulo de volumen de varios sólidos. Sus unidades, fuerza por unidad de área son las mismas que de la presión (y las del esfuerzo de tensión o compresión).

• La fuerzas de igual magnitud pero dirección opuesta actúan de forma tangente a las superficies de extremos opuestos del objeto. Produciéndole una deformación.

• Se define el esfuerzo de corte como la fuerza paralela que actúa tangente a la superficie , dividida entre el área sobre la que actúa:

• EC también es una fuerza por unidad de área

Esfuerzo y tensión de corte

/ /C

FE

A

/ /FEsfuerzo de corte

A

Esfuerzo de corte

• Una cara del objeto sometido a esfuerzo de corte se desplaza una distancia x relativa a la cara opuesta. Se define la deformación de corte como el cociente del desplazamiento x entre la dimensión transversal h:

• Si el esfuerzo de corte es pequeño entonces el esfuerzo y la deformación son proporciónales y la constante de proporcionalidad se denomina Módulo de corte S

/ / / /F / A F hS

x / h A x

C

xD

h

• Suponga que el objeto es la placa base de latón de una escultura exterior que experimenta fuerzas de corte causadas por un terremoto. La placa cuadrada mide 0,80 m por lado y tiene un espesor de 0,50 cm. ¿Qué fuerza debe ejercerse en cada borde si el desplazamiento x es 0,16 mm?

Respuesta: 7,2 x 108 N

Esfuerzo de corteProblemaEn un laboratorio de prueba de materiales, se determina que un alambre metálico hecho con una nueva aleación se rompe cuando se aplica una fuerza de tensión de 90,8 N perpendicular a cada extremo. Si el diámetro del alambre es de 1,84 mm, ¿cuál es el esfuerzo de rotura de la aleación?

Solución

3 2

(90,8N)

(0,92 10 m)

FA

73,4 10 PaF

A

Material S (Pa)

Aluminio 2,5 x 1010

Latón 3,5 x 1010

Cobre 4,4 x 1010

Hierro 7,7 x 1010

Plomo 0,6 x 1010

Níquel 7,8 x 1010

Acero 7,5 x 1010

Ejercicio• Un alambre recto de acero de 4,00 m de

longitud tiene una sección transversal de 0,00050 m2 , y un límite proporcional igual a 0,0016 veces su módulo de Young. El esfuerzo de rotura tiene un valor igual a 0,0065 veces su módulo de Young. El alambre está sujeto por arriba y cuelga verticalmente: a) ¿Qué peso puede colgarse del alambre sin exceder el límite proporcional? b) ¿Cuánto se estira el alambre con esta carga? c) ¿Qué peso máximo puede soportar?

• Solución• L = 4,00 m• A = 0,050 m2

• Límite proporcional 0,0016 x 20 x 1010 Pa» 3,2 x 108 Pa

• Esfuerzo de rotura 0,0065 x 20 x 1010 Pa» 1,3 x 109 Pa

• Solución (a)• El peso que se debe colocar es:

• Se estira aproximadamente

• (c) el peso máximo que puede soportar es:

10 2 7(3,2 10 Pa)(0,00050m ) 1,6 10 N

oFLl

A

73

10

1,6 10 4,00l m 6,4 10 m

0,050 20 10

10 2 5(0,0065)(20 10 Pa)(0,00050m ) 6,5 10 N