Electrical Network Analysiseestaff.kku.ac.th/~jamebond/182304/Harmonics.pdf · การแปลงของฟรเยร (Fourier transform) เราสามารถวเคราะหเชงความถ

1

Electrical Network Analysis

Surachai Limyingcharoen

Harmonic analysis: review of Fourier analysis, basic terms and definitions, harmonic indices, source of harmonics, circuit models and harmonic impedance, applications of Fourier series to steady-state non-sinusoidal circuits

Copyright 2010: Surachai Limyingcharoen

2

Contents


Harmonic analysis● Review of Fourier analysis● Basic terms and definitions● Harmonic indices● Source of harmonics● Circuit models and harmonic impedance● Applications of Fourier series to steady-state non-

sinusoidal circuits

IEEE Power Engineering Society (1998): Tutorial on harmonics modeling and simulation, TP-125-0

3

ทบทวนการว�เคราะห เช�งฟ�ร�เยร (Review of Fourier analysis)


อน�กรมฟ�ร�เยร (Fourier series)

ฟ�งก ช�นซ��าคาบ (Periodic functions) หร�อส�ญญาณซ��าคาบ (Periodic signals) ม ค�ณสมบ�ต�

เม�"อ T เป$นค%าคงท "ค%าท "เล'กท "ส�ดเร ยกว%าคาบเวลา (Period) ท "ท�าให*:

f t = f tT

f t = f tk T ; k=0,±1,±2,⋯

4



เรากระจายฟ�งก ช�นซ��าคาบ f(t) ท "ม คาบเวลา T ออกเป$นอน�กรมฟ�ร�เยร แบบตร โกณม�ต�(Trigonometric Fourier series)

ค%าส�มประส�ทธ ฟ�ร�เยร (Fourier coefficients, Euler coefficients) ม ส�ตรเป$น

a0=2T ∫−T /2

T /2

f t d t

ak=2T ∫−T /2

T /2

f t cosk 0 t d t , k=1,2,3,⋯

bk=2T ∫−T /2

T /2

f t sin k0 t d t , k=1,2,3,⋯

f t =a0

2∑

k=1

∞

[ak cosk0 t bk sin k0 t] , 0=2T

5



อน�กรมฟ�ร�เยร แบบตร โกณม�ต�(Trigonometric Fourier series) ในร�ปแบบอ�"นๆ

หร�ออน�กรมฟ�ร�เยร แบบเช�งซ*อน(Complex Fourier series)

f t=c0∑k=1

∞

[ck cosk0 t−k ]=c0∑k=1

∞

[ck sin k0 tk ]

c0=a0

2, ck=ak2bk2 , k=tan−1 bkak , k=tan−1 akbk =2−k

f t =∑k=−∞

∞

C k ej k0 t

C k=1T ∫−T / 2

T /2

f t e− j k0 t dt , k=0,±1,±2,⋯

6



การกระจายส�ญญาณซ��าคาบออกเป$นอน�กรมฟ�ร�เยร ถ�อได*ว%าเป$นการแยกส�ญญาณน��นๆออกเป$นองค ประกอบท "ประกอบด*วยค%าเฉล "ยและองค ประกอบท "ความถ "ต%างๆ

● a0/2, c0 หร�อ C0 ค�อค%าเฉล "ย (หร�อ DC component)

● a1 & b1, c1 & θ1 หร�อ C1 & C-1 ค�อองค ประกอบความถ "ม�ลฐาน (Fundamental frequency component)

● a2 & b2, c2 & θ2 หร�อ C2 & C-2 ค�อองค ประกอบความถ "ฮาร โมน�กท "สอง (Second harmonic)

● a3 & b3, c3 & θ3 หร�อ C3 & C-3 ค�อองค ประกอบความถ "ฮาร โมน�กท "สาม (Third harmonic)

● - - - -

7



Even functions:

Odd functions:

Half-wave (odd) symmetry:

f t = f −t f t =a0

2∑

k=1

∞

ak cosk0 t , bk=0, k=1,2,3,⋯

f t =− f −t f t =∑k=1

∞

bk sin k0 t , ak=0, k=0,1,2,3,⋯

f t =− f t±T2 f t = ∑

k=1,3,5,⋯

∞

[ak cosk0 t bk sin k0 t ] ak=bk=0, k=0,2,4,⋯ ,even integers

8



Square wave (odd function):

f t = f tT ={ A , 0tT /2−A , T /2tT

f t =4 A ∑

k=1,3,5⋯

∞ sin k0 t k

=4 A[sin0 t

13

sin 30 t 15

sin 50 t ⋯]

0=2T

9



Square wave (even function):

f t = f tT ={ A , −T /4tT /4−A , −T /2t−T /4,T /4tT /2

f t =4 A[cos0 t−

13

cos30 t 15

cos50 t −17

cos70 t 19

cos90 t ⋯]

0=2T

10



Full-wave rectified signal:

f t = f tT =A∣sin 0

2t ∣, 0=

2T

f t =4 A[ 12−1

3cos0 t−

115

cos20 t −1

35cos30 t −

163

cos40 t −⋯]

= 4 A [12−∑k=1

∞ 14 k 2−1

cosk0 t ]

11



Full-wave rectified signal (w.r.t. AC frequency):

f t = f tT =A∣sin 0 t ∣, 0=2T

f t =4 A[ 12−1

3cos20 t −

115

cos40 t −1

35cos60 t −

163

cos80 t −⋯]

= 4 A [12−∑k=1

∞ 14 k 2−1

cos2 k 0 t ] : even harmonics w.r.t. AC frequency

12



การแปลงของฟ�ร�เยร (Fourier transform)

เราสามารถว�เคราะห เช�งความถ "ของฟ�งก ช�นไม%ซ��าคาบ (Non-periodic functions, Aperiodic functions), f(t), โดยใช* Fourier transform pair:

F =∫−∞

∞

f t e− j t dt

f t = 12∫−∞

∞

F e j t d

13



Discrete Fourier transform (DFT)

ในกรณ ท "เราม ช�ดของค%าส�%มจากส�ญญาณซ��าคาบ (Sample set of periodic signal) องค ประกอบเช�งความถ "ก'จะม ล�กษณะเป$นค%าส�%มของความถ "ท "ซ��าคาบเช�งความถ " เราสามารถใช*การว�เคราะห โดย Discrete Fourier transform (DFT):

F ks=∑n=0

N−1

f nT se− j ksnT s or F k=∑

n=0

N−1

f n e− j 2k n/N

f nT s=∑k=0

N−1

F ksej ksnT s or f n=∑

k=0

N−1

F k ej 2 k n /N

s=2T s

f s=s

2= 1T s

: sampling frequency

14



ในป�จจ�บ�นการค�านวณ Discrete Fourier transform (DFT) สามารถท�าได*โดยใช*โปรแกรมคอมพ�วเตอร จ�าพวก Fast Fourier transform (FFT) อย%างสะดวก

กระบวนการส�%ม (Sampling) และการจ�าก�ดจ�านวณของค%าท "ส�%มจากส�ญญาณด��งเด�ม ม ผลต%อการใช* DFT ใน Harmonic analysis ด�งน��นเราจ:งต*องค�าน:งถ:ง Aliasing และ ผลของ Sampling window ด*วย เน��อหาด�งกล%าวอย�%นอกเหน�อขอบเขตของว�ชาน � ผ�*สนใจอาจศ:กษาจากต�าราทาง Signal processing หร�อ Signals and systems

R E Ziemer, W H Tranter & D R Fannin (1993): Signals and systems: continuous and discrete, Macmillan

D Brook & R J Wynne (1988): Signal processing: principles and applications, Edward Arnold

15

ค�าศ�พท เก "ยวก�บฮาร โมน�กส


ฮาร โมน�กส (Harmonics)

ฮาร โมน�กค�อส%วนประกอบท "ม ร�ปคล�"นเป$น Sinusoidal ท "ความถ "หน:"งๆของส�ญญาณซ��าคาบ (Periodic signal) โดยท "ความถ "น��นม ค%าเป$นจ�านวนเท%า (ผลค�ณของเลขจ�านวนเต'ม) ของความถ "พ��นฐาน (Fundamental frequency)

ถ*าความถ "พ��นฐาน (Fundamental frequency) เป$น f0 เราจะม ฮาร โมน�กท " n ค�อส�ญญาณ Sinusoidal ท "ม ความถ "เป$น nf0 เม�"อ n=2, 3, 4, …

การแยกส�ญญาณ Sinusoidal ท "ร�ปคล�"นเพ �ยนไปออกเป$นส%วนประกอบความถ "พ��นฐานและฮาร โมน�กส เราท�าโดยการกระจายร�ปคล�"นท "เพ �ยนไปอน�กรมฟ�ร�เยร (Fourier series expansion) (กล�บไปด�หน*า 3-6)

16



เราอน�โลมเร ยกฮาร โมน�กส ท "ความถ "ม ค%าไม%เป$นจ�านวนเท%า (เป$นผลค�ณของเลขม ทศน�ยม) ของความถ "พ��นฐานว%า Interharmonics

และเราเร ยกฮาร โมน�กส ท "ความถ "ม ค%าต"�ากว%าความถ "พ��นฐานว%า Subharmonics

Triplens ค�อฮาร โมน�กส ท "ความถ "ม ค%าเป$นจ�านวนเท%าของสาม (3n: n เป$นเลขจ�านวนเต'ม) ของ Fundamental frequency ศ�พท น �ได*มาจากการผสมค�า Triple-n แล*วเต�ม s ให*เป$นพห�พจน

17



อ�ปกรณ ไฟฟ<าบางประเภท เม�"อท�างานเป$นปกต� จะท�าให*ส�ญญาณเพ �ยนไปท "ม ร�ปแบบเฉพาะ ซ:"งส�ญญาณน��นๆจะม เฉพาะฮาร โมน�กส เพ ยงบางกล�%มความถ "เท%าน��น เราเร ยกกล�%มฮาร โมน�กส ความถ "เฉพาะค%าเหล%าน��นว%า Characteristic harmonics

เม�"ออ�ปกรณ น��นท�างานผ�ดปกต�ก'จะผล�ตฮาร โมน�กส ท "ความถ "นอกเหน�อจาก Characteristic harmonics ออกมาเพ�"มด*วย เราเร ยกกล�%มฮาร โมน�กส ท "ความถ "นอกเหน�อจาก Characteristic harmonics ว%า Non-characteristic harmonics

18



กระแส แรงด�น และก�าล�ง เม�"อร�ปส�ญญาณไม%เป$น Sinusoidal

เม�"อม ฮาร โมน�กส มาเก "ยวข*อง (ร�ปส�ญญาณเพ �ยนไปจาก Sinusoidal) และวงจรไฟฟ<าอย�%ใน Steady state เรากระจายแรงด�นและกระแสโดยใช*อน�กรมฟ�ร�เยร :

เราสมมต�ว%าวงจรไม%ม ส%วนท "เป$นแรงด�นตรงและกระแสตรงในการกระจายอน�กรมฟ�ร�เยร ข*างต*น

v t =∑k=1

∞

v k t =∑k=1

∞

2V k sin k0 tk

i t =∑k=1

∞

ik t =∑k=1

∞

2 I k sin k0 tk

V k , I k : rms values of k th harmonic voltage and current, respectively.

19



Root-mean-square (RMS, rms) values ของแรงด�นและกระแส ค�อ

Multimeters ท "ใช*ก�นแพร%หลายน��น จะม บางร�%นท "สามารถว�ดค%า RMS แท*จร�ง (True RMS) ของแรงด�นและกระแสท "เพ �ยนจาก Sinusoidal ได* บางร�%นสามารถว�ดค%า RMS ได*ถ�กต*องเฉพาะแรงด�นหร�อกระแสแบบ Sinusoidal ท "ความถ "ก�าล�ง (50Hz หร�อ 60Hz) แต%เม�"อส�ญญาณเพ �ยนไปจาก Sinusoidal ก'จะให*ค%าว�ดท "ผ�ดพลาดส�ง

V rms= 1T∫0

T

v2t dt= 1T∫0

T

∑k=1

∞

v k t ∑n=1

∞

vnt dt=∑k=1

∞

V k2

I rms= 1T∫0

T

i2t dt= 1T∫0

T

∑k=1

∞

i k t ∑n=1

∞

i ntdt=∑k=1

∞

I k2

20



Instantaneous power ค�อ

p t =v t i t =∑k=1

∞

v k t ∑n=1

∞

i nt

=∑k=1

∞

2V k sin k0 tk ∑n=1

∞

2 I nsin n0 tn

=∑k=1

∞

∑n=1

∞

2V k I nsin k0 tk sin n0 tn

=∑k=1

∞

∑n=1

∞

V k I n {cos [k−n0 tk−n]−cos[kn0 tkn]}

21



Average power (active power, real power) ค�อ

Reactive power ค�อ

Apparent power ค�อ

D เป$น Distortion voltamperes จากผลค�ณแรงด�นก�บกระแสท "ต%างความถ "ก�น

P= 1T∫0

T

p t dt=∑k=1

∞

V k I k cosk−k=∑k=1

∞

Pk

Pk=V k I k cosk−k = average power of k th harmonic

Q=∑k=1

∞

V k I k sin k−k

S=V rms I rmsS 2=P2Q2D2

22



Power factor ม น�ยามเป$น

p. f.= PS

23

ด�ชน ช �ว�ดฮาร โมน�กส (Harmonic indices)


Total harmonic distortion (THD)

Total harmonic distortion (THD) ค�ออ�ตราส%วนของค%า RMS ของฮาร โมน�กส ท��งหมดต%อค%า RMS ของส%วนท "เป$น Fundamental frequency

เราม�กพบข*อก�าหนด THD ในการบ%งบอกค�ณภาพของช�ดเคร�"องขยายเส ยง หร�อเป$นข*อก�าหนดอ�ปกรณ ท "สามารถส%งส�ญญาณรบกวน

ส�าหร�บ Harmonic distortion ของแต%ละความถ "ค�อ

THDV=∑k=2

∞

V k2

V 1or THDI=

∑k=2

∞

I k2

I 1

HDV k=V k

V 1or HD I k=

I kI 1

24



Telephone influence factor (TIF)

Telephone influence factor (TIF) ใช*บ%งบอกระด�บเส ยงรบกวนโทรศ�พท ท "เก�ดจากฮาร โมน�กส โดยค�าน:งถ:งความแตกต%างของความไวของการได*ย�นของห�มน�ษย ท "ความถ "ต%างๆ และค�าน:งถ:งความแตกต%างของความไวของการเหน "ยวน�าส�ญญาณท "ความถ "ต%างๆด*วย

wk เป$นค%าน��าหน�กถ%วงท "สะท*อนถ:งผลทางการได*ย�นและการเหน "ยวน�าท "ฮาร โมน�กอ�นด�บท " k

TIFV=∑k=1

∞

wkV k 2

V rmsor TIF I=

∑k=1

∞

wk I k 2

I rms

25



C-message weighted index

C-message weighted index คล*ายก�บ Telephone influence factor (TIF) ต%างก�นท "ใช*ต�วค�ณน��าหน�ก ck แทน wk โดยท "ต�วค�ณน��าหน�ก ck หาได*จากการทดสอบความหง�ดหง�ดจากการฟ�งเส ยงพ�ดท "ถ�กคล�"นท "ความถ " f รบกวนผ%านเคร�"องโทรศ�พท ชน�ด 500

CV=∑k=1

∞

ckV k 2

V rmsor C I=

∑k=1

∞

ck I k 2

I rmswk=5ck f k

f k : frequency of k th -order harmonic

26



Transformer K-factor

Transformer K-factor เป$นต�วค�ณส�าหร�บใช*ในการค�านวณเพ�"อลดพ�ก�ดใช*งานของหม*อแปลงไฟฟ<าก�าล�งมาตรฐานเม�"อน�าไปใช*ในงานท "ต*องร�บภาระกระแสท "ม ฮาร โมน�กส ด*วย

K-factor เป$นการค�าน:งถ:ง Eddy-current loss ท "เป$นส�ดส%วนก�บก�าล�งสองของความถ "ฮาร โมน�กและก�าล�งสองของขนาดของกระแสฮาร โมน�ก

K=∑k=1

∞

k 2 I kI 1 2

∑k=1

∞ I kI 1 2

27



นอกจากด�ชน ช �ว�ดฮาร โมน�กส ท "ยกต�วอย%างข*างต*นแล*ว ย�งม ด�ชน ช �ว�ดฮาร โมน�กส อ�"นๆอ ก ซ:"งในงานว�ศวกรรมไฟฟ<าแต%ละด*านก'จะม การเล�อกก�าหนดเง�"อนไขต�วช �ว�ดฮาร โมน�กส ท "ม ผลกระทบส�าค�ญต%องานน��นๆ เม�"อน�กศ:กษาจบหล�กส�ตรเป$นบ�ณฑ�ตออกไปท�างาน ก'อาจจะต*องศ:กษาเพ�"มเต�มจากต�าราและมาตรฐานท "เก "ยวข*อง หร�อปร:กษาผ�*เช "ยวชาญในด*านน��นๆ

28

แหล%งก�าเน�ดฮาร โมน�กส (Source of harmonics)



ฮาร โมน�กส ม แหล%งก�าเน�ดท "ส�าค�ญ 2 ประเภทค�อ● อ�ปกรณ ท "ท�างานด*วยสว�ตช อ�เล'กตรอน�กส ซ:"งค�อการผสมความถ "

ไฟฟ<าสล�บก�บความถ "ของส�ญญาณท "ควบค�มการป?ดเป?ดของสว�ตช ● อ�ปกรณ ท "ม ความส�มพ�นธ ระหว%างกระแสก�บแรงด�น (หร�อกระแสก�บ

เส*นแรงแม%เหล'ก หร�อประจ�ไฟฟ<าก�บแรงด�น) ไม%เป$นเช�งเส*น

29



แหล%งก�าเน�ดฮาร โมน�กส ท "ส�าค�ญในระบบไฟฟ<าได*แก% Adjustable-speed motor drives (การควบค�มความเร'วมอเตอร ในอ�ตสาหกรรม รถไฟฟ<าขนส%งมวลชน) AC/DC and DC/AC power converters (แหล%งจ%ายตรงส�าหร�บคอมพ�วเตอร และเคร�"องใช*อ�เล'กตรอน�กส ในบ*านและส�าน�กงาน Uninterruptible power supplies ระบบไฟฟ<ากระแสตรงแรงด�นส�ง) Arc furnaces and other nonlinear loads (เคร�"องเช�"อมไฟฟ<า โรงงานถล�งแร%อล�ม�เน ยม หลอดฟล�ออเรสเซนต ) การอ�"มต�วของหม*อแปลงไฟฟ<าหร�ออ�ปกรณ ท "ท�างานโดยอาศ�ยแกนส�"อแม%เหล'ก เคร�"องปร�บความสว%างของดวงโคม (Electronic light dimmer) บ�ลลาสต อ�เล'กตรอน�กส ซ:"งในป�จจ�บ�นม การต�ดต��งใช*งานอ�ปกรณ ด�งกล%าวในระบบไฟฟ<าอย%างกว*างขวาง จ:งท�าให*ป�ญหา Harmonics ม ความส�าค�ญ

30



ป�ญหาท "เก�ดจาก Harmonics ท "ส�าค�ญได*แก%

การรบกวนระบบส�"อสารโทรคมนาคม (Telecommunication interference) Harmonics ท "ความถ "ส�งสามารถเคล�"อนท "และเหน "ยวน�า หร�อแผ%กระจายคล�"น เข*าไปส�%อ�ปกรณ โทรคมนาคมได* ซ:"งอาจม ผลให*เก�ดการท�างานผ�ดพลาดของอ�ปกรณ และ/หร�อเป$นผลให*ค�ณภาพด*านความถ�กต*องของข*อม�ลลดลง อ�ปกรณ ท "ผล�ตกระแสหร�อแรงด�นฮาร โมน�กส จะต*องม วงจรหร�ออ�ปกรณ ลดทอนหร�อป<องก�นการรบกวนระบบอ�"น ซ:"งต*องเป$นไปตามมาตรฐานท "ควบค�มรายละเอ ยดทางด*านน �

(J Arrillaga & N R Watson (2003): Power system harmonics, Chapter 4, pp.143-189)

31



การกระต�*นให*เก�ด Harmonic resonances ในระบบไฟฟ<าก�าล�ง ซ:"งสามารถสร*างแรงด�นส�งท "ความถ "ฮาร โมน�กส ได* ซ:"งอาจสร*างความเส ยหายให*แก%อ�ปกรณ ของผ�*ใช*ไฟฟ<า หร�อความเส ยหายและการท�างานผ�ดพลาดของอ�ปกรณ ควบค�มระบบไฟฟ<าเอง

การผ�ดเพ �ยนของร�ปคล�"นแรงด�นและกระแสในระบบไฟฟ<าก�าล�ง (ซ:"งเป$นได*ท��งต*นเหต�และผลล�พธ ของฮาร โมน�กส ) อาจท�าให*เก�ดการผ�ดพลาดในการท�างานของอ�ปกรณ ท "อาศ�ยสมมต�ฐานการเป$น Sinusoidal ของกระแสหร�อแรงด�น หร�ออ�ปกรณ ท "ก�าหนดจ�งหวะเวลาโดยอาศ�ย Zero-crossings ของกระแสหร�อแรงด�นของระบบไฟฟ<า

การส�ญเส ยก�าล�งไฟฟ<าท "ความถ "ฮาร โมน�กส ท�าให*ก�าล�งส�ญเส ยรวมเพ�"มข:�น ประส�ทธ�ภาพเช�งพล�งงานจะลดลง ขนาดของอ�ปกรณ ก'จะโตข:�น เราก'ต*องต�ดต��งอ�ปกรณ ระบายความร*อนท "ใหญ%โตข:�น

32



การส�"นต�วของอ�ปกรณ และการเก�ดเส ยงรบกวนท "เพ�"มข:�น จากผลของแรงและ Torque ในความถ "ฮาร โมน�กส และอาจพ�ฒนาไปเป$นป�ญหาใหญ%เม�"อเก�ด Resonance ทางกลศาสตร ด*วย อาจต*องเพ�"มอ�ปกรณ ลดการส�"นต�วและลดเส ยงรบกวน

กระแสฮาร โมน�กส ท "ม อ�นด�บเป$นจ�านวนเท%าของสาม (3×n-triplens) จะไหลในสายน�วตร�ลและสายด�นโดยไม%ห�กล*างก�นแต%เสร�มค%าก�น ท�าให*เก�ดแรงด�นฮาร โมน�กส เก�นคาดหมายท "จ�ดน�วตร�ลของระบบ โดยเฉพาะเม�"อจ�ดต%อลงด�นม ความต*านทานส�ง หร�อสายน�วตร�ลม ขนาดเล'ก (และถ*าว�ดด*วยม�เตอร ท "ไม%สามารถว�ด True RMS ได* ก'จะตรวจว�ดไม%พบความผ�ดปกต�)

33



เราใช*ระบบไฟฟ<าสล�บท "ม โหลดไฟฟ<าสล�บต%ออย�% แสดงต�วอย%างการเพ �ยนของร�ปส�ญญาณแรงด�นในระบบไฟฟ<าสล�บอ�นเน�"องมาจาก การจ%ายก�าล�งส�% AC/DC rectifier and filter ท "จ%ายก�าล�งให*ก�บโหลดไฟฟ<ากระแสตรง ระบบด�งกล%าวได*แสดงไว*ด�งร�ป

34



เราแทนระบบไฟฟ<าสล�บด*วยวงจรสมม�ล Thevenin และแทน AC/DC rectifier and filter ด�งร�ปโดยถ�อว%า Diodes ม Ideal characteristic

35



เราท�า Digital simulations ของวงจรสมม�ลด�งกล%าวโดยอาศ�ย State-space models ซ:"งได*ผลล�พธ ร�ปส�ญญาณแรงด�นและกระแสทางฝ�Bงไฟฟ<าสล�บท "เพ �ยนไปจาก Sinusoidal ด�งร�ป

(ไฟล ท "ใช*ว�เคราะห ค�อ MatlabR m-file: HarmonicsAnalysis2.m)

36


37

Fourier series applications to harmonic analysis


เม�"อเก�ดการเพ �ยนของกระแสไปจากส�ญญาณ Sinusoidal ในหลายๆกรณ เราสามารถถ�อได*ว%าส%วนของกระแสท "เบ "ยงเบนไปจากร�ปส�ญญาณ Sinusoidal เป$นต�วการท "จ%ายกระแสฮาร โมน�กส เข*าส�%วงจรไฟฟ<า และเราสามารถใช* Fourier series กระจายกระแสออกเป$น Fundamental component และ Harmonic components จากน��นเราว�เคราะห ผลตอบสนองของวงจรต%อกระแสฮาร โมน�กส ท ละความถ " แยกจากก�น แล*วเราอาจน�าผลตอบสนองต%อฮาร โมน�กส เหล%าน��นมารวมก�นโดย Superposition principle เพ�"อด�ล�กษณะร�ปส�ญญาณได* หากม ความต*องการ

38



เราจะสาธ�ตการว�เคราะห ฮาร โมน�กโดยอาศ�ยต�วอย%างระบบไฟฟ<าสล�บท "ต%อก�บ Rectifier ของระบบไฟฟ<ากระแสตรง และเพ�"อให*สะดวกก�บการว�เคราะห และอธ�บาย เราให*ระบบไฟฟ<าสล�บเป$นระบบเฟสเด ยว Thyristor switches ม ค�ณสมบ�ต�เป$น Ideal switches และ DC inductor ม ความเหน "ยวน�าส�งมาก จนถ�อได*ว%ากระแสตรงม ค%าคงท "

39



เราเข ยนแบบจ�าลองทางคณ�ตศาสตร ของวงจรสมม�ลและท�า Digital simulation (MatlabR m-file: OnePhaseHVDCsim1.m) และได*ร�ปส�ญญาณแรงด�นและกระแสด�งแสดงในหน*าถ�ดไป

น�กศ:กษาอาจใช*โปรแกรมส�าเร'จร�ป TINAR หร�อ pSPICER ว�เคราะห วงจรด�งกล%าวได*เช%นเด ยวก�น

40


41



เราจะส�งเกตได*ว%า กระแสจากฝ�Bงระบบไฟฟ<าสล�บท "ไหลเข*าส�% Converter bridge ม ร�ปคล�"นเก�อบจะเป$น Square wave ซ:"งในกรณ ของ Square wave เราสามารถกระจาย Fourier series ได*อย%างสะดวกได*เป$น

iConv t =iConv tT 0={ IDC 0tT 0

2

−IDCT 0

2tT 0

iConv t =4 I DC

[sin 0 t 13

sin 30 t 15

sin 50 t ⋯1

2n−1sin [2n−10 t ]⋯]

0=2T 0

42



เราเข ยนวงจรสมม�ลใหม%โดยการแทน HVDC converter เป$นแหล%งจ%ายกระแสท "ม ร�ปส�ญญาณเป$น Square wave

43



จาก

เราจะม แต%ฮาร โมน�กส ท "เป$นอ�นด�บเลขค "เท%าน��น และเราจะเห'นว%าเม�"อ Harmonic order (ต�วเลข 2n-1 เม�"อ n เป$นเลขจ�านวนเต'มค%าเป$นบวก) ม ค%าส�งข:�น Amplitude ของม�นก'จะม ค%าลดลงเป$นส�ดส%วนผกผ�นก�น

เราก�าหนดให*

iConv t =4 I DC

[sin 0 t 13

sin 30 t 15

sin 50 t ⋯1

2n−1sin [2n−10 t ]⋯]

i1t =4 I DC

sin 0 t , i3t =

4 I DC

3sin 30 t , i5t =

4 IDC

5sin 30 t ,

44



เราเข ยนวงจรสมม�ลได*เป$น

i1t =4 I DC

sin 0 t , i3t =

4 I DC

3sin 30 t , i5t =

4 IDC

5sin 30 t ,

45



เน�"องจากวงจรสมม�ลเป$น Linear time-invariant เราอาศ�ย Superposition principle แยกว�เคราะห ท ละฮาร โมน�กส ได*เป$น

...

46

Harmonic impedance


การท "แต%ละฮาร โมน�กส เป$น Sinusoidal และเราถ�อว%าวงจรอย�%ใน Steady state เราจ:งใช* Phasors ในการค�านวณเพ�"อความสะดวก

Impedance ของระบบไฟฟ<าจะม ค%าเปล "ยนไปเม�"อความถ "เปล "ยนไป เราเร ยก Impedance ท "ความถ "ของฮาร โมน�กส ว%า Harmonic impedance

...

47

Harmonic impedance


หากวงจรม ความซ�บซ*อน ความส�มพ�นธ ระหว%าง Harmonic impedance ก�บความถ "ก'จะไม%เป$นเช�งเส*น และจะม ความถ "บางค%าท "เป$น Resonant frequency (น�กศ:กษาควรอ%านทบทวนเอกสารแนบท*ายการทดลองเร�"อง Resonance ของว�ชาปฏ�บ�ต�การ EE-lab 1)

ในต�วอย%างของเรา ส%วน Reactance ม ค%าเพ�"มเป$นส�ดส%วนก�บความถ "ฮาร โมน�กส แต% Impedance รวมท "มองจากแหล%งจ%ายกระแสฮาร โมน�กส น��นเป$นความต*านทานค%าคงท "ต%อขนานก�บ Reactance ท "เป$นส�ดส%วนก�บความถ "

...

48

Harmonic impedance


ถ:งแม*ว%าในต�วอย%างของเรา กระแสฮาร โมน�กส จะม Amplitude ลดลงท "ความถ "ฮาร โมน�กส ท "ส�งข:�น แต%ส%วน Reactance ท "ม ค%าเพ�"มเป$นส�ดส%วนก�บความถ "ฮาร โมน�กส จะท�าให*แรงด�นท "ฮาร โมน�กส น��นๆม ค%าเก�อบคงท "ท "อ�นด�บของฮาร โมน�กส ต"�าๆ และจะลดลงเม�"ออ�นด�บของฮาร โมน�กส ส�งข:�นจน Reactance ม ค%าส�งใกล*เค ยงก�บค%าความต*านทานของโหลดของระบบไฟฟ<าสล�บ

49



เราแยกค�านวณวงจรท ละความถ " โดยเร�"มจาก Fundamental frequency

ท " Third harmonic

I L ,1 j0=E s j0

RL j0 LTh−RL j0 LThRL j0 LTh

I 1 j0

V AC ,1 j0=RL I L ,1 j0

I L ,33 j0=−RL3 j0 LThRL3 j0 LTh

I 33 j0

V AC ,33 j0=RL I L ,33 j0

50



ท " Fifth harmonic

ท " kth =(2n-1)th harmonic

I L ,55 j0=−RL5 j0 LThRL5 j0LTh

I 55 j0

V AC ,5 5 j0=RL I L ,55 j0

I L , k k j0=−RLk j0 LThRLk j0 LTh

I k k j0

V AC , k k j0=RL I L , k k j0

51



เราอาศ�ยความส�มพ�นธ

เปล�"ยน Phasors ท "ความถ " Fundamental และความถ "ฮาร โมน�กส ไปอย�%ในร�ป Sinusoidal functions และน�าผลมารวมก�น

ในต�วอย%างเรารวมผลการค�านวณถ:งฮาร โมน�กส อ�นด�บท " 13 มาแสดงเป$นร�ปส�ญญาณในหน*าถ�ดไป

(โปรแกรม MatlabR FourierHarmonicHVDC1.m)

x t =X pcos t X j=X p ej

x t =ℜ{X je j t}

52



53



ในอ กต�วอย%างหน:"งเราจะสาธ�ตการว�เคราะห หากระแสฮาร โมน�กส ท "เก�ดจากแหล%งจ%ายแรงด�นร�ปคล�"น Full-wave rectifier ต%อจ%ายกระแสให*ก�บโหลดต�วต*านทานต%ออน�กรมก�บต�วเหน "ยวน�า (Series RL load) ด�งร�ป:

54



เรากระจายอน�กรมฟ�ร�เยร ของแรงด�น Full-wave rectified signal:es t = f t0.01=2202∣sin 100 t ∣, 0=200 radians/s

e s t =8802 [ 12−1

3cos0 t−

115

cos20 t −135

cos30 t−163

cos40 t−⋯] =8802

[12−∑k=1

∞ 14 k2−1

cosk0 t ]

55



จากอน�กรมฟ�ร�เยร เราแยกแหล%งจ%ายแรงด�นเป$น DC component, fundamental component, second harmonic, third harmonic, ...

e st =8802 [ 12−1

3cos 200 t− 1

15cos400 t − 1

35cos600 t − 1

63cos800 t −⋯]

e0=4402

e1t =−8802

3cos 200 t

e2t =−880215

cos 400 t

e3t =−880235

cos 600 t

⋮

⋮

e k t =−8802

4 k 2−1cos200 k t

⋮

e s t =e0e1t e2t e3t ⋯ek t ⋯

56



ในเช�งวงจรไฟฟ<า เราวาดวงจรได*เป$น:

57



เราอาศ�ย Superposition principle แยกวงจรออกเป$นวงจรย%อยๆ:

58



เราแทนแรงด�นท "แต%ละความถ "ด*วย Phasor เพ�"อท�าการค�านวณใน Frequency domain

e1t =−8802

3cos 200 t E1 j 200=−8802

3

e2t =−880215

cos 400 t E2 j 400=−880215

e3t =−880235

cos 600 t E3 j600=−880235

⋮

e k t =−8802

4 k 2−1cos 200 k t Ek j 200 k=− 8802

4 k 2−1 ⋮

59



และเราแทนส%วนประกอบของวงจรซ:"งในท "น �ค�อโหลดด*วย Harmonic impedance ด�งน��นในเช�งวงจรไฟฟ<าเราจะได*:

60



เราค�านวณกระแสตรงและ Phasors ของ Fundamental current และของ Harmonic currents ในวงจรย%อย:

i0=e0

R=4402

15=13.2046 A

I k j k0=Ek j k0R j k0 L

=− 88024 k 2−115 j 31.4159 k

, k=1,2,3,⋯ ,

61



Phasors ของ Fundamental current และของ Harmonic currents ท "เราค�านวณได*ค�อ:

I k j k0=Ek j k0R j k0 L

=− 88024 k 2−115 j 10k

, k=1,2,3,⋯

I 1 j 200=−1.6343 j3.4229=3.7930∢115.52o

I 2 j 400=−0.0949 j0.3977=0.4088∢103.43o

I 3 j 600=−0.0186 j 0.1171=0.1186∢99.04o

I 4 j800=−0.0059 j0.0493=0.0497∢96.81o

I 5 j1000=−0.0024 j 0.0252=0.0254∢95.45o

I 6 j1200=−0.0012 j 0.0146=0.0147∢94.55o

⋮

62



เราเปล "ยนค%า Phasors ของ Fundamental current และของ Harmonic currents ให*เป$น Sinusoidal time functions:

i1t =ℜ{3.7930e j 115.52oe j 200 t}=3.7930cos200 t115.52oi2t =ℜ{0.4088e j 103.43oe j 400 t}=0.4088cos400 t103.43oi3t =ℜ{0.1186e j 99.04oe j600 t}=0.1186 cos600 t99.04oi4t =ℜ{0.0497e j 96.81oe j 800 t}=0.0497 cos800 t96.81oi5t =ℜ{0.0254e j 95.45oe j1000 t}=0.0254 cos1000 t95.45oi6t =ℜ{0.0147e j 94.55oe j 1200 t}=0.0147cos1200 t94.55o

63



กระแสของโหลดค�อผลรวมของกระแสตรง Fundamental current และ Harmonic currents:

i t =13.20463.7930cos200 t115.52o0.4088cos400 t103.43o 0.1186cos600 t99.04o0.0497cos800 t96.81o 0.0254 cos1000 t95.45o0.0147cos1200 t94.55o⋯

64



เราสามารถหาค�าตอบจากการว�เคราะห ทางเวลาของกระแสของโหลดได*จาก:

L didtRi=e st =E p∣sin1 t∣, T=

1

=0

2didt=−R

Li 1

Les , i t =i tT i 0=i T = I 0

i t =i tT =i 0e−Rt /L∫0

t

e−Rt−/L 1Le s d , t≤T

i t =i tT = I 0e−R t /L

E p

L ∫0t

e−Rt−/Lsin1d , t≤T

i t =i tT = I 0e−Rt /L

E p

[R/ L212 ] L[1e

−Rt /LRL

sin1 t−1 cos1 t ] , t≤T

65



เราสามารถหาค%าคงท " I0 ได*จาก:

ค�าตอบท "แสดงในร�ปกราฟข*างต*นได*มาจากการแทนค%า:

i t =i tT = I 0e−Rt /L

E p

[R/ L212 ]L[1e

−Rt /LRL

sin1 t−1 cos1 t ] , t≤T

i 0=i T = I 0= I 0e−RT /L

1 E p

[R / L212 ] L[1e−RT /L]

I 0=1 E p

[R/ L212 ]L

[1e−RT /L][1−e−RT /L]

E p=2202 V , R=15 , L=50 mH ,

T=0.01s , 0=20.01

=200 , 1=

0.01=100

66

การลดป�ญหาฮาร โมน�กส


การท "ฮาร โมน�กส และความเพ �ยนของร�ปส�ญญาณไปจาก Sinusoidal เป$นป�ญหาส�าหร�บระบบไฟฟ<าและเก�ดการรบกวนระบบส�"อสาร เราจ:งม ความจ�าเป$นท "จะต*องลดการเก�ดฮาร โมน�กส ลง

การลดป�ญหาท "ด ท "ส�ดค�อการท�าให*เก�ดฮาร โมน�กส และความเพ �ยนน*อยท "ส�ดต��งแต%ข��นตอนการออกแบบระบบ

เม�"อหล กเล "ยงไม%ได* เราสามารถใช* Harmonic filters ซ:"งม ท��งแบบ Passive และแบบ Active ซ:"งหล�กการท�างานก'จะคล*ายก�นก�บวงจรกรองส�ญญาณท "ใช*ในระบบส�"อสาร แต%ในบางคร��งจะม ช�"อเป$นศ�พท เทคน�คท "ต%างจากท "เราเร ยนในระบบส�"อสารอย�%บ*าง

Harmonic filters ในระบบไฟฟ<าก�าล�งจะม พ�ก�ดการทนแรงด�นและกระแสท "ส�งกว%า Filters ในระบบส�"อสารมาก

67



หล�กการส�าค�ญเบ��องต*นของการใช* Harmonic filters ค�อ เราต*องการต%อ Filter ขนานก�บระบบไฟฟ<าสล�บตรงจ�ดท "ม การป<อนกระแสฮาร โมน�กส เข*าส�%ระบบ ท "ความถ "ฮาร โมน�กส เราจะออกแบบให*อ�มพ แดนซ ของ Harmonic filters ม ค%าต"�ากว%าอ�มพ แดนซ ของระบบไฟฟ<าสล�บมากๆ เพ�"อท�าให*กระแสฮาร โมน�กส ไหลผ%านทาง Harmonic filters มากกว%าท "จะไหลเข*าส�%ระบบไฟฟ<าก�าล�ง และท "ความถ "ปกต� Harmonic filters จะม ค%าอ�มพ แดนซ ท "ส�งกว%าของระบบไฟฟ<าก�าล�งค%อนข*างมาก

อย%างไรก'ตาม เราต*องพยายามป<องก�นการเก�ด Resonance ระหว%างระบบไฟฟ<าเด�มและ Harmonic filters ท "เราต�ดต��งเพ�"มเข*าไปด*วย และเม�"อระบบไฟฟ<าก�าล�งม การปร�บจ�ดท�างาน เราต*องออกแบบให* Harmonic filters ย�งคงท�าหน*าท "ได*ด*วย และอาจต*องปร�บแต%งเพ�"มเต�ม Harmonic filters เม�"อระบบไฟฟ<าม การเปล "ยนแปลงขยายต�ว

68



69

แบบฝDกห�ด

1.จงแสดงการค�านวณหา Total harmonic distortion (THD) ของส�ญญาณ Clipped sinusoidal ตามร�ป

Harmonic analysis


70

2.น�กศ:กษาอาจใช*หล�กการในบทเร ยนข*างต*นลองว�เคราะห วงจรต�วอย%างในหน*า 53 โดยเปล "ยนร�ปส�ญญาณจากแหล%งจ%ายแรงด�นเป$นร�ปส�ญญาณ Square-wave แทน และค�านวณหาร�ปส�ญญาณของกระแสของโหลด

Harmonic analysis


71

3.น�กศ:กษาอาจใช*หล�กการข*างต*นในบทเร ยนลองว�เคราะห วงจร Full-wave rectifier และเปร ยบเท ยบก�บผลจาก Simulation ท "ได*ให*ไว*

Harmonic analysis


Documents

Electrical Network Analysiseestaff.kku.ac.th/~jamebond/182304/Harmonics.pdf · การแปลงของฟรเยร (Fourier transform) เราสามารถวเคราะหเชงความถ