۴۵

قدرت در جريان های متناوب) ۵

نمــايش قــدرت در حالتهــای ) ۱-۵ مختلف جريان متناوب

: باشدϕ=۰مدار ی که در آن ) الفدر اين حالت جريان و ولتاژ هم فاز بوده و لـذا

ننـد يـک جريـان مسـتقيم از اتوان مصرفی هم حاصلضرب ولتاژ در جريان حاصل می گردد و

ودهمواره توان مقداری مثبت خواهد ب . باشدϕ ≠ ۰ و ϕ ≠ ۹۰مداريکه در ) ب

در اين حالت با توجه به ميزان اخـتالف فــاز بــين ولتــاژ و جريــان در مــواقعی حاصلضرب ولتاژ و جريان عددی مثبـت

لـذا . و مواقعی مقداری منفی خواهد بود توان واقعی برابر جمع جبری مقادير توان

ــود همــانطور کــه در شــکل . خواهــد با توجه به ميزان اخـتالف مشخص است ب

فاز بين ولتاژ و جريـان تـوان واقعـی از .حداکثر توان کمتر خواهد بود

: باشدϕ = ± ۹۰مداريکه در آن) ج

در اين حالت ممکن است که مدار سلفی در ايـن .خالص و يا خازنی خاص باشد

حالت حاصلضـرب ولتـاژ و جريـان در نيمی از زمـان مثبـت و در نيمـی ديگـر

بطوريکه جمع جبـری . اهد بود منفی خو . توان برابر صفر خواهد بود

I(t)

V(t)

P(t)

+ +

P(t)

I(t) V(t)

+ +

- -

P(t)

I(t) V(t

)

+ +

- -

۴۶

انواع قدرت در جريانهای متناوب) ۲-۵ با انـدازه گيـری همانطور که در باال اشاره شد در صورتيکه در مدار فقط از مصرف کننده اهمی استفاده شود

:ودمقدار جريان می توان از رابطه زير مقدار توان مصرفی را اندازه گيری نم P=R I2

مقاومت خالص نيستند که انـرژی در آنهـا بـه صـورت حـرارت توليـد ولی هميشه مصرف کننده ها از نوع بنابراين الزم است رابطه ای برای قدرت در جريان متنناوب ارائه نمود که برای کليه مصـرف کننـده هـا .شود

سبه قدرت در يک جريان متناوب ابتدا کار حاصل برای محا . نظير انواع ماشينهای الکتريکی کاربرد داشته باشد :از يک سيکل را در نظر می گيريم

dtIv

TT

WP

dtIvW

T

tt

T

tt

∫

∫⋅==⇒

⋅=

0 )()(

0 )()(

1

در عمل مدارها عموما وجود چند مصرف کننده در مدار بدليل داشتن سيم پيچ دارای خاصيت سلفی بوده لذا :داريمالف فاز بين ولتاژ و جريان باشد، زاويه اخت ϕ که بنابراين با اين فرض. به صورت پس فاز می باشند

∫

∫

+⋅=

+⋅=⇒

+=

=

Tee

T

ee

et

et

dtttT

VIP

dtttVIT

P

tVV

tII

0

0

)(

)(

)sin()sin(2

)sin()sin(21

)sin(2

)sin(2

ϕωω

ϕωω

ϕω

ω

:داريم

[ ]

T

ttt

πω

ϕωϕϕωω

2

)2cos()cos(2

1)sin()sin(

=

+−=+⋅

:با جايگزين کردن و انتگرال گيری داريم

)cos(2

2 ϕT

T

VIP ee ×=

)۱-۵( )cos(ϕeeVIP =

. می نامند١ را ضريب قدرتcos(ϕ)قدرت متوسط مدار و ) ۵-۱(رابطه

1 Power Factor

۴۷

)راکتيو(درت ظاهری، فعال و غير فعال ق) ۳-۵ريان در يک جريان متناوب را مبداء فاز در مدار انتخاب نمائيم و جريان موثر را روی ان جدا چنانچه شدت ج

و راستای عمـود Ve را در راستای Ie نسبت به جريان تقدم داشته و لذا اگر بردار ϕکنيم بردار ولتاژ به ميزان :بر آن تصوير نمائيم مطابق شکل داريم

)sin(

)cos(

ϕϕ

er

ea

II

II

==

:است توان آن برابر Ve که در راستای ولتاژ Iaمولفه

)cos(ϕee

ae

IVP

IVP

==

است که به نـام قـدرت ) ۵-۱(رابطه فوق همان رابطه اين توان، مقدار توانی است کـه . ناميده می شود ١فعال

واقعی توسط مصرف کننـده مـورد اسـتفاده به صورت واقع می گردد لذا به نام توان واقعی نيز ناميده می شود

. و به وات آنرا بيان می کنند :بوده و توان مربوط به آن برابر Veدر جهت عمود بر ولتاژ Irشدت جريان

)۲-۵( )sin(ϕee

re

IVQ

IVQ

==

کار واقعی مربوط به اين شدت جريان صفر اسـت . می نامند ٢ راکتيو رابطه فوق را قدرت غير فعال، مجازی يا بـه عبـارت . نيز می گوينـد توان بی وات يا دواتهچون شدت جريان عمود بر ولتاژ است به همين دليل به آن

. ديگر اين توان توسط مصرف کننده قابل مصرف نبوده و لذا بين ژنراتور و مصرف کننده رد وبدل مـی شـود . بيان می گردد(VAR) با ولت آمپر اين توان

:٣قدرت ظاهریاين توان بر حسب . نشان می دهند S حاصل ضرب شدت جريان موثر در ولتاژ موثر که با حرف عبارتست از

VAژنراتور و يا مولد برق در واقع هميشه . بيان می گرددSرا توليد می کند .

)۳-۵(

2

22

MaxMax

MaxMax

ee

IVS

IVS

IVS

⋅=

⋅=

=

تيو ک از طرف ديگر می توان گفت که توان ا.هری در جريان متناوب نصف توان حداکثر می باشد يعنی توان ظا را تعريف نمـائيم کـه ای مثلثی قائم الزاويه ربه عبارت ديگر اگ . و توان راکتيو مولفه های توان ظاهری هستند . خواهند بودQ وP و دو ضلع ديگر آن Sتحت عنوان مثلث توان باشد وتر اين مثلث

1 Active Power 2 Reactive Power 3 Apparent Power

I Ie

Ir Ia

Ve

ϕ

۴۸

:بر اساس مثلث توان می توان نوشت

)(tan 1

22

P

Q

QPS

−=

+=

ϕ

P آن بخش از توان توليدی ژنراتور است که در مصرف کننده استفاده می گردد .Q آن بخش از تـوان توليـد هر چه ضريب قدرت کوچکتر باشـد مفهـوم . شده ژنراتور است که نمی تواند به مصرف، مصرف کننده برسد

اين هم بـه . مصرف کننده نمی تواند بخش بيشتری را از توان توليدی ژنراتور به مصرف برساند آن اينست که و هم به ضرر شرکت برق چون بايـد تـوان ) را اندازه گيری می کند Sچون کنتور (ضرر مصرف کننده است

کننددر مدار ها سعی از آنجائيکه مصرف کننده ها ی صنعتی عموما مدار را پس فاز می .بيشتری را توليد نمايد را طوری انتخاب نمايند تاحتی االمکان ضريب توان هر چه بيشتر بـه يـک نزديـک Xc و XLمی شود مقادير

باشد .:مثال

وات اندازه گيری شده است، در ۲۵۰۰توان مصرف شده در يک موتور جريان متناوب توسط يک واتمتر برابر ضـريب . امپر را نشان مـی دهنـد ۱۵ ولت و ۲۲۰بترتيب ر موتور تر نصب شده در مدا محاليکه ولتمتر و آمپر

قدرت اين موتور چقدر است؟

75.0

15220

2500)cos(

)cos(

=×

==

=

ee

ee

IV

P

IVP

ϕ

ϕ

:R-Lمثال يک مدار :مداری مطابق شکل مقابل مفروض است مطلوبست

امپدانس کل مدار؟ جريان موثر در مدار؟ ضريب توان مدار؟ ؟ و رسم مثلث توان؟تئان فعال، غير فعال و ظاهری مدار

: اهم باشد۴ برابر L اهم و مقاومت سلفی ۲ برابر Rاگر مقاومت اهمی

P

Q

S

ϕ

45.0)42.63cos()cos(

85.2647.4

120

42.63)2

4(tan)(tan

47.4164

11

22

===

===⇒=

===

Ω=+=

+=

−−

ϕ

ϕ

PF

AZ

VIZIV

X

X

Z

XXZ

eeee

R

L

LR

o

۴۹

RI2 را می توان از رابطـه Pتوجه شود که می توان محاسبه نمود ولی بايـد توجـه نيز

Ie بايستی مقدار Iداشت که در اينجا بجای .کل مدار را قرار داد

:R-L-Cمثال يک مدار

. سه مصرف کننده به صورت سری و به شرح جدول زير قـرار گرفتـه شـده اسـت ACدر يک مدار تک فاز . و رسم مثلث توان؟ و ضريب توان کل مدار در هر مصرف کنندهمطلوبست محاسبه انواع توان

PF توان ظاهریkVA نام مصرف کننده

A ۱۵ پس فاز۹/۰

B ۵ پيش فاز۹/۰

C ۲۰ پس فاز۸/۰

84.25)9.0(cosPF

9.085.37

34)cos(

85.37)36.16()34(

36.161218.254.6

12))87.36)(sin(20()))8.0()(sin(cos20()sin(

18.2))84.25)(sin(5()))9.0(cos)(sin(5()sin(

54.6)44.0)(15()))9.0()(sin(cos15()sin(

1

2222

1

1

1

==

====

=+=+=

=+−=++=====

−=−=−==

====

−

−

−

−

total

total

totaltotaltotal

totaltotaltotal

CBAtotal

CCC

BBB

AAA

laggingS

PφPF

kVAQPS

kVARQQQQ

kVARφSQ

kVARφSQ

kVARφSQ

VAIVS

VARIVQ

wattIVP

ee

ee

ee

3222)85.26)(120(

2882))42.63)(sin(85.26)(120()sin(

1441)45)(.85.26)(120()cos(

======

===ϕϕ

P=1441 watt

Q=2882VAR

S=3222VA

ϕ=63.42

kwPPPP

kwSP

kwSP

kwSP

CBAtotal

CCC

BBB

AAA

34165.45.13

16)8.0)(20()cos(

5.4)9.0)(5()cos(

5.13)9.0)(15()cos(

=++=++====

======

۵۰

Stotal

Ptotal

Qtotal

QA

PB PC

QC

QB

ϕtotal

مثلث توان

لذا بـرای حـل انهـا چـون . در مثال های فوق همواره مصرف کننده ها به صورت سری در مدار قرار داشتند حال اگر . حل مسئله اقدام می شد بود مبنا را جريان گرفته و نسبت به جريان در تمام مصرف کننده ها يکسان

باشند، ولتاژ در مصرف کننده ها يکسان بوده لذا ولتاژ را مبنا قـرار داده و مصرف کننده ها به صورت موازی .نسبت به حل مسئله اقدام می شود

:مثال هرتـز يـک ۵۰ ولتی با فرکـانس ۲۲۰روی يک اختالف سطح متناوب

ميکروفـارادی بـه ۳۰۰ هـانری و خـازن ۱۰/۰ اهمی، سلف ۲مقاومت :صورت موازی نصب شده اند مطلوبست

جريان در هر انشعاب و اختالف فاز بين جريان و ولتـاژ در هـر شدت انشعاب؟

شدت جريان در خط اصلی و اختالف فاز آن با ولتاژ؟ ضريب توان کل مدار؟

اگر خازن با ظرفيت متغيير باشـد در چـه ظرفيتـی مـدار بـه صـورت ؟.رزونانس خواهد بود

AL

VI

A

Cx

VI

AR

VI

e

c

e

e

06.7010001.0

220

72.20100103002201

220

1102

220

3

62

1

=×

==

=×××===

===

−

πω

π

ω

I3

I2

I1

۵۱

ف کننده ها يکسان است به عنوان مبنا در نظر گرفته و دياگرام جريانها را رسـم مـی چون ولتاژ در تمام مصر :کنيم

جريانهای متناوب سه فاز) ۴-۵ درجـه ۱۲۰جريانهای متناوب سه فاز از سه جريان سينوسی ترکيب شده است که هر فاز نسبت به فاز ديگـر

اختالف فاز دارد

توان ويژگيهای زير را در مورد جريانهای سه فاز مشخص نمودبا توجه به شکل باال می .وقتی يکی از فازها حداکثر باشد دو فاز ديگر برابر هم ولی عکس فاز اول است -۱ در هر لحظه صفر است) جريانها(هميشه جمع ولتاژ ها -۲

وقتی يکی از فازها صفر است دو فاز ديگر از نظر مقدار برابر ولی مختلف الجهت هستند -۳

رف کننده ها ممکن است به صورت ساده به صورت تک فاز به هر يک از فاز های مولد سـه فـاز وصـل مص .کننده های سه فاز به روشهای خاصی به مولد ها وصل گردند شده و ياممکن است مصرف

اتصاالت برق سه فاز) ۱-۴-۵

Ve I1

I2

I3

I3-I2

Ie

ϕ

FFL

C

CVL

VII

kwIVP

kVAIVS

I

I

AI

I

IIII

ee

ee

ee

e

e

e

e

µπω

ωω

ϕ

ϕ

1000001.0)100(01.0

11

2.2492.05.120220cos

4.265.120220

92.05.120

110cos

5.120

)72.2006.70()110(

)(

22

32

1

22

223

21

2

====⇒

=⇒=

=××===×==

===

=−+=

−+=

V(t)

(t)

V1(t) V2(t) V(t)

V1(t)

V(t)

V2(t)

α

β

β

α

۵۲

):Y(اتصال ستاره

همديگر متصل شده و سر ديگر سيم پيچها به عنوان در اين نوع اتصال انتهای هر سه سيم پيچ در يک نقطه به هر يک از اين سه سيم به نام . در مولد و وروديها در مصرف کننده ها مورد استفاده قرار می گيرند ها خروجي

می شوند به نام نقطه مشترک يا نقطه انتهای ديگر سيم پيچها که به هم وصل.ده می شوند ناميT وR ,Sهای رج نمود که به نام سيم نـول ناميـده ان نقطه نيز می توان يک سيم خ نول ناميده می شود از اي نثی و يا صفر، خ را به )خط ( صفر شدن جريان در اين نقطه .در اين خط صفر می باشد ) ولتاژ( زيرا مجموع جريان ها می شود

يانهـای سـه فـاز بـه با توجه به شکل فوق می توان جريانهـا را در جر . صورت رياضی نيز می توان نشان داد صورت زير نوشت

)240sin(

)120sin(

)sin(

max)(33

max)(22

max)(11

+=⇒

+=⇒

=⇒

θθθ

IIL

IIL

IIL

t

t

t

:در نقطه نول جمع جريانها برابر

: داريم θبرای هر زاويه ای مثل

انواع اتصال در جريانهای سه فاز: ۵-۱شکل

لذا نقطه نول به عنوان نقطه خنثی و يـا مثـل خـط ستاره می توان از هريک از فازهای سه گانه جريان سه فاز برای با اتصال.در جريان های تک فاز می باشد نول

مصرف کننده های تک فاز استفاده کرد در اين صورت خط فاز به يکی از فازها و خط نول به خط نول جريان همچنين می توان از اين اتصال برای مصرف کننده های سه فـاز بـه طـور مسـتقيم . سه فاز وصل خواهد شد

چنانچه در اتصال ستاره از فازهای . به اتصال ستاره اتصال سه فاز چهار سيمه نيز گفته می شود .استفاده نمود خصيصـه . مختلف بارهای مختلفی گرفته شود در اين صورت سيستم به صـورت نامتعـادل در خواهـد آمـد

تمـام فازهـا درجه است وانگهی امپدانس ۱۲۰عمومی بارهای متعادل اينست که اختالف فاز نسبی بين فازها سـتمهای نامتعـادل امـا در سي .يکی بوده و در نتيجه توانهای اکتيو و راکتيو در هر سه فاز يکسان خواهد بـود

0))240sin()120sin()(sin(

))240sin()120sin()(sin(321

=++++

++++=++=

θθθ

θθθMaxN

N

II

IIII

۵۳

از . ه نباشـد جـ در۱۲۰ممکن است که يکی از اين برابريها موجود نباشد و يا اينکه اختالف نسبی بـين فازهـا باشد در تغذيه بارهای تک فاز از طريق خطوط سـه يکه تجزيه و تحليل سيستمهای نامتعادل پيچيده می ئانجا

فاز سعی می گردد که بار ها از نظر تعداد ، ميزان بار و کيفيت بار به طور مساوی تقسيم گردد تا سيسـتم بـه در اتصال .بطوريکه بخش اعظم مسائل عملی به سيستمهای متعادل مربوط می شود . صورت متعادل باقی بماند

. قابل دسترسی می باشد) ولتاژ( ف سطح الکتريکی ستاره دو نوع اختالاين ولتاژ . خط خنثی می باشدو T وR, Sاختالف پتانسيل بين هر يک از خطوط اصلی : ولتاژ خط به خنثی

.به اختصار ولتاژ فاز ناميده می شوددر يـک . امنـد اختالف پتانسيل بين خطوط اصلی می باشد که به اختصار ولتاژ خـط مـی ن : خط به خط ولتاژ

.جريان سه فاز متعادل از نظر مقدار و پس فاز يا پيش فاز بودن شبيه هم هستند

):∇(اتصال مثلث يا دلتا

شکيل يک حلقه بسته داده شودتدر اين اتصال سر يک سيم پيچ به ته سيم پيچ ديگر متصل می گردد تا اينکه سر به ته سيم پيچها خارج مـی ز محل نقاط اتصال سه فاز ا اصلی ين نوع اتصال سه خطوط ادر . )۵-۱شکل(

در اين اتصال به صورت معمول خط خنثی وجود ندارد لذا به اين اتصال ، اتصال سه سيمه نيز گفته می . گردد .بسته می شوند به صورت سيستم های متعادل هستند لذا مصرف کننده هايی که به صورت مثلث .شود : در اتصاالت سه فاز و قدرت و ولتاژجريان) ۲-۴-۵

و نقاط انتهايی سيم پيچها بوجـود مـی اينـد کـه O ولتاژ های سه گانه فاز بين نقطه خنثی ۵-۲شکل مطابق تمام ولتاژهای فاز از نظر مقدار . ECA, EBC, EAB : و ولتاژ های خط عبارتند از EOA, EOB EOCعبارتند از :ابرو لذا طبق شکل ولتاژهای خط بر با هم برابر

در اتصال ستاره و جريانانواع ولتاژ: ۵-۲شکل

OBOAAB

OCOBBC

OAOCCA

EEE

EEE

EEE

+−=

+−=

+−=

rr

rr

rr

O O

EOC-

EOC

EOA

-EOA

EOB

-EOB

ECA

EBC

EAB

°۶۰Ip

IL

۵۴

: برای اتصال ستاره می توان نوشت۵-۲توجه به شکل با

)۴-۵( pL

pL

II

VV

=

= 3

:قدرت هر فاز در اتصال ستاره برابر

:و قدرت کل سه فاز برابر

داريم) ۵-۴(با جايگزينی رابطه )۵-۵(

: و قانون کيرشف برای جريان در هر يک از گره ها می توان نوشت۵-۳ه شکل با توجه ب :Aگره

abcaL

Labca

III

IIIrrr

rrr

−=

=−− 0

:Bگره

bcabL

Labbc

III

IIIrrr

rrr

−=

=−+− 0

:Cدر گره

cabcL

Lcabc

III

IIIrrr

rrr

−=

=−− 0

با توجه به زوايای بين بردارها و بـا توجـه بـه اينکـه :داريم

pbcabca IIII === :ذا در اتصال مثلث می توان نوشتل)۶-۵(

: داريم۵-۳و با توجه به شکل )۷-۵(

)cos(3

)cos(33

)cos(

ϕ

ϕ

ϕ

LL

ppp

ppp

IVP

IVpP

IVp

=

==

=

R

S

T

Ip=Iab

IL

VL

pl

pL

VV

II

=

= 3

Iab

-Iab

Ibc -Ibc

Ica

-Ica

°۶۰

°۳۰

انواع ولتاژ و جريان در اتصال مثلث:۵-۳لشک

۵۵

:برابرقدرت در اتصال مثلث قدرت يک فاز

قدرت هر سه فاز ۵-۶و با جايگزين کردن مقادير خط به جای مقادير فاز از رابطه هـای

: قدرت کل برابر۵-۷و .شد لذا نوع اتصال بر روی قدرت در جريانهای سه فاز بی تاثير است می با۵-۵اين رابطه شبيه و برابر رابطه

عالوه بر اين همان روابطی که برای توان حقيقی در اتصال ستاره و مثلث وجـود دارد بـرای تـوان ظـاهری و :راکتيو نيز می توان نوشت

)۸-۵(

22,

,

,

,

3

)sin(3

)cos(3

QPS

IVS

IVQ

IVP

LL

LL

LL

+=

=

=

=

∆Υ

∆Υ

∆Υ

∆Υ

ϕ

ϕ

مست که قدرت تک تک فاز ها بر حسب مقادير فاز محاسبه گردد و از چنانچه بار در فاز ها نامتعادل باشد الز .مجموع انها قدرت کل مدار را بدست آورد

.به همين ترتيب قدرتهای راکتيو و ظاهری نيز محاسبه می گردد

:مثالروی چه خط الکتريکی می تـوان موتـور . حک شده است v 220/380روی پالک يک موتور سه فاز عالمت

و ضـريب % ۹۰ و راندمان آن kw ۱۲؟ و به چه صورت؟ اگر قدرت مفيد اين موتور .د نظر را نصب نمود مور . باشد جريانهای خط و فاز را در هر وضعيت اتصال تعيين کنيد۸۵/۰قدرت آن

: حلهـا ولت در هر يک از سيم پيچ۲۲۰با توجه به ولتاژ حک شده می توان نتيجه گرفت که موتور ولتاژ بيشتر از

ـ . ولت گردد۲۲۰لذا در تحت هيچ شرايطی نبايد ولتاژ فاز بيشتر از . بيشتر نمی تواند تحمل نمايد موتـور ذا ل :می تواند بر روی دو خط به صورت زير متصل گردد

با اتصال مثلث127/220vخط ) الف با اتصال ستاره220/380vخط ) ب

)cos(3

)cos(33

)cos(

ϕ

ϕ

ϕ

LL

ppp

ppp

IVP

IVpP

IVp

=

==

=

321

3333

2222

1111

)cos(

)cos(

)cos(

pppP

φIVp

φIVp

φIVp

pp

pp

pp

++=

=

=

=

۵۶

:نحوه اتصال ترمينال ها

∆=×==

Υ==

===

==

=×

=

AII

AII

AV

SI

vAS

vAS

pL

pL

p

pp

p

2.418.2333

8.23

8.23220

5233

52333

15700

157009.085.0

12000

هرتز باشد و بخواهيم ضريب ۵۰ به صورت مثلث بسته شود و فرکانس برق 220/380چنانچه موتور در خط قدرت را به يک برسانيم ظرفيت خـازن

.مورد نياز را بدست آوريد

ظرفيت خازن در حالت ستاره

ظرفيت خازن در حالت مثلث

اتصال مثلث اتصال ستاره

R S T

FV

IC

FFV

IC

IxV

AV

QI

vAQ

vASQ

c

c

c

c

ccc

p

prp

p

µω

µω

ϕϕϕ

5.601005.6)314(380

3

54.12

5.1811081.1)314(220

54.12

54.12220

2760

27603

8270

8270)527.0(15700)sin(

527.0)85.0(1)sin(85.0)cos(

5

4

2

=×===⇒

=×===⇒

=

===

==

==⋅==−=⇒=

−

−

۵۷

به صورت مثلث و ستاره مالحظه می گردد که ظرفيت خازن مورد با مقايسه ظرفيت خازن در دو حالت اتصالبا اين وجـود . نياز در حالت مثلث يک سوم حالت ستاره است هر چند که بايد ولتاژ باالتری را تحمل نمايند

.ولتاژ به اندازه هزينه ظرفيت نمی باشدث ارزانتر خواهد بود زيرا هزينه اتصال به صورت مثل :مثال

) ولتـاژ ( کيلو وات است که از يک شبکه سه فاز سه سيمه با اخـتالف سـطح ۲۵۰يک کارخانه توان مصرفی هست که به موجب قرار داد % ۷۰ضريب قدرت کلی کارخانه . هرتز تغذيه می شود ۵۰ ولت و فرکانس ۲۲۰۰

. شـد کمتر باشد بهای انرژی مصرفی با نرخ باالتری محاسبه خواهـد % ۸۵با شرکت برق اگر ضريب قدرت از .ظرفيت خازن های مورد نياز برای اين کارخانه به صورت ستاره و مثلث را محاسبه نمائيد

:حلن ولتاژ و جريان در هر سـه فـاز يکسـان مـی يچون بار متعادل بين فاز ها تقسيم شده است لذا اختالف فاز ب

ضمنا چون نـوع . از ها بکار برد يجه را برای ديگر ف تلذا کافی است مسئله را برای يک فاز حل کرده و ن . باشداتصال تاثيری بر مسئله ندارد هراتصالی را می توان برای حل در نظر گرفت بنابراين با اين فرض که اتصال به

:صورت ستاره است داريم

توان مصرفی کل ولتاژ فاز

جريان خط در حالت اوللتـاژ از و ϕ1 بـه ميـزان I1در اين حالت مدار پس فاز است و

عقب تر اسـت زيـرا عمومـا مصـرف و بـار جريـانی کـه از . کارخانه ها اندوکتيو اسـت

پيش فاز خواهد بود خازنها عبور خواهد کرد . درجه از ولتاژ جلو مـی افتـد ۹۰و به ميزان

بنابراين دياگرام برداری جريانها بايد به گونه و ولتـاژ Itای رسم شود که بين جريان کـل

وجود ايـد کـه کسـينوس ان اختالف فازی ب : باشد۸۵/۰

It

Vp

AI

voltV

wattIVP

p

p

7.93)7.0)(1270)(3(

250000

12703

2200

250000)cos(3

1

11

==

==

== ϕ

Ic

I1

O

P

I1 Q

N

It

ϕ1 ϕt

Ic

۵۸

:حل به روش محاسبه توان

.در صورتيکه اتصال ستاره باشد

اندازه گيری قدرت در جريان متناوب) ۵-۵ :کنتور تک فاز

چنانچه توان بر حسب وات و زمان بر حسب ساعت باشد مقدار کار يا انرژی مصرف شـده بـر حسـب وات کنتور از يک سيم پـيچ ضـخيم باتعـداد دور . استفاده می گردد ١برای اين منظور از کنتور . هد بود ساعت خوا

معروف می باشد و يک سيم ٢که به صورت سری در مدار قرار می گيرد و به سيم پيچ جريان ) دور۵۰-۴۰(کم

1 Watt Hour Meter 2 Current Coil

=−×=

×=Υ

=−×=×

=∆=

=⇒=

=−=−=====

======

FFC

FFCV

IC

CX

X

VI

AQNPNPQI

ONQN

IPN

ION

p

c

cc

pc

c

t

µπ

µπ

ω

ω

ϕϕϕ

66610661270100

3.26:

22610222200100

3/3.26:

1

3.266.409.66

6.40)89.31tan()6.65()tan(

9.66)714.0)(7.93()sin(

5.65)7.0)(7.93()cos(

11

11

AV

QII

Q

vARQQQ

vARSQ

vAP

S

vARSQ

vAP

S

cp

cpccp

cp

c

3.261270

33448

334483

100344

100344154705255050

5.154705)526.0(7.29411)sin(

7.2941185.0

250000

)cos(

255050)714.0(8.357142)sin(

8.3571427.0

250000

)cos(

)(

)()(

)(

21

212

2

12

111

1

11

====

==

=−=−====

===

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−===

===

ϕϕ

ϕϕ

۵۹

تشـکيل )١سيم پيچ ولتاژ (پيچ که نازک بوده و با تعداد دور زياد که به صورت موازی در مدار قرار می گيرد با عبور جريـان از سـيم پـيچ جريـانی . در بين سيم پيچ جريان و ولتاژ يک صفحه دوار قرار دارد .می گردد

گردابی در صفحه ايجاد می گردد و ميدان مغناطيسی لغزانی در آن بوجود آورده که باعـث چـرخش آن مـی از انجائيکـه .بيعی در دو طرف آن قرار مـی دهنـد نگيرد يک مغناطيس ط برای اينکه صفحه دور اضافی . شود

جريان عبوری از سيم پيچ جريان جريان موثر کل که شامل جريان اکتيو و راکتيو می باشد لـذا تـوان انـدازه .گيری شده توان ظاهری مدار خواهد بود

اساس کار کنتور: ۵-۴شکل اندازه گيری قدرت در جريان سه فاز) ۱-۵-۵

در ايـن حالـت ) Y connectionال سـتاره اتص): ( سه وات متری ( چهار سيمه جريان اندازه گيری)الف. لذا برای هر فاز يک وات متر مورد استفاده قرار مـی گيـرد . مدار دارای سه خط فاز و يک خط نول می باشد

ر خط فاز بطـور سـری يهر وات متر مثل کنتور جريان تک فاز دارای يک سيم پيچ جريان می باشد که در مس اگـر مـدار . که بين هر يک از فاز ها و نول به طور موازی بسته مـی شـود سيم پيچ ولتاژ شود و يک بسته می

لذا با يک وات متر می توان در يـک خـط . متعادل باشد هر سه وات متر يک مقدار را نشان خواهد داد " کامالدر هر حال قدرت کل حاصل جمع قرائت . ضرب نمود ۳نمود و مقدار قرائت شده در آن را در عدد استفاده .ر خواهد بودوسه کنت

1 Phase Coil

۶۰

L ۳و L ۲ و L 1و بار روی هر خط به صورت اگر جريان را در يک مدار سه فاز اتصال ستاره در نظر بگيريم . می باشدL ۳و L ۲ و L 1دل نيز باشد جريانی که هر لحظه از خط نول عبور کند مجموع امتع

:در جريان سه فاز داريمL1 → I1 (t) = Im sin( θ ) + L2 → I2 (t) = Im sin (θ - 120°) + L3 → I3 (t) = Im sin (θ - 240) +

LN → Im ( sin (θ) + sin (θ - 120°) + sin (θ - 240) )

ل محل اتصال ی باشد لذا چون خط نو م مجموع جريان در هر لحظه برابر صفردهمانطور که مالحظه می شو

: بود يعنی اگر متعال باشد صفر خواهدسه فاز است جريان هميشه در اين خط sin θ + sin (θ - 120°) + sin (θ - 240) = 0

: صدق می کند ایهر زاويه فوق برای رابطه و يک يا دوفاز ديگر به عنوان نول عمل می دو فاز جريان را وارد يک يا لذا در جريان سه فازدر هر لحظه

.ر بر روی يک فاز استفاده نمودولذا اگر بار متعال باشد می توان فقط از يک کنت. کند . اگر بار متعادل نباشد همانطور که در باال اشاره شد بايستی برای هر فاز از يک وات متر مجزا استفاده نمود

يری قدرت در اتصال مثلث با اندازه گ) ب

:مترسه وات لـذا . در اين حالت سيم نول وجود نـدارد

مصـنوعی ايجـاد بايستی آن را به صورت چون معموال بـوبين واتمترهـا دارای . کرد

يک مقاومت زياد بـه صـورت سـری مـی باشد نقطه نول را می توان بدون مقاومتهای نشان داده شده در شکل مقابل نيـز ايجـاد

.دنمو

R

S

T

N

W1

W2

W3

R

S

T

W1

W2

W3

N

۶۱

:اندازه گيری قدرت در جريان متناوب سه فاز با دو وات متر) ج. عدد صفر رانشان خواهـد داد ۳ در شکل قبل بر روی فاز سوم انتخاب گردد وات متر شماره Nچنانچه نقطه

در اين صورت مجموع قدرت قرائت شده در دو وات متر قدر ت کـل مـدار .را حذف نمود لذا می توان ان : و می توان نشان داد که مقادير قرائت شده در وات مترها به پتانسيل نقطه مشترک بستگی نداردخواهد بود

حتی در مدارهای کامال متعادل نيز برابـر نيسـتند و تفـاوت آنهـا ۲ و ۱قدرتهای قرائت شده در وات مترهای .بستگی به ضريب توان دارد که می توان به صورت زير نشان داد

[ ][ ])sin()30sin()cos()30cos()sin()30sin()cos()30cos(3

)30cos()30cos(3

)30cos(3

)30cos(3

)30cos()(

)30cos()(

2

2

2

1

2322

1311

ϕϕϕϕ

ϕϕ

ϕ

ϕ

ϕϕ

−+⋅=+

++−⋅=+

+⋅=

−⋅=

+⋅−=−⋅−=

pp

pp

pp

pp

IVWW

IVWW

IVW

IVW

IVVW

IVVW

R

S

T

W1

W2

21

322311

23132211

2132211

332211

213321

321332211

332211

)()(

)(

)(0

)(

)()()(

WWP

VVIVVIP

IVIVIVIVP

IIVIVIVP

IVIVIVP

IIIIII

IIIVIVIVIVP

IVVIVVIVVP

t

t

t

t

t

Nt

NNNt

+=−+−=

−−+=+−+=

++=+−=⇒=++

+++++=−+−+−=

ϕ

ϕ

ϕ

V1

V2 V3

I1

I2

I3

-V3

(V1-V3) [ ]

21

21

21

21

1

1

2

2

)(3)tan(

3

3

)cos(

)sin()tan(

)()sin(3

)30cos()30cos(3

)()cos(3

)cos(33

WW

WW

IV

WW

IV

WW

IVWW

IVWW

IVWW

IVWW

pp

pp

pp

pp

pp

pp

+−=

+

−

==

ΙΙ⋅=−

+−−⋅=−

Ι⋅=+

⋅=+

ϕ

ϕϕϕ

ϕ

ϕϕ

ϕϕ

۶۲

:مثال :برای اندازه گيری قدرت يک موتور سه فاز به روش دو واتمتری اعدادزير قرائت گرديد

W1=9.6 kw W2=7.5 kw

مطلوبست ضريب قدرت موتور؟

978.0)cos(

0.125.76.9

)5.76.9(3tan

)(3tan 1

21

211

=

=

+−=

++

= −−

ϕ

ϕWW

WW

:مثالهر دسته شامل مطابق شکل زير شامل سه دسته المپ روشنايی ) خط-خط( ولتی ۱۱۵بار يک ژنراتور سه فاز

مـی ۸۷/۰ اسـب بخـار و رانـدمان ۹ و تـوان اسـمی ۸۲/۰ و يک موتور با ضريب قدرت واتی ۶۰ المپ ۲۰ :ضريب قدرت، جريان خط در کل مدار و توان هريک از واتمترها را محاسبه کنيد.باشد

:حل : دنبال می کنيمنحوه اتصال تاثيری در حل مسئله ندارد لذا با فرض اتصال مثلث مسئله را

G

M 115v

It Im

Iℓ

۶۳

kwattWWP

wattW

φIVW

wattW

φIVWOP

ONφ

AI

I

IIIPNONI

kwattwattPPP

AV

PI

wattP

AI

φVIP

wattP

tLL

tLL

tt

t

t

mmmmt

m

L

Lm

mLLmm

m

6.131361483315276

8331)28.2130cos()3.73)(115(

)30cos(

5276)28.2130cos()3.73)(115(

)30cos(

28.213.73

3.68)cos(

3.73

)572.06.46()82.06.461.30(

))sin(())cos(()()(

6.131361460007614

1.30)115(3

6000

3

6000)100)(20)(3(

6.46)82.0)(115(3

7614

)cos(3

761487.0

)746)(9(

21

2

2

1

1

22

2222

≈=+=+==−=

−==+=

+=

=⇒==

=×+×+=

++=+=

≈=+=+=

===

==

==

=

==

o

l

l

l

ll

l

O

P

N Iℓ

Im

ϕt ϕm

V

It