Electrotecnia. Cap 3. Análisis de Circuitos

7/25/2019 Electrotecnia. Cap 3. Análisis de Circuitos

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Métodos de análisis

de circuitos3vamos a conocer...1. Necesidad de los métodos de análisis

de circuitos

2. Leyes de Kirchhoff

3. Ecuaciones de las mallas o de Maxwell

4. Teorema de superposición

5. Teorema de Thévenin

PRÁCTICA PROFESIONAL

Kit para análisis de circuitos CC

MUNDO TÉCNICO

Conexión serie-paralelo en panelesfotovoltaicos de una central solar

y al finalizar esta unidad...

Analizarás circuitos básicos de CC que no sonsimplificables mediante las transformacionesserie-paralelo y equivalencias estrella-triángulo.

Calcularás, montarás y verificarás circuitosresistivos de CC mediante la aplicación de

métodos básicos y universales como son lasleyes de Kirchoff, las ecuaciones de Maxwell,el teorema de superposición y el teorema deThévenin.

Seleccionarás el método más adecuado deanálisis de circuitos resistivos de CC.



situación de partida

Kirchhoff y Maxwell

Gustav Robert Kirchhoff (1824-1887) en 1845, siendo estudiante, amplió la teoría de Ohm y demostró las clásicas Leyes de lascorrientes y de las tensiones que llevan su nombre.

Por otro lado, James Clerk Maxwell (1831-1879) en 1873 dio forma matemática a las ideas de Faraday y presentó las ecuacionesgenerales del electromagnetismo que en la actualidad permanecen inalterables, incluso después de la teoría de Einstein.

Si a toda observación o descubrimiento del fenómeno eléctrico cualitativo le ha sucedido la cuantificación con sus correspondientesmagnitudes y unidades; en este caso concreto de Kirchhoff y de Maxwell representan el máximo exponente de la expresión matemática y aplicación del análisis cuantitativo de circuitos eléctricos.

CASO PRÁCTICO INICIAL

Luis López en la firma TV-Radio Electrónica como técnico de mon-taje y diseño de kits electrónicos para sistemas de enseñanza. Lasaplicaciones de estos kits deben ser polivalentes para las distintasmaterias y módulos de electricidad-electrónica, donde se debenaplicar los distintos métodos básicos del análisis de circuitos resis-tivos de CC.

Se pretenden diseñar circuitos optimizados para 2-3 mallas, en lasque todas las intensidades den positivas y en los que los genera-dores trabajen como tales aportando energía al circuito. De estaforma, el balance de energía resulta coherente y coinciden las ener-gías aportadas por los generadores con las energías absorbidas porlos receptores. También se diseñarán ciertos circuitos en los quealgún generador trabaja como receptor cuya energía se sume a lade los receptores.

En el departamento donde trabaja Luis se estudian las distintalternativas de métodos de análisis, se monta y verifica cada ptotipo. Junto a cada kit se deben adjuntar los resistores que lconstituyen, la placa de conexiones, los cálculos previos, el esquma de montaje, las medidas efectuadas en un ensayo concretolas conclusiones.

La fuente de alimentación o fuentes de fem necesarias no se sumnistran con los kit y solo se indican las características de las mismen cuanto a la tensión y la intensidad que deben suministrar. Amismo se dan instrucciones acerca de los tipos de cables y conxiones más adecuados que se deben utilizar en cada caso.

estudio del caso

Con el estudio de esta unidad encontrarás respuesta a las siguientes preguntas.

1. ¿Por qué necesitamos utilizar los métodos de análi-sis de circuitos?

2. ¿Qué métodos básicos existen para el análisis de cir-cuitos resistivos de CC?

3. ¿Cómo se plantea un sistema de tres ecuaciones contres incógnitas que sean linealmente independien-tes y que cumplan las leyes de Kirchoff?

4. ¿Cómo se predice el comportamiento de los ele-mentos de un circuito?

5. ¿Se obtienen los mismos resultados si se aplica indistintamente un método u otro de análisis de cicuitos?

6. ¿Estos métodos son generalizables en corriente altena con circuitos resistivos, inductivos y capacitivos?

7. ¿Verificar el comportamiento de un circuito exigcálculos previos?



72 Unidad 3

1. Necesidad de los métodosde análisis de circuitos

Ya hemos estudiado el comportamiento de la resistencia en CC y también la simpli-ficación de circuitos mediante las tansformaciones serie-paralelo y las conversionesestrella-triángulo correspondientes. En esta unidad trataremos circuitos de naturale-za idéntica a los ya analizados, pero cuya complejidad requiere el desarrollo de deter-minadas técnicas de análisis como un gran procedimiento cuya finalidad es triple:

• Calcular (predecir el comportamiento de los elementos del circuito).

• Montar el circuito (realizar una actividad práctica con rigor en las conexiones).

• Verificar el comportamiento de los componentes (realizar las lecturas y com-probaciones con los aparatos de medida).

Sea el circuito formado por las resistencias R1, R

2, R

3, R

4, R

5, R

6, R

7, R

8y las fuentes

de fem E1, E

2y E

3todas ellas como se indica en la figura 3.1. Con los conocimientos

que tenemos hasta ahora, podemos simplificar la conexión serie formada por R6

y R8

y transformar el triángulo resultante en su estrella equivalente. Ello nos permite aso-ciar elementos y trabajar con circuitos más simples, pero no resolvemos el circuito.

Esto nos demuestra que, con el cálculo de la resistencia equivalente de circuitosserie-paralelo o con la transformación de una conexión triángulo en su equiva-lente en estrella, es imposible encontrar la solución. Por ello, necesitamos recu-rrir a herramientas o estrategias más potentes, como son las leyes de Kirchhoff,las ecuaciones de Maxwell, el teorema de superposición y de Thévenin, comométodos de análisis de circuitos.

Con el fin de facilitar su estudio, la aplicación de las distintas técnicas de análi-sis se realizarán en circuitos de CC solo con resistencias. Sin embargo, estos mé-todos son generalizables para la resolución de circuitos con impedancias y gene-

radores de CA donde el fundamento y aplicación son idénticos, pero la dificultadmatemática los pone fuera de nuestro alcance.

2. Leyes de Kirchhoff

2.1. Primera ley: ley de las corrientes

Si observamos el tramo de circuito formado por los conductores que concurren enel nudo a de la figura 3.2, vemos que los electrones que entran por los conducto-res 1-2 salen por los conductores 3-4-5.

Finalidad de los métodos de análi-

sis de circuitos.

caso práctico inicial

Métodos generalizables en CC y en

CA.

caso práctico inicial

NudoPunto de un circuito o red donde

concurren más de dos conductores.En la figura 3.1, son nudos los pun-tos a, b, c, d y e. No son nudos lospuntos A y B de cada uno de losgeneradores.

vocabulario

a Figura 3.1. Nudos, ramas y ma-

llas de un circuito.

A

A B

B

A

B

E 1 E 2R 3

R 2a

e

dcb

R 1

R 5R 4

R 7 R 8

R 6E 3

a Figura 3.2. Cinco intensidades que concurren en un nudo a.

––

––

–

––

––

–

– – – – – – –

–

–

–

–

e–

e–

e–

e–4

5a

En este nudo no hayacumulación de cargas

1

I1

I1 + I2 = I3 + I4 + I5

I1

I2

I5

I4I3

I3

I2

2

3

a– ––

I4

I5



Métodos de análisis de circuitos

Como los electrones no cambian de naturaleza, no se comprimen ni se acumulanen un punto. todos los electrones que entran en el nudo deben de salir en la mis-ma cantidad.

Este fenómeno físico se conoce como la ley de las corrientes de Kirchhoff, cuyoenunciado dice así:

La suma algebraica de todas las intensidades que llegan a un nudo es igual a la

suma algebraica de todas la intensidades que se alejan del mismo nudo consi-deradas todas ellas en el mismo instante de tiempo.

La expresión matemática general que corresponde a este enunciado es:

[1] I (entrantes) = I (salientes)

Si aplicamos la expresión general de la fórmula [1] al nudo a de la figura 3.2., te-nemos:

I1

+ I2

= I3

+ I4

+ I5

Pasando todas las intensidades al primer miembro, nos queda la expresión:

I1

+ I2

– I3

– I4– I

5= 0

que corresponde al convenio de asignar el signo (+) a todas las intensidades quellegan y el signo (–) a todas las intensidades que se alejan del nudo.

2.2. Segunda ley: ley de las tensiones

Su enunciado es el siguiente:

En toda malla o circuito cerrado, la suma algebraica de todas las fem debe serigual a la suma algebraica de la caída de tensión en todas las resistencias inter-caladas a lo largo de aquella malla o circuito cerrado.

La expresión matemática general que corresponde a este enunciado es:

[2] E = R · I

Si pasamos todo al primer miembro, nos queda:

[3] E – R · I = 0

Expresión que nos permite enunciar la ley de las tensiones de Kirchhoff como:

La suma algebraica de las fem y tensiones a lo largo de una malla o circuito ce-rrado es cero. Aplicando esta expresión general de la ley de las tensiones a la ma-lla representada en la figura 3.3a, nos resulta una ecuación que coincide con elperfil de variación de la tensión dibujado en la figura 3.3b, es decir:

[4] +E1

– R1I – E

2– R

2I – R

3I – R

4I + E

3– R

4I = 0

a Figura 3.3. a) Malla ACEGA. b) Perfil de la caída de tensión en toda la malla.

E 1 = 20 V

E 2 = 4 V

E 3 = 4 V

I = 1 A

R 5 = 7 Ω

R 4 = 2 Ω

R 3 = 2 Ω

R 2 = 7 Ω

R 1 = 4 Ω

B

A

a) b)H

C

D E 25

A B C D E F G H A

20

15

10

5

0

F

G

MallaConjunto de ramas que forman ucamino cerrado en un circuitoque no puede subdividirse en otr

ni pasar dos veces por la mismrama.

RamaConjunto de todos los elementde un circuito comprendido entdos nudos consecutivos. En el ccuito de la figura 3.1 son ramas ltramos de circuitos: ab, ad, ae, bbc, dc, de y ec.

vocabulario

Español-InglésAnálisis de circuitos: circuit analysis.

Nudo: node.

Ley de las corrientes de

Kirchhoff’s: Kirchhoff’s current law (KCL).

Malla: mesh.

Rama: branch.

Ley de las tensiones deKirchhoff’s: Kirchhoff’s voltagelaw (KVL).

vocabulario



74 Unidad 3

Esta ecuación [4] es la que resulta de recorrer la malla en sentido ABCDEFGHAy de aplicar el convenio de signos ya adoptado.

2.3. Planteamiento y resolución del problema

• Primer paso. Dibujamos el esquema del circuito mediante simbología norma-lizada, con todos sus componentes designados por las letras y subíndices que lescaracterizan, incluido el valor de la magnitud de cada elemento (figura 3.5). Seasigna una letra a cada nudo. A veces, es necesario poner letras en puntos queno son nudos, por ejemplo, los puntos c, e y d de de la figura 3.5.

• Segundo paso. Representamos todas las intensidades de rama asignándoles unsentido cualquiera al azar (figura 3.5). Este sentido asignado al azar no debecambiarse durante todas las operaciones que dure el proceso.

a Figura 3.5. Enunciado del circuito completo con todos sus componentes y sentido previo, dado

al azar, de las intensidades de rama I 1, I

2e I

3.

• Tercer paso. Aplicamos la ley de las corrientes a tantos nudos (n) como tengael circuito menos uno. Número de ecuaciones: m = (n–1).

En el caso de la figura 3.5:

m = (n – 1) = (2 – 1) = 1, ecuación que aplicamos, por ejemplo, al nudo a.

1) Nudo a: I1

– I2

– I3

= 0

• Cuarto paso. Aplicamos la ley de las tensiones a tantas mallas como ramas (r)tenga el circuito menos (n – 1). Número de ecuaciones: q = r – (n – 1) = 2. Para

plantear cada ecuación debemos establecer, previamente y al azar, el sentido enel que vamos a recorrer cada malla. En el caso de la figura 3.5.

2)Recorrido aebca: E1

– R2I

1– E

2– R

5I

2– R

1I

1= 0

3) Recorrido adbea: – R3I

3– E

3– R

4I

3+ R

5I

2+ E

2= 0

Se puede aplicar la primera ley al otro nudo o establecer recorridos contrariossiempre que se respete el convenio de signos. En este último caso, todos los tér-minos de las ecuaciones cambian de signo.

• Quinto paso. Una vez planteado el sistema de ecuaciones, 1), 2), 3) se resuel-ven, y se obtienen las intensidades pedidas en el enunciado.

I 1 I 3

I 2

R 2 = 15 Ω

R 5 = 30 Ω R 4 = 10 Ω

R 1 = 10 Ω

E 1 = 6 V E 2 = 12 V E 3 = 8 V

c e

b

d

R 3 = 20 Ωa

Convenio de signos (I)Un aumento de tensión va prece-dido del signo (+). Este aumento detensión se puede obtener de unafem o de una resistencia recorridapor una intensidad.

• Generador. Existe un aumentode potencial cuando recorremosel generador desde el bornenegativo hasta el positivo. Elaumento de tensión en un gene-rador es independiente del sen-tido que lleve la corriente a tra-

vés del generador. Solo dependede la polaridad del generador ydel sentido del recorrido del bor-ne negativo al borne positivo(véase figura 3.4).

saber más

a Figura 3.4. Tensión positiva

[+U AB

] en función de la polaridad y

del recorrido.

E

E

A

A B

B

+

+–

–Polaridad

Recorrido




La resolución del sistema de ecuaciones se puede hacer por los métodos de re-ducción, igualación o sustitución. En este caso lo resolvemos aplicando los ele-mentos del álgebra lineal con notación matricial, resolviendo los determinan-tes por la regla de Sarrus y calculando las incógnitas por el sistema de Cramer.

• Sexto paso. Una vez resuelto el sistema de ecuaciones, todas las intensidadesque nos den positivas (+) tienen el sentido real igual al que hemos supuesto en

el enunciado del circuito. Las intensidades que nos den negativas (–) son desentido contrario del asignado al azar.

• Séptimo paso. Conocidas las corrientes del circuito, podemos calcular las po-tencias en cada uno de los componentes y verificar que la potencia aportadapor los generadores es igual a la consumida en el circuito (balance de poten-cias).

Los generadores que aportan corriente por su borne (+) trabajan como tales ge-neradores y si les entra la corriente por su borne (+), actúan como receptores. Eneste caso, la potencia se suma a la potencia consumida por los resistores.

Convenio de signos (II)Resistencia. Se produce un aumeto de potencial cuando recorremla resistencia desde el borne (hacia el borne (+). El aumento dtensión en una resistencia es ind

pendiente de la polaridad de lgeneradores de fem. Solo dependel sentido de la corriente y del setido en el que recorramos el circuto (figuras 3.6 y 3.8).

• Resistencia. Obtenemos untensión negativa cuando rec

rremos la resistencia desde borne positivo hacia el bornnegativo.

saber más

a Figura 3.6. Tensión positiv

[+U AB

] en función del recorrido

de la intensidad, I.

+ –

Recorrido

A

A

Corriente y polaridad

IAB

+ –IAB

R

a Figura 3.7. Tensión negativ

[–U AB


de la polaridad.

+–

Recorrido

AE

a Figura 3.8. Tensión negativ

[–U AB


de la intensidad.

+ –

Recorrido

BI

Una caída de tensión va precediddel signo (–). Esta disminución dtensión también se puede obtende una fem o de una resistencrecorrida por una intensidad:

• Generador. Obtenemos una cada de tensión cuando la recorrmos desde el borne positivo (hacia el negativo (–).

Análisis de un circuito aplicando las leyes de Kirchhoff

En el circuito de la figura 3.5 se pide:

a) Calcular el valor de las intensidades de rama.

b) Determinar el sentido real de las intensidades y deducir el comporta-miento de cada generador.

c) Efectuar el balance de potencias.

Solución:a) Valor de las intensidades.

Seguimos el proceso indicado en el epígrafe anterior y nos resulta el sis-

tema, ya conocido, de tres ecuaciones 1), 2) y 3) con las tres incógnitasI1, I

2, I

3.

1. Nudo a: I1

– I2– I

3= 0

2. Recorrido aebca: E 1

– R2I

1– E

2– R

5I

2– R

1I

1= 0

3. Recorrido adbea: – R3I

3– E

3– R

4I

3+ R

5I

2+ E

2= 0

Si sustituimos cada E y cada R por su valor, simplificamos y ordenamos,nos queda:

1) I1

– I2

– I3

= 0

2) –25 I1

– 30 I2

+ 0 = 6

3) 0 + 30 I2 – 30 I3 = – 4

Determinante del sistema:

1

–25

0

∆ = = 900 + 750 + 0 – 0 – 0 + 750 = 2.400

–1

–30

+30

–1

0

–30

EJEMPLO



76 Unidad 3

Determinantes de los términos independientes:

Aplicando la regla de Cramer, calculamos el valor de la incógnitas I1, I

2e I

3.

I1

= = – = – 0,1000 A

I2

= = – = – 0,1166 A

I3

= = + = + 0,0166 A

Las intensidades I1, I

2, por dar resultado negativo, son de sentido contrario

al que hemos indicado en la figura 3.5.b) Comportamiento de los generadores.

E 1

y E 3

se comportan como receptores, pues absorben corriente en vezde suministrarla; E

2se comporta como generador por suministrar al cir-

cuito exterior la corriente de valor I2.

c) Balance de potencias.

En el balance de potencias se tiene que cumplir el principio de conserva-ción de la energía, es decir, toda la potencia suministrada por los genera-dores E

2tiene que ser igual a la potencia que se consume en todas las

resistencias más la que se consume en las fuentes de fem E 1

y E 3

que ac-túan como receptores.

Potencia total generada:P

TG= E

2· I

2= 12 · 0,1166 = 1,399 W = 1,399 mW

Potencia total consumida:

P TR

= (R1

+ R2) I

12 + R

5I22 + (R

3+ R

4) I

32 + E

1I1

+ E 3I3

= 1,399 W = 1.399 mW

40

2.400

3

280

2.400

2

240

2.400

1

0

6

–4

∆1 = = 0 – 180 + 0 + 120 + 0 – 180 = –240

–1

–30

+30

–1

0

–30

1

–25

0

∆2 = = – 180 – 100 + 0 – 0 – 0 – 0 = –280

0

+6

–4

–1

0

–30

1

–25

0

∆3 = = 120 + 0 + 0 – 0 – 180 + 100 = 40

–1

–30

+30

0

+6

–4

La resolución de los sistemas deecuaciones se puede hacer por losmétodos de reducción, igualacióno sustitución.

No obstante, nosotros resolvemosy proponemos aplicar los elemen-

tos de álgebra lineal con notaciónmatricial, resolviendo los determi-nantes por la regla de Sarrus y cal-culando las incógnitas por el siste-ma Cramer.

saber más




3. Ecuaciones de las mallaso de Maxwell

3.1. Fundamento

Las ecuaciones que estableció Maxwell están basadas en la segunda ley de Kirch-hoff. En la aplicación de esta teoría de análisis, las incógnitas del circuito son lasintensidades de malla, lo que se traduce en una simplificación en cuanto al nú-mero de incógnitas del circuito.

La ley de las tensiones de Kirchhoff se transforma en ecuaciones de Maxwell me-diante la expresión general:

[5] E (malla) – R · I (malla) + R · I (contracorriente) = 0

Los criterios de convenio de signos son los mismos que los aplicados en las leyesde Kirchhoff, pero aplicados para cada ecuación a una malla y a las ramas conti-guas (contracorrientes) a dicha malla.

Por ejemplo, para el circuito de la figura 3.9:

1)Malla y recorrido aebca: E1

– E2

– I’ (R2

+ R5

+ R1) + I’’ R

5= 0

2)Malla y recorrido adbea: E2

– E3

– I’’ (R5

+ R3

+ R4) + I’ R

5= 0

Se puede aplicar a esas mismas mallas recorridos opuestos, siempre que se respe-te el convenio de signos, pero, en ese caso, todos los términos de las ecuacionescambian de signo.

3.2. Planteamiento y proceso

El planteamiento del problema y aplicación del método de las ecuaciones de Max-

well requiere los mismos pasos establecidos en las ecuaciones de Kirchhoff (ex-cepto la aplicación de la primera ley de Kirchhoff a n – 1 nudos), teniendo encuenta que aquí trabajamos con intensidades de malla (nos ahorramos n – 1 ecua-ciones) y en función de las cuales calculamos las intensidades de rama.

a Figura 3.9. Circuito de aplicación de las ecuaciones de Maxwell.

I '

I 1 I 3

I 2

R 2 = 15 Ω

R 5 = 30 Ω R 4 = 10 Ω

R 1 = 10 Ω

E 1 = 6 V E 2 = 12 V E 3 = 8 V

c e

b

d

R 3 = 20 Ωa

I ''

Intensidades de mallaCorriente ficiticia que suponemrecorre dicha malla y cumple dcondiciones: a) Es idéntica a corriente real de las ramas no comnes con otra malla. En la figura 3.1las corrientes de malla I’ e I’’ soidénticas a las corrientes de ramae I3, respectivamente;b) Se compne algebraicamente (vectorialmete en CA) con las corrientes de lramas comunes con otras mall(contracorrientes) para formar corriente real de dichas ramas. Aen la figura 3.9, la corriente de ramI2, se expresa en función de lcorrientes de malla I’ e I’’ medianla ecuación: I2

= I’ – I’’.

vocabulario

a Figura 3.10. Intensidades d

rama I1, I

2e I

3y de malla I’ e I’’.

E 1 E

R 3

R 4

a

b

R 1

R 5

I 2

R 2

I 3I 1

I ' I ''

Español-InglésIntensidad de rama: branchcurrent.

Ecuaciones de las mallas: meshequations.

Intensidad de malla: meshcurrent.

vocabulario






4. Teorema de superposiciónLa aplicación práctica de este teorema consiste en analizar tantos circuitos comogeneradores existan, actuando en cada caso un solo generador, para lo cual es ne-cesario cortocircuitar los restantes. En cada circuito sencillo se asigna el sentidoreal a todas las intensidades que produce la fem, para después superponer alge-

braicamente todas las intensidades.Este método exige conocer bien las transformaciones serie-paralelo y conversionesestrella-triángulo equivalentes y aplicarlo sistemáticamente con rigor y claridad.

vocabulario

Análisis de un circuito aplicando el teorema de superposición

Aplicando el teorema de superposición, resolver el mismo problema plan-teado en la figura 3.9 y comprobar que obtenemos idénticos resultadoscon las aportaciones simultáneas de cada fuente de fem. Transformar lafigura 3.5 que tiene tres fuentes de fem, en otros tres circuitos como los

de las figuras 3.11, 3.12 y 3.13, en los que solo existe una fem.Solución:Aportaciones de la fuente E

1

Rab

= = = 15

RT

= R1

+ R2+ R

ab= 10 + 15 + 15 = 40

I’ 1

= = = 0,15 A

I’ 2

= I’ 1

= 0,15 = 0,075 A

I’ 3

= I1

= 0,15 = 0,075 A30

20 + 10 + 30

R5

R3

+ R4

+ R5

3020 + 10 + 30

R3 + R4

R3

+ R4

+ R5

6

40

E 1

RT

(20 + 10) · 30

20 + 10 + 30

(R3

+ R4) · R

5

R3

+ R4

+ R5

EJEMPLO

a Figura 3.11. Superposición. Aportaciones de E 1.

I2 ' I

1'

R 2 = 15 Ω

R 1 = 10 Ω

R 5 = 30 Ω R 4 = 10 Ω

E 1 = 6 V E 3E 2

c e d

R 3 = 20 Ωa

b

I3 '

Circuito bilateralAquel que tiene las mismas caraterísticas en ambas direcciones.

Circuito linealAquel cuyos parámetros son contantes.

Español-InglésTeorema de superposición: superposition theorem.

Cortocircuitar: short-circuited.

Circuito lineal: linear circuit.

Circuito bilateral: bilateral circui

vocabulario

Teorema de superposiciónDado un circuito bilateral con elmentos lineales únicamente y co

más de un generador, la corrieno tensión en cualquier rama o elmento es igual a la suma algebrca de los efectos producidos pcada generador considerando indvidualmente, cuando el resto de lgeneradores se reemplazan por sresistencias internas.

saber más



80 Unidad 3

Aportaciones de la fuente E 2

Rab

= =

= =

= 13,63

RT

= R5

+ Rab

= 30 + 13,63 = 43,63

I’ ’ 2

= = = 0,275 A

I’ ’ 1

= I’’ 2· = = 0,15 A

I’’ 3

= I’’ 2

· = = 0,125 A

Aportaciones de la fuente E 3

Rab

= =

= = 13,63

RT

= Rab

+ R3+ R

4= 13,63 + 20 + 10 =

= 43,63

I’ ’’ 3

= = = 0,1834 A

I’’’ 2

= I’’’ 3

· = 0,1834 · = 0,0834 A

I’’’ 1

= I’’’ 3

· = 0,1834 · = 0,1000 A

Intensidades de rama

I1

= I1

– I’’ 1

– I’’’ 1

= 0,15 – 0,15 – 0,1000 = – 0,1000 A

I2

= I’ 2

– I’’ 2

+ I’’’ 2

= 0,075 – 0,275 + 0,0834 = – 0,1166 A

I3

= I’ 3

+ I’’ 3

– I’’’ 3

= 0,075 + 0,125 – 0,1834 = + 0,01664 A

Estos valores coinciden exactamente con los calculados por Kirchhoff y porMaxwell. Conocidas las aportaciones en intensidad, podemos calcular las ten-siones y comprobar que también se cumple el teorema de superposición.

30

10 + 15 + 30

R5

R1

+ R2+ R

5

10 + 15

10 + 15 + 30

R1

+ R2

R1

+ R2

+ R5

8

43,63

E 3

RT

(10 + 15) 30

10 + 15 + 30

(R1

+ R2) · R

5

R1

+ R2

+ R5

0,275 · (15 + 10)

20 + 10 + 15 +10

R1

+ R2

(R3 + R4) + (R1 + R2)

0,275 · (20 +10)

20 + 10 + 15 + 10

R3

+ R4

(R3

+ R4) + (R

1+ R

2)

12

43,63

E 2

RT

(10 + 20) · (10 + 15)

10 + 20 + 10 + 15

(R3

+ R4) · (R

1+ R

2)

R3

+ R4

+ R1+ R

2

a Figura 3.12. Superposición. Aportaciones

de E 2.

a

b

R 1 = 10 Ω

R 2 = 15 Ω R 3 = 20 Ω

R 5 = 30 Ω

R 4 = 10 Ω

E 2 = 12 VE 1 E 3

e dc

I1'' I

3 '' I

2 ''

a Figura 3.13. Superposición. Aportaciones

de E 3.

a

b

R 1 = 10 Ω

R 2 = 15 Ω R 3 = 20 Ω

R 5 = 30 Ω

R 4 = 10 Ω

E 3 = 8 VE 1 E 2

e dc

I1''' I

3 ''' I

2 '''

Generador equivalentede ThéveninEntre dos puntos de un circuitolineal bilateral tiene por fem la ten-sión entre estos dos puntos y resis-tencia interna, la resistencia detodo el circuito entre esos dos pun-tos si cortocircuitamos todos losgeneradores.

saber más




5. Teorema de ThéveninEl teorema de Thévenin forma parte de los grandes teoremas para el estudio decircuitos y redes lineales de CC y CA. Su enunciado dice así:

Si una resistencia (RTH

) se conecta en dos puntos ( AB) de un circuito linealbilateral, la intensidad que por ella circula (I

TH) es igual al cociente de dividir

el valor de la tensión (U 0) existente entre los dos puntos, antes de conectar(R

TH), por la suma de la resistencia que presenta el circuito entre esos dos pun-

tos ( AB) más la resistencia (RTH

) conectada (figura 3.14).

[6] ITH

= =

U0: tensión entre los dos puntos (AB) antes de conectar R

TH

R0: resistencia del circuito entre los dos puntos (AB) + la resistencia R

TH

U0

RAB (antes)

+ RTH

U0

R0

caso práctico inicialTeoremas para el estudio de circutos y redes lineales en CC y en C

Circuito bilateralAquel que tiene las mismas caraterísticas en ambas direcciones. corriente es del mismo valor papolaridades opuestas de la fuende tensión. Por ejemplo, una restencia, una línea de transporte.

Circuito linealAquel cuyos parámetros son contantes.

saber más

Resolución de un circuitoaplicando Thévenin

Calcular el valor de la intensidadI

THcuando conectemos la R

THa

los bornes (AB) del esquema dela figura 3.15.

Solución:

Valor de U 0. El circuito de la figu-

ra 3.15 antes de conectar RTH

esel ya conocido de los epígrafes

anteriores. El valor de U 0 es latensión que existe en bornes deR

3, es decir:

U 0

= U R3

= R3

· I3

= 20 · 0,0166 = 0,332 V

Valor de RAB

(antes). El valor de la resistencia entre los puntos (AB) antes de co-nectar la R

THse calcula cortocircuitando todas las fuentes de fem.

RAB

= + R4

= + 10 = 23,6363

RAB (antes)

= = = 10,83

ITH

= = = = 0,0108 A

Podemos comprobar aplicando las ecuaciones de Maxwell, simplificando, pre-viamente, la conexión en paralelo que forman R

THy R

3( R

TH / R

3) y obteniendo

el valor de la intensidad de malla I’’ = 0,0216 A. Después hacemos un repar-to de corrientes inversamente proporcional a R

THy a R

3con lo que resulta el

mismo valor de 0,0108 A para ITH

.

0,332

10,833 + 20

U 0

RAB (antes)

+ RTH

U 0

R0

23,63 · 20

23,63 + 20

RAB

· R3

RAB + R3

(10 + 15) · 30

10 + 15 + 30

(R1

+ R2) · R

5

R1

+ R2

+ R5

EJEMPLO

a

Figura 3.15. Ejercicio de aplicación del teore-ma de Thévenin.

a

b

R 1 = 10 Ω

R 2 = 15 Ω R 3 = 20 Ω

R TH = 20 Ω

R 5 = 30 Ω

R 4 = 10 Ω

E 3 = 8 VE 2 = 12 VE 1 = 6 V

e d

BA

c I ''

a Figura 3.14. Concepto del teor

ma de Thévenin.

R TH

ITH

R TH

U 0

R 0

R 0U 0

Carga externa

Circuito linealbilateral con varias fem

B'

B

A

B' A

A

B A

Español-InglésTeorema de Thévenin: Thévenintheorem.

vocabulario



82 Unidad 3

1. Calcular las intensidades de rama de cada uno de los siguientes circuitos. Puedes primero tratar de simpli-ficar y después aplicar Maxwell y comprobar por superposición. Aplicar Thévenin para calcualr I

THen cir-

cuitos g y h.

ACTIVIDADES FINALES

a Figura 3.16.

b

ca

d

eR 1 = R 2 = R 3 = R 4 = R 5 = 10 Ω

a) R 1

R 2 R 4

R 5

R 3

E 2 = 10 VE 1 = 8 V

I2

I3

I1

a Figura 3.18.

c d e

a

b

R 1 = R 2 = R 3 = R 4 = 4,7 Ω

c) R 1

R 2

R 4R 3E 1 = 2 V

E 2 = 4 V E 3 = 6 V

I1 I2 I3

a Figura 3.20.

I1

a

b

R 1 = R 2 = R 3 = R 4 = 1 Ω

e) R 1

R 2

R 4R 3E 1 = 4 V

I2 I3

a Figura 3.22.

b

c

d

e

g) R 1 = 10 Ω

R 2 = 10 Ω R 4 = 10 Ω

R 3 = 10 Ω R 5

= 1 0 Ω

R T H

= 3 0 ΩE 2 = 10 VE 1 = 8 V

I2

I3 ITH

I1

a Figura 3.17.

E 1 = 6 V E 2 = 6 V

b

c

a

R 3 = 12 Ω

b)

R 3r 2 = 0,2 Ωr 1 = 0,5 Ω

I3

I1 I2

a Figura 3.19.

R 1 R 2 R 3

E 1 = 24 V E 2 = 6 VR 4

c d

af eb

R 1 = R 2 = R 3 = R 4 = R 5 = 100 Ω

d)

I2

I5I1 I3 I4

I ' I''

R 5

I '''

a Figura 3.21.

E 1 = 15 V E 2 = 10 V E 3 = 5 V

ba

cR 1 = R 2 = R 3 = R 4 = R 5 = 2 Ω

f)

R 4R 5I1

I2 I3

R 1 R 3

R 2

a Figura 3.23.

I' I''

b

a

c

d

e

h) R 2 = 10 Ω

R 1 = 10 Ω R 3 = 10 Ω

R 4 = 20 Ω R 5

= 2 0 Ω

R T H

= 2 0 Ω

E 2 = 6 VE 1 = 6 V

ITH




entra en internet2. Entra en internet e investiga sobre la biografía de Gustav Robert Kirchhoff y de James Clark Maxwell así

como programas para la resolución de circuitos.

a Figura 3.24. Calcular Thévenin entre A y B.

b A

B

a c

i) R 1 = 3 Ω

R 2 = 10 Ω

R 4 = 36 ΩR 3 = 36 ΩE 1 = 2 V

a Figura 3.26. ¿Cómo se simplifica?

a R g

b

c

d

k) R 1 R 3

R 2 R 4

I1 I3

I2

I

I4

Ig

E = 12 V

a Figura 3.28. Compara el número de ecuaciones por Max-

well y Kirchhoff.

Icb

Ibc

I2

I3

Iac

cbd

am) R 1

R 3

R 2

R bc

R ab

R ac

E = 30 V

I

a Figura 3.25. Calcular Thévenin entre A y B.

R 1 = 120 Ω R 2 = 30 Ω R 3 = 120 Ω

E 1 = 100 V E 2 = 30 V

R 4 = 120 Ω R 5 = 120 Ω

e d

a cb

j) A B

a Figura 3.27. Calcula I1, I

2e I

3.

a

b c

l)

R 1 = 36 Ω

R 2 = 18 Ω

R 3 = 12 Ω

I1

I2

I3

I = 2 A

E 1 = 8 V r 1 = 0,3 V

E 2 = 5,4 V r 2 = 0,4 V

a Figura 3.29. Compara el número de ecuaciones por Max-

well y Kirchhoff.

R 4

R 3

R 5

E = 12 V

E 4 = 15 V

E 3 = 10 V

R 2

E 3 = 8 V

n)

a b

d

a

I3

I4

I5

I1

I2



84 Unidad 3

PRÁCTICA PROFESIONALHERRAMIENTAS

• Alicates y destornilladores

MATERIAL• Los indicados en el apartado 4 de

esta práctica.

Kit para análisis de circuitos CC

OBJETIVOEstablecer procedimientos para diseño de circuitos CC. Diseñar un kit para análisisde circuitos de CC con dos mallas, dos fuentes de fem de tensión no superior a 20 Vy resistores profesionales con valores normalizados de 100, 120, 180, 220 y 330 .Adjuntar cálculos, esquema, lecturas, recursos y conclusiones.

PRECAUCIONES

• Ajustar las fuentes de alimentación para la tensión e intensidad previstas.

• Cuidar la conexión correcta de polaridades y elección correcta del alcance deescala de aparatos.

PROCEDIMIENTO

1. Cálculos previos

• Aplicamos ecuaciones de Maxwell.

1) Recorrido cabc: + E 1– I’ (R

1+ R

2+ R

3) + R

3I’’ = 0

2) Recorrido bdcb: – E 2+ I’R

3– I’’ (R

3+ R

4+ R

5) = 0

1) – 440 I’’ + 220 I’’ = –15

2) 220 I’ – 880 I’’ = +20

–15

20∆

1 = = 13.200 – 4.400 = 8.800

220

–880

–440220

∆ = = + 387.200 – 48.400 = 338.800220–880

–440

220∆

2 =

Ií = = = 25,97 mA

= – 8.800 + 3.300 = – 5.500

∆

1

∆

–15

20

8.800338.800

I’’ = = = –16,23 mA∆

2

∆–5.500

338.800

I '

E 1 = 15 V E 2 = 20 V

R 1 = 120 Ω R 4 = 330 Ω

R 2 = 100 Ω R 5 = 330 Ω

R 3 = 2 2 0 Ω

I1 I2

c

b

d

a

I3

I''

a Figura 3.30. Esquema de partida.

I1= I’ = 25,97 mA

I2= I’ – I’’ = 25,97 – (– 16,23) = 42,2 mA

I3= I’’ = – 16,23 mA. Sentido real contrario




• Comprobamos por superposición.

RT

= R1+ R

2+ R

ab

RT = 385

I’ 1

= = = 38,96 mA

I’ 3

= I’ 1

· = 38,96 = 9,74 mA

I’ 2 = I’

1 · = 38,96 = 29,22 mA

RT

= Rab

+ R4+ R

5

RT

= 110 + 330 + 330 = 770

660880

R4 + R5

R3

+ R4+ R

5

220880

R3

R3

+ R4+ R

5

15385

E 1

RT

E 1 = 15 V

R 1 = 120 Ω R 4 = 330 Ω

R 2 = 100 Ω R 5 = 330 Ω

R 3 = 2 2 0 Ω

b

a

c

I2' I3' I1'

a Figura 3.31. Aportaciones de E 1.

E 2 = 20 V

R 1 = 120 Ω R 4 = 330 Ω

R 2 = 100 Ω R 5 = 330 Ω

R 3

= 2 2 0 Ω

b

a

I2'' I3'' I1''

a Figura 3.32. Aportaciones de E 2.



86 Unidad 3

PRÁCTICA PROFESIONAL (cont.)

I’’ 3

= · = 25,97 mA

I’’ 1

= I’’ 3

· = 25,97 = 13 mA

I’’ 2

= I’’ 3

· = 25,97 = 13 mA

Valores que coinciden con los calculados por Maxwell.Balance de potencias:

P 1= R

1· I2

1= 120 · 0,02592 = 80,49 mW

P 2= R

2· I2

1= 100 · 0,02592 = 67,08 mW

P 3= R

3· I2

2= 220 · 0,03222 = 391,78 mW

P 4= R

4· I2

3= 330 · 0,016232 = 86,69 mW

P 5= R

5· I2

3= 330 · 0,016232 = 86,69 mW

P TR

= n1· P

n= 67,08 + 80,49 + 391,78 + 86,69 = + 86,69 = 712,7 mW

P TR

= P TS

= E 1I1+ E

2(–I

3) = 15 · 25,96 + 20 · 16,23 = 714 mW

2. Esquema de montaje

220440

R1+ R

2

R1

+ R2+ R

3

220440

R3

R1

+ R2+ R

3

20770

E 2

RT

E 2 = 20 VE 1 = 15 V

R 1 = 120 Ω R 4 = 330 Ω

R 2 = 100 Ω R 5 = 330 Ω

R 3

= 2 2

0 Ω

b

a

A

+

+ – + –

–+

–

+

–B

C

D

I 2

V 2

I 1 I 3

V 1

A2

A1 A3

a Figura 3.33. Sentidos y polaridades reales.

I1= I’

1– I’ ’

1= 38,96 – 13 = 25,96 mA

I2= I’

2– I’ ’

2= 29,22 +13 = 42,22 mA

I3= I’

3– I’ ’

3= 9,74 – 25,97 = –16,23 mA




3. Lecturas efectuadas.

4. Recursos

5. Conclusiones

Los cálculos previos nos predicen un idéntico comportamiento del circuito, tanto si lo calculamos por Maxwell comopor superposición. Cálculos previos que se corresponden con la verificación de lecturas efectuadas. Los dos gene-radores trabajan como generadores.

V 1 V 2 A1 A2 A3

15 V 20 V 26 mA 42 mA 16 mA

Marca en esquema Aparato

E 1 Fuente alimentación regulable 30 V-2 A

E 2 Fuente alimentación regulable 30 V-2 A

V 1 Voltímetro CLU 0-15-30 V, clase I

V 2 Voltímetro CLU 0-15-30 V, clase I

A1 Miliamperímetro CLU 0-100-500 mA



• Placa Board, conexional 4 mm

• Resistores de valores indicados, tolerancia 5% y potencia 1/8 W menos la R3

que es

de 0,5 W• Papel e instrumentos de dibujo



88 Unidad 3

Partimos del supuesto de una central solar, con paneles fotovoltaicos, con una potencia instalada de 44,625 MW me-diante 2.500 seguidores con 6×17 paneles cada uno del tipo BP 4175 como el que se indica en la siguiente figura, va-mos a contestar a las siguientes preguntas para hacer las previsiones del anteproyecto de la citada central solar.

a) Dimensiones mínimas de cada seguidor y disposición de los paneles solares.

b) Superficie rectangular mínima del terreno llano en el supuesto de que cada seguidor lo instalamos en un cuadra-do de 20 × 20 m para que pueda girar libremente.

c) Conexión serie-paralelo a efectuar en los paneles de cada seguidor para una tensión nominal de 24 V en CC.

Como para cada seguidor disponemos de un cuadrado de 20 × 20 m, la superficie mínimo del terreno son 100 hec-táreas, es decir:

MUNDO TÉCNICO

Conexión serie-paralelo en paneles fotovoltaicos

de una central solar

60

1 5 9 3

790 Vistalateral

Cara frontalDiagrama del módulo

a Figura 3.34. Panel BP4175.

50 x 20 = 1000 m

50 FILAS X50 COLUMNASDE 20 X 20 m

cada una(Un seguidor/

cuadro)

1 22

3

3

4

4

5

5

6

6

7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

5 0

x 2 0 = 1 0 0 0 m

6

x 1 5 9 3 = 9 5 5 8 m m

17 x 790 = 13430 mm

a) Dimensiones de cada seguidor(9,558 x 13,430 = 128,36 m2)

c) Conexión serie-paralelo en cada seguidor.

b) Superficie del terreno(1000 x 1000 = 106 m2 = 100 Ha)

E i

E 72

Imáx= 102 x 4,8 = 489,6 A

1I = 4,8 A 24 V cc

(nominal)102 ramas en paralelo

7 2 e l e m e n t o s

e n s e r i e / p a n e l

U máx=35,4 V

BATERÍA+ CONVERTIDOR

+REGULADORCA

Seguidor con6 x 17 = 102 paneles (módulos

fotovoltaicos del 175 W)

a Figura 3.36. Superficie del terreno para 2.500 seguidores y esquema eléctrico de cada seguidor.

6.0

Curva I-V del BP 4175N

C o r r i e n t e ( A )

Tensión (V)

5.0

4.0

3.0

2.0

1.0

0.00 10 20 30 40 50 60

t= 0 °Ct= 25 °Ct= 50 °Ct= 75 °C

a Figura 3.35. Curvas características.

Características

Potencia nominal 175 W

Tolerancia –3/+5%

Eficiencia 13,9%

Voltaje nominal 24 V

Potencia máxima (P máx) 175 W

Tensión a la máxima potencia (V mpp) 35,4 V

Corriente a la máxima potencia (Impp) 4,8 A

Corriente de cortocircuito (Isc) 5,45 A

Tensión de circuito abierto (V oc) 43,6 V




EN RESUMEN

1. La intensidad que circula entre dos nudos conse-cutivos se llama intensidad de:

a) Rama.b) Malla.c) Nudo.

2. La primera ley de Kirchhoff se aplica tantas vecescomo:

a) n – 1b) r – (n – 1)c) r – n

3. La segunda ley de Kirchhoff se aplica tantas veces

como:a) n – 1b) r – (n – 1)c) r – n

4. Al aplicar las ecuaciones de Maxwell nos ahorraen comparación con Kirchhoff:

a) r – (n – 1) ecuaciones.b) Ninguna ecuación.c) (n – 1) ecuaciones.

5. En el convenio de signos adoptado, un aumentode potencial va precedido del signo:

a) Más.b) Menos.c) Ambos.

6. En el convenio de signos adoptado, una disminu-ción de potencial va precedido del signo:

a) Más.b) Menos.c) Ambos.

7. El teorema de superposición se cumple porque se

basa en sumar los efectos que aportan al circuito:a) Todos los receptores.b) Todas las ramas superpuestas.c) Todos los generadores.

8. Por potencia generada se entiende la que apor-tan los generadores cuando la corriente :

a) Sale por el borne positivo.b) Sale por el borne negativo.c) Ambos.

EVALÚA TUS CONOCIMIENTOS

Circuitos que admiten simplificación

Se reduce a la resistencia equivalente

Aplicar la Ley de Ohm

Estudiarel mejor método de resolución

Intensidades de rama y balance de potencias

Kirchhoff Maxwell Superposición Thévenin

RESOLUCIÓN DE CIRCUITOS

Conexionesserie-paralelo-estrella-triángulo

Circuitos que no admiten simplificación

Documents

Electrotecnia. Cap 3. Análisis de Circuitos