Odpowiedzi do pyta z podstaw elektrodynamiki.EiT sem. 2

29 wrzenia 2013

1 Pytania szczegowe

1. Prawo si Lorentza dla adunkw punktowych: Sia Lorentza opisujeoddziaywanie pola magnetycznego na poruszajc si czstk o niezero-wym aduknu elektrycznym . Na kad czstk o adunku q , poruszjcsi z prdkoci ~v, w polu magnetycznym o indukcji ~B, dziaa sia ~FLwyraajca si wzorem:

~FL = q(E + ~v ~B) (1)

Sia ta jest zawsze skierowana prostopadle do wektorw ~v i pola magne-tycznego ~B. Sia Lorentza jest rwna zeru, kiedy adunek jest nieruchomybd porusza si rwnolegle do kierunku wektora pola magnetycznego. Si-a ta powoduje zakrzywienie toru czsteczki, ale nie wpywa na wartoprdkoci.

2. Prawo si Lorentza dla adunkw rozoonych w sposb cigy:W przypadku gdy wystpuj tylko pola magnetyczne uzyskujemy.

d~F = ( ~Js ~B)dV (2)

Jeli wystpuj pola elektryczne i magnetyczne to siy sumujemy i najbar-dzej oglny zapis przyjmuje posta:

d~F = ( ~E + ~Js ~B)dV (3)

Oczywicie aby uzyska warto siy cakowitej naley zsumowa poszcze-glne wartoci.

~F =

V

( ~E + ~Js ~B)dV (4)

~J-gsto powierzchniowa prdu-gsto adunku

1

3. Prawa tworzce rwnania Maxwella w postaci rniczkowej:

1) ~D = V ; (5)

2) ~E = ~B

t; (6)

3) ~B = 0; (7)

4) ~H = ~J + ~D

t(8)

1. Prawo Gaussa dla elektrycznoci2. Prawo indukcji elektromagnetycznej Fradaya3. Prawo Gaussa dla magnetyczmu4. Prawo Amperea rozszerzone przez Maxwella.

Oznaczenia:~E-natenie pola ektrycznego, [V/m]~H-natenie pola magnetycznego, [A/m]~D-indukcja pola elektrycznego, [C/m]~B-indukcja pola magnetycznego, [T]~J-gsto prdu przewodzenia, [A/m2]

4. Rwnania Maxwella w postaci zespolonej:(operator rniczkowy zastpujemy czynnikiem j)

1) ~B = 0( ~J + j ~D) (9)

2) ~E = j ~B (10)3) ~D = (11)4) ~B = 0 (12)

1) Prawo Ampera rozszerzone przez Maxwella2) Prawo Faradaya dla indukcji3) Prawo Gaussa dla elektrycznoci4) Prawo Gaussa dla magnetyzmu

Rwnania materiaowe:~D = 0 (13)

~E = 0 ~H (14)

2

5. Wektor indukcji w materiale, w ktrym wystpuj elektryczneefekty polaryzacyjneObecno efektu polaryzcaji powoduje powstanie dodatkowych adunkwi prdw polaryzacyjnych. adunki i prdy wprowadza si do rwna Ma-xwella. Powoduje to zmian definicji wektora indukcji elektrycznej:

~D = 0 ~E + ~P = 0(1 + Y ) ~E (15)

gdzie Y to podatno elektryczna zalena od czstotliwoci. Wprowadzasi rwnie pojcie przenikalnoci elektrycznej materiau

d = 0(1 + Y )[F/m] (16)

6. Definicja orodkw: niejednorodnego i liniowegoOrodek niejednorodny to orodek, ktry nie wykazuje jednakowych wa-ciwoci (np. przewodnictwa elektrycznego) w kadym maym obszarzeobjtoci danej substancji w skali makroskopowej.Orodek liniowy to taki orodek, ktrego dany parametr (np przenikal-no, przewodno) nie zaley od nate pl.

7. Definicja wektora indukcji magnetycznej w materiale, w ktrymwystpuj efekty magnetyzacyjneW materiaach pod wpywem przyoonego pola magnetycznego powstajmagnetyczne momenty dipolowe, ktre s rdem pola magnetycznego.Wprowadza si pojcie gstoci prdu magnetycznego. Uwzgldniajc tenprd mona nie zmienia rwna Maxwella, o ile wprowadzi si definicjprzenikalnoci magnetycznej orodka.

~B = 0(1 + M ) ~H = ~H (17)

Gdzie = 0(1+M ) a M jest podatnoci magnetyczn, H przyoonympolem magnetycznym

8. Warunki brzegowe przy powierzchni idealnego przewodnikaDla idealnego przewodnika mamy:1. Wewntrz materiau nie ma pola elektrycznego ( =, = 0)2. Dla przypadku dynamicznego (/t 6= 0) nie moe wic by pola ma-gnetycznego (w przypadku statycznym moe by)3. Prd moe pyn tylko po powierzchni a adunki gromadz si na po-wierzchni.Konsekwencje:

~D2 ~n ~D1 ~n = s (18)~n ~E2 = ~n ~E1 (19)~B2 ~n = ~B1 ~n (20)

3

~n ~H2 ~n ~H1 = ~Js (21)

Poniewa orodek pierwszy jest idealny to otrzymujemy ostatecznie zale-noci:

~D2 ~n = s (22)~n ~E2 = 0 (23)~B2 ~n = 0 (24)

~n ~H2 = ~Js (25)

9. Rwnanie Poytinga w postaci cakowej V

~E ~Jdv+

S

( ~E ~H) ~ds+

V

( ~H ~B

t+ ~E

~D

t)dv = 0

(26)

Dygresja: Przepraszam, ale caka po powierzchni S przy iloczynie wekto-rowym powinna by zamknita (z kkiem) ale za choler nie mogem tegoznale w Latexie. Koniec dygresji :)Omwienie:-Pierwsza caka-opisuje gsto mocy traconych na elementarnych objto-ciach dv.-druga caka-wynikajca z rwnania (~( ~E ~H)) opisuje zgodnie z zasadzachowania energii moc wnikacjc lub uciekajc z objtoci dv.-caka trzecia-reprezentuje moc magazynowan w poluOglnie rzecz biorc: Cakowita moc pola elektromagnetycznego wycho-dzca z objtoci V rwna jest ubytkowi w czasie z wypadkowej energiinaadowanych czsteczek oraz energii zmagazynowanej w polu elektrycz-nym i magnetycznym.~E-natenie pola ektrycznego, [V/m]~H-natenie pola magnetycznego, [A/m]~D-indukcja pola elektrycznego, [C/m]~B-indukcja pola magnetycznego, [T]~J-gsto prdu przewodzenia, [A/m2]

10. Rnica potencjaw elektrostatycznychRnica potencjaw jest prac (dodatni lub ujemn), jak naley wyko-na, aby przesun adunek jednostkowy z punktu (1) do (2).

(UE(2) UE(1)) = U =

21

~E ~dl = Wq

(27)

4

11. Prawo Biota-SavartaPrawo to okrela wielko i kierunek wektora indukcji magnetycznej ~B wdowolnym punkcie P pola magnetycznego, wytworzonego przez prd elek-tryczny I pyncy w przewodniku. Warto liczbowa elementu indukcji dB,wytworzonej przez nieskoczenie may element przewodnika ~dl jest wprostproporcjonalna do natenia prdu I w nim pyncego, jego dugoci orazsinusa kta utworzonego przez kierunki elementu przewodnika ~dl i wersora~ir wskazujcego punkt, w ktrym wyznaczane jest to pole, a odwrotnieproporcjonalne do kwadratu odlegoci r od elementu przewodnika z pr-dem do punktu P.

~dB =I ~dl ~ir

4pir2(28)

12. Granice stosowanie przyblienia quasistatycznego. Kiedy stosu-jemy model o staych rozoonych?Genralnie zakada si, e warunek jest speniony, gdy wymiary fizyczneukadu s duo mniejsze od wiartki dugoci fali.

l 4

(29)

Jeeli ten warunek nie jest speniony, niezbedne jest podejcie polowe.

W przypadku, kiedy tylko jeden wymiar nie jest speniony, stosujemy mo-del obwodu o staych rozoonych.

2 Pytania opisowe

13. Podaj wzr w postaci cakowej i omw rwnanie cigoci V

~JdV = t

V

dV. (30)

Dywergencja gstoci prdu jest rwna prdkoci zmniejszania si gstociadunku .

Wzr powyszy mona tumaczy w nastpujcy sposb rnice w g-stoci prdu wypywajcego z pewnej objtoci powoduj zmniejszania sigstoci adunku w tej objtoci.

Mwic prociej: rdem prdu s poruszajce si adunki.

14. Prawo Gaussa w postaci cakowej. Wzr i omwienieStrumie wektora indukcji elektrycznej, wypywajcy z dowolnej powierzch-ni zamknitej, rwny jest cakowitemu aduknowi zgromadzonemu we-wntrz tej powierzchni. Warto zaznaczy, e adunki umieszczone na ze-wntrz powierzchni maj wpyw tylko na rozkad pola, a nie na strumie

5

wypywajcy z tej powierzchni. S

~D ~ds = Q (31)

gdzie

Q =

V

dv (32)

PS.Przy pierwszej cace znw keczko, bo powierzchnia zamknita.

15. Posta cakowa i omwienie prawa rode magnetycznychPoniewa w przyrodzie nie wystpuj adunki magnetyczne, linie si polazawsze s liniami zamknitymi. Zatem cakowity strumie wychodzcy zdowolnej powierzchni zamknitej S bdzie rwny 0, gdy kada z linii pola,jeeli wchodzi w wyznaczony obszar, to rwnie z niego wychodzi.

S

~B ~dS = 0 (33)

PS. Caka rwnie po obszarze zamknitym.

16. Posta cakowa i interpretacja prawa FaradayaPrawo indukcji Faradaya mwi, e zmiana strumienia indukcji pola ma-gnetycznego przechodzcego przez obwd wytwarza w nim si elektromo-toryczn:

L

~E ~dl =

S

~B

t ~ds (34)

17. Uoglniona posta prawa AmpereaUoglnione prawo Amperea mwi, e rdem cyrkulacji wektora polamagnetycznego moe by nie tylko prd elektryczny (prd przewodzenia),ale rwnie zmiany w czasie wektora indukcji elektrycznej (tzw. prd prze-sunicia).

l

~H~dl =

S

( ~D

t+ ~J) ds (35)

Pierwszy skadnik w nawiasie przyjto nazywa prdem przesunicia (wprzeciwiestwie do prdu J, ktre jest prdem przewodzenia). Zjawiskoto zostao odkryte przez Maxwella i wprowadzone do pierwotnego prawaAmperea.

18. Dlaczego w idealnym przewodniku nie ma pola elektrycznego?Pod wpywem pola przyoonego do przewodnika nastpi polaryzacja a-dunkw i w efekcie powstanie pole zaindukowane E (zakaadamy, e a-dunki mog sie porusza). Wypadkowe pole to rnica pola przyoonegoi indukowanego przez zgromadzone adunki. Efekt-ruch adunkw w prze-wodniku bedzie trwa tak dugo, a wypadkowe pole wyniesie 0.

6

19. Na co moe zosta zamieniona moc dostarczona do naadowane-go orodka? Jakie s wtedy relacje fazowe pomidzy nateniempola a prdem?Energia moe zosta zamieniona na przyspieszenie czstek bd grzanieczstek.

pV = ~J ~E = wVt

(36)

Jeli pole E jest w fazie z prdem J, to gsto mocy p okrela straty naciepo (zjawisko Joulea). Jeli prd J nie jest w fazie z polem E, to energiajest gromadzona w orodku - na pojemnoci / indukcyjnoci.

20. Omw i uzasadnij sensowno wprowadzania pojcia napicia(rnicypotencjaw) w przypadku elektrostatykiRnica potencjaw ma sens pracy (dodatniej lub ujemnej) jak naleywykona, aby przesun adunek jednostkowy z punktu (1) do (2).

(UE(2) UE(1)) = U =

21

~E ~dl = Wq

(37)

Rnica potencjaw nie zaley od drogi, wzdu ktrej je liczymy (jestsens wprowadza pojcie rnicy potencjaw)Jeli rozwaamy pola, dla ktrych nie mona zaoy bezwirowoci, to po-jcie napicia nie ma sensu.

21. Porwnaj metody okrelania pl: elektrycznego i magnetycznegow oparciu o koncepcj potencjawW przypadku pola elektrostatycznego prowadzono potencja skalarny UE .Znajc potencja skalarny obliczamy natenie pola wykonujc operacjgradientu.

~E = UE (38)gdzie

UE =1

4pi

V

S(r)

RdV (39)

Dla staego pola magnetycznego mona wprowadzi potencja wektorowy

~B = ~A (40)gdzie

~A =

4pi

V

~J(r)R

dV (41)

UWAGA: punkty, gdzie umieszczone s rda s primowane, a punkty wktrych obliczamy wartoci, s bez primw.

7

22. Omw pojcia: rwnanie falowe i rwnanie HelmholtzaRwnanie falowe jest matematycznym rwnaniem rniczkowym czst-kowym rzdu drugiego, opisujce ruch falowy. Opisuje wychylenie fali wchwili t.

(2 2

t2) ~E = 0 (42)

Takie samo rwnanie uzyskuje si dla wekora natenia pola magnetycz-nego

(2 2

t2) ~H = 0 (43)

Gdzie dla przykadu jednowymiarowego(fala rozchodzi si np w kierunkuosi z) rwnanie ma posta:

(2

z2

2

t2) ~E(z, t) = 0 (44)

Natomiast rozwizanie ma posta: ~E(z, t) = ~E0+cos(t kz + +) +E0cos(t+ kz + )

Wykorzystujc amplitudy zespolone do powyszych rwna otrzymujemyrwnanie Helmholtza

(2 + 2){~E

~H

}= 0 (45)

23. Omw sens fizyczny rwnania falowego na przykadzie rozwi-zania dla przypadku jednej zmiennejW przypadku jednej zmiennej rwnanie falowe dla pola elektrycznego maposta:

(2

z2

2

t2) ~E(z, t) = 0 (46)

a rozwizanie ma posta

~E(z, t) = ~E0+cos(t kz + +) + ~E0cos(t+ kz + ) (47)

gdzie k2 = 2Powierzchnia staej fazy to paszczyzna (Az +B(t)=C) std nazwa falapaska.

Zaburzenie poruszajce si w kierunku +z powinno mie posta f(t, z) =f(at bz). Rozwizaniem rwnania falowego jest powysze rwnanie. Za-lenoc ta opisuje poruszajce sie w kierunku +z (pierwszy czynnik) oraz-z (drugi czynnik) fale pola E.

Takie same zalenoci opisuj fale pola magnetycznego (oba pola wyst-puj jednoczenie i maj tak sam zmienno czasowo-przestrzenn).

8

24. Zdefiniuj wektor falowy i omw jego zwizek z podstawowymiparametrami ruchu falowegoWektor ~k = k~iz nazywamy wektorem falowym. Jest on zgodny z kierun-kiem ruchu paszczyzny staej fazy (kierunkiem propagacji)Rozwamy czynnik harmoniczny cos(t kz + +)Liczb k nazywamy liczb falow. Ma ona sens wspczynnika fazy dlaruchu falowego i mwi o szybkoci zmian fazy. Jako e funkcja cosinusjest okresowa mona wprowadzi pojcie dugosi fali a wic odlegocipomidzy dwoma punktami o takiej samej fazie. Naley w tym miejscupoda wan zaleno

k =2pi

(48)

A std mona poda inne wane parametry czce wektor falowy z pa-ramtrami ruchu falowego.

=2pi

k(49)

Alek =

(50)

oraz = 2pif (51)

Std mona wyznaczy dowolne zalenoci pomidzy parametrami np.

vf =

k(52)

25. Zdefiniuj pojcie polaryzacji fali i omw rodzaje polaryzacji falipaskiej wykorzystujc pojcie wspczynnika eliptycznociMwic o polaryzacji fali elektromagnetycznej mamy na myli zachowaniesi wektora natenia pola elektrycznego (magnetycznego), obserwowanew kierunku wektora rozchodzenia si fali. Innymi sowy jest to kierunekwzajemnie prostopadych pl. Oznacza to, e wektor pola elektryczne-go(magnetycznego) bdzie drga tylko w jednej paszczynie.

Wykonujc odpowiednie przeksztacenia na rwnaniach:

~Ex(z, t) = ~Ex0cos(t kz + x) (53)~Ey(z, t) = ~Ey0cos(t kz + y) (54)

otrzymujemy rwnanie krzywej drugiego stopnia:

x2 2xycos+ y2 sin2 = 0 (55)

Uwzgldniajc fakt,e kt moe zmienia si od 0 do 2pi moemy uzyskaprost, elips lub koo.

9

Jeli = 0 to uzyskujemy prost. Mwimy wtedy o polaryzacji linio-wej. Prosta moe by nachylona wzgldem paszczyzny odniesieniapod dowolnym ktem.

Jeli przesunicie fazy pomidzy skadowymi wektora E wynosi =pi2 i obie skadowe maj tak sam amplitud Ex0 = Ey0 to koniecwektora E porusza si po okrgu. Mwimy wwczas o polaryzacjikoowej. Ruch moe by zgodny lub przeciwny do wskazwek zegara.Mwimy odpowiednio: polaryzacja prawoskrtna (+) lub lewoskrtna(-). Patrzymy w kierunku propagacji fali.

We wszystkich pozostaych przypadkach mamy do czynienia z po-laryzacj eliptyczn (warunki: istniej obie skadowe Ex0 i Ey0, zarnica faz jest rna od zera). Wprowadza si wwczas wspczynnikeliptycznoci AR = |AA

||BB|

3 Wyprowadzenia

26. Zaleno midzy gstoci powierzchniow prdu, a prdkociporuszajcego si adunku objtociowego, rozoonego w sposbcigyObjto elementu

dV = A dl (56)adunek wewntrz elementu

dQ = V dV (57)

Z definicji gstoci powierzchniowej prdu

Js =I

A=

dQdt

A=

dQ

A dt (58)

Wprowadzajc dt = dlv

Js =dQ

A dlv=

dQ

A dl v =dQ

dVv = v v (59)

Zapisujc wektorowo:~Js = v ~v (60)

27. Wzr na oporno prostopadocianu o dugoci l i przekrojupoprzecznym S wykonanego z matriau i przewodnoci waciwejZ prawa Ohma

~J = ~E (61)

10

Rozkad jest cigy, wic:

I = J S = E S (62)oraz

U = E l (63)Obliczamy stosunek U/I. Bdzie to oporno:

U

I=

E l E S =

l

S = l

S= R (64)

gdzie = 1/ to oporno waciwa

28. Wychodzc z obwodowego prawa Amperea dla amplitud zespo-lonych wprowad pojcie zespolonej przenikalnoci elektrycznejWychodzc z oglnego prawa Amperea:

~H = ~J + ~D

t= ~E +

~E

t(65)

W dziedzinie amplitud zespolonych pochodne czasowe zamieniamy naczynnik j

~H = ~J + j ~D = ~E + j ~E = j(+ j

) ~E (66)

Wielko wystpujca w nawiasie to zespolona przenikalno elektrycznaoznaczana jako cZespolona przenikalno elektryczna moe wic by zapisana jako:

c = 0r j

(67)

29. Korzystajc z rwna Maxwella wyznacz zwizek pomidzy ska-dowymi normalnymi wektora indukcji B i natenia pola magne-tycznego H na granicy dwch orodkw. Sformuuj zaoeniaZakadamy, e granica pomidzy orodkami jest bezwymiarowa (niesko-czenie cienka). W przekroju granicznym mog wic istnie tylko prdylub adunki powierzchniowe. Granic otaczamy walcem. Stosujemy pra-wo rde dla powierzchni takiego walca. Wybieramy przy tym skadowenormalne do tej granicy.

S

~B ~dS = 0 (68)

PS. Caka z kkiem.

Rozpisujemy cak po powierzchni zamknitej:

S( ~B2 ~n ~B1 ~n) +

SB

~Bb ~nbdS = 0 (69)

11

Dymy do 0 z wysokoci walca, wic caka po powierzchni bocznej dydo 0. Jako, eS jest rne od 0 otrzymujemy:

~B2 ~n = ~B1 ~n (70)

Skadowe normalne wektora indukcji magnetycznej maj przejcie cigena granicy dwch orodkw czyli:

znajc dugo skadowej normalnej wektora B w jednym o. znamyjej dugo przy granicy w drugim orodku

jeli znamy parametry orodkw moemy okreli dugo skadowejnormalnej wektora natenia pola magnetycznego.

B2n = B1n (71)

oraz2 H2n = 1 H1n (72)

Std:H2n =

12H1n =

1r2r

H1n (73)

30. Wyprowad rwnania Laplacea i PoissonaZ elektrostatyki znane jest rwnanie:

~E =

(74)

ale rwanie~E = UE (75)

std wynika, e2 UE =

(76)

Jest to rwnanie Poissona.Jeeli w obszarze nie ma adunku ( = 0) to uzyskujemy rwnanie Lapla-cea.

2 UE = 0 (77)

31. Wychodzc z rozwizania rwnania falowego (przypadek jedno-wymiarowy) wyprowad wzr na prdko fazow fali paskiejRozwaania bd dotyczyy rozchodzenia si fali w kierunku +z.

~E(z, t) = ~E0+cos(t kz + +) (78)

oraz k2 = 2Okrelamy prdko przesuwania si powierzchni staej fazy

= t kz + + = const (79)

12

Rwnanie rniczkujemy obustronnie

d = dt kdz = 0 (80)

Rozwaajc tylko rodkowe skadniki rwnania otrzymujemy

vf =dz

dt=

k=

1

(81)

W prni prdko ta rwna jest prdkoci wiata.

13