Elektřina a magnetismusElektřina a magnetismus

oblast fyziky, která zkoumá elektrické a magnetické jevy v prostředí a jejich vzájemnou souvislost

klasickou makroskopickou teorii elektřiny a magnetismu je možno popsat pomocí Maxwellových rovnic a materiálových vlastností prostředí, ve kterém probíhají elektromagnetické procesy

Elektřina a magnetismusC][→QElektrický náboj

náboj je vlastnost mikročástic látky, která se projevuje silovými účinky na podobné mikročástice v jejím okolí

souvisí vždy s hmotnou částicí, která vytváří kolem sebeelektrické pole, jež zprostředkovává silové působení mezi nabitými částicemi na dálku

silové účinky mezi částicemi závisí na jejich vzájemném pohybu:

pole elektrostatické

pole elektrodynamické

náboj v kliduelektrostatické síly

náboj v pohybuelektrické a magnetické síly

Elektrostatické poleZákon zachování náboje

náboj je nevytvořitelný a nezničitelný konst.=∑Q

Zákon superpozicepři současném působení několika nábojů je účinek každého náboje týž, jako by náboj působil sám

Zákon invariantnosti náboje

náboj je při všech transformacích vztažné soustavy invariantní

Zákon o kvantování náboje.

všechny náboje - kladné i záporné - jsou celistvými násobky dále nedělitelného elementárního náboje (e = 1,602 . 10 -19 C)

Elektřina a magnetismusElektrický náboj

Klidová hmotnostAtomy

Proton: C10602,1 19−⋅== eQkg1067265,1 27−⋅=Pm

Neutron: kg1067495,1 27−⋅=nm

C10602,1 19−⋅−=−= eQElektron: kg1010953,9 31−⋅=em

v 1 kg elektricky neutrální látky je obsaženo přibližně 5·107Ckladného i záporného náboje

Elektrostatické poleCoulombův zákon

02

12

2112 4

1 rrQQF

o

rr

πε=

elektrostatická síla, kterou na sebe působí ve vakuu dva bodovénáboje Q1 a Q2 permitivita vakua: ε0 = 8,854 . 10 -12 F/m

++

1Q

2Q

12Fr

21Fr

12rr–

+

12Fr

21Fr

1Q

2Q

12

120

rrr r

rr

=

odpudivá síla přitažlivá síla

Elektrostatické pole

Coulombův zákon Newtonův zákon

12312

2112 4

1 rrQQF

o

rr

πε= 123

12

2112 r

rmmF rr

κ−=

přitažlivá nebo odpudiváklesá s faktorem 1/r2

velmi silné působenídůležité působení v malých měřítcíchneumožňuje shlukovat náboje stejného znaménka a tak vytvářet silné působení

vždy přitažliváklesá s faktorem 1/r2

velmi slabé působenídůležitá ve velkých měřítcíchumožňuje shlukovat velkou hmotu

Elektrostatické polePříklad: (porovnání gravitační a elektrostatické síly mezi protonem a elektronem)

gravitační konstanta: κ = 6,67 . 10 -11 N m2 / kg2 , ε0 = 8,854 . 10 -12 F/mproton: mp= 1,672 . 10 -27 kg , Qp = e = 1,6 . 10 -19 C.elektron: me= 9,109 . 10 -31 kg , Qe = -e = -1,6 . 10 -19 C.

392

10.24

=κπε

= &epog

e

mme

FF

22 41,

rQQ

Frmm

F ep

oe

epg πε

=κ=

Příklad: (elektrostatická síla mezi dvěma náboji Q = 1 C ve vzdálenosti r = 1 km)

kN99,84

12

2

=πε

=rQF

oe

Elektrostatická síla je ve srovnání se silou gravitační

mnohonásobně větší

Elektrostatické pole

elektrostatické silové pole je vektorové pole charakterizované tzv. intenzitou pole (intenzitou síly):

]V/m[QFEr

r=

Intenzita elektrického pole

Siločáry elektrostatického pole:- tečna v daném bodě má směr vektoru intenzity pole- tyto křivky se vzájemně neprotínají- můžeme pomocí nich graficky znázornit velikost intenzity pole- siločáry vycházejí z kladného náboje a končí v záporném náboji

1Q

+2Q

−

+ −Q Q

Er

+ −

Elektrostatické poleIntenzita elektrického pole - příklady

osamocený náboj elektrický dipól souhlasné náboje

Elektrostatické polehomogenní

elektrické polenehomogenní

elektrické pole

konst.)( =rE rkonst.)( ≠rE r

deskový kondenzátor

Elektrostatické polePříklad: (laserová tiskárna – elektrostatický princip nanášení toneru)

Elektrostatické polePříklad: (inkoustová tiskárna – elektrostatický princip nanášeníinkoustu)

Elektrostatické polePříklad: (elektrostatický odlučovač popílku, čističe vzduchu)

Elektrostatické polePříklad: (pohyb nabité částice v elektrostatickém homogenním poli)

2

21

rryll gttvyh ++=

)(

)(/

ll

lyyl

ol

tyy

tvvvlt

=

==

mgG =d

QUQEFe ==

0dd

dd

2

2

===txm

tvmma x

x dQUmg

tym

tv

mma yy ±=== 2

2

dd

dd

0vvx =

tvx 0=

tmdQUgvy ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ±=

em FGarrr

+=

2

2tmdQUgy ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ±=

0v

y

x

l

d

h

m E

S

+

mgthm =2

2

dd

Elektrostatické polePříklad: (elektrostatický odlučovač částic různých látek)

Material A Material BAsbestos SilicatesCoal PyriteCoal ShaleCopper ore SilicatesCoke IronDiamonds SilicatesFeldspar QuartzFly ash CarbonIron SilicatesKaolin Iron contaminationLimestone SilicatesNickel Copper oreZirconium SandBarley, rice Rodent excrementCocoa beans ShellsCotton seeds StemsGrain Garlic seedsNut meat ShellsPhotographic film PaperPolyvinyl Polyester

Elektrostatické polePříklad: (elektrostatické nanášení různých látek – barvy, apod.)

Elektrostatické polePříklad: (blesk – elektrostatický výboj)

elektrický průraz vzduchu

V/m103 6⋅≥E

Elektrostatické polePole bodových nábojů

podle zákona superpozice platí:

∑ ∑= =πε

==n

i

n

ii

i

ii r

rQEE

1 1

02

041 rrr

∑=

==n

iiFEQF

1

rrr

Q

1Q

2Q

3Q

01rr

02rr

03rr

1r

2r3r

+−

+−

Elektrostatické polePole spojitě rozložených nábojů

v makroskopických rozměrech nemusíme přihlížet k mikrostruktuře látky a můžeme předpokládat, že náboj je rozložen spojitě s hustotou konečné velikosti, která se spojitě mění v prostoru

r

V

VdQd

0rrEr

VQ

dd

=ρobjemová hustota náboje:

SQ

dd

=σplošná hustota náboje:

lQ

dd

=τdélková hustota náboje:intenzita pole

∫∫∫ρ

πε=

V

o

o

rr

VE rr2

d4

1o

o

o

o

rr

VrrQE rrr

22

d4

1d4

1d ρπε

=πε

=

Elektrostatické poleTok N vektoru intenzity plochou dS

SESESESESEN nn dd)d,(cos.ddd ====rrrr

Er

nEr

Sr

d

Sd

- uzavřená plocha, uvnitř s náboji

∑ ∑=πε

==n

i

oi

i

i

oi r

rQEE

124

1 rrr∫∫∑∫∫∑∫∫ ===S

niS

iS

SESESEN dddrrrr

Ω= dd 2in rS

∫ ∑∑∫∑∫∫ππ

ε=Ω

πε=Ω

πε==

4

0

24

02 d

4d

41d

o

i

o

ii

i

i

oSni

QQrrQSEN

o

n

ii

S

QSEN

ε==∑

∫∫ =1drrGaussova věta

elektrostatiky:

celkový tok

V

Sd

iQ

Er

+−

++

−−−

Sr

d

ir

Elektrostatické pole

2dSr

1dSr

2dPr S

P+Q

21 dd SESErrrr

−= 0d =PErr

náboje umístěné vněplochy neovlivní tok

vektoru plochou

0dddd1 2

=++== ∫∫ ∫∫ ∫∫∑∑∑∫∫S P SS

SESESESENrrrrrrrr

Elektrostatické pole

∫∫∫ρ= VQ dGaussova věta v diferenciálním tvaru:

∫∫∫∫∫ ρε

=VoS

VSE d1drr

∫∫∫∫∫∫∫∫ ρε

==VoVS

VVESE d1ddivdrrr

o

Eερ

=r

div

Gaussova věta umožňuje v některých případech určit

jednoduše intenzitu

Elektrostatické polePříklad: (výpočet intenzity rovnoměrně nabité kulové plochy)

24ddd rEESSESESEQ

SSSo

π⋅=====ε ∫∫∫∫∫∫

rr24 r

QEoπε

=r > R

r < R 0=Q 0=E

Er

Er

Er

Er

S

RrQ

Elektrostatické polePříklad: (výpočet intenzity rovnoměrně nabité koule)

Gaussova plocha pro r > R

Gaussova plocha pro r < R

Rr

3

34 R

QVQ

π==ρ

∑ =πρ= 3

33

34

RrQrQ ∫∫∑ π⋅==

ε So

rESEQ 24d

rr

rRQE

o34

1πε

=

ErQ

o

24π=ε∑

241

rQE

oπε=

r > R

r < R

Elektrostatické polerEQrFA rrrr

dd ==δPráce v elektrostatickém poli:

∫=B

A

r

r

rEQAr

r

rrd

( ) ( ) RR

Qrrrr

QrE i

oi

i

i

o

rr

rrrr

rr33 4

14

1πε

=−−πε

=

iQirr

Brrrr

Arr

rrdQ B

A+

+

O

Rr

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

πε=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡−

πε==

πε=

πε= ∫∫

2123

114

14

d4

d4

2

1

2

1

2

1RR

QQR

QQRRQQ

R

RRQQAo

iR

Ro

iR

Ro

iR

Ro

i

r

r

r

rr

rr

Elektrostatické polePotenciální energie v elektrostatickém poli: AWp δ−=d

změna potenciální energie bodového náboje Q nacházejícího se v elektrostatickém poli je rovna záporně vzaté práci vykonané silami elektrostatického pole při malém přemístění bodového náboje Q v elektrostatickém poli

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

πε=−

1212

114 RR

QQWWo

iAWP −=∆

potenciální energie částice nesoucí náboj Q v poli

vytvořeném nábojem Qiio

iP R

QQWπε

=4

0, →∞→ Pi WR

∫∞

−=R

P RFWrr

d

∑∑== πε

==n

i i

i

o

n

iPiP R

QQWW11 4

výsledná potenciálníenergie částice

Elektrostatické pole]V[

QWP=ϕPotenciál elektrostatického pole:

potenciál elektrostatického pole v daném bodě prostoru definujeme jako podíl potenciální energie náboje umístěného v tomto bodě a velikosti tohoto náboje

∫∞

−=ϕR

RErr

d∑=

ϕ=ϕn

ii

1 i

i

oi R

Qπε

=ϕ4

1bodové náboje

spojitě prostorověrozložené náboje ∫∫∫

ρπε

=ϕVo r

Vd4

1

rrdgradd ϕ=ϕPWA dd −=

rEQrFA rrrrddd ==

ϕ= dd p QW

0gradrotrotrr

=ϕ−=Eϕ−= gradE

r

elektrostatické pole je nevírové

Elektrostatické poleekvipotenciální plochy 0d =rE rr

Errr

⊥dkonst.),,( =ϕ zyx

plochy konstantního potenciálu jsou kolmé na siločáry

]V[d2

12112 ∫=ϕ−ϕ= rEU rr

elektrické napětí

+

potenciální rozdíl mezi dvěma místy v elektrickém poli

homogenní pole

Elektrostatické pole

o

Eερ

=r

divPoissonova rovnice ϕ−= gradEr

( )oερ

=ϕ∆−=ϕ− graddivrovnice pro potenciál elektrického pole při daných

okrajových podmínkách

),,( zyxϕ

Laplaceova rovnice

02

2

2

2

2

2

=∂ϕ∂

+∂ϕ∂

+∂ϕ∂

=ϕ∆zyx0=ρ

v případě, že hustota volných nábojů ρ je rovna nule

Elektrostatické poleElektrický dipól

dipólový moment lQprr

=

QQx

y

1Er

2Er

Er

O

P

+ −lr

1rr

2rr

rr

30

20 4

14

cosr

rpr

Ql rr⋅

πε=

πεα

=ϕ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⋅πε

=ϕ−= 350

)(34

1gradrp

rrrpE

rrrrr

tvořený dvěma stejnými náboji opačného znaménka

elektrický dipól tvoří např. některé molekuly

elektrickým dipólem jsou antény pro vysíláníelektromagnetických vln

Elektrostatické poleSilové působení pole na elektrický dipól

Er

+− l

rQ

Q

EQr

− EQr

+

EpEQlMrrrrr

×=×=

moment sílyhomogenní pole

nehomogenní pole

EQFp

rr∆=

vzniká ještě posuvná síla:

dipól se stáčí do směru působícího elektrického pole a v nehomogenním

poli se posouváEpFp

rrr)( ∇⋅=

Elektrostatické polePříklad: (dipól v elektrickém poli – mikrovlnná trouba)

vlivem oscilujícího mikrovlnného pole na rezonanční frekvenci molekul vody se

porušují vazby řetězců molekul a uvolněná energie vazeb se mění na teplo

(chaotický tepelný pohyb molekul)

nesymetrická molekula vody tvoříelektrický dipól

Elektrostatické poledielektrikumelektrický vodič polovodič

volné elektrony ve vodiči se za normálního stavu pohybují chaotickým tepelným pohybem

vodič se jeví jako elektricky neutrální

pod vlivem vnějšího elektrického pole se volné elektrony mohou volně přemisťovat

látka, která neobsahuje volné elektrony

látka se jeví jako prakticky elektricky nevodivá (izolant)

elektricky nabité částice látky se nemohou pohybovat na velkévzdálenosti (pouze posunout)

pod vlivem vnějšího elektrického pole se vytvoří el.dipóly

krystalické látky s nebo bez určité příměsovélátky, která zvyšuje jeho vodivost

za nízkých teplot podobné izolantu

náboje se přemísťujípomocí děrové resp. elektronové vodivosti

Elektrostatické poleElektrické pole ve vodičích

vnější elektrické pole způsobí pohyb volných nábojů dokud nenastane rovnovážný statický stav (intenzita vnějšího pole je uvnitř vodiče kompenzována rozložením volných nábojů na povrchu vodiče)

0rrrr

=+= extin EEEelektrické pole uvnitř vodiče: konst.=ϕ

0d =ε

=∑∫∫o

in

S

QSErr

volný náboj, jímž je vodič nabit, je rozložen na vnějším povrchu vodiče

povrch vodiče je v elektrostatickém poli ekvipotenciální plochou

směr intenzity vnějšího elektrického pole, které nabitý vodič budí, jekolmý k povrchu vodiče

0=Er

konst=ϕEr

Q

konst.=ϕ

SQ

dd

=σ

∫∫σ

πε=

πε=ϕ

Soo rS

rQ d

41d

41

Elektrostatické poleElektrické pole ve vodičích

0=Ekonst=ϕ

Er

+++

++++++

++++++ + + + +

pole nabitého vodiče

Elektrostatické polePříklad: (výpočet intenzity na povrchu vodiče nabitého nábojem, který je na povrchu vodiče rozprostřen s plošnou hustotou σ)

SnESEN ddd rrrr==

oo

SQNεσ

=ε

=ddd

nEo

rr.

εσ

=

nr

plochaGaussova

Sd

Sd

vodič

Elektrostatické poleNabitá rovina

ooS

SQSE

εσ

=ε

= ∑∫∫rr

dEErr

−=′ nn rr−=′

ESESESSES

2d =+=∫∫rr

o

Eεσ

=2nEnE

oo

rrrr

εσ

−=′εσ

=22

Sd

0>σ

S

Sd

nrn′rE′r

Er

Elektrostatické poleOdstínění vnějšího elmag. pole – Faradayova klec

vnější elektrické pole lze odstínit pomocívodivého uzavřeného obalu, např.drátěnéklece

do uzavřené dutiny poté neproniká elektricképole

Elektrostatické polePříklad: (odstínění vnějšího elmag. pole – koaxiální kabel)

1r

2r

Elektrostatické poleElektrostatická indukce

při vložení nenabitého (neutrálního) vodiče do elektrostatického pole jiných vodičů se objeví povrchové rozložení náboje

++

++

+A

++

++

+

−−−−−

B C

−−−−−

0=Ekonst.=ϕ

Elektrostatické poleKapacita vodiče ]F[

ϕ=

QC

kapacita vodiče závisí na jeho tvaru a je číselně rovna náboji Q, který změní potenciál vodiče o 1 V

Příklad: (kapacita vodivé koule o poloměru R nabité nábojem Q)

RQ

oπε=ϕ

41

RQC oπε=ϕ

= 4

++

++

+

+++++

Q

potenciál koule:

kapacita koule:

ϕϕ

ϕ

Elektrostatické pole

kondenzátor je soustava dvou opačně nabitých vodičů se stejnou absolutníhodnotou náboje, kdy je elektrické pole soustředěno do prostoru mezi nimi a kdy je vliv jiných elektrických polí zanedbatelný

Kondenzátor 0>=UQC 21 ϕ−ϕ=U

Elektrostatické poleDeskový kondenzátor

nnnEEEooo

inrrrrrr

εσ

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛εσ−

−+εσ

=′+= −+ 22pole mezi deskami:

napětí mezi deskami: dS

QddErEUo

d

oinin ε

=εσ

=== ∫0

drrr

kapacita kondenzátoru:dS

UQC oε==

d

0>σ σ−+′E

r+Er

−′Er

−Er

nrinEr

Elektrostatické polesériové zapojeníkondenzátorů ∑

=

=n

i iCC 1

11

ii C

QU =∑=

=n

iiUU

1

1C 2C nC

A BL

paralelní zapojeníkondenzátorů

∑=

=n

iiQQ

1∑=

=n

iiCC

1UCQ ii =

A

B

2C1C nCL

Elektrostatické poleElektrostatické pole v dielektriku

uvnitř dielektrika může existovat elektrické poledielektrikum neobsahuje volně pohyblivé nabité částice (náboje jsou vázány v atomech, iontech, molekulách)při vložení dielektrika do vnějšího elektrického pole se vytvoří elektrickédipóly – dielektrikum se tzv.polarizuje

polarizace dielektrika

atomováiontováorientační

+− −−

− −−−

− − −+

− −−− −

−−− − −

0Er

00 =Er

+−rrd

prd

VQd−VQd+

Elektrostatické polepolarizace dielektrika

vlivem vnějšího pole dochází ke stáčeníel.dipólů látky ve

směru pole

EEE ′+=rrr

0

výsledné pole má stejný směr jako pole vnější, ale je zeslabené E<E0

Elektrostatické pole

+−rrd

prd

VQd−VQd+

VpP

dd rr

=vektor polarizace

polarizaci dielektrika lze charakterizovat pomocí vektoru polarizace

rQp vrr ddd =dipólový moment objemového elementu dV dielektrika

dQv - vázaný náboj1d,ddddd

=σ== oov

v rrrSrQP rrrr

velikost polarizace P je rovna plošné hustotě vázaného náboje na povrchu dielektrika

ov rQSP rrddd = vQSP dd =

rr

∫∫ ==′VS

VPSPQ ddivdrrr

tok náboje z objemu V plochou S:

v důsledku vnějšího pole vznikne v dielektriku vázaný náboj QV :

∫−=′−=V

v VPQQ ddivr

Pv

rdiv−=ρ∫ρ=

Vvv VQ d

Elektrostatické pole( ) ( )PE

oo

v

o

crr

div1div −ρε

=ερ+ρ

=ερ

=Gaussova věta

( ) ρ==+ε DPEo

rrrdivdiv 3.Maxwellova rovnice

PED o

rrr+ε=vektor elektrické indukce

∫ ∑=S

iQSDrr

dGaussova věta v dielektriku

EP o

rrκε=předpoklad lineární závislosti polarizace na

elektrickém poli

( ) EEED roo

rrrrε=εε=κ+ε= 1 κ…dielektrická susceptibilita

εr…relativní permitivita

Elektrostatické poleDielektrikum ve vnějším elektrickém poli

vložíme-li dielektrikum do elektrického pole, dojde k zeslabení el.pole, avšak elektrická indukce D zůstane stejná

r

oEEε

=EE rooo εε=εDDo =

0ε

0E

Er ,ε

dielektrikum

ε = ε0εr …absolutní permitivita

všechny vztahy platné pro pole ve vakuu platí i pro dielektirka, jestliže nahradíme permitivituvakua absolutní permitivitou

prostředí

o

ro

rrQQF rr2

2112 4

1επε

=Coulombův zákon v dielektriku

Elektrostatické poleRelativní permitivita prostředí

Elektrostatické poleEnergie elektrického pole práce potřebná k převedení náboje

Q2 z nekonečna do dané polohy při pevném náboji Q1W

rQQQA =

πε=ϕ=

12

2122 4

1

( )221121

ϕ+ϕ= QQW

Energie W pole n-nábojů

∑∑∑=

≠== πε

=ϕ=n

i

n

kik ik

kin

iii r

QQQW1 11 8

121( )ki

rQn

k ik

ki ≠

πε=ϕ ∑

=141

Energie W pole spojitě rozložených nábojů v objemu V a na ploše S

∫∫∫ ∫∫ ϕσ+ϕρ=V S

SVW d21d

21

Elektrostatické poleSíla působící na náboj

síla, kterou působí elektrické pole o intenzitě E na náboj Q

)/(gradgrad QWE P−=ϕ−=r

PWEQF grad−==rr

Příklad: (Energie nabitého deskového kondenzátoru)

( ) ( ) QUQQQW21.

21

21

212211 =ϕ−ϕ=ϕ+ϕ=energie W

d

0>σ σ−

Fr

Fr

−SdQ

CQCUW

ε===

2221 22

2

dS

UQC ε==

dCU

CdQ

SQ

dWWF

222grad

222

−=−=ε

−=∂∂

−=−=r

síla F

Elektrostatické polePříklad: (kapacita a el.pole deskového kondenzátoru s dielektrikem)

2120

2

10

1 111

CCdd

SU

DSC

rr

+=

εε+

εε

=⋅

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛εε

+εε

=+=+= 22

11

10221121 ddDdEdEUUU

r

r

r

1C 2C

21 DDSQD ===

2201100 EEED rrr εε=εε=εε=

jako 2 deskovékondenzátory v

sérii

1221

21 dd

UErr

r

ε+εε

=1221

12 dd

UErr

r

ε+εε

=

1d 2d

1rε

2rε

Q+ Q−

1E 2E

elektrické pole

Elektrostatické polePříklad: (kondenzátory s vysokou kapacitou – superkapacitory)

zatímco běžné kondenzátory (např. deskový kondenzátor) má kapacitu v řádu zlomků faradu, superkapacitory mají kapacitu o několik řádů vyšší(v řádu jednotek faradů)

to umožňuje uchovávat milionkrát větší množství náboje

používá se speciálních uhlíkových elektrod s pórovitou nanostrukturou(povrchová plocha až 1000 m2/g) a vodivého elektrolytu

CQCUW22

1 22 ==

dají se použít s výhodou pro:- záložní zdroje energie- zdroje energie v hybridních ekologických vozidlech - startování vozidel,…

Elektrostatické polePříklad: (přenosný defibrilátor)

kondenzátor se rychle nabjena vysoké napětí a poté se

během velmi krátkého pulsu část energie vybije přes tělo

pacienta

V4000=U

F100 µ=C

J80021 2 == CUW

kW10021 2

=∆

α=∆′

=t

CUt

WP

25,0=α

ms2=∆t

výkon pulzu

akumulovaná energie