Embed Size (px)
Citation preview
ELEKTRODINAMIKA
Pregled formula
Velimir Labinac
Odjel za fiziku Sveuciliste u RijeciE-mail: [email protected]
WWW: http://www.phy.uniri.hr/~vlabinac
Marko Jusup
Center of Mathematics for Social Creativity, Hokkaido University, JapanE-mail: [email protected]
29. sijecnja 2018.
Sadrzaj
I ELEKTROSTATIKA 6
1 Coulombov zakon. Princip superpozicije 61.1 Sila izmedu dva tockasta naboja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2 Princip superpozicije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 61.3 Elektricno polje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.4 Elektricni potencijal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.5 Linijska gustoca naboja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.6 Plosna gustoca naboja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.7 Prostorna gustoca naboja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2 Gaussov zakon 102.1 Integralni oblik Gaussova zakona . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 102.2 Diferencijalni oblik Gaussova zakona . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 102.3 Rotor elektricnog polja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.4 Osnovni zakoni elektrostatike . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 112.5 Poissonova i Laplaceova jednadzba . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 11
3 Rad i energija u elektrostatici. Vodici 123.1 Rad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .123.2 Elektrostatska potencijalna energija skupa tockastih naboja . . . . . . . . . . . . . . . . 123.3 Energija kontinuirane raspodjele naboja . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 123.4 Vodici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.5 Sila na vodic u elektricnom polju . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
II METODE ZA PRORA CUN POTENCIJALA 14
4 Rubni problemi u elektrostatici. Metoda slika 144.1 Rubni problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 14
4.1.1 Dirichletov problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 144.1.2 Neumannov problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 14
4.2 Rubni uvjeti u elektrostatici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 154.3 Metoda slika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 15
4.3.1 Tockasti naboj blizu vodljive, uzemljene ravnine . . . . . . . . . .. . . . . . . 154.3.2 Tockasti naboj blizu vodljive, uzemljene sfere . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 164.3.3 Linijski naboj blizu vodljivog, uzmeljenog cilindra. . . . . . . . . . . . . . . . 17
5 Metoda separacije varijabli. Laplaceova jednadzba u Kartezijevim koordinatama 185.1 Metoda separacije varijabli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 185.2 Potpun i ortogonalan skup funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 18
5.2.1 Ortogonalne funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 185.2.2 Potpun skup funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 19
5.3 Relacija potpunosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 195.4 Funkcije dvije i tri varijable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 19
1
6 Laplaceova jednadzba u sfernim koordinatama 206.1 Opce rjesenje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206.2 Rjesenje za unutrasnjost i vanjstinu sfere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206.3 Rjesenja sa azimutalnom simetrijom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 21
7 Laplaceova jednadzba u cilindri ckim koordinatama 227.1 Dvodimenzionalni problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 22
7.1.1 Problemi sa simetrijom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 227.2 Konacni cilindar: plast na potencijalu nula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237.3 Konacni cilindar: baze na potencijalu nula . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 23
8 Multipolni razvoj potencijala 258.1 Adicijski teorem za sferne harmonike . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 258.2 Razvoj funkcije 1/ |r − r ′| u red po sfernim harmonicima . . . . . . . . . . . . . . . . . 258.3 Multipolni momenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 258.4 Multipolni momenti u Kartezijevim koordinatama . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 26
8.4.1 Ukupni naboj raspodjele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 268.4.2 Elektricni dipolni moment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268.4.3 Tenzor elektricnog kvadrupolnog momenta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268.4.4 Multipolni razvoj potencijala u Kartezijevim koordinatama . . . . . . . . . . . . 27
8.5 Fizicka interpretacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 278.6 Elektricni dipol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
8.6.1 Elektricni potencijal i polje tockastog dipola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278.6.2 Sila na dipol, moment sile i potencijalna energija u vanjskom elektricnom polju . 28
III ELEKTRI CNO POLJE U TVARIMA 29
9 Vezani naboj i polarizacija. Makroskopske jednadzbe elektrostatike 299.1 Izolatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 299.2 Elektricni potencijal polarizirane tvari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 299.3 Makroskopske jednadzbe elektrostatike . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 309.4 Rubni uvjeti u sredstvima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 309.5 Linearni dielektrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 319.6 Energija u dielektriku . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 319.7 Clausius-Mossottijeva relacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 31
10 Rubni problemi s dielektricima i feroelektricima 3210.1 Poissonova i Laplaceova jednadzba . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 3210.2 Rubni uvjeti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 32
IV MAGNETOSTATIKA 33
11 Lorenzova sila. Bio-Savartov zakon 3311.1 Struja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 3311.2 Plosna gustoca struje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3311.3 Prostorna gustoca struje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3311.4 Jednadzba kontinuiteta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 3311.5 Lorenzova sila . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 3311.6 Biot-Savartov zakon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 34
2
12 Ampereov zakon. Magnetski vektorski potencijal (I dio) 3512.1 Temeljne jednadzbe magnetostatike . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 3512.2 Magnetski vektorski potencijal . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 3512.3 Tok magnetskog polja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 36
13 Magnetski vektorski potencijal (II dio). Multipolni raz voj vektorskog potencijala 3713.1 Jednadzbe za vektorski potencijal u sfernim koordinatama . . . . . . . . . . . . . . . . 3713.2 Jednadzbe za vektorski potencijal u cilindrickim koordinatama . . . . . . . . . . . . . . 3713.3 Rubni uvjeti u magnetostatici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 3713.4 Multipolni razvoj vektorskog potencijala . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 38
V MAGNETSKO POLJE U TVARIMA 39
14 Vezane struje i magnetizacija. Makroskopske jednadzbe magnetostatike 3914.1 Magnetski dipol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 39
14.1.1 Vektorski potencijal i magnetsko polje magnetskog dipola . . . . . . . . . . . . 3914.1.2 Sila na dipol, moment sile i potencijalna energija u vanjskom magnetskom polju 39
14.2 Dijamagneti, paramagneti i feromagneti . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 4014.3 Vektorski potencijal tvari s magnetizacijom . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 4014.4 Makroskopske jednadzbe magnetostatike . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 4114.5 Rubni uvjeti u magnetskim sredstvima . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 41
15 Rubni problemi s magnetskim sredstvima 4215.1 Linearna magnetska sredstva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 4215.2 Magnetski skalarni potencijal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 42
15.2.1 Linearna sredstva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 4215.2.2 Tvrdi feromagneti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 42
15.3 Rubni uvjeti za linearna magnetska sredstva . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 43
VI MAXWELLOVE JEDNAD ZBE 44
16 Ohmov zakon. Faradayev zakon indukcije 4416.1 Ohmov zakon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 44
16.1.1 Klasicna mikroskopska teorija elektricne vodljivosti . . . . . . . . . . . . . . . 4416.2 Jouleov zakon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 4416.3 Elektromotorni napon. Tok magnetskog polja . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 4416.4 Faradayevi pokusi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 45
16.4.1 Inducirano elektricno polje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4516.5 Faradayev zakon indukcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 45
16.5.1 Ukupno elektricno polje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
17 Energija magnetskog polja. Kvazistaticka aproksimacija 4717.1 Induktivnost strujnih petlji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 4717.2 Energija magnetskog polja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 4717.3 Struja pomaka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 4817.4 Kvazistaticka aproksimacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
17.4.1 Kvazi-magnetostaticka aproksimacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4817.4.2 Kvazi-elektrostaticka aproksimacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3
18 Zakoni ocuvanja u elektrodinamici 5018.1 Maxwellove jednadzbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 5018.2 Zakon ocuvanja naboja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5018.3 Poyntingov teorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 50
18.3.1 Energija elektromagnetskog polja . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 5018.3.2 Rad elektromagnetskih sila na naboje . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 5118.3.3 Poyntingov vektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 5118.3.4 Poyntingov teorem i zakon ocuvanja energije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
18.4 Maxwellov tenzor naprezanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 5218.5 Integralni oblik izraza za silu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 5218.6 Zakon ocuvanja impulsa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5218.7 Zakon ocuvanja angularnog momenta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .53
VII ELEKTROMAGNETSKI VALOVI 54
19 Ravni EM val. Polarizacija 5419.1 Elektromagnetski valovi u vakuumu . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 5419.2 Ravni EM val . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 54
19.2.1 Energija i impuls ravnog EM vala . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 5519.3 Polarizacija EM vala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 56
19.3.1 Stokesovi parametri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 57
20 Elektromagnetski valovi u jednostavnim sredstvima 5820.1 Elektromagnetski valovi u sredstvu . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 58
20.1.1 Energija i impuls EM vala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 5920.1.2 Rubni uvjeti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 59
20.2 Refleksija i transmisija ravnog EM vala na granici izmedu dva opticka sredstva . . . . . 5920.2.1 Fresnelove jednakosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 5920.2.2 Geomtrijska optika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 6120.2.3 Okomit upad:θi = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6120.2.4 Koeficijenti refleksije i transmisije . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 6120.2.5 Polarizacija refleksijom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 6220.2.6 Totalna refleksija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 6220.2.7 Grafovi zarq, r⊥, tq i t⊥ za zrak i staklo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
21 Disperzija. Apsorpcija 6421.1 Elektromagnetski valovi u vodicima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
21.1.1 Skin efekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 6421.2 Ovisnost dielektricne konstante o frekvenciji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
21.2.1 Normalna i anomalna disperzija. Rezonantna apsorpcija . . . . . . . . . . . . . 6521.2.2 Dielektricna konstanta u granici niskih frekvencija. Elektricna vodljivost . . . . 6721.2.3 Dielektricna konstanta u granici visokih frekvencija. Plazmena frekvencija . . . 67
21.3 Valni paket. Grupna i fazna brzina . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 67
VIII IZVORI I ZRA CENJA ELEKTROMAGNETSKIH VALOVA 69
4
22 Retardirani potencijali. Zra cenje tockastog naboja 6922.1 Bazdarne transformacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 6922.2 Coulombov i Lorentzov izbor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 6922.3 Retardirani potencijali i Jefimenkove jednadzbe . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 7022.4 Lienard-Wiechertovi potencijali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 71
22.4.1 Lorentzova sila . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 7122.5 Snaga zracenja tockastog naboja. Larmorova formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7122.6 Reakcijska sila zracenja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
23 Zracenje elektricnog dipola. Zracenje magnetskog dipola i elektricnog kvadrupola 7323.1 Zone elektromagnetskog polja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 7323.2 Svojstva EM polja zracenja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7423.3 Kutna raspodjela snage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 7523.4 Vektor zracenja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7523.5 Polje zracenja elektricnog dipola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
23.5.1 Harmonicki izvori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7623.6 Polje zracenja magnetskog dipola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
23.6.1 Harmonicki izvori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7723.7 Polje zracenja elektricnog kvadrupola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
IX PRILOZI 79
24 Diracova delta-funkcija 79
25 Legendreovi polinomi 80
26 Pridru zene Legendreove funkcije i sferni harmonici 81
27 Besselove funkcije 83
28 Modificirane Besselove funkcije 84
29 Vektorska analiza 85
LITERATURA 90
5
I ELEKTROSTATIKA
1 Coulombov zakon. Princip superpozicije
1.1 Sila izmedu dva tockasta naboja
r1
r2
q1
q2
O
Slika 1.1
Neka se dva tockasta nabojaq1, q2 nalaze na polozajimar1, r2. Coulombska silaF izmedu njih je
F =1
4πǫ0
q1q2
|r1 − r2|2r1 − r2
|r1 − r2|, (1.1)
gdje je permitivnost vakuumaǫ0 = 8,85 · 10−12 C2 N−1 m−2.
1.2 Princip superpozicije
r
ri
qi
Q
O
Slika 1.2
Promotrimo tockaste nabojeq1, q2, ..., qk na polozajimar1, r2, ..., rk i test-nabojQ na polozajur . Ukupnasila kojom naboji djeluju naQ je prema principu superpozicije jednaka vektorskom zbrojusila izmedunabojaqi i Q
FQ = F1 + F2 + ... + Fk =
k∑
i=1
Fi =1
4πǫ0
k∑
i=1
qiQ
|r − r i|2r − r i|r − r i|
. (1.2)
6
1.3 Elektri cno polje
r
ri
qi
O
Slika 1.3
Ako jednakost (1.2) podijelimo saQ dobivamo izraz za elektricno poljeEQ u tocki r
FQ
Q≡ EQ = E1 + E2 + ... + Ek =
k∑
i=1
Ei =1
4πǫ0
k∑
i=1
qi
|r − r i|2r − r i|r − r i|
. (1.3)
1.4 Elektri cni potencijal
U izrazu (1.3) poljaEi mozemo napisati u obliku
Ei (r ) ∝r i − r
|r i − r |3= −∇
(1
|r − r i|
)
. (1.4)
Uvodimo novu, skalarnu fizikalnu velicinu, elektricni potencijal
Φ (r ) =1
4πǫ0
k∑
i=1
qi
|r − r i|(1.5)
takvu da vrijediE (r ) ≡ −∇Φ (r ) . (1.6)
1.5 Linijska gustoca naboja
r
r'
O
Dl'
Slika 1.4
Potencijal i elektricno polje linijske gustoce nabojaλ (r ′) dobivamo iz (1.3) i (1.5) zamjenama
q → ∆q = λ(r ′)∆l′
∑
i
→∫
∆q . (1.7)
7
Imamo∣∣dr ′
∣∣ = dl′
Φ (r ) =1
4πǫ0
∫λ (r ′) dl′
|r − r ′|
E (r ) =1
4πǫ0
∫(r − r ′)
|r − r ′|3λ(r ′)
dl′ . (1.8)
1.6 Plosna gustoca naboja
r
r'
O
DS'
Slika 1.5
Potencijal i elektricno polje plosne gustoce nabojaσ (r ′) uz zamjene
q → ∆q = σ(r ′)∆S′
∑
i
→∫
∆q (1.9)
postaju
Φ (r ) =1
4πǫ0
∫σ (r ′) dS′
|r − r ′|
E (r ) =1
4πǫ0
∫(r − r ′)
|r − r ′|3σ(r ′)
dS′ . (1.10)
1.7 Prostorna gustoca naboja
r
r'
O
DV'
Slika 1.6
8
Potencijal i elektricno polje prostorne gustoce nabojaρ (r ′) uz zamjene
q → ∆q = ρ(r ′)∆V ′
∑
i
→∫
∆q (1.11)
postaju
Φ (r ) =1
4πǫ0
∫ρ (r ′) dV ′
|r − r ′|
E (r ) =1
4πǫ0
∫(r − r ′)
|r − r ′|3ρ(r ′)
dV ′ . (1.12)
Napomena: umjesto oznake dV cesto se upotrebljava oznaka d3r.
9
2 Gaussov zakon
2.1 Integralni oblik Gaussova zakona
qin
S
O
r
n
qout
E E E= +in out
Slika 2.1
Integralni oblik Gaussova zakona glasi ∮
S
E · dS=qin
ǫ0(2.1)
gdje jeqin ukupni naboj koji se nalazi unutar zatvorene ploheS. Vektor n je normala na plohu, a dS =
ndS. Plosni integral na lijevoj strani jednakosti (2.1) naziva se tok (fluks) elektricnog polja krozS.Primijetimo da je tok elektricnog poljaEout nabojaqout kroz plohuS jednak nuli, dok je ukupno polje utocki r na plohiS po principu superpozicije jednakoE = Ein + Eout (slika 2.1).
Integralni oblik Gaussova zakona osobito je pogodan za racunanje elektricnog polja simetricnih ras-podjela naboja. To su, uobicajno, raspodjele sa sfernom, cilindricnom (azimutalnom) ili ravninskomsimetrijom. Simetrija naboja ukazuje na simetriju elektricnog polja, a time dobivamo informaciju osmjeru polja i njegovoj ovisnosti o pojedinim koordinatama. U skladu s informacijama o elektricnompolju, biramo plohuS u Gaussovu zakonu.
2.2 Diferencijalni oblik Gaussova zakona
Uvedemo li gustocu nabojaρ (r ), integralni oblik Gaussova zakona mozemo promijeniti u diferencijalnioblik
∇ · E =ρ
ǫ0(2.2)
koji vrijedi u tocki prostora.
2.3 Rotor elektricnog polja
E
C
d = dl t l
Slika 2.2
10
JednakostE = −∇Φ (2.3)
ekvivalentna je tvrdnji da rotor elektrostatskog poljeE iscezava
∇ × E = 0 (2.4)
Upotrebom Stokesovog teorema, iz jednadzbe (2.4) zakljucujemo da je krivuljni integral elektrostatskogpolja jednak nuli ∮
C
E · dl = 0 (2.5)
gdje je dl = tdl. Ovdje je dl diferencijal duljine luka krivuljeC, a t tangenta (slika 2.2). Iz (2.3) mozemoizracunati potencijal ako je poznato elektricno polje
Φ (r2) −Φ (r1) = −∫ r2
r1
E · dl (2.6)
2.4 Osnovni zakoni elektrostatike
Integralne jednakosti∮
S
E · dS=q
ǫ0∮
C
E · dl = 0 (2.7)
ili diferencijalne jednakosti
∇ · E =ρ
ǫ0
∇ × E = 0 (2.8)
osnovni su zakoni elektrostatike. Njima je elektrostatskopolje jednoznacno odredeno.
2.5 Poissonova i Laplaceova jednadzba
Uvrstimo li (2.3) u (2.2) dobijemo Poissonovu jednadzbu
∇2Φ = − ρ
ǫ0(2.9)
Pomocu Poissonove jednazbe koja je skalarna, parcijalna, diferencijalna jednadzba drugog reda racunamopotencijalΦ. Ovu je jednadzbu lakse rijesiti nego sistem vektorskih jednadzbi (2.8), a nakonsto smoizracunali potencijal, elektricno polje dobivamo pomocu (2.3).
Partikularno rjesenje jednadzbe (2.9) nam je vec poznato
Φ (r ) =1
4πǫ0
∫
V
ρ (r ′) dV ′
|r − r ′| (2.10)
Zaρ = 0 Poissonova jednadzba prelazi u Laplaceovu
∇2Φ = 0 (2.11)
11
3 Rad i energija u elektrostatici. Vodici
3.1 Rad
Rad sile, po iznosu jednake elektricnoj, ali suprotnog smjera, kojeg izvrsimo pomicanjem nabojaQ uelektricnom poljuE, od r1 do r2 je
W =
∫ r2
r1
F · dl = −Q∫ r2
r1
E · dl = Q [Φ (r2) − Φ (r1)] (3.1)
Elektricna sila je konzervativna: rad elektricne sile ne ovisi o putanji po kojoj se naboj giba. Ako zareferentni potencijal u beskonacnosti odaberemoΦ (r1 =∞) = 0 tada je rad jednak
W = QΦ (r2) (3.2)
Zato potencijalnu energiju elektricnog polja mozemo definirati kao rad potreban za dovodenje naboja izbeskonacnosti u konacnu tocku.
3.2 Elektrostatska potencijalna energija skupa tockastih naboja
Za tockaste nabojeq1, q2, ..., qk na polozajimar1, r2, ..., rk elektrostatska potencijalna energija skupatockastih naboja jednaka je radu potrebnom da se naboji iz beskonacnosti dovedu u konacan volumen
W =1
8πǫ0
k∑
i=1
k∑
j=1i 6=j
qiqj∣∣r i − r j
∣∣
(3.3)
3.3 Energija kontinuirane raspodjele naboja
Za zadanu kontinuiranu raspodjelu nabojaρ (r ) elektrostatska potencijalna energija glasi
W =12
∫
V
ρΦdV
=ǫ0
2
∫
po cijelomprostoru
|E|2dV (3.4)
Gustoca energije dana je formulom
w =ǫ0
2|E|2 (3.5)
3.4 Vodici
Savrseni vodici su materijali sa neogranicenim brojem slobodnih elektrona. Sljedece tvrdnje vrijede zasavrsene vodice:
• Unutar vodica elektricno polje jednako je nuli. Ako izolirani, savrseni vodic stavimo u elek-tricno polje po njegovoj povrsini inducira se jednaka kolicina pozitivnog i negativnog naboja.Takva plosna raspodjela naboja stvara elektricno polje koje ponistava vanjsko polje u unutrasnjostivodica.
12
-
-
-
-
-
+
+
+
+
+
E = 0
E 0¹
Slika 3.1
• Iz Gaussovog zakona iE = 0 slijedi
ρ
ǫ0= ∇ · E = 0
⇒ ρ = 0 (3.6)
unutar vodica. Visak naboja, odnosno naboj koji ne pripada vodicu, a kojeg ubacimo u vodic,gotovo trenutno otece na povrsinu.
r ¹ 0 r = 0
Slika 3.2
• Povrsina vodica je ekvipotencijalna povrsina.
F = konst.
E n= E
Slika 3.3
• Elektricno polje na povrsini vodica ima smjer normale.
3.5 Sila na vodic u elektricnom polju
Stavimo vodic (nabijen ili nenabijen) u elektricno polje. Po povrsini vodica inducira se plosna raspodjelanaboja. Pretpostavimo da je ukupna raspodjela naboja po povrsini vodica jednakaσ. Sila na vodic je
F =1
2ǫ0
∫
S
σ2ndS (3.7)
13
II METODE ZA PRORACUNPOTENCIJALA
4 Rubni problemi u elektrostatici. Metoda slika
4.1 Rubni problem
Rubni problem zadan je obicnom ili parcijalnom diferencijalnom jednadzbom i rubnimuvjetom. U elek-trostatici rjesava se Poissonova i Laplaceova jednadzba koje su parcijalne diferencijalne jednadzbe dru-gog reda za elektricni potencijalΦ. Zadatak je elektrostatike naci rjesenje tih jednadzbi u promatranompodrucju P tako da su zadovoljeni unaprijed postavljeni uvjeti za potencijal na rubnoj plohiS.
4.1.1 Dirichletov problem
Ako su zadane vrijednosti potencijalaΦ na rubuS govorimo o Dirichletovom rubnom problemu.
S
V( )r
P
Ñ2F = r/e0
Slika 4.1
Oznacimo vrijednosti potencijala na rubu saV (r ). Dirichletov rubni problem zadan je jednadzbama
∇2Φ = − ρ
ǫ0
(ili ∇2
Φ = 0)
Φ|S = V (r ) (4.1)
4.1.2 Neumannov problem
Ako su zadane vrijednosti normalne derivacije potencijalana rubnoj plohiS govorimo o Neumannovomproblemu.
S
g( )r
P
Ñ2F = r/e0
n
Slika 4.2
14
Oznacimo vrijednosti normalne derivacije na rubuS sag (r ) . Neumannov rubni problem zadan je jed-nadzbama
∇2Φ = − ρ
ǫ0
(ili ∇2
Φ = 0)
∂Φ
∂n
∣∣∣∣S
= ∇Φ · n|S = g(r ) (4.2)
gdje jen normala na plohuS na polozajur .
4.2 Rubni uvjeti u elektrostatici
n
E1
E2
rubna ploha
1
2
Slika 4.3
Pri prijelazu iz jednog dijela prostora u drugi, normalna komponenta elektricnog polja je diskontinuiranaako se po rubnoj plohi koja razdvaja prostore nalazi plosna gustoca nabojaσ (r )
n · (E2 − E1)|na rubu=σ
ǫ0(4.3)
Ovdje jen normala na rubnu plohu koja je usmjerena iz dijela 1 u dio 2. Tangencijalna komponentaelektricnog polja uvijek je kontinuirana
n × (E2 − E1)|na rubu= 0 (4.4)
U svim zadacima kojecemo rjesavati umjesto uvjeta (4.4), moze se upotrijebiti uvjet
(Φ1 − Φ2)|na rubu= 0 (4.5)
4.3 Metoda slika
4.3.1 Tockasti naboj blizu vodljive, uzemljene ravnine
q
z = Rz = R-
r
d'd z
F = 0
q' q= -
Slika 4.4
15
Nabojq postavimo na udaljenostz = R od vodljive i uzemljene ravnine. Rjesavamo rubni problem
∇2Φ = − 1
ǫ0qδ (x) δ (y) δ (z −R)
Φ|z=0 = 0 (4.6)
u podrucju z > 0. Postavljamo naboj slikeq′ = −q u tocku z = −R. Rjesenje problema glasi
Φ (r ) =1
4πǫ0
q
|r − d| +1
4πǫ0
q′
|r − d′|
=q
4πǫ0
(1
√x2 + y2 + (z −R)2
− 1√x2 + y2 + (z +R)2
)
(4.7)
4.3.2 Tockasti naboj blizu vodljive, uzemljene sfere
q
a q
r
d' d
z
F = 0
q' qa/d= -
Slika 4.5
Trazimo rjesenje za potencijal u problemu tockastog naboja blizu vodljive i uzemljene sfere u podrucjur ≥ a. Rubni problem glasi
∇2Φ = − 1
ǫ0
q
2πr2 sinθδ (θ) δ (r − d)
Φ|r=a = 0 (4.8)
Naboj slikeq′ = −qa/d postavljamo u tocku d′ = (a2/d)ez. Rjesenje glasi
Φ (r, θ) =1
4πǫ0
q
|r − d| +1
4πǫ0
q′
|r − d′|
=q
4πǫ0
(1
√r2 + d2 − 2rd cosθ
− a
d
1√r2 + a4/d2 − 2r(a2/d) cosθ
)
(4.9)
16
4.3.3 Linijski naboj blizu vodljivog, uzmeljenog cilindra
tt = -t'
b j
r
d' d
x
y
F = 0
x R=
Slika 4.6
Trazimo rjesenje za potencijal u problemu linijskog naboja jednolike gustoceτ blizu beskonacnog, vod-ljivog i uzemljenog cilindra u podrucju ρ ≥ b. Linijski naboj paralelan je s osi cilindra i nalazi se napolozajud = Rex. Rubni problem glasi
∇2Φ = − 1
ǫ0
τ
ρδ (φ) δ (ρ − R)
Φ|ρ=b = 0 (4.10)
Naboj slikeτ′ = −τ postavljamo u tocku d′ = (b2/R)ex. Rjesenje glasi
Φ (ρ, φ) =τ
2πǫ0ln
(b
R
√ρ2 + R2 − 2ρR cosφ
ρ2 + b4/R2 − 2ρ(b2/R
)cosφ
)
(4.11)
17
5 Metoda separacije varijabli. Laplaceova jednadzba u Kartezijevim ko-ordinatama
5.1 Metoda separacije varijabli
Rubni problem s Laplaceovom jednadzbom glasi
∇2Φ = 0
+ rubni uvjet (Dirichlet, Neumann) (5.1)
Ovisno o obliku rubnih ploha odabratcemo koordinate (pravokutne, sferne, cilindricke,...). Laplaceovujednadzbu rjesavatcemo metodom separacije varijabli. Osnovna ideja te metodeje da se rjesenje napisekao produkt funkcija tako da svaka od njih ovisi samo o jednojkoordinati. Na primjer, ako su koordinate(η1, η2, η3) rjesenje trazimo u obliku
Φ (η1, η2, η3) = U (η1) V (η2) Z (η3) (5.2)
i nadamo se da se tada Laplaceova jednadzba moze separirati po varijablama (η1, η2, η3) . Za svaku odfunkcijaU, V,Z dobijemo obicnu diferencijalnu jednadzbu drugog reda.
5.2 Potpun i ortogonalan skup funkcija
Ovisno o odabranim koodinatama, tijekom rjesavanja Laplaceove jednadzbe metodom separacije varija-bli, javit ce se potpuni i ortogonalni skupovi funkcija. Na primjer, ako rjesavamo Laplaceovu jednadzbuu pravokutnim koordinatama javitce se skup trigonometrijskih funkcija sinus i kosinus. Ako rjesavamoLaplaceovu jednadzbu u sfernim koordinatama javitce se Legendreovi polinomi i sferni harmonici, a kodcilndricnih koordinata javitce se Besselove funkcije. Svi ti skupovi funkcija imaju dva vazna svojstva:potpunost i ortogonalnost.
5.2.1 Ortogonalne funkcije
Za dvije funkcijeum, un kazemo da su ortogonalne na intervalu (a, b) ako vrijedi
∫ b
a
u∗m (η) un (η) dη = 0 , m 6= n (5.3)
gdje ” * ” oznacava kompleksnu konjugaciju. Skup funkcijaum, m cijeli broj je ortogonalan ako svoj-stvo (5.3) vrijedi za bilo koje dvije funkcije iz skupa. Ako za funkcije navedenog skupa vrijedi
∫ b
a
u∗mumdη =
∫ b
a
|um|2 dη = 1 (5.4)
tada kazemo da suum normalizirane. Svojstva (5.3) i (5.4) mogu se u jednoj jednakosti napisati kao
∫ b
a
um (η) un (η) dη = δmn (5.5)
pa govorimo o ortonormiranom skupu funkcija.
18
5.2.2 Potpun skup funkcija
Skup funkcijaum (η) je potpun na intervalu (a, b) ako bilo koju funkcijuf (η) mozemo razviti u redpo skupuum (η)
f (η) =∑
n
anun (η) (5.6)
gdje suan konstantni koeficijenti reda funkcija. Ako je skupum (η) ortonormiran, koeficijentian moguse odrediti na sljedeci nacin:
f (η) =∑
n
anun (η)
∖
u∗m (η)
∖∫ b
a
dη
∫ b
a
u∗mfdη =
∑
n
an
∫ b
a
u∗mundη︸ ︷︷ ︸
δmn
= am (5.7)
Vidimo da su koeficijentian jednaki
an =
∫ b
a
u∗n (η) f (η) dη (5.8)
5.3 Relacija potpunosti
Svojstvo potpunosticesto izrice se relacijom
∑
n
u∗m(η′)un (η) = δ
(η′ − η
)(5.9)
5.4 Funkcije dvije i tri varijable
Zelimo funkcijuf (η, ξ) razviti u red po potpunom ortonormiranom skupu funkcijaum (η) , vn (ξ) napodrucju (a, b) × (c, d), gdje je skupum (η) potpun i ortonormiran na (a, b), avn (ξ) potpun i orto-normiran na (c, d). Analogno razmatranju za jednu varijablu imamo
f (η, ξ) =∑
m
∑
n
amnum (η) vn (ξ)
amn =
∫ b
a
dη∫d
c
dξu∗m (η) v∗n (ξ) f (η, ξ) (5.10)
Slicno, za funkciju tri varijableg (ζ, η, ξ) vrijedi razvoj po potpunom, ortonormiranom skupu funkcijasl (ζ) , um (η) , vn (ξ)
g (ζ, η, ξ) =∑
l
∑
m
∑
n
clmnsl (ζ) um (η) vn (ξ) (5.11)
gdje su koeficijenticlmn
clmn =
∫ b
a
dζ∫d
c
dη∫f
e
dξsl (ζ) um (η) vn (ξ) g (ζ, η, ξ) (5.12)
19
6 Laplaceova jednadzba u sfernim koordinatama
6.1 Opce rjesenje
x
q
j y
z
r
Sferne koordinateT
Slika 6.1
Laplaceova jednadzba∇2Φ = 0 u sfernim koordinatama ima oblik
1r
∂2
∂r2(rΦ) +
1
r2 sinθ
∂
∂θ
(
sinθ∂Φ
∂θ
)
+1
r2 sin2 θ
∂2Φ
∂φ2= 0 (6.1)
Gornju jednadzbu rjesavamo metodom separacije varijabli, a za opce rjesenje dobivamo
Φ (r, θ, φ) =∞∑
l=0
l∑
m=−l
(Almr
l+ Blmr
−(l+1)) Ylm (θ, φ) (6.2)
FunkcijeYlm (θ, φ) nazivaju se sferni harmonici ili kugline funkcije. KoeficijenteAlm, Blm odredujemopomocu rubnih uvjeta.
6.2 Rjesenje za unutrasnjost i vanjstinu sfere
x
y
z
R
Fout
Fin
F = V(q, j)
Slika 6.2
Zadana ploha je oblika sfere radijusaR po kojoj je specificiran potencijal ili gustoca naboja. RjesenjeLaplaceove jednadzbe za unutrasnjost sfere mora biti regularno u ishodistu, pa je u (6.2) koeficijentBlm = 0. U protivnom je rjesenje nefizikalno: potencijal je beskonacan u ishodistu. Zar ≤ R imamo
Φin (r, θ, φ) =∞∑
l=0
l∑
m=−lAlmr
lYlm (θ, φ) (6.3)
20
U podrucju r ≥ R, za r → ∞ potencijal je jednak nuli. Tada koeficijentAlm mora biti jednak nuli, arjesenje glasi
Φout (r, θ, φ) =∞∑
l=0
l∑
m=−lBlmr
−(l+1)Ylm (θ, φ) (6.4)
6.3 Rjesenja sa azimutalnom simetrijom
Pretpostavimo da je po sferir = R raspodjela potencijala ili gustoca naboja cilindricno-simetricna. Akose os cilindricne simetrije podudara saz-osi govorimo o azimutalnoj simetriji jer raspodjela ne ovisi okoordinatiφ. Ocekujemo da ni potencijal nece ovisiti oφ. Tada se rjesenja (6.3) i (6.4) pojednostavljuju:za fiksnil, ostaju samoclanovi sa indeksomm = 0. Za r ≤ R dobivamo
Φin (r, θ) =∞∑
l=0
AlrlPl (cosθ) (6.5)
a zar ≥ R
Φout (r, θ) =∞∑
l=0
Blr−(l+1)Pl (cosθ) (6.6)
FunkcijePl (cosθ) nazivaju se Legendreovi polinomi.
21
7 Laplaceova jednadzba u cilindri ckim koordinatama
7.1 Dvodimenzionalni problem
j
y
x
T
r
Polarne koordinate
Slika 7.1
Probleme u kojima potencijal ne ovisi od jedne, prostorne koordinate nazivamo dvodimenzionalnim pro-blemima. Kod cilindricnih rubnih ploha, dvodimenzionalan je problem u kojem potencijal ne ovisi oz-koordinati. Ako rjesenje za potencijalΦ trazimo metodom separacije varijable u polarnim koordina-tamaρ, φ u oblikuΦ (ρ, φ) = R (ρ) Ψ (φ), parcijalna diferencijalna jednadzba
1ρ
∂
∂ρ
(
ρ∂Φ
∂ρ
)
+1
ρ2
∂2Φ
∂φ2= 0 (7.1)
rastavlja se na dvije obicne diferencijalne jednadzbe zaR (ρ) i Ψ (φ) cija su rjesenja
R (ρ) =
aρν + bρ−ν, ν 6= 0a0 + b0 ln ρ, ν = 0
Ψ (φ) =
A sin (νφ) + B cos (νφ) , ν 6= 0A0 + B0φ, ν = 0
(7.2)
Ovdje jeν realan broj, a konstantea, b, a0, b0, A, B,A0, B0 odredujemo iz rubnih uvjeta. U posebnomslucaju, ako su rubne plohe takve da nema ogranicenja za kutφ (drugim rijecima,φ je iz intervala 0 do2π) tada je opce rjesenje superpozicija rjesenja (7.2)
Φ (ρ, φ) = a0 + b0 ln ρ +
∞∑
n=1
[an sin (nφ) + bn cos (nφ)] ρn +∞∑
n=1
[cn sin (nφ) + dn cos (nφ)] ρ−n (7.3)
gdjeν = n postaje cijeli broj.
7.1.1 Problemi sa simetrijom
Kod zadataka koje rjesavamo na vjezbama, javljaju se problemi kod kojih je potencijal parna ili neparnafunkcija po varijabliφ. Za parna rjesenja jednadzba (7.3) postaje
Φ (ρ, φ) = a0 + b0 ln ρ +
∞∑
n=1
anρn cos (nφ) +
∞∑
n=1
bnρ−n cos (nφ) (7.4)
a za neparna
Φ (ρ, φ) = a0 + b0 ln ρ +
∞∑
n=1
anρn sin (nφ) +
∞∑
n=1
bnρ−n sin (nφ) (7.5)
22
7.2 Konacni cilindar: pla st na potencijalu nula
x
j y
z
z
T
r
Cilindri ne koordinateè
Slika 7.2
Rjesenje Laplaceove jednadzbe u cilindrickim koordinatama (ρ, φ, z)
∂2Φ
∂ρ2+
1ρ
∂Φ
∂ρ+
1
ρ2
∂2Φ
∂φ2+
∂2Φ
∂z2= 0 (7.6)
za unutrasnjost kruznog, uspravnog cilindra duljineL i radijusaa kojemu su donja baza i plast na poten-cijalu nula, a gornja baza na potencijaluV (ρ, φ), jednako je
Φ (ρ, φ, z) =∞∑
m=0
∞∑
n=1
Jm (kmnρ) sinh (kmnz) (Amn sinmφ + Bmn cosmφ)
kmn =xmn
a; n = 1,2, ... (7.7)
gdje jexmn n-ta nula Besselove funkcije prve vrsteJm(x). KoeficijenteAmn i Bmn odredujemo iz vrijed-nosti potencijala na rubuz = L. Oni su jednaki
Amn =2
πa2 sinh (kmnL) J2m+1 (xmn)
∫2π
0dφ∫ a
0dρρJm (kmnρ) sin (mφ) V (ρ, φ)
Bmn =2
πa2 sinh (kmnL) J2m+1 (xmn)
∫2π
0dφ∫ a
0dρρJm (kmnρ) cos (mφ) V (ρ, φ) , m 6= 0
B0n =1
πa2 sinh (k0nL) J21 (x0n)
∫2π
0dφ∫ a
0dρρJ0 (k0nρ) V (ρ, φ) , m = 0 (7.8)
U slucaju da je gornja baza i plast na potencijalu nula, a donja baza na potencijalu razlicitom od nulerjesenje glasi
Φ (ρ, φ, z) =∞∑
m=0
∞∑
n=1
Jm (kmnρ) sinh [kmn(L − z)] (Amn sinmφ + Bmn cosmφ) (7.9)
7.3 Konacni cilindar: baze na potencijalu nula
Promatramo uspravni, kruzni cilindar duljineL i radijusaa kojemu su baze na potencijalu nula, a plastna potencijaluV (φ, z). Rjesenje za unutrasnjost cilindra glasi
Φ (ρ, φ, z) =∞∑
m=0
∞∑
p=1
Im(kpρ)
sin(kpz)
(Amp sinmφ + Bmp cosmφ)
kp =pπ
L, p = 1,2, ... (7.10)
23
KoeficijenteAmp i Bmp odredujemo iz relacija
Amp =2
πLIm(kpa)
∫2π
0dφ∫L
0dz sin (mφ) sin
(kpz)V (ρ, φ)
Bmp =2
πLIm(kpa)
∫2π
0dφ∫L
0dz cos (mφ) sin
(kpz)V (ρ, φ) , m 6= 0
B0p =1
πLI0(kpa)
∫2π
0dφ∫L
0dz sin
(kpz)V (ρ, φ) (7.11)
24
8 Multipolni razvoj potencijala
8.1 Adicijski teorem za sferne harmonike
Zadana su dva vektora polozajar , r ′ u sfernim koordinatama (r, θ, φ) i (r′, θ′, φ′). Kut izmedu vektora jeγ. Adicijski teorem glasi
Pl (cosγ) =4π
2l + 1
l∑
m=−lY ∗lm(θ′, φ′
)Ylm (θ, φ) (8.1)
8.2 Razvoj funkcije 1/ |r − r ′| u red po sfernim harmonicima
Razvijmo, najprije, funkciju 1/ |r − r ′| u Taylorov red kad jer > r′
1|r − r ′|
=1
r
[
1+
(r′
r
)2
− 2r′
rcosγ
]1/2=
∞∑
l=0
r′l
rl+1Pl (cosγ) (8.2)
Za r < r′ dobivamo
1|r − r ′| =
1
r′[
1+
( r
r′
)2− 2
r
r′cosγ
]1/2=
∞∑
l=0
rl
r′l+1Pl (cosγ) (8.3)
Primijenimo adicioni teorem za sferne harmonike na funkciju Pl (cosγ). Obje formule mozemo zapisatiu jednoj kao
1|r − r ′| =
∞∑
l=0
rl<
rl+1>
Pl (cosγ) =∞∑
l=0
l∑
m=−l
4π2l + 1
rl<
rl+1>
Y ∗lm(θ′, φ′
)Ylm (θ, φ) (8.4)
gdje jer< (r>) manja (veca) od varijablir, r′.
8.3 Multipolni momenti
Zadana je lokalizirana gustoca nabojaρ (r ) . Zatvorimo je u sferu radijusaR. Racunamo potencijal izvansfere, u podrucju gdje jer > R. Izraz za potencijal jednak je
Φ (r ) =1
4πǫ0
∫
V
ρ (r ′)|r − r ′|dV
′ (8.5)
Razvoj za funkciju 1/ |r − r ′| (8.4) uvrstimo u (8.5). Dobivamo
Φ (r ) =1
4πǫ0
∞∑
l=0
l∑
m=−l
4π2l + 1
Ylm (θ, φ)
rl+1qlm (8.6)
gdje suqlm multipolni momenti gustoce nabojaρ (r ) jednaki
qlm =
∫
V
Y ∗lm(θ′, φ′
)r′lρ(r ′)
dV ′ (8.7)
Red (8.6) naziva se multipolni razvoj potencijala.
25
8.4 Multipolni momenti u Kartezijevim koordinatama
Ako u izrazu (8.6) prijedemo iz sfernih na Kartezijeve koordinate, fizicka interpretacija multipolnihmomenata postatce jasnija.
8.4.1 Ukupni naboj raspodjele
Clan sa indeksimal = 0, m = 0 jednak je
q00 =1√
4πq (8.8)
Ovdje jeq ukupni naboj gustoce nabojaρ (r ′) .
8.4.2 Elektricni dipolni moment
Promatramo multipolne momente sa indeksoml = 1
q1,−1 =
√3
8π
(px + ipy
)
q10 =
√3
4πpz
q11 = −√
38π
(px − ipy
)(8.9)
U navedenim izrazimapx, py, pz su komponente elektricnog dipolnog momenta (krace: dipolnog mo-menta) distribucijeρ (r ′)
p =
∫
r ′ρ(r ′)
dV ′ (8.10)
8.4.3 Tenzor elektricnog kvadrupolnog momenta
Promatramo multipolne momente sa indeksoml = 2
q2,−2 =112
√152π
(Q11 + 2iQ12−Q22)
q2,−1 =13
√158π
(Q13 + iQ23)
q20 =12
√5
4πQ33
q21 = −13
√158π
(Q13− iQ23)
q22 =112
√152π
(Q11− 2iQ12−Q22) (8.11)
VelicineQij su matricni elementi tenzora elektricnog kvadrupolnog momenta
Q =
Q11 Q12 Q13
Q21 Q22 Q23
Q31 Q32 Q33
(8.12)
gdje je
Qij =
∫(3x′ix
′j − r′2δij
)ρ(r ′)
dV ′ (8.13)
26
8.4.4 Multipolni razvoj potencijala u Kartezijevim koordi natama
Prva tri clana multipolnog razvoja potencijala u Kartezijevim koordinatama glase
Φ (r ) =1
4πǫ0
(q
r+
r · pr3
+12
∑
ij
Qij
xixj
r5+ ...
)
(8.14)
8.5 Fizicka interpretacija
Ako smo jako daleko od raspodjele nabojaρ (r ′), u multipolnom razvoju za potencijal (8.6) prevladavatce prvi neiscezavajuci clan.
• Pretpostavimo da je ukupni naboj raspodjele razlicit od nuleq 6= 0. Tada jeq00 6= 0 i potencijal jezar →∞ jednak
Φ (r ) → 14πǫ0
4πY00 (θ, φ)
rq00 =
14πǫ0
q
r(8.15)
Vidimo da se na velikim udaljenostima potencijal raspodjele naboja ponasa kao potencijal tockastognaboja.
• Pretpostavimo da je ukupni naboj raspodjele jednak nuli. Tada jeq00 = 0. Neka je barem jedna odtri komponente dipolnog momentapx, py, pz razlicita od nule. Tada je zar → ∞ prvi neisezavajuciclan oblika
Φ (r ) → 14πǫ0
r · pr3
(8.16)
Potencijal proizvoljne raspodjele kojoj je ukupni naboj nula, na velikim udaljenostima ponasa sekao potencijal tockastog dipola sa dipolnim momentomp.
8.6 Elektri cni dipol
Elektricni (fizikalni) dipol sastoji se od dva naboja+q,−q na razmakud. Ako potencijal ove raspo-djele promatramo na udaljenostimar ≫ d tada je on priblizno jednak prvom neiscezavajucem clanumultipolnog razvoja
Φ (r ) ≃ 14πǫ0
r · pr3
(8.17)
gdje jep = qd. U granicid → 0, q → ∞ dobivamo dipolni moment tockastog dipola
limd→0q→∞
qd = p = konacno (8.18)
smjesten u ishodistu.
8.6.1 Elektricni potencijal i polje tockastog dipola
Potencijal tockastog dipola smjestenog na polozajur0 glasi
Φ (r ) =1
4πǫ0
n · p|r − r0|2
(8.19)
a elektricno polje zar 6= r0
E (r ) =1
4πǫ0
3n(p · n) − p
|r − r0|3(8.20)
27
U (8.19) i (8.20) jedinicni vektorn jednak je (r − r0) / |r − r0| . Ako je dipol smjesten u ishodistu, izraze(8.19) i (8.20) pogodno je zapisati u sfernim koordinatama
Φ (r, θ) =1
4πǫ0
p cosθ
r2
E (r, θ) =1
4πǫ0
2p cosθ
r3er +
14πǫ0
p sinθ
r3eθ (8.21)
8.6.2 Sila na dipol, moment sile i potencijalna energija u vanjskom elektri cnom polju
Postavimo dipolni momentp u vanjsko, nehomogeno elektricno poljeE (r ) . Sila F na dipol i momentsile N jednaki su
F = ∇ (p · E) = (p · ∇)E
N = p × E (8.22)
gdje su polje i njegova derivacija izracunati u tocki u kojoj je dipol smjesten.Potencijalna energija dipola u vanjskom elektricnom polju glasi
W = −p · E (8.23)
Energija interakcije dva dipola, odnosno potencijalna energija jednog dipola u elektricnom polju drugogiznosi
W12 = −p1 · E2 (r1)
=1
4πǫ0
p1 · p2 − 3(n · p1)(n · p2)
|r1 − r2|3(8.24)
gdje sur1, r2 polozaji na kojima su smjesteni dipoli, an = (r1 − r2) / |r1 − r2| .
28
III ELEKTRI CNO POLJE U TVARIMA
9 Vezani naboj i polarizacija. Makroskopske jednadzbe elektrostatike
9.1 Izolatori
Izolatori su tvari koje, za razliku od vodica, ne sadrze velik broj slobodnih naboja. Elektricni naboj uizolatorima vezan je uz atome ili molekule.
Ako izolator stavimo u elektrostatsko polje i stvori seelektricna polarizacijaP (r ), nazivamo gadielektrikom. Polarizacija je prosjecni dipolni moment po jedinicnom volumenu.
Dva su osnovna nacina na koja nastaje polarizacija u dielektriku.
• Vanjsko elektricno polje mijenja raspodjelu naboja u atomima. Prvi neiscezavajuci clanovi u mul-tipolnom razvoju za potencijal u neutralnim atomima ili molekulama su dipolniclanovi. Dakle,atomi ili molekule u vanjskom polju postaju dipoli s gotovo jednakim smjerom po cijelom volu-menu dielektrika.
• Vanjsko elektricno polje usmjerava vec postojece dipolne momente u molekulama. Takve dielek-trike nazivamo polarnim sredstvima. Najpoznatije polarnosredstvo je vodacije molekule imajusnazan dipolni moment. Zbog toga je voda odlicno otapalo.
U oba slucaja pri iskljucivanju vanjskog polja, dielektrik se vraca u pocetno stanje u kojem je polari-zacija jednaka nuli.
Tvari koje imaju polarizaciju i u odsutstvu vanjskog polja nazivaju seferoelektrici. Kod rjesavanjazadataka pretpostavitcemo da vanjsko elektricno polje ne mijenja polarizaciju feroelektrika.
9.2 Elektri cni potencijal polarizirane tvari
Postavimo polariziranu tvar sa polarizacijomP u vakuum, daleko od rubnih ploha, naboja ili vanjskihelektricnih polja. Elektricni potencijal je
Φ (r ) =1
4πǫ0
∮
S
σbdS′
|r − r ′| +1
4πǫ0
∫
V
ρbdV ′
|r − r ′| (9.1)
gdje plohaS omeduje volumenV u kojem se nalazi polarizacija. Velicinu σb nazivamoplosna gustocavezanog (polariziranog) nabojai definiramo je relacijom
σb ≡ P · n (9.2)
gdje jen normala na plohuS. Velicinu ρb nazivamoprostorna gustoca vezanog (polariziranog) nabojai definiramo je kao
ρb ≡ −∇ · P (9.3)
Izraz (9.1) je rjesenje jednadzbe
∇2Φ = −ρb
ǫ0(9.3a)
Ako polarizacija na svom rubu kontinuirano pada na nulu tadau prvom integralu u (9.1) mozemouzetiS → ∞ pa je taj integral jednak nuli.
29
Ukupan vezani naboj u po volji uzetom volumenuV omedenom plohomS u mediju s polarizacijomP jednak nuli
∫
ρbdV = −∫
∇ · PdV = −∮
P · ndS = −∮
σbdS
⇒∫
ρbdV +
∮
σbdS = 0 (9.4)
9.3 Makroskopske jednadzbe elektrostatike
Osnovne jednadzbe elektrostatike u sredstvima ili makroskopske jednadzbe jesu:
∇ · D = ρf
∇ × E = 0 (9.5)
U jednadzbama (9.5) vektorE (r ) je prosjecno ili makroskopsko elektricno polje, a ρf (r ) gustocaslobodnog naboja.
Vektor elektricnog pomakaD (r ) definiran je pomocu jednakosti
D ≡ ǫ0E + P (9.6)
SI naziv za vektorD je gustoca elektricnog polja. Primijetimo da druga jednadzba u (9.5) dozvoljavauvodenje elektricnog potencijalaE = −∇Φ. U integralnom obliku jednadzbe (9.5) glase
∮
S
D · dS= qf∮
C
E · dl = 0 (9.7)
U (9.7) unutar zatvorene ploheS nalazi se slobodni nabojqf . Krivulja C je zatvorena.Jednadzbe (9.5) ili (9.7) dobivene su usrednjavanjem Maxwellovih jednadzbi za mikroskopska polja
i gustoce naboja po mikroskopski velikom, ali makroskopski malom volumenu. Za donju granicu takvogvolumena uzima se 10−24 m−3 koji jos uvijek sadrzi veliki broj molekula. Pri tom se pretpostavlja da suvaljane jednadzbe oblika (2.2) i (2.4) za mikroskopska elektrostatska poljae i gustoce nabojaη.
9.4 Rubni uvjeti u sredstvima
Rubni uvjeti pri prijelazu iz sredstva 1 u sredstvo 2 glase:
(D2 − D1) · n = σf
n × (E2 − E1) = 0 (9.8)
Normalan na rubnu plohu usmjerena je od sredstva 1 prema sredstvu 2. Iz(9.8) vidimo da je normalnakomponenta odD diskontinuirana ako na rubnoj plohi postoji plosna gustoca slobodnog nabojaσf .
Ako polarizacija ima diskontinuitet pri prijelazu iz sredstva 1 u 2 tada vrijedi jednakost
−(P2 − P1) · n = σb (9.9)
gdje jeσb plosna gustoca vezanog naboja. Usporedimo li s formulom (9.2) vidimo da se dvije formulepoklapaju ako je izvan polarizirane tvari vakuum, odnosno,P2 = 0.
30
9.5 Linearni dielektrici
Kod linearnih dielektrika su elektricno polje i polarizacija proporcionalni. U slucaju homogenog i izo-tropnog (linearnog) dielektrika vrijedi jednakost
P = ǫ0χeE (9.10)
Konstantaχe naziva seelektricna susceptibilnost. Uvrstavanjem (9.10) u (9.6) dobije se
D = ǫE (9.11)
gdje smo definiralipermitivnost sredstvaǫ formulom
ǫ = ǫ0 (1+ χe) (9.12)
Ako je dielektrik nehomogen i anizotropan tada su elektricna susceptibilnost i permitivnost tenzori dru-gog rangacije komponente ovise o vektoru polozaja. Relaciju (9.11)tada pisemo u obliku
Di = ǫijEj (9.13)
Relativna permitivnostili dielektricna konstantadefinirana je relacijom
ǫr ≡ǫ
ǫ0= 1+ χe (9.14)
9.6 Energija u dielektriku
Tekst
9.7 Clausius-Mossottijeva relacija
Clausius-Mossottijevom relacijom dan je odnos izmedumolekularne polarizabilnostiγmol i dielektricnekonstanteǫr
γmol =3N
ǫr − 1ǫr + 2
(9.15)
Ovdje jeN gustoca (koncentracija) molekula.
31
10 Rubni problemi s dielektricima i feroelektricima
10.1 Poissonova i Laplaceova jednadzba
Uvrstimo (9.11) u (9.5) te upotrijebimoE = −∇Φ. Ako je dielektrik homogen i izotropan, dobijemoPoissonovu jednadzbu
∇2Φ = −
ρf
ǫ(10.1)
i posebno, zaρf = 0 Laplaceovu jednadzbu
∇2Φ = 0 (10.2)
Za proracun potencijala koristitcemo metode iz drugog poglavlja.
10.2 Rubni uvjeti
U dielektricima se rubni uvjeti (9.8) pojednostavljuju. Narubnoj plohiS pri prijelazu iz sredstva 1 u 2imamo
(ǫ2E2 − ǫ1E1) · n|S = σf
n × (E2 − E1)|S = 0 . (10.3)
gdje je normalan na plohuS usmjerena od sredstva 1 prema sredstvu 2. Drugi rubni uvjet u(10.3)smijemo zamijeniti jednostavnijim uvjetom
(Φ1 −Φ2)|S = 0 (10.4)
32
IV MAGNETOSTATIKA
11 Lorenzova sila. Bio-Savartov zakon
11.1 Struja
Struja je naboj po jedinici vremena koji prode kroz promatranu tocku. Ako je u toj tocki linijska gustocaλ, a brzina nabojav tada je struja
I =∆Q
∆tev = λv (11.1)
gdje jeev jednicni vektor u smjeru brzine.
11.2 Plosna gustoca struje
Plosna gustoca struje je naboj po jednici vremena koji prode kroz crtusirine ∆l⊥ koja je okomita nastruju
K =∆I∆l⊥
= σv (11.2)
Ovdje jeσ plosna gustoca naboja, av brzina naboja u promatranoj tocki.
11.3 Prostorna gustoca struje
Gustoca struje je naboj po jednici vremena koji prode kroz plohu povrsine∆S⊥ s tim da je ploha okomitana struju
J =∆I∆S⊥
= ρv (11.3)
Ovdje jeρ gustoca naboja, av brzina naboja u promatranoj tocki.
11.4 Jednadzba kontinuiteta
Jednadzba kontinuiteta u klasicnoj elektrodinamici je matematicka formulacija zakona odrzanja naboja
∇ · J = −∂ρ∂t
(11.4)
U magnetostatici promatramo stacionarne struje koje imajukonstantnu vrijednost i smjer u vremenu upromatranoj tocki prostora. Magnetska polja takvih struja su konstantna uvremenu, odnosno magnetos-tatska. Kod stacionarnih struja, naboj koji ude u volumen∆V , mora biti jednak naboju koji je izasao iztog volumena, a tada je∂ρ/∂t = 0 u∆V. Jednadzba kontinuiteta postaje
∇ · J = 0 (11.5)
11.5 Lorenzova sila
Lorenzova sila na nabojq u elektricnom i magnetskom polju postulirana je izrazom
F = q (E + v × B) (11.6)
33
gdje suE,B elektricno i magnetsko polje, av brzina naboja. Odgovarajuci izrazi kod kontinuiranihraspodjela struja u slucajuE = 0 glase
F =
∫
Idl × B
F =
∫
K × BdS
F =
∫
J × BdV (11.7)
11.6 Biot-Savartov zakon
Magnetsko poljeB stacionarnih struja je
B(r ) =µ0
4π
∫Idl′ × (r − r ′)
|r − r ′|3(11.8)
Vektor B naziva se jos i magnetska indukcija, a SI naziv jegustoca magnetskog toka.Konstantaµ0
naziva sepermeabilnostvakuuma i iznosi
µ0 = 4π · 10−7 N A−2 (11.9)
Za plosneK (r ) i prostorne strujeJ (r ) izraz (11.8) mijenja se u
B(r ) =µ0
4π
∫K (r ′) × (r − r ′)
|r − r ′|3dS′
B(r ) =µ0
4π
∫J (r ′) × (r − r ′)
|r − r ′|3dV ′ (11.10)
34
12 Ampereov zakon. Magnetski vektorski potencijal (I dio)
12.1 Temeljne jednadzbe magnetostatike
Diferencijalne jednadzbe magnetostatike glase
∇ × B = µ0J
∇ · B = 0 (12.1)
Prva od jednadzbi u (12.1) koja povezuje magnetsko poljeB i gustocu strujeJ naziva se Ampereovzakon. Druga jednadzba je matematicka formulacijacinjenice da magnetski naboj ne postoji.
n
dl
C
S
dS
Slika 12.1
Integralni oblik jednadzbi (12.1) je∮
C
B · dl = µ0
∫
S
J · dS= µ0I
∮
S
B · dS= 0 (12.2)
U prvoj jednadzbi zatvorena krivuljaC omeduje plohuS (slika 12.1), a u drugoj je plohaS zatvorena.StrujaI je ukupna struja krozC. Predznaci pojedinih strujacija je suma jednaka strujiI, odreduju seprema pravilu desne ruke i pozitivnoj orijentaciji krivuljeC.
12.2 Magnetski vektorski potencijal
Zbog jednadzbe∇ · B = 0 mozemo uvesti vektorski potencijalA (r ) na sljedeci nacin
B ≡ ∇ × A (12.3)
Ako izraz (12.3) uvrstimo u∇ × B = µ0J, uz Colombov izbor∇ · A = 0, dobivamo
∇2A = −µ0J (12.4)
U Kartezijevim koordinatama, gornja jednadzba predstavlja tri nezavisne, Poissonove jednadzbe zasvaku od komponenti vektorskog potencijala i struja
∇2Ax = −µ0Jx
∇2Ay = −µ0Jy
∇2Az = −µ0Jz (12.5)
Partikularno rjesenje jednadzbe (12.4) je oblika
A(r ) =µ0
4π
∫J (r ′)|r − r ′|dV
′ (12.6)
35
12.3 Tok magnetskog polja
Tok magnetskog poljaB kroz plohuS omedenu zatvorenom krivuljomC definiramo relacijom
F =
∫
S
B · dS=
∫
S
(∇ × A) · dS=
∮
C
A · dl (12.7)
U zadnjoj jednakosti u (12.7) upotrijebljen je Stokesov teorem.
36
13 Magnetski vektorski potencijal (II dio). Multipolni raz voj vektorskogpotencijala
13.1 Jednadzbe za vektorski potencijal u sfernim koordinatama
Pretpostavimo da je vektorski potencijal zadan u sfernim koordintamaA = A (r, θ, φ) . Laplace vektor-skog potencijala u sfernim koordintama glasi
∇2A =
∇2Ar −2
r2
[
Ar +1
sinθ∂
∂θ(sinθAθ) +
1sinθ
∂Aφ
∂φ
]
er
+
∇2Aθ +2
r2
[∂Ar
∂θ− Aθ
2 sin2 θ− cosθ
sin2 θ
∂Aφ
∂φ
]
eθ
+
∇2Aφ +2
r2 sinθ
[∂Ar
∂φ− Aθ
2 sinθ+ cotθ
∂Aθ
∂φ
]
eφ (13.1)
Jednadzba∇2A = −µ0J po komponentama glasi
∇2Ar −2
r2
[
Ar +1
sinθ∂
∂θ(sinθAθ) +
1sinθ
∂Aφ
∂φ
]
= −µ0Jr
∇2Aθ +2
r2
[∂Ar
∂θ− Aθ
2 sin2 θ− cosθ
sin2 θ
∂Aφ
∂φ
]
= −µ0Jθ
∇2Aφ +2
r2 sinθ
[∂Ar
∂φ− Aθ
2 sinθ+ cotθ
∂Aθ
∂φ
]
= −µ0Jφ (13.2)
13.2 Jednadzbe za vektorski potencijal u cilindrickim koordinatama
Ako vektorski potencijal racunamo u cilindrickim koordinatamaA = A (ρ, φ, z) , Laplace odA glasi
∇2A =
(
∇2Aρ −Aρ
ρ2− 2
ρ2
∂Aφ
∂φ
)
eρ +(
∇2Aφ −Aφ
ρ2+
2
ρ2
∂Aρ
∂φ
)
eφ + ∇2Azez (13.3)
Jednadzba∇2A = −µ0J po komponentama glasi
∇2Aρ −Aρ
ρ2− 2
ρ2
∂Aφ
∂φ= −µ0Jρ
∇2Aφ −Aφ
ρ2+
2
ρ2
∂Aρ
∂φ= −µ0Jφ
∇2Az = −µ0Jz (13.4)
13.3 Rubni uvjeti u magnetostatici
n
B1
B2
rubna ploha
K
1
2
Slika 13.1
37
Rubni uvjeti u magnetostatici pri prijelazu iz prostora 1 u prostor 2 glase
(B2 − B1) · n = 0
n × (B2 − B1) = µ0K (13.5)
Normalna komponenta magnetskog polja je uvijek kontinuirana, dok tangencijalna ima prekid ako naplohi postoji plosna struja. U svim slucajevima kojecemo razmatrati umjesto prvog uvjeta smije seupotrebljavati uvjet neprekinutosti vektorskog potencijala
A1 = A2 (13.6)
Naime, normalna komponenta vektorskog potencijala neprekinuta je zbog Colombovog izbora∇·A = 0,a tangencijalna zbog
∮
CA · dl → 0 za petljuC kojoj se povrsina smanjuje u nulu.
13.4 Multipolni razvoj vektorskog potencijala
Tekst
38
V MAGNETSKO POLJE U TVARIMA
14 Vezane struje i magnetizacija. Makroskopske jednadzbe magnetosta-tike
14.1 Magnetski dipol
Magnetski dipolni moment (krace: magnetski moment) raspodjele strujaJ definiramo relacijom
m =12
∫
r ′ × J(r ′)
dV ′ (14.1)
Ako vektorski potencijal promatramo na udaljenostimar ≫ d gdje jed karakteristicna dimenzija lo-kalizirane raspodjele strujaJ tada je on priblizno jednak prvomclanu multipolnog razvoja za vektorskipotencijal
A (r ) ≃ µ0
4πm × rr3
(14.2)
Jednostavan model magnetskog dipola predstavlja strujna petlja povrsineS koja lezi u jednoj ravnini ikroz koju protjece strujaI. Njezin magnetski moment jem = ISn, gdje jen normala na ravninu. UgraniciS → 0, I → ∞ dobivamo magnetski moment tockastog magnetskog dipola
limS→0I→∞
ISn = m = konacno (14.3)
koji je smjesten u ishodistu.
14.1.1 Vektorski potencijal i magnetsko polje magnetskog dipola
Vektorski potencijal tockastog dipola smjestenog na polozajur0 glasi
A (r ) =µ0
4πm × (r − r0)
|r − r0|3(14.4)
a magnetsko polje zar 6= r0
B (r ) =µ0
4π3n(m · n) −m
|r − r0|3(14.5)
U (14.4) i (14.5) jedinicni vektorn jednak je (r − r0) / |r − r0| . Ako je dipol smjesten u ishodistu, izraze(14.4) i (14.5) pogodno je zapisati u sfernim koordinatama
A (r, θ) =µ0
4πm sinθ
r2eφ
B (r, θ) =µ0
4π2m cosθ
r3er +
µ0
4πm sinθ
r3eθ (14.6)
14.1.2 Sila na dipol, moment sile i potencijalna energija u vanjskom magnetskom polju
Postavimo dipolni momentm u vanjsko, nehomogeno magnetsko poljeB (r ) . Sila F na dipol i momentsile N jednaki su
F = ∇ (m · B) = (m · ∇)B
N = m × B (14.7)
39
gdje su polje i njegova derivacija izracunati u tocki u kojoj je dipol smjesten.Potencijalna energija dipola u vanjskom magnetskom polju glasi
W = −m · B (14.8)
Energija interakcije dva dipola iznosi
W12 = −m1 · B2 (r1)
=m1 ·m2 − 3(n ·m1)(n ·m2)
|r1 − r2|3(14.9)
gdje sur1, r2 polozaji na kojima su smjesteni dipoli, an = (r1 − r2) / |r1 − r2| .
14.2 Dijamagneti, paramagneti i feromagneti
U vanjskom magnetskom polju tvari postaju magnetizirane. Mikroskopske struje naboja u atomima imolekulama stvaraju dipolne momente, a njihov ukupan vektorski zbroj gleda u smjeru ili suprotnosmjeru vanjskog polja.
Magnetiziranost tvari opisujemo fizikalnom velicinom,magnetizacijomM (r ) koja je definirana kaoprosjecni magnetski dipolni moment po jednicnom volumenu. Razlikujemo dva osnovna nacina na kojamoze nastati magnetizacija:
• Paramagnetizam - kod paramagneta, vanjsko polje usmjeravaspinove nesparenih elektrona u smjerupolja.
• Dijamagnetizam - kod dijamagneta, vanjsko polje mijenja brzinu gibanja elektrona oko jezge uatomu i time stvara dipolni momentciji je smjer suprotan vanjskom polju.
Iskljucivanjem vanjskog polja magnetizacija se vraca na pocetnu vrijednost nula. Tvari koje imajumagnetizaciju i bez ukljucivanja vanjskog polja nazivaju se feromagneti. Kod rjesavanja zadataka pret-postavit cemo da vanjsko magnetsko polje ne mijenja magnetizaciju feromagneta i tada govorimo otvrdim feromagnetima.
14.3 Vektorski potencijal tvari s magnetizacijom
Postavimo magnetiziranu tvar s magnetizacijomM u vakuum, daleko od rubnih ploha, struja ili vanjskihmagnetskih polja. Vektorski potencijal je
A (r ) =µ0
4π
∮
S
K b (r ′) dS′
|r − r ′| +µ0
4π
∫
V
Jb (r ′) dV ′
|r − r ′| (14.10)
gdje plohaS omeduje volumenV u kojem se nalazi magnetizacija. VelicinuK b nazivamo plosna gustocastruje vezanog naboja (krace: vezana, plosna struja) i definiramo je relacijom
K b ≡ M × n (14.11)
gdje jen normala na plohuS. Velicinu Jb nazivamo prostorna gustoca struje vezanog naboja (krace:vezana struja) i definiramo je relacijom
Jb ≡ ∇ ×M (14.12)
Ako magnetizacija na svom rubu kontinuirano pada na nulu tada u (14.10) mozemo uzetiS → ∞ pa jeprvi integral jednak nuli.
40
14.4 Makroskopske jednadzbe magnetostatike
Osnovne jednadzbe magnetostatike u sredstvima ili makroskopske jednadzbe jesu:
∇ × H = Jf∇ · B = 0 . (14.13)
U jednadzbama (14.13) vektorB (r ) je prosjecno ili makroskopsko magnetsko polje, aJf (r ) strujaslobodnog naboja (krace: slobodna struja). Vektor poljaH (r ) (SI naziv: jakost magnetskog polja)definiran je pomocu jednakosti
H ≡ 1µ0
B −M (14.14)
Druga jednadzba u (14.13) dozvoljava uvodenje magnetskog vektorskog potencijalaA (r ) pomocu rela-cije B ≡ ∇ × A. U integralnom obliku jednadzbe (14.13) glase
∮
C
H · dl = If∮
S
B · dS= 0 (14.15)
U (14.15) strujaIf prolazi unutar zatvorene krivuljeC, a plohaS je zatvorena.Jednadzbe (14.13) ili (14.15) dobivene su usrednjavanjemMaxwellovih jednadzbi za mikroskopska
polja i gustoce struja po mikroskopski velikom, ali makroskopski malom volumenu. Pri tome se pretpos-tavlja da jednadzbe oblika (12.1) valjano opisuju mikroskopska magnetostatska poljab i gustoce strujaj .
14.5 Rubni uvjeti u magnetskim sredstvima
Rubni uvjeti pri prijelazu iz sredstva 1 u sredstvo 2 glase:
n × (H2 − H1) = Kf
(B2 − B1) · n = 0 (14.16)
Normalan na rubnu plohu usmjerena je od sredstva 1 prema sredstvu 2. Iz(14.16) vidimo da je tangen-cijalna komponenta odH diskontinuirana ako na rubnoj plohi postoji slobodna plosna strujaKf .
Ako tangencijalna komponenta magnetizacije ima diskontinuitet pri prijelazu iz sredstva 1 u 2 tadavrijedi jednakost
n × (M2 −M1) = K b (14.17)
gdje jeK b vezana plosna struja.
41
15 Rubni problemi s magnetskim sredstvima
15.1 Linearna magnetska sredstva
Kod vecine paramagneta i dijamagneta magnetizacijaM proporcionalna je poljuH
M = χmH (15.1)
Konstantaχm naziva se magnetska susceptibilnost. Zbog relacije (15.1)kazemo da su takva sredstva li-nearna. U homogenim i izotropnim sredstvimaχm je konstanta proporcionalnosti. Opcenito, u nehomo-genim i anizotropnim magnetskim sredstvimaχm je tenzor i ovisi o vektoru polozaja. Kod paramagnetaje χm > 0, a kod dijamagnetaχm < 0.
Uvrstimo (15.1) u (14.14). DobijemoB = µH (15.2)
gdje smo definirali magnetsku permeabilnostµ izrazom
µ ≡ µ0 (1+ χm) (15.3)
Definicija relativne magnetske permeabilnosti glasi
µr ≡µ
µ0= 1+ χm (15.4)
15.2 Magnetski skalarni potencijal
U podrucju gdje je gustoca struje jednaka nuli, makroskopske jednadzbe dobivaju oblik
∇ × H = 0
∇ · B = 0 (15.5)
Na osnovi prve jednadzbe u (15.5) uvodimo magnetski skalarni potencijalΦM (r )
H ≡ −∇ΦM (15.6)
Napomena:defincija (15.6) odreduje magnetski skalarni potencijal kao jednoznacnu funkciju samo najednostruko povezanom podrucju. Ako je podrucje na kojem je definiran magnetski potencijal visestrukopovezano, tada je on viseznacan.
15.2.1 Linearna sredstva
Kod linearnih magnetskih sredstava, uvrstavanje (15.2) i (15.6) u drugu jedandzbu u (15.5) daje
∇2ΦM = 0 (15.7)
Ta je jednadzba Laplaceovog tipa i tehnike za njeno rjesavanje navedene su u drugom poglavlju.
15.2.2 Tvrdi feromagneti
Iz jednadzbe∇ · B = 0 i definicijske jednadzbe (14.14) za poljeH slijedi
∇ · H = −∇ ·M (15.8)
Definiramo li novu fizikalnu velicinu, efektivnu gustocu magnetskog nabojaρM (r )
ρM ≡ −∇ ·M (15.9)
42
jednadzbe (15.5) mijenjaju se u
∇ × H = 0
∇ · H = ρM (15.10)
Te su jednadzbe po obliku jednake elektrostatskim jednadˇzbama (2.2) i (2.4), pa nije tesko zakljuciti dace za magnetski skalarni potencijal vrijediti jednadzba
∇2ΦM = −ρM (15.11)
slicna onoj iz elektrostatike. Takoder, na osnovi analogije sa elektrostatikom, mozemo zakljuciti da cerjesenje jednadzbe (15.11) u rubnom problemu bez rubnih plohaza lokaliziranu raspodjelu magnetiza-cije, opcenito glasiti
ΦM (r ) =1
4π
∫
V
ρM (r ′) dV ′
|r − r ′|+
14π
∫
S
σM (r ′) dS′
|r − r ′|(15.12)
Ovdje smo saσM oznacili efektivnu plosnu gustocu magnetskog naboja
σM ≡ M · n (15.13)
Napomenimo da su velicine (15.9) i (15.13) uvedene iskljucivo na temelju analogije sa elektrostatikomi nemaju nikakve fizikalne osnove: postojanje magnetskog naboja nije eksperimantalno potvrdeno.
Usporedimo rjesenja (15.12) za magnetski skalarni potencijal i (14.10) zamagnetski vektorski po-tencijal. Izraz (15.12) je rjesenje jednadzbe (15.11), a formula (14.10) je rjesenje jednadzbe
∇2A = −µ0JM (15.14)
za lokaliziranu raspodjelu magnetizacije u prostoru bez makroskopskih struja i rubnih ploha.
15.3 Rubni uvjeti za linearna magnetska sredstva
Na rubnoj plohi, pri prijelazu iz jednog linearnog sredstvau drugo poljeH zadovoljava sljedece uvjete:
(µ2H2 − µ1H1) · n|S = 0
n × (H2 − H1)|S = Kf (15.15)
gdje jeS rubna ploha. Ako jeKf = 0 umjesto drugog uvjeta u (15.15) smijemo upotrebljavati
Φ(1)M = Φ
(2)M (15.16)
na rubnoj plohi.
43
VI MAXWELLOVE JEDNAD ZBE
16 Ohmov zakon. Faradayev zakon indukcije
16.1 Ohmov zakon
Za vecinu tvari gustoca strujeJ proporcionalna je elektricnom poljuE nasirokom intervalu temperatura
J = σeE (16.1)
Ovaj se eksperimentalno dobiveni izraz naziva Ohmov zakon.Velicinaσe je elektricna provodnost. Zavodice jeσe & 105
Ωm pa secesto racuna kao da su savrseni, odnosno,σe → ∞. Ohmov zakon moze senapisati i u obliku
I =U
R(16.2)
gdje jeU napon,I struja, aR elektricni otpor za promatrani uzorak. Ukoliko je uzorak uspravni cilindarduljine l cija baza ima povrsinuS, tada za elektricni otpor mozemo pisati
R = ρel
S(16.3)
gdje je elektricna otpornostρe = 1/σe.
16.1.1 Klasicna mikroskopska teorija elektricne vodljivosti
Klasicna teorija elektricne vodljivosti koju je razvio P. Drude zasniva se na Newtonovom zakonu iMaxwellovoj razdiobi za elektrone u metalima. Ako je prosjecno vrijeme izmedu dva sudara za elektronτ, vrijeme relaksacije, tada je elektricna provodnost dana izrazom
σe =ne2τ
m(16.4)
gdje jen gustoca (koncentracija),e naboj tem masa elektrona.
16.2 Jouleov zakon
Posljedica sudara nabijenihcestica jest da se rad elektricne sile transformira u toplinu. SnagaP u tomprocesu dana je Jouleovim zakonom
P = UI = I2R (16.5)
16.3 Elektromotorni napon. Tok magnetskog polja
Elektromotorni napon definiran je relacijom
E ≡∮
C
f · dl (16.6)
gdje jef sila po jedinicnom naboju u petljiC. Porijeklo silef moze biti veoma raznoliko. Na primjer, ubateriji to su kemijski procesi.
44
Pomicemo li petlju vodicaC u mirujucem i stacionarnom magnetskom poljuB, sila koja pokrecenaboje je magnetska,f = fmag. Moze se pokazati da tada vrijedi:
E =
∮
C
fmag · dl = −dFdt
(16.7)
gdje je tok (fluks) magnetskog polja
F =
∫
S
B · dS (16.8)
za petljuC koja je rub otvorene ploheS.
16.4 Faradayevi pokusi
U poznatim pokusima pri kojima je otkrio elektromagnetsku indukciju, M. Faraday promatrao je zicanupetlju u magnetskom polju. Utvrdio je sljedece:
1. Pomaknemo li zicanu petlju na bilo koji nacin (promjena polozaja, velicine, oblika ili orijentacijepetlje) u mirujucem i stacionarnom magnetskom polju, petljomce poteci struja.
2. Pomaknemo li stacionarno magnetsko polje u odnosu na mirujucu petlju, petljomce poteci struja.
3. Vremenski promijenjivo magnetsko polje uzrokuje strujuu petlji.
Matematicki zakon koji opisuje sve tri pojave glasi:
E = −dFdt
(16.9)
Ova se jednadzba nazivapravilom za fluksmagnetskog polja. Predznak′′−′′ u (16.9) posljedica jeLentzovog pravila: inducirana struja zbog elektromotornog napona u krugu protjece u onom smjeru ukojem njezin magnetski tok nastoji ponistiti promjenu toka.
16.4.1 Inducirano elektricno polje
U Faradayevom 1. pokusu elektromotorni naponE nastao je zbog magnetske sile na naboj u gibanju.No, u 2. i 3. pokusu elektromotorni napon u petlji posljedicaje induciranog elektricnog poljaEi
E =
∮
C
Ei · dl (16.10)
Treba primijetiti da se za promatraca koji miruje u odnosu na petlju u 1. pokusu, magnetsko poljegibapa inducirano elektricno polje pokrece naboje ako nema drugih polja. Suprotno tome, u 2. pokusupromatrac koji miruje u odnosu na magnetsko polje, zapazitce da na naboje djeluje magnetska sila jerse petlja pomice.
16.5 Faradayev zakon indukcije
Faradayev zakon je matematicka formulacija pojave elektromagnetske indukcije u 2. i 3.pokusu:
Promjena magnetskog polja inducira elektricno polje.
U integralnom obliku, Faradayev zakon glasi:∮
C
E · dl = − ddt
∫
S
B · dS (16.11)
gdje petljaC omeduje otvorenu plohuS. Polje E u (16.11) je ukupno elektricno polje, zbog (16.10)i cinjenice da je elektrostatsko polje konzervativno. Upotrijebimo li Stokesov teorem na lijevu stranujednadzbe (16.11), dobivamo diferencijalni oblik Faradayevog zakona
∇ × E = −∂B∂t
(16.12)
45
16.5.1 Ukupno elektricno polje
Zbog izrazaB = ∇×A, gdje jeA vektorski potencijal, ukupno elektricno polje mozemo zapisati u obliku
E = −∇Φ − ∂A∂t
(16.13)
gdje je−∇Φ konzervativni, a−∂A/∂t nekonzervativni doprinos ukupnom elektricnom polju.
46
17 Energija magnetskog polja. Kvazistaticka aproksimacija
17.1 Induktivnost strujnih petlji
C2
dl1
r1
r2
dl2
C1
I1
Slika 17.1
Promatramo dvije petlje (slika 17.1); pretpostavimo da petljom C1 protjece strujaI1. Magnetski tokkroz petljuC2 je
F2 = M21I1 (17.1)
gdje jemeduinduktivnostM21 dana Neumannovom formulom
M21 =µ0
4π
∮
C1
∮
C2
dl1 · dl2|r1 − r2|
(17.2)
Meduinduktivnost sadrzi informaciju o geometrijskim svojstvima petlji: obliku te medusobnom polozajui orijentaciji. Primijetimo da se izraz (17.2) ne mijenja zamijenimo li indekse 1 i 2 pa jeM21 = M12.Drugim, rijecima ista strujaI2 = I1 u petlji 2 proizvela bi jednak magnetski tokF1 = F2 kroz petljuC1.
Kroz petlju kojim protjece strujaI takoder se uspostavlja magnetski tok
F = LI (17.3)
gdje jeL samoinduktivnost. Mijenjamo li strujuI u petlji, inducira se elektricno polje, odnosno, elek-tromotorni naponciji je smjer takav da usporava promjenu struje.
Pretpostavimo da petljamaCi, i = 1, ...,N protjecu strujeIi, i = 1, ...,N. Mijenjamo li struje usustavu, mijenja se i tok kroz pojedinu petljuCi. Elektromotorni napon uslijed induciranog elektricnogpolja u petljiCi glasi
Ei = −dFidt
= −LidIidt−∑
j=1j 6=i
Mij
dIjdt
(17.4)
17.2 Energija magnetskog polja
U kratkom vremenu nakon pustanja struje kroz petlju, inducirano elektricno polje suprotstavlja se uspos-tavi konstantne i konacne strujeI. Pri tome, rad sile po jedinicnom naboju u jednom obilasku strujnepetlje za elektricno polje istog iznosa nosuprotnog smjeraod induciranog elektricnog polja iznosi−E .
Ukupni rad po jedinicnom vremenu je dW/dt = −EI = LI (dI/dt), a ukupni rad
W =12LI (17.5)
sto je ekvivalentno energiji magnetskog polja ove strujne petlje.
47
Ako se radi o kontinuiranim raspodjelama struja, izraz (17.5) nije pogodan za racun. Moze se po-kazati da se energija magnetskog polja prostornih strujaJ koje protjecu dijelom prostoraV zapisuje uobliku
W =12
∫
V
(A · J) dV =1
2µ0
∫
cijeli prostorB · HdV (17.6)
pri cemu treba uzeti u obzir kvazistaticku aproksimaciju. U vakuumu je
W =1
2µ0
∫
cijeli prostorB2dV (17.7)
Ako je poznato magnetsko poljeB i polje H, iz (17.5)-(17.7) moguce je izracunati samoinduktivnostLprostornih raspodjela struja.
17.3 Struja pomaka
Maxwellove jednadzbe u sredstvu zapisane pomocu integrala glase:∮
S
D · dS= qf
∮
C
E · dl = − ddt
∫
S
B · dS
∮
S
B · dS= 0∮
C
H · dl = If + Id
(17.8)
gdje suqf i If slobodni naboj i struja slobodnog naboja, respektivno. U (17.8) struja pomakaId je
Id =
∫
S
Jd · dS (17.9)
pri cemu gustocu struje pomaka definiramo izrazom
Jd ≡∂D∂t
(17.10)
Treba naglasiti da struja pomaka nije struja nastala zbog gibanja naboja. Vremenska promjena vektoraelektricnog pomaka inducira magnetsko polje pa dobivamo slican efekt kao protjecanje naboja.
17.4 Kvazistaticka aproksimacija
Razmotrit cemo Maxwellove jednadzbe u dvije kvazistaticke granice: kvazi-elektrostatickoj i kvazi-magnetostatickoj. Aproksimacije se uobicajeno primijenjuju kod razmatranja strujnih krugova s iz-mjenicnom strujom.
17.4.1 Kvazi-magnetostaticka aproksimacija
U kvazi-magnetostatickoj aproksimaciji pretpostavljamo da je struja pomakaId mnogo manja od strujeslobodnog nabojaIf te u (17.8) postavljamo
Id ≈ 0 (17.11)
U ovoj aproksimaciji magnetsko polje mozemo izracunati pomocu jednadzbi magnetostatike∮
S
B · dS= 0
∮
C
H · dl = If (17.12)
48
i jednadzbeH = B/µ0 − M . Elektricno polje racunamo pomocu Gaussovog i Faradayevog zakona u(17.8).
Aproksimaciju smijemo primijeniti ako se raspodjela struja polagano mijenja, odnosno, ako je ka-rakteristicno vrijemeT za koje se znacajno promijeni struja mnogo vece odl/c
T ≫ l
c(17.13)
gdje jel karakteristicna dimenzija raspodjele struja, ac brzina svjetlosti. Pri tome, ustvari, zanemarujemoefekte retardacije i zracenja.
17.4.2 Kvazi-elektrostaticka aproksimacija
U kvazi-elektrostatickoj aproksimaciji pretpostavljamo da je inducirano Faradayevo elektricno poljeEi
mnogo manje od statickog Coulombskog elektricnog poljaEc te u (17.8) postavljamo
ddt
∫
S
B · dS≈ 0⇒ ∂B∂t≈ 0 (17.14)
U ovoj aproksimaciji elektricno polje mozemo izracunati pomocu jednadzbi elektrostatike∮
S
D · dS= qf
∮
C
E · dl = 0 (17.15)
i jednadzbeD = ǫ0E + P. Magnetsko polje racunamo iz ostala dva zakona u (17.8).Aproksimaciju smijemo primijeniti ako se raspodjela naboja polagano mijenja, odnosno, ako je ka-
rakteristicno vrijemeT za koje se znacajno promijeni naboj mnogo vece odl/c
T ≫ l
c(17.16)
gdje jel karakteristicna dimenzija raspodjele struja, ac brzina svjetlosti. Pri tome, ustvari, zanemarujemoefekte retardacije i zracenja.
49
18 Zakoni ocuvanja u elektrodinamici
18.1 Maxwellove jednadzbe
Maxwellove jednadzbe za sredstvo pomocu integrala napisali smo u (17.8). U obliku parcijalnih dife-rencijalnih jednadzbi, makroskopske Maxwellove jednadˇzbe glase:
∇ · D = ρf , ∇ × E = −∂B∂t
,
∇ · B = 0 , ∇ × H = Jf +∂D∂t
.(18.1)
Maxwellove jednadzbe (18.1), Lorentzova sila (11.6) i drugi Newtonov zakon daju potpuni klasicni opisdinamike nabijenihcestica i elektromagnetskog polja.
Uobicajeno, makroskopske Maxwellove jednadzbe izvode se postupkom prostornog usrednjavanjaiz mikroskopskih Maxwellovih jednadzbi koje prihvacamo kao postulate
∇ · E = ρ , ∇ × E = −∂B∂t
,
∇ · B = 0 , ∇ × B = µ0J + µ0ǫ0∂E∂t
.(18.2)
U gornjim jednadzbamaρ i J su mikroskopske razdiobe naboja i struja dana pomocu Diracovih deltafunkcija, aE i B su odgovarajuca mikroskopska polja. Mikroskopske jednadzbe imaju slican oblik kaoi makroskopske Maxwellove jednadzbe u vakuumu. Jasno, makroskopske jednadzbe sadrze makroskop-ske izvore i polja.
18.2 Zakon ocuvanja naboja
Jednadzba kontinuiteta u klasicnoj elektrodinamici je matematicka formulacija zakona odrzanja naboja
∂ρ
∂t= −∇ · J . (18.3)
Gustoca nabojaρ(r , t) i gustoca strujeJ (r , t) su, opcenito, funkcije polozaja i vremena. Jednadzba(18.3) pokazuje da je brzina promjene gustoce naboja posljedica promjene gustoce struje u promatranojtocki. Primijenimo li jednadzbu na mali, ali konacan volumen∆V, tada nam jednadzba kaze da je brzinapromjene naboja unutar podrucja volumena∆V posljedica struje koja je usla ili izasla iz volumena.Integracijom ove jednadzbe po zatvorenoj plohi povrsineAp unutar koje se nalazi nabojQ(t) dobijemo
dQ
dt= −
∮
Ap
J · dAp . (18.4)
Jednadzba (18.3) moze izvesti iz Maxwellovih jednadzbiprihvatimo li ih kao postulate teorije.
18.3 Poyntingov teorem
18.3.1 Energija elektromagnetskog polja
Gustoca energije EM polja u vakuumu jednaka je
uem =12
(
ǫ0E2+
1µ0
B2)
, (18.5)
gdje prviclan s desne strane daje gustocu energije elektricnog polja, a drugi gustocu energije magnetskogpolja. U linearnim sredstvima izraz (18.5) mijenja se u
uem =12
(E · D + B · H) . (18.6)
50
18.3.2 Rad elektromagnetskih sila na naboje
Rad kojeg elektromagnetske sile po jedinicnom vremenu (snaga) obave gurajuci nabojq jednak jeF · v,gdje jeF Lorentzova sila. No, magnetske sile ne obavljaju rad pa je snaga jednakaqv · E. Odavdje,unutar podrucja volumenaV sa strujamaJ ukupna snaga je
dW
dt=
∫
V
E · JdV . (18.7)
Snaga (18.7) utrosi se na povecanje mehanicke energijecestica ili na toplinu.
18.3.3 Poyntingov vektor
Energiju po jedinicnom vremenu i po jedinicnoj povrsini koja se prenese EM poljem nazivamo Poyntin-govim vektorom
S≡ 1µ0
(E × B) , (18.8)
U linearnim se sredstvima relacija (18.8) mijenja u
S≡ E × H . (18.9)
Poyntingov vektor ima dvije interpretacije:
• gustoca toka energije EM polja;
• vektorǫ0µ0S je gustoca impulsa EM polja.
18.3.4 Poyntingov teorem i zakon ocuvanja energije
Poyntingov teorem u najjednostavnijem obliku glasi:
∂uem
∂t+ E · J = −∇ · S . (18.10)
Integriramo li gonju jednadzbu po podrucju volumenaV koje je omedeno zatvorenom plohom povrsineAp dobijemo
∫
V
[∂uem
∂t+ E · J
]
dV = −∮
Ap
S · dAp . (18.11)
Interpretacija jednadzbe (18.11) glasi: zbroj brzine promjene energije EM polja i rada kojeg obavi EMpolje na naboje u volumenuV , jednak je negativnom toku EM energije izV .
Jednadzbu (18.11) mozemo zapisati i u diferencijalnom obliku
∂uem
∂t+ E · J = −∇ · S . (18.12)
Ako je rad EM sila jednak nuli, tada jednadzba (18.12) dobiva oblik koji je identican jednadzbi kontinu-iteta (18.3)
∂uem
∂t= −∇ · S (18.13)
i iskazuje zakon ocuvanja energije za EM polje.Poyntingov teorem ima razlicite primjene i pri tom se matematicki iskaz teorema mijenja. Primi-
jenimo li ga na mikroskopska EM polja gdje u svakom trenutku znamo polozaje pojedninih tockastihnaboja, teorem tada ima sljedeci oblik:
d
dt(Eem + Emech) = −
∮
Ap
S · dAp , (18.14)
gdje jeEmech ukupna mehanicka energijacestica unutarV . U ovom slucaju Poyntigov teorem mozemointerpretirati kao zakon ocuvanja energije za sustavcestica i polja.
51
18.4 Maxwellov tenzor naprezanja
Maxwellov tenzor naprezanja←→T definiran je relacijom
Tij ≡ ǫ0
(
EiEj −12
E2δij
)
+1µ0
(
BiBj −12
B2δij
)
. (18.15)
Tenzor naprezanja ima dvije interpretacije:
• Tij je sila po jedinicnoj povrsini u i-tom smjeru koja djeluje element plohe uj-tom smjeru. Naprimjer, Txy je sila po jedinicnoj povrsini u smjeruex na element povrsine∆Sxz s normalom usmjeruey. Dijagonalni matricni elementiTxx, Tyy i Tzz su tlakovi, a vandijagonalniTxy, Txz, ... suposmicna naprezanja.
• −Tij je gustoca toka impulsa EM polja ui-tom smjeru kroz element plohe uj-tom smjeru.
18.5 Integralni oblik izraza za silu
Neka se naboji i struje nalaze unutar podrucja volumenaV koje je omedeno zatvorenom plohom povrsineAp. Ukupna sila na naboje i struje glasi:
F =
∮
Ap
←→T · dAp − ǫ0µ0
d
dt
∫
V
SdV . (18.16)
18.6 Zakon ocuvanja impulsa
Pomocu drugog Newtonovog zakona te uzmemo li samo EM sile u obzir,jednadzbu (18.16) mozemozapisati u obliku
dpmech
dt=
∮
Ap
←→T · dAp − ǫ0µ0
d
dt
∫
V
SdV , (18.17)
gdje jepmech ukupni impulscestica u podrucju volumenaV . Prvi clan s desne strane u (18.17) interpre-tiramo kao tok impulsa EM polja kroz plohu povrsineAp po jedinicnom vremenu. Drugiclan s desnestrane u (18.17) upucuje na definiciju
pem ≡ ǫ0µ0
∫
V
SdV , (18.18)
sto predstavlja ukupni impuls EM polja unutar podrucja volumenaV . Iz (18.18) vidimo interpretacijuvektoraǫ0µ0S kao gustoce impulsa pohranjenog u EM polju.
Jednadzba (18.17) je zakon ocuvanja impulsa za sustavcestica i naboja: impuls sustavacestica mozeporasti u vremenu ako se impuls EM polja smanji, ili ako se impuls EM polja prenese u podrucje scesticama i poljem kroz plohu povrsineAp.
Pretpostavimo da se impulscestica ne mijenja u vremenu, odnosno,dpmech/dt = 0. Definiramo ligustocu impulsa EM polja
gem ≡ ǫ0µ0S= ǫ0 (E × B) . (18.19)
jednadzbu (18.17) mozemo svesti na poznati oblik
∂gem∂t
= ∇ · ←→T , (18.20)
gdje je(
∇ · ←→T)
j=
∑
i
∂Tij
∂xi. (18.21)
52
Jednadzba (18.20) je zakon ocuvanja impulsa za EM polje. Iz (18.20) vidimo interpretaciju tenzora(
−←→T)
kao gustoce toka impulsa EM polja.
Jednadzbu (18.17) mozemo zapisati i u diferencijalnom obliku upotrijebimo li gustoce impulsagmechi gem
∂
∂t(gmech + gem) = ∇ · ←→T . (18.22)
18.7 Zakon ocuvanja angularnog momenta
Uz energiju i impuls, EM polje sadrzi i angularni moment. Zakon ocuvanja angularnog momenta zasustavcestica i polja glasi
dLmech
dt=
∮
Ap
←→M · dAp − ǫ0µ0
d
dt
∫
V
(r × S) dV , (18.23)
gdje jeLmech ukupni angularni momentcestica unutar podrucja volumenaV . Prvi clan s desne stranejednadzbe (18.23) opisuje tok angularnog momenta EM poljakroz plohu povrsineAp, gdje je gustocatoka angularnog momenta EM polja opisana tenzorom
←→M ≡ ←→T × r , (18.24)
gdje je (←→T × r
)
i=
∑
jk
ǫijkTijxk . (18.25)
Drugi clan s desne strane jedn. (18.23) upucuje na definiciju angularnog momenta EM polja
L em ≡ ǫ0µ0
∫
V
(r × S) dV . (18.26)
Jednadzbu (18.23) mozemo zapisati i u diferencijalnom obliku upotrijebimo li gustoce angularnih mo-menataLmech i Lem
∂
∂t(Lmech + Lem) = −∇ · ←→M . (18.27)
53
VII ELEKTROMAGNETSKI VALOVI
19 Ravni EM val. Polarizacija
19.1 Elektromagnetski valovi u vakuumu
U podrucju bez naboja i struja, Maxwellove jednadzbe u vakuumu glase
∇ · E = 0 , ∇ × E = −∂B∂t
,
∇ · B = 0 , ∇ × B = µ0ǫ0∂E∂t
.(19.1)
Jednadzbe (19.1)cine povezani sustav parcijalnih diferencijalnih jednadˇzbi prvog reda za elektricnuE (r , t) i magnetskuB (r , t) komponentu elektromagnetskog (EM) polja. Moze se pokazati da se iz(19.1) dobiva sustav medusobno nepovezanih diferencijalnih jednadzbi drugog reda
∇2E = µ0ǫ0∂2E∂t2
,
∇2B = µ0ǫ0∂2B∂t2
, (19.2)
pa svaka komponenta EM poljaf = Ei, Bi; i = 1,2,3 zadovoljava valnu jednadzbu
∇2f =1
v2
∂2f
∂t2. (19.3)
Usporedimo li (19.2) i (19.3) zapazamo da fazna brzina EM vala u vakuumu iznosi:
v = c =1
√µ0ǫ0
= 3 · 108 m s−1 . (19.4)
Rjesenje za sustav (19.1) nuzno zadovoljava i jednadzbe (19.2) dok obrat ne vrijedi: rjesenje valnihjednadzbi (19.2) ne mora biti rjesenje za (19.1).
19.2 Ravni EM val
Pretpostavimo li da EM polje ima harmonicku ovisnost o vremenu,e−iωt, jednadzbe (19.2) dobivajuoblik Helmholtzove valne jednadzbe u vakuumu
∇2E + µ0ǫ0ω2E = 0 ,
∇2B + µ0ǫ0ω2B = 0 . (19.5)
Harmonicka ovisnost o vremenu nije ogranicenje jer se bilo koja vremenska ovisnost EM polja moze,zbog linearnosti jednadzbi, prikazati Fourierovim redomili integralom.
Harmonicki ravni EM val ili monokromatski ravni EM val (krace: ravni EM val) ima oblik
E (r , t) = E0ei(k·r−ωt) ,
B (r , t) = B0ei(k·r−ωt) , (19.6)
gdje suE0,B0 vektori kompleksnih amplituda elektricnog i magnetskog polja. Ovako uvedene komplek-sne velicine olaksavaju zapisivanje i racunanje, no fizicko znacenje ima samo realni ili imaginarni dio od(19.6).
54
Prikazemo li valni vektork u oblikuk = kek , (19.7)
gdje jeek jedinicni (realni) vektor u smjeru valnog vektora, ak valni broj, ravni EM val (19.6) zadovo-ljava jednadzbe (19.5) uz uvjet
k =√µ0ǫ0ω =
ω
c. (19.8)
Superpozicijom ravnih valova mozemo naci opce rjesenje za komponente EM vala u (19.3) kojevrijedi za bilo kakav valni oblik (valni paket) koji se slobodnosiri u vakuumu
f (r , t) =1
(2π)3/2
∫
g(k)ei[k·r−ω(k)t]d3k , (19.9)
gdje jeg(k) kompleksna funkcija, aω (k) je dana relacijom (19.8). Primijetite da je kruzna frekvencijaω linerna po valnom brojuk pa valni paket ne mijenja svoj oblik tijekom gibanja.
Maxwellove jednadzbe (19.1) postavljaju dodatne uvjete na ravni EM val (19.6):
• Vektor elektricnog i magnetskog polja ortogonalni su na smjersirenja vala, odnosno, na vektorek
E0 · ek = B0 · ek = 0 , (19.10)
pa EM polje u ravnom valu titra u ravnini koja je okomita na smjer sirenja vala. Ravni EM val jetransverzalan.
• Elektricna i magnetska komponenta u ravnom EM valu medusobno su ortogonalne i titraju u fazi
B0 =1ω
(k × E0) , (19.11)
dok su iznosi amplituda povezani relacijom
B0 =k
ωE0 =
1cE0 . (19.12)
Na osnovi (19.10) - (19.12) ravni EM val (19.6) mozemo zapisati u obliku
E (r , t) = E0ei(k·r−ωt)ep ,
B (r , t) = B0ei(k·r−ωt) (ek × ep
)=
1cE0e
i(k·r−ωt)e′p , (19.13)
gdje jedinicne vektoreep i e′p = ek × ep nazivamo vektorima polarizacije. Vektoriep i e′p odreduju smjertiranja elektricnog i magnetskog polja. AmplitudeE0, B0 su, opcenito, kompleksni brojevi oblika
|E0| eiδ, |B0| eiδ , (19.14)
a δ je fazni pomak. Ako za smjer titranja elektricnog polja odaberemoe′p , smjer titranja magnetskogpolja postaje−ep.
19.2.1 Energija i impuls ravnog EM vala
Faza EM vala uobicajeno se mijenja veoma brzo u vremenu u odnosu na karakteristicna vremena primakroskopskim mjerenjima fizickih velicina koje karakteriziraju EM polje. Na primjer, za vidljivusvje-tlost promjene faze dogadaju se na vremenskoj skali∼ 10−15 s. Zato je nuzno racunati s vremenskimprosjecima fizickih velicina.
55
Moze se pokazati da vremenski prosjek umnoska dviju kompleksnih velicinaf i g cija je harmonickaovisnost identicna (istik i ω), glasi
〈fg〉τ =12
Re(fg∗
). (19.15)
Pomocu (19.15) prosjek gustoce energije ravnog EM vala (18.6) je
〈u〉τ =14
Re(E · D∗ + B · H∗
)=
12ǫ0 |E0|2 . (19.16)
zaD = ǫ0E i H = B/µ0. Prosjecna vrijednost Poyntingova vektora (18.9) iznosi
〈S〉τ =12
Re(E × H∗
)=
12cǫ0 |E0|2 ek
= Iek , (19.17)
gdje jeI intenzitet EM vala. Prosjecna vrijednost gustoce impulsa EM vala (18.19) glasi
〈gem〉τ =12c
ǫ0 |E0|2 ek . (19.18)
19.3 Polarizacija EM vala
Ravni EM val (19.13) je linearno polariziran: vektor elektricnog polja ima stalan smjerep. Zbrojimo lidva linearno polarizirana vala
E1 (r , t) = E1ei(k·r−ωt)ep ,
E2 (r , t) = E2ei(k·r−ωt)e′p , (19.19)
dobivamo val oblikaE (r , t) =
(E1ep + E2e′p
)ei(k·r−ωt) (19.20)
koji je najopcenitije rjesenje Maxwellovih jednadzbi u slucaju kada jek realan. Obzirom na faznu razlikukompleksnih amplitudaE1 = |E1| eiδ1 i E2 = |E2| eiδ2 promotrit cemo tri slucaja:
• Amplitude E1 i E2 imaju istu fazu,δ1 = δ2, odnosno, fazna razlika je nula. Tada je ravni val(19.20) je linearno polariziran.
• Vrijedi |E1| = |E2| i fazna razlika amplituda jeδ1 − δ2 = ±π/2. Tada je val (19.20) je cirkularnopolariziran.
• Fazna razlika razlicita je od 0 ili odπ/2. Polarizacija je elipticna.
Magnetske komponente EM vala koje odgovaraju elektricnim (19.19) mozemo pronaci pomocu(19.11) i (19.12)
B1 =k
ω(ek × E1) =
E1
vei(k·r−ωt)e′p ,
B2 =k
ω(ek × E2) = −E2
vei(k·r−ωt)ep . (19.21)
56
19.3.1 Stokesovi parametri
Stokesovi parametri su poveznica teorije i eksperimenta prilikom mjerenja polarizacije. Odredujemo ihmjerenjem intenziteta ravnog vala (19.20) pa na temelju njihovih definicija, izracunavamo kompleksneamplitude i doznajemo stanje polarizacije vala. Zapisemo li kompleksne amplitude u oblikuE1 = a1e
iδ1
i E2 = a2eiδ2, Stokesove parametres0, s1, s2 i s3 definiramo izrazima:
s0 ≡∣∣ep · E
∣∣2
+∣∣e′p · E
∣∣2
= a21 + a2
2 ,
s1 ≡∣∣ep · E
∣∣2 −
∣∣e′p · E
∣∣2
= a21 − a2
2 ,
s2 ≡ 2 Re[(
ep · E)∗ (
e′p · E)]
= 2a1a2 cos (δ2 − δ1) ,
s3 ≡ 2 Im[(
ep · E)∗ (
e′p · E)]
= 2a1a2 sin (δ2 − δ1) . (19.22)
57
20 Elektromagnetski valovi u jednostavnim sredstvima
20.1 Elektromagnetski valovi u sredstvu
Unutar sredstva, u podrucju bez slobodnih naboja i slobodnih struja, Maxwellove jednadzbe (18.1) imajuoblik:
∇ · D = 0 , ∇ × E = −∂B∂t
,
∇ · B = 0 , ∇ × H =∂D∂t
(20.1)
gdje suE (r , t) i B (r , t) makroskopska polja. VektoreD (r , t) i H (r , t) definiramo pomocu makroskop-skih polja te polarizacijeP (r , t) i magnetizacijeM (r , t), upotrebom sljedecih relacija:
D ≡ ǫ0E + P
H ≡ 1µ0
B −M (20.2)
Ako je sredstvo linearno, izotropno i homogeno (krace: opticko sredstvo), tada je
D = ǫE ,
H =1µ
B (20.3)
gdjeǫ permitivnost sredstva iµ permeabilnost sredstva imaju konstantnu vrijednost za fiksnu frekvencijuω (ovisnost o frekvencijiω dovodi do efekta disperzije), a jednadzbe (20.1) postaju
∇ · E = 0 , ∇ × E = −∂B∂t
,
∇ · B = 0 , ∇ × B = µǫ∂E∂t
(20.4)
Jednadzbe (19.1) i (20.4) imaju identican oblik pa iz (19.2) zakljucujemo da valne jednadzbe u optickomsredstvu glase:
∇2E = µǫ∂2E∂t2
,
∇2B = µǫ∂2B∂t2
(20.5)
Brzina elektromagnetskog vala u optickom sredstvu je
v =1√µǫ
=c
n(20.6)
Indeks loman u (20.6) definiran je izrazom
n ≡√
µǫ
µ0ǫ0=√µrǫr (20.7)
gdje suǫr i µr relativne permitivnosti i permeabilnosti, respektivno. Uvecini slucajeva, promatranosredstvo imatce relativnu permeabilnostµr ≃ 1 pa je indeks loman ≃ √ǫr.
58
20.1.1 Energija i impuls EM vala
U optickim sredstvima gustoca energije EM vala glasi:
u ≡ 12
(
ǫE2+
1µ
B2)
(20.8)
Poytingov vektor ima istu jedinicu kao i gustoca toka energije, a definira se relacijom
S≡ E × H =1µ
(E × B) (20.9)
Gustoca impulsa EM polja razmjerna je Poytingovu vektoru
P ≡ 1
c2S (20.10)
Izracunamo li vremenski prosjek iznosa Poytingovog vektora, dobivamo intenzitet EM vala
I ≡ 〈S〉τ (20.11)
20.1.2 Rubni uvjeti
Rubne uvjete za elektricnu i magnetsku komponentu EM polja na granici izmedu dva opticka sredstvadobivamo iz Maxwellovih jednadzbi (20.4) integracijom poGaussovoj kutiji i Stokesovoj petlji kojeprobadaju rubnu plohu. Normalan na rubnu plohu usmjerena je od sredstva 1 prema sredstvu 2.
Uvjeti na paralelne komponente EM polja glase:
n × (E2 − E1)|na rubu= 0 ,
n ×(
1µ2
B2 −1µ1
B1
)∣∣∣∣
na rubu
= 0 (20.12)
Uvjeti na normalne komponente polja su
(ǫ2E2 − ǫ1E1) · n|na rubu= 0 ,
(B2 − B1) · n|na rubu= 0 (20.13)
20.2 Refleksija i transmisija ravnog EM vala na granici izmedu dva opticka sredstva
20.2.1 Fresnelove jednakosti
Promatrajmo upad ravnog, monokromatskog vala iz optickog sredstva indeksa lomani (permitivnostiǫii permeabilnostiµi) na opticko sredstvo indeksa lomant (permitivnostiǫt i permeabilnostiµt). Smjerupadnog vala zadan je valnim vektoromki. Smjer reflektiranog vala zadan je skr, a smjer transmitiranog(propustenog) vala jekt (slika 20.1). Elektricna i magnetska komponentaupadnog valaglase:
Ei = E0iei(ki·r−ωt) ,
Bi =√µiǫi
ki
ki× Ei (20.14)
Elektricna i magnetska komponentatransmitiranog valaglase:
Et = E0tei(kt·r−ωt) ,
Bt =√µtǫt
kt
kt× Et (20.15)
59
ni
ravnina upada
qi qr
qt
ki kr
kt
nt
Slika 20.1
dok zareflektirani val vrijedi
Er = E0rei(kr·r−ωt) ,
Br =√µiǫi
kr
kr× Er (20.16)
Vektore amplitudaE0i,E0t i E0r rastavljamo na komponentu koja je paralelna ravnini upada ikompo-nentu koja je okomita na ravninu upada. Rubne uvjete (20.12)i (20.13) primijenimo na polja (20.14) -(20.16), posebno za paralelnu, a posebno za komponentu okomitu na ravninu upada. Granica dva optickasredstva jez = 0.
ni
z = 0
Refleksija i lom električnog poljaokomitog na ravninu upada
qi
qr
qt
ki
Ei
kr
Er
kt
Et
ni
Refleksija i lom električnog poljaparalelnog ravnini upada
qi
qr
qt
ki
Ei
kr
Er
kt
Et
nt
nt
Slika 20.2
Zaparalelnu komponentu omjer amplitudareflektiranogai upadnoga elektricnog polja glasi
rq =
(E0r
E0i
)
q
=
µi
µtnt cosθi − ni cosθt
ni cosθt +µi
µtnt cosθi
(20.17)
Zaokomitu komponentu omjer amplitudareflektiranogai upadnoga elektricnog polja glasi
r⊥ =
(E0r
E0i
)
⊥=
ni cosθi −µi
µtnt cosθt
ni cosθi +µi
µtnt cosθt
(20.18)
60
Zaparalelnu komponentu omjer amplitudatransmitiranogai upadnoga elektricnog polja glasi
tq =
(E0t
E0i
)
q
=2ni cosθi
ni cosθt +µi
µtnt cosθi
(20.19)
Zaokomitu komponentu omjer amplitudatransmitiranogai upadnoga elektricnog polja glasi
t⊥ =
(E0t
E0i
)
⊥=
2ni cosθi
ni cosθi +µi
µtnt cosθt
(20.20)
Jednakosti (20.17) - (20.20) nazivaju seFresnelovim jednakostima.
20.2.2 Geomtrijska optika
Razmatranje refleksije i transmisije EM vala pomocu Maxwellovih jednadzbi moze pojasniti nizcinjenicaiz geometrijske optike:
• Valni vektori ki, kt i kr leze u jednoj ravnini koju nazivamo ravninom upada.
• Vrijedi zakon refleksije: kut refleksije jednak je upadnom kutu, θr = θi.
• Vrijedi Snellov zakon ili zakon loma:ni sinθi = nt sinθt.
20.2.3 Okomit upad:θi = 0
Pretpostavimo li da jeµi ≃ µt ≃ µ0, te u Fresnelove jednadzbe uvrstimoθi = θt = 0, dobivamo:
rq = r⊥ = r = ±nt − ni
ni + nt,
tq = t⊥ = t =2ni
ni + nt(20.21)
pri cemu predznak+ vrijedi za paralelnu, a predznak− za okomitu komponentu reflektiranog vala. Akoval upada na opticki gusce sredstvo (nt > ni) , okomita komponenta reflektiranog vala ima fazni pomakπ u odnosu na upadni val.
20.2.4 Koeficijenti refleksije i transmisije
Koeficijent refleksije (reflektancija)R je omjer vremenskih prosjeka snage zracenja reflektiranogIrA cosθri upadnog valaIiA cosθi
R =IrA cosθrIiA cosθi
=Ir cosθrIi cosθi
(20.22)
gdje jeA povrsina plohe na koju upada EM val. Koeficijent transmisije (transmitacija)T je omjervremeskih prosjeka snage zracenja transmitiranogItA cosθt i upadnog valaIiA cosθi
T =ItA cosθtIiA cosθi
=It cosθtIi cosθi
(20.23)
Za okomit upadθi = 0 koeficijenti refleksije i transmisije jednaki su:
R =
(nt − ni
ni + nt
)2
,
T =nt
ni
(2ni
ni + nt
)2
=4nint
(ni + nt)2. (20.24)
61
20.2.5 Polarizacija refleksijom
Ako je upadni kut jednak Brewsterovom kutuθB, paralelna komponenta reflektiranog vala jednaka jenuli pa je reflektirani val potpuno polariziran okomito na ravninu upada (slika 20.3). Rjesenje sustavajednadzbi
rq = nt cosθB − ni cosθt = 0 ,
ni sinθB = nt sinθt (20.25)
je θB = arctan (nt/ni) i θt = π/2− θB.
20.2.6 Totalna refleksija
Ako je ni > nt, tada iz Snellovog zakona slijedi da za kutθi = θC = arcsin (nt/ni) dobijemoθt = π/2gdje je kutθC granicni (kriticni) kut pri kojem nastaje totalna refleksija (Slika 20.4). Povecamo li upadnikut θi > θC , iz Snellovog zakona slijedi sinθt ≡ (ni/nt) sinθi > 1, dok je cosθt imaginaran
cosθt = i
√(
sinθisinθC
)2
− 1 (20.26)
Tada valni vektor transmitiranog valakt postaje kompleksan
kt = kt (sinθtex + cosθtez) = k′tex + ik′′t ez (20.27)
gdje je
k′t ≡ ktni
ntsinθi ,
k′′t ≡ kt
√(
sinθisinθC
)2
− 1 > 0 (20.28)
Transmitirani val (20.15) dobiva oblik nehomogenog ravnogvala (trnuci, priguseni val)
Et = E0tei(kt·r−ωt) = E0te
−k′′t zei(k′tx−ωt) (20.29)
62
20.2.7 Grafovi zarq, r⊥, tq i t⊥ za zrak i staklo
Na slici 20.3 prikazani su grafovi za omjererq, r⊥, tq i t⊥ u slucaju kad EM val iz zraka upada na staklo.Na slici 20.4 prikazani surq i r⊥ kad EM val upada iz stakla u zrak.
0 30 60 90-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0staklo nt = 1,5
tt
r
omje
ri am
plitu
da e
l. po
lja
i (stupnjevi)
r
zrak ni = 1
B
Slika 20.3
0 30 60 90-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
B' C
zrak nt = 1
r
omje
ri iz
nosa
am
plitu
da e
l. po
lja
i (stupnjevi)
r
staklo ni = 1.5
Slika 20.4
63
21 Disperzija. Apsorpcija
21.1 Elektromagnetski valovi u vodicima
U homogenim i izotropnim vodicima opisanim s konstantamaµ, ǫ i σ, Maxwellove jednadzbe imajuoblik:
∇ · E = 0 , ∇ × E = −∂B∂t
,
∇ · B = 0 , ∇ × B = µǫ∂E∂t
+ µσE .
(21.1)
Usporedimo li (21.1) s Maxwellovim jednadzbama u optickom sredstvu (20.8), vidimo da je dodanclan
µJf = µσE (21.2)
koji opisuje makroskopsku strujuJf . Vodici, pored elektrona vezanih uz atome u kristalu, sadrze i gotovoslobodne elektronecija je makroskopska struja dana Ohmovim zakonom,Jf = σE.
Modificirane valne jednadzbe za EM polje koje dobivamo iz sustava (21.1) glase:
∇2E = µǫ∂2E∂t2
+ µσ∂E∂t
,
∇2B = µǫ∂2B∂t2
+ µσ∂B∂t
. (21.3)
Uvrstimo li u (21.3) ravni EM val
E (r , t) = E0ei(κ·r−ωt) ,
B (r , t) = B0ei(κ·r−ωt) , (21.4)
dobijemo uvjet kojeg mora zadovoljavati valni brojκ = |κ|
κ2= µǫω2
+ iµσω . (21.5)
Zapisemo li valni broj u oblikuκ = κ′ + iκ′′, iz (21.5) slijedi
κ′ = ω
√ǫµ
2
[√
1+
( σ
ǫω
)2+ 1
]1/2
,
κ′′ = ω
√ǫµ
2
[√
1+
( σ
ǫω
)2− 1
]1/2
. (21.6)
Ako za smjersirenja vala uzmemo osz, tada jeκ = κez, a pretpostavljena rjesenja (21.4) daju nehomo-geni ravni val
E (r , t) = E0e−κ′′zei(κ
′z−ωt) ,
B (r , t) = B0e−κ′′zei(κ
′z−ωt) . (21.7)
21.1.1 Skin efekt
Dubina prodiranjad
d ≡ 1κ′′
(21.8)
64
je mjera prodiranja EM polja u vodic. Na toj duljini amplituda EM polja padne na, otprilike, trecinu odvrijednosti na povrsini vodica (z = 0) . Za dobre vodice jeσ ≫ ǫω pa za dubinu prodiranja mozemopriblizno pisati:
d ≃
(
ω
√ǫµ
2
√σ
ǫω
)−1
=
√
2µσω
. (21.9)
Kod visih frekvencija, dubina prodiranja EM polja je veoma mala. Struje najvecim dijelom protjecu utankom sloju pri povrsini vodica, odnosno, za gustocu struje vrijediJ ∝ e−z/d. Ova se pojava, zato,naziva skin efektom.
21.2 Ovisnost dielektricne konstante o frekvenciji
Permitivnostǫ i permeabilnostµ ovise o frekvenciji EM polja u sredstvu. Jednostavan klasicni, Loren-tzov model kojim dobivamo ovisnost permitivnosti o frekvenciji je sljedeci: stavimo li sredstvo u EMpolje, na elektron naboja−e djeluje elektricna sila−eE (r , t), sila trenja (gusenja)−mγj r kojom mode-liramo apsorpciju EM energije i harmonicka sila−mω2
j r kojom modeliramo efekte vezanja elektrona uatomu ili molekuli
m(r + γj r + ω2
j r)= −eE (r , t) . (21.10)
Magnetske efektecemo zanemariti i postavitiµ = µ0. Uz pretpostavku da elektricno polje ima har-monicku ovisnost o vremenue−iωt, rjesenje za (21.10) potrazitcemo u oblikur = r0e
−iωt. Dipolnimoment elektrona dobivamo iz jednadzbep = −er .
Imamo lifj elektrona s frekvencijomωj (ukupnoZ elektrona po molekuli) i gusenjemγj teN mo-lekula (atoma) po jedinicnom volumenu, pomocu dipolnog momenta pojedine grupe elektrona mozemoizracunati kompleksnu polarizacijuP, a zatim kompleksnu relativnu permitivnost ili dielektricnu kons-tantuǫr (ω) = ǫ (ω) /ǫ0
ǫr (ω) = 1+Ne2
mǫ0
∑
j
fj
ω2j − ω2 − iγjω
= 1+Ne2
mǫ0
∑
j
fj(ω2j − ω2
)
(ω2j − ω2
)2+ γ2
jω2+ i
Ne2
mǫ0
∑
j
fjγjω(ω2j − ω2
)2+ γ2
jω2, (21.11)
gdje je∑
j
fj = Z.
21.2.1 Normalna i anomalna disperzija. Rezonantna apsorpcija
Konstante gusenjaγj su puno manje od frekvencijaωj pa je imaginarni dio dielektricne konstante (21.11)zanemariv odnosu na realni po cijelom podrucju frekvencija, osim u bliziniωj (Slika 21.1). U podrucjuoko ωj imaginarni dio naglo poraste jer elektroni primaju i trose energiju EM polja (Slika 21.2). Ovase pojava naziva rezonantna apsorpcija, aωj nazivaju se rezonantnim frekvencijama. Realni dio dielek-tricne konstante polagano raste s porastom frekvencija sve do podrucja oko rezonantnih frekvencija gdjenaglo pada. Pojava se naziva anomalna disperzija i pokazujeda sredstvo postaje neprozirno s porastomfrekvencija.
Indeks loma sredstvan =√ǫr i valni broj k = (ω/c)n su zbog (21.11) kompleksne velicine.
Prikazemo li valni broj u oblikuk = k′ + ik′′ , (21.12)
vrijedi
k′ ≡ ω
cRen ,
k′′ ≡ ω
cIm n ≡ α
2, (21.13)
65
1 2 3 4x
0.8
0.9
1.0
1.1
1.2
ReHΕr L
Slika 21.1
1 2 3 4x
0.1
0.2
0.3
0.4
ImHΕr L
Slika 21.2
gdje jeα koeficijent apsorpcije. Rjesenje Maxwellovih jednadzbi (20.8) u disperzivnom sredstvu dielek-tricne konstante (21.11) je nehomogeni ravni val
E (r , t) = E0e−k′′zei(k
′z−ωt) (21.14)
ukoliko sesiri u smjeru osiz. Intenzitet vala (21.14) jeI ∝ e−2k′′z= e−αz jer se dio energije vala prenosi
na elektrone u sredstvu.Za plinove je drugiclan u izrazu za dielektricnu konstantu (21.11) mnogo manji od 1 pa su izrazi za
realni dio indeksa loma i koeficijent apsorpcije pribliznojednaki:
n ≃ 1+Ne2
2mǫ0
∑
j
fj(ω2j − ω2
)
(ω2j − ω2
)2+ γ2
jω2,
α ≃ Ne2ω2
mǫ0c
∑
j
fjγj(ω2j − ω2
)2+ γ2
jω2. (21.15)
Indeks loman u (21.15) moze se dalje pojednostaviti pod pretpostavkom da rezonantne frekvencijeωj
leze u UV podrucju, a frekvencije valovaω < ωj uglavnom iz optickog podrucja
n ≃ 1+ A
(
1+B
λ2
)
. (21.16)
66
Izraz (21.16) naziva se Cauchyjevom formulom za indeks loma.
21.2.2 Dielektricna konstanta u granici niskih frekvencija. Elektri cna vodljivost
Ako je jedan dio elektrona slobodan (indeksj = 0) sto je slucaj za vodice, tada je njihova rezonantnafrekvencijaω0 = 0 pa dielektricna konstanta (21.11) postaje
ǫr (ω) = ǫbr (ω) − Ne2f0
mǫ0
1
ω2 + iγ0ω, (21.17)
gdje jeǫbr (ω) dielektricna konstanta ostalih elektrona koji su vezani uz atome ili molekule. Drugiclan u(21.17) proporcionalan je elektricnoj vodljivosti
σ (ω) =Ne2f0
m
1γ0 − iω
, (21.18)
gdje je broj slobodnih elektrona po atomuf0 ∼ 1.
21.2.3 Dielektricna konstanta u granici visokih frekvencija. Plazmena frekvencija
Promatramo li dielektricnu konstantu u podrucju iznad rezonantnih frekvencija, tada je izraz (21.11) uzuvjetωj ≪ ω, realan i jednak:
ǫr (ω) = 1−ω2p
ω2, (21.21)
gdje jeωp plazmena frekvencija
ω2p =
NZe2
mǫ0. (21.20)
Pomocuω = kc/√ǫr dobivamo disperzijsku relacijuω = ω(k)
ω (k) =√
k2c2 + ω2p . (21.21)
Relacija (21.21) dobro opisuje ionosferu i razrijedenu elektronsku plazmu iz laboratorija na gotovo svimfrekvencijama pacak i zaω < ωp gdje je dielektricna konstanta negativna, a valni broj imaginaran.
21.3 Valni paket. Grupna i fazna brzina
Monokromatski val je idealan fizicki model. U stvarnosti se uvijek javljaju valni paketi ili valni pulsovisastavljeni od valova iz nekog intervala frekvencija ili intervala valnih duljina. Prilikomsirenja valnogpaketa kroz sredstvo treba imati na umu sljedece cinjenice:
• Ako je sredstvo disperzivno, odnosno, ako je dielektricna konstanta funkcija frekvencije EM polja,fazna brzina je razlicita za valove razlicitih frekvencija.
• U disperzivnom sredstvu grupna brzina moze se znacajno razlikovati od fazne. Grupna brzina upodrucju anomalne disperzije gubi fizikalno znacenje.
• U disipativnom sredstvu valni puls bitce oslabljen prolaskom kroz sredstvo pricemu se oblikvalnog pulsa moze promijeniti ovisno o tome jesu li disipativni efekti ovisni o frekvenciji.
Pretpostavimo da promatramosirenje komponente EM vala u jednoj dimenziji. Opce rjesenje valnejednadzbe (18.3) u jednoj dimenziji za val koji se giba udesno ima oblik valnog paketa
f (x, t) =1√
2π
∫∞
−∞A(k)ei[kx−ω(k)t]dk , (21.22)
67
gdje smo kroz relacijuω = ω (k) uzeli u obzir da je sredstvo disperzivno. Frekvencija je parna funkcijavalnog vektoraω (−k) = ω (k) jer disperzija ne ovisi o smjerusirenja vala. AmplitudaA(k) dana jeFourierovim transformatom zaf (x,0)
A(k) =1√
2π
∫∞
−∞f (x,0) e−ikxdx , (21.23)
Grupna brzina valnog paketa definirana je izrazom
vg ≡dω
dk(21.24)
gdje se derivacija racuna za valni brojk = k0 u kojemA (k) ima maksimum. U vecini slucajeva grupnubrzinu mozemo poistovjetiti s brzinom prijenosa energije(pri anomalnoj disperziji to ne vrijedi, na pri-mjer).
68
VIII IZVORI I ZRA CENJAELEKTROMAGNETSKIH VALOVA
22 Retardirani potencijali. Zra cenje tockastog naboja
22.1 Bazdarne transformacije
Iz dviju Maxwellovih jednadzbi
∇ · B = 0 ,
∇ × E = −∂B∂t
, (22.1)
slijedi da je moguce definirati skalarni potencijalΦ (r , t) i vektorski potencijalA (r , t) pomocu izraza:
B = ∇ × A ,
E = −∇Φ − ∂A∂t
. (22.2)
Definicije (22.2) pokazuju da novi potencijali (A ′,Φ′)
A ′ ≡ A + ∇λ ,
Φ′ ≡ Φ − ∂λ
∂t, (22.3)
daju jednako EM polje kao i stari (A,Φ) gdje jeλ (r , t) po volji odabrana diferencijabilna skalarna funk-cija. Sloboda izbora funkcijeλ omogucava pojednostavljenje diferencijalnih jednadzbi zaA i Φ, a dobi-vene jednadzbe uobicajeno su prilagodene problemu koji se razmatra. Transformacije (22.3) nazivaju sebazdarnim transformacijama.
22.2 Coulombov i Lorentzov izbor
Uvrstimo li definicije za vektorski i skalarni potencijal (22.2) u preostale dvije Maxwellove jednadzbe,dobivamo
∇2Φ +
∂
∂t(∇ · A) = − ρ
ǫ0,
∇2A−µ0ǫ0∂2A∂t2− ∇
(
∇ · A + µ0ǫ0∂Φ
∂t
)
= −µ0J . (22.4)
Zbog slobode izbora funkcijeλ, ove se jednadzbe mogu pojednostaviti. Uzmemo li∇ · A = 0, nacinilismoCoulombov izbor(Coulombovo bazdarenje) pa jednadzbe (22.4) postaju
∇2Φ = − ρ
ǫ0,
∇2A−µ0ǫ0∂2A∂t2
= −µ0J + µ0ǫ0∇(∂Φ
∂t
)
. (22.5)
Uz Coulombov izbor, funkcijaλ mora zadovoljavati jednadzbu
∇2λ = 0 . (22.6)
69
Postavimo li
∇ · A + µ0ǫ0∂Φ
∂t= 0 , (22.7)
nacinili smo Lorentzov izbor(Lorentzovo bazdarenje) pa jednadzbe (22.4) postaju
∇2Φ − µ0ǫ0
∂2Φ
∂t2= − ρ
ǫ0,
∇2A−µ0ǫ0∂2A∂t2
= −µ0J . (22.8)
Funkcijaλ tada je odredena uvjetom
∇2λ − µ0ǫ0∂2λ
∂t2= 0 . (22.9)
Jednadzbe (22.8) imaju obliknehomogenih valnih jednadzbi. Uvedemo li novi operator, d’Alembertian
2 ≡ ∇2 − 1
c2
∂2
∂t2, (22.10)
jednadzbe (22.8) dobivaju oblik
2Φ = − ρ
ǫ0,
2A = −µ0J . (22.11)
22.3 Retardirani potencijali i Jefimenkove jednadzbe
Rjesenja za (22.8) koja zadovoljavajuuvjet kauzalnostisuretardirani potencijali
Φ (r , t) =1
4πǫ0
∫ρ (r ′, tr)
Rd3r′ =
14πǫ0
∫
d3r′∫
dt′ρ (r ′, t′)
Rδ(t′ − tr
),
A (r , t) =µ0
4π
∫J (r ′, tr)
Rd3r′ =
µ0
4π
∫
d3r′∫
dt′J (r ′, t′)
Rδ(t′ − tr
), (22.12)
gdje je
R = r − r ′ ,
R =∣∣r − r ′
∣∣ , (22.13)
a gustoca nabojaρ (r ′, tr) i gustoca strujeJ (r ′, tr) izracunate su u nekom ranijem trenutku ili retardiranomvremenu
tr ≡ t − |r − r ′|c
= t − R
c. (22.14)
Naime, vrijednosti potencijala u trenutkut posljedica su promjene na izvoru polja (naboji i struje) kojase dogodila u ranijem trenutkutr. VrijemeR/c je vrijeme potrebno da se EM val prosiri (konacnom)brzinom svjetlostic do udaljenostiR od izvora.
Elektricno i magnetsko polje koje odgovaraju retardiranim potencijalima (22.12) glase:
E (r , t) =1
4πǫ0
∫ [ρ (r ′, tr)
R2eR +
ρ (r ′, tr)cR
eR −J (r ′, tr)c2R
]
d3r′ ,
B (r , t) =1
4πǫ0
∫ [J (r ′, tr)
R2+
J (r ′, tr)cR
]
× eRd3r′ , (22.15)
gdje jeeR jedinicni vektor definiran relacijom
eR ≡r − r ′
|r − r ′| =RR
. (22.16)
Izrazi (22.15) nazivaju seJefimenkove jednadzbei poopcenja su Coulombovog i Bio-Savartovog zakonaza vremenski ovisne naboje i struje.
70
22.4 Lienard-Wiechertovi potencijali
Pretpostavimo da secestica nabojaq giba po putanjir ′ = w (tr). Reterdirani potencijali (22.12) zanabijenucesticu glase:
Φ (r , t) =1
4πǫ0
qc
Rc − R · v,
A (r , t) =µ0
4πqcv
Rc − R · v, (22.17)
gdje jev brzinacestice u retardiranom vremenutr. Potencijali (22.17) nazivaju se Lienard-Wiechertovimpotencijalima.
Elektromagnetsko polje koje odgovara gibanju tockastog naboja i potencijalima (22.17) moze seizracunati pomocu Jefimenkovih jednadzbi (22.15) ili direktno iz definicija (22.2)sto je,cini se, laksipristup
E (r , t) =q
4πǫ0
R
(R · u)3
[(c2 − v2) u + R × (u × a)
],
B (r , t) =1c
eR × E (r , t) , (22.18)
gdje jea akceleracijacestice u retardiranom vremenutr i
u ≡ ceR − v . (22.19)
Prvi clan u izrazu za elektricno polje (22.18) naziva se generalizirano Coulombsko polje, a drugiclanpolje zracenja. Prviclan opada obrnuto razmjerno kvadratu udaljenostiR2od cestice i svodi se na Co-ulombov zakon ako su brzina i akceleracijacestice jednaki nuli. Drugiclan opada obrnuto razmjernoudaljenostiR od cestice i dominantan je na velikim udaljenostima odcestice. Drugiclan je odgovoranza elektromagnetsko zracenje koje stvara nabijenacestica pri ubrzanom gibanju.
22.4.1 Lorentzova sila
Pomocu izraza za EM polje (22.18) moze se izracunati sila izmedu dva naboja u gibanju. Pretpostavimoda se testni nabojQ giba brzinomV. Tada je Lorentzova sila izmedu dva tockasta naboja jednaka:
F = q (E + v × B)
4πǫ0
R
(R · u)3
[(c2 − v2)u + R × (u × a)
]+
Vc×[eR ×
[(c2 − v2) u + R × (u × a)
]]
.
(22.20)
22.5 Snaga zracenja tockastog naboja. Larmorova formula
Prema zakonima klasicne elektrodinamike, nabijenacestica koja se ubrzano giba, zraci EM valove.Ukupna snaga zracenja glasi:
P =
∮
sfera
S · dAp =1µ0
∮
sfera
(E × B) · ndAp , (22.21)
gdje je S Poytingov vektor, adAp je vektor elementa povrsine. Integral (22.21) racuna se po sferikonacnog polumjeraR i nakon toga uzima se granicaR → ∞.
Jefimenkove jednadzbe (22.15) pokazuju daclanovi koji sadrze vremenske derivacije naboja i strujaopadaju obrnuto razmjerno udaljenosti od raspodjele, a tada Poyntingov vektor opada razmjerno s 1/R2
sto na koncu daje konacan doprinos snazi zracenja (22.21).
71
Poyntingov vektor za EM polje naboja u gibanju (22.18) glasi:
S=1µ0c
[E2eR − (eR · E) E
], (22.22)
gdje cemo u izrazu za elektricno polje uzeti u obzir samo polje zracenja. Generalizirano Coulombskopolje ne doprinosi snazi zracenja (22.21). Drugiclan u (22.22) jednak je nuli zbogeR · Erad = 0 padobijemo
Srad =1µ0c
E2rad
eR =µ0q
2a2
16π2c
sin2 θ
R2eR , (22.23)
gdje smo indeksomrad naznacili da se radi samo o doprinosu polja zracenja. Integriramo li ovaj izrazpo sferi, dobivamo
P =
∮
sfera
S · dAp =µ0q
2a2
6πc. (22.24)
Izraz (22.24) naziva se Larmorova formula. Valjana je uz pretpostavku da je brzinacesticev ≪ c.
Li enardova generalizacija Larmorove formule vrijedi za relativisticke cestice i glasi
P =µ0q
2γ6
6πc
(
a2 −∣∣∣
v × ac
∣∣∣
2)
,
gdje je faktorγ jednak
γ =1
√1− v2/c2
.
22.6 Reakcijska sila zracenja
Ubrzanoj nabijenojcestici zracenje smanjuje kineticku energiju. Pod djelovanjem vanjske sile, nabijenacestica ima manje ubrzanje, nego nenabijena, neutralnacestica iste mase. Naime, zracenje uzokujereakcijsku silu na nabijenucesticu
Frad =µ0q
2
6πca , (22.25)
gdje jea vremenska derivacija akceleracijecestice. Ova se formula naziva Abraham-Lorentzova formulai posljedica je sile kojom EM polje jednog dijela nabijenecestice djeluje na druge dijelove istecestice.
72
23 Zracenje elektricnog dipola. Zracenje magnetskog dipola i elektricnogkvadrupola
Izvori EM zracenja su sustavi naboja koji se gibaju ubrzano. No, u nekim slucajevima ukupno zracenjeiscezava zbog destruktivne interferencije zracenja dijelova sustava. Veoma daleko od izvora, elektro-magnetsko polje ”odvojilo” se od izvora (silnice polja ne prolaze izvorom) i EM val prenosi energijukroz plohu u beskonacnosti bez smanjivanja. Dio EM polja koji je dominantan na velikim udaljenostimaod izvora naziva sepoljem zracenja.
23.1 Zone elektromagnetskog polja
Podrucje u kojem postoji elektromagnetsko polje proizvoljnog izvora, raspodjele nabojaρ (r , t) i/ili strujaJ (r , t) mozemo, u grubo, podijeliti na zone ili dijelove podrucja na sljedeci nacin:
Bliska ili stati cka zona r ≪ cτ
Srednja ili indukcijska zona r ∼ cτ
Daleka ili zona zracenja cτ ≪ r
Vrijeme τ je karakteristicno vrijeme u kojem se vrijednosti izvora, naboja ili struje, znacajno promi-jene, acτ je put kojeg prijede EM val za vrijemeτ. Ako su izvori harmonicki po vremenu,ρ (r , t) , J (r , t) ∼exp (−iωt), uzima seτ = T = 2π/ω, gdje jeT perioda titranja, aω kruzna frekvencija. U ovom slucaju,veomacesto u teoriji EM zracenja promatra sedugovalna granica, cT = λ≫ d, gdje jed karakteristicnadimenzija izvora. Zone elektromagnetskog polja postaju:
Bliska ili stati cka zona d < r ≪ λ ili kd < kr ≪ 1
Srednja ili indukcijska zona d < r ∼ λ ili kd < kr ∼ 1
Daleka ili zona zracenja d≪ λ≪ r ili kd≪ 1≪ kr
gdje jek = 2π/λ valni broj. Ako jer ′ vektor polozaja do tocke izvora, primijetimo da jer′ ≤ d. Takoder,EM polje promatratcemo izvan izvora koji se nalazi u konacnom volumenu unutar sfere polumjerad(slika 23.1).
Slika 23.1
73
U bliskoj zoni dominira kvazi-staticko polje koje titra harmonicki kao i izvor, exp (−iωt), a efektiretardacije (kasnjenja u odnosu na izvor) su zanemarivi. U zoni zracenja, dovoljno daleko od izvora,potencijali te elektricna i magnetska komponenta polja ovise o udaljenosti od izvora razmjerno 1/r.Primjer kod kojeg mozemo zapaziti ovisnost 1/r je drugi clan u elektricnom polju tockastog naboja ugibanju (22.18). Konacno, u srednjoj zoni moramo uzeti u obzir sveclanove koji se pojavljuju u izrazimaza potencijale i polja, nema dominantnihclanova.
23.2 Svojstva EM polja zracenja
U zoni zracenja jer′ ≤ d≪ r pa izraz|r − r ′| razvijamo doclanova drugog reda po potencijamar/r′
∣∣r − r ′
∣∣ = r
√
1− 2er · r ′r
+
(r′
r
)2
= r
1−(r′
r
)(er · e′r
)− 1
2
(r′
r
)2 [
1−(er · e′r
)2]
+ . . .
(23.1)U izrazu za retardirani vektorski potencijal (22.12)
A (r , t) =µ0
4π
∫J (r ′, tr)
Rd3r′ (23.2)
udaljenost od tocke izvora do tocke promatranjaR = |r − r ′| aproksimiramo izrazomR ≈ r, a retardi-rano vrijeme
tr = t −R/c ≈ t − r/c + er · r ′/c (23.3)
Vektorski potencijal polja zracenja postaje
Arad (r , t) =µ0
4πr
∫
d3r′J(r ′, t − r/c + er · r ′/c
)(23.4)
Elektricnu i magnetsku komponentu polja zracenja mozemo izracunati pomocu sljedecih izraza:
Brad (r , t) = −erc× ∂Arad (r , t)
∂t
Erad (r , t) = −er × cBrad (r , t) (23.5)
odnosno,cBrad (r , t) = er × Erad (r , t) (23.6)
Iz jednadzbi (23.4) - (23.6) moze se zakljuciti:
• Zbog cinjenice daErad i Brad ovise o udaljenosti od izvora kao 1/r, Poyntingov vektor poljazracenjaS = Erad× Brad/µ0 ovisi o udaljenosti kao 1/r2. Snaga kroz sferu polumjeraa → ∞ jekonacna,P =
∮
a→∞ S· dAp =∮
a→∞ S· err2dΩ =∫S (θ, φ) dΩ, gdje jeS (θ, φ) dio Poyntingovog
vektora ovisi o kutovima.
• Iznosi komponenti elektricne i magnetske komponente polja zracenja povezani su jednadzbomErad = cBrad .
• Vektori (er,Erad,Brad) tvore bazu desnog koordinatnog sustava u promatranoj tocki prostora.
• Na sfernoj plohi polumjerar u fiksnom trenutkut, iznosi elektricne i magnetske komponente poljazracenja imaju konstantne vrijednosti.
• Povecavanjem polumjerar sfernom valu se smanjuje zakrivljenost pa lokalna svojstvapolja zracenjapostaju slicna transverzalnom ravnom valu.
74
23.3 Kutna raspodjela snage
Kutna raspodjela snage zracenja definirana je formulom
dP
dΩ= S · err2
=r2
cµ0|Erad|2 =
1cµ0
∣∣∣∣r × ∂Arad (r , t)
∂t
∣∣∣∣
2
(23.7)
Ukupnu snagu zracenja dobivamo integriramo li (23.7) po prostornom kutu
P =
∫dP
dΩdΩ (23.8)
23.4 Vektor zracenja
Vektor zracenja definiran je izrazom
α (r , t) ≡ d
dt
∫
d3r′J(r ′, t − r/c + er · r ′/c
)(23.9)
odnosno, vrijedi∂Arad (r , t)
∂t=
µ0
4πrα (r , t) (23.10)
Razvijemo li gustocu struje u red po potencijama zaer · r ′/c dobijemo
J(r ′, t − r/c + er · r ′/c
)= J
(r ′, t − r/c
)+
er · r ′
c
∂
∂tJ(r ′, t − r/c
)+
12
(er · r ′
c
)2∂2
∂t2J(r ′, t − r/c
)+ ...
(23.11)Moze se pokazati da prva dvaclana s desne strane u (23.11) daju za vektor zracenja
α (r , t) =d2
dt2p (t − r/c) +
1c
d2
dt2m (t − r/c) × er +
1c
d3
dt3
←→Q (t − r/c) · er + . . . (23.12)
gdje jep (r ′, t − r/c) elektricni dipolni moment raspodjele naboja, velicina m (r ′, t − r/c) je magnetskidipolni moment raspodjele struja, a
←→Q (r ′, t − r/c) elektricni kvadrupolni moment raspodjele naboja, svi
izracunati u retardiranom vremenut − r/c.Pretpostavimo da jeτ karakteristicno vrijeme u kojem se vrijednosti izvora znacajno promijene. Tada
je u izrazu (23.11)∂J∂t∼ J
τ,
∂2J∂t2∼ J
τ2, ... (23.13)
Mozemo zakljuciti da je (23.11), takoder, i razvoj po parametru
d
cτ=
dimenzija izvoraudajenost koju prijede EM val u vremenuτ
< 1 (23.14)
Ukoliko se radi o harmonickim izvorima kojima je vremenska ovisnost oblika exp (−iωt), uvjet (23.14)prelazi u (d/λ) < 1. Ako su ostvareni uvjeti za EM polje u zoni zracenjad≪ λ≪ r tada je, uobicajno,dovoljno promatrati samo prvi neiscezavajuci clan u (23.12) koji je dominantan.Clanovi visih redovapuno su manji i time zanemarivi u odnosu na dominantniclan.
75
23.5 Polje zracenja elektricnog dipola
Zracenje elektricnog dipola (oznaka: E1) opisuje 1.clan u izrazu (23.12)
αE1 (r , t) =d2
dt2p (t − r/c) = pret (23.15)
gdje oznaka ”ret” oznacava da se derivacija po vremenu racuna u trenutkut − r/c, a dipolni moment je
p =
∫
d3r′r ′ρ(r ′, t − r/c
)(23.16)
Iz (23.5), (23.10) i (23.15) slijedi
BE1 (r , t) = − µ0
4πcer × pret
r
EE1 (r , t) = −er × cBrad (r , t) =µ0
4π(er · pret) er − pret
r(23.17)
Kutna raspodjele snage zracenja za polja (23.17) glasi(dP
dΩ
)
E1
=µ0
16π2c|er × pret|2 (23.18)
Ako je p (t) fiksan vektor u prostoru, usmjeren, na primjer, u pozitivnom smjeru osiz tada jedP/dΩ ∝sin2 θ (slika 23.2). Snaga E1 zracenja
PE1 (t) =µ0
6πc|pret|2 (23.19)
p
Slika 23.2
23.5.1 Harmonicki izvori
Ako je vremenska ovisnost dipolnog momenta oblikap (t) = p exp (−iωt) izrazi za polja (23.17) postaju
BE1 (r , t) =µ0
4πω2
c(er × p)
ei(kr−ωt)
r
EE1 (r , t) =µ0
4πω2 [er × (er × p)]
ei(kr−ωt)
r(23.20)
76
pri cemu treba uzeti samo realni ili imaginarni dio gornjih izraza. Vremenski prosjek kutne raspodjelesnage i ukupnu snagu dobitcemo pomocu (19.15), (23.18) i (23.19) uzmemo li u obzir da jep = −ω2p
⟨dP
dΩ
⟩
E1
=ck4
32π2ǫ0(er × p) ·
(er × p∗
)
〈PE1〉 =µ0ω
4
12πcp · p∗ (23.21)
23.6 Polje zracenja magnetskog dipola
U slucaju da elektricni dipolni moment iscezava ili da jep = 0, dominatan je drugiclan u razvoju (23.11)koji sadrzi prvu parcijalnu derivaciju po vremenu izraza
(er · r ′
)J =
12
(r ′ × J
)× er +
12
[(er · r ′
)J+ (er · J) r ′
](23.22)
Prvi clan s desne strane u (23.22) daje za vektor zracenja
αM1 (r , t) =1c
m (t − r/c) × er (23.23)
gdje je magnetski moment
m =12
∫
d3r′r ′ × J (23.24)
Pomocu (23.23) dobivamo elektricno i magnetsko polje zracenja magnetskog dipola (oznaka: M1)
BM1 (r , t) =µ0
4πc2
(er · mret) er − mret
r
EM1 (r , t) =µ0
4πcer × mret
r(23.25)
Kutna raspodjela snage zracenja za elektromagnetsko polje (23.25) glasi(dP
dΩ
)
M1
=µ0
16π2c3|er × mret|2 (23.26)
a snaga zracenja
PM1 (t) =µ0
6π|mret|2
c3(23.27)
Kutna raspodjela snage zracenja, identicna je onoj za elektricni dipol (slika 23.2).
23.6.1 Harmonicki izvori
Neka je vremenska ovisnost magnetskog momenta oblikam (t) = m exp (−iωt) . Izrazi za polja (23.25)postaju
BM1 (r , t) = −µ0
4πk2 [er × (er ×m)]
ei(kr−ωt)
r
EM1 (r , t) = −µ0
4πω2
c(er ×m)
ei(kr−ωt)
r(23.28)
gdje jeω = ck pri cemu treba uzeti samo realni ili imaginarni dio gornjih izraza. Vremenski prosjekkutne raspodjele snage dobitcemo pomocu (19.15), (23.26) i (23.27)
⟨dP
dΩ
⟩
M1
=µ0cω
4
32π2(er ×m) ·
(er ×m∗
)
〈PM1〉 =µ0ω
4
12πc3m ·m∗ (23.29)
77
23.7 Polje zracenja elektricnog kvadrupola
Moze se pokazati da drugiclan s desne strane u (23.22)
12
[(er · r ′
)J+ (er · J) r ′
](23.30)
doprinosi zracenju elektricnog kvadrupola momenta
Q =12
∫
d3r′ρ(r ′, t − r/c
)r ′r ′ (23.31)
gdje je
r ′r ′ =
x2 xy xz
xy y2 yz
xz yz z2
(23.32)
Vektor zracenja i polja za zracenje elektricnog dipola (oznaka: E2) postaju
αE2 (r , t) =1c
d3
dt3
←→Q (t − r/c) · er
BE2 (r , t) = − µ0
4πc2
[
er ×( ...←→
Q ret · er)]
r
EE2 (r , t) =µ0
4πc
(
er ·...←→Q ret · er
)
er −...←→Q ret · er
r(23.33)
dok su kutna raspodjela snage i ukupna snaga
(dP
dΩ
)
E2
=µ0
16π2c2
∣∣∣∣er ×
( ...←→Q ret · er
)∣∣∣∣
2
PE2 (t) =µ0
20πc3
∑
m,n
[...Qmn
...Qmn −
13
...Qmm
...Qnn
]
ret
(23.34)
78
IX PRILOZI
24 Diracova delta-funkcija
Definicija
δ (x − a) = 0 , x 6= a∫
I
δ (x − a) dx =
1 , a ∈ I
0 , a /∈ I(24.1)
Svojstva
1. ∫∞
−∞f (x) δ (x − a) dx = f (a) (24.2)
2. ∫∞
−∞f (x) δ′ (x − a) dx = −f ′ (a) (24.3)
3. ∫∞
−∞f (x) δ [g (x) − a] dx =
[f (x)
dg (x) /dx
]
x=η
, g (η) = a (24.4)
4.
δ [f (x)] =∑
i
δ (x − xi)∣∣∣∣∣
dfdx
∣∣∣∣x=xi
∣∣∣∣∣
(24.5)
gdje suxi nule funkcijef (x) .
5.
δ (kx) =1|k|δ (x) (24.6)
6.δ (−x) = δ (x) (24.7)
7.xδ′ (x) = −δ (x) (24.8)
8.θ′ (x) = δ (x) (24.9)
gdje jeθ (x) step-funkcija definirana izrazom
θ (x) =
1 , x > 00 , x ≤ 0
(24.10)
79
9. Diracova delta-funkcija u tri dimenzije definirana je izrazima
δ (r − R) = 0 , r 6= R∫
V
δ (r − R) dV =
1 , R unutarV0 , R izvanV
(24.11)
gdje jeδ (r − R) = δ (x −X) δ (y − Y ) δ (z −Z) .
10. Skup tockastih naboja opisujemo gustocom naboja
ρ (x) =∑
i
qiδ (r − r i) (24.12)
11. U ortogonalnom koordinatnom sustavu (u, v, w) delta funkcija glasi
δ(r − r ′
)=
1∣∣∣∣J
(x, y, z
u, v, w
)∣∣∣∣
δ(u − u′
)δ(v − v′
)δ(w − w′
)(24.13)
gdje jeJ( x,y,zu,v,w
)Jacobijan transformacije koordinatax = x (u, v, w) , y = y (u, v, w) , z = z (u, v, w) .
25 Legendreovi polinomi
Diferencijalna jednadzba
Legendreovi polinomiPl su rjesenja diferencijalne jednadzbe
ddx
[(1− x2) dPl (x)
dx
]
+ l (l + 1)Pl(x) = 0 (25.1)
Moze se pokazati da konacna rjesenja na intervalu [−1,1] (ukljucuje tockex = ±1) mozemo dobiti samoako je indeksl nenegativan cijeli broj
l = 0,1,2, ... (25.2)
a tada su funkcijeP (x) polinomi stupnjal. Obiljezavamo ih saPl (x).
Nekoliko prvih Legendreovih polinoma
l = 0, P0 = 1
l = 1, P1 = x
l = 2, P2 =12
(3x2 − 1
)
l = 3, P3 =12
(5x3 − 3x
)
(25.3)
Relacija ortogonalnosti
∫1
−1Pl′ (x) Pl (x) dx =
22l + 1
δl′l (25.4)
Zax = cosθ gornja relacija postaje∫π
0Pl′ (cosθ) Pl (cosθ) sinθdθ =
22l + 1
δl′l (25.5)
80
Potpunost skupaPl (x)
FunkcijePl (x) cine potpun, ortogonalan skup na intervalu [−1,1] . Zadanu funkcijuf (x) mozemorazviti u red po Legendreovim polinomima
f (x) =∞∑
l=0
alPl (x) (25.6)
gdje su
al =2l + 1
2
∫1
−1Pl (x) f (x) dx (25.7)
Vaznije relacije
Pl (x) =1
2ll!
dl
dxl(x2 − 1
)l(Rodriguesova formula)
dPl+1
dx− dPl−1
dx− (2l + 1)Pl = 0 , l ≥ 1
(l + 1)Pl+1 − (2l + 1)xPl + lPl−1 = 0 , l ≥ 1(x2 − 1
) dPl
dx− lxPl + lPl−1 = 0 , l ≥ 1
Pl (1) = 1
P2l+1 (0) = 0
P2l (0) = (−1)l(2l − 1)!!
(2l)!!
Pl (−x) = (−1)l Pl (x)∫1
0P2l+1 (x) dx = (−1)l
(2l − 1)!!
2l+1 (l + 1)!, l ≥ 1 (25.8)
26 Pridruzene Legendreove funkcije i sferni harmonici
Diferencijalna jednadzba za pridruzene Legendreove funkcije
Pridruzene Legendreove funkcijePml rjesenja su diferencijalne jednadzbe
ddx
[(1− x2) dPm
l (x)
dx
]
+
[
l (l + 1)− m2
1− x2
]
Pml
(x) = 0 (26.1)
Primijetimo da je ova jednadzba slicna onoj za Legendreove polinome (25.1), s tim da imamo dodatniclanm2/
(1− x2
). Ova se diferencijalna jednadzba naziva generalizirana Legendreova jednadzba i ima
konacna rjesenja na intervalu [−1,1] samo ako je
l = 0,1,2,3, ...
m = 0,±1,±2, ...,±l (26.2)
Za fiksnil postoji (2l + 1) razlicitih, linearno nezavisnih pridruzenih Legendreovih funkcija.
81
Pridru zene Legendreove funkcije i Legendreovi polinomi
Zam ≥ 0 vrijede sljedece relacije
Pml
(x) = (−1)m(1− x2)m/2 dm
dxmPl (x)
P−ml (x) = (−1)m(l − m)!(l + m)!
Pml (x) (26.3)
Zam = 0 pridruzene Legendreove funkcije prelaze u Legendreove polinome
Pm=0l
= Pl (26.4)
Relacija ortogonalnosti i potpunost
Pridruzene Legendreove funkcije ortogonalne su na intervalu [−1,1] po indeksul
∫1
−1Pml′ (x) Pm
l (x) dx =2
2l + 1(l − m)!(l + m)!
δl′l (26.5)
Skup funkcijaPml (x)
je potpun na intervalu [−1,1].
Definicija sfernih harmonika
Sferni harmoniciYlm definirani su sljedecom relacijom
Ylm (θ, φ) =
√
2l + 14π
(l − m)!(l + m)!
Pml
(cosθ) eimφ (26.6)
Zam ≥ 0 vrijedi relacijaYl,−m = (−1)m Y ∗lm (26.7)
Primijetimo da iz (26.4) i (26.7) slijedi
Yl0 (θ, φ) =
√2l + 1
4πPl (cosθ) (26.8)
Ortonormiranost i potpunost
Sferni harmonicicine potpun i ortonormiran skup funkcija na sferi sa radijusom jednakim 1. Relacijaortonormiranosti glasi
∫2π
0dφ∫π
0dθ sinθY ∗
l′m′ (θ, φ) Ylm (θ, φ) = δl′lδm′m (26.9)
Relacija potpunosti jednaka je
∞∑
l=0
l∑
m=−lY ∗lm(θ′, φ′
)Ylm (θ, φ) = δ
(φ − φ′
)δ(cosθ − cosθ′
)(26.10)
82
Nekoliko prvih sfernih harmonika
l = 0, Y00 =1√
4π
l = 1,
Y11 = −√
38π sinθ eiφ
Y10 =
√3
4π cosθ
Y1,−1 =
√3
8π sinθ e−iφ
l = 2,
Y22 =14
√152π sin2 θ e2iφ
Y21 = −√
158π sinθ cosθ eiφ
Y20 =12
√5
4π
(3 cos2 θ − 1
)
Y2,−1 =
√158π sinθ cosθ e−iφ
Y2,−2 =14
√152π sin2 θ e−2iφ
(26.11)
27 Besselove funkcije
Diferencijalna jednadzba za Besselove funkcije
Opce rjesenje Besselove jednadzbe
d2F (x)
dx2+
1x
dF (x)dx
+
(
1− m2
x2
)
F (x) = 0 (27.1)
je oblikaF (x) = AJm(x) + BNm(x) (27.2)
FunkcijeJm(x) nazivaju se Besselove funkcije prve vrste. Drugo, linearno nezavisno rjesenje Besselovejednadzbe za cjelobrojnim je Besselova funkcija druge vrste, ili Neumannova funkcijaNm (x).
Potpunost i ortogonalnost
Besselove funkcijeJν (xνnρ/a) , n = 1,2,3, ... cine potpun i ortogonalan skup na intervalu [0, a] pricemu jexνn n-ta nula odJν(x). Po volji zadanu funkcijuf (ρ) mozemo razviti u Fourier-Besselov redoblika
f (ρ) =∞∑
n=1
AνnJν
(
xνnρ
a
)
Aνn =2
a2J2ν+1 (xνn)
∫ a
0ρf (ρ) Jν
(
xνnρ
a
)
dρ (27.3)
Relacija ortogonalnosti za navedeni skup funkcija glasi
∫a
0ρJν
(
xνn′ρ
a
)
Jν
(
xνnρ
a
)
dρ =a2
2[Jν+1 (xνn)]
2 δnn′ (27.4)
83
Vaznija svojstva Besselovih funkcija
∫a
0xJν (kx) Jν
(k′x)
dx =1kδ(k′ − k
)
J−m(x) = (−1)mJm(x) (27.5)
Jν (x)x≪1−→ 1
Γ (ν + 1)
(x
2
)ν
Jν (x)x≫1−→
√2πx
cos(
x − νπ
2− π
4
)
Nν (x)x≪1−→
2π
[
ln(x
2
)
+ 0.5772...]
, ν = 0
−Γ (ν)π
(2x
)ν
, ν 6= 0
Nν (x)x≫1−→
√2πx
sin(
x − νπ
2− π
4
)
(27.6)
28 Modificirane Besselove funkcije
Diferencijalna jednadzba
Diferencijalna jednadzba za modificirane Besselove funkcije je oblika
d2F (x)
dx2+
1x
dF (x)dx
−(
1+m2
x2
)
F (x) = 0 (28.1)
a opce rjesenjeF (x) = AIm(x) + BKm(x) (28.2)
FunkcijeIm (x) nazivaju se modificirane Besselove funkcije prve vrste, aKm (x) modificirane Besselovefunkcije druge vrste.
Vaznija svojstva
Iν (x) = i−νJν (ix)
Iν (x)x≪1−→ 1
Γ (ν + 1)
(x
2
)ν
Iν (x)x≫1−→ 1
√2πx
ex
Kν (x)x≪1−→
−[
ln(x
2
)
+ 0.5772...]
, ν = 0
Γ (ν)2
(2x
)ν
, ν 6= 0
Kν (x)x≫1−→
√π
2xe−x (28.3)
84
29 Vektorska analiza
Skalarni i vektorski produkt
Zadani su vektoria,b u ortogonalnim koordinatama (η1, η2, η3) . Skalrni produkt vektora definiran jerelacijom
a · b ≡ aη1bη1 + aη2bη2 + aη3bη3 , (29.1)
a vektorski produkt relacijom
a× b ≡(aη2bη3 − aη3bη2
)eη1 −
(aη1bη3 − aη3bη1
)eη2 +
(aη1bη2 − aη2bη1
)eη3 , (29.2)
gdje su(eη1,eη2,eη3
)jedinicni vektori za zadani ortogonalni sustav koordinata.
Zadani su vektoria,b, c,d. Vrijede jednakosti:
a · (b × c) = b · (c× a) = c · (a× b)
a× (b × c) = b(a · c) − (a · b)c
(a× b) · (c× d) = (a · c)(b · d) − (a · d)(b · c)
(a× b) × (c× d) = [a · (b × d)] c− [a · (b × c)] d = [a · (c× d)] b − [b · (c× d)] a . (29.3)
Diferencijalni identiteti
Zadana su skalarna poljaΦ (r ) ,Ψ (r ) i vektorska poljaA (r ) ,B (r ) ,C (r ). Vrijede sljedece jednakosti:
∇ × ∇Φ = 0
∇ · (∇ × A) = 0
∇ × (∇ × A) = ∇(∇ · A) − ∇2A (29.4)
∇(ΦΨ) = Ψ∇Φ + Φ∇Ψ∇ · (ΦA) = A · ∇Φ + Φ∇ · A∇ × (ΦA) = ∇Φ × A + Φ∇ × A (29.5)
∇(A · B) = (A · ∇)B + (B · ∇)A + A × (∇ × B) + B × (∇ × A)
∇ · (A × B) = B · (∇ × A) − A · (∇ × B)
∇ × (A × B) = A(∇ · B) − B(∇ · A) + (B · ∇)A − (A · ∇)B (29.6)
(∇ · A)B = (A · ∇)B + B(∇ · A)
(A × ∇) × B) = (A · ∇)B + A × (∇ × B) − A(∇ · B)
(∇ × A) × B = A(∇ · B) − (A · ∇)B − A × (∇ × B) − B × (∇ × A) (29.7)
(C · ∇)(A · B) = A · (C · ∇)B + B · (C · ∇)A
(C · ∇)(A × B) = A × (C · ∇)B − B × (C · ∇)A
(A × B) · (∇ × C) = B · (A · ∇)C − A · (B · ∇)C . (29.8)
85
Integralni teoremi i identiteti
Neka je podrucjeV omedeno plohomS, a normalan na plohuS usmjerena je prema vanjstini odV . Zaskalarna poljaΦ (r ) ,Ψ (r ) te vektorska poljaA (r ) ,B (r ) vrijede jednakosti:
∫
V
∇ · AdV =
∮
S
A · ndS (Teorem o divergenciji)∫
V
∇ΦdV =
∮
S
ΦndS (Teorem o gradijentu)∫
V
∇ × AdV =
∮
S
n × AdS (Teorem o rotaciji)∫
V
(Φ∇2Ψ +∇Φ · ∇Ψ)dV =
∮
S
Φ∇Ψ · ndS (Prvi Greenov identitet)∫
V
(Φ∇2Ψ − Ψ∇2
Φ)dV =
∮
S
(Φ∇Ψ − Ψ∇Φ) · ndS (Drugi Greenov identitet)
(29.9)
∫
V
(∇ × A) · (∇ × B) − A · [∇ × (∇ × B)] dV =
∮
S
[(A × (∇ × B)] · ndS∫
V
A · [∇ × (∇ × B)] − B · [∇ × (∇ × A)] dV =
∮
S
[(B × (∇ × A) − A × (∇ × B)] · ndS . (29.10)
Ako je Tij(r ) tenzor ranga 2 vrijedi jednakost
∫
V
∂Tij
∂xidV =
∮
S
TijdSi . (29.11)
Neka jef (a, r ) skalarna funkcija za koju vrijedi
f (c1a1 + c2a2, r ) = c1f (a1, r ) + c2f (a2, r ) , (29.12)
gdje suc1, c2 konstante. Vrijedi jednakost∫
V
f (∇, r )dV =
∮
S
f (n, r )ndS , (Generalizirani teorem o divergenciji)
(29.13)
gdje operator∇ djeluje nar i nalazi se lijevo od svih varijabli. Neka je plohaS omedena krivuljomC.Smjer normalen na plohuS odreden je pozitivnom orijentacijom krivuljeC i pravilom napredovanjadesnog vijka. Valjane su sljedece jednakosti
∫
S
(∇ × A) · ndS =
∮
C
A · dl (Stokesov teorem)∫
S
(n × ∇Φ)dS =
∮
C
Φdl . (29.14)
86
Operator ∇ u Kartezijevim koordinatama (x, y, z)
∇Φ =∂Φ
∂xex +
∂Φ
∂yey +
∂Φ
∂zez
∇ · A =∂Ax
∂x+
∂Ay
∂y+
∂Az
∂z
∇ × A =
(∂Az
∂y−
∂Ay
∂z
)
ex +(∂Ax
∂z−
∂Az
∂x
)
ey +(∂Ay
∂x− ∂Ax
∂y
)
ez
∇2Φ =
∂2Φ
∂x2+
∂2Φ
∂y2+
∂2Φ
∂z2
∇2A = ex∇2Ax + ey∇2Ay + ez∇2Az (29.15)
Operator ∇ u sfernim koordinatama (r, θ, φ)
∇Φ =∂Φ
∂rer +
1r
∂Φ
∂θeθ +
1r sinθ
∂Φ
∂φeφ
∇ · A =1
r2
∂
∂r(r2Ar) +
1r sinθ
∂
∂θ(sinθAθ) +
1r sinθ
∂Aφ
∂φ
∇ × A =1
r sinθ
[∂
∂θ(sinθAφ) − ∂Aθ
∂φ
]
er +[
1r sinθ
∂Ar
∂φ− 1
r
∂
∂r(rAφ)
]
eθ +1r
[∂
∂r(rAθ) − ∂Ar
∂θ
]
eφ
∇2Φ =
1
r2
∂
∂r
(
r2∂Φ
∂r
)
+1
r2 sinθ
∂
∂θ
(
sinθ∂Φ
∂θ
)
+1
r2 sin2 θ
∂2Φ
∂φ2(29.16)
∇2A =
∇2Ar −2
r2
[
Ar +1
sinθ∂
∂θ(sinθAθ) +
1sinθ
∂Aφ
∂φ
]
er
+
∇2Aθ +2
r2
[∂Ar
∂θ− Aθ
2 sin2 θ− cosθ
sin2 θ
∂Aφ
∂φ
]
eθ
+
∇2Aφ +2
r2 sinθ
[∂Ar
∂φ−
Aφ
2 sinθ+ cotθ
∂Aθ
∂φ
]
eφ (29.17)
Operator ∇ u cilindri ckim koordinatama (ρ, φ, z)
∇Φ =∂Φ
∂ρeρ +
1ρ
∂Φ
∂φeφ +
∂Φ
∂zez
∇ · A =1ρ
∂
∂ρ(ρAρ) +
1ρ
∂Aφ
∂φ+
∂Az
∂z
∇ × A =
(1ρ
∂Az
∂φ−
∂Aφ
∂z
)
eρ +(∂Aρ
∂z−
∂Az
∂ρ
)
eφ +1ρ
(∂
∂ρ(ρAφ) −
∂Aρ
∂φ
)
ez
∇2Φ =
1ρ
∂
∂ρ
(
ρ∂Φ
∂ρ
)
+1
ρ2
∂2Φ
∂φ2+
∂2Φ
∂z2
∇2A =
(
∇2Aρ −Aρ
ρ2− 2
ρ2
∂Aφ
∂φ
)
eρ +(
∇2Aφ −Aφ
ρ2+
2
ρ2
∂Aρ
∂φ
)
eφ +∇2Azez (29.18)
87
Transformacije koordinata i jedini cnih vektora
Kartezijeve Cilindricke Sferne
x ρ cosφ r sinθ cosφy ρ sinφ r sinθ sinφz z r cosθex cosφeρ − sinφeφ sinθ cosφer + cosθ cosφeθ − sinφeφey sinφeρ + cosφeφ sinθ sinφer + cosθ sinφeθ + cosφeφez ez cosθer − sinθeθ
(29.19)
Cilindricke Sferne Kartezijeve
ρ r sinθ√x2 + y2
φ φ arctan(y
x
)
z r cosθ z
eρ sinθer + cosθeθxex + yey√x2 + y2
eφ eφ−yex + xey√x2 + y2
ez cosθer − sinθeθ ez
(29.20)
88
Sferne Kartezijeve Cilindricke
r√x2 + y2 + z2
√ρ2 + z2
θ arctan
(√x2 + y2
z
)
arctan
(ρ
z
)
φ arctan(y
x
)
φ
erxex + yey + zez√x2 + y2 + z2
sinθeρ + cosθez
eθz(x2
+ y2)−1/2 (
xex + yey)−(x2
+ y2)1/2
ez√x2 + y2 + z2
cosθeρ − sinθez
eφ−yex + xey√x2 + y2
eφ
(29.21)
89
LITERATURA
Griffiths D. J.,Introduction to Electrodynamics, 4th ed., Prentice Hall, New Jersey, 2012.
Heald M. A., Marion J. B.,Classical Electromagnetic Radiation, 3rd ed., Dover Publications, Mineola,2012.
Jackson J. D.,Classical Electrodynamics, 3rd ed., John Wiley, New York, 1999.
Nayfeh M. H., Brussel M. K.,Electricity and Magnetism, Dover Publications, Mineola, 2015.
Zangwill A., Modern Electrodynamics, Cambridge University Press, Cambridge, 2012.
90
