Univerzita T. Bati ve Zlíně Fakulta technologická

Institut informačních technologií

Elektrotechnika

Mgr. Milan Adámek, Ph. D.

Vypracovala: Petra Adamcová

1

1 Základní pojmy 1.1 Elektrotechnika Elektrotechnika:

- obor, který se zabývá elektrickými, magnetickými a elektromagnetickými jevy, jejichž příčinou je elektricky nabitá hmota, tj. hmota nesoucí kladný a záporný náboj

Dělení elektrotechniky: 1) výkonová (dříve silnoproudá) - výroba el. energie, přenos a přeměna v energii mechanickou, tepelnou, světelnou …. 2) sdělovací (dříve slaboproudá) - přenos, zpracování informace, reprodukce, záznam Ve 20.-30.letech 20.století se začala ze slaboproudé elektrotechniky vydělovat elektronika. Zabývá se:

- el. jevy ve vakuu - el. jevy v polovodičích

V 60. letech se z elektroniky vyděluje mikroelektronika.

- založena na mikrominiaturizaci a integraci

El.náboj: - základní vlastnost hmoty, nelze ho vytvořit ani zničit a lze ho jen odvést

- nejmenší náboj - elementární náboj: Ce 1910602,1 −− ⋅= - el.náboj:

1.2 Elektrický obvod El. obvod:

- prostorově ohraničený systém složený ze vzájemně propojených obvodových prvků za účelem určité funkce (Např.: přenos a zobrazení informace,zesílení napětí)

Dělení el. obvodů : a) obvody se soustředěnými parametry:

- relativně malé fyzické rozvody ve srovnání s dráhou, kterou elektromagnetické vlnění urazí za dobu, po kterou trvají děje v soustavě

- jsou popsány obyčejnými diferenciálními rovnicemi – (t) -> el. veličina je fcí času b) obvody s rozloženými parametry:

- relativně velké fyzické rozvody (např. dálkový telefonní kabel), kabeláž s vysokým hodinovým kmitočtem.

- jsou popsány parciálními dif.rovnicemi -> el.veličina je fcí času a souřadnice c) lineární:

- mají pouze lineární prvky (prvek má voltampérovou charakteristiku) nelineární

enq ⋅=

2

d) stejnosměrné: U ≠ U(t) I ≠ I(t) střídavé: u = u(t) i = i(t) Řešení elektrických obvodů: 1) analýza

- vycházíme ze známého propojení el. obvodů, hledáme vlastnosti obvodu při různých pracovních podmínkách

- řešení je jednoznačné 2) syntéza

- na základě požadovaných vlastností obvodu hledáme takové prvky a propojení,aby bylo dosaženo žádaných vlastností

- má mnoho řešení Pojmy v el. obvodech: svorka:

- jednotlivé obvodové prvky jsou vzájemně spojeny pomocí svorek uzel:

- místo, kde se setkávají alespoň tři vodiče větev:

- část obvodu mezi dvěma uzly - počet větví = počet nezávislých rovnic, které potřebujeme k úplnému popisu

procesů v obvodu smyčka:

- uzavřená dráha v elektrickém obvodu topologické schéma:

- dává představu o konfiguraci obvodu. Jsou v něm znázorněny jednotlivé uzly jako body, v nichž se stýkají větve znázorněné čarami. Konkrétní složení větví není v topologickém schématu patrné.

1.3 Veličiny v elektrickém obvodu Elektromagnetické jevy v obvodu se popisují dvěma veličinami : 1) Elektrické napětí: U - pro stejnosměrné obvody: U ≠ U(t) u(t) - pro střídavé obvody - je to okamžitá hodnota Definice napětí:

- napětí u12 je definováno jako práce A12, kterou vykoná el. pole při posunu jednotkového kladného náboje z bodu 1 do bodu 2

3

∫∫ ⋅⋅=⋅==2

1

2

1

1212 cosαdlEldE

QAu

- v potencionálním poli je napětí nezávislé na integrační dráze . Napětí je rozdíl potenciálů:

2112 ϕϕ −=u Čítací šipka :

- vyznačuje orientaci el. proudu a el. napětí v el. obvodu mezi uzly

čítací šipky zdrojů čítací šipky spotřebičů 2) Elektrický proud: I - pro stejnosměrné obvody : I ≠ I(t) i(t) - pro střídavé obvody : i = i(t) Definice proudu:

- jde o pohyb nábojů způsobených Coulombovými silami: dtdqi =

Proudové šipky - uvádějí orientaci proudu v obvodu Poznámka: Za kladný směr bereme pohyb kladného náboje - tj. historický omyl pocházející z počátečního období nauky o elektřině. 3) Energie a výkon: Práce el.pole:

- přenese-li el.pole náboj dq po dráze s konečnými body, mezi kterými je napětí u, pak práce:

dtiudqudA ⋅⋅=⋅=

čítací šipka proudu

čítací šipka napětí

i

4

Výkon el.pole:

- časová změna energie je dána jako časová změna výkonu: iudtdAp ⋅==

1.4 Zákony v el. obvodech Ohmův zákon: IRU ⋅= I. Kirchhoffův zákon (proudový) - algebraický součet proudů v uzlu je roven nule, protože v uzlu se nemůže náboj generovat ani ztrácet: ∑ =±

iiI 0 0321 =++ III

II. Kirchhoffův zákon (napěťový) - algebraický součet napětí podél uzavřené smyčky je roven nule ∑ =±

kkU 0 01 =++ BAC UUU

1.5 Klasifikace prvků el. obvodů V závislosti na tom, zda prvky dodávají (spotřebovávají) el. energii -> aktivní (pasivní) prvky. Aktivní prvky ≡ zdroje Z1, Z2 Pasivní prvky ≡ spotřebiče S1,S2,S3 Prvky dle počtu svorek(pólů): dvojpóly trojpóly čtyřpóly

5

Prvky dle V-A charakteristiky: lineární nelineární 1.5.1 Aktivní obvodové prvky

- působí v obvodu jako zdroje energie - energii získávají z energie jiného druhu : světelné, tepelné, chemické... - udržují na svých svorkách trvalý potencionálový rozdíl a tím i trvalý proud v

el. obvodu Dělení aktivních prvků: 1) nezávislé (autonomní) zdroje

závislé (řízené) zdroje 2) ideální

reálné 3) lineární

reálné a) Nezávislý zdroj napětí - ideální nezávislý zdroj napětí - udržuje na svých svorkách konstantní potenciálový rozdíl bez ohledu na odebíraný proud - reálný nezávislý zdroj napětí Ri - vnitřní odpor U0 - svorkové napětí na prázdno UUU Δ+=0 U - svorkové napětí

u

i

u

i

i

u zátěžová char.

I

zátěžová char.Uo U

6

b) Nezávislý zdroj proudu - ideální nezávislý zdroj proudu - dodává proud nezávisle na vlastnostech připojené zátěže - reálný zdroj proudu c) Závislé (řízené) zdroje el. energie - ideální řízený zdroj:

- zprostředkovává přenos el. energie ze zdroje napájecího napětí a je řízen zpracovávaným signálem

- neodebírá ze signálového obvodu energii, je schopen dodávat nekonečný výkon a jeho řízené napětí nebo proud jsou nezávislé na zatížení

- reálný řízený zdroj:

- nemá základní vlastnost ideálního zdroje 1) Zdroj proudu řízený napětím uSi ⋅=

S – přenosová vodivost 2) Zdroj napětí řízený napětím 0uAu ⋅=

A – napěťové zesílení 3) Zdroj proudu řízený proudem 0iBi ⋅= B – proudové zesílení

u

i zátěžová char.

u

zátěžová char. Io I

7

4) Zdroj napětí řízený proudem 0iWU ⋅= W – přenosový odpor 1.5.2 Pasivní obvodové prvky a) Rezistor:

- ideální obvodový prvek, který mění el. energii na jinou formu energie Poznámka: Odpor je vlastností rezistoru! Reálný obvodový prvek – odporník. Tento název se nevžil, používá se pojem odpor. lineární

Ohmův zákon:

uR

uGi ⋅=⋅=1

nelineání

Statický odpor: ( )iuiRS =

Dynamický odpor: ( )didu

iuiR

id =ΔΔ

=→Δ 0

lim

Dynamický odpor se nachází v okolí klidového pracovního bodu P. Třídění rezistorů: 1) Dle provedení: a) pevné b) proměnlivé - potenciometry c) nastavitelné - trimry 2) Dle materiálu: a) drátové b) nedrátové: lakové - aktivní část je lak plněný sazemi,grafitem uhlíkové - aktivní část tvoří uhlík na keramickém válečku borouhlíkové - aktivní částí je uhlík a bor metalizované - aktivní část tvoří ve vakuu nanesená vrstva kovu hmotové - celý objem odporového tělesa tvoří odporovou dráhu

u

i

u

i P

8

3) Dle použití: a) pro všeobecné - rozsah 1 Ω až 10 MΩ pro zatížení 0,125 W až 2W - provozní napětí do 750V b) stabilní odpory - R≠R(t)- pro měřicí obvody c) vysokoodporové - až do 1014 Ω d) vysokonapěťové - až do 15kV e) s potlačenou indukčností - pro kmitočty > 10 MHz mají malou parazitní indukčnost Výroba rezistorů:

- vyrábí se v geometrických řadách n 10 - elektrotechnická řada, důvod je velký rozsah (Ω – MΩ)

- dle udané tolerance jsou vyráběny v řadách E3, E6, E12, E24, E48….E96

Př. řada E12 (má 12 čísel) 21,11012 = tolerance = 121 = 0,1 = 10 %

čísla v řadě: 0 1 2 ……………………… 11

110120

= 2,110121

= 46,110122

= 25,8101211

=

řada E 96 (má 96 čísel) 024,11096 = tolerance = 961 = 0,01 = 1 %

čísla v řadě: 0 1 2 ……………………… 95

110 960

= 12,110 961

= 049,110 962

= 76,910 9695

= Barevný kód – užívá se pro označování jmenovitých hodnot

Zatížení rezistorů:

- je dán ztrátovým výkonem

RURIIUPZ

22 =⋅=⋅=

- vzniklé teplo se musí rozptýlit do okolí, aby teplota rezistoru nevystoupila k

hranici, kdy se mění elektrické vlastnosti materiálu Elektrická pevnost rezistorů:

- je dána vlastnostmi povrchové izolace, která musí vydržet nejméně dvojnásobek max. přípustného napětí

9

Šum rezistorů: - tepelný šum - je výsledkem tepelného pohybu nosičů proudu - proudový šum - vyskytuje se u nedrátových rezistorů, projevuje se převážně v

oblasti nízkých frekvencí b) Kapacitor

- ideální prvek, který se skládá z vodivých elektrod navzájem oddělených izolační látkou – dielektrikem

- je popsán 1 veličinou – kapacitou: uqC = [F]

- při časových změnách náboje prochází přes kapacitor proud:

dttduC

dttdqti )()()( ⋅== ( )∫ +⋅=

t

uidC

tu0

01)( τ idtdu

=>

Př.

Deskový kondenzátor: dSC ⋅= ε

ε . . . . permitivita

S . . . . plocha elektrod d . . . . vzdálenost desek Lineární kapacitor:

+ u

- u

+ i

- i

q

u

uCq ⋅=

10

Nelineární kapacitor: Při průchodu harmonického napětí ( ) ( )tIti m ωsin⋅=

( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅=−=⋅==

2sin1cos1sin11 πω

ωω

ωω tI

CtI

CdttI

Cdtti

Ctu mmm

Napětí se za proudem zpožďuje o 2π .

Pomocí S-K metody:

( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫ −=⋅=⋅== tiCj

jti

CdteI

Cdtti

Ctu tj

mˆˆ1ˆ1ˆ1ˆ

ωωω

Fázorově: Reálný prvek ≡ kondenzátor

- vlivem nedokonalosti dielektrika (má malou el. vodivost) vznikne svod RS – svodový odpor Ohmův zákon: UYI ˆˆˆ ⋅= Admitance kondenzátoru:

CjGZ

Y ω+== ˆ1ˆ

SRG 1= CB ω=

Im

Re

i

u - 90o

q

u

i u

11

G . . . . vodivost B . . . . susceptance Měření kapacity kondenzátoru:

Ztrátový činitel: 1) Určení kapacity

FC μ500= VU 2=

Hzf 1001 = AUCI p 628,0210210500 26 =⋅⋅⋅⋅=⋅⋅= − πω

Hzf 502 =

AUCI p 324,0250210500 6 =⋅⋅⋅⋅=⋅⋅= − πω 2) V-A char. kondenzátoru

Hzf 502 = UCI p ⋅⋅= ω 3) Frekvenční závislost impedance

pp CfCIUZ

⋅=

⋅==

πω 211

fkZ

IU

==

Měření indukčnosti:

S

S

L

S

L

R

LR

IZIR

U

Utg

AS

S

⋅=

⋅⋅

==ω

δ ˆ

ˆ

činitel jakosti cívky: S

S

RL

tgQ

⋅==ω

δ1

U IRp

ICp I

δ

p

Cp

Cp

p

cp

R

RZ

ZURU

II

tg P ===δ

f1 měřená

U

I

f

Z

I

LSU U

δ

RSU

12

SSLSL LjRXjRI

UZS

⋅⋅+=⋅+== ωˆˆˆ

LZ - zdánlivý odpor

SR - odpor

SLX - reaktance 1) Výpočet indukčnosti

SR - změříme L = 300 mH f = 5 kHz 2) Frekvenční závislost impedance

LfLZ ⋅⋅=⋅= πω 2 3) V-A char. cívky při zadané frekvenci

- pro samonosné cívky se vzduchovou kostrou

SS LR ⋅<< ω

IULS =⋅ω

ULf

IIf

ULS

S ⋅⋅⋅

=⇒⋅⋅

=ππ 2

12

Značení kondenzátorů:

- stará jednotka 1 pF

Př. FFM μ2,3102,310102,323 6126 =⋅=⋅⋅= −− nFFk 4,3104,310104,343 9123 =⋅=⋅⋅= −− Ztrátový součinitel tgδ - je mírou výkonných ztrát reálného kondenzátoru Je způsoben:

- proudovým odporem dielektrika - polarizací dielektrika - hysterezí dielektrika - vyzařováním

f

Z

f1 f2

U

I

13

Všechny ztráty se zahrnují do ekvivalentního ztrátového odporu, který může být: a) paralelní

b) sériové

činitel kvality: δtg

Q 1= Kvalitní kondenzátor má δ malé.

Typy kondenzátorů:

- se vzduchovým dielektrikem - se skleněným dielektrikem - např. trubičkové dolaďovanými trimry - s papírovým dielektrikem – pro všeobecné použití - slídové a keramické - mají velkou stabilitu, malý ztrátový činitel - lakové - dielektrikum je vrstva syntetického laku - elektrolytické - jsou polarizované => mají + a – pól

- elektrolyt je oxidová vrstva na anodě - nehodí se pro střídavý proud

c) Induktor

- ideální obvodový prvek, který akumuluje energii magnetickém poli 1) lineární induktor

Weberampérová charakteristika:

ψ – magnetický indukční tok [Wb]

L – indukčnost cívky [H]

ppppcp

Rp CRfCRI

Itg P

⋅⋅=

⋅==

πωδ

211

SS

S

S

C

S

C

Rs CR

C

RIZIR

UU

tgSS

S ⋅⋅=

⋅

=⋅⋅

== ω

ω

δ1

ψ

i

iL ⋅=ψ

U IRp

ICp I

δ

SCU

I

δS

SRU U

14

ideální prvek je popsán indukčností: i

L ψ=

napětí na svorkách induktoru: ( ) ( ) ( )dt

tdiLdt

tdtu ==ψ

proud induktoru: ( ) ( ) ( ) ( )∫∫ +==t

dttuL

idttuL

ti0

101

2) nelineární induktor

Weberampérová charakteristika

- statická indukčnost: ( ) ( )iiiLS

ψ=

- dynamická indukčnost: ( ) ( )di

idiLdψ

=

( ) ( ) ( ) ( )dtdiiL

dtdi

diid

dttdtu d ⋅=⋅==

ψψ

a zároveň:

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )dt

tdidi

idLiiLiiL

dtd

dttdtu S

SS ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +=⋅==

ψ

- vztah mezi dynamickou a statickou indukčností:

( ) ( ) ( )di

idLiiLiL S

Sd +=

Nelineární induktor s jádrem z feromagnetické látky:

- jsou charakteristické tím,že v rovině (ψ,i) pohyb pracovního bodu závisí nejen na poloze výchozího bodu, ale i na smyslu pohybu => jde o hysterzi

ψ

i

ψ

+Im

i -Im

15

( ) ( )tIti m ωsin⋅=

Vázané induktory: - v mag. poli cívky, kterou protéká časově proměnný proud, je umístěna druhá cívka

=> v ní se indukuje napětí - pro 1. cívku: 21112111 MiiL ±=±= ψψψ ψ11 . . . . vlastní tok cívky v důsledku proudu i1

ψ12 . . . . tok cívky vyvolaný proudem i2 L1 . . . . . vlastní indukčnost M . . . . . vzájemná indukčnost

- pro 2. cívku: 22221222 MiiL ±=±= ψψψ - znaménková konvence: + M - tehdy, jestliže jsou cívky navinuty souhlasně, tj. kladný

proud vtékající u obou cívek do svorky označené tečkou vytvoří mag. toky, které se sčítají

- M - v případě, že tok vytvořený proudem jedné cívky je

proudem druhé cívky zeslabován

- pro napětí na 1. cívce: ( ) ( ) ( )

dttdiM

dttdiL

dttdLu 21

11

1 ±==ψ

- pro napětí na 2 cívce: ( ) ( )

dttdi

Mdt

tdiLu 12

22 ±=

- činitel vazby: 21 LL

MK⋅

= [ ] 1=K 1,0∈K

Poznámka: K = 1 – dokonalá vazba, prakticky nedosažitelné - průchod harmonického napětí (proudu) cívkou (ideální)

16

- napětí na induktoru:

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅=⋅=⋅==

2sincossin πωωωωω tLItLItI

dtdL

dttdiLtu mmm

Napětí předbíhá proud o 90o.

- pomocí S-K metody: Fázorově: Reálný obvodový prvek ≡ cívka

- vlivem určité delky vinutí má cívka dvě charakteristické veličiny L, R Poznámka: Indukčnost cívky se zvedne použitím feromagnetického jádra. - Ohmův zákon: IZU ˆˆˆ ⋅= - impedance cívky: LjRZ ω+=ˆ - reaktance: LX L ω=

- činitel jakosti cívek: SZR

Ltg

Q ωδ==

1

50<Q - nevyhovující ( )10050 −∈Q - běžná hodnota 150>Q - vysoká jakost

Im

Re

i u 90o

( ) ( ) ( ) ( )tiLjeIdtdL

dttidLtu tj

mˆˆˆ

ˆ ωω ===

i

u

t

i,u

17

kvalitní cívka: 0→δ malétg →δ velkéQ →

Provedení cívek: - vzduchové cívky: - mají lineární indukčnost - samonosné ze silného měděného drátu

- s kostrou z nemagnetického materiálu

- cívky s jádrem: - vinou se na izolační destičku, v ní je magnetické jádro: - feritové - železné - z mag. měkkých slitin - tlumivky: - cívky pro omezení střídavých proudů, indukčnost řádově H

2 Řesení stejnosměrných obvodů v ustáleném stavu - analýza elektrické soustavy = výpočet všech napětí a proudů v soustavě - základ tvoří: 1) I. Kirchhoffův zákon ∑ = 0I

2) II. Kirchhoffův zákon ∑ = 0U 3) Ohmův zákon IRU ⋅= - rozdělení metod analýzy: 1) Speciální metody: - metoda postupného zjednodušování - metoda úměrných veličin - transfigurace - věty o náhradních zdrojích 2) Univerzální metody: - Kirchhoffovy zákony - smyčkové proudy - metoda uzlových napětí - princip superpozice 2.1 Speciální metody a) Metoda postupného zjednodušování

- sériové spojení odporů: 321 UUUU ++= IRIRIRIR ⋅+⋅+⋅=⋅ 321 321 RRRR ++=

U ZRU

UL

U δ

18

≡

≡

- paralelní spojení odporů (R1 || R2 || R3): 321 IIII ++=

321 UGUGUGUG ++= 321 GGGG ++=

- odporový dělič napětí:

2

2

21 RU

RRU

RUI =

+==

2

2

1

1

RU

RU

RUI ===

URR

RU ⋅

+=

21

22

- odporový dělič proudu:

IRRRR

IRIRU ⋅+⋅

=⋅=⋅=21

212211

Např. 1

2

2

1

RR

II

= IRR

RI ⋅

+=

21

21

b) věty o náhradních zdrojích

- Theveninova věta - část el. obvodu, vyvedena ke svorkám představuje zdroj el. energie. Ten můžeme nahradit napěťovým zdrojem s veličinou napětí Ui a veličinou odporu Ri

- Nortonova věta - část el. obvodu nahradíme zdrojem s vnitřním proudem Ii a vnitřní vodivostí Gi

19

c) Transfigurace

321

31

RRRRR

RA ++⋅

= C

BABA R

RRRRR

⋅++=1

321

21

RRRRR

RB ++⋅

= A

CBCB R

RRRRR

⋅++=2

321

32

RRRRR

RC ++⋅

= B

CACA R

RRRRR

⋅++=3

d) metoda úměrných veličin - použitelná pouze pro lineární obvody - postup: - ve vhodném místě odhadneme (≡ zvolíme) velikost proudu nebo napětí

- tomuto odhadu určíme „ fiktivní“ napětí a proudy v celém obvodu, určíme fiktivní hodnotu napájecího napětí

- určíme konstantu 'zdroj

zdroj

UU

k = a tou násobíme „fiktivní“ napětí a proudy

2.2 Univerzální metody a) Kirchhoffovy zákony obecně: - má-li obvod u-uzlů – pak má: u – závislých uzlů u-1 – nezávislých uzlů - závislým uzlem může být kterýkoliv - z I. Kirchhoffova zákona sestavíme u-1 rovnic - má-li obvod celkem v-větví – pak má: 1+−= uvs nezávislých smyček Př. 5=u - počet závislých uzlů 41 =−u - počet nezávislých uzlů 4481 =−=+−= uvs - počet nezávislých smyček

↔

20

b) smyčkové proudy - vychází z představy,že nezávislými smyčkami obvodu protékají nezávislé smyčkové proudy. Ve větvích, které jsou společné, teče proud daný superpozicí příslušných smyčkových proudů. c) metoda uzlových napětí - založená na I. Kirchhoffově zákoně - zvolíme referenční uzel – tj. uzel, ke kterému vztáhneme napětí z ostatních uzlů - ostatní uzly – nezávislé – v nich zavádíme uzlová napětí - aplikujeme proudy dle Kirchhoffova zákona v jednotlivých uzlech

- proudy rozepíšeme pomocí RU

d) princip superpozice - v obvodu ponecháme jen jeden zdroj, ostatní zdroje neuvažujeme tj. napěťové zdroje zkratujeme, proudové zdroje odpojíme. Vypočítáme dílčí větvové proudy. - aplikujeme na ostatní zdroje - výsledný proud získáme superpozicí dílčích proudů

3 Přechodové děje v lineárních obvodech 3.1 Obecná charakteristika Přechodový děj (PD): - děj, který nastává při přechodu el. obvodu z jednoho ustáleného energetického stavu do druhého

- příčinou jsou náhlé změny v el.obvodu: - připojení a odpojení el. zdroje

- zkrat, odpojení některé větve - náhlé změny parametrů prvků - cílem analýzy přech. dějů je: - získání časových průběhů napětí a

proudů - určení časových konstant Charakteristika PD: - během PD dojde ke změně energie o ∆W za čas ∆t, časový interval ∆t je vymezen časovými okamžiky t = 0 (začátek PD) a t = tp (konec

PD) Výkon potřebný pro okamžitou změnu

energetického stavu:

∞→ΔΔ

=→Δ t

WP0

lim

To reálné zdroje nejsou schopny dodat,

proto přechod trvá spojitě. Trvá ms, μs, ale i hodiny.

∆t

t=0 tp t

∆W

W

21

Elektrický obvod obsahuje: a) nesetrvačné prvky = rezistory - jakákoliv změna napětí vyvolá okamžitou změnu proudu

např. Je-li budící signál sinusový, pak napětí i proud na R je sinusový bez fázového posuvu a změny kmitočtu.

b) setrvačné prvky - kapacitory - akumulují energii 2

21 CUWc =

- časové průběhy U na C jsou spojité - proudy přes C mohou být i nespojité

- induktory - energie magnetického pole indukuje 2

21 LIWm =

- časový průběh I na L je spojitý 3.2 Formulace DR obvodu

- sestavení se provádí aplikací Kirchhoffových zákonů pro nezávislé smyčky a uzly - při zápisu rovnice vycházíme ze základních vztahů mezi obecnými hodnotami

napětí a pro jednotlivé obvody

na rezistoru: ( ) ( )tiRtu ⋅= ( ) ( )tiQti ⋅= na kapacitou:

( ) ( ) ( )∫ +=t

udiC

tu0

01 ττ

( ) ( )dt

tduCti =

na induktoru:

( ) ( )dt

tdiLtu =

( ) ( ) ( )∫ +=t

iduL

ti0

01 ττ

3.3 Řešení DR a) klasický postup ≡ řešení v časové oblasti - je fyzikálně názorná, ale matematicky často náročná

máme-li DR: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )tytxadt

tdxadt

txdadt

txda n

n

nn

n

n =++++ −

−

− 011

1

1 .....

x(t) - neznámá obvodová veličina (u, t, q . . .) n - řád DR y(t) - lineární kombinace napětí a proudů nezávislých zdrojů

22

a0, a1, . . .,an - konstanty závislé na parametrech prvků řešení: ( ) ( ) ( )txtxtx up += xu(t) - partikulární řešení ≡ ustálená složka xp(t) - řešení homogenní DR ≡ přechodová složka Přechodová složka: - určí se z řešení homogenní rovnice - určí se charakteristická rovnice: - n-tá derivace se nahradí λn 0..... 01

11 =++++ −− aaaa n

nn

n λλλ - řešení char. rovnice: a) reálné různé:

( ) ∑=

=n

i

tip

iektx1

λ

b) m-násobný kořen

( ) ∑=

−=m

i

ii

tp tketx

1

1λ

c) komplexně sdružené ωαλ ⋅⋅⋅= jtL

1

( ) ( )tBtAetx tp ωωα cossin += ⋅

Ustálená složka: - určíme na základě postupů pro analýzu ustáleného stavu b) Operátorová metoda: - založená na Laplaceově transformaci - klasická metoda je fyzikálně názorná, ale matematicky náročná

DR v časové oblasti

algebraická rovnice v komplexní proměnné

řešení algebraické rovnice

řešení DR v časové oblasti

PLP

ZLT

méně náročný postup

klasická metoda (náročný postup)

23

3.4 Obvody 1. řádu - obsahují pouze 1 setrvačný člen - jde o sériové a paralelní RL, RC obvod

a) nabíjení RC

( ) ( ) UtutiR C =+⋅ Ch.r.: 01=+

RCλ

( ) ( ) Utudt

tduCR C

C =+⋅⋅ RC1

−=λ

( ) ( )RCUtu

RCdttdu

CC =⋅+

1

- přechodová složka: ( ) τλtt

RCtCp ekekektu

−⋅−⋅ ⋅=⋅=⋅=1

RC=τ časová konstanta - je mírou trvání přechodového děje - ustálená složka: UuCu = - po ustálení se kondenzátor nabije na max. hodnotu

- celkové řešení: ( ) ( ) ( ) Uektututut

CuCpC +⋅=+=−τ

poč. podm.: t = 0 Ueku o

S +⋅= ( ) Uuk S −= 0 speciálně: ( ) 00 =Cu

Uek o +⋅=0 ( ) =+⋅−=−

UeUtut

Cτ

Uk −= ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

−τt

eU 1

- výsledné (celkové řešení): ( ) ( )[ ] ( )[ ] ττt

C

t

CC euUUUeUutu−−

⋅−−=+⋅−= 00

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅−⋅⋅=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⋅⋅−−⋅=⋅=

−−RCt

C

t

CC euU

RCC

RCeuUC

dttdu

Cti 01100 τ

( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( )tuR

tuUR

euUUUR

euUR RC

RCt

CRCt

C ⋅=−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅−+−=⋅−=

−− 110101

τ t

u

U napětí zdroje

uC(0)>0

uC(0)=0

uC(0)<0

24

( ) ( )tuUtu CR −= b) vybíjení RC

0=−⋅ CuiR dt

duCi C⋅−=

( )∫−= dttiC

uC1

( )∫−= dt

Rtu

Cu C

C1

( )∫ =+ 01 dttuRC

u CC

DR: ( ) ( ) 01

=+ tuRCdt

tduC

C

Ch.r.: 01=+

RCλ Přechodová: ( ) RC

t

Cp ektu−

⋅=

τ

λ 11−=−=

RC Ustálená: ( ) 0=tuCu

celkové řešení : ( ) 0+⋅=−

RCt

C ektu Určení k: 0=t ( ) UuC =0 00 +⋅= ekU Uk =

( ) RCt

C eUtu−

⋅=

RCt

RCt

C eRU

RCeUC

dtdu

Ci−−

⋅=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⋅⋅⋅−=⋅−=

1

( ) RCt

R eUiRtu−

⋅=⋅=

t

U i

τ t

uR(t)

U u

τ t

uC(t)

U u

t

i

t

u

uR

25

c) Nabíjení RL 0=−+ Uuu LR

0=−+⋅ UdtdiLiR

L1⋅

DR: LUi

LR

dtdi

=⋅+

Ch. r.: 0=+LRλ Přechodová složka: ( ) R

Lt

tLR

tLp ekekektu

−⋅−⋅ ⋅=⋅=⋅= λ

RL

=τ

Ustálená složka: 0=Luu

Celkové řešení: ( ) ( ) ( ) RLt

LuLpL ektututu−

⋅=+= poč. podm.: t = 0

0ekU ⋅= kU =

RLt

L eUu−

⋅=

Jiné řešení: 0=−+⋅ UdtdiLiR

dtdiLUiR =+⋅−

dtiRU

Ldi=

⋅−

Ldt

iRUdi

=⋅−

( ) 1ln1 kLtiRU

R+=⋅−−

( ) RktLRiRU ⋅−⋅−=⋅− 1ln

( ) tLRiRUk ⋅−=⋅−+ lnln

( ) tLR

eiRUk⋅−

=⋅−⋅ p.p.: t = 0 i = 0 ( ) 0

0−=−− eRUk

U

k 1=

t

LR

i eURU⋅−

⋅=−

26

iReUUt

LR

⋅=⋅−⋅−

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

⋅tLR

eRUti 1

t

LRt

LR

L eULRe

RLU

dtdiLu

⋅−⋅−⋅=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−==

d) vybíjení RL

0=− LR uu dtdiLuL −=

0=+dtdiLuR

0=+⋅dtdiLiR

dtdiLiR −=⋅

ididt

LR

=−

1ln ktLRi +−=

t

LR

eik⋅−

=⋅ Určení k z p. p.: t = 0 ( ) MAXIi =0 0eIk MAX =⋅

MAXI

k 1=

t

LR

MAX eIi⋅−

⋅=

t

LR

MAXR eIRiRu⋅−

⋅⋅=⋅=

t

LR

MAX

tLR

MAXL eIRLReIL

dtdiLu

⋅−⋅−⋅⋅=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−⋅⋅−=−=

uR

t

uL

t

i

t

27

3.5 Obvody 2. řádu - v obvodu jsou 2 setrvačné póly - např. - 2 cívky - 2 kondenzátory - 1 cívka + 1 kondenzátor Časová konstanta: - pro 1. řád - fce organického růstu

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

−τt

eUy 1 ( ) ( ) 63,01: 1 ⋅=−== − UeUyt ττ

τt

eUy−

⋅= Řešení přechodových dějů pomocí Laplaceovy transformace

Slovník Laplaceovy transformace: Originál f(t) Obraz F(s) δ (Diracova funkce) 1

1 (jednotkový skok - Heavisideova fce) s1

t (lineární rampa) 2

1s

ate− as +

1

atet −⋅ 2)(1as +

τ

63% = 0,63U

U

τ

τ

U

časová oblast ORIGINÁLY f(t)

oblast proměnné s OBRAZY F(s)

přímá transformace

zpětná transformace

28

t

i

T

ate−−1 )( app

p+

tωsin 22 ωω+p

tωcos 22 ω+pp

( ) ( ) ( ) ( ) ( )01

1

1 −

=

− ⋅−⋅= ∑ in

i

nnn fssFstfL

( ) ( )0' fFstfL −⋅=

4 Střídavý proud 4.1 Obecná charakteristika periodických funkcí - zákl. vlastností periodických průběhů je opakování funkčních hodnot po ustálené době T = periodě [T] = 1 s ( ) ( )Tktutu ⋅+= Zk ∈ ( ) ( )Tktiti ⋅+=

frekvence f - převrácená hodnota periody

Tf 1= [f] = 1 s

- rozdělení periodických funkcí: - střídavé funkce - plochy omezené nad osou t a pod osou t jsou stejné bipolární signál

−=+ PP

Tt

u

P+

P-

u

t T

P+

P-

u

t

29

( )tSBSB ωαφ coscos ⋅⋅=⋅⋅=

- harmonické: - speciální případ střídavých fcí - jsou popsány harmonickou fcí - kmitavé fce - nabývají kladných i záporných hodnot, přičemž plochy nad osou t a pod osou t nejsou stejné bipolární signál s nenulovým offsetem

- pulsující funkce - neměnící znaménko unipolární signál

- vznik střídavého pro

udu : 1. varianta - v homogenním mag. poli B se otáčí zavít úhlovou rychlostí ω α - úhel mezi normálou plochy závitu n a vektorem mag. indukce B

úhlová rychlost: tΔ

Δ=

αω

mag. indukční tok: indukované střídavé napětí:

( ) ( )[ ] ( ) =⋅⋅⋅=⋅⋅−=−= tSBtSBdtdtu ωωωωφ sinsin

( )tU M ωsin⋅= protékající proud:

( ) ( ) ( ) ( )tItR

URtuti M

M ωω sinsin ⋅=⋅==

2. varianta - závit se nachází v rotujícím mag. poli

P+

P-

u

t

T

P+

P-

u

t T

P+

P-

u

t

u

t

30

frekvenční měnič ss složka

střídavý proud

3. varianta - ze stejnosměrného napětí pomocí vibračního relé se upravuje na obdélníkové pulsy - velmi nízký kmitočet Př. - frekvenční měnič 4.2 Charakteristické hodnoty harmonických napětí a proudů - okamžitá hodnota: - okamžitá hodnota napětí v čase t: ( ) ( )1sin ϕω +⋅= tUtu m Um . . . . amplituda (max.hodnota) φ1 . . . . poč. fáze napětí ( ) 00 1 =+⇔= ϕωttu

tt ωϕωϕ

−=⇒−= 11

- okamžitá hodnota proudu v čase t: ( ) ( )2sin ϕω +⋅= tIti m Im . . . .amplituda (max. hodnota) φ2. . . .poč. fáze napětí ( ) 00 2 =+⇔= ϕωtti ftt πωϕ 22 −=−= - fázový posuv dvou signálů - harmonických se stejnou frekvencí

zdroj ss napětí

spínací relé

obdélníkové pulsy

T

t

t

+Um

-Um

u

Tt

t

+Im

-Im

t

u u1 u2

i

31

x1

x2

y2 y1

( )tUu M ωsin11 ⋅= ( )ϕω −⋅= tUu M sin22 - napětí u2 se zpožďuje za u1 fázový posuv:

T

ttf Δ⋅=Δ⋅= ππϕ 22

Měření fázového posuvu: 1) Pomocí dvoukanálového osciloskopu v režimu y-t 2) Pomocí jednokanálového osciloskopu v režimu y-t - nepřesné!

( )tUu M ωsin11 ⋅= 2

1

2

1 arcsinarcsinyy

xx

==ϕ

( )ϕω −⋅= tUu M sin22 1

2arctanyy

=ϕ

Střední hodnota - charakterizuje průměrné účinky harmonického napětí, respektive proudu za jednu periodu - fyzikálně: - odpovídá hodnotě stejnosměrného proudu, který přenese za dobu jedné periody stejný náboj jako harmonický proud

( )∫=T

S dttiT

I0

1

- je to výška obdélníku o stejné ploše, jakou má proud i(t) za dobu jedné periody

t

y

T

t

i

IS

32

( ) mm

T

mS IIdttITI 636,02...sin

2

1 2

0

===⋅= ∫ πω

2200

2

2sin

222sin

2 0

mmmT

m ITT

ITTT

TItt

TI

=⋅=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+−−=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −=

ω

π

ωω

- pro harmonický proud je IS = 0, protože má sejnou kladnou plochu jako zápornou plochu

=> střední hodnota představuje

stejnosměrnou složku, kolem které kmitá střídavá složka

( ) ( ) ( ) ( ) =⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ⋅+⋅−=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ ⋅−== ∫ 0cos1cos11cos11sin1

0 0

ωω

ωω

ωω

ω TT

tT

dttT

IT T

S

[ ] 01110cos12cos11=+−=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +⋅−=

TT ωπ

ω

- často se pro harmonické proudy v technických aplikacích užívá dvojcestně usměrněného proudu

Efektivní hodnota - charakterizuje tepelné účinky harmonického proudu.Odpovídá hodnotě hodnotě stejnosměrného proudu, který má za dobu jedné periody stejné tepelné účinky jako harmonický proud Q~ = Q=

TIRdtiR ef

T

⋅⋅=∫ 2

0

2

( ) ( ) =−=== ∫∫∫T

mT

mT

ef dttT

Idtt

TI

dtiT

I00

22

0

2 2cos12

sin1 ωω

pro rozvodnou síť: - jedna fáze U = 230 V

T

Im

IS

t

i

IS

+

-

33

a

z

a

b

Re

Im

- měříme efektivní hodnoty: Uef = u = 230 V VUU efM 3252 =⋅=

4.3 Symbolicko-komplexní popis harmonických veličin - imaginární jednotka: 1−=j - algebraický (složkový) tvar: jbaz +=ˆ

- goniometrický tvar: ααα sinsinˆˆ

sin ⋅=⋅=⇒= zzbzb

ααα coscosˆˆ

cos ⋅=⋅=⇒= zzaza

( )αααα sincossincosˆ ⋅+=⋅⋅+⋅= jzzjzz - exponenciální tvar: Eulerovy vztahy: ααα sincos ⋅+= je j ααα sincos ⋅−=− je j αjezz ⋅=ˆ Verzorový tvar komplexního čísla ≡ Kenellyho tvar: α<= zz - násobení komplexního čísla komplexní jednotkou:

ojezjz 90ˆˆ ⋅=⋅

( ) ojezjz 90ˆˆ −⋅=−⋅ Popis harmonických veličin fázory

U

t

UM

Uef

US

325 V

230 V

206 V

34

okamžitá hodnota: ( ) ( )( )ψω +⋅= tUtu m sin nahradíme exp. fcí ( ) ( )ψω +⋅⋅= tj

m eUtu Eulerův vztah ( ) ( ) ( )ψωψω +⋅⋅++⋅= tUjtUtu mm sincosˆ => okamžitá hodnota ( ) ( )[ ]tuItu m ˆ= fázor: ( ) tjj

m eeUtu ⋅⋅⋅= ωψˆ Poznámka: ψje - popisuje počáteční fázy pro t = 0 tje ⋅ω - tato složka způsobuje rotaci ( )tu úhlovou rychlostí ω - operace s fázory: - součet (rozdíl) - provádí se v algebraickém tvaru: 21 ˆˆˆ uuu += - násobení - provádí se ve složkovém tvaru jako násobení mnohočlenu - dělení - modul (velikost) je dáno podílem modulů - argument (fáze) je dána rozdílem argumentů 4.4 Ideální obvodové prvky s harmonickými proudy

ψ ωt

ω Im

Re t t

u( t)Um

1u

2u u

35

( )tje ω1

21⋅⋅

a) rezistor - počáteční fáze napětí a proudu se rovnají: iu ϕϕ = ( ) ( )utj

m eUtu ϕω +⋅=ˆ ( ) ( )itj

m eIti ϕω +⋅= - celý posun mezi napětím a proudem je nula: 0=−= iu ϕϕψ

Pomocí S-K metody: ( ) ( )tiRtu ˆˆ ⋅= ( ) ( )uu tj

mtj

m eIReU ϕωϕω ++ ⋅⋅=⋅ uu jj eIReU ϕϕ ⋅⋅=⋅ IRU ˆˆ ⋅= b) induktor

( ) ( ) ( ) ( )tiLjeIdtdL

dttidLtu tj

mˆˆˆ

ˆ ⋅=⋅⋅=⋅= ωω

Napětí se předbíhá o 90° před proudem. o

iu 90+= ϕϕ Obecně: ( ) ( )itj

m eIti ϕω +⋅=ˆ

( ) ( )oitj

m eItij 90ˆ ++⋅=⋅ ϕω ( )tu ( )tiLj ˆ⋅= ω ( )o

itjeL 90++⋅= ϕωω ( )tu ( )utjeL ϕωω +⋅= c) kapacitor ( ) tjj

mtj

m eeIeIti i ⋅⋅ ⋅⋅=⋅= ωϕωˆˆ

( ) ( ) ( )ω

ω

jti

CdteI

Cdtti

Ctu tj

m

ˆ11ˆ1ˆ ⋅=⋅== ∫∫ ⋅

( ) ( )tiCj

tu ˆ1ˆ ⋅=ω

tje ⋅⋅ ω

12

1 iu jj eICj

eU ϕϕ

ω⋅⋅=⋅

1 oiu 90+=ϕϕ

ICj

U ˆ1ˆ ⋅=ω

( )0901 −⋅⋅=⋅ iu jj eICj

eU ϕϕ

ω

d) Ohmův zákon pro st. obvody

i

u

t

i, u

i u

T t

Re

Im

I U

φu

Re

Im

( )ti U

Re

Im I

U

φi

36

-v S-K tvaru: IZU ˆˆˆ ⋅= Z - impedance - impedance ideá lních prvků: rezistor: RZ R =ˆ induktor: LjZ L ω=ˆ

kapacitor: Cj

ZC ω1ˆ =

- impedance reálných prvků: odpor: RZ R =ˆ cívka: LjRZ L ω+=ˆ

kondenzátor: CjGYZ C

C

ω+== ˆˆ1

- Kirchhoffovy zákony: I. k.z. ∑ = 0I

II. k.z. ∑ = 0U 4.5 Rezonance v el. obvodech a) Rezonance v sériovém RLC obvodu (napěťová)

impedance: ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+=++=

CLjR

CjLjRZ

ωω

ωω 11ˆ

a) je-li ( )mˆI Z 0> =>

CL

ωω 1

> =>induktivní zátěž

b) je-li ( )mˆI Z 0> <0 =>

CL

ωω 1

< =>kapacitní zátěž

rezonance: stav, kdy ( )m

ˆI Z 0= , RZ =ˆ => - impedance je

minimální - proud při rezonance je maximální rezonanční frekvence: ( )m

ˆI Z 0=

01=−⋅

CL

rr ω

ω

Thomsonův vzorec: LC

fLC rr π

ω2

11=⇒=

napěťové poměry při rezonanci: ( )m

ˆI Z 0=

Cj

Ljω

ω 1−=

ICj

ILj ˆ1ˆ ⋅−=⋅ω

ω

37

CL UU ˆˆ = Při rezonanci je proud v obvodu ve fázi s napětím

na rezistoru (nebo napětím v obvodu) - rezonanční křivka: závislost I = I(f) Činitel kvality sériového rezonančního obvodu:

CRR

LQr

rS ⋅

=⋅

=ω

ω 1

R

C

R

LS U

UUUQ == prakticky Q~ ~ 20 - 200

šířka pásma: S

r

QfffB =−= 12

- využití sériové rezonance: např. pro odstranění nežádoucí složky signálu Jednu složku chceme vyfiltrovat. Výstupní napětí nabývá minimum na rezonujícím kmitočtu => tuto složku lze odstranit! b) rezonance v paralelním obvodu RLC (proudová)

admitance: ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+=

LCjGY

ωω 1ˆ

minimum admitance: GY =ˆ pro ( ) 0ˆ =YI m

Thomsonův vztah: LC

fr π21

=

Re

I RU LU

CU

f

I Ir

2rI r

f1 fr f2

B

f1

f2

f3

fr f

UL

38

Proudové poměry při rezonanci:

01=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

LCj

ωω

LjUCUjr

r ωω −

=ˆ

L

jCjr

r ωω = LC II ˆˆ −=

Lj

Cjr

r ωω 1−

=

- činitel kvality paralelního obvodu

CRL

RQ rr

p ⋅=⋅

= ωω

C

R

L

Rp I

IIIQ ==

- rezonanční křivka 4.6 Výkon harmonického proudu - nechť impedance pasivního dvojpólu je ϕϕ <=⋅= ZeZZ jˆ a proud tjtj

m eIeIi ⋅⋅ ⋅⋅=⋅= ωω 2ˆ - proud má nulovou počáteční fázy!

Pak napětí ( ) ( ) ( )ϕωϕωϕωωϕ +⋅+⋅+⋅⋅ ⋅⋅=⋅=⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅= tjtjm

tjm

tjm

j eUeUeIZeIeZiZu 2ˆˆˆ - napětí se předbíhá před proudem o φ Ekvivalentní zápis pomocí goniometrických fcí: tItIi m ωω sin2sin ⋅⋅=⋅=

( ) ( )ϕωϕω +⋅⋅=+⋅= tUtUu m sin2sin - okamžitý výkon: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ϕωϕωϕω +⋅⋅−⋅⋅==⋅+⋅⋅⋅=⋅= tIUIUttIUtitutp 2coscos...sinsin2 - v okamžicích, kdy p(t) > 0 je výkon dodáván do dvojpólu

Re

U RI LI

CI

fr f

I

φ

ϕcos⋅⋅ IU

p

t

39

- v intervalech, kdy p(t) < 0 se vrací do zdroje část energie akumulované v mag. a el.poli dvojpólu - činný výkon P: - charakterizuje nevratnou proměnu energie na užitečnou práci a teplo - je to střední hodnota okamžitého výkonu

( ) ( ) ϕϕωϕ cos2coscos1

000

⋅⋅=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

⋅== ∫∫∫ IUdttdt

TIUdttp

TP

TTT

- jednotka [P] = 1 W - zdánlivý výkon S:

- je mírou výkonové zatíženosti střídavých zařízení.Užívá se k označení jmenovitých výkonů, zejména silnoproudých zařízení

IUS ⋅= - jednotka [S] = 1 VA

- účiník cos φ: - udává jakou částí zdánlivého výkonu je výkon činný

SP

=ϕcos

- jednotka [cos φ] = 1 - jalový výkon Q: - používá se pro vyjádření vratné proměny energie zdroje na vytvoření el. a mag. pole => vyjadřuje menší energii, která se nemění v práci (teplo), ale kmitá mezi spotřebičem a zdrojem. Negativněji zatěžuje vedení. ϕsin⋅⋅= IUQ - jednotka [Q] = 1 VAr - výkon pomocí S-K metody: jQPIUS +=⋅= ˆˆˆ

P . . . činný J . . jalový

- kompenzace účiníku: - provádí se účelem zmenšení ztrát energie na vedení od elektrárny k odběratelům - provádí se připojením kondenzátorů, neboť v praxi převládá indukční charakteristika spotřebičů - tím se snažíme dát proud do fáze s napětím a cos φ ->1

Re

ImS

φ

P

Q

40

4.7 Měření výkonu jednofázového proudu 4.7.1 Přímá metoda Pomocí wattmetrů - wattmetr měří činný výkon - většinou se měří elektromechanickými s elektromagnetickým ústrojím - wattmetr má proudovou a napěťovou cívku Napěťová cívka - má přívodní banánky

Proudová cívka - má silné vinutí, má silnější přívody, vesměs bez banánků s očky

a) pro úbytek napětí na proudové cívce wattmetru << napětí na zátěži UWI << U1Z Naměřený výkon: AWIZ PPPP ++= 11 1P - výkon odečtený na wattmetru ZP1 - výkon zátěže

WIP - výkon spotřebovaný proudovou cívkou wattmetru

AP - výkon spotřebovaný ampérmetrem

2

1ZWIWI IRP ⋅= WIR - odpor proudové cívky wattmetru 2

1ZAA IRP ⋅= AR - odpor ampérmetru

AWIZ PPPP −−= 11 absolutní chyba metody: AWIZ PPPP +=−=Δ 11

relativní chyba metody: 1001

⋅Δ

=ZP

δ

b) Je-li proud procházející zátěží >> proud procházející napěťovou cívkou wattmetru I2Z >> IWU Naměřený činný výkon: VWUZ PPPP ++= 22 ZP2 - výkon zátěže WUP - výkon spotřebovaný napěťovou cívkou wattmetru WUP - výkon spotřebovaný voltmetrem

41

tI RU

CU ZU ϕ

WU

ZWU R

UP22= WUR - odpor napěťové cívky wattmetru

2

22

V

ZV R

UP = VR - odpor voltmetru

činný výkon zátěže: VWUZ PPPP −−= 22 absolutní chyba metody: VWUZ PPPP +=−=Δ 22

relativní chyba metody: 1002

⋅Δ

=ZP

δ

4.7.2 Nepřímá metoda 1) Měření činného výkonu - vhodné pro měření výkonu na malých impedancích - metoda nabývá na významu, je vhodná k měření automatizovanými měřícími systémy. K měření se používají číslicové voltmetry. RE - rezistor známe hodnoty

E

ZRC

ZR

ZRC

E

RZZZZ R

UUUUU

UUURUUIUP

22cos

222222 −−=

−−⋅⋅=⋅⋅= ϕ

αcos2222 ⋅−+= bccba ( ) =−⋅−+= ϕ180cos2222

ZRZRC UUUUU ϕcos222 ⋅++= ZRZR UUUU ( )ϕϕ −=− 180coscos

BA

C

b

a c

α

RU

ZU CU

180-φ

42

2) Pomocí ampérmetru - pro měření velkých impedancí =⋅⋅= ϕcosZZ IUP

=⋅−−

⋅⋅⋅=RZ

CZCZER II

IIIIRI

2

222

( )222

2 RZCE IIIR

−−=

( )ϕ−⋅−+= 180cos2222

RZRZC IIIII

( )ϕϕ −=− 180coscos

5 Trojfázové obvody 5.1 Základní pojmy Trojfázové obvody: - umožňují realizovat točivé magnetické pole, které je základem působení indukčních motorů - při přenosu energie trojfázovým vedením se ušetří na materiálu vodičů - rovněž trojfázové transformátory jsou ekonomičtější než jednofázové Vznik trojfázové soustavy napětí: a) Okamžité hodnoty napětí: ( ) ( ) ( )ϕωϕω +⋅=+⋅⋅= tUtUtu

Muuu sinsin2

( ) ( ) ( )ϕωϕω +−⋅=+−⋅⋅= ov

ovv tUtUtu

M120sin120sin2

( ) ( ) ( )ϕωϕω ++⋅=++⋅⋅= ow

oww tUtUtu

M120sin120sin2

Uf = 230 V Uu, Uv, Uw - hodnota fáz. veličiny

CI ZI

RI

ZI

180-φ

RI

φ

CI ZI

12U

ω

0ˆ

wU

0ˆ

vU

0ˆ

uU

≡

43

VUUUMMM wvu 3752302 =⋅===

- rozdělení zdrojů: 1. souměrná trojfázová soustava platí: a) fwvu UVUUU ==== 230 b) fázový posuv mezi všemi napětími je 120o

2. nesouměrná trojfázová soustava - pokud neplatí alespoň jedna z podmínek a),b) 3. vyvážená trojfázová soustava ( ) ( ) ( ) 0=++ tututu wvu . . . . součet okamžitých hodnot napětí b) fázově: ϕj

uu eUUM⋅=ˆ

( )o

m

jvv eUU 120ˆ −⋅= ϕ

( )o

M

jww eUU 120ˆ +⋅= ϕ

- fázový diagram souměrný zdroj: nesouměrný zdroj: 5.2 spojování trojfázových zdrojů a) do hvězdy fázová napětí: VUUUU wvuf 230==== sdružená napětí≡ síťové napětí Swuvwuv UUUU === Z II. K. zákonu platí: vuuv UUU ˆˆˆ −=

wvvw UUU ˆˆˆ −= uwwu UUU ˆˆˆ −=

0ˆˆˆ =++ wuvwuv UUU pro souměrnou soustavu: wvuf UUUU === Swuvwuv UUUU ===

fS UU ⋅= 3 . . . to plyne z fázového diagramu při připojení spotřebiče:

Re

Im

uU

vU

wU

Re

Im

+120o

-120o

uU

vU

wU

wU

vU

vU wU

uU uU

0

U

VW

vI

vI

NI

uvU wuU

vwU

uI

44

v 0 platí: Nwvu IIII ˆˆˆˆ =++ pro souměrnou soustavu (zátěž): 0ˆ =NI b) spojení do trojúhelníku Toto spojení lze uskutečnit jen pro vyvážený trojfázový zdroj! - napětí zdrojů = sdružené napětí uvu UU ˆˆ =

vuv UU ˆˆ =

wuw UU ˆˆ = - při zátěži - fázové zdroje dodávají fázové proudy wvu III ˆ,ˆ,ˆ

- vodiči prochází sdružené napětí: vuuv III ˆˆˆ −=

wvvw III ˆˆˆ −=

uwwu III ˆˆˆ −=

0ˆˆˆ =++ wuvwuv III

Pro sdružené zatížení soustav: fS II ⋅= 3 5.3 Výkon trojfázové soustavy v harmonickém ustáleném stavu - trojfázový spotřebič je tvořen třemi impedancemi wvu ZZZ ˆ,ˆ,ˆ

- souměrný spotřebič: wvu ZZZ ˆˆˆ ==

- nesouměrný spotřebič: wvu ZZZ ˆˆˆ ≠≠ a) spojení do hvězdy 1) Nesouměrný trojfázový obvod Celkový výkon odebíraný spotřebičem je součet výkonů 3 fází: wwvvuu IUIUIUS ˆˆˆˆˆˆˆ ⋅+⋅+⋅= Činný výkon: [ ] =⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅== wwwvvvuuue IUIUIUSRP ϕϕϕ coscoscosˆ wvu PPP ++=

wU

vU uU

U

VWvI

uI uvU wuU

vwU

wI

vwI

uvI

wuI

45

Jalový výkon: [ ] =⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅== wwwvvvuuum IUIUIUSIQ ϕϕϕ sinsinsinˆ wvu QQQ ++= Platí vztah: 22 QPS += 2) Souměrný trojfázový obvod - platí: wvu III ˆˆˆ ==

wvu UUU ˆˆˆ == wvu ϕϕϕϕ === - označme: fázová napětí: fwvu UUUU === fázové proudy: fwvu IIII === sdružená napětí: fS UU ⋅= 3

sdružené proudy: fS II ⋅= 3

- činný výkon: ϕϕϕ coscos33

3cos3 ⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅= SSSS

ff IUIU

IUP

b) spojení do trojúhelníka 1) nesouměrný obvod wwuvvuuuvwvu IUIUIUSSSS ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ ⋅+⋅+⋅=++=

φw

φu

φv

uU

vU

wU uI

vI

wI

wU vU

uU wI

uI

vI

NI

uZ

vZ wZ

0L1 L2 L3

L1 L2 L3

W V

U

wuU uvU

vwU

wI

uI

vI

wZ uZ

vZ

46

činný: [ ] wvue PPPSRP ++== ˆ

[ ] wvum QQQSIQ ++== ˆ 22 QPS += 2) souměrný obvod

platí: wuvwuv UUU ˆˆˆ ==

wvu III ˆˆˆ == wvu ϕϕϕ ==

označme: fwvu UUUU ===

fS UUU ⋅== 3 fwvu IIII ===

fS III ⋅== 3 ϕcos⋅⋅= IUP ϕsin⋅⋅= IUQ IUS ⋅=

6 Lineární dvojbrany 6.1 Obecný popis Používá se: - pro úpravu vstupního signálů na výstupní signál dle účelu: - zesílení - zeslabení - změna frekvenčního spektra signálu 6.2 Klasifikace dvojbranů 1) lineární - tvořen lineárními prvky nelineární 2) pasivní - obsahuje pouze pasivní prvky aktivní 3) souměrné - lze zaměnit vstup za výstup nesouměrné

DVOJBRAN

vstupní brána

výstupní brána

vstup výstup

47

6.3 Rovnice dvojbranu - je celkem 6 druhů: 1. impedanční rovnice - závislost 21

ˆ,ˆ UU na 21ˆ,ˆ II

2121111

ˆˆˆˆˆ IzIzU ⋅+⋅= maticově:

2221212ˆˆˆˆˆ IzIzU ⋅+⋅= ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

2

1

2221

1211

2

1

ˆˆ

ˆˆˆˆ

ˆˆ

ˆII

zzzz

UUz

11z - vstupní impedance při výstupu naprázdno 0ˆ1

111 2ˆ

ˆˆ

== II

Uz

21z - přenosová impedance při výstupu naprázdno 0ˆ1

221 2ˆ

ˆˆ

== II

Uz

12z - zpětná přenosová impedance při vstupu naprázdno 0ˆ2

112 1ˆ

ˆˆ

== II

Uz

22z - výstupní impedance při vstupu naprázdno 0ˆ2

222 1ˆ

ˆˆ

== II

Uz

2. Admitančí rovnice - umožňují vypočítat 21

ˆ,ˆ II se známých hodnot 21ˆ,ˆ UU

2121111

ˆˆˆˆˆ UyUyI ⋅+⋅= admitanční matice:

2221212ˆˆˆˆˆ UyUyI ⋅+⋅= ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

2221

1211

ˆˆˆˆ

ˆyyyy

y

11y - vstupní admitance při výstupu nakrátko 0ˆ1

111 2ˆ

ˆˆ

== UU

Iy

21y - přenosová admitance při výstupu nakrátko 0ˆ2

221 1ˆ

ˆˆ

== UU

Iy

12y - zpětně přenosová admitance při vstupu nakrátko

22y - výstupní admitance při vstupu nakrátko 3. Hybridní sériově paralelní rovnice 2121111

ˆˆˆˆˆ UhIhU ⋅+⋅= hybridní matice:

DVOJBRAN 2U

1U

1I 2I

48

2221212ˆˆˆˆˆ UhIhI ⋅+⋅=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=

2221

1211ˆˆˆˆˆhhhhh

11h - vstupní impedance při výstupu nakrátko

21h - přenos proudu při výstupu nakrátko

12h - zpětný přenos napětí při vstupu naprázdno

22h - výstupní admitance při vstupu naprázdno 4. Hybridní paralelně sériové rovnice

2121111ˆˆˆˆˆ IKUKI ⋅+⋅=

2221212ˆˆˆˆˆ IKUKU ⋅+⋅=

5. Kaskádní rovnice

( )2122111ˆˆˆˆˆ IaUaU −+⋅=

( )2222211ˆˆˆˆˆ IaUaI −+⋅=

11a - převrácená hodnota přenosu napětí naprázdno

21a - převrácená hodnota přenosové impedance naprázdno

12a - převrácená hodnota přenosové admitance nakrátko

22a - převrácená hodnota přenosu proudu nakrátko 6. Zpětně kaskádní ( )1121112

ˆˆˆˆˆ IbUbU −⋅+⋅=

( )1221212ˆˆˆˆˆ IbUbI −⋅+⋅=

6.4 Přenosové vlastnosti

a) přenos napětí 1

2

ˆˆ

ˆUUKu = c) přenosová impedance

1

2

ˆˆ

ˆI

UZT =

b) přenos proudu 1

2

ˆˆ

ˆII

K I = d) přenosová admitance: 1

2

ˆˆ

ˆU

IYT

−=

6.5 Kmitočtové charakteristiky - přenos napětí (proudu) je fcí frekvence

( ) ( )( )

( ) ( )ωϕωωω

ω ⋅⋅== juu eK

jUjU

jK1

2

ˆˆ

ˆ

- Nyquistův diagram - zobrazení přenosu v komplexní rovině

DVOJBRAN 2U

1U

1I 2I−

DVOJBRAN 2U

1U

1I− 2I

49

[ ]dBKu

f (log. osa)

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ]ωωωω ωϕ jKIjjKReKjK umue

juu

ˆˆˆ ⋅+=⋅= ⋅

- Bodého diagram - jde o zobrazení modulové (amplitudové) a fázové frekvenční char. a) amplitudová frekvenční charakteristika - jde o zobrazení ( ) ( )ωω uu KjK =ˆ na frekvenci

f (log. osa) - to je proto, že zpravidla je nutné vynést průmět pro velký rozsah kmitočtů

[ ]dBKu - to má historický převod

- A. Bell zjistil: - že lidské ucho má log. charakter - je schopno vnímat 7 řádů akust. tlaku - jeho rozlišení je 1 dB - decibely byly zavedeny na základě poměru výkonů

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅=

1

2log10PP

K PdB Z

UZUUIUP

2

=⋅=⋅=

1

2

2

1

22

1

22

log20log10log10UU

UU

ZU

ZU

KUdB ⋅=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⋅=

b) fázová frekvenční charakteristika mezní kmitočet ω0: - zavádí se z důvodů zavést normovanou bezrozměrnou osu frekvence - při tomto kmitočtu je fázový posuv mezi - vstupním a výstupním napětím 45o

ω Im

R 0 ∞

( )ωjKuˆ

f

φ [o]

50

Obsah: 1 Základní pojmy .................................................................................................................. 1

1.1 Elektrotechnika........................................................................................................... 1 1.2 Elektrický obvod ........................................................................................................ 1 1.3 Veličiny v elektrickém obvodu .................................................................................. 2 1.4 Zákony v el. obvodech ............................................................................................... 4 1.5 Klasifikace prvků el. obvodů ..................................................................................... 4

1.5.1 Aktivní obvodové prvky..................................................................................... 5 1.5.2 Pasivní obvodové prvky ..................................................................................... 7

2 Řesení stejnosměrných obvodů v ustáleném stavu .......................................................... 17 2.1 Speciální metody ...................................................................................................... 17 2.2 Univerzální metody .................................................................................................. 19

3 Přechodové děje v lineárních obvodech........................................................................... 20 3.1 Obecná charakteristika ............................................................................................. 20 3.2 Formulace DR obvodu ............................................................................................. 21 3.3 Řešení DR ................................................................................................................ 21 3.4 Obvody 1. řádu......................................................................................................... 23 3.5 Obvody 2. řádu......................................................................................................... 27

4 Střídavý proud .................................................................................................................. 28 4.1 Obecná charakteristika periodických funkcí ............................................................ 28 4.2 Charakteristické hodnoty harmonických napětí a proudů........................................ 30 4.3 Symbolicko-komplexní popis harmonických veličin............................................... 33 4.4 Ideální obvodové prvky s harmonickými proudy .................................................... 34 4.5 Rezonance v el. obvodech........................................................................................ 36 4.6 Výkon harmonického proudu................................................................................... 38 4.7 Měření výkonu jednofázového proudu .................................................................... 40

4.7.1 Přímá metoda.................................................................................................... 40 4.7.2 Nepřímá metoda ............................................................................................... 41

5 Trojfázové obvody ........................................................................................................... 42 5.1 Základní pojmy ........................................................................................................ 42 5.2 spojování trojfázových zdrojů .................................................................................. 43 5.3 Výkon trojfázové soustavy v harmonickém ustáleném stavu .................................. 44

6 Lineární dvojbrany ........................................................................................................... 46 6.1 Obecný popis............................................................................................................ 46 6.2 Klasifikace dvojbranů .............................................................................................. 46 6.3 Rovnice dvojbranu ................................................................................................... 47 6.4 Přenosové vlastnosti ................................................................................................. 48 6.5 Kmitočtové charakteristiky ...................................................................................... 48